“PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE CIENCIAS BÁSICAS” Facultad de Ingeniería Universidad de San Carlos de Guatemala 2007 Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Junta Directiva Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos…………………………………………DECANO Inga. Glenda Patricia García Soria……………………………….VOCAL PRIMERO Inga. Alba Maritza Guerrero Spinola……………………………VOCAL SEGUNDO Ing. Miguel Ángel Dávila…………………………………………VOCAL TERCERO Br. Kenneth Issur Estrada Ruiz…………………………………….VOCAL CUARTO Br. Elisa Yazmina Vides Leiva…………………………………….VOCAL QUINTO Inga. Marcia Ivonne Véliz Vargas………………………………………SECRETARIA Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 2 ÍNDICE Presentación…………………………………………………………………………………....03 A. Primera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas…………… …………… 04 Antecedentes de actividades realizadas en la Facultad de Ingeniería USAC………...04 Niveles de competencia…………………………………………………….................04 Pruebas…………………...…………………………………………..…….................05 Inscripción…………………………………………………………………………….05 Premios ……………………………………………………………………………….05 Financiamiento y patrocinio……………..…………………………………................06 Comisión organizadora…………………………………………..…………................06 B. Contenidos de las pruebas………………………………………………………………08 Área de Matemática………………………………………………………..…………08 Área de Física… …………………………………………..……………..…………..09 Área de Química….…………………………………………….…………………….10 C. Pruebas y soluciones…………….………………..….………………………………….11 Matemática……………………………………………………………………………12 Física…………………………………………………………………………………..41 Química……………………………………………………………………………….59 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 3 PRESENTACIÓN La Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas es un evento académico programado para realizarse anualmente con la participación de estudiantes de las diferentes universidades del país, que competirían - en su primera edición- en las áreas de Matemática, Física y Química. En este contexto la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala, a través de la administración del Ingeniero Civil Murphy Olympo Paiz Recinos, se constituye en la ponente y organizadora de esta I Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas. Este evento contribuye a la misión del Plan Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación 20052014 en el que se contempla como un punto fundamental “Apoyar la formación de recursos humanos de alto nivel académico y técnico”, así como incrementar el desarrollo de la Ciencias Básicas. Se busca generar incentivos para que los estudiantes universitarios en general, y los de carreras de orientación científica-tecnológica en particular, se interesen en ampliar y profundizar sus conocimientos de Ciencias Básicas. Así mismo descubrir valores guatemaltecos, que con su educación y ejemplo estimulen a la juventud de Guatemala. El presente documento incluye información general de esta actividad académica, así como las pruebas y las respectivas soluciones. “ Id y Enseñad a Todos” Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 4 A. Primera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas Antecedentes de actividades realizadas en la Facultad de Ingeniería de la USAC En el año 2004 la Licenciatura en Matemática Aplicada organizó un certamen denominado Juego Matemático en el que participaron 60 estudiantes de las distintas carreras que se imparten en la Facultad de Ingeniería. El evento se organizó en tres niveles de participación que incluían un problema por nivel que debía ser resuelto usando calculadoras graficadoras Texas Instruments. Posteriormente, en el 2006, la Dirección de la Escuela de Ciencias de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala, con la colaboración de los Departamentos de Matemática y Física y el respaldo del Decano, organizaron un certamen de Matemática y Física con el objetivo de promover el interés de los estudiantes de ingeniería por profundizar y mejorar el aprendizaje de la Matemática y Física, además de tener el fin de localizar a estudiantes con alta capacidad y conocimientos de estas ciencias. En este evento la participación de los estudiantes se organizó en dos niveles y fueron premiados los ganadores de los tres primeros lugares. Los premios fueron: calculadoras, libros de texto, medallas y diplomas. Para el año 2007 se decidió en ampliar la convocatoria a todos los estudiantes de la USAC y de otras universidades del país, incluyendo la Química entre las áreas de la competencia, denominando al evento I Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas. Se tiene considerado en el futuro incluir a Biología entre las áreas a evaluar. Niveles de competencia La competencia se realizó en dos niveles en cada área, definidos de la siguiente manera: Nivel 1: En él participaron únicamente los estudiantes que ingresaron a cualquier universidad nacional en los años 2006 ó 2007 y estén cursando primero ó segundo año de la carrera. Nivel 2: En él participaron los estudiantes universitarios que no hayan cerrado pensum en una carrera con el grado de licenciatura. Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 5 Pruebas Las pruebas fueron escritas y se realizaron simultáneamente en las instalaciones de la Facultad de Ingeniería, el 29 de septiembre del 2007, a partir de las 9:00 horas. Cada estudiante participo únicamente en un área (Matemática, Física o Química), en uno de los dos niveles indicados. Cada prueba incluyó temas a desarrollar con una duración estimada de 2.5 horas, en esta primera versión de la olimpiada las pruebas incluyeron problemas de un nivel accesible a sectores amplios de la población estudiantil universitaria y otros que requieren de conocimientos y habilidades más desarrolladas. Para efectos de calificación es tan importante el razonamiento y procedimientos utilizados para resolver los problemas planteados como la forma en que se escriban y estructuren las soluciones propuestas por los participantes. Inscripción El estudiante que participó pudo inscribirse a través de la página de la Facultad de Ingeniería – USAC- ( http://www.ingeniería-usac.edu.gt ) o personalmente en el lugar que su respectiva universidad estableció. Únicamente se pudo participar en un área (Matemática, Física y Química), en uno de los dos niveles indicados. Premios A todos los estudiantes que participaron en la olimpiada se les otorga un diploma de participación. En cada uno de los niveles descritos para cada área se otorgarán tres medallas correspondientes a primero, segundo y tercer lugar. Como incentivo para el mejoramiento en las participaciones de los estudiantes de cada universidad, se otorga un reconocimiento a las Facultades de cada universidad cuyos estudiantes muestren un mejor desempeño por equipos, medido a través del promedio obtenido por los estudiantes participantes de cada una. Para cada nivel ( I y II ) de cada materia ( Matemática, Física y Química ) los premios fueron: Primer Lugar 1 Calculadora Voyage (TEXAS INSTRUMENTS) 1 Lote de 5 libros Medalla mas Diploma Segundo Lugar 1 Lote de 3 libros Q. 800.00 (en efectivo) Medalla mas Diploma Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 Tercer Lugar 1 Lote de 2 libros Q. 500.00 (en efectivo) Medalla mas Diploma . 6 Financiamiento y patrocinio Asignación de Q15,000.00 (Quince mil quetzales) de la línea del fondo de apoyo a la ciencia y tecnología – FACYT -, según contrato FACYT N.022-2007. Asignación de Q8,540.00 (Ocho mil quinientos cuarenta quetzales) del presupuesto de la Facultad de Ingeniería, Universidad de San Carlos de Guatemala, según acuerdo de Junta Directiva, punto cuarto del Acta 17-2007. Donación de dos calculadoras por la empresa DISTRICAL. Donación de un lote de 64 libros por Editorial THOMSON. Donación de un lote de 10 libros por Editorial PEARSON Donación de un modelo atómico por PROQUIMICA Comisión Organizadora Personas que participaron y contribuyeron en la organización e implementación de la I Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas. Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Ing. Murphy Olimpo Paiz Recinos, Decano Ing. Alberto Boy Piedrasanta, Director de la Escuela de Ciencias Departamento de Matemática Ing. Arturo Samayoa, Coordinador Licda. Mayra Castillo Ing. Silvia Hurtarte Ing. Helen Ramírez Ing. Vera Marroquín Ing. Carlos Garrido Ing. Oscar Martínez Ing. Renato Ponciano Departamento Física Lic. Amahan Sánchez, Coordinador Ing. Edgar Álvarez Coti Ing. Otto Hurtarte Ing. Luís De León Área de Química General Ing. Francisco Rosales, Coordinador Inga. Casta Zeceña Ing. Alberto Arango Ing. Edgar Gamaliel De León Ing. Byron Aguilar Administrativo Inga Mayra Corado Ing. Pedro Pablo Hernández Inga. Infieri Yoselin Mackenzie Facultad de Ciencias Químicas y Farmacia Dr. Oscar Cobar, Decano Lic. Mario Manuel Rodas Morán Universidad Rafael Landivar Ing. Álvaro Zapeda, Decano Licda. Zaida Urrutia Lic. Gomer Castillo Inga. Hilda Palma Universidad del Valle de Guatemala Dr. Adrián Gil, Decano Ing. Carlos Paredes, Decano Lic. Alan Reyes Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 8 B. Contenidos de las pruebas Área de Matemática Nivel I Escuela de Ciencias Departamento de Matemática Contenidos Ecuaciones y Desigualdades Funciones y graficas Geometría Funciones Polinomiales y Racionales Funciones Exponenciales y Logarítmicas Funciones Trigonométricas Trigonometría Analítica Geometría Analítica Limites y Derivadas Reglas de Derivación Aplicaciones de la Derivada Nivel II Escuela de Ciencias Departamento de Matemática Contenidos Integrales Técnicas de Integración Aplicaciones de la Integral Ecuaciones Paramétricas, Coordenadas Polares y Ecuaciones de las Cónicas en Polares Sucesiones y Series Infinitas Vectores y Geometría Analítica en el Espacio Funciones Vectoriales y Derivadas Parciales Integrales Múltiples Cálculo Vectorial Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Modelos Matemáticos y Métodos Numéricos Ecuaciones Lineales de Orden Superior Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 9 Área de Física Nivel I Mecánica Escuela de Ciencias Departamento de Física Contenidos Física y mediciones Vectores Movimiento en una dimensión Movimiento en dos dimensiones Las leyes del movimiento Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton. Energía y transferencia de energía Energía Potencial Cantidad de movimiento lineal y colisiones Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo. Cantidad de movimiento angular Equilibrio Elasticidad Gravitación Universal Mecánica de fluidos Mecánica de fluidos Dinámica Movimiento oscilatorio Energía del oscilador armónico simple Nivel II Electricidad y Magnetismo Escuela de Ciencias Departamento de Física Contenidos Ley de coulumb Campo eléctrico Ley de Gauss Potencial eléctrico Capacitores y dieléctricos