Guía Docente - Tinta Fresca

Con instrucciones
para
PARA EL
DOCENTE
Índice
Cómo es el libro................................................................................. 2
Cómo es la guía docente............................................................... 3
Planificación anual.......................................................................... 4
El enfoque didáctico....................................................................... 6
Capítulo 1 Los números naturales y las operaciones............ 8
Capítulo 2 Ángulos y triángulos.................................................22
Capítulo 3 Los números racionales fraccionarios.................26
Capítulo 4 Cuadriláteros y polígonos.......................................34
Capítulo 5 Operaciones con números fraccionarios...........44
Capítulo 6 Planos y cuerpos.........................................................52
Capítulo 7 Los números racionales decimales......................56
Capítulo 8 Relaciones de proporcionalidad directa............66
Capítulo 9 Medidas.........................................................................72
¿Cómo se usa Mati.net?...............................................................78
Bibliografía.......................................................................................93
Directora de la serie
Liliana Kurzrok
Andrea Novembre
Primaria
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Cómo es el libro
Definiciones y
sistematizaciones
Azul: definiciones.
Anaranjado:
conclusiones.
Secuencias didácticas
Secciones especiales
Aprender
con la calculadora
Actividades para resolver con la calculadora
Actividades de integración
Aprender
con la computadora
Actividades para resolver con la computadora
Aprender
JUGANDO
Actividades para realizar en la carpeta
que integran los temas del capítulo
Juego entre
todos
Juegos para aprender
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Pistas para
resolver los
problemas
Cómo es ...
Cómo es la guía docente
Título del capítulo
Objetivos
NAP
Página del libro
Problemas para resolver
de manera individual
Problemas para
resolver en parejas
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Problemas para resolver
en pequeños grupos
Problemas para
resolver de tarea
Problemas
Problemas para resolver
con toda la clase
Tratamiento de los problemas
Aspectos a considerar
Posibles estrategias de los alumnos
Conclusiones
Posibles intervenciones docentes
Sistematizaciones
Posibles debates
Respuesta
Respuestas de las
actividades
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Actividades
Marzo
Reconocer y usar números naturales.
Explicar las características del sistema
decimal de numeración en situaciones
problemáticas.
Reconocer y usar operaciones entre
números naturales.
Explicar las propiedades de los
números naturales en situaciones
problemáticas.
Lectura y escritura de números.
Problemas para aplicar diferentes
formas de multiplicar.
Estrategias de cálculo.
Estrategias para dividir.
Múltiplos y divisores.
Criterios de divisibilidad.
Leer, escribir y ordenar números naturales. (Páginas 6 y 7)
Resolver problemas aplicando las propiedades de la multiplicación.
(Páginas 8 y 9)
Resolver problemas empleando diversas estrategias de cálculo.
(Páginas 10 a 19)
Encontrar múltiplos y divisores de distintos números naturales.
(Páginas 20 y 21)
Resolver problemas aplicando diferentes criterios de divisibilidad.
(Páginas 22 y 23)
Resolver con la calculadora. (Páginas 24 y 25)
Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 26)
Resolver actividades de integración. (Páginas 27 y 28)
Abril
Reconocer, producir y analizar
figuras geométricas a partir de sus
características.
Analizar afirmaciones acerca de
las propiedades de las figuras y
argumentar sobre su validez.
Copiado y dictado de figuras.
Triángulos: técnicas de
construcción.
Puntos a igual distancia.
Construcción de la mediatriz.
Copiar figuras geométricas usando regla, escuadra, transportador y
compás. (Páginas 30 y 31)
Dar y recibir instrucciones sobre el armado de figuras. (Páginas 32
y 33)
Construir triángulos, a partir de los datos indicados, usando regla y
transportador. (Páginas 34 y 35)
Dibujar puntos a igual distancia de los puntos dados, y construir
mediatrices en segmentos y figuras. (Páginas 36 y 37)
Construir mediatrices y marcar puntos en segmentos y en el plano
dado. (Páginas 38 y 39)
Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 40)
Resolver actividades de integración. (Páginas 41 y 42)
Mayo
Reconocer y usar números
fraccionarios en situaciones
problemáticas.
Identificar y utilizar las operaciones
matemáticas entre números
fraccionarios.
Argumentar sobre la equivalencia
de distintas representaciones y
descomposiciones de un número.
Comparar fracciones y expresiones
decimales a través de distintos
procedimientos, incluyendo la
representación en la recta numérica
e intercalando fracciones entre otros
números.
Números fraccionarios: reparto y
medida.
Fracciones: identificación de las
partes de una fracción, fracción
de una cantidad, equivalencia de
fracciones.
Números fraccionarios y división.
Ubicación en la recta numérica.
Comparación y ordenamiento de
números.
Resolver problemas de reparto. (Páginas 44 y 45)
Resolver problemas de unidades de medida. (Páginas 46 y 47)
Resolver problemas con fracciones. (Páginas 48 y 49)
Resolver problemas con fracciones equivalentes. (Páginas 50 y 51)
Dividir números enteros y fracciones, y ubicar números en las rectas
numéricas dadas. (Páginas 52 y 53)
Comparar y ordenar fracciones. (Páginas 54 y 55)
Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 56)
Resolver actividades de integración. (Páginas 57 y 58)
Junio
Reconocer figuras y cuerpos
geométricos.
Producir y analizar construcciones
considerando las propiedades
involucradas en situaciones
problemáticas.
Describir, comparar y clasificar
cuadriláteros sobre la base de saberes
previos acerca de sus propiedades.
Analizar afirmaciones acerca de
las propiedades de las figuras, y
argumentar sobre su validez.
Construcción de cuadriláteros.
Paralelogramos: técnicas de
construcción.
Construcción con diagonales.
Propiedades de las diagonales.
Paralelogramos: ángulos
interiores, altura y propiedades
constitutivas.
Trapecios.
Polígonos.
Ángulos interiores de los
polígonos.
Aplicación de las propiedades de
los polígonos.
Dibujar cuadriláteros y justificar la validez o invalidez de las
proposiciones dadas. (Páginas 60 y 61)
Construir paralelogramos y redactar instrucciones para dibujarlos.
(Páginas 62 y 63)
Construir figuras a partir de sus diagonales. (Páginas 64 y 65)
Aplicar la propiedad de las diagonales para la construcción de
paralelogramos. (Páginas 66 y 67)
Construir paralelogramos aplicando las propiedades de sus ángulos
interiores. (Páginas 68 y 69)
Construir paralelogramos integrando los conocimientos sobre sus
propiedades constitutivas. (Páginas 70 y 71)
Construir trapecios de acuerdo con los datos dados. (Páginas 72 .
y 73)
Dibujar polígonos a partir de los datos dados. (Páginas 74 y 75)
Analizar polígonos de acuerdo con sus ángulos interiores. (Páginas
76 y 77)
Resolver problemas aplicando las propiedades de los polígonos.
(Páginas 78 y 79)
Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 80)
Resolver actividades de integración. (Páginas 81 a 84)
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Contenidos
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Propósitos
Propósitos
Contenidos
Actividades
Julio
Reconocer y usar números fraccionarios y
explicar sus características en situaciones
problemáticas.
Identificar y utilizar las operaciones
matemáticas entre números fraccionarios.
Suma y resta de números
fraccionarios.
Multiplicación y división por
un número natural.
Multiplicación y división
entre números fraccionarios.
Fracciones y
proporcionalidad.
Cálculo mental.
Sumar y restar fracciones. (Páginas 86 y 87)
Multiplicar y dividir fracciones y números naturales. (Páginas 88 y 89)
Multiplicar fracciones. (Páginas 90 y 91)
Dividir fracciones. (Páginas 92 y 93)
Resolver problemas de relaciones de proporcionalidad directa.
(Páginas 94 y 95)
Resolver problemas aplicando diversas estrategias de cálculo
mental. (Páginas 96 y 97)
Resolver con la calculadora. (Página 98)
Resolver actividades de integración. (Páginas 99 a 102)
Agosto
Identificar puntos en el plano y en tablas.
Reconocer figuras y cuerpos geométricos.
Producir y analizar construcciones
considerando las propiedades
involucradas en situaciones
problemáticas.
Producir y comparar desarrollos planos de
cuerpos argumentando su pertinencia.
Ubicación en el plano.
Cuerpos geométricos.
Características de los cuerpos
geométricos.
Desarrollos planos.
Prismas y pirámides.
Ubicar en planos y tablas utilizando sistemas de referencia. (Páginas
104 y 105)
Construir y clasificar diversos cuerpos geométricos. (Páginas 106 a
109)
Construir cuerpos geométricos a partir de sus desarrollos planos
respectivos. (Páginas 110 a 113)
Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 114)
Resolver actividades de integración. (Páginas 115 y 116)
Septiembre
Reconocer y utilizar números decimales.
Identificar la organización del sistema
decimal de numeración y explicar
sus características en situaciones
problemáticas.
Analizar afirmaciones sobre las relaciones
y propiedades que diferencian los
números naturales de las fracciones y
expresiones decimales.
Comparar expesiones decimales a través
de diversos procedimientos, incluyendo
la representación en la recta numérica e
intercalando fracciones decimales entre
otros números.
Fracciones decimales y
expresiones decimales.
Pasaje de fracción decimal a
número decimal y viceversa.
Estrategias de multiplicación
y división.
Estrategias de cálculo mental.
Expresiones decimales y
medida.
Números decimales y
proporcionalidad.
Representación en la recta
numérica.
Comparación y
ordenamiento de
expresiones decimales.
Resolver problemas con fracciones y expresiones decimales.
(Páginas 118 y 119)
Escribir números decimales como fracciones y viceversa, utilizando
distintos procedimientos. (Páginas 120 y 121)
Multiplicar fracciones y expresiones decimales. (Páginas 122 y 123)
Dividir fracciones y expresiones decimales. (Páginas 124 y 125)
Resolver cálculos con fracciones y números decimales aplicando
diversas estrategias de cálculo mental. (Páginas 126 y 127)
Resolver problemas que relacionan unidades de medida con
expresiones decimales. (Páginas 128 y 129)
Resolver problemas de relaciones de proporcionalidad directa.
(Páginas 130 y 131)
Representar números decimales y fracciones en la recta numérica.
(Página 132)
Resolver con la computadora, en MATI.net. (Páginas 133)
Comparar y ordenar expresiones decimales. (Páginas 134 y 135)
Resolver con la calculadora. (Páginas 136 y 137)
Resolver actividades de integración. (Páginas 139 a 142)
Octubre
Reconocer y utilizar las operaciones
entre números naturales, fracciones
y expresiones decimales, y explicar
sus procedimientos en situaciones
problemáticas.
Explicar las características de las relaciones
de proporcionalidad directa.
Analizar las relaciones entre cantidades
y números para determinar y describir
regularidades en el caso de la
proporcionalidad.
Relaciones de
proporcionalidad directa:
situaciones problemáticas.
Proporcionalidad directa.
Porcentaje.
Diferentes formas de
representación de las
proporcionalidades.
Estrategias de cálculo mental.
Resolver problemas de relaciones de proporcionalidad directa.
(Páginas 144 a 147)
Aplicar el porcentaje para resolver problemas. (Páginas 148 y 149)
Representar las relaciones de proporcionalidad directa a través de
diferentes tipos de gráficos. (Páginas 150 y 151)
Resolver problemas de porcentaje aplicando diversas estrategias de
cálculo mental. (Página 152)
Resolver con la calculadora. (Página 153)
Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 154)
Resolver actividades de integración. (Páginas 155 y 156)
Noviembre - Diciembre
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Planificación anual
Comprender el proceso de la medición
en situaciones problemáticas utilizando
diferentes expresiones para una misma
cantidad.
Analizar y usar reflexivamente distintos
procedimientos para estimar y calcular
medidas en situaciones problemáticas.
Elaborar y comparar distintos
procedimientos para calcular áreas de
polígonos, estableciendo equivalencias
entre figuras de diferente forma.
Analizar la variación del perímetro y el
área de una figura ante una variación en la
longitud de sus lados.
Mediciones y unidades de
medida.
Comparación de medidas.
Perímetro y áreas.
Comparación de perímetro
y áreas.
Áreas de figuras.
Áreas de rectángulos y
triángulos.
Cálculo de áreas.
Áreas de paralelogramos y
trapecios isósceles.
Resolver problemas con diversas unidades de medida. (Páginas 158
y 159)
Comparar varias unidades de medida. (Páginas 160 y 161)
Calcular el perímetro y el área de distintos polígonos. (Páginas 162
y 163)
Comparar los perímetros y las áreas de diversos polígonos. (Páginas
164 y 165)
Calcular y comparar las áreas de triángulos y rectángulos. (Páginas
166 a 171)
Calcular el área de paralelogramos y trapecios isósceles. (Páginas
172 y 173)
Resolver con la computadora, en MATI.net. (Página 174)
Resolver actividades de integración. (Páginas 175 y 176)
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El enfoque didáctico
lo cual puede producir sorpresa. Muchos se preguntarán
cómo es posible que los alumnos resuelvan si antes no se les
explica cómo hacerlo. Esta es una de las riquezas del modelo de
enseñanza y aprendizaje al que adherimos.
¿Qué es un problema?
Y otras, para resolver problemas internos de la matemática.
Por lo tanto, una situación no es un problema por el solo hecho
de tener un texto.
Cuando nos referimos a problemas usados para enseñar
contenidos, no esperamos que los alumnos los resuelvan
completamente, ni con la estrategia más económica o
convencional, ya que, si fuese así, o ya sabían el contenido que
se pretende que aprendan o alguien les dijo previamente cómo
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Un problema es una situación que el alumno, en principio, no
sabe con qué herramienta puede resolver pero tiene recursos
para empezar a hacerlo.
Para ser considerado un problema, una situación tiene que ser
un desafío para el alumno y permitir diversas estrategias de
resolución.
A veces los problemas permiten resolver situaciones externas a
la matemática, como por ejemplo:
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Cuando pensamos en qué queremos que nuestros alumnos se
lleven de las clases de matemática aparecen varias preguntas.
¿Qué significa saber sumar, restar, multiplicar y dividir? ¿Alcanza
con conocer los algoritmos de las operaciones para decir
que los niños saben operar? ¿Saber matemática es saber las
operaciones? ¿Qué queremos que nuestros alumnos sepan
de geometría? ¿Para qué es necesaria la geometría? ¿Para qué
queremos que aprendan las propiedades de las figuras y los
cuerpos?
Antiguamente se consideraba que una persona no era
analfabeta si sabía leer, escribir y operar. Hoy en día sabemos
que eso no alcanza. El mundo que nos rodea es lógica,
razonamiento, deducción y creación. Lo que alcanzaba hasta
ayer, hoy no es suficientes. Un nuevo programa, una nueva
estrategia, el mundo cambia a nuestro alrededor mucho más
rápido que cuando nosotros íbamos a la escuela.
Uno de los objetivos centrales de nuestra enseñanza debe
ser, entonces, que nuestros alumnos sean capaces de razonar,
deducir y crear. Que puedan adaptarse satisfactoriamente a
las circunstancias cada vez más cambiantes. Queremos educar
niños pensantes, capaces de analizar, de resolver situaciones,
de buscar estrategias innovadoras, en síntesis, niños preparados
para afrontar, cuando crezcan, el mundo que los rodea. Pero,
¿cómo lograrlo?
La propuesta didáctica de nuestra serie se basa en la
perspectiva constructivista e interaccionista. Queremos generar
en el aula una actividad de producción de conocimiento
semejante al quehacer matemático, es decir que, a medida que
los alumnos se apropian de los saberes, se apropian también de
los modos de producir esos saberes.
Construir el sentido de un conocimiento no es solo reconocer
las situaciones para las cuales es útil, sino también conocer los
límites de su empleo, es decir, en qué condiciones se cumplen
ciertas propiedades, en qué casos es necesario apelar a otra
técnica o a otro concepto, cómo se relacionan los conceptos
entre sí, cuáles son las formas de representación más útiles para
obtener más información, cómo se controla la coherencia de la
respuesta, cómo se recomienza desde el error.
En los siete libros de la serie, estudiar y aprender matemática es
fundamentalmente “hacer matemática”, construirla, fabricarla y
producirla, como hacen los matemáticos.
Es cierto que ellos tienen muchos conocimientos y recursos,
sin embargo, cuando se les plantea un problema, en primera
instancia no saben cuáles de todos los conocimientos y
recursos les conviene usar, y deben seleccionarlos entre los
muchos que están a su disposición. Esto es lo que proponemos
que hagan los alumnos.
Esta serie plantea problemas, muchos de los cuales no son de
aplicación sino que fueron pensados para enseñar contenidos,
Enfoque didáctico
hacerlo. Sin embargo, es esperable que establezcan relaciones
que el docente luego retomará en una instancia colectiva.
Para que esta actividad sea llevada a cabo con éxito es
necesario estructurar la clase pensando esencialmente en
cuatro momentos diferenciados.
La gestión de la clase
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
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Proponemos una primera instancia de actividad individual por
parte del alumno. En este momento cada uno se enfrenta con
la situación y esboza sus primeras ideas. Puede ser que sean
escasas, cortas y muy poco claras; pero les damos el momento
para que se enfrenten con la situación de análisis y .
la confronten.
La segunda instancia es el de trabajo en pequeños grupos. En
él, los alumnos confrontan sus ideas, comienzan las discusiones
y llegan a los primeros acuerdos.
Es muy importante que, en este momento, no seamos nosotros,
los docentes, los que determinemos si un razonamiento es
correcto o no. Permitamos que piensen solos aunque sus
razonamientos sean erróneos.
Esta interacción entre ellos permite que:
● confronten las respuestas elaboradas individualmente,
● comprendan las divergencias en las estrategias para llegar a
una respuesta,
● comuniquen su método o su solución y lo defiendan,
● comprendan otros procesos, los cuestionen e interpreten,
● identifiquen los procesos trabajados, a menudo de modo no
convencional.
Los alumnos saben que nosotros tenemos más conocimientos
que ellos, por eso a nosotros no nos discutirán tanto como a sus
pares. Es por ello que, en este momento, es importante que nos
mantengamos al margen. Ante las consultas de los alumnos,
es aconsejable contestar con otras preguntas que los hagan
reflexionar. Por ejemplo: “¿pero el enunciado dice…?”, “¿te
acordás cuando vimos…?”, “¿viste lo que hizo…?”, etcétera.
La tercera instancia es la de la discusión colectiva. Cada
pequeño grupo llega a él con una idea, un acuerdo entre los
integrantes del pequeño grupo. Ese acuerdo vuelve a ponerse
en discusión. Se genera entonces un debate. Debatir no
consiste en oponer una opinión a otra sino que exige a todos
aportar argumentos basados en hechos que los demás puedan
constatar. El objetivo de este debate entonces es confrontar
procedimientos y producir conclusiones colectivas.
La cuarta instancia es aquella en la que el docente sintetiza lo
aprendido y pone nombre a las propiedades. En este momento
se establecen las relaciones entre el conocimiento que ha
circulado en clase y el que se pretendía enseñar.
En todo este proceso el docente tiene un rol fundamental. Sus
funciones son:
● elegir y proporcionar los problemas,
● organizar las actividades de los alumnos,
● ayudar a que se hagan cargo de la situación,
● plantear preguntas,
● enseñar a debatir y a justificar,
● moderar en el debate,
● sacar a la luz los razonamientos que pudo ver en los diferentes
grupos, mientras pasaba a mirar lo que iban haciendo,
● gestionar el estudio de los alumnos,
● definir finalmente los nuevos conceptos que los alumnos
fueron construyendo.
El tratamiento del error
Consideramos que se aprende tanto del error como de un
procedimiento correcto. Cometer errores y frustrarse es parte
del aprendizaje. El error, en general, no es falta de estudio
o de atención, sino que revela una forma de pensar y unos
conceptos implícitos que es necesario explicitar para que
se pueda reflexionar sobre ellos para entender por qué se
cometieron. Si se tachan y no se vuelve sobre ellos, el alumno
no sabrá si su error es casual o si sus conocimientos no eran
suficientes o fueron mal aplicados y, seguramente, volverá
a cometerlos. Es necesario explicitar y debatir acerca de los
errores. Cuando en la clase se analiza por qué y dónde se
cometió algún error, se intenta que dicho error no se repita.
La guía docente
Pensamos esta guía para ayudar a los docentes a transitar todos
los momentos de la clase. Aquí encontrarán el análisis de todos
los problemas planteados en los libros con posibles estrategias
de los alumnos, sugerencias de intervenciones docentes a partir
de ellas y las sistematizaciones.
“[el maestro] es aquel que ayuda al alumno a adquirir un poder
aprendiendo a forjar, a comprender y a utilizar instrumentos
matemáticos” .1
Esperamos que los ayude en el desafío diario de enseñar y
aprender.
1 R. Bkouche (1991).
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Capítulo 1
Los números naturales
y las operaciones
Objetivos:
Que los alumnos:
● Operen con números naturales seleccionando el tipo de
cálculo y la forma de expresar los números.
● Argumenten sobre la validez de un procedimiento usando
propiedades de las operaciones.
NAP:
El reconocimiento y uso de la organización del sistema decimal de
numeración.
Problemas 1 a 4
1. a. Treinta y seis millones doscientos sesenta mil
ciento treinta.
b. 81.000.000
c. 3.450.000
2. 4 × 1.000.001; 4,1 millones; 4.101.000; 4.110.000.
3. 2.100.000
4. a. Santa Fé tiene más habitantes con 2,79 millones. Entre Ríos
tiene menos habitantes con 1,02 millones.
b. Córdoba: 2.700.000; Entre Ríos: 1.020.000; Mendoza:
1.410.000; Santa Fe: 2.790.000.
Pida que resuelvan el problema 5 sin hacer las
cuentas. En la puesta en común proponga un
intercambio basado en el análisis de algunos de los cálculos
propuestos, ya que su lectura y no el resultado da información
sobre el número. Por ejemplo:
● 34 × 1.000 + 650 se basa en la cantidad de miles de 34.650.
● 346 × 100 + 50 muestra que el número tiene 346 cienes y 50
unidades.
Solicite que encuentren otros cálculos que den 34.650 y puedan
leerse del número; por ejemplo, 3 × 10.000 + 46 × 100 + 50.
El problema 6 es una aplicación del anterior, por lo que solo
registre formas de escribir el mismo número. Por ejemplo:
● 573.048 = 5 × 100.000 + 7 × 10.000 + 3 × 1.000 + 4 × 10 + 8
● 573.048 = 573 × 1.000 + 48 = 5.730 × 100 + 48
● 573.048 = 57 × 10.000 + 3.048, etcétera.
5. 34.000 + 600 + 50; 34 × 1.000 + 650; 34.000 +
6 × 10 + 5; 3 × 10.000 + 4 × 1.000 + 6 × 100 + 5 × 10;
346 × 100 + 50.
6. a. Está resuelto.
b. 2 × 100 + 7 × 10 + 6; 27 × 10 + 6; 2 × 100 + 76.
c. 4 × 1.000 + 8 × 100 + 7 × 10 + 4; 48 × 100 + 74; 487 × 10 + 4.
d. 2.356 × 10 + 9; 235 × 100 + 69; 23 × 1.000 + 569.
e. 573 × 1.000 + 48; 57 × 10.000 + 3.048; 5 × 100.000 + 73.048.
f. 307 × 1.000 + 216; 30 × 10.000 + 7.216; 3 × 100.000 + 7.216.
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Problemas 5 y 6
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Comience la clase pidiendo que resuelvan los problemas
1 y 2. Plantee luego una puesta en común con
preguntas que provean medios para controlar la escritura de los
números; por ejemplo: ¿Qué miraron para escribir los números?
¿Cuántas cifras tiene el número 2,1 millones?
Arme con los alumnos una lista de las conclusiones para que
quede registrada en las carpetas.
La escritura de las conclusiones es un trabajo valioso, ya que
recoge lo que merece recordarse de un problema y ayuda a
organizar el estudio posterior de los alumnos. Ellos no saben
hacerlo solos, por eso usted debe ayudarlos a aprender a
estudiar, y una de las herramientas necesarias en esta tarea es el
cuaderno o la carpeta. No es posible estudiar con un cuaderno
hermético, lleno de números, sin explicaciones, sin conclusiones
ni ideas para recordar.
Entre las conclusiones deben estar:
● Un millón se escribe 1.000.000 y es el primer número que se
escribe con siete cifras. El último es 9.999.999.
● El primer número que se escribe con 8 cifras es diez millones,
10.000.000 y el último es 99.999.999.
● 2,1 millones es 2 millones + 0,1 millones, que es
2.000.000 + 0,1 millones. Como 0,1 millones es la décima parte
de un millón, es igual a 100.000, la potencia anterior de 10. Por lo
tanto, 2,1 millones se escribe 2.100.000.
● Para ordenar números es conveniente que estén escritos de la
misma forma. 4,1 millones = 4.100.000; 4 × 1.000.001 = 4.000.004.
Pida que resuelvan los problemas 3 y 4 que son aplicaciones
de los anteriores. Haga una breve puesta en común solo si lo
considera necesario.
Capítulo 1
Problema 9
Pida que lean el problema y luego proponga que
analicen lo que hicieron Tatiana y Lazlo. Este tipo de estrategias
deben estar disponibles en los alumnos para operar. Por eso es
imprescindible que las comprendan y escriban en la carpeta las
conclusiones.
● Tatiana se basa en la multiplicación como la suma de varias
veces el mismo número, es decir que 350 × 24 puede pensarse
como la suma de 24 veces 350. Esta suma puede calcularse como
20 veces 350 más 4 veces 350, o sea, 350 × 24 = 350 × 20 + 350 × 4.
● Lazlo descompone 24 en 4 × 6 y, a partir de esto plantea que
350 × 24 = 350 × 4 × 6. Una manera de hacer este último cálculo
es secuencialmente de izquierda a derecha, primero 350 × 4 y el
resultado por 6.
9. Respuesta personal.
Problemas 10, 11 y 12
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
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Problema 7
Antes de que resuelvan el problema aclare la notación
de las potencias de 10 en términos de exponentes. Pida que lean
el lateral y registre en las carpetas varios casos. Por ejemplo:
3​
2​
​10​ = 1.000, ​10​ = 100, etc. Resuelva con la clase cada ítem,
registre las resoluciones y agregue estas conclusiones a la lista
que comenzó a armar en los problemas anteriores.
● Mirando el número se lo puede descomponer en potencias de 10
porque las cifras son los números que multiplican cada potencia.
● Los exponentes van disminuyendo de izquierda a derecha, hasta
llegar al dígito que ocupa el lugar de las unidades que no queda
multiplicado por ninguna potencia de 10.
5
2
7. a. ​10​ ​; 5; ​10​ ​; 10; 3.
6
5
c. 2; ​10​ ​; ​10​ ​; 4; 0; 103; 10.
3
b. ​10​ ​; 0.
Problema 8
En la puesta en común pregunte cómo hicieron
para darse cuenta cuál de los números es el mayor.
Registre por ejemplo:
2
● Como 13 × ​10​ ​+ 4 × 10 + 7 tiene 13 cienes y 1.420 tiene 14 cienes
entonces el segundo es el mayor.
8. 1.420; 43 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 9;
​3
2
5 × ​10 ​+ 2 × ​10​ ​+ 3 × 10 + 4.
Estos problemas aplican las conclusiones elaboradas
en el problema 9. En la puesta en común revise las
diferentes estrategias de resolución y sus explicaciones. Registre
las conclusiones, por ejemplo:
● Multiplicar un número por 7 es lo mismo que sumar ese número
7 veces y, por ejemplo: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 puede resolverse
agrupando los 7 cuatros de diferentes formas, una de esas es:
7 × 4 = (4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4 + 4) = 4 × 2 + 4 × 5
Esta resolución no cambia si se pone otro número en lugar de 4
y entonces la tabla del 7 puede obtenerse sumando la tabla del
2 y la del 5. También como la suma de la tabla del 6 y del 1 o la
del 3 y del 4.
Observe que esta es una manera de deducir algunas tablas a
partir de otras que ya se saben.
● El método de Lazlo tiene sentido cuando el factor que se quiere
descomponer no es primo. Por ejemplo, para resolver 23 × 19 conviene
el método de Tatiana y no el de Lazlo porque ni 23 ni 19 pueden
descomponerse de otra manera que usando los mismos números.
● 38 × 50 = 38 × 5 × 10
● 254 × 11 = 254 × 10 + 254 × 1
● 15 × 124 = 124 × 15 = 124 × 10 + 124 × 5
● 120 × 10 + 120 × 5 + 4 × 10 + 4 × 5 =
120 × 15
+
4 × 15
= 124 × 15
10. Sí, porque un resultado de la tabla del 2 es un
número multiplicado por 2, al sumarle el
correspondiente de la tabla del 5, se suma el mismo número de
antes multiplicado por 5, lo que da ese número 7 veces, por lo
tanto es múltiplo de 7.
11. a. 437
b. 1.900
c. 2.794
12. 124 × 10 + 124 × 5; 15 × 124;
120 × 10 + 120 × 5 + 4 × 10 + 4 × 5.
9
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Problema 13
Este problema aplica lo desarrollado en los
anteriores. Plantee una puesta en común donde se
compartan y discutan las estrategias y explicaciones.
Observe que para resolver 35 × 21, los egipcios
descompusieron el 21 como 21 = 16 + 4 + 1. De esta manera
podría resolverse cualquier multiplicación donde el otro factor
sea una suma o resta de 1, 2, 4, 8 o 16. Por ejemplo:
● 35 × 31 = 35 × 16 + 35 × 8 + 35 × 4 + 35 × 2 + 35 × 1 o;
35 × 12 = 35 × 16 – 35 × 4.
13. a. 35 × 21 = 35 × ( 16 + 4 + 1 ) =
35 × 16 + 35 × 4 + 35 × 1
b. Por ejemplo: 35 × 20; 35 × 31; 35 × 7; 35 × 40.
14. a. 12.480
15. a. 4.752
b. 18.240 b. 988
c. 7.140
c. 44.910
Problema 16
Es una aplicación de los anteriores. En la puesta en
común pida que registren todas las maneras que
aparecen. Por ejemplo:
● 125 × 18 = 125 × 20 – 125 × 2
● 125 × 18 = 125 × 10 + 125 × 8
● 125 × 18 = 100 × 18 + 20 × 18 + 5 × 18
16. Respuesta personal.
Problemas 17 y 18
Estos problemas, llamados de combinatoria o conteo,
constituyen un tipo de situaciones que pueden
resolverse con una multiplicación. Intentarán enumerar los casos,
pero es un método engorroso por lo largo y difícil de controlar.
Otros optarán por agrupar los datos en una tabla o un diagrama
de árbol. Sin embargo, la vinculación con la multiplicación
quedará a su cargo.
● Para el problema 17, un equipo juega con los otros 6 y como hay
7 equipos, la cantidad total de partidos es 7 × 6 = 42.
● En el caso del problema 18, como no se pueden repetir las cifras,
hay 5 posibilidades para el primer dígito del número, 4 para el
segundo, 3 para el tercero, 2 para el cuarto y 1 para el quinto. Se
pueden formar, entonces, 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 números.
● Si los dígitos se pudieran repetir, entonces habría 5 opciones para
cada dígito y se pueden formar 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3.125 números.
17. a. 42 partidos.
b. 14 fechas.
18. a. 5 × 4 × 3 × 2 × 1
b. 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3.125 números.
Problema 19
Es probable que comiencen a pensar el problema 19
haciendo un diagrama de árbol.
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Solicite que resuelvan los problemas y que los
comparen con el 9. Haga una puesta en común.
Pregunte en qué casos conviene usar cada método.
● 520 × 24 = 520 × 20 + 520 × 4 = 52 × 10 × 2 × 10 + 52 × 10 × 4 =
52 × 2 × 10 × 10 + 52 × 4 × 10 = 104 × 10 × 10 + 208 × 10
● 340 × 21 = 340 × 20 + 340 = 34 × 10 × 2 × 10 + 340 =
680 × 10 × 10 + 340
● 24 × 198 = 24 × 200 – 24 × 2 = 4.800 – 48 = 4.752
● 52 × 19 = 52 × 20 – 52 × 1 = 1.040 – 52 = 988
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Problemas 14 y 15
Capítulo 1
que tiene que coincidir con otro.
● Problema 24: La cantidad de posibilidades que hay de elegir 3
sustancias de 5 disponibles es 5 × 4 × 3. Pero en ese caso la elección
A, B y C es distinta de la elección B, A y C. Sin embargo al mezclarlas
se forma la misma sustancia. Como la cantidad de formas de elegir
a A, B y C es 6 (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), la cantidad total de
mezclas será:
5×4×
​ ________
 
