TEMA 1. Métodos directos de resolución de Sistemas de

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TEMA1: Métodos directos de resolución
TEMA 1. Métodos directos de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Nota previa: Para repasar los conceptos básicos se puede consultar la página de la U. D.
Matemáticas
http://www.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Sistemas/index10.htm
1. Repaso de conceptos
1.1. Matrices.
Todo conjunto de mn escalares de un cuerpo conmutativo K ordenado en m filas y n
columnas de la forma
 a11 a12

a
a 22
A   21
 

 a m1 a m 2
 a1n 

 a 2n 
 

 a mn 
recibe el nombre de matriz de m filas y n columnas.
Abreviadamente se denota por A=  a ij  i  1 m, j  1 n .
El término a ij se llama término general de A y designa el elemento que aparece en la fila i
columna j.
El par (m,n) indica el tamaño de la matriz y diremos que A es una matriz de dimensión
mn, o de dimensiones m y n. Escribiremos A  M mn (K).
1.2. Ecuaciones lineales.
Toda ecuación a1x1  a 2 x 2    a n x n  c (), donde a i i  1 n son escalares de un
cuerpo conmutativo K, se denomina ecuación lineal de incógnitas x1 , x 2 , , x n .
Una solución particular de la ecuación () es una n-upla  s1 ,s 2 , ,s n  de escalares que
verifican que a1s1  a 2s 2    a n s n  c .
El conjunto de todas las soluciones de () se llama solución general, conjunto solución o
simplemente solución de la ecuación.
Las ecuaciones lineales de la forma 0x1  0x 2    0x n  c se llaman degeneradas
verificándose que si c  0 no existe solución para la ecuación anterior y diremos que se
trata de una ecuación incompatible, mientras que si c = 0 entonces, cualquier n-upla
 s1 ,s 2 , ,sn 
de escalares es solución, es decir, se trata de una identidad, en este caso la
denominaremos ecuación nula.
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TEMA1: Métodos directos de resolución
1.3. Sistemas de ecuaciones lineales.
Todo conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
a11x1  a12 x 2    a1n x n  b1
a x  a x    a x  b

2n n
2
S   21 1 22 2

a m1x1  a m 2 x 2    a mn x n  b m
recibe el nombre de sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Los elementos a ij  K, i  1 m, j  1 n, son los coeficientes de S.
Los elementos bi  K, i  1 m, son los términos independientes de S.
Los elementos x1 , x 2 , , x n son las incógnitas de S.
Una solución particular de S es una n-úpla  s1 ,s 2 , ,s n  de escalares que es solución de
cada una de las ecuaciones del sistema.
El conjunto de todas las soluciones de S se denomina conjunto solución o solución
general del sistema. Lo designaremos C.
Resolver S es hallar el conjunto solución o solución general C
Si C   (tiene alguna solución) diremos que S es un sistema compatible y será:

Determinado si C es finito

Indeterminado si C es infinito
Si C   (no tiene solución) diremos que S es un sistema incompatible.
El sistema S se puede escribir en forma matricial como S  Ax = b
 a11 a12

a
a 22
S   21
 

 a m1 a m2
 a11 a12

a
a 22
A=  21
 

 a m1 a m 2
 a1n  x1   b1 
   
 a 2n  x 2   b 2 
, donde:

       
   
 a mn  x n   b m 
 a1n 
 x1 
 b1 

 
 
 a 2n 
x
b2 

es la matriz de los coeficientes y b 
y x  2
  
  
 
 
 

