Unidades de medida. El SMD

i
Las magnitudes y su medida
El sistema métrico decimal
M. Dolores Guadalupe Duarte Marinas
José Navarro Cáceres
e-LectoLibris
13 de febrero de 2014
1
Las magnitudes y su medida. El sistema métrico decimal.
La necesidad de medir las cosas es propia del ser
humano. En las pinturas rupestres las proporciones
entre las fuiguras representadas denota una idea de la
medida. A cualquier característica de una cosa que se
pueda medir la denominamos magnitud, por ejemplo
la altura de una persona. La cantidad con la que comparamos la magnitud para medirla se llama unidad
de medida, en el ejemplo anterior será el metro. A la
cantidad de veces que la unidad de medida está contenida en lo que se quiere medir lo denominamos medida, por ejemplo
1, 75
metros.
Para medir las cosas solemos utilizar instrumentos
de medida, como por ejemplo la cinta métrica, un termómetro, una balanza, etc.
Si decimos que el polideportivo más cercano a mi
domicilio está situado a
1500
metros es lo mismo que
decir que está a una distancia de un kilometro y
500 me-
tros. En el primer caso hemos utilizado una sola unidad
para indicar la medida, diremos que está dada en for-
ma incompleja. En el segundo caso hemos utilizado varias, concretamente el
metro y el kilómetro, diremos entonces que la magnitud se expresa en forma
compleja.
A veces hacemos estimaciones, es decir damos la medida de una cosa sin utilizar ningún instrumento, en general se tratará de aproximaciones a la medida real.
Ejemplo 0.1.
Podríamos estimar que la altura del aula
de matemáticas es de
3
metros si la comparamos con
nuestra propia estatura.
¾Sabrías estimar la longitud y la anchura del aula o estancia en la que te encuentras ahora mismo?
2
Desde que tenemos constancia histórica la humanidad ha necesitado de un sistema de medidas
para hacer los intercambios de las cosas. Era muy
común que cada región geográca dispusiera del
suyo propio dándose el caso de que con una misma
palabra se hacía referencia a diferentes medidas, lo
cual suponía en muchas ocasiones conictos en las transacciones mercantiles.
Puedes investigar qué tipos de unidades se utilizan o utilizaban en tu región
preguntándole a las personas mayores.
En París, en el año 1875, se denió lo que se conoce como el sistema
métrico decimal (SMD) que es un sistema que pretendía unicar el sistema
de medidas para todo el mundo. Utiliza los múltiplos y submúltiplos de
10
para indicar las unidades de mayor o menor tamaño de la unidad de medida
respectivamente.
Como unidades de medida se utilizaron
el metro, denido como la diezmillonésima
parte del cuadrante del meridiano terrestre,
y como medida de peso se adoptó el kilo-
gramo, denido a partir del peso de un decímetro cúbico de agua pura bajo ciertas condiciones de temperatura y presión. A partir de
ahí se derivaron otras, dependientes de las
anteriores como son el litro, el área, etc.
Prácticamente todos los países europeos
fueron adoptando el SMD a excepción del
Reino Unido y, como consecuencia por inuencia suya, Estados Unidos. En la actualidad son pocos los países del mundo que no lo
han adoptado. En España, el metro se adoptó como unidad de longitud en 1849.
Países que usan el SMD
3
Medida de la longitud
La unidad de medida para medir longitudes es el metro (m).
Sus múltiplos son:
kilómetro
hectómetro
decámetro
metro
km
hm
dam
m
1000
100
m
10
m
1
m
m
y los submúltiplos son:
metro
m
1
m
decímetro
centímetro
dm
0, 1
milímetro
cm
m
0, 01
mm
0, 001
m
m
Observa que para pasar de una unidad a otra inmediatamente superior hay que dividir por
10
y para pasar
a otra inmediatamente inferior tenemos que multiplicar
por
10.
Ejemplos 0.2.
. 23
. 48
. 17
Comprueba que:
dam=
230 m= 2300 dm,
0, 048 m,
km= 17 000 m= 1 700 000
mm=
Ejemplos 0.3.
cm.
Observa que:
. La expresión 2 hm 7 m dada en forma compleja se transforma en 207 m en
forma incompleja.
. La expresión 3 km 2 hm 6 dm dada en forma compleja se transforma en
3200, 6 m en forma incompleja.
. La expresión 6754, 1 m dada en forma incompleja se transforma en 6 km 7
hm 5 dam 4 m 1 dm en forma compleja.
Ejercicios
1. Completa la siguiente tabla:
km
hm
dam
34
m
cm
mm
4
2. Completa la siguiente tabla:
km
hm
dam
m
cm
mm
2300
3. Investiga en la web qué unidades se utilizan para medir cosas muy
pequeñas o muy grandes (micra, año luz, nanómetro, etc) y busca su
equivalencia con la unidad de medida.