  3 
6
20. a. 5 cortes.
21. 120 números.
b. 7 cortes.
22. 3 × 2
23. 125 números capicúas.
24. 10 combinaciones.
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Problema 25
Luego de la resolución plantee una puesta en común. Registre
las conclusiones:
● La cantidad de conejos se duplica cada medio año, empezando
con 2. A los 6 meses hay 4; al año, 8; al año y medio, 16 y a los dos
años, 32 conejos. A los 4 años (8 medios), habrá 512 conejos
(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2).
19. a. 2 años = 32 conejos.
b. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Problemas 20 a 24
4 años = 512 conejos.
Estos problemas pueden resolverse multiplicando.
Si lo cree conveniente, haga puestas en común
intermedias. Si no, haga una sola al final y registre las
conclusiones:
● Problema 20: Por cada corte, se duplican las partes. La cantidad
de partes puede obtenerse multiplicando el número 2 tantas veces
como la cantidad de cortes.
● Problema 21: La cantidad de números de 3 cifras diferentes que
se pueden armar a partir de 6 dígitos es 6 × 5 × 4 = 120.
● Problema 22: Si hay 3 caminos posibles para un tramo y 2 para el
otro, la cantidad total de recorridos es 3 × 2 = 3 + 3 + 3 = 9.
● Problema 23: Para armar un número capicúa se pueden elegir
libremente algunos de sus dígitos porque otros tienen que coincidir
con los primeros. Los números capicúas de 5 cifras tendrán la
forma abcba donde a, b y c pueden ser cualquiera de los dígitos
dados. Habrá entonces 5 × 5 × 5 × 1 × 1 números diferentes. Los
unos se deben a que solo hay una posibilidad para ese número,
Una de las estrategias útiles para que los alumnos
incorporen métodos de cálculo mental es restringir las
posibilidades de uso de algunas técnicas. Recuerde que es
necesario que usen el cálculo pedido y que no pueden resolver
de otra manera. En estos momentos de aprendizaje usted
debe autorizar o desautorizar formas de resolución con fines
didácticos. Proponga un debate en torno de la resolución
del problema y la explicación. Luego de acordar una con los
alumnos, regístrela:
● 125 × 16 = 125 × 8 × 2 = 1.000 × 2 = 2.000
● 250 × 16 = 125 × 2 × 8 × 2 = 125 × 8 × 2 × 2 = 1.000 × 2 × 2 = 4.000
● 125 × 32 = 125 × 8 × 4 = 1.000 × 4 = 4.000
● 375 × 32 = 125 × 3 × 8 × 4 = 125 × 8 × 3 × 4 = 1.000 × 3 × 4 = 12.000
● 250 × 8 = 125 × 2 × 8 = 125 × 8 × 2 = 1.000 × 2 = 2.000
● 1.250 × 80 = 125 × 10 × 8 × 10 = 125 × 8 × 10 × 10 =
1.000 × 10 × 10 = 100.000
● En cada caso, los resultados se modifican de la misma forma que
los factores y los cálculos no resueltos lo muestran.
El análisis de los cálculos muestra otras relaciones. Por ejemplo:
● 250 × 16 es el doble de 125 × 16 porque se duplicó uno de los
factores.
● 125 × 32 es el doble de 125 × 16 porque 32 es el doble de 16.
● 250 × 8 da el mismo resultado que 125 × 16 porque se duplicó el
8 y se tomó la mitad del 250.
Pida que busquen otras relaciones y regístrelas.
25. a. 2.000
d. 12.000
b. 4.000
e. 2.000
c. 4.000
f. 100.000
Problemas 26 y 27
Proponga que resuelvan los problemas entre todos
y, una vez obtenido un acuerdo, registre la resolución en el
pizarrón:
● 24 × 3 = 24 × 2 + 24 ● 24 × 4 es el doble de 24 × 2
● 24 × 5 = 24 × 2 + 24 × 3 ● 24 × 7 = 24 × 3 + 24 × 4
● 24 × 8 es el doble de 24 × 4
● 24 × 9 es el triple de 24 × 3 ● 24 × 12 es el doble de 24 × 6
● 24 × 24 es el doble de 24 × 12
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● 290 × 12 = 145 × 2 × 12 = 145 × 24
● 29 × 120 = 29 × 10 × 12 = 290 × 12 y como, 290 × 12 = 145 × 24,
entonces, 29 × 120 = 145 × 24.
26. a. 72; 96; 120; 144; 168; 192.
b. 216; 288; 432; 480; 576; 1.272.
27. 145 × 24 = 145 × 2 × 12 = 290 × 120
290 × 12 = 29 × 10 × 12 = 29 × 120
29 x 120 = 29 x 5 x 24 = 145 x 24
28. Sí, porque 10 = 5 × 2.
29. 24 × 100 : 2; 125 × 10 : 2; 52 × 100 : 4; 462 × 1.000 : 4.
b. Sí.
30. a. No.
Problemas 31 a 33
Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en
común registre las explicaciones. Por ejemplo:
● Para resolver el problema 31 hay que hacer 157 : 10 y eso se
puede leer en el número porque es la cantidad de dieces que tiene,
es decir, 15 paquetes y sobran 7 caramelos.
● 48.903 : 1.000 tiene por cociente 48 y resto 903.
32. 45 paquetes.
31. 15 paquetes.
33.
División
Cociente
Resto
345 y 10
34
5
7.689 y 10
768
9
7.689 y 100
76
89
División
Cociente
Resto
48.903 y 10
4.890
3
48.903 y 100
489
3
48.903 y 1.000
48
903
Problema 34
En una división, el cociente indica la cantidad de veces
que el divisor está contenido en el dividendo y el resto, lo que
sobra. Entonces, para hallar el dividendo si, por ejemplo, el divisor
es 10, el cociente 42 y el resto 9, hay que hacer 42 × 10 + 9 = 429.
Es decir, el dividendo será 429. Si el divisor fuera 100, el dividendo
sería 42 × 100 + 9 = 4.209. Al cambiar el divisor se obtienen
diferentes dividendos, por ejemplo, 42.009, 420.009, etcétera.
Observe que en este problema el divisor queda a elección de
los alumnos. Algunos se resistirán a hacerlo por no reconocer la
elección arbitraria de un número como algo matemáticamente
aceptable. Si este fuera el caso, aclare que el divisor no es un
dato del problema y es necesario para encontrar el dividendo,
entonces hay que proponer un valor para él para encontrar
todas las posibles soluciones. Es posible que elijan números
diferentes y todos estarán bien. En este caso, la interacción con
los compañeros funciona como un medio para darse cuenta de
que no hay una única respuesta. Pregunte qué pensó cada uno y
aclare que no es necesario que todos completen el cuadro de la
misma manera.
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Pida que resuelvan los problemas. Haga una puesta en
común y registre una respuesta con su explicación.
● Lo que hizo Camilo es correcto porque quería multiplicar por 5
y multiplicó por 10 que es el doble, entonces para llegar al mismo
resultado tiene que dividir por 2, es decir, calcular la mitad.
● 24 × 50 = 24 × 100 : 2 = 24 × 5 × 10
● 462 × 250 = 462 × 200 + 462 × 50 = 462 × 100 × 2 + 462 × 100 : 2
● Multiplicar un número por 12 es sumar ese número 12 veces.
Para eso se puede sumar el número 10 veces, después 2 veces
y por último sumar los resultados. Entonces, multiplicar por 12
es lo mismo que multiplicar por 10 y por 2, y después sumar los
resultados. La afirmación es falsa salvo que el número que se
quiere multiplicar termine en 1. Por ejemplo:
121 × 12 = 120 × 10 + 1 × 2 = 120 × 10 + 2, sin embargo,
123 × 12 = 120 × 10 + 3 × 2 = 120 × 10 + 6.
● Si en una multiplicación se duplica uno de los factores, el
resultado también se duplica. Por ejemplo: 8 × 15 = 2 × 4 × 15,
entonces 8 × 15 es el doble que 4 × 15.
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Problemas 28 a 30
Capítulo 1
Problemas 36 a 38
Estos problemas se resuelven con una división.
Puede hacer una puesta en común al finalizar todos
o luego de cada uno. En todos los casos, pida que brinden
explicaciones. Finalmente, registre las conclusiones.
● Problema 36: Como el resto de la división de 478 por 46 no es cero,
hay personas que no podrían viajar sentadas, por lo que es necesario
agregar un micro que no irá lleno. Es decir, se necesitan 11 micros.
● Problema 37: El cociente y el resto de 549 : 12 son 45 y 9,
respectivamente; entonces, para completar una caja más hay que
agregar 3 huevos más a los 9 que sobran.
● Problema 38: Los años bisiestos hasta 2099 son los múltiplos de 4.
Un año es bisiesto si el resto al dividirlo por 4 es cero. Entonces 2096 es
bisiesto y 2075 no.
36. 11 micros.
37. 3 huevos.
38. a. El año 2096 será bisiesto y el 2075 no.
b. Dividir por 4 y ver si el resto es 0 o no.
Problemas 39 a 41
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34. Por ejemplo:
División
Cociente
Resto
429 y 10
42
9
3.298 y 10
329
8
3.298 y 100
32
98
45.872 y 1.000
45
872
Problema 35
El objetivo de este tipo de consignas es detenerse en
la explicación de los chicos. Si lo considera necesario recuerde
que dividir por 100 es buscar la cantidad de veces que 100 entra
en el número. También puede sugerir que usen billetes.
● Encontrar el cociente de 2.761 : 100 equivale a buscar la cantidad
de billetes de $100 que se necesitan como máximo para pagar
$2.761.Plantee un debate para que los alumnos intenten
expresar con sus palabras una posible explicación. Concluya
que:
● Dividir por 100 es buscar la cantidad de veces que 100 entra en el
dividendo, o sea, cuántos cienes tiene. Como 2.761 tiene 27 cienes
y 61 unidades, el cociente es 27 y el resto 61.
● El cociente y el resto de dividir un número por 100 pueden leerse
en el número.
35. Respuesta personal.
Pida que resuelvan el problema 39 y realice una
puesta en común. Concluya que:
● La cantidad de palomas que Horacio ubicó en las jaulas es 27 × 5 y
como le sobraron 4 palomas, en total tiene 27 × 5 + 4 palomas.
Los problemas 40 y 41 son una aplicación del anterior. Pida que
los resuelvan y registre:
● La cantidad de perlitas que tiene Tatiana es 25 × 12 + 10.
● La cantidad de asistentes al espectáculo es 27 × 24 + 8.
39. 27 × 5 + 4
40. 310 perlas.
41. 656 espectadores.
Problemas 42 y 43
En la puesta en común proponga intercambiar
respuestas y explicaciones. Es necesario que los
alumnos comprendan que el cociente indica la cantidad de
veces que el divisor entra en el dividendo, mientras que el resto
es la cantidad de unidades que se pasa de ese múltiplo del
divisor. Registre, por ejemplo:
● 15 entra 21 veces en el dividendo y sobran 8 unidades, entonces
el dividendo es 15 × 21 + 8. En general resulta que cociente ×
divisor + resto = dividendo.
● Si a 553 se le resta 13, que es el resto, queda el producto entre el
cociente y el divisor. Al dividir este resultado por el cociente se obtiene
el divisor. Por lo tanto, divisor = (553 – 13) : 36 = 15. En general, divisor
= (dividendo – resto) : cociente.
● Una división puede pensarse como un cálculo horizontal. Por
ejemplo, el cálculo 20 × 12 + 8 = 248 significa que al dividir 248 por 20,
el cociente es 12 y el resto 8 o que, al dividir 248 por 12, el cociente es 20
y el resto 8. Esto es así porque 8 es menor que 12 y que 20.
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42. 323. Hay una sola posibilidad.
43. 15. Hay una sola posibilidad.
Problema 44
Este problema es una aplicación de los anteriores. En la
puesta en común, tenga presente que:
● Como el resto de dividir 1.740 por 24 es 12, 1.740 supera a un
múltiplo de 24 por 12 unidades. Entonces, si a 1.740 se le resta 12 o se
le suma 12 (lo que le falta para llegar al próximo múltiplo de 24), el
resto de la división de ese número por 24 es 0. Así, 1.740 – 12 = 1.728
y 1.740 + 12 = 1.752 tienen resto 0 al ser divididos por 12.
● La recta numérica permite visualizar lo recién descripto:
24 × 72
24 × 72 + 12
24 × 73 múltiplo
de 24 siguiente a
24 × 72
● Si se extiende la recta numérica en ambos sentidos puede verse
que si a 1.752 se le suma 24, 48 o cualquier múltiplo de 24, se
obtiene otro múltiplo de 24. Lo mismo sucede si a 1.728 se le resta
un múltiplo de 24.
c. Sí.
d. Sí.
Problemas 45 y 46
Algunos alumnos tal vez usen la relación entre los
elementos de la división, pero es posible que otros
intenten resolverlo por ensayo y error. Haga una puesta en
común y registre:
● Problema 45:
D d
5 12
Como el resto debe ser menor que el divisor, d tiene que ser mayor que
5. Para cada uno de los valores posibles se puede calcular el dividendo
a partir de la relación cociente × divisor + resto = dividendo. Por
ejemplo, si el divisor es 6, el dividendo es 6 × 12 + 5. Si es 7, el dividendo
es 7 × 12 + 5. Hay infinitas divisiones con ese cociente y ese resto. Se
pueden inventar infinitas cuentas con estas características.
● Problema 46:
D 12
10 21
En este caso hay un solo valor posible para el dividendo,
D = 12 × 21 + 10 y, por lo tanto, una sola división.
45. Por ejemplo: 77 dividido 6 o 125 dividido 10. Hay
infinitas posibilidades.
46. 262 dividido 12.
Problemas 47 y 48
Pida que resuelvan los problemas. Comience por
explicar el problema 47 y luego pida que resuelvan el
problema 48 que es muy similar al 44. Registre las conclusiones:
● Al escribir la división entre 315 y 25 como un cálculo horizontal
resulta 315 = 25 × 12 + 15. Si el divisor fuera 12, el resto no puede ser 15
porque es mayor que 12 y es necesario encontrar el nuevo resto:
315 = 25 × 12 + 15 = 25 × 12 + 12 + 3. El primer término indica que
hay 25 doces, al que se le suma un 12 más y quedan en total 26 doces.
Luego, 315 = 25 × 12 + 15 = 25 × 12 + 12 + 3 = 26 × 12 + 3. Como 15
contiene 1 vez a 12, el cociente aumenta en 1 y las 3 unidades que
sobran constituyen el resto.
● Cuando se divide 308 por 25, o por 12, el resto 8 no cambia. Esto
se debe a que 8 es menor que 25 y que 12.
● Hay infinitas divisiones que tienen cociente 25 y resto 12. Para
buscarlas basta poner un divisor cualquiera mayor que 12 y calcular el
dividendo a partir de la relación cociente × divisor + resto = dividendo.
Por ejemplo: 25 × 13 + 12; 25 × 14 + 12, etcétera.
47. a. El 300 viene de hacer 20 × 15. El 75 viene de
hacer 5 × 15.
b. Por ejemplo, 2.512 dividido 100.
c. Sí, hay infinitas posibilidades.
48. Porque en el primer par de cuentas, el cociente y el divisor
de la primera cuenta son mayores que el resto. En cambio, en
el segundo par de cuentas, el resto es mayor que el cociente,
entonces, al intercambiar divisor con cociente, ese número ya
no sirve como resto.
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b. No.
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44. a. Sí.
Capítulo 1
Problema 50
Uno de los errores comunes que comenten los
alumnos cuando resuelven divisiones es que suelen olvidarse
de los ceros que aparecen en el medio de los cocientes. Para
analizar estos errores y poder generar en ellos herramientas de
control es necesario analizar problemas como este. Pida que
lean el problema y que indiquen quién tiene razón. Someta
a discusión el argumento de Tatiana. Observe que para que
este tipo de controles estén disponibles, es necesario que la
multiplicación por la unidad seguida de ceros sea algo habitual.
Concluya que Tatiana tiene razón porque 45 × 23 es 45 veces el 23
que tiene que dar menor que si se consideran 100 veces el 23. Pero
según la cuenta de Lazlo 45 × 23 debería dar 5 menos que 9.320
y eso es imposible porque esa cuenta da menos que 2.300.
Pregunte luego cómo harían para encontrar la cantidad de
cifras que tiene el cociente. Registre que:
● 23 × 100 = 2.300 y 23 × 1.000 = 23.000. Como 9.320 está entre
2.300 y 23.000, entonces el cociente debe estar entre 100 y 1.000 y
por lo tanto es un número de 3 cifras.
50. Tatiana tiene razón.
a. Observa que el dividendo tiene que ser 5 más que
el resultado de la multiplicación entre el cociente y el divisor,
pero ese resultado es menor que otro que es mucho menor que
el dividendo.
b. 3 cifras.
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Problema 49
Los alumnos tienen que tener disponibles distintos
modos de resolver para poder elegir el que les convenga
realizar de acuerdo a los números involucrados. Por ello es
imprescindible que realice un debate respecto a ellos.
Pida que lean las resoluciones de los chicos y que escriban con
sus palabras los pasos que hizo cada uno. Después solicite que
lean lo que escribieron para que sean los compañeros los que
indiquen que les pareció. Finalmente, pida que expliquen los
pasos y que contesten a las preguntas. Por ejemplo:
● Los procedimientos de Tatiana y Juan son similares salvo que
Juan resumió algunas cuentas. Por ejemplo: Tatiana hizo 43 × 50,
43 × 20 y 43 × 10 y Juan hizo directamente 43 × 80.
● Lazlo hizo menos cuentas escritas pero tuvo que haberlas
pensado 181 × 43 = 7.783.
49. a. Sí, porque Juan hace 43 × 80 y eso es lo mismo
que 43 × 50 + 43 × 20 + 43 × 10 = 2.150 + 860 + 430
que es lo que hace Tatiana.
b. Porque Juan puso 80, que los incluye.
c. El 7.783 es el resultado de 181 × 43.
Problemas 51 y 52
Para generar alumnos autónomos conviene que
construyan varias estrategias de control. Por ejemplo,
si pueden analizar cuántas cifras debe tener un cociente antes
de realizar la cuenta, podrán determinar que si en una división
el cociente tenía que tener 3 cifras y les dio 2, cometieron
un error. Pida que resuelvan los problemas. Si lo considera
necesario sugiera que lean el lateral. Registre las conclusiones
luego de la puesta en común.
● Problema 51: El cociente es la cantidad de veces que entra el
divisor en el dividendo. Como 12 × 1.000 = 12.000 y 12 × 10.000 =
120.000, entonces 13.845 está entre 12 × 1.000 y 12 × 10.000. Por lo
tanto, el cociente de 13.845 : 12 está entre 1.000 y 10.000 y tiene 4
cifras. Para la parte b., como 456.987 está entre 1.200 × 100 y
1.200 × 1.000, el cociente está entre 100 y 1.000 y tiene 3 cifras.
● Problema 52: Juliana descompone el dividendo como suma
de números que son divisibles por 25 y cuyos cocientes se pueden
calcular fácilmente. La suma de todos los cocientes es el cociente
final y el sumando que no llega a 25 es el resto.
51. a. 4 cifras. b. 3 cifras
52. a. Producción personal.
b. Producción personal.
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Problemas 53 a 55
Pida que resuelvan los problemas. Para el 53,
sugiera que usen una recta numérica como en el 44.
Finalmente registre los aspectos que merecen ser retenidos.
● Si 350 : 25 tiene cociente 14 y resto 0, entonces 14 × 25 + 0 = 350,
o sea que 14 × 25 = 350. Por lo tanto, 370 = 350 + 20 = 14 × 25 +
20. Como 20 es menor que 25, este último cálculo horizontal puede
interpretarse como una división: al dividir 370 por 25, el cociente es 14
y el resto 20.
15 × 25
14 × 25 + 20
53. 20; 9 y 0.
54. 762 – 25 × 30
55. No.
Problema 56
Importa analizar por qué difieren los resultados
obtenidos cuando las dos resoluciones aparentan ser correctas.
La resolución y la explicación quedarán a su cargo.
● A partir de las dos divisiones es posible escribir los cálculos
horizontales 700 = 9 × 77 + 7 y 47 = 9 × 5 + 2. Con lo cual
747 = 700 + 47 = 9 × 77 + 7 + 9 × 5 + 2 = 9 × 77 + 9 × 5 + 9.
Pero 9 × 77 es la suma de 77 nueves y 9 × 5 la suma de 5 nueves. La
cantidad total de nueves que se suman es 77 + 5 + 1 = 83, o sea que:
9 × 77 + 9 × 5 + 9 = 9 × 83. Por lo tanto, 747 = 9 × 83 y puede leerse
como la división entre 747 y 9, que tiene cociente 83 y resto 0.
El resultado no era correcto porque no se tuvieron en cuenta los
restos. Al sumarlos, se obtiene 9, que es el valor del divisor, lo que
aumenta en 1 al cociente.
56. Le falta sumar los restos, para obtener 9, que
permite dividir el dividendo una vez más por el
divisor y entonces, así, el cociente aumenta en 1.
Problema 57
En la puesta en común pregunte por qué en la parte
a. puede dividirse dos veces por 3 y en la parte b. no.
Registre que esta propiedad es válida cuando las divisiones tienen
resto 0.
706 3
2.120 3
● En este caso:
1 235
2 706
2.120 = 3 × 706 + 2 y, 706 = 3 × 235 + 1. Si en la primera igualdad se
reemplaza 706 por lo que indica la segunda igualdad, resulta que:
2.120 = 3 × (3 × 235 + 1) + 2 = 3 × 3 × 235 + 3 + 2 = 9 × 235 + 5
A partir de la última igualdad se puede decir que al dividir 2.120
por 9, el cociente es 235 y el resto 5, que resulta de multiplicar por 3
el resto de la división 706 : 3 y sumarle el resto de 2.120 : 3.
57. a. Sí.
b. No.
Problema 58
Pida que resuelvan el problema y autorice el uso de
la calculadora. En la puesta en común verifique si se
dieron cuenta de que la diferencia entre los cálculos está en el
orden. Lazlo primero resolvió 128 : 4 y Tatiana primero calculó 4 : 2.
Aclare y registre que cuando se tiene una serie de multiplicaciones y
divisiones hay que resolverlas siempre de izquierda a derecha.
58. No.
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● 359 = 350 + 9 = 14 × 25 + 9, luego, al dividir 359 por 25, el
cociente es 14 y el resto 9.
● Como 14 × 25 + 25 = 375 y 14 × 25 + 25 puede interpretarse como la
suma de 15 veces el número 25, la igualdad puede reescribirse como
15 × 25 = 375. Luego, el resto de dividir a 375 por 25 es 0 y el cociente 15.
● Si la calculadora da 30,48 como resultado de la división 762 : 25,
entonces 25 entra 30 veces enteras en 762. Una forma de calcular
el resto es a través de la cuenta 762 – 30 × 25 = 12. En general,
resto = dividendo – cociente × divisor.
● Para hacer 1.414 : 14 puede descomponerse el dividendo como
1.414 = 1.400 + 14. Como 1.400 : 14 = 100 y 14 : 14 = 1, el cociente de
1.414 : 14 es 100 + 1 = 101. Cuando Carlos dice que el resultado es 11
porque cada uno de los 14 dividido 14 es 1, comete el error de pensar
que el “primer 14” es un 14, cuando en realidad es 1.400.
● Otra forma de pensar el último problema es que como
14 × 100 = 1.400 y 14 × 1.000 = 14.000, el cociente de la división
debe tener 3 cifras y entonces no puede ser 11.
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14 × 25
Capítulo 1
b. 2 × 2 × 2 × 2 × 3
60. a. Se pasa por el 124, pero no por el 453.
b. No se pasa por el 765, pero sí por el 648.
61. La única incorrecta es la d..
62. No es posible, porque 12 = 3 × 4 y todo múltiplo de 12 es
12 × ∆, dónde ∆ es un número natural cualquiera. Entonces
12 × ∆ = 3 × 4 × ∆ y 4 × ∆ es un número natural; por lo tanto el
número es múltiplo de 3.
Problema 63
Proponga discutir sobre cómo resolver este problema.
Finalmente, registre la solución y la explicación acordada.
La cantidad de huevos es un número que tiene que verificar que:
● Es 4 unidades más que un múltiplo de 6.
● Es 4 unidades más que un múltiplo de 12.
● Es 10 unidades más que un múltiplo de 18.
A partir de un listado de números que cumplen las tres condiciones
anteriores se podrá encontrar alguno en común.
Múltiplos de 6 + 4: 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70, 76, 82,
88, 94, 100…
Múltiplos de 12 + 4: 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88, 100, 112, 124, …
Múltiplos de 18 + 10: 28, 48, 64, 72, 90 …
El número buscado puede ser 28 o 64, aunque no son los únicos
valores posibles.
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Problemas 59 a 62
Solicite que resuelvan los problemas. Puede hacer
una puesta en común una vez que los hayan
finalizardo todos, o en otro momento que lo considere
necesario. Registre las conclusiones:
● 48 = 2 × 8 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
● Si se cuenta de 4 en 4 empezando de 0 solo se pasa por los
múltiplos de 4, que son todos pares. Se pasa por 124 porque
124 = 100 + 24, que son dos múltiplos de 4 y, por lo tanto, también su
suma. No se pasa por 453 porque es impar.
● Si se cuenta de 6 en 6 empezando de 0 se pasa por todos los
múltiplos de 6.
● Como 168 es múltiplo de 12, el resto de la división entre 168 y 12
es 0 y la relación entre los valores es 168 = 12 × cociente + 0 = 12 ×
cociente. Luego, 168 es el producto entre 12 y un número natural.
● A partir de la escritura 168 = 12 × 14 puede afirmarse que 168 es
múltiplo de 12 y de 14. Otra forma de decir esto es que el resto de la
división entre 168 y 14 es 0, al igual que el resto de 168 : 12.
● Como 168 = 12 × 14 = 2 × 6 × 14, 168 es múltiplo de 2, de 6 y de
14. Si se escribe a 14 como 2 × 7 y a 6 como 2 × 3, también puede
decirse que 168 es múltiplo de 7 y de 3.
● Todos los números que son múltiplos de 12 también son
múltiplos de 3 porque como pueden escribirse como el producto
entre 12 y un número entero, si se escribe 12 como 3 × 4, también
pueden escribirse como el producto entre 3 y un número entero.
Entonces, el número es múltiplo de 3. Por la misma razón esos
números también serán múltiplos de 4, de 6 y de 2.
59. a. Por ejemplo: 2 × 3 × 8
63. 28 huevos, 64 huevos, etcétera.
Problemas 64 a 67
En la puesta en común de estos problemas céntrese
en la explicación y su escritura. Pida que un grupo
escriba su resolución en el pizarrón y que los demás opinen
sobre ella. Luego registre la versión final.
● Si un número es múltiplo de 24 entonces puede escribirse como
el producto entre 24 y un número natural, o sea 24 × ◊, donde el
símbolo ◊ representa un número natural cualquiera. Pero como
24 = 6 × 4, 24 × ◊ = 6 × 4 × ◊, que es un múltiplo de 6 porque pudo
escribirse como el producto entre 6 y 4 × ◊, que es un número natural.
● Por la misma razón que en el caso anterior, si un número es
múltiplo de 24, también será múltiplo de todos los divisores de 24,
o sea de 2, 3, 4, 6, 8 y 12.
● Si 64 × 35 = 2.240 entonces, 2.240 es múltiplo de 64 y de 35. Además,
el resto de la división entre 2.240 y 35 es 0. También es 0 el resto de
2.240 : 64.
● Como 64 = 8 × 8 y 35 = 7 × 5 entonces 8 × 8 × 7 × 5 =2.240.
Luego, 2.240 es divisible por 7, por 8, por 5, por 56, etc. y el resto de
la división entre 2.240 y cada uno de los valores anteriores es 0.
● Como 24 × 12 + 2 = 8 × 3 × 12 + 2 y 8 × 3 × 12 es múltiplo de 8,
el número 24 × 12 + 2 es un múltiplo de 8 más 2. Entonces tiene
resto 2 si se divide por 8.
● Si el resto de la división entre 364 y 7 es 0, 364 es múltiplo de 7 y puede
escribirse como el producto entre 7 y un número natural, 364 = 7 × 52.
● 365 = 7 × 52 + 1, entonces 365 tiene resto 1 al ser dividido por 7.
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● 434 = 364 + 70 = 7 × 52 + 70, entonces, 434 es múltiplo de 7
porque es la suma de dos múltiplos de 7.
● 364 = 7 × 52 = 7 × 2 × 26 = 14 × 26, entonces, 364 tiene resto 0 al
ser dividido por 14.
● Si 364 = 7 × 52, entonces, 3.640 = 70 × 52 y el resto de la división
entre 3.640 y 70 es 0.
● 364 + 14 = 7 × 52 + 7 × 2 = 7 × 54 = 7 × 3 × 18 = 21 × 18,
entonces, el resto de la división entre 364 y 21 es 0.
● 3.709 = 3.640 + 69. Como 3.640 es múltiplo de 70, entonces el
resto de la división entre 3.709 y 70 es 69.
64. a. Sí, porque 24 = 6 × 4.
b. Por: 2, 3, 4, 8 y 12.
65. Son todas correctas.
66. El resto es 2 porque 24 × 12 + 2 = 8 × 3 × 12 + 2.
c. 6
d. 0
e. 0
f. 0
67. a.1 b. 0
Problema 68
b. Sí.
Problemas 69 a 71
Pida que lean cada problema y genere un debate.
Finalmente proponga que redacten las conclusiones y que las
lean para poder armar una conclusión final que quede clara
para todos. Por ejemplo:
● En el problema 69: Un múltiplo de 7 es 7 × ◊, otro múltiplo de 7
será 7 × •, con ◊ y • números naturales. Al sumar los dos, quedará
una cantidad de 7 sumados más otra cantidad de 7 sumados, en
total tenemos una suma larga de muchos 7, y ese resultado es
múltiplo de 7, (es 7 × (◊ + •)) Lo mismo ocurriría si en lugar de 7
consideráramos otro número natural y por lo tanto, si se suman
dos múltiplos de un mismo número, el resultado también es
múltiplo de ese número.
● En el problema 70: Como un múltiplo de 7 es 7 × •, dónde • es un
número natural, si a esa cuenta se la multiplica por otro número
natural, seguirá siendo 7 por algo y entonces el resultado seguirá
siendo un número natural.
● En el problema 71: Como 1.400, 70 y 28 son múltiplos de 7; 1.498
también es múltiplo de 7 usando las conclusiones del problema 69.
Problemas 72 y 73
Pida que lean lo que dice Juan en el problema 72
y que contesten las preguntas. Observe que en este caso, se
usan las conclusiones anteriores dado que Juan descompone
al número en 3 sumandos, dos de los cuales son múltiplos de 4
porque 1.000 y 100 lo son. Finalmente, para que esa cuenta dé
múltiplo de 4 el último término debería serlo porque si no, no
llega al múltiplo de 4 siguiente. Entonces, Juan podría reescribir
su cuenta como: 5 × 1.000 + 7 × 100 + 32 + 2 y observar que
como los 3 primeros sumandos son múltiplos de 4, 5.734 tiene
resto 2 al dividirlo por 4 y no puede ser múltiplo de 4.
Pida luego que lean lo que hace Lazlo en el problema 73 que
permite reinvertir lo anterior pero con los múltiplos de 3.
Observe en este caso que Lazlo intenta escribir su número con
una descomposición equivalente que tenga términos que son
múltiplos de 3.
Luego del debate, en el momento de la institucionalización,
haga una exposición que analice los criterios de divisibilidad.
Por ejemplo: para decidir si un número es par es posible
descomponerlo analizando la cantidad de dieces que tiene. Por
ejemplo: 75 = 7 × 10 + 5, como cualquier número multiplicado
por 10 es par, la paridad del número estará dada por la última
cifra. Es decir, un número es múltiplo de 2 (par) si termina en
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68. a. Sí.
69. Producción personal.
70. Producción personal.
71. Tatiana puede analizar si cada sumando es múltiplo de 7 o no.
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Pida que resuelvan el problema y que expliquen
sin hacer las cuentas. Luego de la puesta en común
concluya que:
● Si 48 y 93 son múltiplos de 3, cada uno de ellos es el producto
de 3 por un número natural o la suma de una cantidad de veces
3. La suma entre 48 y 93 puede expresarse como la suma de
varias veces 3, luego, también es múltiplo de 3.
● Si dos números son múltiplos de otro, su suma también es
múltiplo de ese número.
Capítulo 1
sea múltiplo de 4, debe serlo, 8 × 10 + 6 = 86. Esta descomposición
puede hacerse con cualquier número, entonces, un número
es múltiplo de 4 si el número de dos cifras formado por los
dos últimos dígitos del número lo es. Pensemos ahora en la
siguiente descomposición: 45.235 = 45 × 1.000 + 235. Como 45
× 1.000 es múltiplo de 8 porque 1.000 lo es, entonces 45.235
es múltiplo de 8 si 235 lo es. En este caso 235 = 29 × 8 + 3,
entonces 45.235 no es múltiplo de 8. Un número es múltiplo
de 8 si el número de tres cifras formado por las últimas cifras
del número lo es.
72. a. Sí, porque 1.000 = 4 × 250 y 100 = 4 × 25.
b. Porque los otros sumandos ya son múltiplos de 4,
al serlo 1.000 y 100.
73. a. Sí, porque 999 = 3 × 333, 99 = 3 × 33 y 9 = 3 × 3.
b. Porque los otros sumandos ya son múltiplos de 3, al serlo
999, 99 y 9.
c. Sí, porque 999, 99 y 9 son múltiplos de 9. En este caso, el
número no es múltiplo de 9 porque 5 + 7 + 3 + 4 = 19.
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Problemas 74 y 75
un número par (0, 2, 4, 6 u 8). En caso contrario, es impar.
Con la misma descomposición puede analizarse que como 7 × 10
es múltiplo de 5 porque 10 lo es, entonces un número es múltiplo
de 5 si la última cifra lo es, es decir si termina en 5 o 0.
Para analizar si un número es múltiplo de 3 se puede realizar lo
siguiente.
4.586 = 4 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 6 = 4 × 999 + 4 + 5 × 99 + 5 + 8 × 9 + 8 + 6
1.000 veces 4 es lo mismo que 999 veces
el 4 y después sumarlo una vez más.
Como 4 × 999, 5 × 99 y 8 × 9 son múltiplos de 3 porque 999, 99
y 9 lo son, entonces el número será múltiplo de 3 siempre que
4 + 5 + 8 + 6 sea múltiplo de 3. Luego: un número es múltiplo de 3
siempre que la suma de sus cifras sea múltiplo de 3.
Con la misma demostración podemos analizar que como
4 × 999, 5 × 99 y 8 × 9 son múltiplos de 9 porque 999, 99 y 9 lo son
entonces el número será múltiplo de 9 siempre que 4 + 5 + 8 + 6
sea múltiplo de 9. Luego: un número es múltiplo de 9 siempre que
la suma de sus cifras sea múltiplo de 9.
Para analizar si un número es múltiplo de 4 se puede observar
la misma descomposición anterior:
7.586 = 7 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 6
1.000 veces 7 es múltiplo de 7 porque
1.000 lo es.
Como 1.000 y 100 son múltiplos de 4, para que el número 7.586
Proponga una puesta en común basada en
la explicación de cada problema. Registre las
conclusiones, por ejemplo:
● Si consideramos el número 5.416, cuyas dos últimas cifras forman
16, que es múltiplo de 4, se puede escribir 5.416 = 54 × 100 + 16.
Como 100 es múltiplo de 4, 54 × 100 es múltiplo de 4 y 5.416 está
formado por la suma de dos múltiplos de 4, entonces es múltiplo
de 4. Luego, el resto de la división entre 5.416 y 4 es 0. El mismo
razonamiento puede realizarse para cualquier otro número que
termine en un número de dos cifras que es múltiplo de 4, porque no
depende de cuáles sean los primeros dígitos.
● Hay números que terminan en 12 y no son múltiplos de 3, por
ejemplo 512. También hay números que terminan en 6 y no son
múltiplos de 6, como 26.
● Para que un número sea múltiplo de 6 tiene que ser múltiplo de
2 y de 3, o sea que tiene que terminar en un dígito par y la suma de
sus cifras tiene que ser múltiplo de 3.
74. a. Sí.
b. No.
c. No.
75. El primero se puede completar con: 2, 5 u 8.
El segundo no es posible completarlo para que sea múltiplo de 2.
El tercero puede completarse de muchas maneras: 1 y 0, 0 y 1, 0
y 4, 4 y 0, 1 y 3, 3 y 1, 2 y 2, 0 y 7, 7 y 0, 1 y 6, 6 y 1, 2 y 5, 5 y 2, 3 y
4, 4 y 3, 1 y 9, 9 y 1, 2 y 8, 8 y 2, 3 y 7, 7 y 3, 4 y 6, 6 y 4, 5 y 5, 4 y 9,
9 y 4, 5 y 8, 8 y 5, 6 y 7, 7 y 6, 7 y 9, 9 y 7, 8 y 8.
Aprender con la calculadora
La gestión de estos problemas depende de la práctica previa
de los alumnos con esta herramienta. Haremos una pequeña
síntesis de las conclusiones de cada uno.
Recuerde que el objetivo de la calculadora es hacer cálculos
en problemas donde hay que reflexionar, para lo que muchas
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veces es necesario ensayar con varias cuentas. Es imprescindible
que los cálculos y sus resultados se registren para poder
reflexionar sobre ellos.
Problema 1
Luego de ingresar un número y una operación, cada
vez que se oprime la tecla igual se repite el cálculo. Por ejemplo, si
ingresan 1 0 , × e = , aparece 100 porque la calculadora
multiplica el resultado anterior por 10. Si se sigue apretando =
seguirá multiplicando por 10. Como consecuencia de esto, los
resultados que se obtienen siempre terminan en 0 porque resultan
de haber multiplicado a 10 por sí mismo varias veces.
1. a. Multiplica por 10.
b. Para que se lea 10.000.000, 6 veces, y para que se
lea 1.000.000.000, 8 veces.
c. No, porque no es una potencia de 10.
Problemas 2 y 3
​  1  ​ + ____
= 2 × 10 + 5 + 4 × ___
​  7   ​  = 25,47
10 100
Al analizar los valores posicionales puede verse que 2 ocupaba
la posición de los miles y pasó a la de los dieces, 5 pasó de la
posición de los cienes a la de las unidades, y así, cada dígito
disminuyó su valor posicional en 2 lugares, que tienen que ver
2
con el número 100, que es​10​ ​y resulta de multiplicar 2 veces 10.
Pida que resuelvan de tarea el problema 3.
2. a. Producción personal. b. Producción personal.
3. : 2; × 4; : 5; × 13; : 1.300.
Problema 4
El resto de una división puede encontrarse a partir
del cálculo dividendo – divisor × cociente. Si la división
se hace en la calculadora, el cociente es la parte entera del
resultado que proporciona (lo que aparece antes de la coma).
4. 3.858 – (321 × 12); 0,5 × 12.
El número que completa el cálculo 34 ×… = 408 es
408 : 34 = 12 porque se busca la cantidad de veces
que 34 entra en 408.
El número que completa el cálculo 120 : … = 15 es 120 : 15 = 8
porque el número que se busca es el que entra 8 veces en 120.
5. 34 × 12 = 408 porque 408 : 34 = 12.
35 × 41 = 1.435 porque 1.435 : 35 = 41.
120 : 8 = 15 porque 120 : 15 = 8.
5.781 : 47 = 123 porque 5.781 : 123 = 47.
42 × 75 = 3.150 porque 3.150 : 42 = 75.
8.820 : 245 = 36 porque 8.820 : 36 = 245.
Problemas 6 y 7
Observe que estos problemas apelan a la
descomposición de las cuentas en otras equivalentes.
Pida que anticipen las cuentas que van a hacer escribiéndolas
en la carpeta. Luego pida que verifiquen, por ejemplo:
● En el problema 6: 45 × 200 = 45 × 100 × 2, entonces falta
multiplicar por 2.
● En el problema 7: 325 × 7.00 = 325 × 7.000 : 10, entonces hay que
dividir por 10.
● En el problema 8: 1.200 × 30 = 1.200 35 – 1.200 × 5, entonces hay
que restarle 1.200 × 5.
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Problema 5
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Si el resultado de una división está formado por los
mismos dígitos del dividendo pero con una coma (si
antes no la tenía) o con la coma en otro lugar, es porque se dividió
un número por una potencia de 10. Una manera de ver por qué
sucede esto es a través de un ejemplo. Para calcular 2.547 : 100 se
puede descomponer el dividendo de la siguiente manera:
2.547 : 100 = (2 × 1.000 + 5 × 100 + 4 × 10 + 7) : 100
= 2 × 1.000 : 100 + 5 × 100 : 100 + 4 × 10 : 100 + 7 : 100
Capítulo 1
Problemas 14 y 15
Estos problemas admiten muchas respuestas
posibles. En la puesta en común pida que digan
varias de ellas y regístrelas en el pizarrón.
14. Respuesta personal.
15. Respuesta personal.
Problema 16
Lazlo quería hacer 5.230 × 50 pero hizo 5.230 × 5.000,
como 5.000 = 50 × 100 para llegar al resultado sin
borrar tiene que dividir por 100.
16. Dividir por 100.
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Respuestas a las actividades de integración
6. Multiplicar por 2 el resultado.
7. Dividir por 10 el resultado.
8. Restarle 1.200 × 5.
9. Hay que hacer la división 3.456 : 15, tomar la parte entera de
ese número, multiplicarlo por 15 y restárselo a 3.456.
Problemas 10 a13
Si a un número se le resta de 6 en 6 y se llega a 0
es porque es múltiplo de 6. Esto se debe a que el
número contiene una cantidad exacta de veces 6.
Si se llega a 1 después de restarle 6 todas las veces que se puede a
un número, es porque el número es 1 unidad más que un múltiplo
de 6. Es decir, el número tiene resto 1 al ser dividido por 6.
En general, si se tiene un número y se le resta 6 tantas veces
como se puede, se llega al resto que tiene ese número al ser
dividido por 6. Lo mismo sucede si se resta otro número en
lugar de 6.
10. a. Respuesta personal.
b. Los múltiplos de 6.
11. a. Respuesta personal.
b. Los múltiplos de 4.
12. a. Respuesta personal.
b. Los números que son los siguientes de los múltiplos de 5. Es
decir, terminan en 1 o 6.
13. a. Un múltiplo de 35.
b. Hay infinitas posibilidades.
1. a. 12
b. $4.250
2. 132 partidos.
3. 261 caramelos.
4. a. Es correcta. 38 × 90 = 38 × (100 - 10) = 38 × 100 - 38 × 10.
b. Es falsa. Por ejemplo: 2 × 100 = 200; 200 - 1 = 199 y
2 × 99 = 198.
c. Es correcta.
d. Es correcta.
5. Multiplicar por 7, por 11 y luego por 13, es lo mismo que
multiplicar por 1.001. Al hacerlo por un número de tres cifras el
resultado es un número cuyas primeras tres cifras es el primer
número y las siguientes tres también lo son, ya que 1.001 =
1.000 + 1.
6. Son correctas: b., c. y d..
7. Por ejemplo: 136, 227 y 2.606. Hay infinitas posibilidades. Se
elige cualquier número, se lo multiplica por 13 y se le suma 6 y
ese es el dividendo.
8. Por ejemplo: 805, 1.085 y 16.005. Hay infinitas posibilidades.
Se elige cualquier número y se lo multiplica por 8 y se le suma 5
y ese es el dividendo.
9. Son correctas: a., b., c., d., f., g. y h..
10. a. Es falsa. Por ejemplo, 10 es divisible por 2 y por 5 y no es
divisible por 7.
b. Es verdadera. Si un número es divisible por 2 y por 5, también
es divisible por 10.
c. Es verdadera porque 12 = 3 × 4.
d. Es falsa. Por ejemplo 9 es múltiplo de 3 y no de 6.
e. Es verdadera porque se está sumando una cantidad de veces
entera el 4.
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Capítulo 2
Ángulos y triángulos
Objetivo:
Que los alumnos copien y construyan figuras a partir de diferentes
informaciones sobre propiedades y medidas, utilizando compás,
regla, transportador y escuadra, evaluando la adecuación de la
figura obtenida.
NAP:
El reconocimiento de figuras y la producción y el análisis de
construcciones, considerando las propiedades involucradas.
Problema 1
Mientras resuelven el problema, si lo considera
necesario, sugiera que lean el lateral de la página 34
donde se recuerda cómo usar el transportador. Debido a las
dificultades que genera el uso del transportador, proponga que
anticipen rangos de medida antes de usar el instrumento de
medición. Por ejemplo, si a simple vista un ángulo es agudo, ante
la duda entre elegir a 70° o a 110° como su medida tendrán que
elegir la primera. Señale que no importa la posición del ángulo
en la hoja, sino la medida.
Lea junto con sus alumnos las instrucciones y
proponga que discutan si lo que dice Lazlo es correcto o no.
Finalmente explique por qué la construcción es correcta.
A
S
B
T
C
Como los puntos M y N están en la misma
circunferencia con centro en B, están a la
misma distancia de B. Luego, el triángulo
BMN es isósceles.
Las instrucciones sirven entonces para
copiar el triángulo y el ángulo TBS mide lo
mismo que el ABC.
3. Construcción.
4. Copiado.
5. a. Copiado.
b. Se pueden calcar y superponer las figuras para asegurarse de
que son iguales.
6. Tiene que darle instrucciones como las del problema 2.
Problema 7
Este problema analiza la posible ambigüedad de las
instrucciones. Como el segmento perpendicular a ​
__
AB​ y el ángulo pueden hacerse en diferentes sentidos con estas
instrucciones pueden obtenerse diferentes dibujos, por ejemplo:
2. Construcción. Son iguales porque la distancia
entre dos puntos es la misma.
C
A
D
B
C
Problemas 3 a 6
Son aplicaciones de los anteriores. En la puesta
en común pida que cuenten cómo hicieron para
copiar cada figura y por dónde eligieron empezar. Pregunte si
tomaron esa decisión al comienzo o si probaron caminos que
no sirvieron. Analice los intentos fallidos intentando explicar
por qué no sirvieron.
A
B
D
7. a. Construcción.
b. Podemos dibujar a D a la derecha o a la izquierda
por lo que quedan varias posibilidades.
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Problema 2
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En el problema 6 pida a un grupo que lea las instrucciones para
que la clase opine sobre ellas. Pueden hacer propuestas de
cambios para discutir hasta acordar un mensaje que registrarán
luego en las carpetas.
1. Copiado.
Capítulo 2
está más alejado de N.
Unir M con N, N con P, P con Q y Q con M. MNPQ es la figura
buscada.
11. Copiado.
10. Copiado.
12. Falta analizar los ángulos o copiar los triángulos que
quedan al trazar una diagonal.
Problemas 13 y 14
Si es necesario, antes de comenzar, recuérdeles cómo
construir un triángulo usando transportador, regla
y compás. Pida que resuelvan el problema 13. En la puesta en
común, recuerde y registre:
● No se puede construir un triángulo que tenga un ángulo de 80°
y otro de 120°, porque 80° + 120° = 200° y la suma de los 3 ángulos
de un triángulo es 180°.
Pida que lean el problema 14, discútalo con ellos y registre:
● Como 30° + 120° + 30° = 180°, entonces se puede construir un
triángulo con ángulos de las medidas dadas.
● Como 70° + 20° + 40° = 130°, faltan 50° para poder construir un
triángulo. Ellos pueden distribuirse de diferentes maneras.
● En el tercer caso sobran 5°, que pueden sacarse de distintas formas.
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Problemas 8 a 12
El objetivo de estos problemas es, además de practicar
el copiado, discutir sobre la escritura de un mensaje que
permita copiar una figura. Para ello, es necesario que los alumnos
piensen cuáles son los datos necesarios para definir esta figura.
Realice la puesta en común al finalizar todos los problemas
o luego de los primeros, en función de las dificultades que
observe mientras los alumnos trabajan. Pida que un grupo
escriba su mensaje en el pizarrón para discutir con todos y
busque un mensaje acordado a partir de los aportes.
Observe que para aprender a escribir instrucciones conviene
empezar copiando la figura y anotando los pasos realizados.
El problema 12 es inverso a los anteriores, o sea que hay que
analizar si un mensaje es suficiente para copiar una figura.
En este caso, el mensaje da datos para copiar segmentos, sin
mencionar los ángulos entre ellos, que es un dato necesario.
Pida que lo completen y que lo registren en la carpeta.
8. Copiado.
9. Por ejemplo:
___
Trazar la diagonal AC​
​  .
___
Copiar el segmento AC con regla y compás y llamarlo
​ . 
___ MP​
Trazar una circunferencia con centro en M y radio___
​AD​. 
Trazar una circunferencia con centro en P y radio DC​
​  .
Llamar N a uno de los puntos de intersección de las
circunferencias.
___
Trazar una circunferencia con centro en M y radio___
​  .
BA​
Trazar una circunferencia con centro en P y radio ​BC​ .
Llamar Q al punto de intersección de las circunferencias que
13. a. Construcción.
b. Sí, porque 120 + 80 = 200.
14. a. Solo con el primero, porque es el único en el que los
ángulos sí suman 180°.
b. Hay infinitas maneras de hacerlo. La suma de los ángulos
tiene que dar 180°.
Problema 15
En la puesta en común recuérdeles que armar una lista
de conclusiones es una de las herramientas necesarias
para estudiar. Priorice la discusión sobre cuándo se puede
construir un solo triángulo, cuándo infinitos y cuándo no puede
construirse ninguno. Registre las conclusiones:
● No se puede construir un triángulo de lados 5 cm, 2 cm y 3 cm
porque no se cumple que la suma de dos de sus lados es siempre
mayor que el tercero, 2 + 3 = 5.
● Si se tiene como dato las medidas de los tres ángulos de un
triángulo y sumados dan 180° o de dos que suman menos de 180°,
porque el tercero queda determinado, se pueden dibujar infinitos. Esto
se debe a que los lados que forman los ángulos no son segmentos
sino semirrectas. Como no es posible dibujar una semirrecta
porque es infinita, se dibujan segmentos, pero suponiendo que son
semirrectas. Los triángulos que se obtienen tienen la misma forma y
puede decirse que son ampliaciones o reducciones uno del otro.
● Se puede construir un solo triángulo cuando los datos son, por
ejemplo:
- Tres lados que verifiquen que la suma de dos cualesquiera de ellos
es mayor que el tercero.
- Un lado y las medidas de los ángulos que se apoyan sobre él,
siempre que sumen menos de 180º.
- Dos lados y el ángulo que forman.
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Nuevamente se intenta construir triángulos a partir
de diferentes datos. En la puesta en común pregunte
cuántos triángulos se pudieron construir y por qué. Analice que
en los tres casos se puede construir uno solo y que en el problema
18 se obtiene un triángulo isósceles por tener dos ángulos iguales.
Como además cada uno mide 45° y 45° + 45° = 90°, el ángulo
restante tiene que medir 180° – 90° = 90°, por eso el triángulo es,
además, rectángulo.
16. a. Construcción.
b. No. porque queda definido un solo triángulo.
17. Se puede construir uno solo.
18. a. Construcción.
b. Es un triángulo rectángulo, porque si dos ángulos miden 45°
entonces el tercero mide 90° para completar los 180°.
Problema 19
Antes de que comiencen a resolver el problema,
recuerde que no se puede medir con regla,
transportador ni otro instrumento de medición. Solicite que
escriban la explicación de cada paso.
En la puesta en común pida a un grupo que escriba la resolución
con la explicación en el pizarrón para que la clase la discuta. Procure
hacer pasar a aquellos grupos que en sus resoluciones tengan algo
discutible, ya sea porque es un error o porque sea una idea original.
Sin embargo, tenga cuidado de que los que expongan no sean
alumnos que gocen del respeto “matemático” de sus compañeros,
porque de esa forma se cierra la discusión en lugar de abrirse. La
puesta en común es el momento del debate, de la confrontación y
es usted el que tiene que procurar que esa discusión se genere.
Finalmente, registre lo que hayan acordado. Por ejemplo:
●
___ la figura ABCD es un cuadrado, las medidas de los lados ​
___Como
AB​ y BC​
​  son iguales y, por lo tanto, el triángulo ABC es isósceles.
^
Como el ángulo B mide 90° y los otros dos son iguales, cada uno
mide (180° – 90°) : 2 = 45°.
___ __
● En el rectángulo PQRS,
es el punto medio de ​PQ​,  ​PT​ mide
___ como T ^
3 cm. Pero, además, ​PR​ = 3 cm y P = 90°, por lo tanto, el triángulo
PTR es isósceles y rectángulo. Sus ángulos agudos miden 45° cada
^
^
uno. Por otro lado, los ángulos PT R y QT R suman 180° y uno mide
45°, entonces el otro mide 180° – 45° = 135°.
^
^
^
19. AC B = 45°, PRT = 45°, RT Q = 135°.
24
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Pida que resuelvan la parte a.. Es esperable que algunos
alumnos marquen puntos a 2 cm de A, pero que no
reconozcan que hay infinitos. En la puesta en común muestre
cómo encontrar puntos a 2 cm de A. Luego recuerde la definición
de circunferencia: Hay infinitos puntos que están a una distancia
determinada del punto A. Estos puntos determinan una circunferencia
cuyo centro es A y su radio la distancia que se consideró.
Pida que resuelvan las partes b. y c. y luego registre las
conclusiones:
● Todos los puntos que están a 1,5 cm de B forman una
circunferencia con centro B y radio 1,5 cm.
● Los puntos que están a 2 cm de A y a 1,5 cm de B son los que
están donde las dos circunferencias se cruzan. Esto se debe a que si
pertenece a la circunferencia de centro A y radio 2 cm, están a 2 cm
de A y si están en la circunferencia de centro B, están a 1,5 cm de B.
20. a. Circunferencia con centro en A y radio de 2 cm.
b. Circunferencia de centro en B y radio de 1,5 cm.
c. Son los dos puntos de intersección entre la circunferencia de
centro en A y radio de 2 cm y la circunferencia de centro en B y
radio de 1,5 cm.
Problemas 21a 23
En la puesta en común pregunte cómo hicieron para
encontrar 3 puntos que estén a la misma distancia
de A y B. Luego de discutir las diferentes estrategias, registre la
conclusión:
● Si se elige una distancia, por ejemplo, 3 cm, los puntos que están a
3 cm de A y de B son aquellos donde las dos circunferencias se cortan.
Si se elige otra distancia, el procedimiento es el mismo y como hay
infinitas distancias, habrá infinitos puntos a la misma distancia de
A y B. Esos puntos forman una recta que pasa por el punto medio
del segmento AB.
A
B
A
B
El problema 22 es una aplicación del 21. Solo haga una puesta en
común en caso de considerarlo necesario.
El problema 23 permite reinvertir lo analizado en los anteriores.
Antes de que lo resuelvan, pida que lean la definición del
lateral y defina mediatriz como la recta que contiene a todos los
puntos que están a la misma distancia de A y B.
21. a. y b. Hay que construir una circunferencia con
centro en A con un radio que sea mayor que la mitad
de la distancia entre A y B, y otra circunferencia con el mismo
radio y con centro en B. Los puntos de intersección de las
circunferencias están a la misma distancia de A que de B.
Cambiando los radios se obtienen infinitos puntos a igual
distancia de A que de B.
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Problemas 16 a 18
Problema 20
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15. Se puede construir un solo triángulo en a. y f..
Se pueden construir infinitos triángulos en b. y e.
porque no se da la medida de ningún lado.
No se puede construir el triángulo en c. (porque 5 = 2 + 3 y
entonces no se verifica la propiedad triangular) y en d. (porque
los tres ángulos no suman 180).
Capítulo 2
22. Haciendo la misma construcción que en el problema 21 y
uniendo los puntos con una línea.
23. Se procede como en los problemas anteriores.
___
P
A
B
Si ​AB​ mide menos de 6 cm,
hay dos puntos que están a 3 cm de
A y B.
Q
Problemas 24 y 25
Pida que resuelvan el problema 24. Insista en que las
justificaciones en geometría no pueden ser desde lo
perceptivo o visual, sino desde las propiedades.___
Por ejemplo:
● Si ABC es un triángulo
isósceles
no
equilátero
y
AB​
​
 es el lado
___ ___
distinto, entonces AC​
​  = BC​
​  por lo tanto C está a la___misma distancia
de A que de B y entonces está en la mediatriz de AB​
​ . 
● En un triángulo equilátero, cualquier vértice está a la misma
distancia que los otros dos y, entonces, está en la mediatriz del
segmento opuesto.
Para el problema 25 pida que luego del debate registren:
● Cada diagonal de un cuadrado lo
divide en dos triángulos
___
isósceles. Por ejemplo, la diagonal ​DB​ define los triángulos ADB y
DBC. Luego, la mediatriz del segmento DB pasa por los puntos A y C,
ya que se encuentran a la misma distancia de ellos.
● La diagonal de un rectángulo no necesariamente lo divide en dos
triángulos isósceles, por eso la mediatriz no pasa siempre por el vértice
opuesto. Si eso ocurriera, el rectángulo sería, además, un cuadrado.
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24. a. Construcción.
b. Sí, porque el vértice opuesto está a la misma
distancia de los extremos.
c. Sí, porque el vértice opuesto está a la misma distancia de los
extremos.
25. a. Correcta. b. Falsa.
Problemas 26 y 27
Pida que lean el problema 26 y explique lo que no les
quede claro. Finalmente registre una lista de pasos
que permitan dibujar la mediatriz de un segmento.
Solicite luego que resuelvan el problemas 27. Haga una puesta
___
en común sobre cómo debe ser la medida del segmento AB​
​  
para que haya uno, ninguno o dos puntos que estén a 3 cm de
A y B. Registre las conclusiones:
● Para encontrar un punto que esté a 3 cm de A y de B pueden
dibujarse dos circunferencias de radio 3 cm, una con centro en A y otra
con centro en B. El o los puntos en común son los que están a 3 cm de
cada punto. Las circunferencias
___pueden coincidir en 2 puntos, uno o
ninguno, según la medida de ​AB​. 
___
P
A
Si AB​
​  mide 6 cm, hay un solo punto
a 3 cm de A y de B y es el punto
medio del segmento.
B
___
A
B
Si AB​
​  mide más de 6 cm,
no hay ningún punto que
esté a 3 cm de A y B.
26. Producción personal.
27. a. Construcción. Dos puntos. b. 6 cm, porque las circunferencias se cruzan una sola vez.
Problema 28
Fábrica
En la puesta en común destaque las siguientes
conclusiones.
● En un plano donde están
Todos los puntos
representadas una fábrica y una
de esta recta
están a la misma escuela a través de puntos, los
distancia de
lugares que están a la misma
la fábrica y la
distancia de ambos son los que están
escuela.
en la mediatriz del segmento que
determinan los puntos.
● Los puntos que están a la
izquierda de la recta están más
Escuela
cerca de la fábrica que de la escuela,
mientras que los que están a la
derecha de la mediatriz están más
cerca de la escuela.
28. a. Construcción.
b. Producción personal.
c. Producción personal.
d. Construcción.
e. No, porque hay muchos puntos que cumplen esas
características.
f. Construcción.
Respuestas a las actividades de integración
1. a. Construcción.
b. No.
c. Equilátero.
___
2. Se construye la mediatriz del segmento AB​
​ . 
3. Copiado.
4. Copiado.
5. a. Construcción. b. Sí. c. Sí, porque está en las 3 mediatrices.
d. Trazar la circunferencia cuyo centro es la intersección de las
mediatrices y que pasa por uno de los vértices.
6. a. Escaleno, obtusángulo. Escaleno acutángulo. No existe
porque 115 + 75 es más que 180. Escaleno, obtusángulo. .
b. Por ejemplo, se puede cambiar el ángulo de 75° por uno de 55°.
7. Copiado.
___
8. a. Construcción. b. Trazar un segmento AB​
​  de 5 cm.
Con vértice en A, trazar , con el transportador, un ángulo de 50°
que tenga a AB por lado.
Con vértice en B, trazar , con el transportador, un ángulo de 50°
que tenga a BA por lado.
Llamar C al punto dónde se intersecan los otros dos lados de los
ángulos.
c. 180 – 50 × 2
25
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Capítulo 3
Los números racionales
fraccionarios
Objetivo:
Que los alumnos analicen los números racionales fraccionarios y el
orden entre ellos.
NAP:
El reconocimiento y uso de los números fraccionarios
y la explicitación de sus características, en situaciones
problemáticas que requieran:
● Interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades.
● Argumentar sobre la equivalencia de distintas
representaciones y descomposiciones de un número.
1. __
​ 43 ​a cada uno.
como hay 3, a cada uno le tocan​ ​ __35 ​ ​. Cada uno recibió 7 chocolates
enteros y __
​ 35 ​​​.
Problema 2
3. a. Entre 5.
b. 38 chocolates.
c. 7 __
​ 35 ​de chocolate.
Pregunte qué representa cada número de la división
que está escrita en el pizarrón y registre:
● Si se divididen11 tartas entre 4 personas, cada una recibe 2
tartas y sobran 3. Las tartas que sobran se pueden repartir en 4
partes y entonces cada uno recibe ​ ​ __34 ​ ​. En total, cada persona come
2 tartas y ​ ​ __34 ​ .
2. Sí.
Problema 3
En la puesta en común discuta sobre la validez de
cada enunciado y su explicación. Luego, registre las
conclusiones.
● Daniela repartió sus chocolates entre 5 personas, que es el
divisor de la cuenta.
● El dividendo, 38, representa la cantidad de chocolates que había
para repartir.
● El cociente indica la cantidad de chocolates enteros que
recibe cada uno, que en este caso es 7. Los 3 que sobran hay que
repartirlos entre las 5 personas: reciben ​ ​ __15 ​ ​de cada chocolate y,
Problemas 4 y 5
Para resolver estos problemas es necesario usar lo
desarrollado en el 3. Plantee una puesta en común
para discutir sobre ellos y concluya:
3
● Si cada persona recibió 2 tartas enteras y ​ ​ __ ​​, al hacer la división
4
entre la cantidad de tartas y las personas, el cociente tiene que ser 2.
3
● La parte fraccionaria que cada uno recibe, ​ ​ __ ​​, puede
4
1
__
interpretarse como 3 veces ​ ​ 4 ​​. Esto último puede significar que
cada una de las 3 tartas fue repartida en 4 partes, el resto de la
división es 3 y el divisor, 4.
● Si se conocen el divisor, el cociente y el resto de una división es
posible calcular el dividendo como dividendo = divisor × cociente
+ resto.
En este caso el dividendo es 4 × 2 + 3 = 11.
4
● Como ​ ​ __ ​ ​= 4 : 5, un reparto posible es de 4 tartas entre 5
5
8
personas. Pero ​ ​ __45 ​ ​= ​ ​ __
   ​ ​= 8 : 10, que puede representar el reparto
10
de 8 tartas entre 10 personas. Para cada fracción equivalente a ​ ​ __54 ​ ​
es posible encontrar un reparto que tenga el mismo resultado que
si se reparten 4 tartas entre 5 personas.
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Pida que resuelvan el problema y en la puesta en
común pregunte por qué el procedimiento de
Tatiana es correcto. Se espera que respondan que 5 veces ​ ​ __13 ​ ​
son ​ ​ __53 ​.
Revise las respuestas que obtienen al repartir las 3 tartas entre
4 y registre:
● Cada tarta se reparte en 4 partes iguales y a cada uno le
corresponde ​ __14 ​. Como son 3 tartas, cada chico recibe ​ ​ __34 ​ ​.
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Problema 1
Capítulo 3
Problemas 8 y 9
Pida que resuelvan los problemas y, en la instancia
colectiva, solicite que expliquen cómo lo pensaron.
Registre la conclusión:
1
1
● Son necesarias 4 tiras de ​ ​ __ ​ ​ para armar un entero. Si se tiene ​ ​ __ ​ ​
4
4
como dato, hay que agregar 3 partes iguales a esa para completar
el entero.
1
● Si el dato es ​ ​ __ ​​, hacen falta 4 partes más para armar el entero. Es
5
decir, 5 partes en total.
8. Tira de 12 cm.
9. Tira de 10 cm.
Problemas 10 y 11
En un intercambio colectivo pida a un grupo que
cuente y registre su solución. Solicite a toda la clase que
opine sobre ella, que proponga cambios o aclaraciones en caso de
considerarlo necesario. Como parte de las conclusiones registre:
3
1
● Si la tira mide ​ ​ __ ​ ​de la tira unidad, la tercera parte es ​ ​ __ ​ ​y 2
2
2
1
__
veces ​ ​ 2 ​ ​es 1 entero.
1
● Con 3 veces ​ ​ __ ​ ​ se arma el entero. Si se lo divide en 4 partes
3
iguales, cada una es ​ ​ __14 ​ ​y tomando 3 de ellas se obtiene ​ ​ __34 ​​.
10. Tira de 4 cm.
11. Tira de 9 cm.
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4. a. La primera.
b. 11 tartas.
c. 4 personas.
5. Producción personal.
Problemas 6 y 7
Pida que los resuelvan juntos. En la puesta en común
pregunte cuántas respuestas encontraron para el
problema 6 y por qué. Luego del debate, concluya que:
● La cantidad entera de alfajores que recibe cada uno no está
indicada, por lo que puede ser cualquier valor. Si cada uno recibe
1 alfajor entero, entonces se repartieron 5 × 1 + 3 = 8 alfajores en
total. Si cada uno recibe 2 alfajores enteros, se repartieron
5 × 2 + 3 = 13 alfajores en total, etc. Para cada cantidad de
alfajores enteros que se elija habrá una cantidad total de alfajores
que se reparten, por lo que hay infinitas posibilidades.
● La cantidad total de tartas se puede obtener sumando las partes
que recibió cada persona.
En este caso, 2 + ​ __13 ​+ 2 + __
​ 13 ​+2 + __
​ 13 ​ = 6 + __
​ 33 ​= 7 es la cantidad de
tartas que se repartieron.
6. a. Por ejemplo, que el dividendo sea 43 y el
cociente sea 8.
b. Hay muchas maneras de resolverlo. Dividendo = 5 x cociente + 3.
c. En el cociente se puede poner cualquier número natural, y así
queda determinado el dividendo, multiplicando ese número
por el divisor y sumándole 3 al resultado para obtenerlo.
7. 7 tartas.
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Problema 12
Pregunte qué medidas tomaron para resolver.
Concluya que la tira roja mide 2 cm de largo, la verde 7
1
cm y la negra ​ ​ __
  ​​cm. Por lo tanto:
2 
1
● Se necesitan 3 tiras y ​ ​ __ ​ ​rojas para formar la verde.
2
1
● La tira negra es ​ ​ __ ​ ​de la roja.
4
● Hacen falta 14 tiras negras para armar la verde.
1
● La tira negra mide ​ ​ __   ​ ​de la verde.
14
12. a. 3 __
​ 12 ​.
b. ​ __14 ​.
c. 14.
1
d. ​ __
  ​.
14
Problemas 13 a 16
Pida que resuelvan los problemas. Si lo considera
necesario, haga puestas en común intermedias. Si no,
haga una sola al final. Solicite que expliquen sus estrategias de
resolución y registre las conclusiones más importantes.
● Si una figura representa __
​ 34 ​de un entero, su tercera parte es __
​ 14 ​y
es lo que hay que agregarle para completar la unidad. Es decir, la
​ 14 ​. Como hay diferentes formas de sombrear __
​ 13 ​
tercera parte de ​ __34 ​es __
y no hay un lugar en particular donde agregar la cuarta parte, se
obtienen diferentes enteros para la misma parte sombreada.
● Si una figura representa __
​ 43 ​de un entero, su cuarta parte es __
​ 13 ​, y
reproduciéndola 3 veces se obtiene el entero.
27
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1
3
● La parte pintada de la tira es __
​   ​del total si con 3 de ellas se cubre
toda la tira. No es necesario cortarla en 3 partes iguales para saber
qué fracción representa.
● El rectángulo ABCD entra 8 veces en el entero, por lo que
​ 14 ​.
representa ​ __18 ​. El triángulo EFG entra 4 veces en el entero y es __
3
​ 14 ​= __
​ 18 ​+ __
​ 28 ​= __
​ 8 ​, se logrará sombrear esta fracción con el
Como ​ __18 ​+ __
rectángulo ABCD y el triángulo EFG.
A B
E
D C
G
F
A B
E
D C
G
F
13. Construcción personal. Hay muchas
posibilidades. Se puede dividir la figura en 3 figuras
iguales, para encontrar lo que es __
​ 14 ​de la unidad, replicarla 4
veces y formar la unidad.
14. Construcción personal. Hay muchas posibilidades. Se puede
dividir la figura en 4 figuras iguales para encontrar lo que es __
​ 13 ​
de la unidad, replicarla 3 veces y formar la unidad.
15. Tatiana, porque aunque no se marque la división entre los
otros __
​ 23 ​, lo que está pintado es __
​ 13 ​de la tira.
16. Hay varias maneras de pintar. Una de ellas es, por ejemplo,
pintar un rectángulo chico y un triángulo.
Problemas 17 y 18
● Cada cuadradito entra 8 veces en el
rectángulo y hay 3 sombreados, por lo que
representa ​ __38 ​.
● Cada triangulito entra 8 veces en el
rectángulo grande, por lo que es __
​ 38 ​de él.
1
18. a. __
​ 16
  ​
b. __
​ 83  ​
c. __
​ 38 ​
3
d. __
​ 10
  ​
e. __
​ 14 ​
1
f. __
​ 20
  ​
Problemas 19 a 21
Pida que resuelvan los problemas. Después haga una
puesta en común para que los grupos propongan
varias estrategias de resolución. Registre las conclusiones:
● Las dos zonas sombreadas en el problema 19
representan ​ __14 ​del rectángulo aunque tengan
formas diferentes. Esto se debe a que cada una
de ellas entra 4 veces en el rectángulo grande.
● En el rectángulo de la derecha del problema 20, la zona
sombreada es ​ __38 ​. Para el rectángulo de la izquierda, pueden
hacerse divisiones que permitan analizarlo mejor:
28
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En el problema 18, para determinar qué parte del rectángulo
está sombreada es necesario encontrar una unidad de medida:
● El triángulo sombreado entra 16 veces en el
1
  ​de ese
rectángulo, por lo que representa __
​ 16
entero.
17. Por ejemplo:
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Pida que resuelvan los problemas y haga una puesta
en común. El objetivo del problema 17 es discutir
que hay diferentes formas de pintar la misma fracción, siempre
y cuando las partes en que se divida el entero sean iguales.
Pregunte si en el siguiente gráfico está pintado __
​ 14 ​:
Registre que en este caso:
● La parte sombreada no representa __
​ 14 ​del
total porque las partes en que se dividió el
círculo no son todas iguales.
Capítulo 3
● __
​ 1 ​de 18 = __
​ 1 ​× 18 = 18 : 2 = 9.
2
2
● __
​ 1 ​de 18 es 3 porque 6 veces 3 es 18.
6
● __
​ 1 ​de 18 = __
​ 1 ​× 18 = 18 : 6 = 3.
6
6
22. Hay 6 de papa, 9 de arroz y 3 de verdura.
Problemas 23 a 28
Luego de que los alumnos intenten resolver los
problemas, proponga discutir sobre las estrategias de
resolución, aunque éstas no sean completas. Si así lo considera,
haga puestas en común después de cada problema. Entre las
conclusiones registradas deben estar:
● Para el problema 24, tres veces 20 minutos forman 1 hora,
entonces 20 minutos es ​ __13 ​de hora. Cinco veces 12 minutos es 1
hora, por lo tanto, 12 minutos representan ​ __15 ​de hora.
En el problema 25, __
 15 ​de 25 son 5, porque 25 : 5 y __
​ 51 ​de 20 es 4,
que es 20 : 4. Por lo tanto quedan 16 m de tela.
●
7
5
1
7
5
5
1
__
120 puede calcularse como ​ 5 ​de 120, que es 120 : 5 = 24, y
● En el problema 26, __
​   ​es lo mismo que 7 × __
​   ​. Entonces, __
​   ​de
luego se multiplica el resultado por 7.
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● En el problema 28, la parte del dinero que Ana gastó es
Es posible observar que hay tres triángulos rectángulos
sombreados y 8 de esos triángulos cubren el rectángulo grande.
Por lo tanto la región sombreada representa __
​ 38 ​del rectángulo.
● En el problema 21, pida diferentes dibujos con la misma fracción
sombreada. Puede mostrar algunos casos como los siguientes:
19. Cada una de las dos partes representan __
​ 14 ​del
rectángulo.
20. Sí.
21. Hay muchas maneras de hacerlo. Por ejemplo:
10 4 __
5
1 __
​ 20
   ​= ​   ​+ __
​    ​+ ​  1  ​= __
​ 15 ​, por lo que le quedan __
​ 20
   ​que
​ __12 ​+ ​ __15 ​+ __
20 20 20 20
5 __
1
   ​= ​   ​, que son $200, entonces Ana tenía
representan $200. Como __
​ 20
4
$200 × 4 = $800.
Proponga puestas en común cuando lo considere necesario.
Como conclusión de estos problemas escriba cómo calcular una
fracción de un número entero.
23. $320
1
24. 20 minutos es __
​ 13 ​de hora; 12 minutos es​ __
 ​ de hora.
5
25. 16 metros.
26. a. 15
b. 45
c. 72
d. 168
e. 60
f. 135.
2
1
__
__
27. Sí, es correcto porque ​ 5 ​es 2 × ​ 5 ​.
28. $800
Problemas 29 y 30
Problema 22
En la puesta en común proponga un intercambio
sobre las estrategias de resolución y la escritura de las
conclusiones, entre las que no deben faltar las siguientes:
● __
​ 1 ​de 18 es 6 porque 3 veces 6 es 18.
3
1
__
● ​   ​ de 18 = __
​ 13 ​× 18 = 18 : 3 = 6.
3
● __
​ 12 ​de 18 es 9 porque 2 veces 9 es 18.
Pida que resuelvan los dos problemas. Es probable
que los alumnos hagan dibujos para comparar, pero
también pida que expliquen las respuestas en términos de
relaciones conocidas. Por ejemplo,
● __
​ 64 ​de un entero es tomar 6 tiras que midan __
​ 14 ​del entero, por lo
3
__
tanto es el doble que una que mide ​ 4 ​.
1
2 __
1
2
● Como __
​ 10
   ​es la mitad de __
​ 15 ​, __
​ 10
   ​= ​   ​por lo que una tira que mida __
​ 10
   ​
5
1
__
es igual a una que mide ​ 5 ​.
29. Más corta, es la mitad.
30. Las dos tiras pedidas miden igual que la original.
29
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Problemas 31 a 35
Pida que resuelvan todos los problemas antes de
hacer una puesta en común para compartir las
resoluciones y explicaciones. Registre las conclusiones.
1
1 2 1
1
1
4
4
2 4 2
2
5 __
10
1 __
2
1
2
__
__
__
__
● Como ​   ​= ​   ​, entonces 5 de ​   ​= 5 de ​   ​y por lo tanto ​   ​= ​     ​.
4 8
4
4 8
8
5
1
1
● __
​ 15
   ​es la quinta parte de __
​ 13 ​, entonces __
​ 15
   ​son 5 veces __
​ 15
   ​y forman __
​ 13 ​.
8 __
1
1
1
● ​ __   ​es la octava parte de ​ __ ​, luego __
​ 24
   ​= ​   ​. Pero __
​ 15
 ​= __
​  8  ​+ __
​  7  ​ = __
​ 1 ​+ __
​  7  ​.
24
3
3
24 24 24 3 24
7
● Como __
​ 24
   ​no puede escribirse con denominador 3, __
​ 15
 ​ tampoco.
24
1
2 __
1 2 ___
● Como __
​ 10
   ​ es la mitad de __
​ 15 ​, __
​ 10
   ​= ​   ​y __
​   ​= ​  4   ​.  Se necesitan 2
5 5 10
décimos para obtener __
​ 15 ​y e décimos para obtener __
​ 25 ​.
5 __
5 10
5
5
● __
​ 10
   ​+ ​     ​= __
​   ​= 1, luego si 2 veces __
​ 10
   ​es 1, entonces __
​ 10
   ​es
10 10
1
__
equivalente a ​ 2 ​.
● Hay infinitos números fraccionarios equivalentes a __
​ 34 ​, pero solo
9
uno con denominador 12, __
​ 12
   ​.
● Como __
​   ​es la mitad de __
​   ​, __
​   ​= __
​   ​. Se necesitan 2 de __
​   ​para tener __
​   ​.
31. __
​ 12 ​= __
​ 42 ​, __
​ 32 ​ = __
​ 64 ​
32. Sí.
b. No existe.
33. a. __
​ 13 ​.
34. a. 2
b. 4
c. 5
9
  ​
35. a. Infinitos.
b. ​ __
12
6
5
36. Tiene razón Juan, porque __
​ 12
  ​= __
​ 12 ​y __
​ 10
  ​= __
​ 12 ​.
37. Hay infinitas, por ejemplo: 22 dividido por 8, 33
dividido por 12.
38. Sí.
El problema 39 no debe plantear dificultades.
Muestre que hay infinitas divisiones que dan por
resultado 5. Lo mismo sucede con cualquier número, ya sea
natural o fraccionario. O sea, hay infinitas divisiones que dan
por resultado __
​​ 34 ​​. Proponga que relaten sus estrategias de
resolución del problema 40 y luego registre las conclusiones:
● Una fracción es el resultado de una división. En particular,
​ ​ __34 ​ ​= 3 : 4 y para cada fracción equivalente a ​ ​ __34 ​ ​es posible encontrar
una división diferente que tenga el mismo resultado. O sea, como __
​ 34 ​ ​
6
3
3
__
__
__
= ​ ​ 8 ​  entonces 6 : 8 = ​ ​ 4 ​ ​. Pero 9 : 12, 12 : 16, etc., también dan ​ ​ 4 ​ ​.
Hay infinitas divisiones con el mismo resultado.
Pida que resuelvan el problema 41, que es una aplicación del 40.
39. 10 y 2; 40 y 8.
40. a. 6 dividido 8.
b. Sí.
c. Hay infinitos.
41. a. 10 dividido 8, 50 dividido 40, 100 dividido 80.
b. Sí, hay infinitos.
Problema 42
Proponga una puesta en común para discutir sobre
las respuestas y sus explicaciones. Registre:
La división entre 48 y 5 tiene cociente 9 y resto 3. Entonces:
● 5 entra 9 veces en 48 y sobran 3 unidades.
● 5 entra 9 veces en 48 y las 3 unidades que sobran, divididas por 5
dan __
​ 35 ​.
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Después de que los alumnos hayan resuelto los
problemas, haga una puesta en común y asegúrese
de que las conclusiones más relevantes queden escritas en el
pizarrón. Por ejemplo:
● En el problema 36, si bien los cocientes son iguales y un resto
es mayor que el otro, si se escribe el resultado de cada división
6
5
6 __
5 1
   ​ y 3 __
​ 10
   ​. Pero __
​ 12
   ​= ​     ​= __
​   ​, entonces los
como fracción queda 3 ​ __
12
10 2
resultados de las dos divisiones son iguales.
● Si las dos números fraccionarios son equivalentes a un tercero,
​ 96 ​son
entonces son equivalentes entre sí. Por ejemplo, __
​ 64 ​y __
​ 64 ​es equivalente a __
​ 96 ​.
equivalentes a __
​ 32 ​, entonces __
● Un número fraccionario es el resultado de una división.
11
   ​es el resultado de dividir 11 por 4 y __
​ 22
   ​es el resultado de
Entonces ​ __
4
8
11 __
22
__
dividir 22 por 8. Pero ​  4  ​= ​  8  ​, entonces el resultado de dividir 22 por
11
   ​.
8 es ​ __
4
Problemas 39 a 41
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Problemas 36 a 38
Capítulo 3
1
2
● En el problema 44 como __
​   ​entra 4 veces en 2, basta con trasladar
​ 12 ​para ubicar el número 2.
el segmento de 0 a __
​ 12 ​, 3 veces a partir de __
4
3
● En el problema 45, si se divide el segmento que va de 0 a __
​   ​en 4
​ 16 ​. Para ubicar
partes iguales, cada una representa __
​ 13 ​y su mitad es __
​ 63 ​y __
​ 32 ​= __
​ 96 ​.
2 y __
​ 32 ​basta tener en cuenta que 2 = __
Pida que resuelvan el problema 46. Registre las conclusiones
que sirven para saber qué números representan las letras.
1
3
1
6
1
6
​ 12 ​, __
​ 46 ​= __
​ 23 ​, __
​ 65 ​, __
​ 66 ​= 1,
por lo que representan los números ​ __36 ​= __
● A es la mitad de __
​   ​, o sea __
​   ​. B, C, D y E están a __
​   ​uno de otro,
respectivamente.
● La distancia entre 32 y 33 es de 9 cm. Si se divide ese segmento en
​ 13 ​de 32;
3 partes iguales, cada una representa __
​ 13 ​. A está ubicado a __
entonces representa el número 32 __
​ 13 ​. Si se divide el segmento en
 ​y C, 32 __
​ 15
 ​.
18 partes iguales, B representa 32 __
​​ 10
18
18
Después de que los alumnos resuelvan los problemas 47 y 48,
proponga un debate y anote las conclusiones:
● Si el segmento que va de 2 a 4 se divide en 4 partes iguales, cada
​ 12 ​y su mitad mide __
​ 14 ​. Para representar __
​ 11
   ​hay que tener
una mide ​ __24 ​= __
3
   ​y que __
​ 16 ​es la tercera parte de __
​ 12 ​.
en cuenta que es equivalente a __
​ 22
6
__
​ 32 ​= __
​ 64 ​
__
​ 74 ​
3
5
● El resultado de la división es __
​ 48
   ​.
5
● El resultado de la división es 9 __
​   ​.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
● De todo esto se puede deducir que: __
​ 48
   ​= 9 __
​ 35 ​= 9 + __
​ 35 ​> 9.
5
42. a. Es verdadera porque __
​ 48
  ​= 9 + __
​ 35 ​> 9.
5
b. Es verdadero.
c. Es falsa porque __
​ 35 ​< 1.
d. Es falsa porque __
​ 53 ​> __
​ 35 ​.
​ 12 ​.
e. Es verdadera porque __
​ 35 ​> __
​ 48
  ​> __
​ 45
  ​= 5.
f. Es falso porque 3 + __
​ 95 ​<3 + 2 = 5 y __
9
9
● La distancia entre 0 y 1 en el problema 43 es
​ 14 ​
es entonces la medida de ​ __14 ​del segmento. Para ubicar el número __
3
3 __
​ 12 ​
4
__
​​ 11
  ​= __
​ 22
  ​= __
​ 21
  ​+ __
​ 16 ​
6
6
3
26
1 27
2
5 1 5
5
5
__
números es ​ ​ 5 ​ ​. Teniendo en cuenta que 1 = ​  __
​ 55 ​ ​, pueden ubicarse el
● Como ​ ​ __   ​ ​= 5 ​ ​ __ ​ ​y ​ ​ __   ​ ​= 5 ​ ​ __ ​ ​, entonces la distancia entre estos
5 y el 6.
43.
_​ 1 ​ 
0
​ _34 ​ 
1
4
44.
0
de 8 cm. 8 : 4 = 2
2
3 __
​ 12 ​= __
​ 72 ​= __
​ 21
  ​
6
Problemas 43 a 48
Estos problemas ponen en juego la representación
de números fraccionarios en la recta numérica. Antes
de que comiencen a resolverlos, recuerde que para que sea
posible representar números en una recta es necesario disponer
de una unidad, la cual queda determinada a partir de conocer la
ubicación de dos números cualesquiera.
Proponga que resuelvan los problemas 43, 44 y 45. En la puesta
en común pregunte cómo hicieron para ubicar los números y
registre las conclusiones.
__
​ 11
  ​
3
2 __
​ 12 ​= __
​ 52 ​
​ _1 ​ 
2
2
45.
0
_​ 3 ​  _​ 4  ​
2
3
2
46. a. A = __
​ 16 ​, B = __
​ 36 ​, C = __
​ 46 ​, D = __
​ 56 ​, E = 1.
b. A = 32 __
​ 13 ​, B = 32 __
​ 59 ​, C = 32 __
​ 56 ​.
47.
2
_​ 5 ​ 
4
11
​ __
  ​ 
3
4
hay que medir 2 cm desde 0.
31
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48.
5
__
​ 26 ​  
5
__
​ 27 ​  
5
6
Problema 49
Proponga resolver este problema en interacción con
sus alumnos. Centre sus intervenciones sobre lo siguiente:
● Para representar cuartos, medios y quintos, las unidades tienen
que partirse al mismo tiempo en 2, 4 y 5 partes iguales, por lo que
hay que elegir la medida de esa unidad de manera conveniente.
● Como en un medio hay dos cuartos, para representar medios y
cuartos conviene partir las unidades en 4 partes iguales. Como el
mínimo múltiplo común entre 4 y 5 es 20, al partir cada entero en
20 partes iguales pueden ubicarse fácilmente las tres fracciones si
​ 30
 ​, __
​ 3 ​= __
​ 15 ​y __
​ 3 ​= __
​ 12 ​. Si se toman 20 cm como
se las escribe como ​ __32 ​= __
20 4 20 5 20
1
   ​será de 1 cm.
la distancia entre 0 y 1, entonces una medida de __
​ 20
1
__
Pero si se toma 1 cm, ​ 20  ​se representa como medio centímetro que
no es complicado de marcar.
49. Producción personal.
4
  ​= ___
​  48  ​ , __
​  5  ​= ___
​  60  ​ , __
​  6  ​= ___
​  72  ​ , __
​  7  ​= ___
​  84  ​ , __
​  8  ​= ___
​  96  ​ , __
​  9  ​= ____
​ 108  ​ 
​ __
15 180 15 180 15 180 15 180 15 180 15 180
56 13 ___
14 ___
​ __
 ​= ​    ​ , __
​   ​= ​  78   ​
45 180 30 180
De esta manera, alcanza con ordenar los numeradores para que
las fracciones queden ordenadas.
● Si dos fracciones tienen el mismo denominador y sus
numeradores son dos números naturales consecutivos, se dificulta
encontrar un número entre ellas. Por ejemplo, dados los números __
​ 27 ​
3
__
y ​ 7 ​, no hay ninguna fracción de denominador 7 entre ellas. Si se las
6
4 __
   ​y ​     ​, resulta
expresa de manera equivalente como por ejemplo, __
​ 14
14
5
__
que ​ 14  ​está entre ellas.
● Si las fracciones tienen diferente denominador, al escribirlas con
el mismo denominador es más simple encontrar una entre ellas.
​ 56 ​, como __
​ 45 ​= __
​ 24
 ​= __
​ 48 ​y __
​ 5 ​= __
​ 25 ​, = __
​ 50 ​; no es
Por ejemplo, dados ​ __45 ​y __
30 60 6 30 60
posible encontrar ningún número con denominador 30 entre ellas
49
 ​está entre ellos.
pero ​ __
60
5 __
13
4 __
14
4
7
50. ___
​ 180
   ​ es menor que __
​ 15
  ​, ​   ​entre el __
​ 15
  ​y el __
​ 15
  ​, ​   ​
45
30
6 __
7
entre ​ __
  ​y ​    ​.
15 15
3
51. Por ejemplo: a. ​ __
  ​
10
5
b. __
​ 14
  ​
c. __
​ 58 ​
d. __
​ 49
 ​
60
5
e. __
​ 12
  ​
Problemas 52 y 53
Estos problemas procuran que se generalice qué
ocurre si se buscan fracciones entre otras dos.
Una estrategia posible es buscar fracciones equivalentes dado que
3
4 __
​ 10
  ​y ​   ​
permite encontrar fracciones intermedias. Por ejemplo, __
​ 25 ​= __
5
6
5
6 3 __
9
2 __
  ​, entonces, __
​ 
  ​está entre ellas. Pero también __
​ 
 ​= ​    ​y __
​ 
 ​= ​    ​,
= ​ __
5 15 5 15
10
10
de modo que se pueden encontrar 2 fracciones más entre ellas.
Registre:
● A medida que aumenta el denominador elegido para
representar dos fracciones, más se podrán encontrar entre ellas.
Como hay infinitos denominadores posibles también son infinitas
las fracciones que se pueden encontrar entre ellas.
● Si se quiere encontrar fracciones con un denominador
determinado, la cantidad siempre es finita. Por ejemplo, entre __
​ 28 ​
3
4
__
__
y ​ 8 ​está ​ 8 ​y es la única fracción de denominador 8 entre ellas. Si los
numeradores hubiesen sido 2 y 3, entonces no había ninguna.
52. Se pueden escribir infinitos.
​ 12 ​= __
​ 84 ​y __
​ 34 ​= __
​ 68 ​.
53. __
​ 58 ​. Es la única porque __
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Estas situaciones plantean una ocasión de uso de
fracciones equivalentes: para ordenar fracciones de
denominadores diferentes y para intercalar fracciones entre
otras dos. Pida que resuelvan los problemas y en la instancia
colectiva pregunte cómo los pensaron. Registre las conclusiones:
● El mínimo común múltiplo entre 15, 45, 180 y 30 es 180, entonces
todas las fracciones pueden expresarse con este denominador:
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Problemas 50 y 51
Capítulo 3
Problema 54
En la puesta en común pregunte cómo hicieron para
comparar las fracciones. Algunas posibilidades son:
● Buscar fracciones equivalentes a cada una con el mismo
denominador.
● Como __
​ 47 ​< 1 y __
​ 54 ​> 1, entonces __
​ 74  ​< __
​ 54 ​.
Note que en esta segunda estrategia no es necesario saber
cuánto vale cada uno de los números sino que solo se los
comparó con otro, en este caso 1.
57. Sí, porque la primera es mayor que 1 y la segunda
es menor que 1.
58. Por ejemplo:
- __
​ 95 ​= __
​ 36
 ​y __
​ 5 ​= __
​ 25 ​entonces __
​ 95 ​> __
​ 54 ​.
20 4 20
9
1
__
__
​ 54 ​le faltan __
​ 34 ​para llegar
- A ​ 5 ​el falta ​ 5 ​para llegar a 2 enteros y a __
a 2 enteros. Como a __
​ 95 ​le falta menos, es mayor.
Problema 59
Pida que resuelvan el problema 59 que es una
aplicación de los anteriores.
54. __
​ 54 ​
9 __
4 3 __
59. __
​ 12 ​, __
​ 35 ​, __
​ 10
  ​, ​   ​, __
​   ​, ​ 9 ​.
3 2 2
Problemas 55 y 56
Pida que lean lo que dice Tatiana y discuta con
sus alumnos por qué es correcto. Acompañe la
explicación con un gráfico como el siguiente:
__
​ 14 ​