Corriente y Resistencia Circuitos Eléctricos Fuera Magnética Ley de Ampere Ley de Faraday y la ley de inducción Inductancia Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 10 Área Química Nivel I Escuela de Ciencias Escuela de Química Contenidos Ciencia Química y Medición Teoría Atómica: el núcleo Teoría Atómica: el electrón Nivel II Escuela de Ciencias Escuela de Química Contenidos Estequiometría de las Reacciones Soluciones Cinética Química Equilibrio Químico Electroquímica Termodinámica Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 11 C. Pruebas y soluciones Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 12 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS “PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” . EXAMEN DE MATEMÁTICA Nivel I Instrucciones: A continuación aparecen una serie de problemas, resuélvalos en el cuadernillo de trabajo. Al terminar el examen entregue la hoja de problemas dentro del cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos. Problema 1 (20 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones: 54 6 x x a) 2 x 2 18 x b) 3 log 2 3 x 4 log 4 x 2 log 1 x 3 3 2 Problema 2 (15 puntos) Luis y Ana viven en los extremos opuestos de una calle. A las 12:00 p.m. sale Luis hacia la casa de Ana ha devolverle unos libros caminando a una velocidad de 5 pies/s, simultáneamente sale Ana hacia la casa de Luis a devolverle unos cuadernos caminando a una velocidad de 3 pies/s. En el punto de intersección Luis advierte que ha olvidado un libro y decide regresar y entra 30 segundos antes que Ana. Determine la distancia que hay entre la casa de Luis y la casa de Ana. Problema 3 (15 puntos) Determine las constantes a y b de modo que lim x 0 a bx 1 x 6 Problema 4 (10 puntos) ¿Cuál es el último dígito de 3459? Continúa al reverso... Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 13 8 Problema 5 (15 puntos) Una polea ubicada a una altura de 8 pies sostiene a un carrito sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30 con la horizontal (Vea la figura). Si se suelta cuerda a razón de 0.3 pies/s, halle el ritmo de cambio vertical y horizontal del carrito, cuando este se encuentra a 3 pies del suelo. 3 30 4 Problema 6 (20 puntos) Un rectángulo se inscribe en un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm, respectivamente, con uno de sus lados sobre la hipotenusa y dos de sus vértices sobre los catetos del triángulo (Vea la figura). Determine las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse. 3 Problema 7 (5 puntos) Se dan las gráficas de dos funciones. Determine si es posible que alguna sea la derivada de la otra. y f x g Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 14 SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE MATEMÁTICA Nivel I Por Ing. Arturo Samayoa D. Ing. Carlos Garrido L. Coordinador Departamento de Matemática Universidad de San Carlos de Guatemala Jefe de Área Matemática Básica Universidad de San Carlos de Guatemala Problema 1 (20 puntos) a) Comenzamos reescribiendo la ecuación, esto es: 2x 2 6 6 9 2 x x x 2x 2 3 2x 2x Factorizando un 9 dentro del radical 6 6 x x 6 6 3 2x 2 0 x x Luego hacemos la sustitución u 2x Extrayendo a 9 del radical Restando 6 a ambos lados de la ecuación x 6 , y resolvemos la ecuación u 2 3u 2 0 , esto es: x u 2 3u 2 0 u 1u 2 0 u 1 y u 2 Ecuación original Factorizando Regla del producto cero A continuación hallamos los valores para x, esto es: 1 2x 6 x Haciendo 1 u 2 1 2 x 6 x 6 1 2x x 6 x 1 x 2 x x 2 x 2x 6 2x 2 x 6 0 2x 3x 2 0 3 x y x2 2 2 Elevando al cuadrado ambos lados Ecuación resultante Multiplicando por x a ambos lados Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 Ecuación resultante Restando x a ambos lados Factorizando Regla del producto cero . 15 De manera análoga 2 2x 6 x Haciendo 2 u 2 2 2 x 6 x 6 4 2x x 6 x 4 x 2 x x 2 4x 2x 6 2x 2 4x 6 0 2x 1x 3 0 x 1 y x 3 2 Elevando al cuadrado ambos lados Ecuación resultante Multiplicando por x a ambos lados Ecuación resultante Restando x a ambos lados Factorizando Regla del producto cero Se deja al lector probar que los valores x 3 , x 2 , x 1 y x 3 satisfacen la ecuación. 2 b) log 2 x log 3 3 4 x 2 log 1 x 3 3 4 Usando las leyes de los logaritmos 2 1 2 log 2 x log 2 x 2 log 2 x 3 3 2 21 / 2 log 2 x log 2 x 2 log 2 x 3 3 log 2 x log 2 x 2 logx 3 3 x x 2 log 2 3 x3 x x 2 8 x3 x 3 xx 2 8x 3 x3 2 x 2 x 8x 24 2 x 2 x 24 8x 24 24 x 2 2 x 24 8x x 2 2 x 24 8x 8x 8x x 2 10 x 24 0 x 6x 4 0 x6 y x4 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 Escribiendo los logaritmos en base 2 Usando las leyes de los logaritmos Simplificando Reescribiendo como un solo logaritmo Tomando exponente 2 a ambos lados Multiplicando por x 3 a ambos lados Simplificando Sumando 24 ambos lados Ecuación resultante Restando 8 x a ambos lados Ecuación resultante Factorizando Regla del producto cero . 16 Problema 2 (15 puntos) Para resolver este problema utilizaremos los pasos para resolver problemas de ecuaciones dados con palabras. 1. Identifique una cantidad desconocida y denótela con una variable: x = distancia que había recorrido Luis al momento de encontrarse con Ana. 2. Escriba las demás cantidades desconocidas en términos de la variable seleccionada: x = tiempo transcurrido desde que Luis salió de su casa y se encontró con Ana. 5 (Recuerde que el tiempo es igual a la distancia partido la velocidad) x 3 = distancia que había recorrido Ana desde que salió de su casa hasta que se encontró con 5 Luis. x (Recuerde que la distancia es velocidad por tiempo, el tiempo transcurrido es segundos) 5 3. Relacione las cantidades, un dibujo quizá ayudará. 3x/5 x Casa de Ana Casa de Luis 8x/5 2 x = distancia total recorrida por Luis x 3x 8 x = distancia total recorrida por Ana 5 5 2x = tiempo total empleado por Luis (Recuerde que el tiempo es igual a la distancia partido la 5 velocidad) 8x 5 8 x = tiempo total empleada por Ana 3 15 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 17 4. Identifique la condición y plantee la ecuación: El tiempo de Luis es igual al tiempo de ana menos 30 segundos (Ella entró 30 segundos después), esto es: 2x 8 x 30 5 15 5. Resuelva la ecuación y pruebe la solución: 2x 8 x 30 5 15 2x 8 8 8 x x x 30 5 15 15 15 2 x 30 15 15 2 15 x 30 2 15 2 x 225 Ecuación original Restando 8 x a ambos lados 15 Ecuación resultante 15 a ambos lados 2 Solución Multiplicando por Por lo tanto la distancia que hay entre la casa de Luis y la casa de Ana es de 3 225 225 360 pies. 5 Problema 3 (15 puntos) Advierta que para que haya la posibilidad de que el límite exista es necesario que 0 a b x 0 , cuando x 0 , lo cual provocaría una forma indeterminada del tipo . Luego 0 2 la única posibilidad de a b x 0 cuando x 0 es que b a . A continuación manipulamos algebraicamente el límite, esto es: a bx x a b x a b x lim a b x x 0 x 2 a b x lim x 0 x a bx Límite original lim x 0 lim x 0 a2 a2 x Simplificando Sustituyendo b a 2 xa a x 2 Multiplicando por el conjugado Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 18 lim x 0 x Simplificando x a a2 x 1 lim x 0 a a2 x 1 a a2 0 1 2a 1 1 2a 6 2a 1 2a 1 2a 6 a 1 3 31 3 a 3 a3 Simplificando Evaluando el límite Valor del límite Igualando Multiplicando por 2a a ambos lados Ecuación resultante Multiplicando por 3 a ambos lados Solución Por lo tanto b 3 9 . 2 Problema 4 (10 puntos) Comenzamos observando las primeras diez potencias de 3, esto es: 30 1 31 3 32 9 33 27 34 81 35 243 36 729 37 2187 38 6561 39 19683 Observe que cada cuatro potencias se repite el último dígito. Por lo tanto cada potencia múltiplo de 4 tiene como último dígito el 1. Pero el número 459 no es múltiplo de 4. Recuerde que un número es múltiplo de 4 cuando sus últimos dos dígitos son cero o múltiplos de 4. De allí que el número más pequeño que 459 múltiplo de 4 sea 456. El comportamiento para el último dígito para las potencias mayores a 456 es el siguiente: 3456 1 3457 3 3458 9 3459 7 Usando un programa de computadora es fácil verificar que 3459 = 996909917130598194491288426359384373451581180562170262182935024385227514557774 530021322021291413232275306949119748233954970573663604023829504491047217550860 935720992184795139779324486163563006547299780574813665516707067 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 19 Problema 5 (15 puntos) Para comenzar consideramos al carrito como una partícula sobre el plano inclinado. A continuación introducimos algo de notación, esto es: x = distancia horizontal que separa al carrito de la pared y = distancia vertical que separa al carrito del suelo z = longitud de la cuerda 8-y La siguiente figura ilustra esta situación. z x y 30 3 De la figura es posible establecer que 8 y x 2 z 2 ( 1 ) y que tan 30 y ( 2 ) . x 2 Despejando y de ( 2 ) e introduciendo en ( 1 ), se obtiene: 8 x tan 30 x 2 z 2 . A continuación derivamos ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo, esto es: 2 8 x tan 302 x 2 z 2 28 x tan 30 tan 30x 2 xx 2 zz 16 tan 30 2x tan 30 2 x x 2 zz 2 zz x 16 tan 30 2 x tan 2 30 2 x 2 zz x 2 1 1 16 2 x 2 x 3 3 2 zz x 16 2 x 2x 3 3 2 zz x 16 8 x 3 3 2 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 Ecuación original Derivando ambos lados Factorizando x del lado izquierdo Despejando x Simplificando Simplificando Simplificando . 20 2 zz 16 3 8 x 3 3 3 2 zz x 16 3 8 x 3 3 2 zz x 16 3 8 x 3 6 zz x 16 3 8 x 6 zz x 2 8 3 4x 3zz x 8 3 4x x Racionalizando Simplificando Sumando las fracciones del denominador Simplificando Factorizando un 2 en el denominador Simplificando Sin embargo, advierta que el ritmo de cambio horizontal x necesita que se conozca previamente la distancia vertical y y la distancia horizontal x. Nuevamente del dibujo es posible establecer que: sin 30 y 3 , de donde y 3 sin 30 3 2 De manera análoga cos 30 x 3 , de donde x 3 cos 30 3 2.6 3 2 Luego, para hallar la longitud de la cuerda en ese instante, nuevamente hacemos uso de la ecuación ( 1 ), esto es: 8 y 2 x 2 z 2 8 3sin 302 3 cos 30 z 2 8 3sin 302 3 cos 302 z 2 Ecuación original Sustituyendo Simplificando 2 2 1 3 z2 8 3 3 2 2 Simplificando 2 2 13 3 3 z2 2 2 169 27 z2 4 4 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 Simplificando Simplificando . 21 196 z2 4 49 z 2 49 z 2 z7 Simplificando Simplificando Sacando raíz a ambos lados Solución Sustituyendo en la expresión para x obtenemos: x 3zz 8 3 4x 3 37 10 x 3 8 3 4 3 2 63 10 x 8 3 6 3 63 x 10 2 3 63 x 20 3 63 3 x 20 3 3 63 3 60 21 x 3 20 x 1.82 p/s x Expresión original Sustituyendo Simplificando Simplificando Simplificando Racionalizando Simplificando Simplificando Valor aproximado de x Advierta que el ritmo de cambio horizontal es negativo porque x es una magnitud que tiende a disminuir. Para hallar el ritmo de cambio horizontal derivamos ambos lados de la ecuación ( 2 ), con respecto al tiempo esto es: Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 22 y x y x tan 30 y tan 30x tan 30 Ecuación original Despejando y Derivando ambos lados 1 21 y 3 3 20 21 y 20 y 1.05 p/s Sustituyendo Hallando el valor de x Simplificando Observe que el ritmo de cambio vertical es también negativo, puesto que y es una magnitud que tiende a disminuir. Problema 6 (15 puntos) Comenzamos hallando la hipotenusa del triángulo, esto es: introducimos algo de notación: 32 4 2 25 5 . A continuación x = ancho del rectángulo inscrito h = alto del rectángulo inscrito En la siguiente figura se ilustra este hecho: A 4-t a 5 G 4 B a t x F b E h b s D C 3-s 3 De la figura es posible establecer que s 2 t 2 x 2 ( 1 ). Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 23 Luego advierta que ACE AGB, puesto que los dos tienen un ángulo recto y un ángulo a. Por lo tanto se cumple que 4t h 5 3 4t h 5 5 5 3 5 4t h 3 5 4t 4 h4 3 5 t h4 3 5 1 t 1 h 4 3 5 t 4 h 3 Ecuación original Multiplicando por 5 a ambos lados Simplificando Restando 4 a ambos lados Simplificando Multiplicando por -1 a ambos lados Despejando t Advierta también que ACE DEF, puesto que los dos tienen un ángulo recto y un ángulo b. Por lo tanto se cumple que 3 s h 5 4 3 s h 5 5 5 4 5 3 s h 4 5 3 s 3 h 3 4 5 s h3 4 5 1 s 1 h 3 4 5 s 3 h 4 Ecuación original Multiplicando por 5 a ambos lados Simplificando Restando 3 a ambos lados Simplificando Multiplicando por -1 a ambos lados Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 Despejando s . 24 Sustituyendo las expresiones para s y t en la ecuación ( 1 ), obtenemos: s2 t 2 x2 2 Ecuación original 2 5 5 2 3 h 4 h x 4 3 40 25 30 25 16 h h 2 9 h h 2 x 2 3 9 4 16 125 625 2 25 h h x2 6 144 Sustituyendo Desarrollando los binomios Simplificando 2 25 2 5 h x 12 Factorizando 2 25 2 5 h x 12 25 x 5 h 12 Por qué x 5 Extrayendo raíz cuadrado a ambos lados Despejando x 25 25 h y no x 5 h , porque si h 0 , es lógico pensar que x 5 y no a 12 12 – 5. A xh De allí que el área del rectángulo sea: Pero de acuerdo al último resultado el área del rectángulo puede inscribirse sólo en términos de h, esto es: 25 Ah 5 h h 12 A continuación hallamos el domino físico de esta función: 5 25 h0 12 25 h5 05 12 25 h 5 12 12 25 12 h 5 25 12 25 12 h 5 Desigualdad original 5 Restando 5 a ambos lados Simplificando Multiplicando por 12 a ambos lados 25 Simplificando e invirtiendo el signo Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 25 Sin embargo h, es una magnitud física que existe, por lo tanto el dominio de la función es: 12 D h I h 0, 5 Pero a fin de emplear el criterio de comparación en el procedimiento de optimización en intervalo 12 cerrado, tomaremos como dominio de la función el intervalo 0, sin mayores repercusiones 5 (No se afecta el valor ni la posición del máximo absoluto). A continuación la optimización de A: 25 Ah 5 h h 12 25 Ah 5h h 2 12 25 Ah 5 h 6 25 5 h 0 6 25 5 h5 05 6 25 h 5 6 6 25 6 h 5 25 6 25 6 h 1.2 5 A continuación valuamos h Función original Simplificando Derivando la función Igualando la derivada a 0 Restando 5 a ambos lados Simplificando Multiplicando por 6 a ambos lados 25 Despejando h 6 y los extremos del dominio a fin de establecer los máximos o 5 mínimos de la función, esto es: 25 A0 5 00 0 12 25 12 12 12 A 5 0 12 5 5 5 25 6 6 6 A 5 3 12 5 5 5 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 Valuando en 0 Valuando en 12 5 Valuando en 6 5 . 26 Por lo tanto el área alcanza su valor máximo cuando la altura del rectángulo es de 6 cm. El 5 25 6 5 2.5 . Por lo tanto las dimensiones del rectángulo de 12 5 2 6 5 mayor área que puede inscribirse son de de alto de ancho, ambos en centímetros. 5 2 ancho del rectángulo es x 5 Problema 7 (10 puntos) Comenzamos dividiendo el eje x en diferentes intervalos, como se muestra en la siguiente figura. y e f d a x g b c A partir de la figura, es posible establecer lo siguiente en cada intervalo. Intervalo a: f es creciente, pero g está debajo del eje x. Por otro lado g es creciente y f está arriba del eje x. Intervalo b: f es decreciente, pero g está arriba del eje x. Por otro lado g es creciente y f está arriba del eje x. Intervalo c: f es decreciente, pero g está arriba del eje x. Además g es decreciente y f está abajo del eje x. Intervalo d: f es creciente, pero g está debajo del eje x. Por otro lado, g es decreciente y f está debajo del eje x. Intervalo e: f es creciente, pero g está debajo del eje x. Además, g es creciente y f está arriba del eje x. Por lo tanto g es la función y f es su derivada. ¿Es posible concluir esto sólo con el hecho de que una función alcanza sus valores máximos o mínimos donde la derivada es cero? No, Observe que estas dos funciones son muy particulares. Cada una de ellas, alcanza sus valores máximos o mínimos donde la otra es cero. Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 27 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS “PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” . EXAMEN DE MATEMATICA Nivel II Instrucciones: A continuación aparecen varios problemas, resuélvalos correctamente dejando clara constancia de los procedimientos que le permitieron resolverlos. El tiempo máximo para responder la prueba es de 2 horas. Problema 1 (20 puntos) Suponga que en la cascada que se muestra la figura A contiene inicialmente 100 galones de etanol puro y que el tanque B contiene inicialmente 100 galones de agua pura. Al tanque A fluye agua pura a razón de 10 gal/min y las otras dos tasas de flujo son también 10 gal/min. (a) Determine las cantidades x(t) & y(t) de etanol que hay en los dos tanques en el instante t 0 . (b) Determine la máxima cantidad de etanol que llega a tener el tanque B. Problema 2 (20 puntos) Compruebe el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo F yiˆ xzˆj x 2 kˆ que es la frontera del triángulo cortado del plano x y z 1 por el primer octante, en sentido antihorario, vista desde arriba. Problema 3 (10 puntos) Encuentre los puntos del elipsoide x 2 2 y 2 3z 2 1 donde el plano tangente es paralelo al plano 3x y 3z 1 . Continúa al reverso... Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 28 Problema 4 (30 puntos) Evalúe: (10 puntos cada uno) a) b) d sen tan dx x 3 x (1 3 x ) 2 c) Sin utilizar el teorema fundamental del cálculo y analizando la simetría del integrando 1 1 x2 1 x 1 dx 2 x 1 x 1 Problema 5 (10 puntos) La superficie de la cortina de una presa está inclinada y forma un ángulo de 45º con la horizontal, tiene forma rectangular de 4 metros de largo y una altura inclinada 3 metros medida sobre la pared inclinada. Calcule la fuerza hidrostática sobre la cortina cuando el embalse está lleno. Problema 6 (10 puntos) Una esfera de radio 5 pies y un cono de altura 6 pies y radio 3 se encuentran colocados sobre un plano horizontal. Determine a qué altura se deben cortar ambas figuras con un plano horizontal para que el volumen en la parte inferior de ambas sean iguales y cuál es ese volumen. Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 29 SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE MATEMÁTICA Nivel II Por: Ing. Arturo Samayoa Dardón Coordinador Depto. Matemática Universidad de San Carlos de Guatemala Inga. Vera Gladis Marroquín Jefe de Área Matemática Intermedia Universidad de San Carlos de Guatemala Ing. Oscar A.Martínez Lobos Profesor Departamento de Matemática Universidad de San Carlos de Guatemala Problema 1 (20 puntos) Suponga que en la cascada que se muestra la figura A contiene inicialmente 100 galones de etanol puro y que el tanque B contiene inicialmente 100 galones de agua pura. Al tanque A fluye agua pura a razón de 10 gal/min y las otras dos tasas de flujo son también 10 gal/min. (a) Determine las cantidades x(t) & y(t) de etanol que hay en los dos tanques en el instante t≥0. (b) Determine la máxima cantidad de etanol que llega a tener el tanque B. Solución: Analizando por separado las cantidades de etanol en cada uno de los tanques: Tanque A dx x 0 10 dt 100 1 t 10 x ke x 100e 1 t 10 xt 100e dx 1 0 dt x 10 Como cuando t 0 ; x 100 ln x 1 t c 10 0 100 ke xe 1 t c 10 k 100 entonces la cantidad de etanol en cualquier instante en el tanque A es: 1 t 10 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 30 Tanque B 1 t 100e 10 10 dy 10 y dt 100 100 1 t 10 1 1 t 1 e dy e 10 ydt 10dt 10 Como cuando t 0 ; y0 1 t dy y 10e 10 dt 10 ye 0 0 c1 1 t 10 t dy 1 y 10e 10 dt 10 10t c1 c1 0 y 10t 1 e 10 Por lo tanto la cantidad de etanol es: y t t 10t 1 e 10 t Máximos 1 dy dt 1 t 1 10t e 10 101t e 2 10e 10 10t dy 10 t 1 t dt e 10 Valor critico: 10 t 0 t 10 dy por lo tanto es positiva para t 0 y negativa para t 0 dt así que la cantidad máxima de etanol en el tanque B es cuando t 10 y es y10 10 *10 100 entonces: y10 y10 e e Por consiguiente la cantidad máxima de etanol en el tanque B es 100 galones (aproximadamente e 36.788 galones). Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 31 Problema 2 (20 puntos) Compruebe el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo F yiˆ xzˆj x 2 kˆ que es la frontera del triángulo cortado del plano x y z 1 por el primer octante, en sentido antihorario, vista desde arriba. Solución: z Curva 3 x t ; dx dt y 0 ; dy 0 Curva 2 x 0 ; dx 0 (0,0,1) y 1 t ; dy dt C2 C3 z t ; dz dt z 1 t ; dz dt y (0,1,0) C1 Curva 1 x 1 t ; dx dt (1,0,0) x y 0 t ; dy dy z 0 ; dz 0 F . d r F dS c S Por integral de línea Curva 1 1 0 ti 1 t 0 j 1 t 2 t2 k dti dtj 0k tdt 0 2 1 1 0 1 2 Curva 2 1 t i 0tj 0 k 0i dtj dtk 0 1 2 0 Curva 3 1 0 1 t3 1 0i t 1 t j t k dti 0 j dtk t dt 0 30 3 Entonces 2 1 1 1 2 5 F.dr 2 0 3 6 c Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 32 i F x y i dy xz k xiˆ 2 x ˆj z 1kˆ z x2 iˆ ˆj kˆ 3 1 3x z 1 F 3 dydx 1 1 x 1 dydx F dS F 3x 1 x y 1 S 0 0 3 1 kˆ R 3 3x 1 x y 1dydx 4 x y dydx 1 1 x 1 1 x 0 0 0 0 1 1 1 2 4 x1 x 1 x dx 1 3x 7 x 2 dx 5 0 0 2 2 6 2 Como 5 5 se cumple el Teorema de Stokes 6 6 Problema 3 (10 puntos) 2 2 2 Encuentre los puntos del elipsoide x 2 y 3z 1 donde el plano tangente es paralelo al plano 3x y 3z 1 . (10 puntos) Solución: La superficie sobre la cual se encuentran los puntos es: x 2 2 y 2 3z 2 1 Estos puntos son tangentes al plano: 3x y 3z 1 Por lo que el vector normal de la superficie x 2 2 y 2 3z 2 1 , la cual se le designará como F ( x, y, z ) , es igual o algún número múltiplo o submúltiplo del vector gradiente del plano 3x y 3z 1 al cual se le denominará G( x, y, z ) Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 33 Utilizando los vectores normales a ambas superficies F ( x, y, z) kG( x, y, z) , donde k está representando la multiplicidad de uno sobre el otro. De esta ecuación se pueden establecer las siguientes ecuaciones: Fx ( x, y, z) kGx ( x, y, z) 2 x k (3) x 3k 2 Fy ( x, y, z ) kG y ( x, y, z ) 4 y k (1) y k 4 Fz ( x, y, z) kGz ( x, y, z) 6 z k (3) z k 2 Estando las variables x,y,z en función de k se sustituyen en x 2 2 y 2 3z 2 1 = F ( x, y, z ) pues los 2 2 2 3 k k puntos a encontrar pertenecen a