 a mn 
 xn 
 bm 
son las columnas de los términos independientes e incógnitas respectivamente.
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1.4. Teorema de Rouché -Frobenius
Dado un sistema S de m ecuaciones lineales con n incógnitas y ecuación matricial Ax = b:
1. Si rg A = rg (A|b) = r, entonces el sistema S es compatible.
a. Si r = n (rango = número de incógnitas) el sistema es compatible determinado,
es decir, el conjunto solución está formado por una única n-upla.
b. Si r < n (rango < número de incógnitas) el sistema es compatible
indeterminado, es decir, existen infinitas n-uplas que son solución de S.
2. Si rgA r g(A|b), entonces el sistema S es incompatible.
2. Métodos directos de resolución de sistemas.
Un método directo de resolver un sistema de ecuaciones lineales es aquél tal que con un
número finito de operaciones se obtendría la solución exacta del sistema, si no fuera por
los errores de redondeo.
En los métodos directos, mediante operaciones elementales en las filas de la matriz
ampliada del sitema (A|b), un sistema S se transforma en otro sistema equivalente (misma
solución) S’ del cual se puede obtener la solución de forma casi inmediata.
Los más conocidos son: El método de eliminación de Gauss, la factorización LU y el
método de Gaus-Jordan.
2.1.Método de eliminación de Gauss
Este es el método más conocido, consiste en transformar, mediante operaciones
elementales en las ecuaciones del sistema, un sistema S de ecuación matricial Ax = b,
en un sistema S’ de forma escalonada o triangular y ecuación Ux = c, cuya resolución
es inmediata.
Diremos que un sistema S’ tiene forma escalonada o es escalonado si es de la forma:
 u11x1  u12 x 2    u1j x j    u1n x n  c1

u 22 x 2    u 2 j x j    u 2n x n  c 2



con (p < n)
S'  
u pj x j    u pn x n  c p

0  c p 1




0  cm

En forma matricial:
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 u11

 0
 0

 
S’  
0

 0
 

 0

u12
u 22
0

u13
u 23
u 33


0
0

0
0


0
0
TEMA1: Métodos directos de resolución
u1j
u2 j
u3 j




u pj
0


0



u1n 
 x   c 
u 2n   1   1 
x
c
u 3n   2   2 
 x   c 
  3   3 
  
u pn     
 x   c 
0  j   p 


     
  x n   cm 
0 



La matriz de coeficientes A se transforma en una matriz U escalonada.
Si A es una matriz cuadrada, se transforma en una matriz U triangular superior. Es
decir, un sistema S’ está en forma triangular o es triangular si es de la forma:
 u11x1  u12 x 2    u1n x n  c1

u 22 x 2    u 2n x n  c 2

S'  


u nn x n  c n
 u11

0
En forma matricial: 


 0
u12  u1n   x1   c1 
   
u 22  u 2n   x 2   c 2 

        
   
