Universidad del País Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA UNIVERSIDAD DEL PAÍS VASCO
DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA MATERIA CONDENSADA
I- CÁLCULO DE ERRORES EN LAS MEDIDAS.
1. Introducción.
La medida es fundamental en el crecimiento y aplicación de la Ciencia. Desde el
corte de bloques de piedra para la construcción de las pirámides, hasta la determinación de la
forma de un planeta a partir de las órbitas de sus satélites, los métodos y técnicas de medida
se han extendido y mejorado, y nuestra dependencia sobre su grado de fiabilidad ha
aumentado. Pero hacer una medida no basta. Cuando usamos el resultado obtenido, debemos
saber si es bastante bueno para nuestros propósitos.
Cuando se mide una magnitud física, no puede esperarse que el valor obtenido sea
exactamente igual al valor verdadero, ya que ninguna medida es perfecta. Es imprescindible,
en cada caso, obtener alguna indicación de qué tan cerca está el resultado de la medida de
dicho valor verdadero; es decir, alguna indicación de la exactitud y fiabilidad de la medida.
Esto se hace incluyendo en el resultado una estimación de su error. Todo resultado
experimental o medida hecha en un laboratorio debe incluir el valor estimado del error de la
medida. Por ejemplo, puede medirse la distancia focal de una lente y dar el resultado final
como:
f = (256 ± 2) mm.
(1)
De este modo entendemos que la distancia focal está en alguna parte entre 254 mm y 258 mm
En este caso decimos que el error de f es de 2 mm , y lo expresamos así:
∆f =2 mm,
donde el símbolo ∆ significa “error de”.
En realidad, la expresión (1) no significa que se está seguro de que el valor
verdadero esté entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que esté ahí.
La ecuación (1) indica también que nuestra resolución no permite saber nada en cuanto a las
décimas de mm adicionales o cualquier fracción menor que pueda existir en la distancia focal.
A veces, el error no se pone explícitamente y se sobreentiende de la forma en que se
indica el valor de la medida. Por ejemplo, si en el caso anterior damos el resultado final en la
eman ta zabal zazu
forma:
f= 256 mm
(2)
debemos entender que la última cifra significativa es el 6, y el error es de 1mm, siendo
equivalente a poner f= (256 ± 1) mm. Debido a ello en Física experimental, los ceros a la
derecha del punto decimal son relevantes. No es lo mismo decir que
ó que
f= 256.1 mm
(3)
f= 256.10 mm
(4)
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En el primer caso, estamos diciendo implícitamente que la última cifra significativa de la
medida son las décimas de milímetro, y por lo tanto el error es 0.1mm y es equivalente a
poner f = (256.1±0.1) mm, mientras que el valor dado en la ecuación (4) es equivalente a
poner f = (256.10 ± 0.01) mm.
El número de cifras significativas del valor experimental de una magnitud tiene que
ser coherente con su error. Por ejemplo, si en otro experimento, el error en la medida de la
distancia focal se ha estimado en 0.7 mm, y el valor experimental para la distancia focal,
obtenido mediante los cálculos pertinentes resulta ser (en nuestra calculadora)
f= 256.378913 mm, solamente podremos considerar la primera cifra decimal como
significativa ya que el error solamente lo podemos estimar con una cifra decimal. Por tanto,
redondeando, debemos poner f= (256.4 ± 0.7) mm. No tiene ningún sentido poner como
resultado f= (256.379 ± 0.7) mm, f= (256.38 ± 0.7) mm, ó f= (256 ± 0.7) mm, que son
expresiones absolutamente incorrectas, por no tener el error y el valor el mismo
número de decimales!
Relacionado con lo anterior está el problema de decidir las unidades en las que
expresaremos nuestros resultados. En general, en el Laboratorio se usarán unidades MKS.
Solamente en casos excepcionales no se hará uso de esa regla. Estos casos pueden surgir
cuando las unidades que queremos emplear tienen un orden de magnitud que no se
corresponde con el valor de la medida o el error del resultado. Consideremos, por ejemplo,
que hemos medido una fuerza de 1.3 dinas con un error de 0.2 dinas. Si lo ponemos en
unidades MKS, será (0.000013±0.000002) N, con un "mareo de ceros". La situación se puede
y se debe salvar utilizando explícitamente potencias de 10 y es conveniente ponerlo en la
forma:
(1.3 ± 0.2 )× 10-5 N
o usando unidades CGS (dinas, en este caso). De la misma forma que en el casos anterior, el
número de decimales en el valor de la magnitud debe estar de acuerdo con el valor del error.
