Sistemas de comunicación

Sistemas de comunicación
Práctico 11
Repetidores regenerativos
Cada ejercicio comienza con un sı́mbolo el cuál indica su dificultad de acuerdo a la siguiente
escala: ✦ básica, ★ media, ✷ avanzada, y ✹ difı́cil. Además puede tener un número, como 3.1-4
que indica el número de ejercicio del libro del curso, Communication Systems, 3th. edition.
Bruce A. Carlson.
✦ Ejercicio 1
Considere un sistema de transmisión de pulsos bandabase. Para fijar ideas suponga una señalización polar (±A/2) de duración Ts , con bits equiprobables;
y que el canal cumple las hipótesis habituales con una atenuación L y una
densidad espectral de potencia Gn (f ) = η/2.
El receptor es un filtro pasabajos de ancho de banda BR .
(a) Calcular la probabilidad de error en recepción.
Ahora se agrega un repetidor analógico en la mitad del canal.
(b) Calcular la probabilidad de error en recepción.
Ahora se cambia el repetidor analógico por un repetidor regenerativo en la
mitad del canal. El repetidor regenerativo es constructivamente igual a la etapa
de recepción.
(c) Calcular la probabilidad de error en recepción.
(d) Comparar.
✦ Ejercicio 2
El sistema de la figura trasmite pulsos binarios equiprobables sin retorno a cero.
Los niveles lógicos ‘0’ y ‘1’ corresponden a tensiones +A y −A, de duración T .
El filtro de recepción HR es un pasabajos ideal, de ancho de banda BR .
(a) Dar el nivel de decisión óptimo en el receptor y hallar la probabilidad de
error. Diseñar BR .
(b) Se intercala, en el centro del canal, un repetidor analógico ideal que restituye la señal al nivel que tenı́a a la salida del transmisor. Hallar nuevamente
la probabilidad de error y comparar con (a). Evaluar en qué condiciones
se logra disminuir la probabilidad de error.
(c) Se intercala ahora un regenerador digital, es decir un receptor con filtro
y un transmisor (back to back). Hallar la probabilidad de error en este
nuevo sistema y comparar con (a) y (b).
1
En particular, si llamamos SN RR1 a la relación señal ruido recibida al cabo de
un tramo de canal, estudiar según este parámetro en qué rango el esquema (c)
resulta en una probabilidad de error menor que (b).
★ Ejercicio 3
Repetir el ejercicio 1 con el canal divido en m tramos (m − 1 repetidores).
2
Solución
Ejercicio 1
(a) La probabilidad de error en recepción, en presencia de AWGN, si se tiene
señalización polar, vale:
p
Pe = Q( SN RR )
Se tiene que:
" µ ¶
µ
¶2 #
2
ST
σa2
1
1 1 A
1 −A
A2
2
SR =
=
= (Ra (0) − ma ) =
+
=
|{z}
L
L
L
L 2 2
2
2
4L
=0
NR = ηBR
Ãs
⇒ Pe = Q
(b)
A2
4LηBR
!
Al agregarse un repetidor analógico, se tiene el siguiente esquema:
h(x) / 2
ak
CONF.
L(x)
h(1-x) / 2
g
LPF
L(1-x)
âk
BR
± A/2
V
Repetidor
analógico
donde g = L(x), y como x = 21 , L(x) = L(1 − x) y η(x) = η(1 − x).
a
En este caso, la probabilidad de error Pe1
será igual a:
³p
´
a
Pe1
=Q
SN R1
Calculo SR1 y NR1 :
SR1 =
µ
NR1 = 2BR
A2
4L(x)
η(1 − x) η(x)
g
+
2
2 L(1 − x)
¶
µ
= 2BR
η(x) η(x)
+
2
2
¶
= 2BR η(x)
Entonces:
Ãs
Pea
=Q
A2
8η(x)L(x)BR
!
Ã
=Q
1
A
√ p
2 2 η(x)L(x)BR
3
!
µ√
=Q
SN R1
√
2
¶
(c)
En este caso, el sistema es esquemáticamente de la forma:
h(x) / 2
h(1-x) / 2
ak
CONF.