​ 54  ​
​ __34 ​ __
1



0
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
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__
​ 15 ​
Con respecto a la afirmación de Lazlo, proponga que piensen la
fracción como el resultado de un reparto. Entonces __
​ 2 ​  y __​ 2 ​ serían
5 7
el resultado de repartir equitativamente 2 tortas entre 5 y el de
repartir equitativamente 2 tortas entre 7. Si se reparten entre más
personas, cada uno recibe menos.
55. a. __
​ 23 ​< __
​ 34 ​
b. __
​ 78 ​< __
​ 11
 ​
12
56. Sí, es correcto.
Problemas 57 y 58
c. __
​ 45 ​< __
​ 89 ​
15 __
28
d. ​ __
 ​< ​   ​
16 29
Respuestas a las actividades de integración
1. Por ejemplo: 6 entre 14, 30 entre 70 y 39 entre 91.
2. Entre 4 personas.
3. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: 4 chocolates entre 5
personas, 8 chocolates entre 10 personas, 40 chocolates entre
50 personas, 20 chocolates entre 25 personas.
  ​= __
​ 39
  ​.
4. Sí, porque __
​ 26
4
6
​ 12 ​.
5. Es mayor, porque __
​ 34 ​es mayor que __
6. $50
b. ​ __18 ​
7. a. __
​ 14 ​
8. Por ejemplo: 5 entre 7, 10 entre 14, 25 entre 35 y 50 entre 70.
 ​
b. __
​ 96 ​
9. a. __
​ 10
45
3
12 __
__
c. No hay porque ​  8  ​= ​ 2 ​y no hay ningún número natural que
multiplicado por 2 dé 7.
10. Faltaron 8 personas.
11. $2.000
12. 10 autitos. 13. __
​ 34 ​
14. Mide 1,5 cm.
Pida que resuelvan los problemas. Como parte de
la instancia colectiva proponga discutir sobre las
explicaciones, que debe acordar con la clase y registrar:
● Si en una fracción el numerador y el denominador son iguales,
entonces representa el número 1. Si el numerador es menor que el
denominador, la fracción es menor que 1 y, en caso contrario, es
mayor que 1. Una fracción mayor que 1 siempre es mayor que una
que es menor que 1.
● Como __
​ 95 ​= 1 + __
​ 45 ​, __
​ 54 ​= 1 + __
​ 14 ​ y __
​ 45 ​> __
​ 14 ​. Entonces __
​ 95 ​> __
​ 54 ​.
● Otra forma de compararlas consiste en analizar que a __
​ 95 ​le falta __
​ 15 ​
​ 34 ​. Como a la segunda
para llegar a 2, mientras que a __
​ 54 ​le faltan __
fracción le falta más, entonces la primera es mayor.
33
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Capítulo 4
Cuadriláteros y polígonos
Objetivo:
Que los alumnos describan, comparen y clasifiquen cuadriláteros
y polígonos.
NAP:
Reconocimiento de figuras geométricas y la producción y
el análisis de construcciones, considerando las propiedades
involucradas.
Problema 1
B
A
B
D
C
A
B
1. a. Construcción.
b. Producción personal.
Problemas 2 y 3
En la puesta en común pregunte qué tuvieron en
cuenta para dibujar el cuadrado y el rombo. Escriban
entre todos instrucciones para realizar las construcciones y registre
las conclusiones más importantes:
● Los lados del cuadrado, como los del
rombo, tienen la misma medida. Si se traza
una circunferencia con centro en uno de los
vértices y como radio la medida de los lados, tiene que pasar por
otros dos vértices.
● Una vez que se determina un vértice más de las figuras, teniendo
en cuenta que los dos lados
faltantes miden lo mismo, pueden
ubicarse a partir de circunferencias.
● En cada caso, la construcción
determina una única figura.
2. Construcción.
3. a. Construcción.
b. Infinitos rombos, porque no está determinado el largo de los
lados.
Problemas 4 y 5
Luego de que resuelvan los problemas, proponga
un debate en torno de la veracidad de las afirmaciones y las
explicaciones. Registre las conclusiones:
● Un rectángulo con dos lados iguales no necesariamente es un
cuadrado porque los lados iguales pueden ser los opuestos. Si los lados
iguales son consecutivos, entonces el rectángulo es cuadrado y rombo.
● Los ángulos opuestos de un rombo son iguales y suman 180°. Si
los ángulos rectos son opuestos, suman 180°, los otros dos deben
sumar 180° y como son iguales, cada uno tiene que medir 90º y es
un cuadrado. Si los dos ángulos rectos no son opuestos, entonces
los cuatro son rectos y también se trata de un cuadrado.
● Se puede construir un único cuadrado si se conoce la medida de un
lado porque los demás miden lo mismo y los ángulos son de 90°.
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
A
1. Dibujar un segmento que mida el doble
de uno de los lados, en este caso 12 cm.
2. Dibujar la mediatriz. Esta determina un
ángulo recto en el punto medio del segmento,
que es uno de los vértices del rectángulo.
3. Duplicar la medida del segmento
AB para el otro lado y trazar la
mediatriz del nuevo segmento. Se
obtiene un ángulo recto en B.
4. Trazar dos circunferencias de 4 cm
de radio, una con centro en A y otra
con centro en B.
5. Llamar C y D a los puntos donde
esas circunferencias intersecan las
mediatrices anteriores.
6. Unir A, con B, C y D. Queda
armado el rectángulo.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
En la puesta en común pida que escriban
instrucciones para dibujar el rectángulo en las partes
a. y b.. Aclare cómo se puede dibujar un ángulo recto con regla
y compás. En caso de dificultad mande a los alumnos a leer las
conclusiones que escribieron en el capítulo 2 sobre la mediatriz
de un segmento. Recuerde que la mediatriz de un segmento
es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es
perpendicular a él. Para dibujar el rectángulo hay que trazar un
ángulo recto en cada extremo del segmento. Registre los pasos:
Capítulo 4
Problemas 7 a 9
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Pida que resuelvan los problemas. Si nota
dificultades para trazar paralelas con escuadra y
regla sugiérales que lean el lateral. Durante la puesta en común,
pida que escriban instrucciones que permitan copiar la figura,
intentando que no esté expresado con frases del estilo “pinchar
el compás en …”, sino en las razones por las que se dibuja una
circunferencia. Esto es para que la escritura no funcione como
un algoritmo sino que contenga todo lo necesario para poder
reconstruir el razonamiento que llevó a la construcción y que,
por lo tanto, permite reutilizarlo.
En el problema 8, revise cuáles son los datos que los alumnos
usan como determinantes para copiar la figura. Muchos
consideran que alcanza con las medidas de los lados
consecutivos, pero es necesario algún dato más, como el
ángulo entre ellos, la medida de alguna de las diagonales, la
medida de alguna altura, etcétera.
En el problema 9, como solo se puede usar regla y compás, no
es posible trazar paralelas, por lo que hay que pensar en otra
propiedad de los paralelogramos. En este caso, que los lados
opuestos tienen la misma medida.
___
El vértice D debe estar a una distancia ​AB​ del punto
___ C, por lo que
pertenece a la circunferencia con centro C y radio AB​
​ .  También
___
tiene que pertenecer a la circunferencia de centro A y radio BC​
​  .
4. a. Es falso porque los lados iguales pueden ser los
opuestos.
b. Es verdadero porque los ángulos opuestos del rombo son
iguales y la suma de los 4 ángulos es 360°.
c. Es verdadero porque es un cuadrado.
5. a. Sí, porque se conocen los cuatro lados y los ángulos.
b. Sí, porque el otro puede tener cualquier medida.
c. Sí, porque los ángulos pueden ser distintos.
Problema 6
En el debate colectivo, pregunte cómo hicieron para
copiar la figura. No es simple explicar la respuesta b. y
es posible que tenga que hacerlo usted. Base su exposición en:
● Las diagonales del cuadrilátero de EFGH están incluidas en las
del rectángulo ABCD. Si EFGH es un cuadrado, sus diagonales son
perpendiculares y, por lo tanto, también las del rectángulo exterior.
Si las diagonales de un rectángulo son perpendiculares, entonces
es un cuadrado.
● Para construir el cuadrilátero LIJK se tomaron los puntos medios
de los lados del rectángulo exterior,__por__lo tanto,
los triángulos DIL,
__ __
ICJ, JBK, KLA son iguales. Entonces IL​
​  = IJ​
​  = JK​
​  = KL​
​  y por lo tanto
IJKL es un rombo. Para que los ángulos sean de 90°, los triángulos
anteriores deberían ser isósceles y, para que eso pase, ABCD debe
ser un cuadrado.
6. a. Copiado. b. Cuadrado.
c. Cuadrado.
C
B
D
A
Concluya que:
● Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos de igual medida,
entonces es un paralelogramo. La propiedad recíproca también es
verdadera.
7. Copiado.
8. Poner nombre a los vértices del paralelogramo
___
(ABCD). Trazar
​  y
___ con regla y compás un segmento igual que AD​
llamarlo
​
MN​
 