Pueden ocurrir otras situaciones en las que las unidades MKS son demasiado
pequeñas. Supongamos que hemos medido una distancia de 1245 m pero con un error de 70
m. De la misma forma que ocurría con los valores con decimales, deberemos en este caso
también redondear el valor obtenido para que sea coherente con el error estimado. Es decir,
deberemos poner que L= (1240 ± 70) m, y aparecen en el valor tanto de la medida como de su
error un cero, que nos indica que la precisión de nuestra medida no permite saber "nada"
sobre el valor de las unidades de metros en el valor medido y en su error. En ese caso, es
conveniente pasar a otras unidades donde no sea necesario introducir esos ceros "simbólicos"
y pondremos L = (1.24±0.07) km. En este caso, los km es una unidad más adecuada y
consistente con el error de la medida.
Los errores, aunque se "calculan" usando determinadas expresiones, de las que luego
hablaremos, solamente son estimaciones,
es decir,
eman ta zabal
zazu el valor que se obtiene es únicamente un
valor aproximado que consideramos razonable. Por ello, en el "calculo" de errores debe
intervenir en muchos casos el sentido común a la hora de decidir cual es el error de una
medida. Uno de las primeras cuestiones es decidir cual es la "precisión" en el error, es decir,
cual es el "error en el error". En el ejemplo anterior, puede ser que la estimación del error
mediante determinados cálculos, de los que luego hablaremos, nos haya dado en la
calculadora: 68.456432 m; debemos entonces decidir cuantas cifras son significativas en este
cálculo, y elegir entre tomar como error: 70, 68, 68.5 m, etc... lo que decidirá también el
número de cifras significativas en el valor medido. Para tomar una decisión no necesitamos,
sin embargo, entrar en el cálculo de errores de los errores, ya que, en general, estos son tan
grandes, que basta una regla general:
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Cálculo de errores en las medidas
Los errores se deben dar solamente con una cifra significativa. Únicamente en casos
excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0), o dos cifras
significativas.
En el ejemplo anterior, se puede ver que no tendría sentido pretender precisar que el
error de la longitud es de 68 m, (y no 66 ni 69 m, por ejemplo), cuando la longitud
propiamente dicha únicamente se ha podido medir con un error de unos 70 m. ¡Significaría
entonces que podemos "medir" con más precisión el error que la propia longitud! Debemos,
por tanto redondear el error a 70 m, que tiene únicamente una cifra significativa. Y con ello,
está implícito que el error solamente lo estamos estimando en decenas de metros, y
suponemos que su valor debe estar probablemente entre 65 y 75m sin poder especificar más.
Resumiendo, podemos enunciar tres reglas importantes:
1) Cualquier magnitud física obtenida a partir de datos experimentales se debe expresar
acompañada de su error, con indicación de las unidades empleadas.
2) La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error,
expresados en las mismas unidades, deben corresponder al mismo orden de magnitud
(centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas, etc...)
3) EN NUESTRO LABORATORIO, en general, los errores deben tener UNA ÚNICA
cifra significativa. Solamente en casos excepcionales justificados pueden utilizarse
errores con una y media, o dos cifras significativas.
Ejemplos de expresiones correctas (sin unidades): 24000± 3000; 2500± 300; 23.45± 0.06;
345± 3 ; 1.3646± 0.0004; (1.23 ± 0.06)× 10 -15; 370± 30; 500± 100; 24567± 8; 23.50± 0.25.
Ejemplos de expresiones incorrectas:
por la regla 2: 24567± 3000; 2523± 300; 23± 0.06; 345.3± 3; 1.3646± 0.004; 370.34± 30;
(1.23× 10 -15± 0.04 × 10-19)
por la regla 3: 24567± 2928; 2547.3± 335.2;
1.35460± 0.00144; (8.23± 1.18) × 10 -15.
23.453± 0.165;
345.20± 3.10;
Ejercicio. Expresar correctamente los siguientes resultados (sin unidades):
por ejemplo:
655.3132 ± 38.4208 ⇒ 660 ± 40
(8.23× 10 -6± 1.18× 10 -7 ⇒ (8.2± 0.1) × 10 -6
eman ta zabal zazu
a) 4835.2134 ± 281.2081
b) 6.7812×10-5±3.6124×10-7
c) 4.981210±0.235145
d) 0.0020081±4.65× 10-5
f) 12.00124±0.05318
g) 8.82121±23.1254
h) 28.2108±535.6
i) 346.06784± 0.0535
k) 6.1221823± 0.0003671
l) 1.23× 10-5± 0.027× 10-4
m) 0.02154± 0.09812
n) 21.545061± 0.01983
e) 1.25827× 103±24.5123
j) 346.06784± 4.324
ñ) 9815.4± 962.105
(soluciones al final de los apuntes de cálculo de errores)
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La estimación de los errores que afectan a las medidas, constituye una indicación de
la exactitud y precisión de las mismas y nos permite extraer conclusiones significativas de los
resultados experimentales. Podría pensarse, entonces, que todo experimento debe ser
diseñado para reducir los errores tanto como sea posible. Sin embargo este punto de vista no
es realista; la vida es finita y los resultados del experimentador también, así como su
capacidad de trabajo. Por tanto es importante diseñar y efectuar el experimento de modo que
la exactitud de la respuesta final sea la apropiada para el objetivo primordial que ha motivado
su realización.