4. Pasa de forma incompleja a compleja:
a)
7845, 21
b)
400, 4
m,
m.
5. Pasa de forma compleja a incompleja:
a)
2
hm
5
cm
b)
4
km
3
dam
6. Calcula
7
mm,
9
m
3
cm,
6 dam + 23 cm.
Medida de la supercie
La unidad de medida para medir supercies es el
2
metro cuadrado (m ).
Sus múltiplos son:
kilómetro
hectómetro
decámetro
metro
cuadrado
cuadrado
cuadrado
cuadrado
2
2
2
km
hm
1 000 000 m2
10 000 m2
2
dam
m
100 m2
1 m2
y los submúltiplos son:
metro
decímetro
dcentímetro
milímetro
cuadrado
cuadrado
cuadrado
cuadrado
2
2
m
dm
1 m2
0, 01 m2
2
2
cm
mm
0, 0001 m2
0, 000001 m2
5
Observa que para pasar de una unidad a otra
100
inmediatamente superior hay que dividir por
y
para pasar a otra inmediatamente inferior tenemos
que multiplicar por
Ejemplos 0.4.
100.
Comprueba que:
. 8 m2 = 800 dm2 ,
. 3, 5 hm2 = 35 000 m2 = 3 500 000 dm2 ,
. 4 m2 = 4 000 000 mm2 .
Para pasar de forma incompleja a compleja las unidades de supercie la
descomponemos en grupos de dos contando desde la coma tanto a la izquierda
como a la derecha y lo escribiremos en una tabla como se indica en el ejemplo
siguiente. A partir de ahí deduciremos fácilmente la expresión compleja.
Supongamos que queremos pasar a compleja la expresión
36 721, 862 m2 ,
la descomponemos en la forma:
hm
2
2
dam
03
luego será:
67
2
2
dm
21
86
m
2
cm
20
3 hm2 67 dam2 21 m2 86 dm2 2 cm2 .
Por el contrario si queremos pasar a incompleja la expresión compleja
6 hm2 7 dam2 13 m2 5 dm2
procedemos a escribirlo
2
hm
2
dam
06
luego será:
07
2
2
dm
13
50
m
60 713, 5 m2 .
Ejercicios
1. Completa la siguiente tabla:
hm
2
dam
2
2
m
dm
2
2
2. Investiga en la web qué unidades se utilizan para medir terrenos como
por ejemplo el área. Haz una tabla en la que aparezca un múltiplo y
un submúltiplo del área y su equivalencia a metros cuadrados.
6
3. Pasa de forma incompleja a compleja:
52 386, 2 m2 .
4. Pasa de forma compleja a incompleja:
12 dam2 7 m2 5 dm2 .
5. He comprado una nca de 198 hectáreas de supercie. ¾Cuánto he
pagado si el metro cuadrado ha costado a
6. Calcula
13 hm2 + 65 m2 .
7. Calcula
1890 m2 + 1, 7 ha.
2, 5
euros?
Medida del volumen
La unidad de medida para medir volúmenes es el metro
3
cúbico (m ).
Sus múltiplos son:
kilómetro
hectómetro
decámetro
metro
cúbico
cúbico
cúbico
cúbico
3
3
3
km
hm
1 000 000 000 m3
1 000 000 m3
3
dam
m
1000 m3
1 m3
y los submúltiplos son:
metro
decímetro
dcentímetro
milímetro
cúbico
cúbico
cúbico
cúbico
2
2
m
dm
1 m3
0, 001 m3
2
2
cm
mm
0, 000001 m3
0, 000000001 m3
Observa que para pasar de una unidad a otra inmediatamente superior hay que dividir por
1000
y para pasar
a otra inmediatamente inferior tenemos que multiplicar
por
1000.
Ejemplos 0.5.
Comprueba que:
. 3 m3 = 3000 dm3 ,
. 3, 5 hm3 = 3 500 000 m3 = 3 500 000 000 dm3 .
Para pasar de forma incompleja a compleja las unidades de volumen
la descomponemos en grupos de tres contando desde la coma tanto a la
7
izquierda como a la derecha y lo escribiremos en una tabla como vemos en
el ejemplo siguiente. A partir de ahí deduciremos la expresión compleja.
Supongamos que queremos pasar a compleja la expresión
25 043, 32
3
m ,
la descomponemos en la forma:
hm
3
3
3
dam
025
luego será:
3
m
dm
043
320
3
cm
25 dam3 43 m3 32 dm3 .
Por el contrario si queremos pasar a incompleja la expresión compleja
5 hm3 21 dam3 456 m3 25 dm3
3
dam
005
021
hm
luego será:
procedemos a escribirlo
3
3
3
m
dm
456
250
5 021 456, 25 m3 .