.
Trazar
una
circunferencia
con
centro
en
M
y
radio
​
___
___
AB​.  Trazar una circunferencia con centro en N y radio BD​
​  . Llamar
B
C
P a uno de los puntos donde se intersecan
las circunferencias. Trazar, con regla y
escuadra, una recta paralela a MN que pase
A
D
por P. Trazar
___ una circunferencia con centro en
N y radio ​DC​ . Llamar Q al punto donde se interseca esta última
circunferencia con la recta paralela. MPQN es la figura buscada.
9. a. Construcción.
___
b. Trazar una circunferencia con centro en A
y radio BC​
​  . Trazar
___
C
una circunferencia con centro en C y radio ​AB​.  Llamar
D al punto donde se intersecan las circunferencias.
B
ABCD es la figura buscada.
A
35
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Problemas 10 y 11
Pida que resuelvan los problemas y, en la instancia
colectiva, pregunte cómo hicieron las construcciones.
Luego registre un listado de pasos acordados entre todos.
10. Construcción. Es posible en: b., d. y e..
11. Construcción. Hay que trasladar de modo
paralelo los segmentos que forman los lados.
Problema 12
Solicite que intenten construir el paralelogramo de
la parte a. con los datos proporcionados. Pida que
comparen los dibujos y pregunte si son iguales. Registre que no
hay un único paralelogramo que tenga lados de 6 cm y 4 cm.
Pregunte qué dato o datos agregarían para que se pueda
construir uno solo. Ese dato podrá ser el ángulo entre los lados.
Pida luego que resuelvan b. y c.. Focalice un intercambio sobre
c.. Pregunte cómo hicieron la construcción y proponga una
posible. Por ejemplo: trazar un segmento AB de 5 cm. Trazar una
recta paralela a AB a 2 cm de distancia (para hacerlo es necesario
construir primero un segmento de 2 cm, perpendicular a AB y
con un vértice en la recta que contiene a AB. Es posible usar la
construcción de la mediatriz) Trazar una circunferencia con centro
A y radio 3 cm. Llamar D al punto en que esta circunferencia
interseca a la recta paralela. Trazar una circunferencia con centro
B y radio 3 cm. Llamar C al punto en que esta circunferencia
interseca a la recta paralela. ABCD es la figura pedida.
c. Dos.
Problemas 13 y 14
Pida que resuelvan los problemas. Para eso tienen
que tener en cuenta las características de los rectángulos y
los cuadrados. En ambos casos, la diagonal forma con dos
lados consecutivos un triángulo rectángulo que, en el caso
del cuadrado, es además isósceles. Concluya que según
los instrumentos que se pueden usar, hay que apoyarse en
determinadas propiedades. Registre:
● Si solo se puede usar regla y escuadra, hay que
tratar de ubicarla de manera que la diagonal
del rectángulo constituya la hipotenusa de un
triángulo rectángulo.
● Si solo se puede usar compás y regla, hay que
tener en cuenta que las diagonales de un rectángulo tienen la
misma medida y se cortan en su punto medio. Pueden pensarse
como diámetros de la misma circunferencia, por lo que pueden
obtenerse infinitos rectángulos diferentes.
● Las diagonales de un cuadrado son además
perpendiculares. Si se traza un diámetro
cualquiera, su mediatriz contiene otro diámetro
perpendicular.
13. a. Construcción.
b. En la forma con que se trazan los ángulos rectos.
14. Construcción.
Problema 15
Los dos problemas anteriores constituyen un apoyo
para resolver este. Como las diagonales de los
rectángulos son iguales y se cortan en su punto medio, este está a
la misma distancia de los cuatro vértices. Luego, la circunferencia
que tiene este punto como centro y radio igual
a media diagonal, pasa por todos ellos. No es
necesario hacer el dibujo para tener la certeza de
que la circunferencia pasa por los cuatro vértices.
15. El centro tiene que ser el punto donde se cruzan
las diagonales y el radio debe ser la medida de
media diagonal.
Problema 16
Las diagonales de un rombo no necesariamente son
iguales, aunque sí son perpendiculares y se cortan en el punto
medio de cada una. Si se conocen las medidas de cada una, es
posible dibujar un solo rombo.
16. a. Construcción.
b. Uno solo.
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
b. Uno solo.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
12. a. Infinitos.
Capítulo 4
Problemas 17 a 19
Luego de que resuelvan estos problemas, pida
que hagan un listado a modo de clasificación de
los cuadriláteros a partir de sus diagonales. Recuerde que si
queremos que la carpeta sea una herramienta de estudio tenemos
que generar los momentos de sistematización de los contenidos.
A partir de sus respuestas, arme un cuadro similar al siguiente:
Cuadriláteros que
tienen
diagonales
iguales.
Cuadriláteros
que tienen
diagonales perpendiculares.
Cuadriláteros
que tienen
diagonales
iguales y perpendiculares.
Cuadriláteros
que tienen
diagonales
que se cortan
en su punto
medio.
Rectángulos
Cuadrados
Cuadrados
Rombos
Cuadrados
Rectángulos
Cuadrados
Rombos
Además de los cuadrados hay otros cuadriláteros
que tienen diagonales iguales y perpendiculares,
pero no son cuadrados porque las diagonales no
se cortan en el punto medio. Por ejemplo:
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
También hay cuadriláteros que tienen
diagonales iguales y no son
rectángulos ni cuadrados, como:
17. a. Construcción. Se pueden construir infinitos
cuadriláteros con las diagonales perpendiculares.
b. Construcción. Se pueden construir infinitos cuadriláteros.
18. Construcción. Se pueden construir infinitos.
19. Sí, por ejemplo: rectángulos.
Problema 20
Pida que piensen en la veracidad de las afirmaciones
y sus explicaciones. Luego, en un espacio colectivo,
proponga un debate sobre las mismas. Es importante que se
registren las razones de por qué una afirmación es verdadera o
no. Si es necesario, sugiera que lean lo que dicen Matías y Lazlo
en el lateral.
20. Son verdaderas todas salvo la segunda.
a. Como los lados del cuadrado tienen la misma
medida, el punto B está a la misma distancia de
___A y de C, por
lo que pertenece a la mediatriz del segmento___
​AC​ . Luego, el
segmento que pasa por B es perpendicular a ​AC​  y pasa por
su punto medio, y entonces las diagonales del cuadrado son
perpendiculares.
b. Aunque hay rectángulos cuyas diagonales son perpendiculares
(los cuadrados), para que la afirmación sea verdadera tiene que
serlo para todos los rectángulos y esto no ocurre.
c. Un rombo tiene los lados iguales. Para decidir si es o no un
cuadrado, es necesario averiguar si sus ángulos son rectos. Las
diagonales de los rombos son perpendiculares___
y se cortan
___ en el
punto medio. Si además son iguales, entonces ​OB​ = ​OA​ y por lo
tanto, OBA es un triángulo rectángulo isósceles. Entonces
^
^
OBA = BAO = 45°. Además los cuatro triángulos son iguales.
^
Entonces CBA = 90°. Lo mismo ocurre con los otros ángulos, es un
cuadrado.
A
d. Si las diagonales de un rectángulo se cortan
perpendicularmente, los triángulos que quedan B
son iguales porque tienen dos lados iguales y
el ángulo comprendido entre ellos igual. Por lo
tanto, el otro lado debe ser igual y entonces es un
C
cuadrado.
B
e. El punto B está a la misma distancia de A
y C, por lo que
pertenece
a
la
mediatriz
del
___
segmento ​AC​ y O es su punto medio. De la
misma manera, A está a la misma distancia
de los puntos B y D, por lo que
a
A
C
___
___ pertenece
O
la mediatriz del segmento
​
BD​
 
y
​
AC​
 
pasa
por
___
el punto medio de ​BD​ . Por lo tanto, cada
diagonal corta a la otra en el punto medio.
D
Problemas 21 a 23
Pida que resuelvan cada problema y proponga una
puesta en común luego de cada uno. Registre las
conclusiones más importantes:
● Una diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos
iguales. Si éste triángulo se puede construir, entonces el paralelogramo
también. O sea, tiene que verificarse la desigualdad triangular.
● Se pueden construir infinitos triángulos si se conocen las medidas de
sus diagonales porque al variar el ángulo entre ellas, varía la figura.
21. Construcción. Hay que construir un triángulo y
duplicarlo.
22. a. Ninguno, porque no se puede construir el triángulo
porque 5 + 2 es menor que 8.
b. Infinitos.
c. Infinitos.
d. Uno solo.
23. a. Las diagonales tienen que ser iguales.
b. Agregar que las diagonales tienen que ser perpendiculares.
c. Agregar que las diagonales tienen que ser iguales y
perpendiculares.
Problemas 24 y 25
Haga la puesta en común luego de terminar el 25
porque puede aportar datos para cambiar la resolución
del 24. En la instancia colectiva, pida a un grupo que dicte las
instrucciones para que usted dibuje la figura en el pizarrón. Si fuera
necesario, hagan las correcciones o agregados necesarios.
En el problema 25, es necesario analizar si cada descripción
define una única figura, que es la pregunta sobre la que tiene
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Proponga un debate sobre cada afirmación y acuerde
una explicación para cada una. Registre, por ejemplo:
● Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto
medio. Si además son perpendiculares, entonces es un rombo y si
son iguales, además es un cuadrado.
● Si un paralelogramo tiene sus diagonales iguales, es un
rectángulo. Si además son perpendiculares, es un cuadrado.
● Un paralelogramo con diagonales perpendiculares no
necesariamente es un rectángulo, porque además deben ser iguales.
Observe que si la actividad hubiera dicho perpendiculares e
iguales, sería un rectángulo porque además sería un cuadrado.
26. La única falsa es la d.. Para que sea rectángulo las
diagonales deben ser iguales.
Problema 27
Como parte de la discusión pregunte por qué en un
caso pudo construirse el paralelogramo y en el otro
no, y si esto está relacionado con las medidas de los ángulos.
Los dibujos permiten verificar si las construcciones se pueden
hacer o no, pero no se puede acceder a las razones. Hágase
cargo de explicarlo:
___
● La diagonal ​DB​ divide al paralelogramo en dos triángulos iguales,
de los que se han marcado los ángulos que son congruentes. Como
^ ^ ^
los tres ángulos del triángulo suman 180°, F + G +H = 180°.
^ ^
^
● Como además G + H = D
A
B
^ ^
H
entonces, F + D = 180°.
G
Luego, dos ángulos
F
G
no opuestos de un
E
H
paralelogramo suman 180°.
D
C
M
27. a. Es posible.
b. No es posible porque 30 + 170 da más que 180.
Problema 28
Solicite que resuelvan la parte a. en la que no habrá
C
A
D
^
^
^
La suma de los ángulos interiores de los dos
triángulos coincide con la suma de los
ángulos del cuadrilátero:
^
^
^
BAD + ABD + BDA + DBC + BCD + CDB = 180º + 180º.
^
^
^
^
^
^
Pero ABD + DBC = ABC y CDB + BDA = CDA, entonces,
reemplazando esto en el la primera suma queda:
^
^
^
^
BAD + CDA + ABC + BCD = 360º.
La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360º.
28. a. 360°
b. i. Sí.
ii. 360°
Problema 29
Use los razonamientos anteriores para que respondan
este problema. Agregue algunos pasos en el razonamiento. Por
^ ^
ejemplo, los ángulos F y E de la figura anterior son adyacentes y
^ ^
entonces suman 180°, F + E = 180º. A partir de las dos igualdades
^
^
F + E = 180°
^
^
^
^
^
^
= E = H + G.
F + H + G = 180°
^
^
^
Pero, H + G = D , luego:
^
E = D.
Como además los ángulos opuestos de un paralelogramo son
iguales:
^ ^
^
E = D = B.
Proponga discutir cada afirmación con su respectiva explicación
y regístrela.
29. Son todas correctas salvo la primera.
Problemas 30 a 33
En estos problemas se analizan las alturas de los
paralelogramos. Luego de que resuelvan el problema
33 escriba la definición:
● Una altura de un paralelogramo es un segmento que es
perpendicular a un lado, tiene un extremo sobre él y el otro
extremo en el lado opuesto. No hay un solo segmento con estas
propiedades, pero todos ellos tienen las mismas medidas. En el
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Problema 26
B
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24. Producción personal.
25. No. Tatiana debería agregar que los ángulos
miden 90°.
inconvenientes. Como cada ángulo del rectángulo mide 90°, la
suma será 360°. Lean entre todos lo que hace Tatiana en la parte
b. y pida que lo comenten con otras palabras. Intente que la
utilización de las letras griegas no sea un conflicto en el debate.
Si es necesario cambie por otras letras o por símbolos que
representen los ángulos. Luego de un análisis exhaustivo de los
pasos seguidos pida que contesten las preguntas y concluya
que la suma de los ángulos interiores de los paralelogramos es
de 360°. Pregunte qué ocurriría en un cuadrilátero cualquiera.
Analice las explicaciones y registre una, por ejemplo: Si ABCD es
un cuadrilátero cualquiera es posible cubrirlo con 2 triángulos.



que girar la discusión. Registre la conclusión:
● Hay infinitos rombos que tienen lados de 2 cm. Para que haya
uno solo hay que fijar los ángulos entre ellos o las medidas de las
diagonales.
● Un paralelogramo con diagonales perpendiculares es un rombo,
aclarando las medidas de los lados se obtiene una figura similar
a la dada, aunque faltaría aclarar que las diagonales son iguales.
Ningún chico aclara que hay que dibujar una diagonal. Como la
figura puede rotarse, no importa cuál es la que se dibuje.
Capítulo 4
● Como no hay ningún punto de intersección entre la circunferencia
y la recta paralela al segmento tomado como base, no es posible
construir el paralelogramo.
5 cm
3 cm





4 cm
Registre:
● Los paralelogramos en los que una de las alturas tiene la misma
medida que uno de los lados son los cuadrados y los rectángulos.
30. Construcción.
31. Construcción.
c. Uno solo.
32. a. Infinitos. b. Infinitos.
e. Dos.
d. No hay.
33. Sí, porque para que la altura coincida con un lado, los lados
deben ser perpendiculares.
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Problemas 34 a 37
siguiente dibujo, todos los segmentos dibujados son alturas de un
lado del paralelogramo.
● La medida de la altura marca la distancia
4 cm
que hay entre las rectas paralelas que
incluyen los
A
B
5 cm
lados
opuestos del paralelogramo.
Para el problema 32, pregunte cuántas
C
D
soluciones hay en cada caso:
● El lado opuesto al que mide 5 cm está sobre la recta paralela al
segmento que está a 4 cm de él, pero faltan datos para completar
el dibujo. Por lo tanto, se pueden construir muchos paralelogramos
con esos datos.
● La circunferencia con centro en un extremo del segmento elegido
como base determina uno de los vértices del cuadrilátero, en su
intersección con la recta paralela a
él. Marcando los otros dos lados se
determina el paralelogramo. Como
la circunferencia tiene un solo punto
7 cm
de intersección con la paralela, la
5 cm
altura coincide con la medida de uno
de los lados y el paralelogramo es un
rectángulo.
Pida que resuelvan y ubique las puestas en común
cuando las considere necesarias. En ellas, asegúrese
de que queden registradas las explicaciones de por qué los
valores encontrados tienen que ser esos.
● En el problema 34 a., si llaman M al ángulo opuesto a N, se verifica
que: la diagonal divide el paralelogramo en dos triángulos iguales y los
^ ^
^ ^
ángulos M y N tienen la misma medida: N = M = 180º – 70º – 40º = 70º
● En el problema 34 b., dos ángulos consecutivos de un
^
paralelogramo suman 180°, entonces N = 180° – 105° = 75°
^
● En el problema 35, el ángulo B es adyacente al de 25°,
^
^ ^
^
B = 180° – 25° = 155°. Pero A y B también suman 180°, entonces A
= 25°.
Si es necesario, defina ángulos adyacentes y pida que escriban
en la carpeta la definición.
^
● En el problema 26, R es el tercer ángulo del triángulo NSR, luego
^
^ ^
R = 180° – 60° – 40° = 80°. M y R tienen la misma medida porque son
^
opuestos, entonces M = 80°.
● Los únicos paralelogramos que tienen los cuatro ángulos iguales
son los rectángulos y los cuadrados.
● Si un ángulo de un paralelogramo es de 40°, el opuesto a él
también mide 40°. La suma de los cuatro ángulos es 360°, los dos
desconocidos suman 360° – 40° × 2 = 280° y cada uno de ellos mide
280° : 2 = 140°.
34. a. 70°.
b. 75°.
^
35. A = 25°.
36. 80°.
37. a. Sí. Es un rectángulo. b. 140°, 40° y 140°.
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Problemas 38 y 39
Una vez que resuelvan los dos problemas, proponga
un intercambio. Elija un representante de un grupo
para que pase a resolver uno de los problemas en el pizarrón.
Tenga presente que el alumno elegido no puede ser ni el que
sabe más, porque lo que haga será considerado correcto, ni el
que sabe menos, porque no se le dará crédito.
38. a. 50°
b. 65° c. 100° d. 70°
39. Sí, porque el triángulo ABE es equilátero,
^
^
entonces BE A = 60°. Por lo tanto D = 60°.
Problema 40
Como parte de la puesta en común, proponga escribir
instrucciones que permitan copiar la figura. Luego pida
que lean y copien la definición de trapecio isósceles que aparece
en el lateral. Muestre y registre las siguientes características:
● Si se prolongan los lados no paralelos, se obtiene
un triángulo isósceles.
Problemas 41 y 42
Proponga que resuelvan los problemas y, en la
puesta en común. Haga hincapié en la frase: solo dos lados
paralelos. Explique que la palabra solo indica que los otros lados
no son paralelos. Registre las conclusiones:
● Hay infinitos trapecios isósceles cuyos lados paralelos miden 4 cm
y 2 cm. Para cada valor que se elija para la medida de la altura, se
obtiene uno diferente.
● Hay infinitos trapecios isósceles cuyas diagonales miden 4 cm.
41. Construcción.
42. Construcción.
Problema 43
Pida a los alumnos que piensen la solución durante
10 minutos aproximadamente. Si es necesario sugiera
que lean lo que dice Tatiana en el lateral. Luego discútalo con
ellos en un
___intercambio y registre las conclusiones:
___ ___
● El lado AB​
​  es común a los triángulos ABD y ABC; AD​
​  y BC​
​  tienen
las mismas
medidas
porque
son
los
lados
iguales
del
trapecio
___ ___
isósceles. BD​
​  y AC​
​  son las diagonales del trapecio isósceles, que
tienen la misma medida. Por lo tanto, como los triángulos tienen
sus lados iguales, entonces son iguales.
___
___
Problema 44
Luego de que los alumnos hayan resuelto completa
o parcialmente el problema, proponga un debate
sobre cómo hacer las construcciones. Pregunte si los datos
proporcionados alcanzan para definir una sola figura o no.
Insista en que dos figuras son iguales si al superponerse y
mirarlas a trasluz se ve una sola figura.
44. a. Construcción. Se puede construir uno solo.
b. Construcción. Se puede construir uno solo.
c. Construcción. Se puede construir uno solo.
Problemas 45 y 46
Haga una breve puesta en común del problema 45
centrada en que se pueden construir infinitas figuras
cerradas de 5 lados. Solicite que lean el lateral y registre en la
carpeta las definiciones de polígono y polígono regular, y pida
que dibujen varias figuras de 5 lados.
En el problema 46, discuta cada afirmación para decidir sobre
su veracidad y la explicación correspondiente. Registre luego
las conclusiones:
● No se puede saber de qué figura se trata si solo se dice cuántos
lados tiene. Tampoco alcanza con decir la cantidad de diagonales
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40. Copiado.
___
43. Porque AB​
​  es lado compartido, AD​
​  = BC​
​  porque
___ ___
son los lados iguales del triángulo isósceles. BD​
​  = AC​
​  
porque son las diagonales del trapecio.
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● Un trapecio isósceles puede formase con
un rectángulo y dos triángulos rectángulos
iguales a ambos lados.
Capítulo 4
porque todos los polígonos que tienen la misma cantidad de lados
tienen también la misma cantidad de diagonales.
● Si el dato es que los lados opuestos son paralelos, entonces sirven
los cuadrados, rombos y rectángulos.
Problemas 49 a 52
Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en
común pregunte cómo cubrieron cada polígono con
triángulos y registre la conclusión:
● Hay muchas maneras de cubrir un polígono con triángulos:
45. a. Construcción.
b. Se pueden construir infinitos.
46. a. Hay más de uno.
b. Hay uno solo.
e. Hay más de uno.
c. Hay uno solo. d. Hay uno solo.
f. Hay uno solo. g. Hay más de uno.
i. Hay más de uno.
h. Uno solo.
Problema 47
En la instancia colectiva solicite que un grupo lea sus
instrucciones para que el resto opine y proponga
cambios. Luego de debatir, registre el mensaje. Concluya que
una manera de estar seguros si la copia está bien hecha es
superponiendo las figuras para ver si coinciden.
47. a. Construcción.
b. Si al superponerlos y ponerlos a trasluz se ve una
única figura. Los lados y los ángulos son iguales.
Problema 48
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Pida que propongan dibujos de cuadriláteros y un
polígono de 6 lados a partir de triángulos, por ejemplo:
como se puede observar no hay una única posibilidad para el
cuadrilátero, aunque sí hay una sola para el hexágono.
En el caso del rombo, como el triángulo que hay que usar no es
isósceles pero sí rectángulo, hay una sola manera de ubicarlo,
formando las diagonales que tienen que ser perpendiculares.
Pregunte cómo tiene que ser el triángulo para que
se pueda construir el rombo. Concluya que si el
triángulo es isósceles no equilátero, se puede armar un
rombo uniendo dos de ellos por el lado distinto. Si el
triángulo es equilátero se puede armar un rombo
uniendo dos de ellos por cualquiera de sus lados. Si el
triángulo es escaleno, la única forma de armar el
rombo es si el triángulo es rectángulo como en el
problema 48 b..
48. a. Hay muchas.
b. Se necesitan 4 triángulos.
Para cubrirlo con la menor cantidad de triángulos hay que
trazar todas las diagonales desde un vértice.
Pida que completen la tabla del problema 51 y que luego
resuelvan el problema 52. Registre:
● La cantidad mínima de triángulos que cubren un polígono de 98
lados es 98 – 2 = 96. Si el polígono es de 120 lados, se necesitan
120 – 2 = 198 triángulos.
Finalmente concluya:
● Para averiguar la cantidad mínima de triángulos que cubren un
polígono se puede elegir un vértice y trazar todos los segmentos
que unen ese vértice con los demás, excepto los dos que ya están
dibujados y son lados del polígono. Esos segmentos dibujados
son las diagonales del polígono que tienen un extremo en el
vértice elegido. Por lo tanto, la cantidad de diagonales que se
pueden dibujar desde un vértice es igual a la cantidad de lados del
polígono menos 2. Esa es la cantidad mínima de triángulos que
cubren el polígono. Por ejemplo: un polígono de 4 lados puede
cubrirse con 2 triángulos, uno de 5 con 3, etcétera.
49. a. Construcción.
b. Sí, trazando todas las diagonales desde un vértice.
50. Construcción.
51.
Polígono
Número de
lados
Cantidad mínima de triángulos
que lo cubren sin superponerse
4
2
5
3
6
4
7
5
8
6
52. a. 23
b. Para 98 lados, 96 triángulos. Para 120 lados, 118 triángulos.
c. Cantidad mínima de triángulos que cubren el polígono =
cantidad de lados – 2.
41
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Concluya y registre que:
● La cantidad mínima de triángulos que cubren un polígono es igual
a la cantidad de lados menos 2. Para sumar los ángulos interiores
del polígono se puede sumar todos los ángulos interiores de los
triángulos, por lo tanto, el valor buscado es: 180° + 180° + … + 180°
que es igual al producto entre 180° y n – 2, 180° × (n – 2), donde n
representa la cantidad de lados del polígono.
● Un pentágono (5 lados) puede cubrirse con 3 triángulos,
entonces la suma de sus ángulos interiores es 3 × 180° = 540°.
53. Sí. En general hay que calcular 180° × (n – 2),
donde n representa la cantidad de lados del polígono.
54. 180 × 3
Problemas 55 a 57
En la puesta en común proponga un intercambio
sobre las estrategias de resolución y sus
explicaciones. Registre las conclusiones:
● La fórmula 180º × (n – 2), permite calcular el valor de la suma de
los ángulos interiores de cualquier polígono, regular o no. Para el
pentágono (n = 5) es 540° y para el hexágono (n = 6) es 720°.
● Si se conoce la cantidad de lados de un polígono y las medidas
de todos los ángulos excepto uno, se puede encontrar el ángulo
faltante. Por ejemplo, en el caso a. del problema 56 como se trata
de un pentágono la suma de los ángulos debe ser 540° y 4 de los
ángulos miden 110º, 130º, 80º y 90º, entonces el ángulo faltante
mide 540º – 110º – 130º – 80º – 90º = 130º.
^
● En el problema 56 b. M = 360° – 60° – 80° – 100° = 120°.
● Si un polígono es regular, todos sus lados y sus ángulos son
iguales. La suma de los ángulos interiores de un octógono es:
180º × (8 – 2) = 1.080º y sus 8 ángulos son iguales, entonces
cada uno mide 1.080º : 8 = 135º.
● Si un polígono es regular y tiene n lados, cada uno de ellos mide
180º × (n – 2) : n. Si el polígono no es regular, con el dato de la cantidad
de lados no se puede saber la medida de cada ángulo.
55. a. 540°
56. a. 130°
57. 135°
Problemas 58 y 59
El problema 58 es una aplicación de la fórmula
desarrollada en los anteriores. Solo plantee una breve
puesta en común para intercambiar resultados.
En el problema 59, registre una explicación, por ejemplo:
● La suma de los ángulos interiores tiene que ser igual a 1.800°, o sea,
180° × (n – 2) = 1.800°. Para que el producto entre 180 y otro número
dé 1.800, hay que multiplicarlo por 10. Entonces, la cantidad de lados
menos 2 es 10 y por lo tanto el polígono tiene 12 lados.
58. a. 900°
b. 900°
c. 1.080°
d. 1.080°
59. a. 12 lados.
b. 1.800 : 18 = 10. La respuesta es dos más que 10.
Problemas 60 y 61
El problema 60 es una aplicación del 59. Para
encontrar la cantidad de lados del polígono hay
que resolver 180º × (n – 2) = 1.080°. Con lo cual n – 2 será un
número que multiplicado por 180° dé 1.080°. Es decir,
n – 2 = 1.080 : 180 = 6. Si n – 2 = 6, entonces n = 8.
En cuanto al problema 61, registre las conclusiones:
● La suma de los ángulos interiores de un polígono es un múltiplo
de 180°.
● Si se conoce la suma de los ángulos interiores de un polígono
regular y se quiere encontrar la cantidad de lados, hay que dividir
la suma por 180º y al resultado sumarle 2, o sea: “suma : 180 + 2”.
60. 8 lados.
61. a. No porque 910 no es múltiplo de 180.
b. Sí, porque 1.080 es múltiplo de 180. El polígono tiene 10 lados.
Problema 62
Luego de la puesta en común de este problema, pida
que registren:
● Como la figura está formada por tres rombos iguales y dos cuadrados
^
iguales, los dos ángulos agudos del rombo miden lo mismo, B. Los dos
^
ángulos B junto al ángulo recto del cuadrado suman 180º, luego dos
^
^
veces B mide 180° – 90° = 90° y B = 45°.
^
^
El ángulo A es suplementario de B porque son ángulos no opuestos
^
de un paralelogramo, entonces A = 180° – 45° = 135°.
B
B
A
b. 720°
b. 120°
62. A = 135°, B = 45°.
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Pida que resuelvan los dos problemas juntos.
Apóyese en un dibujo y trate de que no sea un hexágono
regular para que el planteo sea más general.
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Problemas 53 y 54
Capítulo 4
Problemas 63 a 65
Pida que resuelvan el problema 63 y pregunte lo
que pensaron. Hágase cargo de desarrollar luego la resolución.
Analice primero el paralelogramo donde está el dato. ___
Si considera el paralelogramo ABCD y traza la diagonal BD​
​  
quedan dos triángulos iguales ABD y BDC.
B
C
A
130°
D
Como los triángulos son iguales entonces los ángulos también
^ ^
^
^
^
lo son, por lo tanto C = A = 130° y, además, ABD = CDB y ADB
^
^
^
= CBD, entonces, ABC = ADC. Pero la suma de los ángulos
interiores del cuadrilátero es 360° y dos de los ángulos miden
130°, entonces, los otros dos deben medir 50° cada uno. En la
figura queda entonces:
50°
130°
50°
50°
130°
130°
M
50°
50°
130°
130°
130°
50°
^
^
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además, 130° + 130° + M = 360° entonces M = 100° y todos los
ángulos del rombo miden 100°, 100°, 80° y 80°.
Solicite que resuelvan los problemas 64 y 65 y luego plantee otro
debate colectivo en el que justifiquen las propiedades que usaron.
63.
80°
100°
50°
130°
100°
80°
50°
50°
130°
130°
50°
50°
130°
130° 100°
130°
^
^
50°
100°
80°
^
64. OAB = 30°, DOA = 60°, DOC = 120°.
H
65.
120°
60°
120°
B
A
80°
G
60°
120° C
120°
120°
120°
120°
F
120°
D
Respuestas a las actividades de integración
1. a. Construcción.
b. Trazando las mediatrices para construir ángulos rectos.
2. Construcción.
3. a. Construcción.
b. Infinitos.
4. a. Construcción.
b. Con regla y escuadra se construye el rombo a partir de las
diagonales porque son perpendiculares, con regla y compás
se construye el rombo a partir de los lados que son iguales
trazando circunferencias o trazando perpendiculares a partir de
la mediatriz.
5. Construcción.
6. a. Construcción.
b. No, es único.
b. Uno solo.
7. a. Construcción. 8. Copiado.
9. En los dos casos hay que trazar la circunferencia con centro
en el punto donde se cruzan las diagonales y radio de la medida
de media diagonal.
10. a. Construcción.
b. Sí. Si se cortaran en el punto medio sería, además, un rombo.
Pero no tiene porque serlo.
11. Producción personal.
12. Construcción.
13. No, porque 150 + 50 = 200.
14. No es posible porque no existe un triángulo con esos lados.
15. a. Construcción.
b. Infinitos, porque no está determinado el ángulo entre ellas.
16. Construcción. Sí, es posible.
17. Son verdaderas: b., c., d. y e..
18. Por ejemplo: las diagonales son iguales, perpendiculares y
se cortan en el punto medio.
19. Matías tiene razón porque no se puede construir el triángulo.
20. a. Construcción.
b. No.
b. Infinitos.
21. a. Construcción. Infinitos.
^
^
22. A =50°, B = 100°.
b. 55° c. 77°
23. a. 30°
24. a. Construcción. Uno solo.
b. Ninguno porque no hay un triángulo rectángulo que tenga
el lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa) igual a uno de los
otros lados (cateto).
25. No, porque los cuadrados son paralelogramos.
26. Producción personal.
27. No, podría no ser rectángulo. Es necesario que, además, las
diagonales sean iguales.
28. No. Los rombos no cuadrados no pueden inscribirse.
29. Son correctas a. y d..
30. Construcción.
31. Sí. Por ejemplo, en el caudrado coinciden y en cualquier
paralelogramo, no.
32. a. Sí.
b. Sí.
b. 360°. c. 720° d. 1.080°
33. a. 360°
34. No, porque los triángulos isósceles no equilátero pueden
tener cualquier medida de ángulos.
35. 85°
E
43
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Capítulo 5
Operaciones
con números
fraccionarios
Objetivo:
Que los alumnos operen
seleccionando el tipo de
cálculo y la forma de expresar
los números involucrados que
resulten más convenientes en
función de la situación.
pag 30-31
NAP:
El reconocimiento y el uso
de las operaciones entre
fracciones, y la explicitación
de sus propiedades en
situaciones problemáticas.
1. No, porque __
​ 12 ​+ __
​ 23 ​= __
​ 76 ​que es mayor que un entero.
Problema 2
Pida que lean las resoluciones de Liz y Ana, y que
escriban en la carpeta lo que hicieron. Solicite que
lean lo que escribieron y que juntos armen una lista de los
pasos seguidos por cada una. Finalmente pida que respondan a
las preguntas y concluya que:
● Para sumar o restar números fraccionarios, es necesario
escribirlos todos con el mismo denominador.
4
2. a. Porque __
​ 10
  ​= __
​ 25 ​.
b. Porque 5 × 10 = 50.
5
1
c. Sí, __
​ 50
  ​= __
​ 10
  ​.
Problemas 3 y 4
Pida que resuelvan el problema 3. Observe que
en él se pone en duda el denominador elegido. Luego del
debate colectivo registre que para sumar o restar números
fraccionarios hay que elegir un denominador que sea múltiplo
de todos los denominadores. Se puede elegir el múltiplo común
menor o cualquier múltiplo de él.
Solicite que resuelvan el problema 4 que reinvierte lo analizado
en el anterior.
3. Hay infinitas opciones. Puede usar cualquier
múltiplo de 20, por ejemplo: 20, 40, 60.
4. Falta __
​ 14 ​kg.
Problemas 5 y 6
Solicite que, mientras resuelven los problemas,
escriban una conclusión que sirva para resolver cálculos
similares a los dados. En la puesta en común pida que lean esas
conclusiones y acuerden una para que quede registrada. Para el
problema 5, por ejemplo:
● Una fracción representa el número 1 si el numerador es igual al
​ 37 ​para llegar a 1 porque
denominador. Por ejemplo, a ​ __47 ​le faltan __
4 3 __
​ __ ​+ __
​   ​= ​ 7 ​= 1.
7 7 7
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Pida que resuelvan el problema. Seguramente los
alumnos sumaron números fraccionarios los años anteriores
pero eso no significa que tengan internalizados los cálculos.
Luego de la puesta en común pida que registren las estrategias.
Por ejemplo:
● Como __
​ 23 ​es más que __
​ 12   ​, entonces Lazlo quiere repartir más que
1 __
1
__
​ 2 ​+ ​ 2 ​= 1 y eso no es posible.
● __
​ 12 ​+ __
​ 23 ​= __
​ 36 ​+ __
​ 46 ​= __
​ 76 ​que es más que un chocolate entero.
● Si de un chocolate corto __
​ 2 1  ​, queda: _​ 12 ​.
● Si del mismo chocolate corto __
​ 23 ​queda: _​ 31 ​.
​ 23 ​= __
​ 35 ​sumando
Es probable que algunos alumnos hagan __
​ 12 ​+ __
numeradores y denominadores por separado. Si este error
aparece, confronte las respuestas con las otras y pregunte cómo
pueden hacer para repartir el chocolate. Intente que sean ellos
los que se den cuenta del problema.
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Problema 1
Capítulo 5
Para el problema 6, registre:
● Para sumar o restar 1, conviene escribir 1 como una fracción
cuyo denominador sea igual al denominador de la otra fracción.
​ 53 ​– __
​ 33 ​= __
​ 23 ​.
Por ejemplo, ​ __53 ​– 1 = __
● El número 2 puede escribirse como una fracción cuyo numerador
​ 84 ​, etc. Para sumar o
sea el doble del denominador. Por ejemplo, __
​ 63 ​; __
restar 2, conviene escribirlo como una fracción que tenga el mismo
   ​– 2 = __
​ 11
   ​– __
​ 6 ​= __
​ 5 ​.
denominador que la otra fracción. Por ejemplo: __
​ 11
3
3 3 3
● Para sumar dos fracciones cualesquiera se puede buscar alguna
​ 13 ​, __
​ 13 ​= __
​ 26 ​y
relación entre ellas. Por ejemplo, como __
​ 16 ​es la mitad de __
5 1 __
​ __ ​ + __
​   ​= ​ 5 ​+ __
​ 2 ​= __
​ 7 ​.
6 3 6 6 6
5. a. __
​ 34 ​
g. __
​ 53 ​
7
  ​
6. a.​ __
4
h. __
​ 15
  ​
2
b. __
​ 14   ​
15
b. ​ __
  ​
4
i. __
​ 65
 ​
18
c. ​ __35 ​
c. ​ __54 ​
d. ​ __16 ​
d. ​ __27 ​
e. ​ __37 ​
e. ​ __53 ​
1
f. __
​ 10
  ​
f. __
​ 76 ​
Problemas 7 y 8
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En el problema 7 insista en que no pueden resolver
la cuenta para contestar. Proponga analizar todas las
explicaciones. Registre una para cada ítem. Por ejemplo:
● 2 + __
​ 11
   ​> 3 porque __
​ 11
   ​> 1.
5
5
5
__
● 9 – ​   ​< 8 porque a 9 se le resta un número mayor que 1.
4
● __
​ 34 ​– __
​ 12 ​< 1 porque __
​ 34 ​< 1.
● __
​ 34 ​+ 1 < 1 + 1 = 2
● __
​ 13 ​+ __
​ 74 ​> __
​ 13 ​+ 1 > 1
3
● 3 + __
​ 53 ​> 3 +​ __
 ​ = 4
3
Para el problema 8, pregunte cómo puede hacerse para escribir
un número fraccionario como la suma de un entero y una
fracción menor que 1. Registre la conclusión:
● Una fracción representa un número entero cuando el numerador
es múltiplo del denominador, por ejemplo, __
​ 55 ​, __
​ 10
   ​, __
​ 15  ​, etc., son
5 5
números enteros. Luego, hay que encontrar el mayor múltiplo del
denominador que sea menor o igual que el numerador. Por ejemplo,
__
​ 17
  ​= __
​ 12
  ​+ __
​ 56 ​= 2 + __
​ 56 ​.
6
6
7. Son correctas: c. y f..
8. a. 1 + __
​ 45 ​
d. 2 + __
​ 34 ​
Problema 9
b. 3 + __
​ 12 ​
e. 2 + ​ __56 ​
c. 6 + ​ __13 ​
f. 1 + ​ __78 ​
Pida que lean el problema y que lo piensen en parejas
durante 5 minutos. Se trata de una situación de proporcionalidad
directa donde el contexto, el perímetro de un cuadrado, permite
encontrar valores desconocidos. Si se conoce la medida del lado
de un cuadrado, su perímetro se obtiene multiplicándolo por 4. Si
se conoce el perímetro de un cuadrado, la medida de su lado se
obtiene dividiéndolo por 4. Pero a medida que se va completando
la tabla, hay valores que pueden encontrarse a partir de las
propiedades de la proporcionalidad. Por ejemplo:
● Si el lado del cuadrado mide 4 cm, el perímetro es de 4 × 4 cm = 16 cm.
● Si el lado mide __
​ 34 ​cm, el perímetro es:
4 × __
​ 34 ​cm = __
​ 34 ​cm + __
​ 34 ​cm + __
​ 34 ​cm + __
​ 43 ​cm = __
​ 12
   ​cm = 3 cm.
4
Recuérdeles que el producto también puede calcularse
multiplicando el numerador por el factor entero:
​ 4 ×4 3 ​  cm = __
​ 12
  ​cm = 3 cm.
4 × __
​ 34 ​cm = ____
4
● Si el perímetro es 18 cm, entonces cada lado mide: 18 : 4 = __
​ 18
   ​= __
​ 9 ​cm.
4 2
● Si el perímetro es __
​ 32 ​cm, para calcular la medida de cada lado hay
3
__
​ 23 ​es equivalente
que resolver ​ 2 ​: 4. Para ello se puede pensar que __
   ​ y su cuarta parte es __
​ 38 ​. Entonces __
​ 32 ​: 4 = __
​ 38 ​.
a __
​ 12
8
9.
Longitud del lado (en cm)
5
4
__
​ 34 ​
​ __92 ​
​ __38 ​
Perímetro (en cm)
20
16
3
18
​ __32 ​
Problemas 10 a 12
Pida que resuelvan los problemas 10 y 11. Luego
haga una puesta en común, registre diferentes
formas de calcular los valores pedidos y las conclusiones:
● La cantidad de jugo se calcula multiplicando el peso de las
naranjas por ​ __23 ​, mientras que el peso de las naranjas se obtiene
dividiendo la cantidad de jugo por ​ __23  ​.
● Si 7 monedas forman una pila de __
​ 14
   ​ cm de altura, la altura de
5
14
2
__
__
una es ​  5  ​: 7 cm = ​ 5 ​cm.
Pida que resuelvan el problema 12, explicando por qué eligen cada
cálculo. En la puesta en común proponga que intercambien sus
respuestas y explicaciones. Registre, por ejemplo:
3
● __
 34 ​: 8 = __
​ 32
   ​es la cantidad de arroz por cada taza de agua.
● Como 4 es la mitad de 8, el valor correspondiente a 4 es la mitad
​ 38 ​.
del de 8, ​ __34 ​: 2 = __
● 16 es el doble de 8, por lo tanto el valor correspondiente de 16 es
3
  ​× 2 = __
​ 64 ​= __
​ 32 ​. También es el cuádruple de 4 por
el doble del de 8, ​ __
4
​ 32 ​. De esta última relación
lo que puede calcularse como __
​ 38 ​× 4 = __
puede encontrarse el correspondiente de 4 como la cuarta parte
​ 38  ​.
del de 16, __
​ 32 ​: 4 = __
● El correspondiente de 12, que es el triple de 4, es __
​ 83 ​× 3 = __
​ 98 ​.
● El valor que corresponde a 3 puede encontrarse como la cuarta parte
3
9
​ 32
   ​, o como el triple del correspondiente a 1, __
​ 32
   ​× 3.
del de 12, __
​ 98 ​: 4 = __
45
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10.
Cantidad de naranjas (en kg)
1
2
3
Cantidad de jugo (en litros)
__
​ 23 ​
​ __43 ​
2
11. a. __
​ 25 ​cm
__
​ 12 ​
__
​ 13 ​
5
10
​ __
  ​
3
b. __
​ 12
 ​cm
35
12.
Cantidad de
tazas de agua
3
4
8
12
16
Arroz (en
kilos)
9
__
​ 98 ​: 4 = ​ __
  ​
32
​ __34 ​: 2 = ​ __38 ​
__
​ 34 ​
__
​ 83 ​×
  3 = __
​ 98 ​
__
​ 38 ​× 4 = ​ __32 ​
Problema 13
Problema 14
Pregunte qué número entero multiplicado por __
​ 35 ​
da 3. Probando con sumas, podrán encontrar que ​ __35 ​× 5 = 3.
​ 15 ​ × 5 = 3 × 1 = 3.
Escriba la explicación de la relación, __
​ 35 ​× 5 = 3 × __
Generalice y registre:
● Si una fracción se multiplica por el número natural que está en el
denominador, el resultado es el numerador.
Pida que, a partir del cálculo ​ __35 ​× 5 = 3, busquen el número que
​ 35 ​× 5 = 3 y 1 es la tercera parte
multiplicado por __
​ 35 ​da 1. Como __
de 3, para saber que número multiplicado por __
​ 35 ​da 1, hay que
buscar la tercera parte de 5, es decir, 5 : 3 = __
​ 53 ​. Entonces,
__
​ 35 ​× 5 = 3, podemos decir que: __
​ 35 ​× 5 × __
​ 13 ​= 3 × __
​ 13 ​= 1; __
​ 35 ​× __
​ 53 ​= 1.
Es importante señalar que no es casual que el factor buscado
tenga intercambiados el numerador y denominador. Si se tiene
8 __
8
    ​, ​    ​× 17 = 8 (este primer
una fracción cualquiera, por ejemplo __
​ 17
17
8
8 __
17
__
​ 18 ​= __
​ 17
  ​× ​    ​= 1.
producto da siempre el numerador) y ​ 17  ​× 17 × __
8
Concluya que para cualquier fracción puede encontrarse otra
de manera que al multiplicarlas da 1. Esas fracciones se llaman
inversas.
Problemas 15 y 16
Pida que lean lo que hizo Tatiana y que escriban
en la carpeta la explicación de cada paso. A partir
de estos problemas se puede concluir que es posible pasar
multiplicativamente de una fracción cualquiera a un número
natural. También es posible pasar multiplicativamente de un
número natural a cualquier otro.
Solicite que resuelvan los dos problemas. En la puesta en común
proponga un intercambio y registre las conclusiones:
● Para calcular el número faltante en __
​ 38 ​ × ... = 5 podemos pensar
3 __
8
3 __
8
__
__
​ 38 ​× __
​ 40
   ​= 5.
que: ​ 8 ​× ​ 3 ​= 1, entonces ​ 8 ​× ​ 3 ​× 5 = 1 × 5 = 5; __
3
● El procedimiento anterior es el mismo si se cambia la fracción y el
número natural al cual se quiere llegar.
● El valor que se busca en 8 × … = 5 es el producto entre 5 y el inverso
​ 18 ​= 1, entonces 8 × __
​ 18 ​× 5 = 1 × 5 = 5 ;
de 8, o sea 5 × ​ __18 ​. Porque: 8 × __
8 × ​ __58 ​= 5.
● Si se cambian el 8 y el 5 por otros valores, el cálculo es el mismo.
15. a. De __
​ 43 ​× 5 = __
​ 20
  ​.
3
  ​; __
​ 10  ​; __
​ 15  ​; __
​ 27  ​; __
​ 40  ​; __
​ 10 ​.
b. __
​ 28
3 3 4 2 3 11
3 __
5 __
5 __
9
2 __
1 __
__
16. ​ 2 ​; ​ 2 ​; ​ 3 ​; ​ 7 ​; ​ 8 ​; ​ 8 ​.
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
13. 4; 18; 12; 24; 7; 10; 8; 20; 3; 33; 21; 8.
14. __
​ 53 ​; __
​ 73 ​; __
​ 21
  ​; __
​ 4 ​; __
​ 3 ​; __
​ 9 ​.
2 5 2 4
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
El objetivo de este problema es analizar que siempre
es posible obtener un número natural como
resultado de un producto cuando uno de los factores es una
fracción. En la instancia colectiva concluya:
● La definición de fracción indica la cantidad de veces que se
necesita una fracción de numerador 1 para formar 1. Por ejemplo,
​ 14 ​× 4 = 1.
4 veces ​ __14 ​es 1, o sea __
1
1
__
__
● Como ​   ​× 9 = 1 , ​   ​× 18 = 2. Entonces, el factor necesario para que
9
9
el producto dé 2 es el doble del factor que hace que el producto sea 1.
● Cada factor que se quiere encontrar puede calcularse por
proporcionalidad.
Capítulo 5
Este problema es una primera aproximación al
producto de fracciones y se basa en que el área de un
rectángulo se calcula como el producto entre su base y su altura.
Luego de la puesta en común registre:
● Al dividir la base en cuartos y la altura en tercios, el rectángulo
queda dividido en 3 × 4 = 12 partes iguales, cada una de las cuales
1
   ​del rectángulo. Se toman 3 partes de la base y 2 de la altura, o
es ​ __
12
sea un total de 3 × 2 = 6 cuadraditos, por lo que la zona sombreada
6 __
1
   ​o ​   ​del terreno.
es ​ __
12 2
● Si se divide la base en quintos y la altura en medios, hay 5 × 2 = 10
3
   ​del total.
partes iguales y se toman 3 × 1 = 3, que representan __
​ 10
17. a. __
​ 12 ​
3
b. __
​ 10
  ​
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
En la instancia colectiva discuta con el grupo su
resolución y escriba en el pizarrón las conclusiones que emanen
de ellos:
● Si la base se parte en tercios y se toman 2 y la altura se parte en
quintos y se toman 3, queda determinado un rectángulo cuya área
​ 23 ​.
se calcula multiplicando la base por la altura: __
​ 53  ​× __
1 __
2
__
● Un rectángulo que permita representar ​   ​× ​   ​ puede ser uno donde
3 5
se toma la tercera parte de la base y dos quintos de su altura o al revés.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
azúcar.
● Si __
​ 14 ​kg de cacao necesita __
​ 58 ​kg de harina, entonces 1 kg de cacao,
5
1
​ 8 ​× 4 = __
​ 20
   ​= __
​ 5 ​ kg de harina.
que es 4 veces __
​ 4 ​, necesita __
8 2
● La cantidad de harina puede calcularse como __
​ 52 ​× cacao.
19.
__
​ 14 ​
3
​ __
  ​
16
Cantidad de azúcar (en kg)
Cantidad de fruta (en kg)
​ __12 ​
​ __34 ​
2 ​ __12 ​
3 __
​ 14 ​
5 __
​ 34 ​
​ __38 ​
9
​ __
  ​
16
__
​ 15
  ​
8
39
​ __
 ​
16
69
​ __
 ​
16
20.
Problema 18
● La cantidad de partes en que queda dividido el rectángulo es
el producto entre las partes que se toman de la base y la altura,
o sea de los denominadores de las dos fracciones. Las partes que
se toman es el producto entre las partes que se toman de cada
lado, es decir, el producto entre los numeradores. Por lo tanto,
si se multiplican dos fracciones se obtiene otra fracción cuyo
numerador es el producto de los numeradores de las fracciones
que se multiplicaron y el denominador es el producto de los
6
denominadores. Por ejemplo: ​ __35 ​× __
 23  = ____
​ 35 ×× 23  ​​= __
​ 15
  ​.
18. a. __
​ 35 ​× __
​ 23 ​
3
8
3
​ 68 ​= __
​ 34 ​.
de azúcar se usa el doble de fruta, __
​ 8 ​× 2 = __
● La cantidad de fruta puede calcularse como __
​ 34 ​× la cantidad de
● Si por cada medio kilo de azúcar se usa __
​   ​kg de fruta, por un kilo
Problema 17
2
b. ​ __
  ​
15
Problemas 19 y 20
Estos problemas de proporcionalidad permiten
utilizar las propiedades y el producto de números
fraccionarios. En la puesta en común analice las maneras
de calcular cada uno de los números faltantes. Registre las
conclusiones más importantes, por ejemplo:
Cacao (en kg)
​ __18 ​
​ __14 ​
​ __38 ​
​ __25 ​
5
​ __
  ​
12
Harina (en kg)
5
__
​ 16
  ​
​ __58 ​
15
​ __
 ​
16
1
__
​ 25
 ​
24
Problema 21
Este problema cuestiona una propiedad válida en
los números naturales pero no de los racionales: “el producto
de dos números racionales no siempre es mayor o igual que los
factores”. Esta discusión es fundamental porque no es fácil
que los alumnos acepten que el producto puede ser menor
que los factores porque va en contra de una propiedad que
construyeron durante varios años de su escolaridad.
Explique y escriba las ideas más importantes, por ejemplo:
● __
​ 34 ​× 5 puede pensarse como las __
​ 34 ​ partes de 5, que es menor que
3
__
5 porque ​ 4 ​es menor que 1.
● __
​ 74 ​× 3 es mayor que 3 porque la parte de 3 que se considera es
mayor que 1.
● 12 × __
​ 14 ​es la cuarta parte de 12, que es menor que 12.
21. a. Menor.
b. Mayor.
c. Menor.
Problema 22
Este problema es una extensión del anterior, donde
los dos factores pueden ser fracciones. Luego de
debatir entre todos los alumnos registre:
● Cuando a un número (entero o fraccionario) se lo multiplica por
otro menor que 1, el resultado es menor que el número. Si se lo
multiplica por un número mayor que 1, el resultado es mayor que
el número.
22. a. Menor.
d. Igual.
b. Mayor.
e. Mayor.
c. Menor.
f. Mayor.
47
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Problema 23
Es muy posible que los alumnos ensayen buscando
números, pero que tengan dificultades para
generalizar. Si observa dificultades pida que lean las relaciones
de los problemas anteriores. Concluya que, por ejemplo:
● Como __
​ 3 ​ × __​ 5 ​ = 1, entonces __
​ 3 ​ × __​ 5 ​ × 8 = 8, luego: __
​ 3 ​ × __
​ 40  ​  = 8.
5 3
5 3
5 3
40
15 __
23. Por ejemplo, ​ __
  ​o ​    ​. Hay infinitas posibilidades.
3
3
Problemas 24 y 25
Solicite que resuelvan el problema 24 y haga una
primera puesta en común. Registre:
3
3 1
1
4
4
4 4
● Como __
​ 34 ​= __
​ 68 ​= 6 × __
​ 18 ​, luego __
​ 34 ​: __
​ 18 ​= 6 y se pueden armar 6 paquetitos.
● Como __
​   ​= 3 × __
​   ​, entonces __
​   ​: __
​   ​= 3 y se pueden armar 3 paquetitos.
Pida que resuelvan el problema 25 y en la instancia colectiva escriba:
29.
__
​ 13 ​
​ __49 ​
2
__
​ 83 ​
​ __34 ​
__
​ 32 ​
__
​ 94 ​
1
2
3
__
​ 38 ​
__
​ 12 ​
30. __
​ 23 ​
Problema 31
A partir de la interacción con los alumnos, resuelva
el problema. El objetivo es buscar la máxima cantidad de veces
​ 35
  ​. Si no se necesitara encontrar un
enteras que __
​ 38 ​entra en __
4
número entero, el valor podría hallarse a través de la división ​ 
35 __
3 35 __
 1
__
  ​: ​   ​= __
​  4  ​× ​ 83 ​= ___
​ 280
  ​= __
​ 70
  ​. Como __
​ 70
  ​= ___
​ 69
   ​+​ __  ​= 23 + __
​ 13 ​, es posible
4 8
12
3
3
3
3
dar 23 saltos enteros. Para saber a qué número llega puede
3 70 __
  ​− 23 ×​ __  ​= __
​  8  ​− ​ 69
  ​= __
​ 18 ​.
usarse el cálculo: __
​ 35
4
8
8
● __
​  6  ​tiene que ser el producto entre la parte de la base y de la altura
15
6
​ 35 ​= __
​ 13 ​× __
​ 65 ​= __
​ 33 ​× __
​ 25 ​= 1 × __
​ 25 ​ = __
​ 15
  ​.
que se considere. Por ejemplo, ​ __23 ​× __
31. a. 23 saltos.
b. 14 saltos.
El segundo producto no sirve porque no puede tomarse más de un
24. 3 paquetes de __
​ 14 ​kg; 6 paquetes de __
​ 18 ​kg.
​ 23 ​.
b. Sí.
25. a. Por ejemplo, __
​ 35 ​y __
Problema 26
La resolución de este problema queda a su cargo,
interactuando con los alumnos. Por ejemplo:
10 __
5
  ​: ​   ​hay que encontrar un número que multiplicado
Para resolver ___
​ 15
3
5
10
_
__
​ 5 ​ × __
​ 3  ​= 1, entonces __
​ 5 ​ × __
​ 3  ​ × ​__
​ 10
 ​= __
​ 10 ​y el número
por ​ 3 ​dé ​ 15 ​. Como __
15 15
3 5
3 5
​ 10
 ​, que es el inverso del divisor por el dividendo.
buscado es __
​ 53  ​ × ​__
15
26. Para hacer la división hay que multiplicar el
dividendo por el inverso del divisor.
Problemas 27 a 30
Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en
común registre las conclusiones:
3
1 __
__
● 4 ​   ​: ​   ​= (4 + __
​ 12 ​) : __
​ 34 ​= __
​ 92 ​: __
​ 34 ​= __
​ 92 ​× __
​ 43 ​= __
​ 36
  ​ = 6.
6
2 4
3
9
__
● El número que multiplicado por ​   ​da __
​ 20
   ​es el resultado de
5
3 ___
3 ___
9 __
9 __
27
__
​     ​: ​   ​= ​      ​× ​   ​ = ​     ​.
20 5 20 5 100
● Dividir un número por __
​ 34 ​es lo mismo que multiplicarlo por __
​ 43 ​.
2
2
● Si __
​ 15 ​: ... = __
​ 15
   ​, entonces __
​ 15 ​= __
​ 15
   ​× ... por lo tanto, el número
2 __
1 15 __
buscado es __
​ 15 ​: __
​ 15
   ​= ​   ​× __
​  2  ​= ​ 15
 ​ = __
​ 3  ​.
5
10 2
Problemas 32 y 33
Pida que resuelvan los problemas. En la puesta
en común del problema 32 pregunte por la
decisión respecto del valor de verdad de las afirmaciones y las
explicaciones. Registre, por ejemplo:
● Como __
​ 64 ​= __
​ 32 ​y __
​ 54 ​: __
​ 32 ​= __
​ 56 ​, entonces también es cierto que __
​ 45 ​: __
​ 46  ​= __
​ 65 ​.
5 __
3 __
5
3
5
5
__
__
__
__
● La división ​   ​: ​   ​= ​   ​indica que ​   ​entra ​   ​veces en ​    ​, o sea que
4 2 6
4
6
2
__
​ 56 ​× __
​ 32 ​ = __
​ 54 ​. Si se cambian las fracciones de la última igualdad por otras
10 __
6 5
 ​× ​   ​= __
​   ​.
equivalentes a ellas, la igualdad sigue valiendo, por ejemplo, ​ __
12 4 4
Las razones por las que el resultado de una división puede
ser mayor que el dividendo no resultan evidentes a los
alumnos, por lo que es posible que tenga que hacerse cargo de
explicarlo. Puede apoyarse en los siguientes hechos:
● El resultado de 35 : 7 es 5 porque 7 × 5 = 35. El resultado no podría
ser mayor que 35 porque, al tratarse de números naturales, los dos
números que multiplicados dan 35 tienen que ser menores que 35.
● Para calcular 35 : __
​ 12 ​hay que analizar la cantidad de veces que __
​ 12 ​
entra en 35. Como ​ __12 ​entra 2 veces en 1, entrará 35 × 2 = 70 veces
en 35. El resultado de este cálculo no son 70 unidades, sino la
cantidad de ​ __12 ​necesarios para armar 35 unidades.
● Si se divide por una fracción menor que 1, el resultado es siempre
mayor que el dividendo y cuanto menor sea, mayor será el cociente.
32. Son correctas: a. y c..
33. a. Respuesta personal.
b. Hay muchas posibilidades, por ejemplo: __
​ 75 ​: 3.
27. 6 botellitas. No sobra.
28. __
​ 34 ​
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condición pedida pero no cualquier producto la cumple.
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lado del rectángulo ( ​ __65 ​>1). Hay infinitas opciones que cumplen la
Capítulo 5
Problemas 34 a 38
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
Pida que resuelvan los problemas. Según las
dificultades que surjan, decida en qué momentos
ubicará las puestas en común.
Teniendo en cuenta que la carpeta debe ser un documento
de estudio, es necesario registrar las conclusiones así como las
anotaciones personales de los alumnos. Para estos problemas,
algunas de las conclusiones deben ser:
● Una forma de comparar los consumos de combustible de los autos
es para la misma cantidad de kilómetros, no importa cuál sea. El de
Claudio consume 3 ​ __14 ​ litros cada 20 km, entonces consume
3 __
​ 14 ​× 3 = 9 __
​ 34 ​ litros cada 60 km. El de Tami, en cambio, consume
5 __
​ 18 ​litros cada 30 km, y 5 __
​ 18 ​× 2 = 10 __
​ 28 ​ litros cada 60 km. Por lo
tanto, Claudio gasta menos.
● Para expresar una velocidad dada en km/min, en km/h, puede
pensarse de la siguiente forma. 2 km/min significa que se recorren
2 km en 1 minuto, entonces en 1 hora o 60 minutos se recorre
2 × 60 km = 120 km y 2 km/min es equivalente a 120 km/h.
● Para realizar una ampliación de una figura, cada lado se
multiplica por un mismo número. Si un lado que mide 8 cm tiene
que pasar a medir 10 cm, entonces el número por el que hay que
10 __
5
   ​= ​   ​. El largo medirá 12 × __
​ 54 ​= 15 cm.
multiplicar es 10 : 8 = ​ __
8 4
● Si Laura da 8 vueltas cuando María da 6, entonces cuando Laura da
​ 34 ​de vuelta. Entonces, cuando Laura da
1, María da 6 : 8 = ​ __68 ​= __
​ 15
   ​de vuelta.
5 vueltas, María da __
​ 34 ​× 5 = __
4
34. El de Tami.
35. No, no funciona bien porque si gastó 57 l para
300 km, para 25 km gastó __
​ 57
 ​= __
​ 19
  ​l.
4
12
36. Van a la misma velocidad porque Pedro en 60 minutos hace
2 × 60 = 120 km.
37. 15 cm.
38. a. __
​ 32 ​vueltas.
b. __
​ 5 ​  vueltas.
  ​vueltas.
c. __
​ 26
7
2
Problemas 39 a 45
Pida que resuelvan los problemas. En función de las
dificultades que surjan, decida en qué momentos ubicará las
puestas en común. Entre las conclusiones, cite:
● En el problema 39, además de aplicar propiedades de la
proporcionalidad, es posible calcular la constante de proporcionalidad
16
   ​: 2 = __
​ 16
   ​× __
​ 1 ​= __
​ 16 ​= __
​ 8 ​y usar que el valor de B es igual al valor
como ​ __
9
9 2 18 9
8
__
de A multiplicado por ​ 9 ​.
● En el problema 40, la constante es __
​ 34 ​: __
​ 12 ​= __
​ 34 ​× 2 = __
​ 32 ​y agua = __
​ 32 ​×
cal. También puede decirse que al dividir la cantidad de agua por __
​ 32 ​
se obtiene los kilogramos de cal.
● En el problema 41, sugiera que completen la tabla que Matías
plantea en el lateral.
● En el problema 42, si hay 16 aprobados y 24 alumnos en total, la
16
 ​.
fracción de aprobados es ​ __
24
Los demás problemas son aplicaciones de los anteriores.
39.
A
B
__
​ 12 ​
__
​ 49 ​
2
16
​ __
  ​
9
__
​ 34 ​
__
​ 23 ​
32
​ __
  ​
9
​ __14 ​
​ __34 ​
4
6 __
​ 12 ​
11
52
​ __
  ​
9
88
​ __
  ​
9
​ __38 ​
​ __56 ​
40.
Cal (en kg)
Agua (en litros)
__
​ 12 ​
__
​ 34 ​
​ __38 ​
​ __98 ​
9
​ __
  ​
16
​ __54 ​
16
21
41. a. __
​ 20
  ​l. b. ​ __
  ​l.
42. ​ __
 ​.
3 16 2 14 4
24
13
__
__
__
__
43. 6° A: ​ 40 ​= ​ 5 ​= ​ 35 ​; 6° B: ​ 35 ​. 6° A tiene un mejor rendimiento.
44. $91,5.
45.
A
B
__
​ 34 ​
__
​ 13 ​
9
​ __
  ​
16
​ __14 ​
​ __98 ​
​ __12 ​
27
​ __
 ​
20
​ __35 ​
__
​ 32
  ​
5
___
​ 128
  ​
45
​ __13 ​
4
__
​ 27
  ​
Problemas 46 y 47
Pida que resuelvan el problema 46. Recuerde a sus
alumnos que los cálculos mentales no se refieren a que hay
que resolverlos “en la cabeza”, sino que se trata de cálculos
reflexionados, donde se transforma el cálculo original en
otro más simple que sí puede resolverse en la mente. Las
transformaciones tienen que ser escritas y explicitadas para
que resulte posible reconstruir el razonamiento que permitió
encontrar el resultado.
En este caso, una traducción coloquial del cálculo ayuda a
resolverlo. Por ejemplo,
● 36 × __
​ 12 ​ es la mitad de 36, que es 36 : 2 = 18.
1
__
● 24 × ​   ​es la cuarta parte de 24, 24 : 4 = 6.
4
● 40 × 1 __
​ 12 ​ es 1 vez y media 40. Como la mitad de 40 es 20, el total
es 40 + 20 = 60.
● 39 × __
​ 23 ​ es lo mismo que 39 × __
​ 13 ​ × 2 . La tercera parte de 39 es 13 y
su doble es 26.
● En general, para multiplicar un número entero por una fracción
de numerador 1 puede dividirse el número por el denominador de
la fracción.
A partir del problema 47 se busca encontrar una forma de
dividir un número entero por una fracción de numerador 1.
En la puesta en común pida que expliquen cómo encontraron
las respuestas y por qué. Registre las conclusiones más
importantes. Por ejemplo:
● 4 : __
​ 18 ​es la cantidad de veces que __
​ 18 ​entra en 4. Como hay 8 octavos
​ 14 ​ y el
en 1, hay 8 × 4 = 32 octavos en 4. 4 : __
​ 18 ​ es el doble de 4 : __
1
__
cuádruple de 4 : ​ 2 ​.
● En 1 hay 3 tercios, 6 sextos y 9 novenos, entonces en 30 hay 90
tercios, 180 sextos y 270 novenos. Por lo tanto, 30 : __
​ 31 ​= 90,
30 : __
​ 16 ​= 180 y 30 : __
​ 19 ​= 270.
49
GDM6 c5_2das.indd 49
15/02/2011 12:35:51 p.m.
● Dividir por una fracción de numerador 1 es lo mismo que
multiplicar por el denominador.
46. a. 18
f. 6 ​ __34 ​
47. a. 8
f. 270
b. 6
g. 21
b. 16
g. 36
c. 60
h. 7
c. 32
h. 200
d. 14
i. 26
d. 90
i. 60
e. 5
e. 180
Problemas 48 a 51
En la puesta en común pregunte qué les parece que
tendría que quedar escrito para tener en cuenta
cuando se resuelven problemas similares a estos. Por ejemplo:
● Para calcular el doble de una fracción puede multiplicarse su
numerador por 2, sin cambiar el denominador.
● Una forma de calcular la mitad de una fracción consiste en
multiplicar su denominador por 2, sin cambiar el numerador.
● Una manera de dividir una fracción por un número entero
es multiplicar el denominador por ese número, sin cambiar el
numerador.
● Hay infinitas multiplicaciones que dan 10. Para cada factor que
se quiera, por ejemplo 17, el otro factor se obtiene dividiendo
10
 ​. Luego, 17 × __
​ 10
 ​ = 10.
10 : 17 = ​ __
17
17
48. __
​ 25 ​; __
​ 29 ​; __
​ 14
 ​; __
​ 9 ​; __
​ 16  ​.
15 2 3
2.560
1
  ​× 100, __
​ 37 ​× __
​ 70
  ​, ___
​ 123  ​×​ _____
  