Pocos experimentos son tan sencillos que la magnitud final se mida en forma directa
(medidas directas ), sino que, por lo general, se tienen que medir los valores de varias
magnitudes primarias y combinar los resultados a fin de obtener el valor de la magnitud
requerida (medidas indirectas). Los errores en la medida de las magnitudes primarias
determinan el error en el resultado final. En general, los errores primarios contribuyen en
distinto grado al error final, y es entonces conveniente concentrar los recursos finitos
disponibles de tiempo, aparatos y paciencia en reducir los errores primarios que
contribuyen en mayor grado.
Causas de error
Es claro como aparecen algunos errores. Por ejemplo, un micrómetro puede tener un
"error de cero", dando una lectura de 0.02 mm. cuando está totalmente cerrado. Si realizamos
una serie de medidas de la longitud, L, de una barra de metal, el valor obtenido para L sería
incorrecto, dado que deberíamos restarle el "error de cero" (0.02 mm.). Más aún, durante la
medida podría haber variado la temperatura y, por tanto, la longitud de la barra no haber sido
fija. En este caso, deberíamos elegir alguna temperatura fija, por ejemplo 20o C, y, mediante
otro experimento o conociendo el coeficiente de dilatación del metal, corregir nuestras
medidas. Tales errores se denominan errores sistemáticos. En general, los errores
sistemáticos son constantes o varían muy lentamente respecto al tiempo necesario para
realizar una medida. Este tipo de error se aminora, como es lógico, empleando un aparato
bien calibrado y tomando las debidas precauciones al hacer la medida. Diremos que el
resultado es exacto cuando está libre de errores sistemáticos.
Sin embargo, cuando todos los errores sistemáticos se han eliminado o corregido, en
muchos casos tampoco se obtienen idénticos valores para un conjunto repetido de medidas.
Los errores que dan cuenta de las diferencias entre tales valores se llaman errores aleatorios.
Estos errores se deben a causas imponderables como las variaciones imprevistas de las
condiciones de medida, temperatura, presión, humedad, etc. Un experimentador que haga la
misma medida varias veces, no obtendrá, en general, el mismo resultado no sólo por las
causas que acabamos de mencionar, sino también por las propias condiciones en las que se
encuentra él mismo y las variaciones en sus condiciones de observación. Los errores
ta zabalun
zazu
aleatorios pueden compensarseeman
realizando
gran número de medidas. Un resultado se
considerará tanto más preciso, cuanto menor sea su error aleatorio.
Parece claro que aun realizando con meticulosidad las medidas y repitiéndolas un
gran número de veces, no podemos reducir a cero el error del resultado. Dicho error estará
determinado, en un caso ideal, por la resolución del aparato de medida y se denomina
error instrumental. Por tanto, el conocimiento del valor verdadero de una magnitud es
imposible. Solamente podemos obtener una estimación, esperando que sea la mejor
estimación del valor verdadero. La manera de obtener ese "mejor" valor y cómo estimar el
error del mismo, se describen a continuación.
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Cálculo de errores en las medidas
2. Error absoluto y error relativo.
Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son errores absolutos. El
error relativo (e) se define como el cociente entre el error absoluto (∆x) y el valor medio (en
valor absoluto). Es decir,
"x
(5)
e=
x
donde el x se toma en valor absoluto, de forma que e es siempre positivo. Es un índice de la
precisión de la medida. Por ejemplo: si en una medida de 100 m el error absoluto es de 1 m, y
en otra medida de 10km el error absoluto es también de 1m, salta a la vista que, en el primer
caso, la "magnitud" del !error es mucho mayor que en el segundo, a pesar de que el error
absoluto es el mismo. Este hecho se pone de manifiesto al calcular los errores relativos (1/100
y 1/10000 respectivamente) de ambas medidas.
!x
El error relativo se puede dar también en porcentaje: e =
"100%
x
Por ejemplo, un error relativo del 10% en una medida de una longitud de 100m significa que
el error absoluto será de 10 m.