Ejercicios
1. Completa la siguiente tabla:
hm
3
dam
3
3
m
dm
3
29
2. Pasa de forma incompleja a compleja:
23 495, 56 m3 .
3. Pasa de forma compleja a incompleja:
7 dam3 23 m3 45 dm3 .
4. Calcula
2 dam3 + 395 dm3 .
Medida de la masa
La unidad de medida para medir la masa es el kilo-
gramo ; pero para indicar los múltiplos y submúltiplos lo
hacemos a partir del gramo teniendo en cuenta que
kilogramo equivale a
1000
1
gramos. Como ya se dijo al
principio, equivale a la masa de un decímetro cúbico de agua pura a una
determinada presión y temperatura.
Sus múltiplos son:
8
kilogramo
hectogramo
kg
1000
decagramo
hg
100
g
gramo
dag
10
g
g
1
g
g
y los submúltiplos son:
gramo
decigramo
centigramo
miligramo
g
dg
cg
mg
1
0, 1
g
0, 01
g
0, 001
g
g
Para pasar de una unidad a otra inmediatamente superior hay que dividir
por
por
10 y
10.
para pasar a otra inmediatamente inferior tenemos que multiplicar
Ejemplos 0.6.
Comprueba que:
. 17 dag= 170 g,
. 4 kg= 40 000 dg,
. 7 hg= 700 g= 700 000
Ejemplos 0.7.
mg.
Observa que:
. La expresión 5 kg 8 dag 3 g dada en forma compleja se transforma en 5083
g en forma incompleja.
.
3
La expresión
dag
2
8532
g dada en forma incompleja se transforma en
8
kg
5
hg
g en forma compleja.
Ejercicios
1. Completa la siguiente tabla:
kg
hg
dag
g
cg
mg
56
2. Completa la siguiente tabla:
kg
hg
dag
g
cg
mg
78 000
3. Investiga en la web qué unidad se utiliza para pesar objetos con mucha
masa y busca su equivalencia con la unidad de medida.
9
4. Pasa de forma incompleja a compleja:
a)
86 469, 4
g,
b)
2374, 45
g.
5. Pasa de forma compleja a incompleja:
a)
6
hg
2
cg
1
b)
6
kg
4
dag
mg,
1
g
7
cg.
6. ¾Cuántos kilogramos pesa un camión de
7. Calcula
2
kg
+34
g
+14
5, 34
toneladas?
dag.
Medida de la capacidad
La unidad de medida para medir la capacidad es el
litro.
Sus múltiplos son:
kilolitro
hectolitro
decalitro
litro
kl
hl
dal
l
1000
100
l
10
l
1
l
l
y los submúltiplos son:
litro
l
1
decilitro
dl
l
0, 1
centilitro
cl
l
0, 01
mililitro
ml
l
0, 001
l
Igual que antes para pasar de una unidad a otra inmediatamente superior
hay que dividir por
que multiplicar por
Ejemplos 0.8.
10 y
10.
para pasar a otra inmediatamente inferior tenemos
Comprueba que:
. 21 hl= 2100 l,
. 34 dal= 34 000 cl,
. 4523 ml= 4, 523 l.
10
Ejemplos 0.9.
Observa que:
.
kl
La expresión
8
3
dal
5
l dada en forma compleja se transforma en
8035
l en forma incompleja.
. La expresión 346, 2 l dada
6 l 2 dl en forma compleja.
en forma incompleja se transforma en
3
hl
4
dal
Relación entre capacidad y volumen
El diccionario de la RAE dice que el volumen
es la magnitud física que expresa la extensión
de un cuerpo en tres dimensiones: largo, ancho y
alto, mientras que capacidad la dene como la
propiedad de una cosa de contener otras dentro
de ciertos límites.
Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en
la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad
de volumen).
Se tienen, entre otras, las siguientes equivalencias:
1 m3 = 1000
1 dm3 = 1
litros
litro
1 cm3 = 1
Ejercicios
1. Completa la siguiente tabla:
kl
hl
dal
l
cl
ml
87 463
2. Completa la siguiente tabla:
kl
hl
dal
l
62
3. Pasa de forma incompleja a compleja:
a)
45 167, 3
b)
46, 5
l
dal
4. Pasa de forma compleja a incompleja:
cl
ml
mililitro
11
a)
5
hl
1
b)
2
kl
48 l 12
dal
34
l
dl
5. Un embalse contiene
112
hm
3
de agua. Calcula su capacidad en m
3 y
en litros.
6. ¾A cuántos litros equivalen
2, 4 m3 ?
7. ¾Cuántos litros de agua se precisan para llenar una piscina que tiene
20
metros largo,
10
de ancho y
1, 5
de profundidad?