​.
​ __
10
3 256
123
Problemas 52 a 54
Plantee una puesta en común después de que
resuelvan cada uno de los problemas.
Para el problema 52, pida que intercambien sus respuestas y
explicaciones. Luego registre las conclusiones:
● Si se multiplican dos números fraccionarios distintos de 1, el
resultado puede ser mayor o menor que los factores. Por ejemplo,
​ __45 ​× __
​ 13 ​< __
​ 45 ​y __
​ 45 ​× __
​ 76 ​> __
​ 45  ​.
● Si se multiplica un número por otro menor que 1, el producto es
menor que el primero. Si se multiplica por un número mayor que 1,
el resultado es mayor que el primer número.
● Si se divide un número por otro menor que 1, el resultado es
mayor que el primero. Si el divisor es mayor que 1, el cociente es
menor que el número.
Para el problema 53, pida que determinen cuáles son los cálculos
equivalentes y que lo justifiquen sin resolver la cuenta. Registre:
● __
​ 1 ​× __
​ 5 ​= __
​ 1 ​× __
​ 1 ​× 5.
2 9 2 9
5 4 __
__
● ​   ​× __
​   ​= ​ 1 ​× __
​ 1 ​× 5 × 4.
6 3 6 3
● __
​ 34 ​× __
​ 25 ​= __
​ 14 ​× 3 × __
​ 15 ​× 2 = __
​ 14 ​× __
​ 15 ​× 3 × 2.
50
GDM6 c5_2das.indd 50
5 3 5 3
15
5 __
2 __
1
1
1 1
__
__
__
● ​   ​× ​   ​= ​   ​× 2 × ​   ​× 5 = ​   ​× __
​   ​× 2 × 5.
9 2 9
2
9 2
Para el problema 54 registre:
3
4
● Hay infinitas divisiones que dan __
​   ​. Como el cociente indica la
cantidad de veces que el dividendo entra en el divisor, el dividendo
es __
​ 34 ​× divisor. Para cada valor que se otorgue al divisor (que no sea
0), se puede calcular el dividendo.
52. Son verdaderas: a. y e..
53. La primera de la primera columna con la segunda
de la segunda columna; la segunda con la primera; la tercera
con la cuarta; la cuarta con la quinta y la quinta con la tercera.
54. Hay infinitos pares. Por ejemplo: 15 y 4, __
​ 32 ​y __
​ 21 ​, __
​ 21
 ​y __
​ 5 ​.
20 7
Aprender con la calculadora
Organice las puestas en común según las necesidades y
dificultades que presente el grupo.
En varios de los problemas, se trata de encontrar cálculos con un
resultado determinado y se plantea la necesidad de “inventar”
uno de los valores que intervienen para poder encontrar el otro.
Los alumnos no suelen considerar que es posible inventar un
valor, por lo que usted debe aclararles que esto se puede hacer.
También deben tener en cuenta que hay que usar las relaciones
entre las operaciones. Registre, por ejemplo:
● Para buscar sumas que den 1, se inventa uno de los valores con
la condición de que sea menor que 1 y el otro se calcula restándole
5
este número a 1. Por ejemplo, si uno de los números es __
​ 18
   ​, el otro
5 __
13
__
número es 1 − ​ 18  ​= ​ 18 ​.
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
51. Hay infinitas multiplicaciones posibles, por ejemplo:
● __
​ 3 ​× __
​ 2 ​= __
​ 1 ​× __
​ 1 ​× 3 × 2 = __
​  1  ​× 6.
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1 __
1 1 __
​ 10
  ​; ​   ​; __
​    ​; ​ 1 ​; __
​ 5 ​; __
​  3  ​; __
​  1  ​; __
​  3  ​; __
​  1  ​; __
​  9  ​; __
​ 9 ​.
49. __
​ 18 ​; __
6 18 7 6 10 12 16 20 22 8
3
1
1
1
2
1
__
__
__
__
__
__
f. ​ 28  ​
50. a. ​ 4 ​ b. ​ 18  ​ c. ​ 20  ​ d. ​ 18  ​ e. ​ 15  ​
8
9
9
__
__
__
g. ​ 10  ​ h. ​ 21  ​ i. ​ 8 ​
Capítulo 5
● Si se quiere encontrar una resta que de 1 y uno de los valores
​ 67 ​= 1 es 1 + __
​ 76 ​=
  __
​ 13
   ​. Si se
es ​ __67 ​, entonces el número que falta en ... − __
7
15
15
__
__
​ 11
   ​.
intentara buscar el número que falta en ​  4  ​− ... = 1 sería ​ 4   ​− 1 = __
4
● Para que un producto dé 3, se propone uno de los valores y el
otro se calcula como 3 dividido el número.
● Para calcular la mitad de una fracción puede dividírsela por 2 o
multiplicar su denominador por 2.
5
d. ​ __
  ​
18
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
​ __23 ​
1
1 __
​ 13 ​
2 __
​ 12 ​
10
​ __
 ​
21
​ __57 ​
20
​ __
 ​
21
25
​ __
 ​
14
9
e. __
​ 16
  ​
__
​ 32 ​
__
​ 34 ​
12
7 __
​ 12 ​
15
__
​ 90
  ​
4
f. __
​ 67 ​
Cantidad de café en
cada frasco (en kg)
__
​ 12 ​
__
​ 14 ​
4
2 __
​ 12 ​
5
30
​ __
  ​
4
29. a. __
​ 19 ​
2. a. Hay infinitas, por ejemplo: 5 × __
​ 14 ​, 1 + __
​ 14 ​, 2 – __
​ 34 ​.
b. Hay infinitas, por ejemplo: 6 × __
​ 14 ​, 1 + __
​ 24 ​, 2 – __
​ 2 ​  .
4
3. a. 60
b. 25
c. 15
d. 35
e. 150
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
__
​ 26 ​
5
__
​ 21
  ​
Cantidad total de café
(en kg)
b. ​ __14 ​
25
b. ​ __
  ​vueltas.
3
  ​vueltas. 30. a. __
​ 21
5
31.
1. 7
2
c. ​ __
  ​
25
7
b. ​ __
  ​litros.
6
 ​
f. __
​ 32
35
Respuestas de actividades de integración
b. 2
25. a. 3 kg; __
​ 94 ​kg.
28.
5. ​ __73 ​= __
​ 33 ​+ __
​ 43 ​= 1 + __
​ 43 ​. Hay que sumarle __
​ 43 ​.
6. a. __
​ 54 ​ b. __
​ 34 ​
c. __
​ 13
 ​
d. __
​ 13
 ​
e. ___
​ 11  ​
10
12
10
12
7. __
​ 69 ​, __
​ 16
 ​y __
​ 
 ​.
24 18
4. a. __
​ 38 ​
c. ___
​ 125
  ​km.
16
24
b. ___
​ 125
  ​ litro.
2
24. a. ___
​ 25
   ​ litro.
Duraznos (en kg)
4. Dividiendo por 2 el número fraccionario.
8. a. 6. b. ​ __94 ​
c. __
​ 25
 ​
d. __
​ 19 ​
28
9. Sí, porque 2 es mayor que __
​ 85   ​.
1
23. La de la izquierda, porque ​ __
  ​es mayor que __
​ 14 ​.
3
Frutillas (en kg)
3. Hay infinitas.
9
c. __
​ 10
  ​
b. No.
1
22. ​ __
  ​m.
20
27.
2. Hay infinitas.
b. __
​ 43 ​
47
21. a. ​ __
 ​cm. 35
26. __
​ 72 ​cm.
1. Hay infinitas. Por ejemplo __
​ 12 ​+ __
​ 12 ​.
a. __
​ 38 ​
20. 11 botellas.
Latas de blanco (cada una de 1 litro)
3
8
10
15
18
Latas de rojo (cada una de 1 litro)
__
​ 98 ​
3
__
​ 15
  ​
4
45
​ __
  ​
8
27
​ __
  ​
4
32. Es más oscura porque __
​ 23 ​< __
​ 34 ​.
f. 405
6
33. Mujeres: __
​ 30
 ​, varones: __
​ 36
  ​.
36
5
7
34. El __
​ 12
  ​está a 1,5 cm a la izquierda del __
​ 12 ​. El __
​ 12
  ​está a 1,5 cm a la
d. ​ __29 ​
derecha del __
​ 12 ​.
5. 80 litros.
9
17
35. B = ​ __
 ​, C = __
​ 26
 ​. Cada cuadradito mide __
​ 80
  ​.
20
20
6. Construcción. ​ __35 ​.
7. __
​ 23 ​× __
​ 14 ​.
5
1
1
36. A = ​ __
  ​, B = __
​ 31 ​, C =​ __12 ​, D = __
​ 12
  ​. Cada cuadradito mide __
​ 24
  ​.
12
58
9. Hay infinitos. Por ejemplo: ​ __35 ​× __
​ 53 ​, ___
​ 156
  ​× ___
​ 156
  ​ .
58
de el __
​ 54 ​.
37. El ​ __32 ​a 2,5 cm a la derecha del __
​ 54 ​y el 1 a 2,5 cm a la izquierda
8. __
​ 35 ​
10. Hay infinitos. Por ejemplo: __
​ 35 ​× __
​ 10
  ​, ___
​ 156  ​× ___
​ 116
  ​.
156
3 58
7 ___
77 17
38. a. Hay infinitos, por ejemplo: ​ __
  ​, ​    ​,  __
​   ​.
10 100 25
12 __
12 3 __
12. Hay infinitos. Por ejemplo: 3 : 3, ​ __
  ​: ​    ​, __
​   ​: ​ 3 ​.
5 5 7 7
13. Hay infinitos. Por ejemplo: 6 : 3, __
​ 24
  ​: __
​ 12  ​, __
​ 6 ​: __
​ 3 ​.
5 5 7 7
39. Hay infinitos en todos los casos. Por ejemplo:
3 5
1
1 __
11. Hay infinitos. Por ejemplo: 5 × __
​ 12
  ​, 10 × __
​ 24
  ​, ​ 4 ​× __
​ 9 ​.
14. a. 5
b. 4
c. 28
d. 12
15. a. __
​ 14 ​
b. ​ __59 ​
c. ​ __94 ​
d. ​ __12 ​
e. 10
b. Sí, hay infinitos.
3
a. ​ __
  ​
10
f. 55
5
b. __
​ 14
  ​
13
40. ​ __
  ​y 2 + __
​ 53 ​.
5
41. a. >
b. <
d. __
​ 49
 ​
60
c.​ __58 ​
c. >
5
e. __
​ 12
  ​
d. <
f. __
​ 56 ​
e. <
f. <
16. 22 botellas.
42. Sí, es cierto, porque debería poder escribirse como fracción
17. __
​ 34 ​litro.
equivalente con denominador 10 y no se puede.
18. 16 ​ __23 ​baldes.
19. Sí. Queda __
​ 14 ​litro en la botella.
43. No, no es cierto, porque __
​ 15
  ​= _____
​ 1.875
 
 ​.
8
1.000
51
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Capítulo 6
Planos
y cuerpos
Objetivo:
Que los alumnos
reconozcan y armen cuerpos
geométricos, identificando
el número de caras, aristas y
vértices.
pag 30-31
NAP:
El reconocimiento de
cuerpos y la producción y el
análisis de construcciones.
1. a. Marcado.
b. Marcado.
c. Están en el mismo piso de la cochera.
d. Están una arriba de la otra.
2. a. 10
b. 25
c. Marcado.
d. Marcado.
e. No, porque el piso y la cochera se ubican en distintos ejes.
3. a. Marcado. b. C6. c. C2, D2, E2, E3, E4, E5, E6, D6, C6.
d., e. y f. Producción personal.
Problema 4
Proponga un debate para acordar qué características
ayudan a identificar cada cuerpo. Más allá de las particularidades,
registre que la diferencia entre los prismas y las pirámides es que,
en los prismas, hay dos bases de la misma forma unidas con
rectángulos, mientras que en las pirámides, cada vértice de la base
se une con un mismo vértice.
4. a. Tiene 2 caras cuadradas, las otras 4 son
rectangulares, 8 vértices y 12 aristas.
b. Tiene 2 caras pentagonales, las otras 5 son rectangulares, 10
vértices y 15 aristas.
c. Tiene 2 caras triangulares, las otras 3 son rectangulares, 6
vértices y 9 aristas.
d. Tiene punta, 4 caras triangulares, 3 iguales y una distinta, 6
aristas y 4 vértices.
Problema 5
Pida que resuelvan esta actividad de tarea. No
presenta dificultades, por lo que pueden resolverla solos. Haga
una puesta en común solo si lo considera necesario.
5. 5 bolitas, 4 bombillas cortas y 4 bombillas largas.
Problemas 6, 7 y 8
En la puesta en común generalice los resultados que
deben quedar registrados:
● La cantidad de bolitas coincide con la cantidad de vértices, y la
cantidad de palitos, con la de aristas.
● La cantidad de bolitas y palitos en las bases de un prisma
coinciden, o sea que es el doble de las necesarias para una de ellas.
● La cantidad de palitos necesarios para los laterales de un prisma
o una pirámide coincide con la cantidad de vértices o lados que
tiene su base.
Pirámide de
base cuadrada
Prisma de
base cuadrada
Vértices
Aristas
Vértices
Aristas
4+1=5
4×2=8
4×2=8
4 × 3 = 12
El problema 8 es una aplicación del anterior.
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Pida que resuelvan uno a uno los tres problemas y gestione
puestas en común al finalizar cada ejercicio. Luego concluya
que para comunicar lugares y espacios, en planos, es
imprescindible formular acuerdos. Por ejemplo, el gráfico de la
actividad 2 sería distinto si en lugar de poner los pisos en el eje
horizontal se hubieran puesto en el vertical.
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Problemas 1 a 3
Capítulo 6
6. a. 12 bolitas y 18 palitos. b. 7 bolitas y 12 palitos.
7. Por ejemplo, que el prisma de base cuadrada tiene
dos caras cuadradas y las otras rectangulares, mientras que la
pirámide de base cuadrada tiene una sola cara cuadrada y las
otras triangulares. Además, una tiene punta y la otra no.
8. Hay que elegir 8 bombillas iguales entre sí y otras 4 bombillas
iguales entre sí.
Problemas 9 y 10
En la instancia colectiva registre las conclusiones:
● En una pirámide:
- la cantidad de vértices es la cantidad que hay en la base más 1. Si
la base es un pentágono, hay 5 + 1 = 6 vértices;
- la cantidad de aristas es el doble de la cantidad de lados que tiene
la base. Si la base es un pentágono, hay 5 × 2 = 10 aristas;
- la cantidad de caras es igual a la cantidad de lados de la base
más 1.
● En un prisma:
- la cantidad de aristas es el triple de la cantidad de lados de la base;
- la cantidad de vértices es el doble de la cantidad de vértices de la base;
- la cantidad de caras es la cantidad de lados de la base más 2.
9. 3 aristas, 1 vértice y 2 caras.
b. 2 vértices y 5 aristas.
10. a. 4 caras.
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Problema 11
Proponga que discutan sobre la veracidad de las
afirmaciones, con sus respectivas explicaciones. Luego elijan
una y registre, por ejemplo:
● Un prisma siempre tiene una cantidad par de vértices, porque es
el doble de los vértices que hay en una de las bases.
● Una pirámide no siempre tiene una cantidad impar de vértices: si
la base tiene una cantidad impar de vértices, la pirámide tiene una
cantidad par de vértices, mientras que si la base tiene una cantidad
par de vértices, en total habrá una cantidad impar.
11. Son correctas: a y c.
Problemas 12 a 14
Estos problemas son una aplicación de los anteriores.
Haga una puesta en común solo si lo cree necesario.
12. a. 6caras laterales.
13. a. 8caras laterales.
14. Producción personal.
Por ejemplo: si un cuerpo tiene 8 vértices, 6 caras y 12 aristas,
no puede ser una pirámide porque, en ese caso, como hay 12
aristas, la base debe tener 6 lados; por lo tanto, el cuerpo tendrá
7 vértices y no 8. Para analizar si es un prisma, como tiene 12
aristas, debe tener 4 lados en la base y, por lo tanto, tendrá
4 + 2 = 6 caras y 4 × 2 = 8 vértices. El cuerpo buscado es,
entonces, un prisma cuya base es un cuadrilátero.
15. a. Prisma cuya base es un cuadrilátero.
b. Pirámide cuya base es un cuadrilátero.
c. Prisma de base triangular.
Problemas 16 y 17
Discuta con los alumnos acerca de la
resolución del problema 16. Con respecto a la parte
a., aclare que la base de un cuerpo tiene que ser
una figura plana, que tiene al menos 3 lados. En
el único caso en que se obtiene un cuerpo con 4
vértices es con una pirámide de base triangular.
El cuerpo no podría ser un prisma, porque la
cantidad de vértices es el doble de la cantidad de lados de la
base. Para que sea 4, la base debería tener 2 lados, lo cual no
constituye una figura.
Para la actividad 17, pregunte cómo se dan cuenta de cuál es el
prisma con la menor cantidad de vértices. Concluya que como
la cantidad de vértices de un prisma es el doble de la cantidad de
vértices de la base, y la base puede tener como mínimo 3 vértices,
el prisma con la menor cantidad de vértices posibles es el prisma
de base triangular y tiene 6 vértices.
16. a. Producción personal.
b. Sí.
c. La pirámide de base triangular, que tiene 4 vértices.
17. Producción personal.
Problemas 18 a 20
El objetivo de estos problemas es estudiar el
desarrollo plano de los cuerpos. Pida que copien los
dibujos en papel, los recorten y traten de armar los cuerpos.
Esto permitirá analizar cuál de los desarrollos permite armar los
cuerpos. No proponemos usar mucho tiempo en este tipo de
trabajo, debido a que su único objetivo es usarlo para pensar
cuál sirve. Tenga presente que, analizando el cuerpo, muchas
veces es posible descartar algunos desarrollos sin necesidad de
probar el armado del cuerpo.
b. 10 caras laterales.
b. 12 caras laterales.
18. C.
19. B.
20. B.
Problema 15
Los alumnos deberán explorar cuál puede ser
cada cuerpo. Para esto, necesitan apoyarse en las
relaciones que se han desarrollado en los problemas anteriores.
Problemas 21 y 22
En la puesta en común del problema 21, registre
que la cantidad de rectángulos que se necesitan para
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construir una pirámide coincide con la cantidad de lados que tiene
la base.
La actividad 22 es una aplicación de los anteriores. Pida que la
resuelvan de tarea.
21. a. 6 rectángulos. b. 10 rectángulos.
22. Producción personal.
Problema 23
Luego de resolver este problema, gestione una
puesta en común y pregunte cómo se dieron
cuenta de la cantidad de triángulos necesarios y acompañe el
razonamiento con un dibujo.
23. 10 triángulos.
Problema 24
Luego de que resuelvan este problema, pregunte
cómo lo pensaron. Finalmente, registre una solución
acordada: La cantidad de aristas para dibujar una pirámide es el
doble de la cantidad de lados que tiene la base. Si la base tiene 3
lados, se necesitan 6 aristas.
En la puesta en común registre las conclusiones más
importantes de estos problemas:
● Si el desarrollo plano de un cuerpo está formado por 7 rectángulos
iguales y otras dos figuras, estas tienen que tener 7 lados. Se obtiene
un prisma de base heptagonal.
● Si en lugar de rectángulos se usan triángulos, entonces se arma
una pirámide de base heptagonal.
● Para armar el desarrollo plano de un prisma se necesitan tantos
rectángulos como lados tiene la base.
25. Pirámide de base heptagonal.
26. Prisma de base heptagonal.
27. Pirámide cuya base es una figura de 9 lados.
28. 20.
Problemas 29 y 30
Pida que resuelvan los dos problemas juntos. Haga
una breve puesta en común luego del ejercicio 29
solo para verificar respuestas. Para la actividad 30, pregunte
cómo hicieron para saber dónde ubicar los puntitos.
29. A, C y J.
30. Por ejemplo:
Pida a sus alumnos que piensen en parejas las
afirmaciones durante 5 o 10 minutos. Luego proponga un
intercambio y registre las conclusiones:
● La cantidad total de vértices de una pirámide es uno más que la
cantidad de vértices de la base. Si una pirámide tiene 6 vértices, su
base tiene 5 y, por lo tanto, es un pentágono. Si tiene 8 vértices, su
base es un polígono de 7 lados.
● La cantidad de aristas de una pirámide es el doble de la cantidad
de lados de su base y el doble de un número es siempre par.
● La cantidad de aristas de un prisma es el triple de la cantidad de
lados de su base. Si la base tiene una cantidad par de lados, entonces
el prisma tiene una cantidad par de aristas; si la cantidad de lados de
la base es impar, la cantidad de aristas también lo es.
31. a. Es correcta, porque en una pirámide queda un
vértice que no es vértice de la base.
b. Falsa. La pirámide de base heptagonal tiene 8 vértices.
c. Es correcta, porque la cantidad de aristas de una pirámide es
el doble de la cantidad de lados de la base.
d. Es falsa. El cubo, por ejemplo, tiene 12 aristas.
Problemas 32 a 35
Pida que resuelvan los problemas y luego gestione una
puesta en común. Los ejercicios 32 y 33 no deberían
plantear dificultades, por lo que solo haga un breve intercambio.
Para la actividad 34, luego del debate asegúrese de que quede
registrada la conclusión: La cantidad de varillas de igual medida
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Problemas 25 a 28
Problema 31
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24. 6 aristas.
Capítulo 6
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4. a. Falso. Una pirámide de base cuadrada tiene 5 vértices.
b. Falso. La pirámide de base hexagonal tiene 7 vértices.
c. Falso. La cantidad de aristas de una pirámide es el doble de
la cantidad de lados de la base y, por lo tanto, es siempre un
número par.
d. Falso. La cantidad de aristas de un prisma es el triple de la
cantidad de lados de la base. Si la figura tiene 3 lados, entonces
tendrá 9 aristas, que es un número impar.
5. Producción personal.
6.
que deben comprarse es 4 + 4 + 4 = 4 × 3 = 12 (4 para cada base
y 4 para el lateral), o sea, 12 × 4 cm = 48 cm. Si se duplican las
longitudes de las varillas, se necesitarán 12 × 8 cm = 96 cm, que es
el doble de 48, debido a que se duplicó uno de los factores.
En el problema 35, pregunte a los alumnos cómo hicieron para
darse cuenta de la cantidad de pirámides que entran y anote la
conclusión: Entran 6 pirámides, una apoyada sobre cada una de
las caras.
32. El tercer dibujo, el de color anaranjado.
33.
Pirámide de base
pentagonal
Pirámide de base
triangular
Todas las caras
son triángulos.
No
Sí
Tiene todas las caras
iguales menos una.
Sí
Sí
Tiene 6 vértices.
Sí
No
Tiene una cara que
es un cuadrado.
No
No
Tiene 6 aristas.
No
Sí
7. a.
b. En el prisma de base rectangular: no se ven 1 vértice y 3
aristas. En el prisma de base pentagonal: no se ven 2 vértices y
5 aristas. La pirámide se puede completar como una pirámide
de base triangular (con lo cual se verían todos los vértices y no
se vería 1 arista) o de base cuadrada (no se verían 1 vértice y 3
aristas).
8.
Desarrollo plano
Cuerpo
34. a. 48 cm.
b. Sí, porque para calcular la cantidad de madera hay que
multiplicar la medida de la arista por 12. Si se duplica la arista, la
cuenta da el doble.
35. 3 más.
Respuestas de actividades de integración
1. a. Producción personal.
b. i. 18 palitos y 12 bolitas.
c. Producción personal. 2. Un pentágono.
3. Un pentágono.
ii. 10 palitos y 6 bolitas.
d. Producción personal.
Prisma de base
cuadrada
Prisma de base
rectangular
Prisma de base
triangular
Pirámide de base
hexagonal
Pirámide de base
rectangular
Pirámide de base
pentagonal
Cantidad de
triángulos
Cantidad de
rectángulos
0
6
0
6
2
3
4
1
4
1
5
0
55
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Capítulo 7
Los números
racionales
decimales
Objetivo:
Que los alumnos interpreten,
registren y comparen números
decimales, y argumenten
sobre la equivalencia de
distintas representaciones y
descomposiciones.
NAP:
El reconocimiento y uso de
las expresiones decimales, de
la organización del sistema
decimal de numeración,
y la explicitación de sus
características en situaciones
problemáticas.
1. 10 botellitas.
15
2. $1,5 y $​ __
 ​.
10
3. a. Todos.
b. No, Matías y Lazlo tienen razón.
Problemas 4, 5, 6 y 7
Estos problemas plantean una reinversión del
ejercicio 3, donde se buscan diferentes escrituras
para una fracción que expresa el resultado de una división.
Haga una puesta en común después de las actividades 4 y 5. Para
el problema 4, pida que escriban diferentes respuestas posibles
para 45 : 10 y para 45 : 100. Por ejemplo: ___
​ 45  ​, 4,5, etcétera.
10
16
8
__
___
Para el ejercicio 5, como ​   ​  y ​    ​son fracciones equivalentes y 1,6
5 10
es un número decimal equivalente a ellas, las divisiones 8 : 5, 16 :
10 o cualquier otra equivalente son respuestas posibles.
Solicite que resuelvan los problemas 6 y 7. En la puesta en
común, luego de debatir sobre las diferentes respuestas, registre:
Como hay infinitos números fraccionarios equivalentes a otro,
entonces hay infinitas divisiones de las cuales una fracción puede
ser el resultado.
Problema 3
En la puesta en común deben discutir varias
cuestiones.
● El resultado de 7: 4 es __
​ 7 ​ . Las siguientes relaciones muestran por
4
qué algunos de los resultados son iguales:
__
​ 7 ​  = __
​ 4 ​  + __
​ 3 ​  = 1 + __
​ 3 ​  = 1 + ____
​  75  ​ = 1 + 0,75 = 1,75 = ____
​ 175  ​
4 4 4
4
100
100
● 13 : 4 = ___
​ 13 ​ = ___
​ 12 ​ + __
​ 1 ​  = 3 + 0,25 = 3,25. Por otro lado, sin necesidad
4
4 4
de hacer cálculos es posible decir que el resultado de la división no
4. a. Hay muchas posibles respuestas, por ejemplo:
__
 ​; 4,5; ___
​ 450
  ​.
​ 45
10
100
45
450
  ​;  0,45; ​ _____  ​ .
b. Hay muchas posibles respuestas, por ejemplo: ​ ___
100
1.000
5. 5
6. Por ejemplo: primer número: 3, segundo número: 4, o el
primero 75 y el segundo 100. Hay muchas posibilidades.
7. Por ejemplo: 75 : 10; 15 : 2; 750 : 100.
puede ser 13,4, porque 4 no entra más de 13 veces en 13.
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El primer problema no debería traer dificultades. Observe
que, para resolverlo, es necesario hacer un reparto. En
la puesta en común, pregunte cómo hicieron para saber cuál es la
cantidad que cada uno debe pagar y registre las conclusiones:
● El resultado de repartir $15 entre 10 es menor que 15, por lo que
se descartan $150 y $15.
● Para repartir $15 entre 10 puede resolverse la división 15 : 10,
15  ​.
cuyo resultado es ​ ___
10
● Repartir $15 entre 10 puede pensarse como repartir primero $10
entre 10, que es $1, y luego repartir los $5 restantes entre las 10
personas, que son 50 centavos. Cada uno recibe $1,50 = $1,5.
● Otra forma de saber si uno de los resultados dados es correcto
es si sumándolo 10 veces el resultado da $15, la cantidad inicial de
dinero. Por ejemplo: 1,5 × 10 = 15.
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Problemas 1 y 2
Capítulo 7
coloquial y lo numérico: 6,125 son 6 enteros, 1 décimo, 2 centésimos
y 5 milésimos, que numéricamente puede escribirse como:
6 + ___
​  1   ​ + ____
​  2   ​ + _____
​  5    ​= _____
​ 6.000  ​+ _____
​  100   ​+ _____
​  20    ​+ _____
​  5    ​= _____
​ 6.125  ​
10 100 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
Solicite que resuelvan el problema y en la puesta en común
registre las escrituras que llevan a expresar un número decimal
de forma fraccionaria.
11. a. _____
​ 6.358
  