esta superficie: k 2 3 1 2 4 2 Resolviendo para k: 9 2 k2 3 2 k k 1 4 8 4 k 2 2 5 Por lo tanto los puntos del elipsoide x 2 2 y 2 3z 2 1 donde el plano tangente es paralelo al plano 3x y 3z 1 son: 3 2 2 2 3 2 2 2 & , , , , 5 10 5 5 10 5 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 34 Problema 4 (30 puntos) Evalúe: (10 puntos cada tema) a) b) d sen tan dx x 3 x (1 3 x ) 2 c) Sin utilizar el teorema fundamental del cálculo y analizando la simetría del integrando 1 1 x2 1 x 1 dx x2 1 x 1 Conocimientos previos: Identidades trigonométricas cos 2 Solución. Sea: w tan 2 x 1 cos x 2 2 x 2 cos x x 1 tan 2 2 1 tan 2 diferenciando de ambos lados queda: x x sin x 2 sin cos 2 2 cos x 2 1 tan 2 dw 2dw d 2dw 1 tan 2 d 2dw 1 w2 d 2 1 w2 Por las identidades anteriores se tiene que: sin x 2 tan x 2 1 sec 2 d 2 2 1 w2 1 w2 sin 2w 1 w2 Llevando la integral a funciones seno y coseno d sen tan cos d sin cos sin Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 35 Haciendo las sustituciones correspondientes: 1 w 2 2dw 2 2 1 w cos d 1 w sin cos sin 2w 1 w 2 2w 2 2 2 1 w 1 w 1 w = = = 2 1 w 2 dw 2w 1 w 2 2w 1 w 2 1 w dw w1 w 2 2 1 w2 1 w dw 2 2w = 1 dw 1 wdw 2 w 2 = 1 1 ln w w 2 c 2 4 Sustituyendo por la variable original queda: cos d sin cos sin b) x 3 3 1 1 ln tan tan 2 c 2 2 4 2 dx x (1 3 x ) 2 dx x x 1 x 2 = = dx 1 2 x 13 x 2 3 dx 56 1 2 x 1 2 x 3 x 3 x 1 1 2 3 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 36 u6 x Haciendo y diferenciando ambos lados 6u 5du dx x 3 x 1 x queda: dx = 2 u 6 6u 5du 5 6 1 2 u 6 6u 5 du = 5 u 1 2u 2 u 4 6du 2 u4 = 1 2u = u 6du 2 1 3 u6 2 3 1 2 Haciendo sustitución trigonométrica a partir de: Sea tan u u2 1 u Diferenciando ambos lados queda: sec 2 d du 1 por lo tanto: u 6du 2 1 2 = = = = = = = = sec u 2 1 sec2 u 2 1 6 sec2 d sec4 6d sec 6 cos d 2 2 1 cos 2 6 d 2 3 d 3 cos 2 d 3 3 sin 2 c 2 3 3 2 sin cos c 2 3 3 sin cos c Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 37 Regresando a la variable u: u 6du 2 1 u 1 c 3 tan 1 u 3 2 2 u 1 u 1 = 2 Si se regresa a la variable original queda: dx x 3 x 1 x 3 tan 1 6 x 3 3 = 2 6 x c x 1 c) Sin utilizar el teorema fundamental del cálculo y analizando la simetría del integrando 1 1 x2 1 x 1 dx 2 x 1 x 1 Si se analiza Donde: f x f x x2 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 x 1 x2 1 x 1 * x2 1 x 1 x2 1 x 1 f x x x2 1 1 esta es una función impar 0.6 Se observa con claridad que la gráfica es simétrica respecto al origen por ser impar, por lo que el resultado de la integral es “cero” 0.4 0.2 -2 1 1 x2 1 x 1 dx 0 2 x 1 x 1 -1 1 2 -0.2 -0.4 -0.6 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 38 Problema 5 (10 puntos) La superficie de la cortina de una presa está inclinada y forma un ángulo de 60º con la horizontal, tiene forma rectangular de 4 metros de largo y una altura inclinada 3 metros medida sobre la pared inclinada. Calcule la fuerza hidrostática sobre la cortina cuando el embalse está lleno. Solución h H 3sen45o= (x,y) y 45º 45º 3cos45o= Sea tan y x La fuerza total es Ft 3 2 2 3 2 2 x 3y Fv 2 Fh 2 Analizando la fuerza vertical total en la cortina: dFv h dFh Peso específico es g 10,000 H (x,y) y 45º H 3 sin 45 o dA 4dx, h sin 45o H F g hdA a Resolviendo la integral queda H 3 por lo tanto 3 2 2 3 2 y, 2 b Si dFv g hdA donde: Sea a0 & b 3 2 2 3 2 2 x 4dx que Fv 90000 newtons Fv 10,000 3 2 2 0 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 39 Analizando la fuerza horizontal total en la cortina: dFh g d dA donde: Sea: h dFh H cos 45 o (x,y) y 45º B 3 por lo tanto B 3 cos 45 o dA 4dy, d 3 2 y, a 0 & 2 Si F g d dA b a FT Por lo tanto: B 3 2 2 3 2 2 b Fh 10,000 900002 900002 3 2 2 0 3 2 Fh 90000 newtons 2 y 4dy entonces: FT 90,000 2 newtons Otra forma con los ejes sobre la cortina ( ver figura): Area A 3 4dx y profundidad x 4dx 10000 2 x 2 0 450 x h 2 x h Entonces F 10000 3 0 2 3 0 90000 2 newtons y h x dx Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 40 Problema 6 (10 puntos) Una esfera de radio 5 pies y un cono de altura 6 pies y radio 3 se encuentran colocados sobre un plano horizontal. Determine a qué altura se deben cortar ambas figuras con un plano horizontal para que el volumen en la parte inferior de ambas sean iguales y cuál es ese volumen. Solución: 2 h 25 y 52 dy = 0 6 y dy 0 2 3 2 h = 12 15 hh 2 h 108 18h h 2 Igualando ambos resultado 12 h 108 18h h 2 3 15 hh 2 Resolviendo la ecuación queda: h 0, Se toma el valor de h h 3 3 13 109 , h 13 109 5 5 3 13 109 por estar dentro del intervalo físico del problema, así que el 5 volumen es: 3 Volumen de la esfera bajo el plano de corte = 5 13 109 0 = Volumen del cono bajo el plano de corte = = 2 2 25 y 5 dy 18 251 17 109 pies cúbicos 25 3 13 109 5 0 6 y 2 dy 2 18 251 17 109 pies cúbicos 25 Por lo tanto, la altura a la que deben ser cortadas ambas figuras debe ser 3 h 13 109 pies. 5 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 41 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS “PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” . EXAMEN DE FÍSICA Nivel I Instrucciones: A continuación aparecen una serie de problemas, resuélvalos en el cuadernillo de trabajo. Al terminar el examen entregue la hoja de problemas dentro del cuadernillo de trabajo. Problema 1 (25 puntos) En una demostración conocida como carro balístico, una pelota se proyecta verticalmente hacia arriba desde un carro que se mueve con velocidad constante a lo largo de la dirección horizontal. La pelota cae en el contenedor del carro porque ambos tienen el mismo componente horizontal de velocidad. Ahora considere un carro balístico sobre un plano inclinado que forma un ángulo con la horizontal, como se ve en la figura. El carro (incluyendo sus ruedas) tiene una masa y el momento de inercia de cada una de las dos ruedas es . a. Con el uso de la conservación de la energía (suponiendo que no haya fricción entre el carro y sus ejes) y suponiendo movimiento de rotación puro (sin deslizamiento), demuestre que la aceleración del carro a lo largo del plano inclinado es b. Nótese que el componente de la aceleración de la pelota soltada por el carro es . Entonces, el componente de de la aceleración del carro es menor que la de la pelota por el factor . Utilice este dato y ecuaciones de cinemática para demostrar que la pelota rebasa al carro en una cantidad , donde es la rapidez inicial de la pelota impartida a ella por el resorte del carro. c. Demuestre que la distancia y que la pelota recorre medida a lo largo del plano inclinado es Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 42 Problema 2 (25 puntos) Dos resortes, ambos con longitud no estirada de 0.200 m pero diferentes constantes de fuerza , están unidos a extremos opuestos de un bloque de masa en una superficie plana sin fricción. Ahora los extremos exteriores de los resortes se unen a dos agujas que están a 0.100 m de las posiciones originales de los extremos de los resortes (vea la figura). Sea (a) Calcule la longitud de cada resorte cuando el bloque está en su nueva posición de equilibrio después de fijarse los resortes en las agujas. (b) Calcule el período de vibración del bloque si se desplaza un poco de su nueva posición de equilibrio y se suelta. Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 43 Problema 3 (25 puntos) Un extremo de un poste de altura que pesa 400 N descansa en una superficie horizontal áspera El extremo superior se sujeta con una cuerda fijada a la superficie que hace un ángulo de con el poste (vea la figura). Se ejerce una fuerza horizontal sobre el poste como se muestra. A) Si se aplica en el punto medio del poste, ¿qué valor máximo puede tener sin hacer que el poste resbale? b) ¿Y si el punto de aplicación está a de la longitud del poste desde la base? c) Demuestre que si el punto de aplicación de la fuerza está a suficiente altura, no puede hacerse que el poste resbale, por más grande que sea la fuerza. Calcule esta altura crítica. Problema 4 (25 puntos) Un cubo sólido de lado y masa se desliza sobre una superficie sin fricción con velocidad uniforme , como se muestra en la figura a. Golpea un pequeño obstáculo que está en el extremo de la mesa, lo cual hace que el cubo se incline como se ve en la figura b. Encuentre el valor mínimo de tal que el cubo caiga de la mesa. Nótese que el momento de inercia del cubo alrededor de un eje a lo largo de una de sus aristas es . (Sugerencia: El cubo experimenta una colisión inelástica en la arista) Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 44 SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE FÍSICA Nivel I Por: Lic. Gomer Castillo Departamento de Física Universidad Rafael Landivar Ing. Edgar Alvarez Cotti Ing. Otto Hurtarte Departamento de Física Coordinador de Física Básica Universidad de San Carlos de Guatemala Universidad de San Carlos de Guatemala Problema 1 a) Para el carro considere un movimiento que inicia desde el reposo, a través de una distancia sobre el plano inclinado. Por conservación de energía: Luego, por cinemática, puesto que la aceleración es constante: c) Puesto que la pelota es lanzada desde un carro en reposo, esta se moverá con una aceleración a lo largo del plano inclinado, y con una aceleración perpendicular al plano inclinado. Bajo esta configuración y por cinemática: La distancia , a lo largo del plano inclinado, que la pelota recorre en el tiempo anterior será: Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 45 b) Así la pelota rebasa al carro por una distancia igual a: donde Por tanto, Problema 2 a) Puesto que la fuerza neta del resorte en su nueva posición de equilibrio debe ser cero: Entonces, las longitudes en la nueva posición de equilibrio son; para el resorte 1, 0.250 m y para el resorte 2, 0.350 m. b) A partir de la nueva posición de equilibrio si se desplaza el bloque un poco hacia la derecha, entonces la fuerza neta sobre el bloque será: De los resultados de la primera parte, la expresión dentro de los corchetes es cero, así, la fuerza neta sobre el bloque es y la constante equivalente del resorte es , por tanto: Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 46 Problema 3 a) Sea el punto donde la cuerda está fijada al suelo y B el punto donde la cuerda está fijada al poste, el ángulo entre la cuerda y el poste, sobre el poste y la fuerza normal que el suelo ejerce la fuerza de fricción que el suelo ejerce sobre el poste, entonces Sustituyendo (2) en (1) Ahora, de (2) se tiene que y aplicando el hecho de que se tiene entonces que b) De las relaciones del inciso anterior Sustituyendo (2) en (1) Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 47 Aplicando de nuevo las condiciones del inciso anterior: c) De las condiciones del primer inciso, y asumiendo que se aplica a una altura del suelo Sustituyendo (2) en (1) Aplicando de nuevo las condiciones del primer inciso: Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 