REGLA GENERAL: Es normal que la medida directa o indirecta de una
magnitud física con aparatos convencionales tenga un error relativo del orden del uno
por ciento o mayor. Errores relativos menores son posibles, sobretodo en medidas
directas, pero no son normales en los resultados finales obtenidos en un Laboratorio
elemental como el que utilizamos. En resumen, habrá que tener una buena justificación
para poder asegurar que los resultados finales de una práctica tienen un error relativo
por debajo del 1%. Esta regla debe ser una guía permanente en la estimación del error
de cualquier cantidad.
3. Errores de Medidas Directas
Como se ha comentado anteriormente, una medida directa es aquella en la que la
magnitud que se quiere determinar se mide directamente.
Las causas de error en las medidas directas, si suponemos que se han tomado la precauciones
necesarias para evitar los errores sistemáticos, se limitan a los errores aleatorios y a los
errores instrumentales.
Con el fin de compensar los errores aleatorios en una medida directa hay que realizar
varias medidas, y como mejor estimación de la medida tomar el valor medio. Es decir,
supongamos que se han hecho n medidas de una magnitud x, y los resultados obtenidos son
x1, x2, ..., xn se adopta como mejor estimación del valor verdadero el valor medio, x ó x ,
eman ta zabal zazu
que viene dado por
n
x + x2 + … + xn
x= x = 1
=
n
"x
i
i=1
n
(6)
Aún cuando este valor no es el valor verdadero de la magnitud, se aproximará tanto
más al mismo cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada
medida se !
van compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica, no debe pasarse de
un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, en incluso podría bastar con 4
ó 5.
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Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada
con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetición de la medida nos
lleve siempre al mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el
valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo de la repetición de la medida y
del calculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso hacer UNA
sola medida. En lo sucesivo, denominaremos "valor medio" al obtenido mediante la fórmula
(6) a partir de los resultados en n medidas, ó al valor obtenido en una única medida, en el caso
de que la repetición de la medida no sea necesaria.
De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que implica suponer que estos se
producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, para el valor
experimental, obtenido como valor medio de un conjunto de n medidas, el llamado error
cuadrático definido por
n
# " i2
!x =
(7)
i =1
n(n $ 1)
donde:
(8)
! i = x " xi
El resultado del experimento se expresa entonces como: x ± Δx. Para un número muy
grande de medidas y siempre que los errores sean auténticamente aleatorios, el error Δx
calculado de esta forma, es un número (positivo por definición) que sitúa en un 68%, la
probabilidad de que el valor verdadero se encuentre entre x - Δx y x + Δx. La probabilidad
será de un 95.4% entre x ± 2Δx y de un 99.7% en el intervalo x ± 3Δx.
------------------------------------------Ejemplo 1: Si para determinar un volumen hemos hecho varias medidas y la media de todas
ellas es 143.7 cm3 y el error cuadrático ΔV es 0.4 cm3, el resultado se expresa: (143.7 ± 0.4)
cm3 [ ó 143.7(4) cm3 ].
------------------------------------------La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido
de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático
sea mayor que el error instrumental, es decir que aquél que viene definido por la resolución
del aparato de medida. En caso contrario, deberemos tomar el error instrumental como el
error del valor medido. Este error instrumental es la unidad más pequeña que el instrumento
puede apreciar, denominada sensibilidad (o resolución) del instrumento.
ta zabal
zazumás extremo, que si el resultado de las n
Es evidente, por ejemplo,eman
tomando
el caso
medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo con la fórmula de arriba, será cero,
pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo!, sino que el error instrumental
es tan grande, que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y es este
último, el error instrumental, el que hay que tomar entonces como error de la medida. Por
ejemplo, una medida de una longitud con una cinta métrica que tiene divisiones hasta el mm,
tendrá un error de 1mm, ya que si efectuásemos varias veces la medida el resultado sería
siempre el mismo.
IMPORTANTE: Para determinar el error de las medidas directas hay que determinar
el error cuadráticoUniversidad
y el error instrumental.
El error
de la medida vendrá determinado
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Cálculo de errores en las medidas
por el de mayor valor de entre los dos . Evidentemente si sólo se ha realizado UNA medida
de la magnitud, el error es directamente el error instrumental.
---------------------------------------------Ejemplo 2: Si, por ejemplo, al hacer una medida de intensidad con un amperímetro cuya
división o cifra significativa más pequeña es 0.01A, la lectura es 0.64A, y esta lectura es
constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes), tomaremos 0.64A
como el valor de la medida y 0.01A como su error; es decir, (0.64±0.01) A.