L(x)
LPF
CONF.
BR
± A/2
L(1-x)
V
± A/2
LPF
BR
âk
V
Repetidor regenerativo
Observamos que la probabilidad de error debida a la primera etapa, Pe1 , y la
debida a la segunda etapa, Pe2 , son las mismas, dado que los sub-sistemas por
separado son idénticos. Lo que se quiere es conocer Ped (probabilidad de error
en recepción al incluir un repetidor regenerativo -digital- ) a partir de Pe1 y
Pe2 . Se observa que habrá equivocación en un sı́mbolo siempre y cuando me
equivoque solamente en uno de los tramos; si se comete una equivocación en
ambos tramos, o en ninguno, el sı́mbolo será recibido sin errores. Entonces, si
el sistema es binario y hay un solo repetidor, se tiene que:
Ped = Pe1 (1 − Pe2 ) + Pe2 (1 − Pe1 ) = Pe1 + Pe2 − 2Pe1 Pe2
2
. Por lo general, Pe1 ¿ 1, y en
Como Pe1 = Pe2 , luego Ped = 2Pe1 − 2Pe1
d
consecuencia Pe ≈ 2Pe1 . El valor de Pe1 es:
Ãs
!
Ã
!
p
A2
A
p
=Q
= Q( SN R1 )
Pe1 = Q
4L(x)η(x)BR
2 L(x)η(x)BR
Entonces:
p
Ped ≈ 2Q( SN R1 )
donde SN R1 es la relación señal a ruido en un tramo.
(d) Primero que nada, comparemos el valor de la probabilidad de error que
se obtiene en el sistema sin repetidores, con la que se obtiene al intercalar
un repetidor analógico,
q para lo cual lo que se deberá comparar es el valor de
√
SN RR con el de SN2R1 :
r
p
SN R1
A
A
⇔ √
≷ p
⇔ Lη ≶ 2L(x)η(x)
2
2 LηBR
2 2L(x)η(x)BR
√
√
√
1 − L−1/2
2( L − 1)
⇔ Lη ≶ 2L1/2 η
⇔
1
≶
⇔ L−2 L+1 ≶ 0 ⇔ ( L−1)2 ≶ 0
−1
1−L
L−1
Como en la última desigualdad el sı́mbolo correcto es >,
q siguiendo el razona√
miento se puede observar que en definitiva SN RR < SN2R1 , y por lo tanto
Pe > Pea .
SN RR ≷
Ahora vamos a comparar la probabilidad de error que se obtiene al intercalar
un repetidor analógico, y la que se obtiene al colocar un repetidor regenerativo:
4
µ√
¶
p
SN R1
√
≷
⇔Q
≷ 2Q( SN R1 )
2
√
√
Sea γ = SN R1 . Asumiendo que γ/ 2 es lo suficientemente grande, se puede
2
1
usar la aproximación para Q(x): Q(k) ≈ √2πx
e−x /2 . Por lo tanto:
Pea
Ped
Pea
=
Ped
=
2
1
√ e−γ /4
πγ
√
2
2
√ e−γ /2
πγ
Luego:
2
Pea
e−γ /4+γ
√
=
Ped
2
2
/2
2
eγ /4
= √
2
Entonces:
2
p
√
eγ /4
Pea
γ2
√
≷
1
⇔
≷
1
⇔
≷ ln( 2) ⇔ γ ≷ ln(4) = 1.2
d
Pe
4
2
Ası́, si γ es mayor que 1.2, o bien SN R1 es mayor que 1.4 dB, se tiene que
Pea > Ped . Esto se cumple generalmente, por lo cual podemos concluir que en
general, la probabilidad de error en un sistema con repetidores regenerativos es
menor que la del mismo sistema con repetidores analógicos.
Intuitivamente, esto se puede ver al notar que dada la forma de Q(x), afecta
mucho más el hecho de multiplicar por un cierto valor el argumento de la función,
que multiplicar la función en sı́ por ese mismo valor.
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