48 Para la expresión anterior, conforme , crece desmesuradamente con lo que queda demostrado que después de cierta altura desde el suelo al aplicar una fuerza de cualquier magnitud el poste no resbalará. La altura crítica se obtiene al igualar la expresión anterior a cero: Problema 4 Durante la colisión inelástica se conserva la cantidad de movimiento angular, con lo que Para que la caja caiga, debe cumplirse la condición de que el centro de masa de la caja alcance su máxima altura a medida que la caja esta rotando, es decir, Ahora, usando conservación de energía, Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 49 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS “PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” . EXAMEN DE FÍSICA Nivel II Instrucciones: El examen se presenta en la modalidad de selección múltiple, de las cuatro posibilidades escoja la que más se aproxime a su respuesta después de calcular. Si ninguna es semejante a su resultado, marque la opción ninguna es correcta (NEC). El o los examinadores no están en el salón para resolver dudas, solamente para velar la pureza de la prueba. Primera Serie (50 puntos) 1) La figura muestra dos cargas puntuales separadas a una distancia de 20 cm. En que región el campo eléctrico producido por ambas cargas puede tener una resultante igual a cero a) Region I b) Region II c) Region III d) Region I y III e) NEC I II + 15µC 25 cm III - 9µC 2) Las cargas eléctricas A y B se atraen entre sí. Las cargas eléctricas B y C también se atraen una a la otra. Si se mantienen juntas A y C, que pasará entre ellas a) Se atraerán b) Se repelerán c) Una no afectará a la otra d) Falta Información e) NEC 3) Una línea de carga infinita (Hint: considérela como una varilla) produce un campo de 8.0 x 103 N/C a una distancia de 5.62 m. el valor de la densidad lineal en C/m esta dado por a) 5.5 x 10 -6 b) 2.5 x 10 -6 c) 4.5 x 10 -6 d) 1.5 x 10 -6 e) NEC 4) La figura muestra un sólido, limitado por un círculo de radio r= 25 cm y por una superficie paraboloide. Si el sólido está sumergido en un campo eléctrico uniforme y constante de magnitud E= 4.5 x 106 N/C, la magnitud del flujo a través E de la superficie paraboloide, en unidades SI, tiene un valor de: a) Cero b) 3.26 x 105 c) 6.75 x 105 d) 8.84 x 105 e) NEC 5) Considere dos superficies esféricas concéntricas, S1 con radio a y S2 con radio 2a, ambas centradas en el origen. Hay una carga +q en el origen y ninguna otra. Compare el flujo 1 que atraviesa S1 con el flujo 2 que atraviesa S2 a) 1 = 42 b) 1 = 22 c) 1 = 2 d) 21 = 2 e) 41 = 2 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 50 6) Se tienen dos cargas sobre la base de un triangulo equilátero de 3 cm de lado. La carga Q1= 3x1012 C y la carga Q2 = 3 x 1012 C. En el vértice de arriba se coloca una carga Q3 = 1.5 C. La magnitud del Campo Eléctrico resultante (en N/C) y su dirección en el lugar donde estaría ubicada Q3 es: a) 15 b) 30 c) 15 d) 30 e) NEC 7) La magnitud y dirección de la Fuerza Eléctrica ( en N) resultante sobre la carga Q3 es de a) 22.5 b) 45.0 c) 22.5 d) 45.0 e) NEC Q3 Q1 +Q2 8) Refiriéndonos al problema anterior, en la configuración mostrada, cuál es el potencial eléctrico (en V) en el lugar donde está situada la carga Q3 a) 3.50 x 108 b) 1.35 x 10–06 c) 2.70 x 10–12 d) Cero e) NEC 9) Una esfera conductora inicialmente neutra tiene un radio de 50 cm. ¿Cuántos electrones hay que quitarle para producir un potencial de 9kV en su superficie? a) 1.19 x 1012 b) 1.87 x 1012 c) 2.42 x 1012 d) 3.13 x 1012 e) NEC 10) A cierta distancia de una carga puntual, la magnitud del Campo Eléctrico es 800 N/C y el potencial eléctrico es de 3.00 kV, cuál es la distancia a la carga expresada en m? a) 6.0 b) 0.006 c) 0.004 d) 3.75 e) NEC 11) Para el problema anterior, cuál es la carga expresada en C? a) 1.25 b) 0.00125 c) 2.0 d) 0.002 e) NEC 12) Un capacitor de placas paralelas está bajo una diferencia de potencial Vo. Si la diferencia de potencial se duplica, en que factor cambia la energía almacenada Uf/Uo a) ½ b) 1 c) 2 d) 4 e) NEC 13) Un capacitor de placas paralelas está conectado a una batería que tiene un voltaje constante entre sus terminales. Si entonces se separan las placas del capacitor: a) disminuyen tanto el campo eléctrico como la carga en las placas b) el campo eléctrico permanece constante, pero la carga en las placas no c) el campo eléctrico permanece constante, pero la carga en las placas disminuye d) el campo eléctrico aumenta, pero la carga en las placas disminuye e) Ninguna es correcta 14) Un conductor circular transporta una corriente de 2A. ¿Cuántos electrones pasan a través de cierta área transversal en 7 minutos? a) 1.20x1021 b) 3.17x1021 c) 5.25x1021 d) 7.10x1021 e) NEC Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 51 15) En su casa de habitación (con un voltaje de 120 V) se encuentran funcionando 6 bombillas de 100W cada una, una lavadora que consume 2500 W, una plancha que consume 1200 W y un calentador que consume 900 J/s. Cuanta carga por unidad de tiempo (C/s) pasa por la caja de flipones en esas condiciones. a) 5.62 b) 19.27 c) 29.83 d) 43.33 e) NEC 16) Refiriéndonos a la pregunta anterior, cuál es el costo (en US $ /kWh) en un mes de 31 días, para mantener encendidas durante las 24 horas del día, las 6 bombillas de 100 W cada una, si el costo de la energía eléctrica es de US $ 0.15/ kWh. a) 0.67 b) 67 c) 670 d) 6700 e) NEC 17) El potencial eléctrico en V en el espacio entre las placas de cierto tubo al vacío está dado por V= 1600 X2 + 90, en donde V está en voltios y X es la distancia a partir de una de las placas en metros. El campo eléctrico en V/m en x = 2.5 cm está dado por: a) 80 i b) 63 i c) – 80 i d) – 63 i e) NEC 18) Cuando se aplica 115 V entre los extremos de un alambre conductor recto de 9.66 m de longitud, la densidad de corriente es de 1.42 A/cm2. El campo eléctrico (en N/C) tiene un valor de a) 1064 b) 10.64 c) 11.90 d) 1190.28 e) NEC 19) Cuando dos resistores idénticos se conectan en paralelo con una batería, la potencia total disipada por ellos es de 40W. Si posteriormente se conectan esos mismos resistores en serie con la misma batería, la potencia total disipada en W será a) 10 b) 20 c) 40 d) 80 e) 160 20) El plano de una bobina rectangular de 5 cm x 8 cm, es perpendicular a un campo magnético B. Si la bobina tiene 75 vueltas y una resistencia total de 8 . La rapidez con la que tiene que cambiar B con respecto del tiempo, para que haya una corriente inducida de 0.1 A, expresada en Teslas/s, tiene un valor de a) 0.80 b) 1.33 c) 1.60 d) 2.67 e) NEC Segunda Serie (50 puntos) Problema 1 Una varilla de masa m y de resistencia eléctrica R, puede deslizarse sin fricción sobre unos rieles metálicos y que en su parte final se encuentran unidos por una pieza de metal del mismo material formando un ángulo θ con respecto a la horizontal, dicha varilla es tirada por una cuerda que pasa por una polea ideal sin fricción y que en su otro extremo tiene atada un masa M > m. En toda la región existe un campo magnético vertical y hacia arriba B. Si inicialmente el sistema se encuentra en reposo. Calcule: a) Como esta dada la velocidad de la varilla como función del tiempo. b) Cuál es el máximo valor de la velocidad vm de la varilla (Suponga que los riele son suficientemente largo y que se alcanza dicha velocidad) c) De manera práctica ¿Cuál es el valor aproximado del tiempo para el cual se alcanza dicho valor de la velocidad vm? Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 52 d) Como esta dado el desplazamiento de la varilla y ¿cual será su valor para el tiempo en el inciso c)? Problema 2 Una esfera de radio R y con densidad de carga uniforme ρv, se le obtura un agujero esférico de radio R/4, cuyo centro se encuentre a una distancia R/2 del centro de la esfera. Calcule: a) El campo y el potencial eléctrico en el punto B(2R, R) b) El campo eléctrico en A un punto interior de la esfera hueca. Describa las características de dicho campo. c) Cuanto trabajo hace el campo cuando una partícula de carga q se transporta de B(2R,R) a C(2R,-R) a través de la curva 2R(x – 3/2R) = y2 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 53 SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE FÍSICA Nivel II Por: Lic. Gomer Castillo Departamento de Física Universidad Rafael Landivar Ing. Edgar Alvarez Cotti Ing. Otto Hurtarte Departamento de Física Coordinador de Física Básica Universidad de San Carlos de Guatemala Universidad de San Carlos de Guatemala Primera Serie 1. La única región en donde el campo eléctrico puede ser cero es la Región III, debido a que en dicha región el campo de la carga de + 15μC el cual es repulsivo, decrece suficientemente para poder ser anulado por el campo de la carga de - 9 μC es atractivo y de menor intensidad. c) 2. A y B se atraen, por lo que son de signo contrario. B y C se atraen, por lo que son de signo contrario. Conclusión A y C son de igual signo, por lo que se deberán repeler. b) 3. De la ley de Gauss o E dS qencerrada o E (2rL) L E 2 o r b) E (2 o r ) 2.5 10 6 C/m 4. E E dS EA E (r 2 )) 8.84 105 Nm2 /C d) 5. Las superficies S1 y S2 encierran la misma carga, por lo que S1 s 2 6. ER E cos( / 3) E cos( / 3) ER (30 N / C ) xˆ Q (2 cos( / 3) 4 0 r 2 c) 1 7. F Q3 ER (1.5 106 C )(30 N / C ) xˆ (45 106 N ) xˆ Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 b) d) . 54 V 8. 1 Q 1 Q 0V 4 0 r 4 0 r V 1 Q 4 0 r 9. d) Q (4 0 r )V 500 10 9 C d) Q N e 3.125 1012 electrones e E 10. 1 Q 4 0 r 2 .V 1 Q 4 0 r d) V r 3.75 m E Q (4 0r )V 1.25 106 C 11. U0 12. 1 CV02 2 Uf a) 1 1 C (2V0 ) 2 CV02 (4) 2 2 d) Uf 4 U0 13. De las ecuaciones, abajo, se observa que si aumenta d, tanto Q como E disminuirán. Q CV ( 0 A d )V Q I t 840 14. Ne y E V d a) C Q 5.25 1021 electrones e c) Pt 6 100 2500 1200 900 W 5200 W 15. I Pt 43.33 A V Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 d) . 55 16. E (600W)(24h )(31d) 446.4 kW - h C Cu E $66.96 E V 17. V i x b) c) V E 80 i m J 1.42 A/cm 2 18. E V 11.90 V/m L 19. PT 40 W, P 2 V R c) PR 20 W V 20 R 2 20 R 5W PR I R 2R PT 5W 5W 10W a) 2 20. dB IR 2.66 T/s dt NA d) Segunda Serie Problema 1 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 56 D.C.L. masa M D.C.L. masa m Resolviendo la parte electromagnética: d B d ( BLx cos( )) dt dt BLv cos( ) BLv cos( ) R R B 2 L2 v cos( ) FB ILB R I Ley de Faraday Fem Inducida Corriente Inducida Fuerza de Interacció n Resolviendo la parte mecánica: Del D.C.L de m F x ma T FB cos mg sin ma Del D.C.L de M F y Ma Mg T Ma Resolviendo para a B 2 L2 cos 2 v m M a Mg mg sin R Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 57 dv , la ecuación anterior se transforma en dt dv B 2 L2 cos 2 Mg mg sin v 0 dt m M R mM la ecuación anterior se puede representar como una ecuación diferencial separable haciendo B 2 L2 cos 2 Mg mg sin y B A , así m M R m M Dado que a dv B A v , cuya solución es dt A B v 1 e At A v b) vm B 1 e At A M m sin gR lim v B 2 L2 cos 2 t c) A 1 representa un constante de tiempo Tm 5 A 1 5R B 2 L2 cos 2 dx v m 1 e t / dt d) x x0 vm t vm 1 e t / dx vm 1 e t / dt Problema 2 0 E ds qe , Entonces, E E v en el interior, y 3 0 1 QT , donde QT es la carga total de la esfera. 