Ejemplo 3: Consideremos un segundo ejemplo: supongamos que hemos medido un
determinado tiempo, t, cuatro veces, y disponemos de un cronómetro que permite conocer
hasta las décimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. De acuerdo a lo
dicho
anteriormente,
tomaremos
como
valor
medido
el
valor
medio:
t= 1/4(6.3+6.2+6.4+6.2) = 6.275 s. El error cuadrático será , de acuerdo con la fórmula (7):
!t=
1 (-0.025) 2 +(0.075) 2 +(-0.125) 2 +(0.075) 2 " 0.05 s
12
Este error cuadrático es menor que el error instrumental, que es de 0.1 s, por lo que debemos
tomar este último como el error de la medida, y ¡redondear en consecuencia el valor medio!,
por lo que el resultado final de las medidas es t= (6.3±0.1) s.
Ejemplo 4: Consideremos, un nuevo ejemplo, similar al anterior, pero en el que los
valores obtenidos para el tiempo están más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. En ese caso, el
valor medio es 5.975 s y el error cuadrático es 0.2286737 (tal como sale de la calculadora).
El error cuadrático es en este caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos
tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la regla 3) de arriba lo debemos redondear a
0.2, que está de acuerdo con el hecho de que no tendría sentido estimar el error con más
precisión que la que nos permite el aparato de medida utilizado, en este caso el cronómetro,
que tenía una resolución de 0.1s. Por lo tanto, Δt= 0.2 s y el resultado de la medida, en este
caso, será t = (6.0 ± 0.2) s, donde es importante darse cuenta del redondeo que
necesariamente se ha realizado en el valor medio, para que esté de acuerdo con la resolución
instrumental, y la significación de poner un cero a la derecha del punto decimal.
------------------------------------------------4. Errores de Medidas Indirectas. Propagación de Errores.
Como ya dijimos antes, en muchos casos el valor experimental de una magnitud se
obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática, a partir de la medida directa de
otras magnitudes de las que depende. De la misma forma, el error de dichas magnitudes
indirectas o derivadas, va a depender de los errores de las magnitudes medidas directamente.
zazu indirecta a partir de los errores de las
Se trata entonces de calcular eleman
error ta
enzabal
la magnitud
magnitudes medidas directamente. A este problema se le llama también "propagación de
errores". Vamos a considerar dos casos:
a) Función de una sola variable:
La magnitud indirecta (y) cuyo error queremos hallar depende solamente de una única
magnitud (x), mediante una relación funcional general: y = f(x).
Puede demostrarse que en este caso el error de y, cuando se conoce el de x, es:
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(9)
"y = f #( x ) "x
siendo f "( x ) el valor que toma la derivada de f ( x ) para el valor estimado de x. Por tanto,
para el error relativo, tendremos:
!
f #( x )
"y
!"x
=
f ( x)
y
!
(10)
------------------------------------------Ejemplo 5: Se trata de determinar el volumen de una esfera midiendo su radio. Si r es el
! y Δr su error, el volumen será:
valor medio obtenido
4
V = " r3
3
y el correspondiente error , ΔV = 4π r2 Δr.
------------------------------------------!
b) Función de varias variables:
La magnitud indirecta (y) viene determinada por la medida de varias magnitudes p. q, r, ...
con las que está ligada por la función y = f(p,q,r,...).
El error de la magnitud final a determinar (y), suponiendo que se conocen los errores
de p, q, r ,..., viene dado por:
$ #f ' 2 $ # f ' 2 $ #f ' 2
"y = & "p) + & "q) + & "r) + …
% #p ( % # q ( % #r (
(11)
"f "f "f
, , ,… los valores que toman las derivadas de la función f respecto a cada una
"p "q "r
!
de las variables p,q,r,..., manteniendo constantes las demás (derivadas parciales).
Evidentemente, este caso incluye el caso a) de una sola variable como caso particular en el
que la expresión general (11) se simplifica a la expresión (9).
siendo
!
------------------------------------------Ejemplo 6: Sea un cilindro de sección circular de radio r = (1.53 ± 0.06) cm. y altura
h= (10.2 ± 0.1) cm. El volumen es V=π r2h, y su valor a partir de las medidas es entonces
V= 75.0124...cm3 (después decidiremos
cifras son significativas).
eman tacuantas
zabal zazu
Teniendo en cuenta que
!V
!h
r = cte.
= " r2
y
!V
!r
h = cte.
= 2" rh
resulta la siguiente expresión para el error:
!V = " r (r !h)2 + ( 2h !r)2
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Cálculo de errores en las medidas
o sea
! V = 3.14 " 1.5 " (1.5 " 0.1)2 + (20 " 0.06)2 # 5.696 cm 3
Nótese que como después la cantidad obtenida se va a redondear a una sola cifra
significativa no es necesario hacer el calculo con todas las cifras significativas de las
magnitudes h y r , que hemos redondeado en el calculo a 1.5 y 10. Siguiendo, la regla 3) ,
debemos redondear ΔV a 6 cm3. Tenemos entonces que el volumen será V= (75±6)cm3.