​ b. ___
​ 102
  ​
100
1.000
75
e. _____
​ 1.000
  ​ 
2.001
f. ​ _____
  
1.000
c. _____
​ 1.101
  
​
1.000
d. __
​ 35
 ​
10
g. __
​ 35
 ​
10
h. _____
​ 5.019
 
 ​
1.000
Problemas 12 y 13
El problema 11 sirve para resolver estas dos
actividades. Si los alumnos tienen dificultades,
solicite que relean las soluciones anteriores.
En la puesta en común, pida que escriban cómo hacer para
pasar una suma de fracciones decimales a expresión decimal, y
un número decimal escrito coloquialmente, a fracción.
12. a. 0,374
d. 3,451 13. a. 2,001
d. 0,040 Problema 8
b. 5,498
e. 8,123
b. 4,301
e. 10,1
c. 1,151
f. 5,308
c. 30,30
f. 11,1
Como parte de la puesta en común registre:
3
10
● 18 : 10 = ___
​ 18  ​= ___
​ 10  ​+ ___
​  8   ​ = 1,8
10 10 10
● 3 : 10 = ___
​     ​ = 0,3
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8. a. 0,3
b. 1,8
3
100
● 99 : 10 = ___
​ 99  ​ = 9,9
10
● 3 : 100 = ____
​     ​ = 0,03
c. 0,03
d. 9,9
Problemas 9 y 10
Discuta con sus alumnos la resolución de Tatiana, en
especial tratando de dar sentido a cada paso que desarrolla.
Pida que resuelvan el problema y, en la puesta en común,
proponga que cada grupo escriba una resolución. Registre la
acordada. Por ejemplo:
● __
​ 7 ​  = 7 × __
● __
​ 9 ​  = ____
​ 1 ​  = 7 × ___
​  2   ​  = ___
​ 14  ​= 1,4
​ 225  ​= 2,25
5
5
4 100
10 10
3 ​  375  ​ = 0,375
● __ ​  = _____
● ___
 12  ​= 12 × ____
​  4   ​ = ____
​  48  ​ = 0,48
8 1.000
25
100 100
El ejercicio 10 es una aplicación del 9; pida que lo resuelvan
solos y haga una puesta en común si lo considera necesario.
9. a. 1,4
b. 2,25
c. 0,375
d. 0,48
9
1
 ​= 0,6; ___
​ 25
   ​=
  0,04; __
​ 45 ​= 0,8; __
​ 16
  ​= 0,5625; __
​ 18
  ​= 4,5.
10. __
​ 15
4
25
Problema 11
Pida que lean el procedimiento de Ana y explique
lo que no quede claro. Para ello, recurra a la traducción entre lo
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Problemas 14 y 15
Pida que resuelvan los dos problemas. En la puesta en
común plantee las siguientes preguntas: ¿Siempre es
posible escribir una fracción como otra equivalente que tenga por
denominador una potencia de 10? ¿La expresión decimal de una
fracción tiene siempre una cantidad determinada de dígitos?
Luego de debatir sobre estas cuestiones, registre las conclusiones:
● Si una fracción está simplificada y los únicos divisores primos
del denominador son 2 y 5 (es decir, el denominador es el
producto entre uno o varios 2 y/o uno o varios 5), entonces puede
encontrarse una fracción equivalente a ella con denominador
que sea una potencia de 10, y su expresión decimal tiene una
cantidad determinada de dígitos. En el caso contrario, la expresión
decimal tiene infinitos dígitos, algunos de los cuales se repiten de
manera recurrente, periódica. Defina como número periódico al
número fraccionario que no tiene una fracción equivalente cuyo
denominador sea una potencia de 10.
14. a. ___
​ 125
  ​
100
4
  .​
f. ​ __
10
b. No
g. No
4
c. __
​ 10
  ​
h. No
d. ___
​ 125
  ​
100
i. No
5
e. ___
​ 10
  ​ 
625
j. _____
​ 1.000
  ​ 
15. En todas las que no se pudo encontrar una fracción
equivalente con denominador 10, 100, 1.000, etcétera.
Problema 16
Pida que lean el problema y lo discutan durante un
rato. Luego proponga un debate, del cual deberán surgir las
siguientes conclusiones:
57
15/02/2011 12:41:02 p.m.
Si un número fraccionario:
● no tiene una fracción decimal equivalente, entonces tiene
infinitas cifras decimales.
● tiene una fracción decimal equivalente, entonces puede escribirse
con una cantidad determinada de cifras. Por ejemplo: _____
​ 2.543  ​
1.000
​  543   ​= 2 + 0,543 = 2,543. Si el
​ 2.000  ​+ _____
puede escribirse como _____
1.000 1.000
denominador es 1.000, es imposible obtener más de 3 cifras
decimales, porque se trata de milésimos que se escriben con 3
cifras después de la coma.
16. Sí, es correcto.
Problemas 17 y 18
Pida que resuelvan los dos problemas y proponga
una puesta en común al final. Luego del debate,
asegúrese de registrar las siguientes conclusiones:
● 9 × 25 representa la cantidad total de dinero en centavos.
● Como 25 centavos puede expresarse como $ ____
​  25  ​ o como $0,25,
100
el total de dinero en pesos también puede calcularse como 9 ×
$ ____
​  25  ​ o 9 × $0,25.
100
25
17. 9 × ___
​ 100
  ​,  9 × 0,25 y 9 25
En la puesta en común del problema 19 pregunte
a los alumnos por qué el método de Marcos es útil
para multiplicar fracciones y registre que los números racionales
pueden expresarse como fracciones o con decimales. Una forma
de multiplicar números expresados en forma decimal es pasarlos a
fracciones y usar los métodos conocidos para multiplicarlas.
Para la actividad 20, pídales que expliquen por qué el cuadrado
pintado permite encontrar el resultado del producto. Luego de
debatir sobre la respuesta, concluya que el producto entre dos
números positivos siempre puede pensarse como el resultado de
un área. El cuadrado fue dividido en 100 cuadraditos, cada uno
de los cuales representa 0,01 cm² del grande. La zona sombreada
ocupa 32 de ellos, por lo cual es: 32 × 0,01 cm² = 0,32 cm² = ____
​  32  ​ cm².
100
19. a. Lectura.
5
100
4
  ​+ ___
​ 100
   ​ = + ___  ​+ ___
​  40  ​ + ___
​  5   ​ = ___
​ 145  ​
b. 1,45 = 1 + __
​ 10
100 100 100 100
2
  ​= __
​ 30
 ​+ __
​  2  ​= __
​ 32 ​.
c. Sí, porque 3,2 = 3 + __
​ 10
10 10 10
d. 145 × 32 = 4.640 y 100 × 10 = 1.000
6
4.000 _____
4
  
​= ​ _____
  
​+ ​  600  ​ + _____
​  40   ​ = 4 + __
​ 10
  ​+ ___
​ 100
   ​ 
e. _____
 4.640
1.000 1.000 1.000 1.000
Explique por qué el procedimiento de Matías es
correcto, basándose en el siguiente razonamiento:
Si se quiere hallar el resultado de 3,12 × 2,4, puede intentarse
primero multiplicar por potencias convenientes de 10, de modo de
eliminar los decimales. Por ejemplo:
3,12 ×100 × 2,4 × 10 = 312 × 24, y este resultado es a su vez igual a
3,12 × 2,4 × 1.000. O sea que, si se quiere saber cuánto es 3,12 × 2,4,
hay que dividir el resultado de 312 × 24 por 1.000.
Este método consiste en intentar multiplicar por números naturales,
para lo cual primero hay que multiplicar por potencias convenientes
de 10. Como esto altera el resultado, después hay que dividir por los
números por los que se multiplicó.
Pida que resuelvan los cálculos propuestos y escriba en el
pizarrón cada paso.
21. a. Para que queden números naturales.
b. Sí, porque también quedaría una cuenta entre
números naturales.
c. No, porque la cuenta seguiría teniendo números decimales.
d. Porque multiplica la cuenta por 1.000 (100 × 10).
e. 10.000.000 (10.000 × 1.000)
f. i. 6,825
ii. 2,115
iii. 0,0484
 ​× ___
​ 321  ​= _____
​ 26.001
  
​= 26,001
f. 8,1 × 3,21 = __
​ 81
10 100
1.000
32
  ​ cm² y 0,32 cm²
20. ​ ___
100
Problema 22
Después de que resuelvan el problema, pida a los
alumnos que analicen los resultados que obtuvieron.
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Problemas 19 y 20
Problema 21
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18. $18,75
Capítulo 7
No solo están formados por los mismos dígitos, sino que la
coma se “corrió” un lugar hacia la izquierda. Es probable que
usted tenga que explicar por qué pasa esto:
Multiplicar un número por 0,1 es lo mismo que multiplicarlo por ___
​  1   ​ 
10
y que dividirlo por 10. Por eso, los resultados que se obtienen son la
décima parte de cada número.
Multiplicar por 0,01 es lo mismo que hacerlo por ____
​  1   ​ y que calcular
100
la centésima parte de un número.
22. a. 0,8; 4,5; 20,4; 3,35; 9,99; 10,43.
b. Porque se multiplica por un número menor que 1.
1
Multiplicar por 0, 1 = __
​ 10
  ​es tomar la décima parte.
c. La cifra que ocupaba el lugar de los enteros pasará a ocupar la
de los centésimos; la que ocupaba el lugar de los décimos, pasará
al de los milésimos, etc. El primero, por ejemplo, va a dar 0,08.
Problemas 23 y 24
Revise con sus alumnos que 1 cm puede escribirse
como ____
​  1   ​ m o 0,01 m. Luego solicite que resuelvan
100
estos dos problemas y concluya:
● Si se tiene una medida en centímetros y se la quiere expresar en
metros, hay que dividirla por 100.
● Si una medida está expresada en metros y se la multiplica por
100, queda expresada en centímetros.
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1
23. 1 cm, 0,01 m y ___
​ 100
    ​m.
24.
Proponga discutir entre todos cómo hacer para
encontrar divisiones que den 2,4. Concluya que a partir de
24 : 10 = 2,4 y teniendo en cuenta que 24 : 10 = ___
​ 24 ​ , cualquier
10
24
___
fracción equivalente a ​   ​ define una división cuyo resultado es 2,4.
10
Por ejemplo: 48 : 20; 72 : 30, etcétera.
28. Es cierto lo que dice Tatiana. Por ejemplo, 48 : 20
y 240 : 100.
Problema 29
En la puesta en común, concluya que las fracciones
equivalentes pueden obtenerse multiplicando el
numerador y el denominador por el mismo número; por lo tanto,
si se quiere hallar el resultado de una división y se multiplican el
dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no cambia.
Por ejemplo, 11,9 : 2,8 = (11,9 × 10) : (2,8 × 10) = 119 : 28, y de esta
manera se logra resolver una división entre decimales como una
división entre números enteros.
29. Por ejemplo: a. 119 : 28 y 1.190 : 280
b. 1.002 : 15 y 10.020 : 150 c. 25 : 160 y 250 : 1.600
Problema 30
Centímetros
10
25
100
150
250
450
975
Metros
0,1
0,25
1
1,5
2,5
4,5
9,75
Problemas 25 a 27
Problema 28
En estos problemas se pide que hagan los cálculos
mentales a partir de uno dado. Recurra al lenguaje
coloquial para que los alumnos tengan registro de las razones a
las que se deben los resultados. Por ejemplo:
● De la igualdad 4,5 × 10 = 45 puede “leerse” que 4,5 entra 10 veces en
45 o que 10 entra 4,5 veces en 45. Luego, 45 : 4,5 = 10, y 45 : 10 = 4,5.
● Como 0,385 × 100 = 38,5, entonces 38,5 : 100 = 0,385, y
38,5 : 0,385 = 100.
● Una forma rápida de dividir un número por 10 es corriendo la
coma un lugar para la izquierda; mientras que, si se lo multiplica
por 10, la coma se corre un lugar hacia la derecha.
● Si se divide o multiplica por 100, la coma se corre 2 lugares hacia
la izquierda o hacia la derecha, respectivamente.
Este tipo de cálculos mentales deben estar disponibles para que
sea más sencillo realizar otros.
Pida que lean el problema y lo piensen durante un
rato. Luego, base su exposición en lo siguiente:
● 3,375 : 2,25 = (3,375 × 100) : ( 2,25 × 100) = 337,5 : 225
● 225 × 15 = 225 × 10 + 225 × 5 = 2.250 + 1.125. Este cálculo nunca
puede dar como resultado un número decimal; por lo tanto, 15 no
puede ser el cociente de la división.
● Otra forma de razonar es: como 225 × 10 = 2.250 y 2.250 es
mayor que 337,5, el cociente de la división tiene que ser menor que
10, y en este caso es 15.
30. No está bien. El resultado final es 1,5 y no 15.
Problema 31
Pida que lean lo que hizo Gustavo para resolver la
cuenta y que escriban los pasos en la carpeta. Luego,
solicite que comenten lo que escribieron para armar un texto
consensuado. Por ejemplo: Gustavo multiplica el numerador y el
denominador por 100 porque la cuenta no cambia el resultado, y la
transforma en una división de números naturales. Los 175 enteros
que le sobran los escribe como décimos, 1.750 décimos, y se fija
cuántos décimos tiene la división.
Pida luego que respondan a las preguntas.
25. a. 4,5
b. 10
26. a. 0,385
b. 100
27. a. 4,58
b. 0,458
31. a. Porque no cambia el resultado de la división y
transforma la cuenta en una división de números
naturales.
59
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Antes de que resuelvan estos problemas, recuérdeles
que es necesario que expliciten los pasos realizados
para llegar al resultado. Si bien pueden hacer directamente
la cuenta que se les pide, tienen que aclarar cómo lo hacen.
De esta manera, la lectura posterior les permitirá reconstruir
el razonamiento. Registre algunos de ellos en el pizarrón. Por
ejemplo:
● 1,5 + __
​ 1 ​  + __
​ 3 ​  + __
​ 1 ​  + __
​ 1 ​  = __
​ 1 ​  = __
​ 1 ​  = 2 + __
​ 9 ​ 
4 2 2 4 2
4 4
● __
​ 1 ​  + __
​ 5 ​  + 2,75 = 0,25 + 1,25 + 2,75 = 1,25 + 3 = 4,25
4 4
● 3 enteros, 1 décimo es 3,1 o 3,100, y como 3,075 + 0,025 = 3,1,
entonces a 3,075 le falta 0,025 para llegar a 3,1.
Para el problema 34, pregunte cómo puede estimarse el
resultado de cada cálculo sin necesidad de hacerlo, y registre
una explicación para uno.
b. __
​ 19
  ​= 3,8
5
32. a. __
​ 49 ​ = 2,25
469
17
  ​= 23,45 d. ​ __  ​ ​ = 4,25
c. ​​ ___
4
20
33. a. 0,05
34. a. 0,18
b. 3,01
b. 0,095
c. 3,5
c. 0,925
d. 100
d. 0,025
Problemas 35 y 36
Solicite que lean el método de Lazlo e intenten
explicarlo. Registre:
12 × 1,5 = 12 × 1 + 12 × 0,5 = 12 + 6
La mitad de 12
Luego, pida que resuelvan los tres ítems del problema 35.
Señale que el cálculo c. puede resolverse como 4,5 × 20 =
4 × 20 + 0,5 × 20, pero en este caso resulta más simple hallar el
resultado a través de 4,5 × 20 = 4,5 × 2 × 10 = 9 × 10 = 90.
Luego de que resuelvan la actividad 36, haga una puesta en
común y pregunte cómo se multiplica y divide por 0,1. Registre:
● Multiplicar por 0,1 es calcular la décima parte de un número y se
puede hacer “corriendo la coma” un lugar hacia la izquierda.
● Dividir por 0,1 es buscar la cantidad de veces que 0,1 entra en
un número y es 10 veces el número. Puede decirse, entonces, que
dividir por 0,1 es lo mismo que multiplicar por 10.
35. a. 63
36. a. i. 4,2
b. Producción personal.
b. 45
ii. 340
c. 90
iii. 80
Pida que resuelvan los dos problemas. Insista en que
no pueden hacer cuentas. En la puesta en común
registre las conclusiones:
● Si a un número se lo multiplica por otro mayor que 1, el resultado
es mayor que el primer número.
● Si a un número se lo multiplica por otro menor que 1, el resultado
es menor que el primer número.
37. Hay infinitas respuestas posibles: todos los
números mayores que 1.
38. Hay infinitas respuestas posibles: todos los números
menores que 1.
Problemas 39 y 40
Estos dos problemas muestran si un alumno ha
logrado entender de qué se trata realmente el
cálculo mental. Para que funcionen como un punto de apoyo
para pensar otros problemas, es conveniente registrar las
explicaciones en detalle.
Pida que resuelvan el problema 39 y sugiera que se apoyen
en las explicaciones dadas por Juan. En la instancia colectiva,
acuerden explicaciones y anótenlas. Por ejemplo:
● 12 × 0,5 es la mitad de 12, o sea, 6.
● 24 × 0,5 es el doble de 12 × 0,5; entonces, 12.
● 48 × 0,25 = 24 × 2 × 0,25 = 24 × 0,5 = 12.
● 80 × 0,75 = 80 × __
​ 3 ​ , que puede calcularse como la cuarta parte de
4
de 80, y luego multiplicar el resultado por 3, o sea, 20 × 3 = 30.
● 12 : 0,5 es la cantidad de veces que 0,5 entra en 12. Como 0,5 entra
2 veces en 1, entonces en 12 entra 24 veces. Luego, 12 : 0,5 = 24. Si se
divide por 0,5, se duplica el dividendo.
● Como 4 × 0,25 = 1; 0,25 entra 4 × 48 =192 veces en 48, lo
que significa que 48 : 0,25 = 192. Cuando se divide por 0,25, se
cuadruplica el dividendo.
● 64 : 0,5 = 64 × 2 =128
● 80 : 0,25 = 80 × 4 = 320
● Como 0,75 es el triple de 0,25, entonces el resultado de 80 : 0,75
es la tercera parte de 80 : 0,25 = 320, que es 320 : 3 = ____
​ 320 ​. 
3
En la puesta en común del problema 40 insista en las explicaciones
y registre aquellas que considere importantes. Por ejemplo:
● 0,4 × 7 = 0,1× 4 × 7 = 0,1 × 28 = 2,8
● 3 × 0,8 = 3 × 8 × 0,1 = 24 × 0,1 = 2,4
● 4,5 × 3 = 4 × 3 + 0,5 × 3 = 12 + 1,5 =13,5
● 1,9 × 2 = 2 × 2 – 0,1 × 2 = 4 – 0,2 = 3,8
● 8,45 : 10 = 8,45 × 0,1 = 0,845
● 3,75 : 10 = 0,375
● 17,34 : 0,1 = 17,34 × 10 = 173,4
● 93,25 × 0,1 = 93,25 × ___
​  1   ​ = 9,325
10
39. a. 6 b. 12 c. 12 d. 24 e. 192
40. a. 2,8
b. 2,4
c. 13,5
e. 0,845
f. 0,375
g. 173,4
h. 932,5
f. 320
d. 3,8
60
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Problemas 32 a 34
Problemas 37 y 38
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b. Sí, porque lograría el mismo objetivo.
c. No, porque seguiría teniendo una cuenta con decimales.
d. Porque los convierte en décimos.
e. Porque quiere saber cuántos décimos tiene el cociente.
f. Suma enteros y décimos.
Capítulo 7
Problemas 44 y 45
Aclare las dudas y haga una puesta en común solo en
caso de que lo considere necesario.
44. Producción personal.
45. a. No, mide 58 mm. b. Producción personal.
Problemas 46 a 48
Las expresiones decimales encuentran un uso en
las unidades de medida, que es el objetivo de estos
problemas. Después de que intenten resolver las tres actividades,
proponga un momento de discusión y registre, por ejemplo:
● 1 mm = _____
​  1   ​ m = 0,001 m y 1.000 mm = 1 m
1.000
● 1 cm = ____
​  1   ​ m = 0,01 m y 100 cm = 1 m
100
● 1 m + 3 cm + 4 mm = 1 m + 0,03 m + 0,004 m = 1,034 m
● 2,5 m es 2 metros más medio metro y 5 mm no es medio metro sino 5
milésimos de metro. Otra forma de analizarlo es:
2 m + 5 mm = 2 m + 0,005 mm = 2,005 m, que no es lo mismo que 2,5 m.
55
46. a. ___
​ 100
  ​ m
  ​m
d. ___
​ 505
100
5
b. _____
​ 1.000
   ​ m
e. _____
​ 5.005
 
 ​m
1.000
55
c. _____
​ 1.000
    
​m
47. A la primera.
48. a. 1,034 m b. No, es de 2,005 m.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
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Problemas 41 a 43
Pida que resuelvan los tres problemas juntos.
Salvo que lo considere necesario, haga una puesta
en común al finalizar. En todos los casos, céntrese en las
explicaciones que tienen que quedar registradas. Por ejemplo:
● Si se conoce el resultado de un producto y uno de los factores
se multiplica o divide por un número diferente de 0, entonces el
resultado se multiplica o divide por ese mismo número. Por ejemplo:
32 × 24,5 = 3,2 × 24,5 × 10 = 78,4 × 10 = 784.
● Para hacer un cálculo de manera aproximada hay que elegir cuál
de los números conviene cambiar por otro cercano, de manera de
obtener un cálculo más simple y tener una idea del resultado. Por
ejemplo, 1,002 × 3,75 puede aproximarse a través de 1× 3,75 = 3,75.
● El resultado de un producto puede ser menor, mayor o igual que
uno de los factores. Todo depende de que el otro factor sea menor,
mayor o igual que 1. En el primer caso, el producto es menor que el
factor, mientras que en el segundo caso es mayor que él.
● Como 0,89 × 36,25 = 0,89 × 36 + 0,89 × 0,25; 0,89 × 36 es menor
que 0,9 × 36 = 36 – 0,1 × 36 = 36 – 3,6 = 32,4, y 0,89 × 0,25 es menor
que 0,9 × 0,25 = 0,25 – 0,25 × 0,1 = 0,25 – 0,025 = 0,225, entonces
0,89 × 36,25 es menor que 32,4 + 0,225, que es menor que 36.
41. a. 784 b. 7,84
d. 7,84
e. 78,4
42. a. 3,75
b. 7.800
d. 300
e. 4,732
43. Son correctas a. y b.
c. 7,84
f. 784
c. 4.750
f. 1
Problemas 49 y 50
Luego de que resuelvan los dos problemas,
proponga un debate sobre las diferentes respuestas
y sus razones. Registre:
● 4,15 m = 4 m + ___
​  1   ​ m + ____
​  5   ​ m = 4 m + ____
​  15  ​ m
10
100
100
● Como la hoja tiene 21 cm = 0,21 m de ancho, los segmentos
que pueden dibujarse tienen que tener una medida menor. Ellos
125   ​m y 0,135 m.
medirán: 0,21 m, ​ _____
1.000
49. Las dos primeras.
125
50. _____
​ 1.000
  ​ m y 0,135 m.
Problemas 51 a 56
Estos problemas permiten profundizar las relaciones
entre las unidades de medida y, al mismo tiempo, las
relaciones entre números decimales y fraccionarios.
Proponga debates cuando así lo considere y, al terminar todos
los problemas, pregunte qué les parece que habría que dejar
escrito como conclusión. Por ejemplo:
● Para pasar de kilos a gramos hay que multiplicar por 1.000,
mientras que para pasar de gramos a kilos hay que dividir por 1.000.
● 1 gramo es 1 milésimo de kilogramo, 10 gramos son 1 centésimo
de kilogramo y 100 gramos son 1 décimo de kilogramo.
● Si el robot tiene que recorrer 4,5 m = 450 cm haciendo pasos de 30
cm cada uno, deberá dar 450 : 30 = 15 pasos.
61
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51.
Kilogramos
0,01
0,1
Gramos
10
100
1
1,05
1,1
2,5
1.000 1.050 1.100 2.500
0,0045
4,5
52. 3.400 pesas.
53. 10 g
54. 3,25 g
55. 3,1 kg y 2,5 kg.
56. 15 pasos.
Problemas 57 a 59
Pregunte, en la instancia colectiva, qué relaciones
usaron para resolver cada uno de los problemas.
Registre, por ejemplo:
● Si se conoce el precio de 3 paquetes de figuritas, el precio de
9 paquetes es el triple y el precio de 1 paquete es la tercera parte.
● En una tabla de proporcionalidad directa, si se conoce el
precio de 1 kg de papas, para calcular el precio de venta, hay que
multiplicar ese valor por la cantidad de kilos que se vendan.
57. 9 paquetes cuestan $15,75, y 10 paquetes
cuestan $17,5.
1
2
Precio (en $)
2,5
5
3
5
5,5
6
6,5
7
7,5 12,5 13,75 15 16,25 17,5
Problemas 60 y 61
Resuelva estos problemas en interacción con sus
alumnos. Base su explicación en:
1 ​  litros, entonces para obtener
● como 5 litros = ___
​ 20 ​ litros = 20 × ​ __
4
4
5 litros de jugo se necesitan 20 kilos de naranjas.
● 8,5 litros = 8 + __
​ 1 ​  litros = ___
​ 34 ​ litros, por lo que son necesarios
4
2
34 kilos de naranjas para tener 8,5 litros de jugo.
Para la actividad 61, la única manera de comparar los precios es
para una misma cantidad de queso. Por ejemplo:
1.500 g = 6 × 250 g y 1.500 g = 5 × 300 g; luego, para calcular el
precio de 1.500 g en cada caso basta con multiplicar por 6 y 5,
respectivamente, los precios de cada negocio. El precio de 1.500 g en
el supermercado Sur es 6 × $3,50 = $21, y el precio en Gigante es
5 × $4,50 = $22,50, por lo que conviene comprar en el primer negocio.
Es importante tener en cuenta que, si bien este problema es de
proporcionalidad, la respuesta está vinculada a la constante de
proporcionalidad.
62
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Problemas 62 a 65
Estos problemas aplican los conceptos relacionados
con la proporcionalidad, como los anteriores. Pueden resolverse
como tarea o en la clase, con una breve puesta en común.
62. $31,50
63. 7,5 kg de fruta.
64. $42
65. 197 km
Problemas 66 a 68
Los tres problemas son aplicaciones de la
proporcionalidad directa. Si lo considera necesario,
gestione una breve puesta en común para intercambiar formas
de encontrar los resultados.
66.
Tela (en
metros)
2,5
5
12,5
15
17,5
20
21,5
Precio (en $)
8,25
16,5
41,25
49,5
57,75
66
70,95
67. 157,165 calorías.
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Cantidad de
papas (en kg)
60. Para 5 litros se necesitan 20 kg, para 8,5 litros se
necesitan 34 kg.
61. En el supermercado Sur.
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58. $6,3
59.
Capítulo 7
68.
Litros de nafta que
se utilizan
0,1
0,2
0,6
0,8
1,2
0,16
Kilómetros que se
recorren
0,75
1,5
4,5
6
9
1,2
Problemas 69 a 73
0
0,5
1,5
1
2 cm
70.
0,2
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71.
0
1
__
​ 101  ​
2
2 cm
1,8 2
1 cm
0,2
2,5 cm
72.
73.
0,8
​ __15 ​
​ __45 ​
0,9
1 cm
0
0,2
0,5
2 cm
Proponga una discusión sobre este problema.
Recuerde que, cuanto mayor es un número, más a la
derecha está ubicado en la recta numérica. No es difícil saber
que 7,6 está a la derecha de 7,5 y que 8,25 está a la derecha de
7,6; luego, 7,6 está más cerca de 7,5 que 8,25.
76. 7,6
Luego de que resuelvan el primer problema, lea
junto con ellos el lateral.
Pida luego que resuelvan los otros y, cuando terminen, proponga
un intercambio. Pregunte qué les parece que tendría que quedar
anotado para estudiar. No debería faltar:
● En el problema 70, la distancia entre 0,8 y 1 es 0,2. La mitad de
esa distancia es 0,1, lo cual permite marcar cualquier número con
un dígito después de la coma.
● Cuando los datos están expresados en fracciones y decimales,
conviene elegir una única forma de escribirlos a todos.
● Una forma de representar, en una misma recta, números
decimales con 1 dígito después de la coma y con 2 dígitos después
de la coma que terminan en 5, es con una escala de a 0,05.
69.
Problema 76
0,75
1 1,1
2,5 cm 1 cm
Problemas 77 a 81
Para estos problemas es necesario desplegar estrategias
para comparar números expresados como fracciones o
decimales. Luego de que hayan resuelto cada uno, proponga una
puesta en común con la consigna de escribir conclusiones que
sirvan para ordenar números racionales. Por ejemplo:
● Es más simple ordenar números decimales que fracciones si
tienen denominadores diferentes.
● No siempre los números “más largos” son los más grandes. Por
ejemplo, 39,1 se escribe con menos dígitos que 39,01 pero 39,1
> 39,01. Para compararlos, como tienen la misma parte entera,
​  1   ​  y 0,01 = ____
alcanza con comparar su parte decimal: como 0,1 = ___
​  1   ​ ,
10
100
entonces 0,1 > 0,01.
● Los “0” que aparecen al final de un número decimal pueden
sacarse sin que el número cambie. Por ejemplo:
300  ​ = 6 + ___
6,300 = 6 + ​ _____
​  3   ​ = 6 + 0,3 = 6,3
1.000
10
825
77. _____
​ 1.000
  ​; 8,1; 8,150; 8,25; __
​ 85
 ​.
10
b. >
c. >
78. a. =
b. 20
c. 0,4
79. Por ejemplo: a. 1,3
80. 6,25; 6,5; 6,61; 7,2; 8.
d. <
d. 0,43
305
81. ​ ___
  ​; 3,07; 3,28; 3,295; 3,4; __
​ 35
 ; 3,7; __
​ 39
 ; 3,92; ____
​ 395  ​.
10
10
100
100
5 cm
Problemas 74 y 75
Para poder determinar qué número representa cada
letra, es necesario tener en cuenta las distancias entre los datos.
Por ejemplo, conociendo la distancia entre 0 y 1, cualquier otra
distancia puede representarse de manera proporcional a ella.
Como en la recta a. la distancia entre 0 y 1 es de 10 cm, y A se
encuentra a 1 cm del 0, entonces A representa el número 0,1.
La dificultad que plantea el problema 75 es la elección de una
escala apropiada que permita representar todos los números
decimales dados. Plantee varias posibilidades y elijan una
adecuada, teniendo en cuenta que no hay una única posibilidad.
74. a. A = 0,1; B = 0,35.
c. A = 3,45; B = 3,475.
75. Producción personal.
Problema 82
Pida que resuelvan el problema pensando en las
razones de sus decisiones, para compartir en la puesta
en común. Durante el intercambio, registre los razonamientos:
● 0,25 > 0,099, porque 0,25 tiene 2 décimos y 0,099 tiene menos de
1 décimo.
● 3,21 = 3 + ___
​  2   ​ + ____
​  1   ​ ; 3,211 = 3 + ___
​  2   ​ + ____
​  1   ​ + _____
​  1   ​ y 3,3 = 3 + ___
​  3   ​ 
10 100
10 100 1.000
10
3,3 es el mayor de los tres números porque tiene 3 décimos,
mientras que los demás tienen 2 décimos. Entre 3,21 y 3,211,
ambos tienen 2 décimos y 1 centésimo, pero 3,211 tiene 1 milésimo
más que 3,21. Entonces, el orden correcto es 3,21 < 3,211 < 3,300.
b. A = 2,5; B = 3,2.
82. Es verdadera la b..
63
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83. Infinitos números. Por ejemplo, 4,81 o 4,8375.
84. Ninguno, no hay siguiente.
85. a.
3,4 3,41
3,5
1 cm
b. Sí, por ejemplo 3,4001. Hay infinitos números posibles.
86. a. Por ejemplo, 9,91. b. Hay infinitos.
87. Por ejemplo: 32,51; 32,52; 32,513 y 32,54102. Hay infinitos
números.
b. 2
c. 0
d. 12
e. 7,1
f. 78
88. a. 3,3
Aprender con la calculadora
El objetivo del uso de la calculadora es hacer cálculos en problemas
donde hay que reflexionar, para lo que muchas veces es necesario
ensayar con varios cálculos. La calculadora no se usa para hacer
cuentas, sino para ensayar cálculos y, de esa manera, tener
numerosos ejemplos sobre los cuales sacar conclusiones.
Para que el uso de esta herramienta sea productivo, es
fundamental que los cálculos y sus resultados se registren,
1. 0,2 = 0,1 + 0,1; 0,03 = 0,01 + 0,01 + 0,01;
0.004 = 0,001 + 0,001 + 0,001 + 0,001; 1,25 = 1 + 0,1 +
0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01.
2. 3,456 × 10 = 34,56; 34,56 : 100 = 0,3456; 0,3456 × 10.000 = 3.456.
3. 1,25 × 10 = 12,5; 12,5 – 0,5 = 12; 12 + 0,40 = 12,40.
4. 250
5. 0,0056
6. a. 50 b. 6,25 c. 25 d. 3,125 e. 12,5 f. 1,5625
3
1
7. a. __
​ 12 ​
b. __
​ 1 ​ 
​ 16
  ​
e. __
​ 16
  ​
f. __
​ 15
 ​
c. __
 18 ​ d. __
16
4
8. a. Por ejemplo, 1 : 10.
b. Infinitos.
c. Sí, las fracciones son equivalentes.
9. Hay infinitos cálculos posibles. Por ejemplo: 1 : 100 = 0,01;
1 : 1.000 = 0,001; 1 : 2 = 0,5.
10. 2,375; 2,275; 2,175; 2,075; 1,975; etcétera.
11. 30 veces. Llega a 0,05.
12. 6,75; 7,75; 6,25.
13. Producción personal.
b. Por ejemplo: 2,00001.
14. a. Por ejemplo: 10.000.
c. Depende de la cantidad de dígitos de la calculadora, pero es
un número que empieza con 0,000111 y tiene tantos unos a la
derecha como para completar el visor.
15. a. 0,10012 + 31.804
b. 12.445 + 2,4769
d. 429.147.530,2
c. 969055356,8
16. 9 veces.
17. Ninguna.
18. a. Sumar 0,01 o 0,02, por ejemplo.
b. Sumar 0,1 hasta 3 veces, o restar 0,1 hasta 6 veces.
c. Sumar 0,001.
19. : 10
20. × 10
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El objetivo de estos problemas es que construyan la
idea de densidad, es decir, que entre dos números
racionales siempre se puede encontrar otro. Una consecuencia de
esta propiedad es que, en el conjunto de los números racionales,
no existe el siguiente de un número. Recuerde que los números
racionales son todos los que pueden escribirse como una fracción
o un decimal con una cantidad de cifras finita o infinita y periódica
después de la coma, y que esto incluye los números enteros.
Pida que resuelvan el problema 83. Es probable que los
alumnos digan que no hay números entre 4,8 y 4,9. Sugiera
que revisen los problemas de la página 54 y que escriban los
números como fracciones. Por ejemplo: 4,8 = __
​ 48
 ​ = ___
​ 480
  ​ y
10
100
490
481 ___
482
49
__
___
___
4,9 = ​ 10 ​ = ​ 100  ​​. Entre ellos está ​ 100  ​, ​ 100  ​, etcétera.
Pregunte qué pasaría si el denominador fuera 1.000.
Como parte de la puesta en común del ejercicio 84 proponga
un debate sobre los dichos de Juan y Lazlo. En caso de ser
necesario, diga números que invaliden los razonamientos de
ambos. Por ejemplo, 2,501 y 2,50254 están entre 2,5 y 2,6 y no
es posible encontrar el siguiente de 2,5.
Luego de que resuelvan el problema 85, concluya que:
● Si se divide el intervalo que va de 3,4 a 3,5 en 10 partes iguales,
cada una mide 0,01 (la décima parte de la distancia entre 3,4 y 3,5).
Esto permite representar los números con dos cifras decimales del
3,41 al 3,49.
● Para ubicar el número 3,401 se necesitan 3 decimales, con lo que
hay que tomar el intervalo entre 3,4 y 3,41 y dividirlo en 10 partes
iguales. Cada una mide la décima parte de 0,01, o sea 0,001. La
primera marca después de 3,4 es, entonces, 3,401.
Finalmente, pida que resulevan los otros problemas, que
permiten reinvertir lo hecho.
además de la reflexión que provoquen y la conclusión final.
Por ejemplo, el problema 15 requiere hacer cálculos que no
entran en el visor de la calculadora, por lo que es necesario que
los alumnos busquen formas de desarmar los números.
Pida que resuelvan la actividad, y en la puesta en común solicite
que cuenten cómo usaron la calculadora para encontrar los
resultados de cada uno de los cálculos. Registre algunas de las
estrategias en el pizarrón. Por ejemplo:
● 29.459,0125 + 2.345,08762 = 29.459 + 2.345 + 0,0125 + 0,08762
= 31.804 + 0,10012 = 31.804,10012. Es decir, en la calculadora se
realizaron 29.459 + 2.345 por un lado y 0,0125 + 0,08762 por el
otro. La última operación no requiere el uso de la calculadora.
● Observe que el ítem b. no da un número positivo. Si lo realiza en
la calculadora que está en la computadora obtendrá un número
negativo. Pregunte por qué consideran que esto ocurre y cuándo
usarían números negativos. Tenga presente que hay números
negativos que ellos ya conocen, como los de la línea de tiempo.
● 9.908,04 × 97.804,95 = 97.804,95 × 9.000 + 97.804,95 × 900 +
97.804,95 × 8 + 97.804,95 × 0,04 = 97.804,95 × 9 × 1.000 + 97.804,95
× 9 × 100 + 97.804,95 × 8 + 97.804,95 × 4 : 100. Observe que las
cuentas que se hacen con la calculadora son las de multiplicar por 9, 8
o 4 que sí entran; las demás son sencillas de realizar a mano.
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Problemas 83 a 88
Capítulo 7
16. c., e., f. y h..
4   ​ 
17. a. ​ ___
25
4
   ​ 
b. ​ ___
100
4
c. ​ __
  ​
50
4
d. ​ ___
   ​ 
125
18. Infinitas soluciones. Por ejemplo, 4,5 × 0,83.
19. a. 6 × 2; 3 × 4; 12 × 1.
1
b. Por ejemplo, las respuestas de a. y __
​ 12
  ​× 12; __
​​ 54 ​×​__
​ 48
 ​​, etcétera.
15
Hay infinitas soluciones.
c. Por ejemplo, 2,5 × 4,8. Hay infinitas soluciones.
20. 627,5 km; 1.004 km.
b. $25,5
c. 2,5 kg
21. a. $10,2
22. $0,85
23. Hay que comprar 10 botellas.
24. $82,60
b. 93,75
25. a. 56,25
26.
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Respuestas de actividades de integración
1. Hay infinitos. Por ejemplo, 8 : 10.
2. __
​ 25
 ​y 2,5.
10
3. 25 : 10 o 3 : 4, etcétera. Hay muchas posibilidades.
b. 0,47
c. 1,7
d. 0,015
4. a. 0,9
5. a. i. 35 : 10
ii. 175 : 100
iii. 205 : 100
b. Sí.
c. Son fracciones equivalentes.
92
6. a. ​ __
 ​
10
75
  ​ 
d. ​ ___
100
b. ___
​ 125
  ​
100
e. __
​ 38
 ​
10
7. a. 0,804
b. 5,901
8. a. 0,03
b. 0,7
e. 0,009
d. 0,21
9. Las expresiones b., c. y d..
1.025
c. ​ _____
  