0  u nn   x n   c n 
En particular, si A es invertible (sistema compatible determinado), se transforma en
una matriz U triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal
distintos de cero u ii  0 .
En general:
i) El número de filas no nulas de U indica su rango.
ii) La solución del sistema S’ se obtiene por sustitución hacia atrás, desde la última
ecuación hacia la primera del sistema escalonado.
iii)El proceso que transforma A en U es el siguiente: designando por f1, f2,…,fm las
filas de A, transformamos a21 en 0 restando a la segunda fila la primera
multiplicada por
, es decir, f2 f1, de igual modo transformamos a31 en 0
con f3 -
f1, en general, transformamos ap1 en 0 restando a la fila p-ésima la
primera multiplicada por
, es decir, fp -
f1 (para p= 1,…,m). Se obtiene así
una nueva matriz cuya primera columna solo tiene al elemento u11 = a11  0 (a11 se
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denomina pivote). Se procede de igual manera para transformar esta matriz en otra
cuyos elementos por debajo de u22 sean 0 (u22 es ahora el pivote) y así
sucesivamente hasta obtener la matriz escalonada U (los elementos de la diagonal
principal son los pivotes utilizados).
iv) En el desarrollo del apartado anterior se pueden presentar dos problemas:
 Los errores de redondeo se pueden multiplicar si no se elige el pivote
adecuado.
 Un pivote puede convertirse en 0 en el transcurso del proceso.
El denominado pivoteo elimina el segundo problema y contribuye a aumentar la
exactitud de la solución, incluso cuando los uii son todos distintos de 0.
Hay varias estrategias de pivoteo, la más usual es el pivoteo de columna que
explicamos a continuación.
El pivoteo consiste en intercambiar el orden de las ecuaciones de forma que, en
cada columna, el pivote sea el elemento de mayor valor absoluto, es decir,
recolocamos primero las ecuaciones de manera que en la primera columna el pivote
| |≥| | i=2…n, procedemos a la eliminación (hacer 0 por debajo de u11) y, a
continuación, recolocamos las ecuaciones de la 2 a la n de forma que | |≥| |
i=3…n, se procede entonces a la eliminación (hacer 0 por debajo de u22) y así
sucesivamente.
Esta variante del método de Gauss se denomina método de eliminación de Gauss
con pivotación parcial y es la que está implementada en MATLAB con el
operador \ cuando el sistema Ax = b es compatible determinado: x = A\b.
NOTA: Al resolver en MATLAB el sistema Ax = b con el operador \ se debe tener en
cuenta que:
a) Si A es cuadrada A\b proporciona la única solución del sistema, siempre que A
sea invertible, o un aviso de error si no lo es (podría ser incompatible o
compatible indeterminado).
b) Si A no es cuadrada pero rgA = n (nº de incógnitas), A\b es la solución óptima
por mínimos cuadrados.
c) Si rgA = r < n, Matlab ofrece como resultado una única solución aunque el
sistema sea compatible indeterminado.
Recomendación: Estudiar los ejemplos 3.8 y 3.9 (pág. 119-122) del libro Análisis
Numérico y Visualización Gráfica con MATLAB de Shoichiro Nakamura (consultar
bibliografía del curso).
2.2.Método de factorización o descomposición LU
Este método de resolución de un sistema S  Ax = b es consecuencia inmediata de la
reducción de la matriz A a una matriz escalonada U por el método de eliminación de
Gauss.
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El procedimiento, consiste en transformar la matriz A, mediante operaciones
elementales en las filas de la matriz ampliada A|b, en un producto A = LU donde L es
una matriz triangular inferior (mxm) y U es una matriz escalonada (mxn). De esta
forma, el sistema S anterior se escribe:
LUx = b
Haciendo Ux = z, queda el sistema L z= b que por sustitución hacia adelante es de
resolución inmediata y una vez obtenida z, se obtendría x en Ux = z con un
procedimiento análogo de resolución hacia atrás.
 Si no es necesario el pivoteo (intercambio de filas), la matriz U es la resultante de
la eliminación de Gauss y la matriz L = E-1 donde E es la matriz que resulta de
aplicar las mismas operaciones elementales que transforman A en U a la matriz
unidad de orden m, es decir:
Si Ek·Ek-1····E1·A=U, donde Ei son las matrices elementales1 de la reducción de
Gauss y designamos por E = Ek·Ek-1····E1  E·A = U  A = E-1·U, luego:
A = LU, donde L= E-1 y U es la matriz escalonada de la reducción de Gauss.
MATLAB proporciona la descomposición LU, sin pivoteo, de una matriz A
mediante la instrucción
[L,U]=lu(A)
 Si es necesario el intercambio de filas (pivoteo) y conociéramos dichos cambios
antes de aplicar Gauss, podríamos expresar el efecto de los mismos mediante una
matriz P unitaria (los elementos no nulos son 1 y en cada fila hay un único 1 y lo
mismo en cada columna) que es la resultante de aplicar dichos cambios a la matriz
unidad correspondiente (mxm en este caso), entonces PAx = Pb = y se procedería
a la descomposición LU de PA como en el caso anterior, es decir:
PA = LU  Lux =
y haciendo Ux = z, se resolvería,
en primer lugar, Lz =
y, a continuación, Ux = z
MATLAB proporciona la descomposición LU, con pivoteo, de una matriz A
mediante la instrucción
[L,U,P]=lu(A)
Observación: La factorización LU presenta la ventaja de que con las mismas L y U
permite la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que solo difieren en los términos
independientes.
Recomendación: Estudiar el ejemplo 3.12 (pág. 127) del libro Análisis Numérico y
Visualización Gráfica con MATLAB de Shoichiro Nakamura (consultar bibliografía del
curso).
1