------------------------------------------A veces es más sencillo trabajar con los errores relativos. Por ejemplo, se puede
demostrar fácilmente, a partir de la ecuación (11), que si:
y= cte . pn.qm.rs......
(13)
donde n, m, s ... son exponentes arbitrarios (enteros, negativos o fraccionarios), entonces se
cumple que:
2
2
2
2
" !y %
" %
" %
2 !p
2 !q
2 " !r %
$ ' = n $ ' + m $ ' + s $ ' +…
# r &
# y &
# p&
# q &
(14)
------------------------------------------Ejemplo 7: El ejemplo anterior pertenece a este caso, y tenemos entonces que
(ΔV/V)2 = 4(Δr/r)2 + (Δh/h)2 = 4 × 0.001538 + 0.000097
(15)
Se ve aquí inmediatamente que la contribución del error de la altura del cilindro al error
final es muy pequeña comparada con la del error del radio. Ello es debido a que el error
relativo en el radio es aproximadamente tres veces mayor que en la altura, y el radio además
está al cuadrado en la fórmula del volumen. Tenemos entonces que: ΔV/V = 0.08, y por tanto
obtenemos otra vez ΔV= 0.08 × 75 = 6 cm3 . Es importante darse cuenta que V+ΔV coincide
prácticamente con el valor del volumen del cilindro cuando los valores medios de r y h se
substituyen por r+Δr y h+Δh (siendo en este caso el efecto del cambio de r mucho más
importante que el de h).
------------------------------------------Existe una aplicación importante e inmediata de estas fórmulas en aquellos casos, en
ta zabalnozazu
los que la lectura del instrumentoeman
de medida,
es directamente la magnitud que realmente se
quiere medir.
------------------------------------------Ejemplo 8: Supongamos, por ejemplo, que medimos con un amperímetro, de resolución 0.1
A, la intensidad de corriente eléctrica que pasa por un elemento de un circuito de corriente
alterna. Típicamente, el amperímetro nos da el valor eficaz de la corriente que es Imax/√2, y
esto con un error o resolución instrumental de 0.1A. Por tanto, de acuerdo, con la ecuación
(9), la resolución o error instrumental en la medida de la amplitud de la corriente, Imax, será
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√2×0.1 A= 0.14 A, es decir, más de un cuarenta por ciento mayor. En este caso, estará
justificado redondear con "una cifra y media" significativa y considerar ΔImax = 0.15.
Ejemplo 9: Supongamos, por ejemplo, que queremos medir el periodo, T, de un oscilador
armónico, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilación completa, y disponemos de
un cronómetro con una resolución de 0.1 s. Medimos el tiempo t que tarda en efectuar 40
oscilaciones. En una medida este tiempo resulta ser 46.8 s; dividiendo por 40, tenemos
entonces que el periodo "medido" es 1.1700 s. ¿Por qué ponemos los dos ceros en los
decimales si el cronómetro nos da un solo decimal?... Porque, en realidad, la medida de T es
indirecta, ya que T se obtiene utilizando la fórmula T=t/40; por tanto, el error ΔT será, de
acuerdo con la ecuación (9), Δt/40, donde Δt es el error instrumental en la medida de los
cuarenta periodos, es decir, 0.1s. Por tanto, ΔT= 0.0025s, y ¡el experimento tiene suficiente
resolución instrumental como para resolver la cuarta cifra decimal del periodo en cero ó 5.
Estamos entonces en el caso de un error con una cifra y media significativas. Es evidente que
en este ejemplo podemos aumentar indefinidamente la resolución instrumental para medir T
aumentando el número de periodos que incluimos en la medida directa, t. El límite será
nuestra paciencia y la creciente posibilidad de cometer errores en el contaje del número de
periodos.
Una vez que tenemos claro la resolución que nos dan los instrumentos empleados para
la medida, en general deberemos, como explicamos más arriba efectuar varias medidas, y
calcular el error cuadrático. Si éste es mayor que el instrumental, lo tomaremos como el
error del valor medio obtenido. En caso contrario, el error vendrá dado por el error debido a
la resolución instrumental.
------------------------------------------Error de constantes físicas y matemáticas.
Muchas veces en las fórmulas empleadas para determinar una magnitud empleamos
constantes físicas o matemáticas, cuyo valor puede ser considerado con diferentes grados de
precisión, por ejemplo, π, √2, g, la masa del electrón, la carga del electrón, G, etc... Al utilizar
los valores de estas constantes con un número limitado de cifras, introducimos
voluntariamente un error que de debemos tener en cuenta. La diferencia con un error
experimental es que sabemos de antemano el error que estamos introduciendo. El decidir
cuantas cifras decimales debemos incluir al utilizar esas constantes en una determinada
fórmula se debe hacer en función del error que tengamos en las magnitudes medidas, de
forma que el "error" producido al truncar la constante física o matemática empleada, sea
insignificante frente al error que introducen los propios errores de la medida.