​
1.000
c. 0,403
c. 0,025
f. 80,5
11. a. 9,831
b. 1,109
c. 4,114
12. 35,125
13. a. 8 enteros, 3 décimos y 1 milésimo.
b. 12 enteros, 402 milésimos.
c. 25 milésimos.
d. 7 décimos, 5 centésimos.
e. 4 enteros, 3 décimos y 2 centésimos.
f. 53 enteros, 106 milésimos.
14. 0,045.
15. a., b., d., g., i..
5
200
250
600
1.500
3.250
Kilogramos
0,005
0,2
0,25
0,6
1,5
3,25
27. 3 centésimos.
28. 8 milésimos.
b. 8,4
29. a. 12,8
e. 2,84
d. 0,05
30. a. 120
b. 440
e. 36.800
d. 37,5
31. El a..
32. 120,5
33. a. 4,8
b. 19,2
e. 0,024
d. 0,24
34. a. 27,2
b. 54,4
e. 108,8
d. 13,6
35. a. 34,25 b. 40
c. 100
36. Las cuentas b. y d..
37. a. 200 b. 4.000 c. 40
b. <
38. a. <
5
1
39. a. 10,15 m = 10 + __
​ 10
  ​+ ___
​ 100
    ​
5
   ​ 
c. 1 + ​ ___
100
5
1
d. __
​ 10
  ​+ ___
​ 100
   ​ 
c. 1,24
f. 10
c. 1.080
f. 5,48
c. 28,8
f. 0,024
c. 27,2
f. 54,4
d. 4
e. 6
f. 26
d. 6.000
c. >
e. 8 f. 1.500
d. <
5
4
__
____
b. 1 + ​ 10  ​+ ​     ​ 
100
40. 4,023 m.
41. Los números b. y c..
5.003
f. ​ _____
 
 ​
1.000
225
5
2
10. Por ejemplo: _____
​ 3.225
  
​; 3 + ____
​ 100
  ​; 32 + __
​ 10
  ​+ ___
​ 100
   ​. 
100
Gramos
75
42. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: 4 + ​ ___
   .
100
 ​43. En el supermercado Noche.
44.
d. 1,782
Cantidad de
personas
10
8
5
6
Leche necesaria
(en litros)
0,625
0,5
0,3125
0,375
2
4
0,125 0,25
45. $24
46. a. A = 7,45; B = 7,48. b. A = 6,6; B = 6,75.
47. __
​ 45 ​o 0,8.
34   ​ = 3,44; 3,75; 3 + __
1
8
  ​+ ​  ____
  ​+ ____
​  3   ​ = 3,83; 3,9.
48. 3,105; 3 + ​ __
​ 10
10
100
100
49. 9,75
65
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Capítulo 8
Relaciones de
proporcionalidad
directa
Objetivos:
pag 30-31
Que los alumnos:
● Expliciten las características
de las relaciones de
proporcionalidad directa.
● Analicen relaciones
proporcionales entre variables.
NAP:
El reconocimiento y uso
de las operaciones entre
números naturales, fracciones
y expresiones decimales,
y la explicitación de sus
propiedades en situaciones de
proporcionalidad directa.
Pida que resuelvan los problemas y luego proponga
un espacio de discusión para escribir cómo pensaron
cada uno. Registre las conclusiones:
● Si se conoce el precio de un artículo, se puede calcular el precio de
cualquier cantidad de artículos a través de una multiplicación. Por
ejemplo, si una cubierta sale $98, 4 cuestan 4 × $98. El precio de 8
artículos puede hallarse mediante el cálculo $98 × 8 o, teniendo en
cuenta que 8 es el doble de 4, 8 cubiertas costarán el doble de lo que
cuestan 4, o sea $98 × 4 × 2.
● Si se conoce el precio de 8 cajas, el precio de 1 caja se puede
calcular dividiendo el precio total por 8. El precio de una caja se
llama constante de proporcionalidad.
● Para preparar una receta para 3 personas en lugar de prepararla
para 6, hay que usar la mitad de los ingredientes.
1. a. $1.400
b. 350 × 8 y 350 × 4 × 2.
2. 12
3. a. __
​ 18 ​kg de harina, 2 huevos, __
​ 12 ​cucharadita de sal y __
​ 12 ​
cucharadita de aceite.
b. __
​ 12 ​kg de harina, 8 huevos, 2 cucharaditas de sal y 2
cucharaditas de aceite.
4. a. 70 × 3,40 (rojo) y 100 × 3,40 (azul).
b. 10 litros.
● Si 1 kilo cuesta $12,50, 1,5 kilos cuesta $12,50 más la
mitad de $12,50 o 1,5 ×12,50.
● Para completar la tabla, además de usar las propiedades de la
proporcionalidad, puede considerarse que la cantidad de azúcar
es el triple que la cantidad de harina, mientras que la cantidad de
harina es la tercera parte de la cantidad de azúcar.
5.
Harina (en kilogramos)
0,5
1
2
2,5
3
3,25 5,05
Azúcar (en kilogramos)
1,5
3
6
7,5
9
9,75 15,15
Problema 6
Solicite que completen la tabla de proporcionalidad.
Es probable que usen las propiedades que conocen
para hacerlo. Como parte de las conclusiones registre que
otra forma de encontrar los números es a través de cálculos: para
averiguar la distancia recorrida hay que multiplicar la cantidad de
combustible por 4,5. Si se conoce la distancia recorrida, se puede
obtener la cantidad de combustible usado dividiéndola por 4,5.
6.
Combustible (en litros)
1
2
3
4
5
10
12
Distancia que recorre
(en kilómetros)
4,5
9
13,5
18
22,5
45
54
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Problemas 1 a 4
Problema 5
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Si bien los alumnos resuelven problemas de proporcionalidad
desde los primeros grados de manera implícita, a medida que
avanzan en la escolaridad es necesario que identifiquen sus
propiedades, relaciones y los tipos de problemas que permite
resolver. En este capítulo se profundizará y reflexionará sobre
estos aspectos.
Capítulo 8
● La cantidad de combustible que se puede comprar con $6,75 es
6,75 : 1,5 = 675 : 150 = 600 : 150 + 75 : 150 = 4 + 0,5 = 4,5.
375
● 1,5 : 4 = 15 : 40 = (15 × 25) : (40 × 25) = 375 : 1.000 = ​ _____   ​= 0,375.
1.000
● 43,75 : 2,5 = 4.375 : 250 = 2.500 : 250 + 1.250 : 250 + 500 : 250 +
125 : 250 = 10 + 5 + 2 + 0,5 = 17,5.
9. a. $11,25
10. 0,375 litro.
11. a. 17 botellas.
b. 4,5 litros.
b. Quedan 1,25 litros sin envasar.
Problema 12
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Problemas 7 y 8
Pida que resuelvan los problemas. Luego de la puesta
en común, registre diferentes maneras de resolverlos.
Por ejemplo:
● Como 0,25 litro es equivalente a __
​ 1  ​litro y en 1 litro hay 4 de __
​ 1 ​ ,
4
4
entonces 1 __
​ 1 ​  litros costará 4 × $6,25 + $6,25 = $31,25. También,
4
1 __
​ 1 ​  = __
​ 5 ​  y su precio es de 5 × $6,25 = $ 31,25.
4 4
● El precio de 1 litro es 4 × $6,25 = $25. El precio de 0,800 es
0,800 × $25 = $20.
Para la puesta en común de la actividad 8, plantee las siguientes
preguntas: ¿Es posible que el precio de __
​ 3  ​kg sea igual al precio de
4
1
__
3,4 kg? ¿Por qué el precio de 2 ​    ​kg es igual al del 2,5 kg?
2
7. 0,800 litro cuestan $20; 1 __
​ 14 ​litro cuesta $31,25; con
$62,5 compran 2,5 litros.
8. $4,8; $21,76; $9,6; $16.
Problemas 9 a 11
Estas situaciones proponen diversas ocasiones de
uso de la división entre expresiones decimales. La
dificultad no está puesta en admitir que pueden resolverse
dividiendo, sino en cómo resolverla.
Haga una breve puesta en común de cada problema, vinculada
a por qué la división es una herramienta adecuada de resolución;
luego resuelva las actividades con los alumnos y sugiérales que
escriban en la carpeta las indicaciones que consideren necesarias.
Concluya:
● El costo de 1 litro es 5,25 : 3,5 = 525 : 350 = 350 : 350 + 175 : 350 =
1 + 0,5 = 1,5. El precio de 7,5 litros es 7,5 × 1,5 = $11,25.
Pida que resuelvan el problema. En la puesta en
común pregunte por dos formas de resolver: con la
constante de proporcionalidad y con las propiedades. Registre
diferentes maneras de completar las tablas a partir de las
propiedades. Concluya:
● La constante de proporcionalidad puede calcularse dividiendo
la cantidad de metros cuadrados que se pintan por la cantidad
de pintura, 40 : 4 = 10. Los metros se calculan multiplicando la
cantidad de pintura por 10, mientras que la cantidad de pintura es
la cantidad de metros dividido 10.
● En la segunda tabla, la constante de proporcionalidad es 12;
entonces, para calcular la cantidad de kilómetros si se conoce la
cantidad de litros, hay que multiplicar por 12, y para calcular los
litros conociendo los kilómetros recorridos, hay que dividir por 12.
12.
Litros de pintura
4
8
20
1,5
1
0,1
Metros cuadrados
que se pintan
40
80
200
15
10
1
Problemas 13 a 15
Para resolver estos problemas, la constante de
proporcionalidad es una herramienta útil.
En la puesta en común, pregunte cómo los resolvieron y por
qué. Registre las conclusiones:
● Una forma de comparar dos variables es a través de sus
constantes de proporcionalidad. Dicha constante es el valor de una
de las variables correspondiente a 1 unidad de la otra, y esa unidad
no tiene por qué ser 1 sino que puede ser otro valor conveniente.
Por ejemplo, en el problema 13, si 250 g de salame cuestan $2,40,
entonces 100 g cuestan $0,96; tomando 100 g como unidad, en el
segundo almacén es más barato.
● Si Camilo hizo 12 puntos en 25 partidos en un torneo y 23 puntos
en 50 partidos en otro torneo, tomando 50 partidos como unidad,
en el primer torneo hizo 24 puntos y en el segundo 23. Luego, tuvo
mejor rendimiento en el primer campeonato.
13. En el segundo.
14. En el primero.
15. No es una oferta.
67
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Problema 16
Proponga que resuelvan el problema y haga una
breve puesta en común solo en caso de ser necesario.
16. $21 llevando 28 cuadernos, porque si llevan 27
cuadernos pagan lo mismo.
17. a. No.
e. Sí. f. Sí.
b. Sí.
g. Sí.
c. No.
h. No.
d. No.
Problemas 18 y 19
Pida que resuelvan los problemas y luego de debatir
sobre ellos, registre las conclusiones.
● Para que un problema que relaciona distancia recorrida y
tiempo sea de proporcionalidad directa, la velocidad tiene que ser
constante, es decir, no variar en ningún momento.
● Cuando se relacionan la distancia recorrida y el tiempo,
la constante de proporcionalidad se obtiene dividiendo ________
​ distancia ​, 
tiempo
que es la velocidad.
18. Si la velocidad es constante.
19. El micro.
Problema 20
Proponga que resuelvan este problema en conjunto
y escriba las conclusiones en el pizarrón.
● En la escuela de Tatiana, si 20 de cada 50 chicos son hinchas
de Argentinos Juniors, entonces 10 de cada 25 y 40 de cada 100
también lo son. Esta última relación se lee “40 por ciento” y se
escribe 40%.
● En la escuela de Lazlo, si 40 de cada 100 chicos son hinchas de
Argentinos Juniors, entonces el 40% lo es, y además, 4 (la décima
parte de 40) de cada 10 (la décima parte de 100) y 2 de cada 5
también lo son.
Lea junto con sus alumnos el lateral y explique lo que no
quede claro.
20. Son todas correctas.
Problemas 21 y 22
Pida que resuelvan los problemas y en la puesta en
común registre las conclusiones.
● Los porcentajes pueden expresarse como fracciones. El 10% de
una cantidad equivale a calcular ____
​  10  ​ = ___
​  1   ​ de esa cantidad, que es
100 10
su décima parte.
● El equipo de Matías ganó 6 partidos de 10, que es equivalente
a decir que ganó 18 de 30. El equipo de Tatiana ganó 9 partidos
de 14, que es equivalente a decir que ganó 18 partidos de 28.
Como los dos ganaron la misma cantidad de partidos, el equipo
de Tatiana tuvo mejor rendimiento por haberlo hecho en una
cantidad menor de partidos.
21. Sí.
22. Matías ganó el 60% de los partidos, en cambio,
Tatiana ganó el 50%.
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En un primer momento pida que lean el problema
e intenten decidir cuáles representan situaciones de
proporcionalidad y cuáles no. En la puesta en común registre que:
● No alcanza con que las dos cantidades aumenten o
disminuyan al mismo tiempo para que se trate de una relación
de proporcionalidad directa, sino que esto tiene que mantenerse
indefinidamente y siempre en la misma proporción.
● Las relaciones de proporcionalidad directa son e., f. y g..
● No son relaciones de proporcionalidad directa: a., c., d. y h..
● En cuanto a b. podría tratarse de una proporcionalidad directa
si al problema se le agregaran datos como que la velocidad es
siempre la misma o que el consumo depende linealmente de los
kilómetros recorridos.
● En el caso del área del cuadrado, al duplicar la longitud de sus
lados su área se cuadruplica en lugar de duplicarse. Luego, no es
una relación de proporcionalidad directa.
Solicite que lean el lateral entre todos y ejemplifiquen cada
propiedad a partir de uno de los ejemplos del problema 10.
Pida luego que lo copien en la carpeta.
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Problema 17
Capítulo 8
24.
Precios
100 20
viejos
35
48
24
35
0,50
0,75
1
3
Precios
85 17 29,75 40,8 20,4 29,75 0,425 0,6375 0,85 2,55
nuevos
Problemas 25 y 26
Como parte de la puesta en común proponga que
discutan sobre las maneras de calcular el 15% de 120
y regístrelas.
El 15% de 120 puede calcularse como ____
​  15  ​ × 120 = _______
 
​ 15 × 20
   
​.
100
100
Pida que lean lo que hace Juan en el problema 26. Concluya
15  ​ es equivalente a 0,15, para calcular el 15% de 120,
que como ​ ____
100
puede resolverse 0,15 × 120.
120
25. 15 × 120 y 15×​ ___
  ​
100
26. Respuesta personal.
Problema 27
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Problemas 23 y 24
Pida que resuelvan el problema 23. En la puesta en
común pregunte cómo hicieron para agregar el 10%
y luego tome la palabra para sistematizar algunas cuestiones:
● Para aumentar un 10% de un número hay que agregarle ___
​  1   ​ 
10
10
1
___
___
de su valor. Pero si el número entero es ​    ​, al agregarle ​     ​ se
10
10
11  ​del valor. Entonces, para agregar 10% a un número se
obtiene ​ ___
10
lo puede multiplicar por ___
​ 11 o por 1,1 o calcular su 110%.
10
Solicite que resuelvan el problema 24 y que intenten escribir una
conclusión similar a la del 23. Luego de acordarla, regístrela.
● Para disminuir un número en 15% hay que restarle ____
​  15  ​ de su valor.
100 85
15
100
____
____
​    ​ 
Pero si el número entero es ​    ​, al restarle ​    ​ se obtiene ____
100
100
100
del valor. Entonces, para sacar el 15% de un número se lo puede
multiplicar por ____
​  85  ​ , o por 0,85 o calcular el 85%.
100
23.
Precios
viejos
10 100 12
Precios
nuevos
11 110 13,2 1,1 39,1 52,8 26,4 0,55 0,825 19,8
1
36
48
24 0,50 0,75
18
Pida que resuelvan la parte a. del problema y luego
gestione una puesta en común. Observe que si el precio de
la lista disminuye a la mitad (de 100 a 50), el precio a pagar
también disminuye a la mitad (de 75 a 3,75). Pregunte qué otras
relaciones entre los datos de la tabla permiten analizar que la
relación con el precio a pagar es directamente proporcional.
Pida que escriban las conclusiones y que resuelvan los demás
puntos del problema. Luego de la puesta en común concluya
que calcular un porcentaje es lo mismo que dividir el entero
en 100 partes y tomar algunas de ellas. En este caso se divide
el dinero en 100 partes y se eligen 25 que es el descuento,
entonces se pagan 75 partes, es decir, el 75%.
27. a.
Precio de lista ($)
100
50
20
15
70
65
Descuento ($)
25
12,50
5
3,75
17,5
16,25
Precio a pagar ($)
75
37,5
15
11,25
52,5
48,75
b. Sí. Porque Precio a pagar = ____
​  75  ​ x Precio de lista.
100
c. 0,75 × precio de lista.
d. Sí, por c..
Problema 28
La gestión de este problema debe apuntar a qué
y cómo mirar los gráficos. Pida que piensen en el problema
durante un rato y luego proponga un debate. Registre las
conclusiones.
69
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15/02/2011 12:44:27 p.m.
● El tren va más rápido que el auto porque tarda menos tiempo en
recorrer una misma distancia. Por ejemplo, el tren tarda 3 horas en
recorrer 300 km y el auto tarda 4 horas.
● En dos horas el auto recorre una distancia mayor que 100 km y
menor que 200 km, mientras que el tren recorre exactamente 200 km
en 2 horas.
● En los dos gráficos puede verse que a las 0 horas de viaje, que
coincide con el inicio, el tren y el auto no habían recorrido ninguna
distancia. En el gráfico esto se evidencia por iniciarse donde se
cruzan los ejes de distancia y tiempo.
● Como los dos gráficos son porciones de rectas que se
inician donde se cruzan los ejes, representan relaciones de
proporcionalidad directa.
28. Son correctas: a., c., d. y e..
Problema 29
Problema 30
Este problema profundiza la relación entre los
números fraccionarios y los porcentajes. Pida
que resuelvan y luego de la puesta en común registre las
conclusiones:
1 ​  = 50%
__
__
__
​ __
​ 1 ​  = 25%
​ 1 ​  = 12,5%
​ 3 ​  = 75%
4
4
2
8
Tenga en cuenta que en realidad las igualdades representan
escrituras diferentes y no son exactamente lo mismo.
El porcentaje es una manera de escribir una fracción con
denominador 100.
30. a. 50%
b. 75%
Problemas 31 y 32
c. 25%
d. 12,5%
Mientras resuelven los problemas pida que anoten
cómo pensaron cada parte. En un intercambio
colectivo proponga que discutan sobre las formas de resolución
y registre las respuestas.
● El total de porcentajes tiene que ser 100%, entonces el porcentaje
que corresponde a los votos anulados es 100 – 40 – 20 – 15 – 10 = 15%.
70
GDM6 c8_2das.indd 70
31. a. Construcción. Seoane: 144°, Capuano: 72°,
Fusco: 54°, En blanco: 36°, Anulados: 54°.
b. 534 anulados.
32. a. Álvarez: 50%, Bermúdez: 25%, Rodríguez: 12,5%, Ibáñez:
12,5%.
b. Álvarez: 180°, Bermúdez: 90°, Rodríguez: 45°, Ibáñez: 45°.
Problemas 33 y 34
Pida que resuelvan los problemas. Es posible que
muchos alumnos resuelvan los cálculos por separado
sin advertir la relación que hay entre ellos. Analice esto en la
puesta en común.
● El cálculo de porcentajes de un mismo número es una relación de
proporcionalidad, luego:
● El 20% de 480 es el doble del 10% de 480.
● El 1% de 480 es la décima parte del 10% de 480.
● El 90% de 240 puede calcularse sumando el 80% de 240 y el 10%
de 240.
33. a. 96
34. a. 96
b. 24
b. 192
c. 4,8
c. 24
d. 100,8
d. 216
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29. El gráfico del medio.
15
100
● Para calcular el ángulo del diagrama circular que corresponde
a los votos de cada intendente hay que calcular el porcentaje del
ángulo de 360º. Por ejemplo, a Seoane le corresponde el 40% de
40  ​ × 360° = 0,40 × 360° = 144°.
360º, o sea ​ ____
100
● El 15% de 3.560 puede calcularse como ____
​    ​ o 0,15 × 3.560 = 534.
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Es una aplicación del problema anterior. Luego de
que los alumnos lo resuelvan haga una puesta en
común y registre:
● El tercer gráfico no representa una proporcionalidad directa
porque para 0 ​m​3​de gas no corresponde pagar $0. Tanto el
primero como el segundo gráfico son de proporcionalidad directa.
● El primero se descarta porque el precio de 1 ​m3​ ​de gas es de $1,
luego el gráfico elegido es el segundo.
Capítulo 8
Aprender con la calculadora
Antes de que los alumnos comiencen a resolver los problemas
muéstreles y registre cómo calcular porcentajes con la
calculadora. Por ejemplo:
● Para calcular el 35% de 90 es posible resolver 0,35 × 90 o puede
usarse la tecla % de la calculadora, tecleando
.
3 5 %
9 0
● Para agregar el 50% a 80, podría hacerse a través de diferentes
cálculos:
● Sumarle a 80 su 50%, que es 80 + 0,50 × 80.
● Calcular 150% de 80 a través de 1,50 × 80.
● Usar la tecla % de la calculadora a través de la secuencia
×
=
=
×
8 0
1 5 0 %
.
No todas las calculadoras funcionan de la misma manera.
Algunas realizan el cálculo como se indicó, mientras que en
otras hay que escribir 8 0
, que
5 0 %
significa que a 80 se le agrega el 50%. Hay otros modelos en los
que hay que variar algunas de las teclas usadas:
.
8 0
5 0 %
=
+
×
+ =
1. a. 240 × 10 %
2. a. 149,4
b. 24,5
b. 99,09
c. 12,25
c. 848,39
3. a.
Precio original
Problemas 35 a 37
Pida que resuelvan los problemas y luego haga una
puesta en común. Registre:
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723
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● Para calcular el 20% de 240 se puede hacer:
0,20 × 240 = 0,10 × 2 × 240 = 0,10 × 480
que es el 10% de 480. Es decir que el 20% de 240 coincide con el
10% de 480.
1
10
y la cantidad entera, que son ___
​ 10  ​, es 10 veces 52, o sea 520.
10
1
__
● 25% es ​   ​  de una cantidad, 75%, __
​ 3 ​  y 20% es ____
​  20  ​ = __
​ 1 ​  .
4
4
100 5
● Si 10% de una cantidad es 52, entonces ___
​     ​ de esa cantidad es 52
35. 0,20 × 240 = (0,20 : 20) × (240 × 2)
36. 520
37. El 25% es __
​ 14 ​del total; el 75% es __
​ 34 ​del total; 20% es __
​ 15 ​del total.
Problemas 38 y 39
Estos problemas son aplicaciones de los anteriores
por lo que no deberían generar dificultades. Registre:
● El porcentaje es una relación de proporcionalidad directa.
● El 15% de 3.600 es 0,15 × 3.600 = 0,10 × 3.600 + 0,05 × 3.600, que
es la suma entre el 10% de 3.600 y el 5% de 3.600.
38. Son correctas: a. y c..
39. Sí.
Precio con
descuento
$12
$24
$9,12 $18,24
$50
$38
b. 120 × 0,76
c. Sí.
d. Sí.
b. 60 × 1,50
4. a. 52 × 1,20
5. a. Respuesta personal.
b.
Precio viejo
$230
$540
$120
$150
$34
$91,20 $114 $25,84
c. Sí.
$360
Precio nuevo $285,2 $669,6 $446,4
115
c. Porque al multiplicar por 1,15, está multiplicando por ____
​ 100
  ​ 
que es calcular el 115%, es decir, calcular el valor luego de un
aumento del 15%.
Respuestas de actividades de integración
1. 1,875 kg a $25,5.
2. a. 2 litros.
b. 15 litros.
3. $1.655
4. $486
5. En la de Juan.
6. $174,25
7. Es igual.
8. 0,24 × 56 = 24 × 56 : 100 y 0,56 × 24 = 24 × 56 : 100
9. Sí.
10. a. No.
b. Paga $7,2.
11. En 6°A.
12. a. $29
b. $23,40
c. 100kwh
d. Sí.
71
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15/02/2011 12:44:34 p.m.
Capítulo 9
Medidas
Objetivos:
Que los alumnos:
● Estimen y midan
cantidades.
● Argumenten sobre la
equivalencia de medidas.
● Analicen la variación
del perímetro y el área de
una figura cuando varía la
longitud de sus lados.
pag 30-31
NAP:
La comprensión del proceso
de medir, considerando
diferentes expresiones posibles
para una misma cantidad en
situaciones problemáticas.
1 l =1.000 ml
1 l =100 cl
1 l =10 dl
1
1 l = ___
​ 100
   ​ hl = 0,01 hl
1
1 ml = ____
​ 1.000
   ​ l = 0,001 l
1
1 cl = ___
​ 100
   ​ l = 0,01 l
1
__
1 dl = ​ 10  ​l = 0,1 l
1 hl = 100 l
● Para pesar objetos pueden usarse kilos, gramos, centigramos o
miligramos, entre otras. Las relaciones entre ellas son similares a
las que hay entre las medidas de capacidad:
1
1 g =​ _____
   ​ kg = 0,001 kg
1.000
1 kg =1.000 g
1 g = 100 cg 1 g = 1.000 mg 1
​ 100
1 cg = ___
   ​ g = 0,01 g
1
1 mg = ​ _____
   ​ g = 0,001 g
1.000
● Para medir longitudes de objetos pueden usarse metros,
kilometros, centimetros o milimetros, entre otras. Las relaciones
entre ellas son similares a las medidas anteriores.
1
1 m =​ _____
   ​ km = 0,001 km 1 km =1.000 m
1.000
1
1 m = 100 cm 1 cm = ___
​ 100
   ​ m = 0,01 m
1. a. Kilómetro. b. Kilogramo o tonelada. c. Gramo.
f. Milímetro.
d. Miligramo. e. Kilómetro o metro.
2. a. Sí, y sobran 4 litros. b. 20 botellitas.
3.
Medida en milímetros
1.000
5.600
11.120
500
Medidas en kilómetros
1
5,6
11,12
0,5
4. a. 1.500 g
b. 14,5 g
c. 200 g
5. 80 l + 500 cl; 8.500 cl y 0,085 kl.
50
6. 3,5 m; 3 m + 50 cm y 3 m + ____
​ 100
   ​m.
7.
Medida en kilogramos
Medida en gramos
1
33
150
d. 3.250 g
0,1
1.000 33.000 150.000 100
2,5
2.500
8. El segundo.
9. 5 listones de 200 cm, desperdiciando 5 pedazos de 25 cm, es
decir, 125 cm de madera.
10. Sí.
11. Es más pesada la de 1,6 kg pesa 617 g más.
12. Respuesta personal.
13. a. 12,50 g
b. 2.500,0 hl
c. 1.800,00 km
14. Longitud del río Uruguay: 1.700 km. Longitud de la línea del
Ecuador terrestre: 40.000 km. Longitud de una cuadra: 100 m.
Longitud de una fila de 6 automóviles: 30 m.
15. a. 1.200
b. 6
16. a. 1.200 m
b. 56 m
c. 8,75 m
d. 0,31 m
e. 0,00012 m
f. 230 m
1
1 m = 1.000 mm 1 mm = _____
​ 1.000
   ​ m = 0,001 m
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Estos problemas ponen en juego las unidades de
medida al servicio de las fracciones y los decimales.
Pida que los resuelvan y haga puestas en común cuando lo
considere necesario. Si bien son unidades que los alumnos
conocen, registre las relaciones más importantes, por ejemplo:
● Las capacidades o volúmenes de líquidos pueden medirse en
litros. También pueden usarse mililitros (ml), centilitros (cl),
decilitros (dl) y hectolitros (hl) que verifican:
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Problemas 1 a 16
Capítulo 9
pag 86
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Problemas 17 y 18
Para resolver estos problemas es necesario usar las
relaciones anteriores. Proponga una discusión acerca
de cómo puede encontrar el número faltante en cada uno y
registre las respuestas:
● Como 100 cm = 1 m, 650 cm = 6,50 m, entonces la igualdad
4 m + … = 650 cm es equivalente a 4 m + … = 6,50 m. El número
que falta puede encontrarse mentalmente o resolviendo la
diferencia entre 6,50 y 4, es decir 6,50 – 4 = 2,50 m.
● Como 1,2 m = 120 cm, entonces en la operación
1,2 m + ... = 150 cm, el dato faltante es 30 cm = 0,30 m.
● Si 1 dam = 10 m y 1 m = 10 dm, entonces 1 dam = 100 dm y
3,5 dam = 350 dm. La igualdad 3,5 dam + … = 700 dm es
equivalente a 350 dm + … = 700 dm y el valor que falta es 350 dm.
● Como 9,5 m = 95 dm ,entonces 13 dm + 82 dm = 9,5 m.
● Como 1 cm = 10 dm, entonces 10 dm + 10 dm = 2 dm.
● 5 hm = 500 m = 50.000 cm
17. a. 2,5 m
b. 182 km
d. 3,5 dam
e. 13 dm
18. Por ejemplo: 500 m y 50.000 cm.
c. 0,3 m
f. 1,9 dm
Problemas 19 a 21
El problema 19 muestra la relación entre las
diferentes escrituras de una medida en metros. En la
puesta en común registre las relaciones:
25
100
● 3 m + 25 cm = 3 m + ___
​    ​ m = 3 m + 0,25 m = 3,25 m
2
10
5
100
25
100
● 3 m + 2 dm + 5 cm = 3 m + __
​    ​m + ___
​     ​ m = 3 m + ___
​    ​ m = 3,25 m
19. Todas menos la segunda.
20. 3,5 cg = 3 __
​ 12 ​cg; 3.200 g = 3 __
​ 15 ​kg; 15 hg = 1.500 g;
3
__
750 mg = ​ 4 ​g.
21. a. A – B – C – E, A – B – C – F – E, A – F – E, A – F – C – E y A –
G–D–E
b. 90 km, 140 km, 95 km, 95 km, 90km, respectivamente.
c. 70 km = 70.000 m
Problemas 22 a 24
Pida que resuelvan los problemas, en los que no
deberían encontrar demasiadas dificultades. En la puesta
en común registre las conclusiones, entre las que tienen que estar:
● Si se sabe la cantidad de cuadraditos que entran en la base y la
cantidad que entran en la altura, la cantidad total que cubre el
rectángulo se obtiene multiplicando los valores anteriores.
● Hay varios rectángulos que tienen igual área y diferente
perímetro. Por ejemplo uno de 6 cm de base y 4 cm de altura o uno
de 12 cm de base y 2 cm de altura. O sea que las figuras que tienen
igual área no tienen por qué tener el mismo perímetro.
● El perímetro se calcula sumando las medidas de los lados de la figura.
22. a. 48 cuadraditos
b. 32
c. Por ejemplo, un rectángulo de 8 cuadraditos por 6
cuadraditos, que también tiene área de 48 cuadraditos, pero
tiene un perímetro de 28 lados de cuadradito.
23. De izquierda a derecha: 11 cm, 7 cm, 9,5 cm, 5 cm.
24. a. Construcción. b. Respuesta personal.
Indique que resuelvan los otros problemas como tarea y haga
una puesta en común solo si lo considera necesario.
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Problema 25
28. a.
b. 54
c. 53,5
d. 48
Problema 26
Luego de que resuelvan el problema proponga un
intercambio sobre él y registre la conclusión:
● Para calcular el área de una figura, a veces se la puede pensar
como la suma de otras figuras más simples.
● Recortando y ubicando las partes recortadas en otros lugares se
obtiene una figura con igual área y distinta forma.
26. a. Figura A: 21 cm. Figura B: 19 cm.
b. Figura A: 11 cm2. Figura B: 13,25 cm2.
c. Construcción.
Problemas 27 y 28
En el problema 27, si bien la tabla proporciona
ejemplos de que al duplicar el lado del cuadrado
también se duplica el perímetro, no alcanza para mostrar que
se cumple en todos los casos. Después de que resuelvan los
problemas, proponga una puesta en común. Tome a su cargo la
siguiente explicación:
● Si el lado de un cuadrado mide L, su perímetro es 4 × L. Si
se duplica el lado, el nuevo lado mide 2 × L y el perímetro del
cuadrado que resulta es 4 × 2 × L, que también puede escribirse
como 2 × 4 × L, que es el doble del perímetro del cuadrado inicial.
Para el problema 28, pregunte cómo hicieron para llenar la
tabla y escriba las explicaciones:
● Para armar rectángulos de área 36 alcanza con buscar números
que multiplicados den 36.
● Las medidas de los lados no tienen por qué ser números enteros.
1
Pueden ser fracciones o decimales. Por ejemplo: __
​ 36
   ​× 1.296,
1_
5 ___
108
__
​    ​× 72; ​   ​× ​     ​; etcétera.
2
5
3
● Hay infinitos rectángulos cuya área es de 36.
Cuadraditos
que entran
4
9
4 + 4 + 9 + 9 = 26
4 × 9 = 36
3
12
3 + 3 + 12 + 12 = 30
3 × 12 = 36
2
18
40
2 × 18 = 36
1
36
74
1 × 36 = 36
108
650
​ ___
   ​
3
1
72 + 72 + __
​ 2 ​+ ​ __12 ​= 145
__
​ 13 ​× 108 = 36
__
​ 12 ​× 72 = 36
​ __13 ​
__
​ 12 ​
72
b. Respuesta personal.
Problema 29
Luego de la puesta en común deberían surgir las
siguientes conclusiones:
● En la parte a., las dos figuras están formadas por dos triángulos
rectángulos. Todos son iguales porque tienen sus tres lados iguales,
entonces las dos figuras tienen igual área.
● Para la parte b., es posible mostrar cómo la primera figura puede
“transformarse” en la segunda:
29. a. Igual.
b. El área de A es mayor que el área de B.
Problemas 30 y 31
Pida que resuelvan los dos problemas. En la puesta en
común pregunte si es cierto que el área se duplica y por
qué. No es fácil encontrar una explicación convincente, más allá de
los ejemplos, por lo que debe quedar a su cargo. Una posibilidad
es apoyarse en un gráfico, como en la siguiente explicación:
● Si se tiene el cuadrado anterior y se duplican
sus lados, queda la siguiente figura:
Se obtienen 4 cuadrados iguales al original, por lo que el área se
cuadruplica.
27. a.
Longitud del lado de
un cuadrado (en cm)
3
4
6
12
40
b. Sí.
Perímetro
Perímetro (en cm)
12
16
24
48
160
También se puede mostrar numéricamente:
● Si se considera un cuadrado cuyo lado mide, por ejemplo,
16 cm, su área es de 16 ×16 cm2. Si sus lados se duplican, miden
2 × 16 cm y el área del nuevo cuadrado es:
2 × 16 cm × 2 × 16 cm = 2 × 2 × 16 × 16 cm2 = 4 × 16 × 16 cm2,
que es el cuádruple del área del cuadrado de lado 16 cm. Como la
medida del lado fue elegida arbitrariamente, el razonamiento es
válido para cualquier otra medida.
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25. a. 9
Medida de Medida de
un lado
otro lado
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Pida que resuelvan el problema y luego haga una
breve puesta en común. Lea junto con sus alumnos
el lateral para establecer que el área de una figura puede ser un
número natural o racional.
Capítulo 9
● Si se quiere que el área se duplique, habría que duplicar uno solo
de los lados, como lo muestra el siguiente dibujo:
30. a. No
31. Un lado.
Problema 40
b. Sí
Problema 32
Tome a su cargo la resolución de este problema,
interactuando con sus alumnos. Como el dibujo en este caso es
engorroso, conviene trabajar numéricamente:
● Si uno de los lados del rectángulo mide 5 cm y el otro mide 8 cm, su
área es de 5 × 8 cm2. Si se triplica uno de los lados y cuadruplica el otro,
el área del nuevo rectángulo es 3 × 5 × 4 × 8 cm2 = 12 × 5 × 8 cm2 que
es 12 veces el área del rectángulo inicial.
● Como las medidas del primer rectángulo fueron elegidas al azar, el
razonamiento es válido para cualquier otra medida y siempre el área
del nuevo rectángulo es 12 veces mayor que el área del primero.
32. Sí.
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Problemas 33 y 34
Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en
común proponga un debate sobre varias formas de
resolver y registre las conclusiones:
● Cuando cambia la unidad de medida que se considera, cambia
el número que representa la medida del objeto pero no cambia
la medida. Si una unidad es la mitad de otra, un objeto medirá el
doble de esta unidad que de la otra.
● En el problema 34 los dos chicos tienen razón pues consideraron
diferentes unidades de medidas.
33. a. Triángulo: 7,5. Rombo verde: 15. Rombo azul:
14. Trapecio: 10,8.
b. No. c. El doble.
34. Depende de la unidad.
Problemas 35, 36, 37 y 38
Estos problemas son aplicaciones de los anteriores.
Proponga una breve puesta en común al finalizar la
resolución y registre las conclusiones:
● Si en 1 metro hay 100 centímetros, en un cuadrado de 1 metro
de lado entran 100 × 100 = 10.000 cuadraditos de 1 cm de lado.
Luego, 1 m
​ ​2​equivale a 10.000 ​cm​2​.
● Si en 1 hectómetro hay 100 metros, en un cuadrado de 1 hectómetro
de lado entran 100 × 100 = 10.000 cuadrados de 1 m de lado. Luego,
1 ​hm​2​equivale a 10.000 ​m2​ ​.
35. a. 6 m × 4 m.
36. Olimpo.
37. a. 100
b. 10.000
38. Construcción.
39. a. Construcción.
b. Uno solo.
Luego de que los alumnos hayan resuelto este
problema, la conclusión que debe quedar registrada
es que el área de un rectángulo o un cuadrado es el producto de dos
lados no paralelos. Si sus medidas son iguales, se trata de un cuadrado,
mientras que si son diferentes, es un rectángulo no cuadrado.
40. a. 48 cm2
b. 16 cm2
c. a × b
Problemas 41 y 42
Pida que resuelvan el problema 41 y en la puesta
en común registre que el lado de un cuadrado queda
determinado si se conoce su perímetro, pero esto no sucede así en el
caso de un rectángulo. Como los lados del cuadrado son iguales, basta
dividir el perímetro por 4 para obtener la medida de su lado. En el caso
del rectángulo, hay infinitos con el mismo perímetro.
Para el problema 42 registre:
● Una diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos iguales,
por lo tanto, el área de cada uno es la mitad del área del rectángulo.
41. a. 484 cm2
b. No, porque hay muchos rectángulos que tienen 20
cm de perímetro y todos tienen diferente área.
42. Sí, es cierto.
Problema 43
Este problema se trata de una aplicación directa del
problema 42. Solo haga una puesta en común si lo
considera necesario.
43. a. 4 cm2
b. 4,5 cm2
Problema 44
Lea con sus alumnos cada una de las resoluciones
propuestas, analícelas y escriba una explicación.
● Para Lazlo el triángulo pintado es la mitad del rectángulo. Esto se
debe a que al trazar el segmento paralelo al lado de 2 cm quedan
determinados dos rectángulos con sus respectivas diagonales, que
definen dos triángulos iguales. Luego, el área del triángulo es la
mitad del área del rectángulo.
b. 24 m2.
75
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A
B
A
B
● Matías calcula el área de cada uno de los rectángulos que
quedan después de trazar la paralela al lado de 2 cm. Calcula
el área de cada rectángulo, calcula su mitad, que es el área del
triángulo y luego suma los resultados.
44. Respuesta personal.
Problemas 45 a 49
Problemas 50 a 52
Pida que resuelvan los problemas 50 y 51 y haga
una puesta en común. Luego de plantear un
debate acerca de las estrategias de resolución, escriban las
conclusiones:
su base y su altura tiene que ser 24. Como hay infinitos pares de
números que cumplen esta condición, pueden buscarse valores
enteros a través de los divisores de 24 o valores cualesquiera
inventando uno de ellos, por ejemplo __
​ 12 ​y calculando el otro como
1
el cociente entre 24 y __
​ 2 ​, o sea 48. Luego, una posibilidad es un
rectángulo de lados 48 cm y ​ __12 ​cm.
● Como el área de un triángulo es la mitad del área de un
rectángulo, buscar un triángulo de área 12 cm2 es equivalente a
buscar un rectángulo de área 24 cm2.
● Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando un lado de
3 cm por el otro lado y el resultado es 21 cm2, entonces el lado faltante
es el cociente entre 21 y 3, o sea 7 cm. Esto se debe que a partir de
3 × … = 21 se interpreta que lo que se busca es la cantidad de veces
que 3 entra en 21, que es el cociente de la división entre 21 y 3.
Pida que resuelvan el problema 52 y luego, en una instancia
colectiva, proponga un intercambio sobre las formas de
resolución. Registre las que considere más importantes:
● En el ítem a. una forma de hallar el área consiste en darse cuenta
de que el triángulo pintado es ​ __14 ​de la mitad del rectángulo, que es
un cuadrado de lado 3 cm. Por lo tanto, el área es:
__
​ 94 ​cm2 = 2,25 cm3
​ 14 ​× 3 × 3 = __
__
Otra manera consiste en tomar como base del triángulo el lado ​EF​ 
___
que mide 3 cm y entonces su altura mide la mitad del lado ​AE​,  1,5 cm.
Su área es ​ __12 ​× 3 × 1,5 cm2 = 2,25 cm2.
En el ítem b. también hay dos formas de resolverlo:
76
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45. El de dos ambientes.
46. 10.000 cm2
47. 3.000.000 m2
48. 160.000 personas.
49. La única incorrecta es la c..
● Si un rectángulo tiene área 24 cm2, entonces el producto entre
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Estos problemas proponen aplicaciones del cálculo
de áreas de rectángulos, cuadrados y triángulos y
el análisis de algunas de sus propiedades. Realice puestas en
común a medida que lo considere necesario y, en cada caso,
registre las conclusiones:
● 1 m2 equivale a 10.000 cm2.
● 1 hectárea equivale a 10.000 m2 y el campo mide 3.000.000 m2.
● Si se duplica la base o la altura de un triángulo, se duplica su
área. El área del triángulo puede calcularse como __
​ 12 ​× b × h. Si se
duplica, por ejemplo, su base, el área del nuevo triángulo es:
1
​ 21 ​× b × h,
​ _2  ​× 2 × b × h =2 × __
que es el doble del área del triángulo original. El mismo razonamiento
puede aplicarse para el caso en que se duplica la altura.
● Si la base se reduce a la mitad, el área del nuevo triángulo es:
​ 1 ​× b × h
​ __1 ​× __
2 2
que es la mitad del área del triángulo original.
● En general, si la base o la altura se multiplican por un número, el
área del triángulo se multiplica por el mismo número.
● Si la altura se triplica y la base se reduce a la tercera parte, el área
​ 13 ​× b × 3 × h = __
​ 12 ​× __
​ 13 ​× 3 × b × h = __
​ 12 ​× b × h, que es igual
resulta ​ __12 ​× __
al área del triángulo original.
Capítulo 9
1
8
● El área pintada es __
​   ​del área del rectángulo, luego es
Problemas 57 y 58
__
​ 1 ​× 8 × 4 cm2 = 4 cm2
8
___
___
● La base del triángulo es AE​
​  de 4 cm y la altura EO​
​ ,  es de 2 cm,
Estos problemas son aplicaciones de los anteriores,
por lo que solo haga una puesta en común en caso de
considerarlo necesario.
entonces el área es de __
​ 12 ​× 4 × 2 cm2 = 4 cm2.
50. Hay infinitas posibilidades, por ejemplo, lados de:
1 cm y 24 cm, 2 cm y 12 cm, 37 cm y __
​ 24
 ​cm.
37
51. 7 cm
52. a. 2,25 cm2
57. 12 cm2
58. 37,5 cm2
b. 4 cm2
Problemas 59 a 61
Los problemas que siguen son aplicaciones de lo
realizado en los anteriores. Registre las conclusiones:
Problema 53
Pida que resuelvan el problema y haga una puesta en
común si lo considera necesario.
53. Construcción.
● Si el área del rectángulo es 20 cm2 y un lado mide 4 cm, el otro
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Después de que resuelvan, proponga un intercambio
y registre las conclusiones:
● El rombo puede pensarse formado por dos triángulos de base 7 cm
y altura 2 cm o dos triángulos de base 4 cm y altura 3,5 cm. Su área
es el doble del área de uno de los triángulos, que es lo mismo que
hallar el área del rectángulo cuyos lados son una de las diagonales
del rombo y la mitad de la otra. Por ejemplo, si las diagonales miden
7 cm y 4 cm, el área del rombo es 2 × 7 cm × 2 cm = 28 cm2.
Todos los trapecios isósceles pueden transformarse en un
rectángulo de la siguiente manera:
Su área es, entonces, 4 × 3 cm2 + 1 × 3 cm2 = 15 cm2
(6 cm – 4 cm) : 2