4 0 R 2 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 58 a) Carga de esfera grande: Q Carga eliminada del agujero: q 4 Q R 3 v 3 3 4 R Q q v 3 4 64 Por el principio de superposición E EQ E q E Q 4 0 1 3 R a R a y 2 Ra x Ra y 1 Q 2 x 3/ 2 3/ 2 4 64 9 4R 2 R 2 0 R 2 R2 4 3 ax ay 1 Q 2 1 1 Q 2 E ax 3/ 2 ay 2 3/ 2 2 3/ 2 4 0 R 5 4 5 0 64 R 13 4 1 Q E 0.1748a x 0.0867a y 4 0 R 2 V 1 Q 4 0 5R b) En el interior de la esfera 2 1/ 2 E 1 Q 4 0 13R 2 v r, 3 0 ET E E H 64 1/ 2 4 EH Q 0.438546 4 0 R 1 v r 3 0 v r r v 3 0 3 0 R 2 a x ET es un campo uniforme en el interior del agujero. c) Por la simetría VA VB , V 0 , entonces W qV 0 El trabajo neto es cero. Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 59 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS “PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” . EXAMEN DE QUÍMICA Nivel I Instrucciones generales: El presente examen, consta de dos series. Dispone dos horas para resolver su examen. Puede utilizar: tabla periódica, calculadora con las cuatro operaciones básicas. No puede utilizar: ningún aparato electrónico (celular, ipod, mp3). Primera Serie (Cada respuesta correcta 2 puntos) Instrucciones: A continuación se le presentan 20 preguntas de selección múltiple, subraye el inciso considere correcto. EVALUACION DE TODO EL CONTENIDO PROGRAMATICO. 1. Es la medida de la inercia que adquiere un cuerpo en base al movimiento. a. Fuerza b. Masa c. Energía d. Presión e. Ninguna 2. En cual de los siguientes descriptores se sucede una reacción química: a. Calentamiento a ebullición de la leche b. Contracción volumétrica por enfriamiento del mercurio. c. Oxidación del hierro en condiciones ambientales d. Licuefacción del cobre e. Ninguna 3. Cuál es el número máximo de electrones en una reempe d?. a. Diez b. Seis c. Dos d. Tres e. Ninguna 4. Los metales de transición tienen su electrón diferencial en: a. Reempe s b. Reempe p c. Reempe d d. Reempe f. e. Ninguna Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 60 5. Los elementos se agrupan en columnas según: a. Su número atómico b. La posición del electrón diferencial en la reempe c. El nivel cuántico principal del electrón diferencial d. Su número de masa. e. Ninguno 6. Cual elemento posee 6 electrones en su último nivel electrónico: a. Boro b. Carbono c. Nitrógeno d. Oxigeno e. Ninguno 7. Cual elemento comparte 3 electrones para equivalente a gas noble: a. Boro b. Carbono c. Nitrógeno d. Oxigeno e. Ninguno 8. Si dos elementos tienen cuatro electrones en el último nivel de su configuración es porque: a. Pertenecen al mismo periodo b. Tienen cuatro niveles de energía c. Pertenecen al mismo grupo periódico. d. Poseen igual masa atómica. e. Ninguno. 9. El hidrogeno, el deuterio y el tritio se diferencian entre sí por el número de: a. Protones b. Neutrones c. Electrones d. Electrones y neutrones e. Ninguno 10. Cuando los electrones compartidos en una unión química pertenecen a uno solo de los átomos, se denomina al enlace: a. Covalente b. Covalente coordinado. c. Iónico d. Covalente polar e. Ninguno Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 alcanzar configuración electrónica . 61 11. En base a la electronegatividad de Pauli el enlace covalente menos polar entre dos elementos se da en: a. C – N b. C – O c. C – F d. C – Ne e. Ninguno 12. El número de oxidación del cloro molecular es: a. Menos uno b. Uno c. Cero d. Tres e. Ninguno 13. El nombre que recibe el trióxido de manganeso en el sistema clásico: a. Oxido mangánico b. Anhídrido mangánico c. Anhídrido manganoso d. Oxido manganoso e. Oxido permangánico 14. Para la reacción C4H10(g) + O2(g) → CO2(g) + H2O(g) estequiométricos, respectivos en los enteros mas sencillos son: a. 1, 13/2, 4, 5 b. 1, 13, 4, 5 c. 2, 13, 4, 5 d. 2, 13, 8, 10 e. Ninguno 15. Según el tipo de reacción a. Análisis b. Síntesis c. Sustitución d. Desplazamiento e. Metátesis 16. Señale cual afirmación es falsa respecto al concepto de gas ideal: a. Sus partículas son iguales en tamaño, forma y masa. b. Las fuerzas de interacción entre sus partículas son despreciables c. La energía promedio de sus moléculas solo depende de la temperatura. d. Existen a presiones bajas y temperaturas altas. e. No es licuable bajo ningunas condiciones. los coeficientes HCl(g) + NH3(g) → NH4Cl(s) esta es una: Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 62 17. En base a la teoría cinética de los gases ideales. Cuál de las siguientes proposiciones es falsa. a. Los choques entre las moléculas de un gas son elásticos. b. Cada molécula posee una energía cinética igual al promedio de las energías de todas. c. El movimiento de las moléculas es caótico, pero en línea recta. d. Las fuerzas intermoleculares y el volumen ocupado por las moléculas son despreciables. e. No existe a presiones altas y temperaturas altas 18. Una masa de 20g, sufre un incremento de 32˚Celsius. A cuántos grados de temperatura equivale en Rankine. a. 89.6 R b. 57.6 R c. 549.6 R d. 17.78 R e. Ninguno 19. Una vasija tiene las siguientes medidas, 20.5216 cm de largo, 6.537 cm de ancho y 4.0 cm de alto. Cuál es el volumen de la vasija?. Exprese su resultado con el número correcto de cifras significativas. a. 536.59 cm3 b. 5.36 E 2 cm3 c. 5.4 E 2 cm3 d. 536.5908 cm3 e. Ninguno 20. Considere los elementos A, B, y C, cuyas configuraciones del electrón diferencial son: A: 5, 1, 1, ½; B: 5, 1, 0, ½; C: 4, 1, 0, ½ . Ordénelos según su electronegatividad decreciente. a. A, B y C b. B, C y A c. C, A y B d. A, C y B e. Ninguna Segunda Serie (Cada respuesta correcta 12 puntos) Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas, dejando una constancia objetiva, lógica, explícita y ordenada de su procedimiento en el cuadernillo proporcionado para el efecto, anotando la respuesta específica en el temario. Se calificará procedimiento y respuesta correcta. Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 63 ANALISIS DIMENSIONAL 1. La abundancia isotópica de Hidrógeno elemental es: 0.99985 de hidrogeno (H), 0.00012 de deuterio (D) y 0.00003 de tritio (T). Existen tres clases de agua: H2O (agua), D2O (agua pesada) y T2O (agua superpesada). Si las abundancias isotópicas de hidrogeno equivalen completamente a las abundancias de clases de agua. ¿Cuántos kg de agua pesada se pueden obtener de 1 tonel agua?. RESPUESTA: ENERGÍA ELECTROMAGNETICA 2. Albert Einstein ganó el Premio Nobel de la Física por explicar el efecto fotoeléctrico, que es la emisión de electrones de una superficie al ser irradiada con un haz de luz. Una lámina de oro es irradiada con un haz de luz y los e- emitidos crean una corriente eléctrica de 2 amperios. ¿Cuál es la mínima energía absorbida por la lámina en 2 segundos? ¿cuál es la intensidad del haz de luz? RESPUESTA: ENLACE Y NOMENCLATURA 3. Determine el número de enlaces iónicos y covalentes para las oxisales sódicas del cloro. RESPUESTA: Denominación Formula Enlace Iónico covalente ESTEQUIOMETRÍA (LEYES PONDERALES) 4. El estaño (Sn) y el oxígeno (O) se combinan para formar dos óxidos diferentes. Uno contiene 78.77% de Sn y el otro 88.12% de Sn. Encuentre el peso equivalente de Sn en cada uno de los dos óxidos y demuestre que los valores concuerden con lo indicado en la ley de las proporciones múltiples (Ley de Dalton). RESPUESTA: GASES IDEALES 5. Una mezcla de gases está formada por 88 g de C3H8 y 80 g de un gas desconocido. La mezcla ocupa un recipiente rígido de 40 L y su temperatura es de 25°C. La presión total del sistema es 2.79 bar. ¿Cuál es la masa molar del gas desconocido? RESPUESTA: “la imaginación es tan importante como el conocimiento” Albert Einstein Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 64 SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE QUÍMICA Nivel I Por Dra. Casta Zeceña Ing. Byron Aguilar Departamento de Química General Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Química General Universidad de San Carlos de Guatemala Primera Serie 1. B 2. C 3. C 4. C 5. B 6. D 7. C 8. C 9. B 10. B 11. A 12. C 13. B 14. D 15. B 16. A 17. B 18. B 19. C 20.A Segunda Serie 1. Respuesta 0.02725 Kg. de D2O Solución Datos: masa H = 1.00018 uma Masa D2O = 19.999 g/mol Masa H2O = 17.99936 g/mol Densidad H2O = 1 Kg/ L 1 tonel agua (54 gal agua / 1 tonel agua) (3.785 L agua / 1 gal agua) (1 Kg agua / 1 L agua) (1 Kmol agua / 17.99936 Kg agua) (0.00012 Kmol D2O / 1 Kmol agua) (19.999 Kg D2O / 1 Kmol D2O) = 0.02725 Kg D2O 2. Respuesta 0.0369 KJ ; 2.496 E 19 fotón Datos: Solución Datos: Ei Au: 890 KJ/mol F = 96485 C/mol 2 C/s (1 mol e/ 96485 C) (890 KJ / mol) (2s) = 0.0369 KJ 2 C/s (1 mol e/96485 C) (1 mol fotón / 1 mol e) (6.022e23 fotón / 1 mol fotón) (2s)= 2.496E19 fotón Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 65 3. Respuesta Denominación Hipoclorito de Sodio Clorito de Sodio Clorato de Sodio Perclorato de Sodio Formula NaClO NaClO2 NaClO3 NaClO4 No. de enlaces iónico covalente 1 1 1 2 1 3 1 4 4. Respuesta: Relación es 29.68 a 59.34 en números enteros es de 1:2 Solución Por definición del peso equivalente gramo será la cantidad de Sn que se combine con 8g de oxigeno así para el primer óxido se encuentra que el oxigeno combinado en 100g del óxido es: (100 – 78.77) = 21.23g (78.77g Sn/21.23g O) = (Xg Sn/8.0g O) X= 29.68g peso equivalente del Sn. Para el segundo óxido (88.12g Sn/11.88g O) = (Xg Sn/8.0g O) X= 59.36g peso equivalente del Sn Y la relación entre los pesos equivalentes gramos es 29.68 a 59.34 que corresponden a la relación 1:2 que es de números enteros y sencillos. 