------------------------------------------Ejemplo 10: Consideremos la típica pregunta de un alumno de física elemental poco
eman ta zabal zazu
experimentado: "¿Puedo coger g=10m/s2?" Esta pregunta es innecesaria porque la
contestación se obtiene directamente de los datos (experimentales) del problema de que se
trate. Supongamos, por ejemplo, que nuestro problema consiste en que sabemos que un
móvil, en caída libre desde una altura h y comenzando desde el reposo, alcanza una
velocidad v= 14.3 m/s, y queremos saber la altura desde la que ha caído.
Por conservación de energía (mgh=1/2mv2) tenemos que h= 1/2 (v2/g). La pregunta
es, ahora, ¿Cuántas cifras decimales debo coger en g, para que el error resultante en h sea
insignificante comparado con el que produce el propio error experimental de v? Dado que
la fórmula a usar es del tipo (13), usando (14) tenemos que
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10
Cálculo de errores en las medidas
(Δh/h)2 = 4(Δv/v)2 + (Δg/g)2
(16)
El error o "imprecisión" en v ( Δv) es 0.1 m/s, por lo que 4(Δv/v)2 = 0.0002. Si empleamos
g= 10 m/s2, podemos considerar Δg= 0.2 m/s2 (porque en este caso sabemos que el valor
verdadero es aproximadamente 9.81 m/s2!) y tendremos (Δg/g)2 = 0.0004, que es del mismo
orden que el otro sumando en (16), por lo que no es aceptable. Si tomamos g=9.8 m/s2,
Δg=0.01m/s2 y (Δg/g)2= 0.000001, que , al sacar la raiz, típicamente contribuye a errores
relativos en h en la milésima, y dado que el valor h es del orden de 10, implicará errores en
las centésimas en el valor de h. Si efectuamos el cálculo de Δh en función de Δv, vemos que
Δh = 0.2m , por lo que el error adicional debido al g aproximado será despreciable. Por
tanto debemos usar g=9.8 m/s2y el resultado será: h= (10.4±0.2) m (usar más cifras
decimales para g no servirá para nada, porque influyen únicamente en la cifras no
significativas de h, que no aparecerán en el resultado final al redondear, pero usar menos
supondría introducir un error innecesario y espúreo en el valor de h)
Ejemplo 11: Vamos a ver ahora, mediante un ejemplo, que el cálculo de errores es
importante también a la hora de diseñar un experimento, mucho antes de empezar a hacer
medidas. Supongamos que queremos medir la aceleración de la gravedad, g, en el
laboratorio mediante un experimento muy sencillo consistente en dejar caer un objeto, en
caída libre desde el reposo una distancia de h=1.00 m, y medir el tiempo, t, que tarda en la
caída. Dispondremos de un cronómetro con una resolución de la centésima de segundo y la
distancia de caída la conoceremos típicamente con un error de 1 cm, ¿cual es la máxima
precisión con que se podrá determinar g en este experimento?
La máxima precisión se obtendría si la medida fuera absolutamente perfecta en cuanto
al instante de comienzo y parada del cronómetro, y únicamente influyeran en el error final
los errores instrumentales del tiempo medido y la distancia. Utilizando que h=(1/2)gt2,
tendremos que g= 2h/t2, y usando (14):
(Δg/g)2 = (Δh/h)2 + 4 (Δt/t)2
(17)
Sabemos que Δh/h ≈ 0.01 y Δt/t ≈ 0.02. Esto último se obtiene teniendo en cuenta que g es
del orden de 10 m/s2, y que por tanto, t , de acuerdo con la fórmula será del orden de 0.5 s.
(también se puede deducir del conocimiento común de que un cuerpo tarda en caer una
distancia aproximada de un metro bastante menos de un segundo). De acuerdo con (17),
entonces Δg/g ≈ 0.04, y teniendo en cuenta que g es del orden de 10 m/s2, Δg ≈ 0.4m/s2. Es
decir, que en nuestro experimento será imposible determinar ni siquiera la primera cifra
decimal de g en unidades de m/s2. ¿Como podemos mejorar la precisión entonces? Según
(17), simplemente aumentando la distancia de caída, de forma que h y t aumentan, mientras
sus errores permanecen constantes;
ver,
sin embargo, que ¡necesitaríamos una caída
emanestafácil
zabal
zazu
libre de unos 100 m para poder reducir el error en g a unos 0.05 m/s2! Conclusión: este
método es muy inadecuado para determinar g, si no se dispone de un cronómetro más
preciso.