Matriz elemental es la que resulta de aplicar una operación elemental a las filas de la matriz unidad
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2.3.Método de Gauss-Jordan
Este método es una variación de la eliminación de Gauss para resolver el sistema Ax =
b siendo A una matriz cuadrada inversible de orden n. Consiste en eliminar también
los elementos que están por encima del pivote a la vez que se escalan las filas para que
el pivote sea la unidad. El pivoteo sigue siendo necesario en este método por las
mismas razones que el método de eliminación de Gauss.
[A| b]  [In | x]
Siendo x la solución del sistema.
Las aplicaciones más usuales de este método son:
i) Cálculo de la matriz inversa
[A| In]  [In | A-1]
ii) Resolución de sistemas en los que solo varían los términos independientes.
Si designamos por B1, B2,···, Bk las columnas de los términos independientes
de los distintos sistemas y S1, S2,···, Sk sus conjuntos soluciones entonces:
[A| B1, B2,···, Bk ]  [In | S1, S2, ····, Sn] si es compatible determinado.
[A| B1, B2,···, Bk ]  [T | S1, S2, ····, Sn] si es compatible indeterminado, siendo
T una matriz unitaria distinta de la unidad.
Recomendación: Estudiar el ejemplo 3.10 (pág. 123) del libro Análisis Numérico y
Visualización Gráfica con MATLAB de Shoichiro Nakamura (consultar bibliografía del
curso).
Ejercicios: Realizar los ejercicios 3.11-3.15 (pág. 139) del libro Análisis Numérico y
Visualización Gráfica con MATLAB de Shoichiro Nakamura (consultar bibliografía del
curso).
2.4.Número de operaciones
 El número de operaciones que se requieren para resolver un problema por el método
2n 3
.
3
 El número de operaciones que se requieren para resolver un problema por el método
de Gauss es del orden de
de Gauss-Jordan es del orden de
4n 3
.
3
2.5.Tipos de matrices
Se dice que una matriz A  M n  K)  es estrictamente diagonal dominante por filas si
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n
a ii >  a ij para i = 1, ..., n.
j1
j i
Una matriz simétrica (A = At) es definida positiva si y solo si xt A x > 0 para
cualquier n-upla x no nula. Lo cual es equivalente a que todos los menores principales
de A sean positivos y también a que todos los valores propios de A sean positivos.
2.6.Teoremas
a) Si A  M n  K  es estrictamente diagonal dominante por filas, entonces det (A) ≠ 0 (A
es regular o no singular). Además, para cualquier sistema Ax = b es aplicable el
método de Gauss sin pivoteo y los cálculos son estables respecto al crecimiento de
errores por redondeo.
b) Si A  M n  K  es definida positiva entonces det (A) ≠ 0. Además, para cualquier
sistema A x = b es aplicable el método de Gauss sin pivoteo y los cálculos son estables
respecto al crecimiento de errores por redondeo.
c) Si A  M n  K  es una matriz para la que es aplicable el método de Gauss sin pivoteo,
entonces puede ser factorizada de la forma LU:
i.
A = LU siendo L triangular inferior con 1 en la diagonal principal, U triangular
superior (forma de Doolittle).
ii.
A = LU siendo L triangular inferior, U triangular superior con 1 en la diagonal
principal (forma de Crout).
2.7.Descomposición de Cholesky
Es un caso particular de la descomposición LU para matrices simétricas definidas
positivas. Se trata de tomar U como la matriz traspuesta de L, es decir: A = L Lt, donde L
es una matriz triangular inferior con sus elementos de la diagonal principal estrictamente
positivos.
La descomposición de Cholesky es única: dada una matriz simétrica definida positiva A,
hay una única matriz triangular inferior L con entradas diagonales estrictamente positivas
tales que A = LLt.
El recíproco también es cierto: si A se puede escribir como LLt para alguna matriz
invertible L, triangular inferior o no, entonces A es simétrica definida positiva.
Se obtiene de esta forma una nueva caracterización de las matrices simétricas definidas
positivas: Una matriz simétrica es definida positiva si y solo si admite una única
factorización de Cholesky.
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Sistemas de la forma Ax = b con A simétrica y definida positiva aparecen a menudo en la
práctica. Por ejemplo, las ecuaciones normales en problemas de mínimos cuadrados
lineales son problemas de esta forma.
La descomposición de Cholesky se utiliza para resolver este tipo de sistemas de
ecuaciones lineales en la misma forma que se usa la descomposición LU genérica. Y es
más eficiente y más estable numéricamente que cualquier otra descomposición LU.
MATLAB proporciona la descomposición de Cholesky mediante la instrucción:
L=chol(A,’lower’)
O bien, chol(A), obteniéndose Lt.
2.8. Matrices dispersas. Matrices tridiagonales. Algoritmo de Crout
Matrices dispersas son aquellas que tienen pocos elementos no nulos frente a los nulos,
por ejemplo, la matriz identidad sería una matriz dispersa. Habitualmente son de gran
tamaño por lo que almacenarlas y tratarlas como matrices normales supone un coste
excesivo.
MATLAB dispone de funciones específicas para estas matrices. Así la función sparse
declara dispersa una matriz, de forma que se almacenan y se opera sólo con los
elementos no nulos. La orden full (A) convierte en llena una matriz declarada
previamente dispersa.
En diversas aplicaciones nos encontramos con sistemas Ax = z donde A es cuadrada y
sus elementos son todos nulos excepto los de la diagonal principal y algunas de las
paralelas a dicha diagonal. Estas matrices se denominan matrices banda.
Un caso particular de matrices banda son las matrices tridiagonales.
Se llama matriz tridiagonal a una matriz con la forma siguiente:
 a11 a12