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Problemas 54 a 56
tiene que medir 5 cm. El rectángulo que queda determinado a la
derecha de A tiene una base de 3 cm y una altura de 5 cm, por lo
que su área es de 15 cm2. Entonces, el área del paralelogramo es de
20 cm2 + 15 cm2 = 35 cm2.
● El área de la zona celeste puede calcularse restando el área del
rombo al área del rectángulo.
● Para saber qué parte de una figura está sombreada, puede
buscarse cuántas veces entra la parte sombreada en la figura. Por
ejemplo, como en la figura de la izquierda se necesitan 4 veces el
triángulo para cubrir el rectángulo, entonces el área del triángulo
es ​ __14 ​del área del rectángulo. En la figura de la derecha, el área del
rectangulito es ​ __18 ​del área del rectángulo.
59. 35 cm2
60. 12 cm2
1
__
61. ​ 4 ​del cuadrado, 1 cm2 __
​ 18 ​del cuadrado, 0,5 cm2
3 cm
Respuestas de actividades de integración
4 cm
1. a.
● Todos los paralelogramos pueden transformarse en un
rectángulo de la siguiente manera:
a
c
b
b
La base del nuevo rectángulo mide (a + b) y la altura c, luego su área
es (a + b) × c. Analizando el paralelogramo podemos ver que a + b es
su base, luego, su área es el producto entre su base y su altura.
54. 14 cm2
55. 27 cm2
56. 12 cm2
Medida en l
1
​ __15 ​
3,54
​ __12 ​
150
​ __14 ​
Medida en ml
1.000
200
3.540
500
150.000
250
b. Multiplicar por 1.000.
c. Porque __
​ 12 ​es el doble de __
​ 14 ​.
d. A partir del dato de la segunda columna, por ejemplo.
e. Sí.
2. a. 112 km
b. 7,5 cm
c. Son el doble de las anteriores.
3. Área del ABCD = 144 cm2. Área del MNPQ = 72 cm2.
4. La única correcta es 200 cg = 0,02 hg
5. Rectángulo celeste: 9,6 cm2. Rectángulo azul: 4,8 cm2.
Trapecio: 10,5 cm2. Rombo: 8 cm2. Figura violeta: 45,5625 cm2.
6. a. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: 12 cm y __
​ 18 ​cm, o
3
__
​ 4 ​cm y 2 cm.
b. ​ __12 ​cm
15
  ​cm2 y el perímetro es 5,5 cm.
c. El área es ​ __
8
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En el siglo XVIII era común que la gente no supiera leer
ni escribir. Hoy en día, un adulto analfabeto tiene pocas
posibilidades de ser incluido socialmente. Por eso es
necesario que todos los niños aprendan a leer y escribir.
Por otra parte advertimos que los avances tecnológicos de
nuestro tiempo son vertiginosos y, en poco tiempo más, los
niños serán “analfabetos informáticos” si no los conocen. Los
adultos, padres y docentes, nos acostumbramos a ellos, aunque
no los conocimos en la escuela. Encendemos un televisor,
operamos en un cajero automático, usamos un teléfono
celular, ingresamos en él los teléfonos que queremos registrar,
tomamos fotografías digitales y muchas cosas más.
A veces pensamos que nuestros hijos o alumnos usan estas
tecnologías más, y mejor, que nosotros porque nacieron y
conviven con ellas. Los chicos de hoy, por ejemplo, no tienen
idea de lo que es ver “La pantera rosa” en blanco y negro; y, para
ellos, la música se baja de Internet y no compran discos grandes
y negros.
Vivimos hoy una nueva revolución que puede compararse a la
revolución industrial. Estamos en la era de la información y la
comunicación.
Los niños deben aprender a conocer este nuevo mundo
tecnológico, pero deben hacerlo con nuestro acompañamiento.
Necesitamos generar escenarios en la red adaptados a la
escolaridad cuyas funciones sean básicamente educativas. En
la web, como en la calle, hay peligros que debemos advertir
y lo mejor para hacerlo es proveer herramientas, juegos,
actividades, que sean atractivas y a la vez, permitan a los niños
transitar por este nuevo espacio social.
Entonces ¿cómo usamos la computadora con nuestros alumnos
y sin que sea una mera diversión o pasatiempo?, ¿qué aporta
esta tecnología a la enseñanza y al aprendizaje escolar? ¿Cómo
les enseñamos a usar este nuevo entorno virtual?
¿Qué es y cómo se usa
?
Entre desde www.tintafresca.com.ar a Mati.net, 6°año.
Allí verán siete medias colgadas. Apoyando el mouse sobre cada
una de ellas y haciendo clic aparecerán siete opciones:
● Números Naturales: contiene todos los juegos relacionados
con el sistema de numeración y las operaciones con números
naturales.
● Calculadoras: contiene diferentes calculadoras para usar.
● Números racionales: aparecen allí todos los juegos
relacionados con los números fraccionarios y decimales.
● Geometría
● Medida
● Proporcionalidad
● Integración: es una trivia que integra los contenidos
estudiados en el año.
Para comenzar a contestar estas preguntas armamos el sitio
Mati.net. En él encontrarán:
● Actividades y juegos relacionados con los contenidos de 1°.
El juego es una herramienta útil para enseñar y aprender
matemática si, además de jugar, se reflexiona sobre lo hecho.
Por eso, en el libro, hay actividades para después de jugar.
● Actividades para reforzar el aprendizaje de los contenidos,
por ejemplo, tablas para completar con el anterior y el
siguiente, el doble y la mitad, cálculo mental, rompecabezas,
etcétera.
● Explicaciones sobre enfoque didáctico para los padres con
ejemplos que ayudarán a comprometerlos con el aprendizaje.
● Foro de discusión docente en el que pretendemos armar
una comunidad de docentes comprometidos que compartan
experiencias, problemas y aprendizajes.
Animémonos a entrar en el mundo virtual...
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?
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¿Por qué
¿Cómo se usa
NÚMEROS
NATURALES
NÚMEROS
RACIONALES
En esta sección encontrarán actividades para
enriquecer e integrar los contenidos sobre el
sistema de numeración.
GEOMETRÍA
Armado de números
Mayor y menor con condiciones
INTEGRACIÓN
Composición
CALCULADORAS
Proporcionalidad
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Armado de números
?
El objetivo de este juego es que el jugador logre componer un
número a partir de los dígitos que lo integran y las potencias
de diez de la descomposición polinómica que le dan sus
respectivas posiciones en el número dado.
Cuando comience el juego aparecerán fichas que caerán y el
jugador tendrá que ubicar en los casilleros correspondientes
para armar, así, el número que está a la izquierda. Para correrlas
de lugar, se usan las teclas
.
Luego de jugar, pregunte cómo hicieron para identificar en qué
lugar había que poner cada cifra. Es esperable que, si el número
era 4.386.537 digan que hay que ubicar el 5 en el lugar de los
cienes (centenas). Pregunte, en ese caso, cuántas centenas tiene
ese número. Es muy común que los niños contesten que tiene
5 centenas. Si ese es el caso, proponga el siguiente problema:
Matías tiene que pagar justo $4.386.537, y solo tiene billetes de
$100 y $10 y monedas de $1. Si quiere usar la menor cantidad de
billetes, ¿cuántos billetes de $100 debe usar?
En este caso, Matías deberá usar 43.865 billetes de $100.
Luego de que lo resuelvan, en la puesta en común, relacione el
problema de los billetes con el anterior. Concluya y registre que:
● El número 4.386.537 tiene 43.865 centenas y que 5 es el número
que ocupa el lugar de la centena.
En el juego pueden aparecer también dos cifras juntas. Por
ejemplo, en el caso anterior puede aparecer el número 86.
Dividir por 10, 100, 1.000...
PROPORCIONALIDAD
Trivia
Pregunte dónde ubicarían ese número y registre que:
● 4.386.537 se puede descomponer, por ejemplo como:
4.300.536 + 86 × 1.000.
Mayor y menor con condiciones
Este juego consiste en encontrar el mayor o el menor número
que puede armarse con ciertos dígitos y verificando ciertas
condiciones. Por ejemplo: Armar el número par de 3 cifras más
grande que se pueda con las cifras 7, 8 y 9.
Para jugar hay que arrastrar los números usando el mouse
y ubicarlos en el orden deseado. Al hacer clic en el botón
“comprobar”, el programa indica si el número es el correcto y,
según lo sea o no, se suma como “acierto” o como “error”.
Luego de jugar, pregunte cómo hicieron para encontrar el número
más grande o el más chico. Registre en las carpetas, por ejemplo:
● Para armar el mayor número de tres cifras con los dígitos
7, 8 y 9 que sea par, alcanza con que la última cifra lo sea porque,
por ejemplo: 798 = 790 + 8 = 79 × 10 + 8. Como 10 es un número
par, 79 × 10 también lo es y, la paridad, dependerá solo del 8. Lo
mismo pasa si queremos un número impar. Con lo cual para armar
números pares o impares conviene comenzar ubicando la última
cifra.
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El objetivo de este juego es componer y descomponer números
de varias maneras. Para completar la tabla se aprieta el botón
izquierdo del mouse sobre la celda que se quiere completar y luego
se escribe el número usando el teclado. Observe que no hay una
única manera de componer un número. Por ejemplo: el 23.645
puede pensarse como 2 de diez mil, 3 de 1.000, 6 de 100, 4 de 10 y
5 de 1 o como 23 de 1.000 y 645 de 1 o 2 de 10.000, 36 de 100 y 45
de 1, etcétera.
Divisiones por 10, 100, 1.000...
Este juego posee tablas para completar. En todos los casos
pregunte si la forma de completar la tabla es única y cómo
pueden resolverse estas operaciones sin hacer las cuentas.
Concluya que:
● Pensar en dividir por 10 es lo mismo que analizar cuántos billetes
de $10 se necesitan para pagar esa cuenta y, entonces, la última
cifra del número coincide con el resto.
Si se quiere pagar con billetes de $100, lo que quedará será un
número de dos cifras y, si se quiere pagar con $1.000, quedará un
número de 3 cifras. Entonces:
Dividendo
Divisor
Cociente
Resto
43.685
10
4.368
5
43.685
100
436
85
43.685
1.000
43
685
Relacione el contexto del dinero con la descomposición de los
números. Pregunte, por ejemplo: cuántos dieces hay en 435.238.
Proporcionalidad
En esta sección encontrará tablas para completar con dobles,
triples, mitades, tercios etc. Es fundamental que los niños adquieran
estos contenidos para tenerlos disponibles en otras ocasiones.
Registre que:
● Calcular el doble de un número es multiplicarlo por 2; el triple, por 3;
etcétera.
Observe que estas tablas son de proporcionalidad directa porque
existe un número (la constante de proporcionalidad) que permite
completar la tabla, multiplicando todos los elementos de la primera
fila por ese número, para obtener los correspondientes en la
segunda fila.
Pregunte cómo hicieron para calcular la mitad de un número. Es
probable que contesten que dividen por 2. Proponga que realicen
el mismo juego pero solo con multiplicaciones. Concluya que:
1
● Para calcular la mitad se puede multiplicar por ​ __  ​.
2
Trivia
Este es un juego de preguntas de opción múltiple que permiten
incorporar y analizar los criterios de divisibilidad.
Luego de jugar un rato pregunte qué aspectos tuvieron en
cuenta para contestar.
Recuerde nuevamente los criterios de divisibilidad con su
correspondiente justificación. Por ejemplo:
542.316 = 5.423 × 100 + 16
Como 100 es múltiplo de 4, 542.316 es múltiplo de 4 si 16 lo es.
Analice también preguntas como la siguiente:
“Como el resto de la división de 364 por 7 es 0, entonces el resto de
la división de 365 por 7 es:
a. 1
b. 0
c. No puede saberse sin hacer las cuentas.”
Concluya que:
● Como 364 = 7 × algún número natural, entonces: 365 = 364 + 1
= 7 × algún número natural + 1. Por lo tanto, el resto de dividir 365
por 7 es 1.
● A partir de conocer el cociente y el resto de una división entera
pueden conocerse otras. Por ejemplo, usando el caso anterior;
434 = 364 + 70 y 364 y 70 son múltiplos de 7, entonces 434 es
múltiplo de 7.
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Composición
Es probable que los niños digan que en 435.238 hay 3 dieces
porque ese es el número que ocupa en lugar de las decenas. Si
ese es el caso, relaciónelo con el problema anterior. Descubrir
cuantos dieces tiene el número es lo mismo que hallar el cociente
de la división de 435.238 por 10 y es lo mismo que hallar cuántos
billetes de $10 son necesarios como máximo para pagar justo
$435.238. Concluya que:
● No es lo mismo preguntar cuántas decenas tiene un número
que analizar cuál es la cifra que ocupa el lugar de las decenas en la
escritura decimal del número.
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● Si queremos que un número sea múltiplo de 5 podemos
analizarlo de la misma manera: 4.568 = 4.560 + 8 = 456 × 10 + 8.
Como 10 es múltiplo de 5, entonces 456 × 10 es múltiplo de 5 y, por
lo tanto, todo el número será múltiplo de 5, siempre y cuando la
unidad lo sea. Es decir, si termina en 0 o 5.
● Si queremos que un número sea múltiplo de 10 podemos
analizarlo de manera similar: 45.268 = 45.260 + 8 = 4.526 × 10 + 8.
Como 10 es múltiplo de 10, entonces 4.526 × 10 es múltiplo de 10 y,
por lo tanto, todo el número será múltiplo de 10, siempre y cuando
no tenga unidades. Es decir, si termina en 0.
● Para que un número sea múltiplo de 50 debe ser múliplo de 10 y,
además, el cociente de la división del número por 10 tiene que ser
múltiplo de 5. Por ejempo, 45.850 = 458 × 100 + 50 . Como 100 es
múltiplo de 50, para que el número sea múltiplo de 50, el número
formado por las dos últimas cifras debe serlo. Es decir, un número
es múliplo de 50 si termina en 50 o en 00.
GEOMETRÍA
INTEGRACIÓN
¿Cómo se usa
CALCULADORAS
?
PROPORCIONALID
● 22 × 22 = 11 × 2 × 11 × 2 = 11 × 11 × 4 = 10 × 22 + 10 × 22 + 22 + 22 =
10 × 19 + 10 × 3 + 10 × 19 + 10 × 3 + 19 + 3 + 19 + 3
● 114 × 21 = 114 × 19 + 114 + 114 = 114 × 11 + 114 × 10 =
114 × 30 – 114 × 9
● 32 × 24 = 8 × 4 × 6 × 4 = 30 × 24 + 24 + 24 =
30 × 30 – 30 × 6 + 30 – 6 + 30 – 6
Problema 2
Como solo pueden usarse las teclas 3 , 7 , × e =
es necesario buscar descomposiciones multiplicativas de los
números. Por ejemplo:
● 37 × 21 = 37 × 7 × 3 ● 73 × 63 = 73 × 3 × 3 × 7
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Problema 3
Como ya se analizó, la calculadora es un buen recurso para
indagar las propiedades de los números y sus operaciones.
Recuerde que la calculadora sirve siempre y cuando haya un
registro de lo que se hace. Pida que escriban previamente la
cuenta propuesta y luego anoten lo que apareció en el visor.
Esta estrategia servirá para indagar luego, qué se hizo, y tratar
de entender por qué se cometió algún error.
Por ejemplo, si pensamos en el siguiente problema: Matías tiene
el número 315.142 en el visor de la calculadora y quiere que aparezca
el 310.142 sin borrar lo que estaba, ¿qué cuenta tiene que hacer? Es
probable que los niños prueben restar 5 con lo cuál les quedará
315.137 y no lo que se imaginaban. Si no les queda registro de
esto, volverán a cometer el mismo error en un problema similar.
Programar la calculadora
Pida que resuelvan los problemas de la página 136.
Problema 1
En esta actividad deberán programar la calculadora para que
no funcione la tecla 2 . Para eso siga las instrucciones que
aparecen en el CD.
Pregunte luego cómo hicieron para resolver las cuentas con
esta calculadora. Registre que para lograrlo es necesario recurrir
a diferentes descomposiciones del número y permita distintas
resoluciones. Por ejemplo:
● 24 × 12 = (13 + 11) × 12 = 13 × 12 + 11 × 12 = 13 × 3 × 4 + 11 × 3 × 4 =
6×4×3×4
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La calculadora científica no se comporta de la misma manera que
una calculadora común. Al resolver 2 × 5 + 8 : 2 en la calculadora
común se obtiene 9 y en la científica 14. Pregunte cuál es el
resultado correcto. Concluya que:
● La calculadora científica jerarquiza las operaciones, es decir,
separa en términos, por lo cual resolvió primero 2 × 5 y 8 : 2, y
después sumó los resultados. En cambio, la calculadora común
no jerarquiza las operaciones. Por lo tanto, lo que hizo fue 2 × 5, el
resultado + 8 y luego todo dividido 2.
Registre que:
● Cuando se usa una calculadora común hay que tener más
cuidado al ingresar un cálculo combinado y usar la tecla = en
caso necesario.
La calculadora científica realiza el cálculo correcto.
La calculadora con fracciones
Pida que resuelvan los problemas de la página 133.
Problemas 1 y 2
Pida que resuelvan los problemas con la calculadora y concluya:
● ___
​  1   ​ + ___
​  1   ​ = ___
​  2   ​ = 0,2.
10 10 10
● Hay infinitas restas de fracciones decimales que dan por
​  1   ​ , ___
​  5   ​ – ___
​  3   ​ , etcétera.
resultado 0,2, por ejemplo: ___
​  3   ​ – ___
10 10 10 10
Problemas 3, 4 y 5
Pida que resuelvan los tres problemas juntos y concluya que
para resolverlos se puede hacer una división. Por ejemplo:
● 1 : 0,1 = 10, entonces 0,1 × 10 = 1.
● 1 : 10 = 0,1, entonces 10 × 0,1 = 1.
● 0,01 : ___
​  1   ​ = 0,1, entonces ___
​  1   ​ × 0,1 = 0,01.
10
10
Problema 6
Pida que resuelvan el problema que pone de manifiesto la
densidad de los números racionales. Registre que:
● Se puede seguir sumando fracciones decimales sin llegar a 10.
1   ​ + ____
Por ejemplo: 9,8 + ​ ___
​  1   ​ + _____
​  1   ​ +...
10 100 1.000
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NÚMEROS
RACIONALES
En esta sección encontrarán actividades para enriquecer e
integrar los contenidos referidos a los números fraccionarios
y decimales.
INTEGRACIÓN
Guerra de fracciones
Pintemos parte de la unidad
Completar la unidad
Los números racionales fraccionarios
Guerra de fracciones
El objetivo de este juego es quedarse con la mayor cantidad
posible de cartas. Para eso cada niño juega contra Matías. Para
comenzar se escribe el nombre con el teclado y se aprieta
el botón izquierdo del mouse donde dice “jugar”. Luego se
aprieta el botón izquierdo del mouse sobre el casillero que
dice “repartir”. Después se aprieta con el botón izquierdo del
mouse la carta que tenga mayor puntaje. Si el jugador aprieta
correctamente, gana un punto; en caso contrario, gana Matías.
El juego termina luego de 10 aciertos consecutivos.
Después de que los chicos jueguen, pida que resuelvan las
actividades de la página 98.
Plantee una puesta en común en la que ponga especial
importancia en las justificaciones. Por ejemplo:
● Como __
​ 1 ​ es un número tal que con 5 de ellos se arma el entero,
5__
entonces ​ 4 ​ < 1. Por otro lado, __
​ 3 ​ = 1 + __
​ 3 ​ .
​ 1 ​ , por lo tanto __
​ 4 ​ < __
5
5 2
2
2
● Si dos números tienen el mismo denominador, es mayor el que
tenga mayor numerador. Entonces ___
​  2  ​ < ___
​  6  ​ . Como ___
​ 27 ​ > ___
​ 24 ​ = 3 y __
​ 4 ​ 
15 15
8 8
3
6
4
27
__
__
___
< ​   ​ = 2, entonces ​   ​ < ​   ​ .
2
3 8
● Si dos números tienen el mismo numerados es mayor el que tiene
el denominador menor.
Contando monedas
Cajero automático
Se trata de que los alumnos comprendan que una parte
depende del todo.
Fracciones equivalentes
En este juego hay que identificar fracciones equivalentes a una
dada. Luego de que jueguen concluya que:
● Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte
del mismo entero. Para verificar si dos fracciones son equivalentes
se pueden simplificar ambas fracciones dividiendo numerador y
denominador por el mismo número y verificando si se obtiene la
misma fracción irreducible.
Completar la unidad
Nuevamente en esta sección aparecen actividades que permiten
conceptualizar los números fraccionarios y poner en juego
el cálculo mental. Hay tablas para completar con distintas
operaciones. Podrá observar que no se pide el resultado de la
operación sino alguno de los miembros que la componen.
_1_
2​  ​ 
El objetivo de este juego es sombrear el tablero con la parte
de la unidad que indica el dado. El que sombrea todo, gana.
Para tirar el dado, apoye el mouse sobre él y apriete el botón
izquierdo. Observe que aparece una unidad a la izquierda de la
pantalla. Ella cambiará aleatoriamente; por eso la tirada de dado
no representa siempre lo mismo. Por ejemplo: si la unidad fuera
y el dado marca
, hay que pintar un rectangulito; en
cambio, con el mismo dado habría que pintar dos rectangulitos si
la unidad fuera
.
En este juego aparecen tablas para completar con cantidades y
partes. Es una actividad útil si se piensa en el cálculo mental. Por
ejemplo, si se extrae __
​ 1  ​de los 500 tornillos que hay en una caja, en
2
total se extraen 250 tornillos. Pregunte, en la puesta en común, si
se puede extraer __
​ 1 ​  de los tornillos de la caja. Concluya que:
3
● Para poder hacerlo habría que partir un tornillo y eso no es
factible.
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Pintemos parte de la unidad
Partes y total
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PROPORCIONALIDAD
¿Cómo se usa
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Proporcionalidad
?
En esta sección aparecen juegos que ya habían aparecido,
pero ahora se incorpora el uso de los números decimales. Por
ejemplo: divisiones por 10, 100, 1.000 o proporcionalidad.
En el problema 3 pida que anoten varias cantidades. Por ejemplo,
para $34,231 puede entregar 3 billetes de $10, 4 monedas $1, 2 de
10 centavos y 3 de 1 centavo y una de 0,1 centavo. Pero también
puede entregar 34 monedas de $1 y 231 de 0,1 centavo, etcétera.
En el problema 4 como Juan le entregó 10 centavos, el cajero debe
darle $25,25, y eso puede hacerlo con 2 billetes de $10, uno de $5 y
una moneda de 25 centavos.
Como el cajero de Martina no tiene monedas de 10 centavos, para
poder retirar $25,65 ella debería introducir primero, por ejemplo,
35 centavos y el cajero deberá darle $26.
Si Lisandro le dio al cajero $0,15 y este le entregó $2,40; lo que
quería sacar era $2,25.
Si Camilo quiere sacar $25,10 y el cajero no tiene monedas de
10 centavos, es posible que Camilo ponga 15 centavos, para
que le dé $25,25, pero tambien podría poner 40 centavos para
que le dé $25,50 o 90 centavos para que le dé $26.
Proporcionalidad
Contando monedas
En esta sección aparecen nuevamente cálculos de dobles,
triples, medios y tercios. Pregunte si es posible calcular siempre
lo pedido o solo para algunos números determinados. Concluya
que:
● En los números naturales hay algunos que no tienen mitades o
tercios. En cambio, en los números racionales siempre es posible
encontrar la mitad, el tercio, la cuarta parte etc. Esta es una de las
razones por las cuales el concepto de múltiplos o divisores pierde
importancia en este conjunto numérico.
Los números racionales decimales
En este juego aparecen tablas para completar con la décima
parte, la centésima parte etc., y poder así interpretar el valor
posicional de cada cifra.
También se pide hallar dobles, mitades etc., pero con números
expresados de manera decimal.
El cajero automático
Nuevamente aparece, en este juego, la calculadora para deducir
propiedades de los números. En este caso, los números decimales.
Pida que resuelvan la primera actividad de la página 138 y
luego haga una puesta en común. Concluya que:
● Hay muchas formas de obtener 234,002.
En el problema 2 para poder entregar 85 centavos sin monedas de
10 centavos, deberá usar monedas de 1 y 5 centavos.
En este juego hay una alcancía llena de monedas y una rueda.
Haga girar la rueda y caerán un montón de monedas. El jugador
debe calcular cuánta plata sacó y cuánta plata queda en la
alcancía. Luego de que jueguen un rato pregunte:
¿Puede ser que obtenga $100 con las monedas que hay en la
alcancía? ¿Cuántas monedas son necesarias? ¿Cuántas monedas
de 50 centavos se necesitan para pagar justo $15,50? ¿Si se sabe
que para pagar una determinada suma de dinero se necesita
una cantidad de monedas de 50 centavos, cuántas monedas
se necesitarán si se usan monedas de 25 centavos? ¿Y si se usan
monedas de $1?
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OMETRÍA
INTEGRACIÓN
MEDIDAS
En esta sección encontrará actividades para enriquecer e
integrar los contenidos referidos a medidas, perímetros y áreas.
NÚMEROS
RACIONALES
Perímetro
Equivalencias
Equivalencias
En este juego hay tablas para completar con equivalencias de
medidas. Luego de que jueguen pregunte qué pensaron para
contestar. Concluya que:
● Las tablas son de proporcionalidad directa y 0,001 km = 1 m =
100 cm = 1.000 mm.
También encontrará un memotest con equivalencias de
medidas.
Perímetro
INTEGRACIÓN
Este es un juego de correspondencias. El objetivo es buscar
figuras que tengan igual perímetro y distinta forma, o distinto
perímetro pero la misma forma.
Área
Proporciones con números naturales y racionales
Proporcionalidad
En esta sección aparecen tablas de proporcionalidad directa para completar
calculando previamente la constante de proporcionalidad.
En la puesta en común analice cada caso y busque la constante. Concluya que:
● No alcanza con que al aumentar una de las variables, la otra aumente, para decir que
una relación es de proporcionalidad directa. Es necesario que además se mantenga una
proporción que está dada por la constante.
El programa FW
El programa FW
Este es un programa que permite graficar relaciones entre variables. Cuando abra
el programa aparecerá una pantalla para introducir las relaciones. Una vez escritas
apriete aceptar y verá el gráfico deseado.
Pida que resuelvan las actividades de la página 154.
En el problema 1 deberá programar F(x) = 4 · x; G(x) = x y H(x)= __
​ 1  ​· x.
4
1
__
Observe que 4, 1 y ​   ​  son las constantes de proporcionalidad de cada relación.
4
En el problema 2 la relación es F(x) = 3 · x; en el 3 es F(x) = 15 · x y en el 4, F(x) = 2 · x+4.
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PROPORCIONALIDAD
En esta sección encontrará actividades para
analizar el concepto de proporcionalidad
directa y un programa graficador que le
permitirá representar gráficamente la relación.
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Este es otro juego de correspondencias. El objetivo es buscar
figuras que tengan igual área y distinta forma, o distinta área
pero la misma forma.
Áreas
NATURALES
RACIONALES
¿Cómo se usa
GEOMETRÍA
?
En esta sección encontrarán actividades para
enriquecer e integrar los contenidos de geometría.
INTEGRACIÓN
MEDIDAS
Regla y compás o Geogebra
Tangram
Triángulos
Triángulos
Correspondencia
El objetivo de este juego es reconocer los triángulos por su
clasificación, sus propiedades y sus posibles medidas.
Para jugar, lea el nombre del triángulo que aparece a la
izquierda y apriete el botón izquierdo del mouse sobre la figura
correspondiente que está a la derecha.
Memotest
Este juego es el típico memotest cuyo objetivo es identificar
las tarjetas que representan lo mismo. Para eso apoye el
mouse sobre la tarjeta que quiere observar y apriete el botón
izquierdo.
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Ángulos interiores
En este juego encontrarán tablas para completar con medidas
de ángulos que permitan armar triángulos y luego clasificarlos
según sus lados o sus ángulos. Luego de que jueguen un rato
pregunte qué tuvieron en cuenta para resolver el juego. Concluya
que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° y que un
triángulo escaleno tiene todos sus ángulos diferentes, uno isósceles no
equilátero tiene dos ángulos iguales y uno diferente, y uno equilátero
tiene 3 ángulos iguales de 60° cada uno.
Polígonos
Aparecen aquí tablas para completar con las características de
los polígonos: cantidad de lados, cantidad de triángulos que los
cubren sin superponerse, etcétera.
Trivia
Este es un juego de preguntas con opción múltiple que se
refieren a las propiedades de las figuras geométricas analizadas
en el libro.
Guardas
Las guardas son secuencias de figuras regulares que se
completan siguiendo la misma estructura de forma y color.
Para completarlas, apriete el botón izquierdo del mouse sobre
la figura que quiere ubicar y luego, con el botón apretado,
Cuerpos
Trivia
arrástrela hasta el lugar definitivo.
El juego tiene varios niveles de dificultad y para comenzar hay
que elegir con qué nivel se desea jugar.
Tángram
El Tángram es un juego chino muy antiguo, consistente en
formar siluetas de figuras con siete piezas que juntas forman un
cuadrado. Las piezas son 5 triángulos de diferentes tamaños, un
cuadrado y un paralelogramo. Hay que usar todas las piezas.
Para armar las figuras que aparecen hay que arrastrarlas con
el mouse hasta el lugar donde se las desea colocar. También es
posible girar las fichas apoyándose sobre ellas y apretando el
botón derecho del mouse.
Cuerpos
Memotest
El objetivo es identificar las tarjetas que representan lo mismo.
Para eso apoye el mouse sobre la tarjeta que quiere observar y
apriete el botón izquierdo.
Este juego tiene una variante respecto del original. Las
tarjetas que hay que buscar no siempre se corresponden con
las mismas figuras o nombres con figuras. Muchas veces la
correspondencia es la figura con sus propiedades. Por ejemplo:
Cubo
Todas sus caras son cuadrados iguales.
Cilindro
Tiene 2 caras circulares.
Prisma de base
triangular
Tiene dos caras que son triángulos
y las otras, rectángulos.
Pirámide de base
cuadrada
Tiene una cara que es un cuadrado
y las otras caras son triángulos.
Prisma de base
rectangular
Tiene seis caras que son rectángulos
y ninguna es un cuadrado.
Prisma de base
pentagonal
Tiene dos caras que son figuras de
5 lados y las otras, rectángulos.
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Geometría dinámica: Regla y Compás o GeoGebra
Los programas Regla y Compás y GeoGebra son programas de la llamada Geometría dinámica. Ellos permiten
realizar, analizar y comprender construcciones geométricas dinámicas. Con ellos es posible utilizar el hacer y
deshacer con el fin de pensar y demostrar propiedades geométricas; mover algunos objetos libres para analizar
con qué propiedades se construyeron las figuras, etcétera.
Regla y Compás
Regla y Compás es un programa gratuito y se pueden encontrar actualizaciones en www.rene-grothmann.de.
Barra de título
Barra de herramientas
Menú
Barra de macros
Barra de Windows
En esta pantalla principal se pueden distinguir diferentes aspectos.
Ventana principal: es la parte en blanco donde se realizará la
construcción.
Con el comando ZOOM o con las teclas +/- se puede acercar o
alejar el dibujo.
Barra de título: es donde aparece el nombre del archivo con el
que se graba la construcción.
Barra de herramientas: es la barra donde aparecen todos los
íconos que se pueden utilizar en la construcción. Si se apoya
el mouse sobre cada ícono y se lo sostiene unos segundos
aparecerá el nombre de la herramienta.
Normalmente la barra de herramientas aparece en dos líneas:
● la línea superior contiene las herramientas de aspecto
y configuración como la cuadrícula o mostrar los objetos
ocultos, el color y la forma de los objetos;
● la línea inferior contiene las herramientas de construcción,
como el punto, el segmento, etcétera.
Las herramientas que no aparecen en la pantalla pueden
utilizarse de todas maneras con las combinaciones de teclas o
con el menú.
Barra de macros: es una barra con herramientas especiales,
pensada para abreviar construcciones muy conocidas y
utilizadas. Conviene explorarla después de conocer el uso de las
otras herramientas sencillas.
Línea de estado: es donde aparece información importante y
generalmente se encuentra debajo de la ventana principal. Esta
línea sirve para escribir los comandos.
Menú: contiene otras opciones, como guardar o abrir archivos, y
las combinaciones de teclas de cada herramienta. Por ejemplo:
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Línea de estado
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Hoja de trabajo
¿Cómo se usa
?
Nueva Construcción: borra la construcción
anterior y prepara para una construcción
nueva y sin nombre.
Abrir Construcción - abre un archivo
almacenado bajo un nombre que contiene la
construcción elegida.
Abrir Ejercicio - Abrir Construcción
Descriptiva: abren construcciones
especialmente preparadas para aprender.
Guardar Construcción – Guardar
Construcción Como: graba la construcción
con el nombre que uno elija, en una carpeta
determinada por el programa, a menos que se
le indique otra carpeta.
Aquí aparecen las herramientas para construir
objetos sencillos.
También aparecen herramientas que ofrecen
opciones: ocultar, mostrar, editar comentario,
hacer dibujo libre, mover, dejar rastro, etcétera.
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Imprimir: presenta las opciones para imprimir.
Descripción permanente: muestra
una ventana donde aparece la lista de
instrucciones y nuevos objetos.
Modo Escolar – Modo Principiante:
prepara las herramientas para ayudar a
aprender en distintas etapas del aprendizaje.
El comando Ayuda otorga información
sobre el último objeto que se utilizó y
lo relaciona con otros temas.
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Construye un punto libre, que se puede mover. Si se presiona la tecla shift
al crear el punto, se abrirá la ventana de propiedades para fijar la posición.
Recta
Al marcar dos puntos con este comando se dibuja una recta. Las herramientas recta
perpendicular, recta paralela y ángulo fijo también producen rectas o semirrectas.
Semirrecta
Cuado se marcan dos puntos con este comando se dibuja
una semirrecta cuyo origen es el primer punto marcado.
Segmento
Esta herramienta sirve para construir un segmento dados dos puntos
que son sus extremos. Si al marcar el segundo punto se presiona la tecla shift
se fija la longitud del segmento.
Círculo
Para construir un círculo con este comando hay que marcar dos puntos.
El primero será el centro y el segundo dará la medida del radio.
Compás
La herramienta Compás necesita que se seleccionen tres puntos. Con los dos primeros se
indica qué longitud tendrá el radio, y con el tercero se fija el centro.
Círculo de radio fijo
La herramienta Círculo de radio fijo abre automáticamente la ventana
de propiedades para definir la longitud del radio.
Recta paralela
Para construir una recta paralela hay que seguir los siguientes pasos:
1. Se señala una recta, segmento o semirrecta a la que será paralela.
2. Se señala un punto exterior por donde pasará la paralela.
Recta perpendicular
Para construir una recta perpendicular hay que seguir los siguientes pasos:
1. Se señala una recta, segmento o semirrecta a la que será perpendicular.
2. Se señala un punto por donde pasará la perpendicular.
Punto medio
Para marcar el punto medio entre dos puntos hay que apretar este ícono y luego señalar
dos puntos.
Ángulos
Para construir un ángulo hay que señalar tres puntos, el del medio es el vértice. Los
ángulos que construye el programa son siempre menores que 180°.
Ángulo de amplitud fija
Con esta herramienta se abre el cuadro de propiedades para que se pueda elegir una
medida de amplitud.
Mover
Esta herramienta mueve puntos y texto, como alternativa al botón derecho del mouse.
Al seleccionarla o al oprimir ESC , todos los puntos movibles aparecerán en rojo.
Con la tecla shift pueden moverse varios puntos juntos.
Traza (rastro)
La herramienta traza hace que el punto deje una huella mientras se mueve.
Fórmulas
Esta herramienta sirve para escribir fórmulas en la pantalla.
Para mover las fórmulas hay que apretar el botón derecho del mouse.
Texto
Esta herramienta sirve para escribir un texto en la construcción.
Este texto puede ser editado con un editor interno.
Oculta objeto
Con esta herramienta se ocultan objetos. Si está activada la herramienta
Mostrar Objetos ocultos, un segundo clic sobre el objeto lo vuelve a mostrar.
También, si se oculta con CTRL y el botón derecho del mouse, los círculos y las rectas
se vuelven truncadas y se ocultan apretando nuevamente el botón derecho del mouse.
Para ocultarlo “para siempre”, además, hay que apretar la tecla shift .
En ese caso solo se puede recuperar en la descripción.
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Punto
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Herramientas para construir
¿Cómo se usa
?
GeoGebra
GeoGebra es un programa gratuito y se pueden encontrar en www.geogebra.org.
En esta pantalla principal se pueden distinguir diferentes aspectos.
Barra de título
Menú
Barra de herramientas
Hoja de trabajo
Vista
algebraica
Ejes cartesianos
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Línea de estado
Barra de Windows
Ventana principal: es la parte en blanco donde se realizará la
construcción.
Barra de título: es donde aparece el nombre del archivo con el
que se graba la construcción.
Barra de herramientas: es la barra donde aparecen todos los
íconos que se pueden utilizar en la construcción. Si se apoya
el mouse sobre cada ícono y se lo sostiene unos segundos
aparecerá el nombre de la herramienta.
Vista algebraica: Es dónde aparecen las coordenadas
y fórmulas que permiten ubicar los puntos en el plano.
Generalmente, en este ciclo no es de utilidad, por lo que puede
sacarla haciendo clic en la cruz superior derecha.
En la barra de herramientas puede observar las herramientas
de construcción, como el punto, el segmento, etcétera. Para
visualizar todas las herramientas de construcción debe pararse
en el borde inferior izquierdo de cada ícono y hacer clic con el
mouse. Se desplegarán todas las herramientas de construcción.
Nueva ventana: comienza una construcción nueva en otra ventana sin
borrar la actual.
Nueva: cierra la ventana actual para comenzar una nueva construcción.
Guarda - Guarda Como: guarda los archivos en extensión ggb.
Exporta: permite exportar los archivos a una página web o como
imagen en las extensiones png, pdf, eps, svg o emf.
Previsualizar impresión: permite visualizar la imagen previa a la
impresión
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Permite hacer y deshacer partes de las
construcciones y copiar al portapapeles
para pegar en un procesador de textos.
Permite visualizar o anular en la pantalla los
distintos modos de trabajo como ejes, vista
algebraica, planilla de cálculo, etcétera.
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Parándose con el mouse en el borde inferior derecho
se abrirán todas las funciones. Por ejemplo:
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Permite modificar la apariencia, escala,
cantidad de decimales que se consideran,
etcétera.
¿Cómo se usa
?
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Las primeras construcciones
Construcción de un punto con Regla y Compás
Construcción de un segmento con GeoGebra
Para construir un punto hay que apretar el botón izquierdo del
mouse sobre el ícono correspondiente y luego volver a apretar
el botón izquierdo del mouse donde se quiere poner el punto.
Una vez construido observe que cuando pasa el mouse por él
cambia de color.
Para ponerle nombre al punto, una vez que cambió de color,
hay que apretar el botón derecho del mouse y se desplegará la
siguiente pantalla:
Para construir un segmento primero marque dos puntos
diferentes como se explicó anteriormente. Luego apriete el
botón izquierdo del mouse sobre el ícono segmento y marque
con el mouse los puntos que serán sus vértices. Quedará así
marcado el segmento.
Complétela con el nombre deseado y luego apriete el ícono
que tiene una A para que el nombre aparezca en la pantalla.
Luego apriete OK.
Observe que en esta pantalla aparecen además otros íconos.
Con ellos puede cambiar la letra, el color, el trazo, ocultar los
objetos, etcétera.
Puede modificar las propiedades del segmento parándose
sobre el mismo, haciendo clic con el botón derecho y luego
marcando propiedades.
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Construcción de la mediatriz de un segmento con Regla y
Compás
Para construir la mediatriz de un segmento dado siga estos
pasos:
1. Marcar el punto medio del segmento apretando el botón
izquierdo del mouse en el ícono correspondiente y apretándolo
luego en los extremos del segmento.
2. Trazar la recta perpendicular al segmento que pasa por ese
punto medio como se explicó anteriormente.
Construcción de una recta paralela y una perpendicular a otra
Construcción de un ángulo con GeoGebra
Para construir una recta paralela a otra que pase por un punto,
primero hay que apretar el botón izquierdo del mouse sobre el
ícono correspondiente, luego sobre la recta que está dibujada y,
por último, sobre el punto donde se pretende dibujar la
nueva recta.
Para dibujar una recta perpendicular se procede de la misma
manera pero con otro ícono.
Para construir un ángulo con GeoGebra hay dos posibilidades.
- Marcar 3 puntos del ángulo. El del medio será el vértice.
- Marcar 2 puntos y la medida del mismo.
En los dos casos es necesario tener en cuenta la orientación que
se pretende: horaria o antihoraria.
Parándose con el mouse en el ángulo y haciendo clic con el
botón derecho se abren las propiedades.
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Se pueden construir circunferencias con GeoGebra dados
distintos datos.
- Con el ícono Circunferencia dados el centro y un punto se hace
clic en el centro y luego en un punto de la circunferencia.
- Con el ícono Circunferencia dados el centro y el radio, se hace
clic en el centro y pide el valor de la medida del radio.
- Con el ícono Compás se puede marcar un segmento que será
la medida del radio y luego el centro de la circunferencia.
- Con el ícono Circunferencia dados 3 puntos es necesario
marcar 3 puntos pertenecientes a la circunferencia y se marcará
la misma.
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Construcción de una circunferencia con GeoGebra
RACIONALES
¿Cómo se usa
?
INTEGRACIÓN
El juego consiste en tirar un bingo. En los casilleros hay prendas
que llevan al alumno a resolver los distintos juegos de Mati.net.
Pida que jueguen y que vayan anotando cuántas prendas
tuvieron que pasar.
Luego pida que anoten las estrategias utilizadas para ganar
cada prenda. Realice un debate posterior, en él saldrán todos
los temas que se analizaron durante el año. Este es un buen
trabajo de integración anterior a la evaluación final.
PROPORCIONALIDAD
Bibliografía
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Parra Cecilia, Saiz, Irma: Didáctica de las matemáticas: Aportes y
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Notas
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Notas
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Guía docente
Matimática 6
Esta guía docente desarrolla la
propuesta didáctica de Matimática 6.
© Tinta fresca ediciones S.A.
Corrientes 526
(C1043AAS) Ciudad de Buenos Aires
Hecho el depósito que establece la Ley N° 11.723.
Libro de edición argentina. Impreso en la Argentina.
Printed in Argentina.
Gerente general
Leandro De Sagastizábal
Directora editorial
Susana Pironio
Vicedirectora
Alina Baruj
ISBN: 978-987-576-440-8
Directora de la serie
Liliana Kurzrok
Autora
Andrea Novembre
Editora
Marcela Baccarelli
Jefa de arte
Eugenia Escamez
Coordinación de arte y
diseño gráfico
Diego Lucero
Diagramación
Celeste Maratea
Federico Gómez
Asistente editorial
Carolina Pizze
Producción editorial
Nora Manrique
La reproducción total o parcial de este libro en cualquier forma que sea, idéntica
o modificada, y por cualquier medio o procedimiento, sea mecánico, electrónico,
informático o magnético y sobre cualquier tipo de soporte, no autorizada por los
editores, viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.
En español, el género masculino en singular y plural incluye ambos géneros. Esta
forma propia de la lengua oculta la mención de lo femenino. Pero, como el uso
explícito de ambos géneros dificulta la lectura, los responsables de esta publicación
emplean el masculino inclusor en todos los casos.
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Novembre, Andrea
Guía docente Matimática 6. - 2da ed. - Buenos
Aires : Tinta Fresca, 2011.
96 p. ; 28x21 cm.
ISBN 978-987-576-440-8
1. Matemática . 2. Guía docente. I. Título.
CDD 371.1
15/02/2011 01:05:16 p.m.