Medida del tiempo
La unidad de medida para medir el tiempo es el segundo (s).
Sus múltiplos son:
hora
minuto
segundo
h
min
s
3600
s
60
1
s
s
y los submúltiplos son:
segundo
1
s
décima de
centésima de
milésima de
segundo
segundo
segundo
0, 1
s
0, 01
0, 001
s
Veamos algunos ejemplos de cómo pasar de unas
unidades a otras.
Ejemplo 0.10.
Pasa a segundos 2 h 15 min 12 s.
Pasamos a segundos cada una de las unidades y sumamos:
2 · 3600 + 15 · 60 + 12 = 7200 + 900 + 12 = 8112
Ejemplo 0.11.
s.
Expresa en horas minutos y segundos
4580 s.
Primero dividimos 4580 entre 60 y resulta 76 de cociente
(minutos) y 20 de resto (segundos).
Ahora dividimos 76 entre 60 y se obtiene 1 de cociente
(horas) y 16 de resto (minutos).
Luego se tiene que 4580 s= 1 h 16 min 20 s.
s
12
Ejercicios
1. Completa la siguiente tabla:
h
min
s
134
2. Completa la siguiente tabla:
h
min
s
9756
3. Expresa en horas minutos y segundos:
a)
23 450
b)
5040
s,
s.
4. ¾Cuántas horas tiene una semana? ¾Y cuántos minutos? ¾Y cuantos
segundos?
Unidades monetarias
La unidad monetaria en la mayoría de los países europeas, España incluida, es el euro (e).
El euro sólo tiene un submúltiplo que es el cén-
timo de euro (1
e=
100 céntimos). No hay que
confundir múltiplos de euro con las monedas de 2
euros o los billetes de 5, 10, 20, 50, 100, 200 o 500 euros.
Ejemplo 0.12.
Pasa a céntimos de euro 23
e
y
48
céntimos.
Pasamos a céntimos los euros y sumamos:
23 · 100 + 48 = 2300 + 48 = 2340
Ejemplo 0.13.
céntimos.
Expresa en euros y céntimos de euro 5680 céntimos de euro.
Dividimos 5680 entre 100 y resulta 56 de cociente (e) y 80 de resto (céntimos).
Luego se tiene que 5860 céntimos = 56
e
y
80
céntimos.
13
Una moneda de otro país que no sea el euro se
considera en España una divisa, como por ejemplo
el dolar estadounidense o el yen japonés.
Para cambiar una moneda por otra se necesita
saber el cambio ocial que suele cambiar frecuentemente.
Ejercicios
1. Expresa en euros:
a)
45 980
b)
785 432
céntimos,
céntimos.
2. Investiga en la web el cambio ocial de hoy de: el dolar estadounidense,
el yen japonés, la libra esterlina y el peso argentino.
3. ¾Cuántos dolares estadounidenses, yenes japoneses, libras esterlinas y
pesos argentinos son 100
e?
4. Compramos un videojuego cuyo precio es de 52,30
dependiente un billete de 50
ey
otro de 20
e.
e.
Le damos al
¾Cuánto nos devolverá?
Utilizando billetes y monedas de curso legal di una posible forma de
dar el cambio.
5. Vamos a ir de viaje a Suecia. Disponemos para ello de 800 euros para
gastos. Vamos a un banco a cambiarlo por la moneda ocial sueca.
¾Qué y cuánto nos darán?
Ejercicios propuestos
1. En el supermercado A tenemos la siguiente oferta de un refresco:
Llévate 4 botes de 20 centilitros y paga 3. Precio del bote 65 céntimos
de euro.
El supermercado B tiene la siguiente oferta del mismo refresco:
Por la compra de un litro te regalamos un bote de 20 centilitros. Precio
del litro 3 euros
Necesito comprar 12 litros para celebrar un cumpleaños, ¾dónde debo
hacer la compra?, ¾cuánto me gastaré?
14
2. Investiga en la web otras unidades que no son del sistema métrico decimal y que se usan para medir longitudes como por ejemplo la milla
terrestre, la pulgada, la milla náutica, etc. Haz una tabla con sus equivalencias en kilómetros, metros o centímetros según interese.
3. En una película vemos que el velocímetro de un automóvil marca 100
millas por hora. ¾A cuantos km/h circula?
4. El precio del litro de agua en el año 2013 en un determinado municipio
era de 0,001487 euros el litro. Si queremos llenar una piscina que tiene
de largo 15 metros, 8 metros de ancho y 1,4 metros de profundidad,
¾cuánto nos costará?
5. Los incendios forestales quemaron aproximadamente
59 000
hectáreas
en el año 2013 en España. Averigua cuál es la supercie máxima de un
campo de fútbol y calcula cuántos campos de fútbol cabrían aproximadamente en la supercie quemada anterior.