 a 21 a 22
 0 a 32
A

 
 0
0

0
 0
0

0
a 23 
0
a 33 
0


0  a n 1,n 1
0  a n,n 1
0 

0 
0 

 
a n 1,n 

a n,n 
Para este tipo de matrices hay algoritmos de factorización que simplifican el número
de operaciones a realizar, aprovechando la gran cantidad de ceros que aparecen
siguiendo patrones regulares. Estos métodos son preferibles frente a los que no tienen
en cuenta la tridiagonalidad de la matriz.
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TEMA1: Métodos directos de resolución
Algoritmo de Crout
Sea Ax = z, donde A es cuadrada y tridiagonal. Por comodidad usaremos la notación
 a1 b1 0  0 


 c1 a 2 b2  0 
A   0 c2 a 3  0 


 
  
0 0 0  a 
n

Podemos factorizar A como producto de dos matrices triangulares L y U, donde L es
bidiagonal inferior y U bidiagonal superior de la siguiente forma:
 a1 b1

 c1 a 2
 0 c2

 
0 0

0   l1 0 0
 
0   c1 l2 0
 0    0 c 2 l3
 
    
 a n   0 0 0
0 
b2 
a3

0
 0   1 u1 0

 0   0 1 u 2
 0 · 0 0 1

   
 ln   0 0 0
 0

 0
 0


 1 
Esta factorización es la LU que se obtiene con el método de eliminación de Gauss,
escalando cada fila de la matriz triangular superior para que el pivote sea 1.
Las expresiones que nos dan los elementos de las matrices L y U son:
l1 = a1
ui 
bi
para i  1,, n 1
li
li = ai – ui-1 ci-1 para i = 2,···, n
De esta forma, el sistema tridiagonal Ax = z
bidiagonales:
se transforma en dos sistemas
Ax = z  Lux = z  L(Ux) = z
Haciendo Ux = y, resolvemos primero de manera sencilla e inmediata, por sustitución
hacia adelante o directa, el sistema bidiagonal Ly = z
Seguidamente, por sustitución hacia atrás o regresiva, se resuelve, Ux = y.
MATLAB dispone de la función crout.m que proporciona la solución.
3. Normas de vectores. Normas matriciales. Análisis de errores.
3.1. Normas vectoriales en Rn
Sea x = (x 1, x 2, ··· , x n) Rn . Las normas de vectores más usuales son:
x 1  x1  x 2    x n
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TEMA1: Métodos directos de resolución
1
2

2
   x i  es la norma euclídea. Representa la noción
 i 1

usual de distancia al origen en el plano o espacio tridimensionales en sistemas cartesianos
rectangulares.
2
x2
x