5. Respuesta M = 31.98 g/mol. Solución Datos: T = 25°C V = 40 L P = 2.79 bar masa C3H8 = 88g masa X = 80g (2.79 bar) (1atm/1.01325bar) = 2.753 atm nt = ((40L * 2.754 atm)/(0.082062 L-atm/mol K) ( 298.15 K)) = 4.502 mol moles de C3H8 = (masa C3H8 / masa molar C3H8) = (88g) (44g/mol) = 2 moles C3H8 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 66 Según Dalton nt = moles C3H8 + moles X moles X = nt – moles C3H8 moles X = 4.502 mol – 2 mol = 2.502 mol X moles X = (masa X/masa molar X) Masa molar X = (masa/moles) = (80g/2.502mol) = 31.98g/mol Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 67 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS “PRIMERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS” . EXAMEN DE QUÍMICA Nivel II Instrucciones: A continuación se le presentan varios cuestionamientos, léalos con atención, resuélvalos y luego marque su respuesta subrayando con TINTA el inciso correspondiente en cada problema. Primera Serie (Cada respuesta correcta 2 puntos) 1. Cierta reacción química tiene como ecuación de velocidad experimental v = k[A]2[B], si la [A] se duplica y la [B] se reduce a la mitad, ¿qué ocurrirá con la velocidad de reacción? a) Se duplica b) Se cuadruplica c) Sigue igual d) Se triplica e) Ninguna 2. Después de cinco períodos de vida media para una reacción de primer orden, ¿qué fracción de reactivo permanecerá? a) 1/5 b) 1/10 c) 1/32 d) 5/2 e) Ninguna 3. Si se observa una línea recta con pendiente negativa al graficar ln[reactivo] contra tiempo, ¿de qué orden es la reacción? a) Orden fraccionario b) Segundo orden c) Orden cero d) Primer orden e) Ninguna 4. Cuando los coeficientes estequiométricos de una ecuación balanceada se multiplican por algún factor, la constante de equilibrio para la nueva ecuación es: a) La constante antigua elevada a la potencia del factor de multiplicación b) La constante antigua multiplicada por el factor de multiplicación c) La constante antigua dividida por el factor de multiplicación d) La constante antigua e) Ninguna Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 68 5. Cuando dos o más ecuaciones químicas se suman para producir una ecuación neta, la constante de equilibrio para la ecuación neta es: a) La adición de las constante de equilibrio b) El cociente de las constantes de equilibrio c) El producto de las constantes de equilibrio d) La diferencia de las constantes de equilibrio e) Ninguna Segunda Serie (Cada respuesta correcta 3 puntos) 6. La presión total para la mezcla de N2O4 y NO2 es 1.5 atm. Si Kp es 6.75 a 25 oC, para el equilibrio NO2(g) N2O4(g) , ¿cuál será la presión parcial de NO2(g) en la mezcla? a) b) c) d) e) 1.097 atm 0.403 atm 0.194 atm 0.660 atm Ninguna 7. ¿Cuál será el voltaje para la celda Pb / Pb+2 // Ag+ / Ag si las concentraciones de los iones plomo y plata son 1.5 M y 0.015 M respectivamente? a) 0.69 V b) 0.93 V c) 1.43 V d) 0.82 V e) Ninguna 8. En una bomba calorimétrica se determina el calor desprendido por la reacción entre aluminio sólido en polvo y oxígeno gaseoso, para formar óxido de aluminio sólido. En experimentos anteriores se determinó que los materiales de la bomba, sin incluir el agua, absorben 63 J por cada 1.00 oC de aumento en la temperatura. Con 0.300 g de aluminio y exceso de oxígeno sellados en la bomba conteniendo 800 g de agua, la temperatura del agua y de su contenido cambia de 21.00 a 23.50 oC después de completar la reacción. ¿Cuál será el calor liberado por mol de aluminio que reacciona? a) b) c) d) e) 767.29 kJ 194.18 kJ 420.00 kJ 113.40 kJ Ninguna Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 69 9. Experimentalmente se ha determinado que ∆Hro para la combustión completa de octano es – 5470.68 kJ / mol. ¿Cuál será ∆Hfo para el octano? a) – 4791.33 kJ b) – 5720.63 kJ c) – 249.95 kJ d) – 285.83 kJ e) Ninguna 10. Una solución acuosa de HClO4 tiene concentraciones molar y molal de 4.36 y 5.36 respectivamente. ¿Cuál será su densidad expresada en g/cc? a) 1.251 b) 1.122 c) 1.300 d) 1.157 e) Ninguna 11. Para un análisis determinado se requieren 225 cc de HNO3 al 30%, con densidad de 1.17 g/cc. ¿Cuántos cc de ácido concentrado, de densidad 1.42 g/cc que contiene 70% de HNO3 en peso, debe diluirse con agua para preparar los 225 cc de la solución requerida? a) 157.50 b) 96.43 c) 67.50 d) 79.45 e) Ninguna 12. ¿Cuál será la energía de activación para una reacción que a 500 oC se completa 50% en 5 minutos, mientras que a 600 oC la misma reacción se completa 50% en 2 minutos? a) b) c) d) e) 13. 22.85 kJ/mol 51.43 kJ/mol 74.28 kJ/mol 37.14 kJ/mol Ninguna Una solución de 0.07265 g de una hormona en 100 mL de solución tiene una presión osmótica de 12.60 mmHg a 21.6 oC. ¿Cuál es la masa molecular de la hormona? a) b) c) d) e) 77.7 521.1 943..1 1060.41 2.32x105 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 70 14. Una solución que contiene cierta cantidad de un compuesto “X” disuelto en 75 g de ácido acético, CH3COOH, se congela a 14.40 Celsius. Otra solución que contiene esta misma cantidad de “X” disuelto en 75 g de ciclohexano hierve a 82.32 Celsius. El punto normal de congelación del ácido acético es 16.60 Celsius y su Kc 3.90 oC/m. El punto normal de ebullición del ciclohexano es 80.74 Celsius. ¿Cuál es el valor para la constante ebulloscópica del ciclohexano? a) b) c) d) e) 15. 2.82 oC/m 2.20 oC/m 1.59 oC/m 0.51 oC/m Ninguna Una solución que contiene 20 g de un soluto que no es volátil en exactamente 1 mol de un disolvente volátil, tiene una presión de vapor de 0.500 atm a 20 Celsius. Se agrega un segundo mol de solvente a la mezcla y la solución resultante tiene una presión de vapor de 0.550 atm a 20 Celsius. ¿Cuál es la presión de vapor del disolvente puro a 20 Celsius? a) 0.20 atm b) 1.05 atm c) 0.61 atm d) 0.44 e) Ninguna Tercera Serie (Cada respuesta correcta 2 puntos) Señale mediante una X en el paréntesis correspondiente, la respuesta correcta para cada uno de los siguientes ejercicios 16. La carga total que transporta una mole de electrones es: a. ( ) 1 Culombio b. ( ) 6,02 x 1023 Culombios c. ( ) 1 Faraday d. ( ) 1 Amperio 17. Cuando una batería de plomo se esta cargando, a. ( ) el dióxido de plomo se consume, b. ( ) el ácido sulfúrico es regenerado c. ( ) el electrodo de plomo se recubre se sulfato d. ( ) el electrodo del electrolito disminuye. 18. En una celda voltaica, el cátodo: a. ( ) siempre es metal puro b. ( ) atrae los iones positivos de la solución electrolítica. c. ( ) puede ser un metal inerte d. ( ) tiene carga positiva Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 71 19. Cuando un acumulador de plomo se está descargando, a. ( ) se regenera el dióxido de plomo b. ( ) se consume el sulfato de plomo c. ( ) se consume el ácido sulfúrico d. ( ) se concentra el electrolito 20. Se desea que el equilibrio se desplace hacia la derecha (productos) para la reacción en fase gaseosa: 2NO + 2 CO N2 + 2 CO2 + 179. 4 kcal Las mejores condiciones son: a. ( ) Temperatura alta y alta presión b. ( ) Baja temperatura y alta presión c. ( ) Temperatura alta y baja presión d. ( ) Temperatura y presión ambientales 21. La reacción de A + B el siempre de reacción. a. b. c. d. P, es de primer orden a A; al duplicarse la concentración de A, ( ) Se duplica ( ) Se triplica ( ) Se reduce ala mitad ( ) Es igual 22. Para la reacción C + 2 D E, se ha obtenido experimentalmente la ley de velocidad v = K [C] [D]. Si las concentraciones de C y D se duplican simultáneamente, la velocidad: a. ( ) Se duplica b. ( ) Se reduce ala mitad c. ( ) Se hace 4 veces mayor. d. ( ) Es igual 23. Un catalizador. a. ( ) afecta un sistema en equilibrio b. ( ) hace que la reacción alcance el equilibrio mas rápido c. ( ) aumenta la energía cinética de los reactivos d. ( ) se puede consumir durante la reacción 24. Una solución de HCI pH = 1, la concentración de la solución debe ser: a. ( ) 2M b. ( ) 0.02 M c. ( ) 0.01 d. ( ) 1 M 25. Para convertir 100 ml de HCI = 1 en otra de pH = 2, es necesario: a. b. c. d. ( ( ( ( ) evaporar 50 ml de agua ) Adicionar 100 ml de agua ) adicionar 900 ml de agua ) Adicionar 0.1 mol de ácido clorhídrico Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 72 26. Señale la formación correcta: a. Ganancia de electrones indica oxidación b. Los iones negativos son atraídos por el cátodo c. Para formar una mol de CI2 se requiere 2 Faraday d. la cantidad corriente no depende del tiempo. e. la resistencia de una solución se mide en amperios 27. la energía de activación de una reacción puede ser disminuida por: a. ( ) disminución de la temperatura b. ( ) adición de un catalizador c. ( ) remoción de los productos a medida que se obtienen. d. ( ) incremento de la presión 28. Para la reacción: 4NH3 (g) + 502(g) 4NO (g) + 6H20(g) La velocidad de desaparición de NH3 es igual a la velocidad de: a. ( ) desaparición de O2 b. ( ) formación de H2 c. ( ) Formación de NO d. ( ) Ninguna de las anteriores 29. Un catalizador: a. ( ) disminuye la energía de activación b. ( ) aumenta la frecuencia de las colisiones c. ( ) produce un efecto de orientación en las moléculas d. ( ) incremente la energía cinética de los reaccionantes 30. En cuál de los siguientes casos, la reacción se acerca más a la completación: a. ( ) Ke = 62,8 b. ( ) Ke = 4 x 102 c. ( ) Ke = 1,2 x 10-5 d. ( ) Ke = 0,03 Cuarta Serie (Cada respuesta correcta 6 puntos) Instrucciones: Lea con atención los siguientes problemas, y luego resuélvalos dejando constancia de todo su procedimiento. 1. Un matraz contiene una mezcla de los compuestos A y B, compuestos que se descomponen mediante cinéticas de primer orden. Las vidas medias son 50.0 minutos para A y 18.0 para B. Si las concentraciones de A y B son iguales al inicio, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que la concentración de A sea cuatro veces la de B? 2. Una tetera de 2.0 L contiene 116 g de una costra formada por residuos de CaCO3 que se han acumulado por hervir agua. ¿Cuántas veces tendría que llenarse la tetera con agua destilada para eliminar todo el sedimento a la temperatura de 25 oC? Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 73 3. Se tienen los siguientes datos para la reacción entre hidrógeno y óxido nítrico a 700 oC: 2H2(g) + 2 NO(g) 2H2O(g) + N2(g) Experimento 1 2 3 [H2] 0.010 0.0050 0.010 [NO] 0.025 0.025 0.0125 Velocidad inicial (M/s) 2.40x10 –6 1.20x10 –6 0.60x10 –6 Determinar la velocidad inicial de la reacción cuando las concentraciones de H2(g) y NO(g) sean de 0.50 M y 0.70 M respectivamente. 4. La presión de vapor del agua pura a 25 oC es 23.76 mmHg y la del agua de mar es 22.98 mmHg. Suponiendo que el agua de mar sólo contiene NaCl, calcule su concentración molal. 5. ¿Cuántos gramos de cloruro de plata precipitarán al añadir suficiente nitrato de plata para reaccionar con 1500 mL de solución de cloruro de bario 0.400 M? Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 74 SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II Por Ing. Alberto Arango Ing. Edgar Gamaliel De León Departamento de Química General Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Química General Universidad de San Carlos de Guatemala Primera Serie 1. Al sustituir en la ecuación de velocidad, v = k[A]2[B], las condiciones del problema, resulta: v = k[2A]2[B/2] , al simplificar conduce a: v = 2k[A]2[B], con lo cual la velocidad se duplica. 2. La vida media es el tiempo necesario para que la concentración de una sustancia se reduzca a la mitad de su valor inicial. Si se inicia con una X cantidad, al cabo del primer período de vida media, la concentración es X/2, al completarse otra vida media, la concentración será (X/2)/2, es decir X/4, que corresponde a la mitad del valor anterior, con esta idea, al cabo de cinco períodos la concentración será X/32, es decir 1/32 del valor inicial. 