2
x1  x 2    x n
2
n
 máx  x i 
i 1n
3.2. Normas matriciales en M m  n  R 
 
Sea A  a i j  Mm  n  R  , las normas matriciales subordinadas más usuales son:
m
n
A 1  máx  a i j
1 jn
A   máx  a i j
1i m
i 1

j1

2
A 2    Ai, j 
 i, j

1
2

t
Norma espectral: A 2   A A
Todas las normas matriciales subordinadas verifican, además de las propiedades
características de toda norma:
A * 0
A * 0A0
AB *  A *  B *
cA *  c A
*
las siguientes propiedades:
A *    A
A B *  A *  B *
A1  A *
1
*
I *  1 Donde   A es el radio espectral de la matriz A, es decir, el máximo de los valores
absolutos de los autovalores o valores propios de dicha matriz.
La norma espectral es la utilizada por Matlab. Es diferente a la norma previa que se
designa de la misma manera.
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TEMA1: Métodos directos de resolución
3.3. Condicionamiento de una matriz
Hay sistemas de ecuaciones lineales en los que la introducción de pequeños cambios en
los coeficientes, producen grandes cambios en la solución. Se dice que estos sistemas
están mal condicionados.
0.12065x  0.98775y  2.01045
Ejemplo: El sistema 
representa geométricamente la
0.12032x  0.98775y  2.00555
intersección de dos rectas que forman un pequeño ángulo entre ellas y la solución es.
 x  14.84848

 y  0.22170
Si modificamos en una milésima el término independiente de la primera ecuación
0.12065x  0.98775y  2.01145
, entonces la solución cambia a

0.12032x  0.98775y  2.00555
 x  17.87879

 y  0.14743
Y es que, a lo largo del proceso de resolución de una ecuación o un sistema de
ecuaciones, es relativamente sencillo que se puedan producir pequeños cambios en los
coeficientes, debidos a errores de redondeo, que además pasen inadvertidos.
Para comprobar si un sistema está, o no, mal condicionado, se estudia si la matriz de sus
coeficientes está, o no, mal condicionada.
Para averiguar si una matriz cuadrada está mal condicionada estudiaremos dos
procedimientos:
I.
El número de condición de la matriz
Se define el número de condición de una matriz cuadrada A como el escalar:
Cond*(A)= A *  A 1 donde A
*
*
es una norma cualquiera de la matriz A.
Es una medida de la sensibilidad de la solución de un sistema de ecuaciones
lineales a los errores presentes en los datos. Da una indicación de la precisión de
los resultados.
Como consecuencia de las propiedades de la norma y de la propia definición de
número de condición, se verifica:
- Cond(A)  1 A  Mn
-
Cond(A) = cond (A-1) A  Mn
-
Cond(c A) = cond (A) A  Mn , c  0
Se verifican los dos siguientes resultados:
1) A  Mn inversible, b  0 , si se consideran los sistemas:
Ax = b
A  x + x  = b + b
Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 12 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Entonces:
x
x
 cond(A)
TEMA1: Métodos directos de resolución
b
b
2) A  Mn inversible, b  0 , si se consideran los sistemas:
 A + A x + x  = b
Ax = b
Entonces:
x
x + x
 cond(A)
A
A
Por tanto, cuanto mayor sea cond (A) peor será el condicionamiento del sistema.
En el ejemplo anterior, el mal condicionamiento es debido a que Cond2 (A)=
A 2  A 1
2
= cond ([0.12065, 0.98775; 0.12032, 0.98775]) = 6559.8
El sistema A x = b estará tanto mejor condicionado cuanto más próximo a 1 esté
el número de condición cond (A).
Para poder calcular con exactitud la solución de un problema mal condicionado la
precisión de los cálculos ha de ser muy elevada.
II.
Podemos obtener una medida directa de los errores en la resolución de un
problema mal condicionado si dada A y obtenida A-1 mediante los cálculos ocurre
alguna de las siguientes posibilidades:

A  A1 se diferencia notablemente de 1.

A 

AA-1 se aparta de la matriz unidad.

A-1  A -1 
-1  1
es diferente de A.
1
se separa de la matriz unidad de forma más notoria que AA-1.
Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: MÉTODOS MATEMÁTICOS 13