3. Cuando se traza la figura para logaritmo natural de la concentración de un reactivo contra el tiempo, se obtiene aproximadamente una línea recta con pendiente negativa si la reacción es de primer orden. Para las condiciones del problema, la reacción es de primer orden. 4. La nueva constante será el valor de la constante antigua elevada a la potencia del factor de multiplicación. 5. Al sumar dos o más ecuaciones químicas, el valor de la nueva constante será igual al producto de las constantes de las ecuaciones que se han sumado. Segunda Serie 6. Para el equilibrio: 2NO2(g) N2O4(g) , la presión total es la suma de las presiones parciales de productos y reactivos, es decir: PT = P NO2 + P N2O4 , equivalente a: 1.5 atm = P NO2 + P N2O4 despejando P N2O4 : P N2O4 = 1.5 – P NO2 ecuación 1 La constante de equilíbrio, Kp puede expresarse como: Kp = P N2O4 / (P NO2)2 Al sustituir Kp igual a 6.75 y la ecuación 1 en ésta última expresión se obtiene: 6.75 = (1.5 – P NO2 ) / (P NO2)2 Resolviendo se determina que: P NO2 = 0.403 atm Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 75 7. Para la celda, la reacción balanceada está dada por: Pb + 2 Ag+ Pb +2 + 2 Ag El voltaje para la celda se puede calcular por la relación: Ecelda = Eocelda – ( 0.0591 / n) log ( [Pb +2] / [ Ag +]2 ) Para esta celda de acuerdo a la reacción, el número de moles de electrones es n=2. Con la ayuda de una tabla de potenciales normales de reducción, y los datos de concentración del problema, al sustituir en la ecuación anterior: Ecelda = (0.13 Volt + 0.80 Volt) – ( 0.0591 / 2) log ( [1.5 M] / [ 0.015 M]2 ) Ecelda = 0.82 V 8. La energía total liberada cuando reacciona el aluminio está relacionada por: E total = E absorbida por el agua + E absorbida por el calorímetro Que también puede expresarse como: E total = ( mCpDT ) agua + ( CDT ) calorímetro Para los 0.300 g de aluminio, la energía liberada es: E total =(800 g)(4.184J/g.oC)(23.5 oC – 21.0 oC) + (63 J/1.0 oC)(23.5 oC – 21.0 oC ) E total = 8,525.5 Joules Finalmente, para 1 mol de aluminio: Calor liberado = ( 8,525.5 J/0.300 g Al) x (27.0 g Al / 1 mol Al ) = 767,295 J / mol Equivalentes a : 9. 767.29 kJ / mol Al La combustión completa del octano está expresada como: C8H18 (l) + 25/2 O2 (g) 8CO2 (g) + 9H2O (l) Al consultar en una tabla los valores de DHfo para cada sustancia en la reacción se obtiene: C8H18 (l) + 25/2 O2 (g) 8CO2 (g) + 9H2O (l) X 0 –393.52 kJ/mol –285.83 kJ/mol Para la reacción, ∆Hro está dado por: ∆Hro = [8( –393.52) + 9(–285.83] – ( x + 0 ) Resolviendo, se determina que x = – 249.95 kJ / moln Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 76 10. La densidad de la solución está relacionada con la M y m de la siguiente forma: d = M ( Peso Molecular HClO4 / 1000 + 1 / m ) , al sustituir la información: d = 4.36(100.45 / 1000 + 1 / 5.36 ) = 1.251 g/cc 11. Utilizando la expresión: C1xV1 = C2xV2 Al sustituir: ( 0.70x1.42 g/cc) V1 = (0.30x1.17 g/cc)(225 cc) V1 = 79.45 cc 12. Para dos valores de temperatura diferentes, la relación entre constantes de velocidad y la energía de activación está dada por: ln ( K2 / K1 ) = ( Ea / R )( 1/T1 – 1/T2 ) La vida media de la reacción está dada por: ecuación 1 t ½ = ln 2 / K es decir K = ln 2 / t ½ Para 500 Celsius ( 773.15 Kelvin ): K1 = ln 2 / 5 minutos Para 600 Celsius ( 873.15 Kelvin ): K2 = ln2 / 2 minutos Al sustituir en la ecuación 1: ln [( ln 2 / 2 ) / ( ln 2 / 5 ) ] = ( Ea / 8.314 J/mol.K )( 1 / 773.15 – 1 / 873.15 ) resolviendo se determina que Ea = 51,427.56 J/mol o 51.43 kJ/mol 13. La presión osmótica está dada por: p = MRT , al sustituir la información del problema: (12.60 / 760) atm = M(0.0821 L.atm/mol.K)(294.75 K) M = 6.85109x10 – 4 mol / L Masa molecular = 0.07265 g /[(6.85109x10– 4 mol / L)(0.100 L)] = 1060.41 g/mol 14. Para X disuelto en ácido acético: Tc ácido – Tc solución = mKc Sustituyendo: 16.60 oC – 14.40 oC = m(3.90 oC / m ) m = 0.5641 mol / kg Para X disuelto en ciclohexano: Te solución – Te ciclohexano = mKe ciclohexano Sustituyendo: 82.32 oC – 80.74 oC = (0.5641 mol /kg)(Ke ciclohexano) Finalmente se encuentra: Ke ciclohexano = 2.8 oC / m 15. Para la solución: P vapor solución = (Y solvente )(P vapor solvente ) Y solvente = moles solvente / ( moles solvente + moles soluto ) Considerando x la masa molar del soluto, para 1 mol de disolvente y 20 g de soluto: Y solvente = 1 mol / ( 1 mol + 20 / x ) Para 2 moles de solvente y 20 g de soluto: Y solvente = 2 mol / (2 mol + 20 / x ) Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 77 Las correspondientes presiones de vapor para la soluciones con 1 y 2 moles de solvente son: 0.500 atm = (1 mol / ( 1 mol + 20 / x ))(P vapor solvente ) 0.550 atm = (2 mol / ( 2 mol + 20 / x )) (P vapor solvente ) Resolviendo se determina: P vapor solvente = 0.61 atm Tercera Serie 16. Respuesta “C”. Razonamiento: 1 Faraday de corriente son 96,500 coulumbios y es la carga transportada por 6.022x 1023 electrones equivalente a 1 mol. 17. Respuesta “B”. Razonamiento: el la recarga se produce la siguiente reacción: 2PbSO4 + 2H2O ----- Pb + PbO2 + 2H2SO4 Donde podemos ver la formación del ácido. 18. Respuesta “D”. Razonamiento: Porque el flujo de electrones viene de la oxidación, donde se liberan electrones y estos viajan hacia el cátodo que queda positivo y se produce la reducción. 19. Respuesta “C”. Razonamiento: En la descarga se produce la siguiente reacción Pb + PbO 2 + 2H2SO4 ---- PbSO4 + 2H2O. Podemos observar que a medida que avanza la reacción se consume el ácido. 20. Respuesta “B”. Razonamiento: Al bajar la temperatura la reacción responde en sentido contrario, es decir aumentando la temperatura y esto sucede en la formación de los productos al subir la presión y como la P es proporcional al número de moles, vemos que hay menos moles en los productos y el sistema actúa en sentido contrario entonces se desplaza hacia los productos. 21. Respuesta “C”. Razonamiento: Al ver la ecuación de velocidad para una reacción de primer orden tenemos V= K ( A ) y al duplicar la concentración de duplica la velocidad y por ende el tiempo de reacción disminuye a la mitad. 22. Respuesta “C”. Razonamiento: Basta observar la ecuación y vemos que al duplicarse C y al duplicarse D, la velocidad se cuadriplica. 23. Respuesta “B”. Razonamiento: El catalizar positivo, suministra un camino diferente a la reacción que le permite transcurrir a través de un mecanismo distinto aumentando la velocidad de reacción. 24. Respuesta “D”. Razonamiento: Los pH = 1 es igual [H +] = 10-1= 0.1 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 78 25. Respuesta “A”. Razonamiento: el HCl es ácido pH = -log [ H+] = - log 0.1 = 1. fuerte, se ioniza un 100% por lo tanto 26. Respuesta “C”. Razonamiento: Podemos observar que 2Cl - ---- Cl2(g) + 2e- reacción anódica en la electrólisis del cloruro de sodio en solución acuosa, vemos que se forma 1 mol de Cl 2 cuando en el sistema pasa 2 mol de electrones, equivalente a 2 faraday. 27. Respuesta “B”. Razonamiento: La energía de activación es la energía mínima necesaria para que los reactivos pasen a productos y un catalizador al aumentar la velocidad de reacción disminuya la energía de activación. 28. Respuesta “C”. Razonamiento: Podemos ver la estequiometria de la reacción y va que el amoniaco y el (NO) están en proporción 1 a 1, por lo tanto, la velocidad de desaparición del NH3 es igual a la velocidad de formación de NO 29. Respuesta “C”. Razonamiento: Puesto que el NaOH es una base fuerte, se disocia un 100% la [OH] = 0.1 [H+] = 10-13 = 13. 30. Respuesta “B”. Razonamiento: Al ser la constante de equilibrio grande, en este caso de 400, quiere decir que cuando para la reacción, la mayoría de los reactivos están convertidos a productos. Cuarta Serie 1. La vida media para una reacción de primer orden está dada por la expresión: t ½ = ln 2 / K Para la reacción A: K = ln2 / 50 minutos Para la reacción B: K = ln 2 / 18 minutos La condición establecida es: [A] = 4 [B] Para una reacción de primer orden, la concentración en el tiempo está relacionada por la expresión: Ln ([A]o / [A] ) = K t Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 79 Para la reacción A: ln ([A]o / [ 4 B ] ) = ( ln 2 / 50 ) t ecuación 1 Para la reacción B: ln ([B]o / [ B ] ) = ( ln 2 / 18 ) t ecuación 2 Según el problema, al inicio [A]o = [ B ]o , al sustituir esta relación en la ecuación 2 : ln ([A]o / [ B ] ) = ( ln 2 / 18 ) t ecuación 3 Al resolver el sistema conformado por las ecuaciones 1 y 3, se determina que el tiempo para que la concentración de A sea 4 veces la de B es: t = 56.26 minutos. 2. De una tabla que presenta valores de Kps, se lee para CaCO3 a 25 Celsius: Kps = 8.7x10 – 9 La descomposición del CaCO3, se expresa como: Ca +2 + CO3 – 2 x x = (x)(x) = x2 equivalente a: ( 8.7x10 – 9 )1/2 = x CaCO3 Kps X = 9.3274x10 – 5 mol /L La concentración de CaCO3 en los 2 L, es: ( 116 g CaCO3 / 2 L )( 1 mol CaCO3 / 100.08 g CaCO3 ) = 0.57954 mol / L El número de veces a llenar la tetera con agua destilada es: ( 0.57954 mol / L ) / ( 9.3274x10 – 5 mol /L ) 3. = 6,214 veces En primer lugar se determina la ley de velocidad para la reacción, para lo cual se aplica el método de las velocidades iniciales a la información dada en el cuadro: Relacionando información de los experimentos 1 y 2, se elimina la concentración de NO, lo cual conduce a: 2.40x10 – 6 / 1.20x10 – 6 = (0.010 / 0.0050)x Resolviendo, se obtiene: X = 1 Luego con los experimentos 1 y 3, se elimina la concentración de H2, con lo cual se obtiene: 2.40x10 – 6 / 0.60x10 – 6 = (0.025 / 0.0125 )y ; al resolver : Y = 2 Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 80 Con la información del experimento 1 se obtiene el valor de la constante: 2.40x10 – 6 = K (0.010)(0.025)2 ; al resolver: K = 0.384 De donde, la ley de velocidad es: V = 0.384 (H2 )(NO)2 Al sustituir en la ecuación de velocidad, las concentraciones dadas se determina: V = 0.384 ( 0.50 ) (0.70)2 4. Para la solución: = 0.094 M/s P vapor solución = (Y solvente )(P vapor solvente ) Sustituyendo la información del problema en la ecuación se tiene: 22.98 mmHg = (Y solvente )(23.76 mmHg ) ; Y solvente = 0.9672 Pero también: Y solvente = moles solvente / ( moles solvente + moles soluto ) Como la molalidad está basada en 1 kg de solvente, que en este caso es agua; el equivalente de 1 kg de agua en moles es 55.56 moles de agua. Sustituyendo esta cantidad en la ecuación anterior: 0.9672 = 55.56 mol / (55.56 mol + mol soluto ) ; resolviendo se determina: Moles de soluto ( NaCl ) = 1.88 moles, por consiguiente: m = 1.88 molal 5. La reacción para el proceso es: 2 AgNO3 (ac) + BaCl2 (ac) 2 AgCl (s) + Ba(NO3)2 (ac) 1.5 L x (0.400 mol BaCl2 /1 L) = 0.6 mol BaCl2 Luego, por estequiometría: 0.6 mol BaCl2 x (2 mol AgCl/1 mol BaCl2)(143.4 g AgCl/1 mol AgCl)= 172 g AgCl “ Id y Enseñad a Todos” Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas 2007 . 81