Ejemplo 12: Por último, vamos a poner un ejemplo que demuestra que el cálculo de errores
es útil en campos fuera de las ciencias naturales, y debería ser considerado en situaciones
ajenas a la Física. Pongamos por caso, la nota de selectividad de un alumno. Típicamente la
nota final de la selectividad se da con dos cifras decimales, y , en muchos casos, estos
decimales son decisivos a la hora de poder entrar en uno u otro centro universitario.
Estimemos el "error" en una nota de selectividad para ver si efectivamente estas cifras son
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significativas. En un examen de selectividad típicamente se realizan ocho a diez pruebas.
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Pongamos ocho. Generalmente los profesores que corrigen cada prueba lo hacen dando una
nota con una "resolución" de 0.5 puntos. Es decir, las notas de cada prueba son usualmente
números enteros o semienteros. Esto significa, que el error (ideal suponiendo una corrección
perfecta) reconocido implícitamente por el profesor es 0.5 puntos. La nota de la prueba, n, se
obtiene promediando las diferentes pruebas (por simplicidad no consideramos los promedios
parciales que se hacen en algún caso) n= 1/8 (n1+n2+....n8). El error de esa nota global, de
acuerdo con la ec (11) , será entonces:
!n =
1
" 8 " (0.5)2 = 0.2
64
La nota final, N, de la selectividad se obtiene de promediar esa nota con la nota
promedio, m, de BUP, que típicamente se da con uno o dos decimales (supongamos el mejor
de los casos y que Δm=0.01) . El error de la nota final N= (n+m)/2 , es entonces
!N = 1 (0.2) 2 + (0.01) 2 = 0.1
2
Vemos que el error final es causado por el error de la prueba, siendo despreciable la
contribución del error de la nota promedio. Es decir, podemos concluir que, incluso en el
caso ideal de que las "medidas", es decir, las correcciones, fueran "perfectas" y estuvieran
únicamente limitadas por una "resolución instrumental" de 0.5 en la calificación de cada
prueba, el segundo decimal de la nota de selectividad no es significativo y el error en la
calificación es del orden de 0.1.
------------------------------------------IMPORTANTE:
Un error usual que hay que evitar es interpretar las ecuaciones (11) y (14) como expresiones
en las que se puede despejar alguno de los errores que aparecen en la parte derecha de la
ecuación. Consideremos, por ejemplo, la ecuación (15) planteada en el ejemplo 7 para hallar
el error relativo en valor del volumen del cilindro, obtenido a partir de su altura y su radio. Si
somos demasiado ingenuos, podríamos pensar que podemos utilizar la misma ecuación en un
caso en que hemos medido el volumen y el radio, y hemos deducido la altura del cilindro a
partir de ellos, de forma que el error relativo para la altura sería:
(Δh/h)2 = (ΔV/V)2- 4(Δr/r)2
Pues bien, esta ecuación es INCORRECTA! En efecto, la altura se deduce a partir del radio
y el volumen del cilindro mediante la expresión h=V/πr2. Aplicando entonces la ecuación
(14), tenemos que:
eman ta zabal zazu
(Δh/h)2 = (ΔV/V)2 + 4(Δr/r)2
y esta expresión (con signo más) es la CORRECTA ! En conclusión: los errores derivados
de otros NO SE DESPEJAN de las ecuaciones válidas para el cálculo del error de otra
magnitud (si esta fuera la que es medida indirectamente).
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Cálculo de errores en las medidas
5. Errores y procedimiento experimental
Cuando la cantidad a conocer Z está relacionada con dos magnitudes medidas
directamente, A y B, por una función de la forma:
Z = AB o Z = A/B,
entonces, de acuerdo con la ec. (14) un error del x por ciento en A ó en B, ocasiona un error
del mismo orden, x por ciento en Z. Por tanto, en este caso, deben medirse A y B con una
precisión comparable, y esta deducción es correcta cualesquiera que sean los valores relativos
de A y B. Pero la situación:
Z=A+BóZ=A-B
es muy diferente; todo depende de las magnitudes relativas de A y B. Veamos unos ejemplos:
a) Supongamos que:
A = 10000 ± 1
B = 100± 5
Z = A + B = 10100 ± 5
Aquí A tiene un valor grande y preciso. B se ha determinado dentro de un 5%, pero la
cantidad final Z se ha determinado dentro de un 0.05%. Por tanto, siempre es ventajoso
comenzar con una magnitud grande y dedicar tiempo a su determinación precisa, y después
medir, con relativa rapidez, los términos adicionales más pequeños.
b) Consideremos ahora que:
A = 100 ± 2
B = 96 ± 2
Z=A-B=4±3
Las dos magnitudes medidas directamente se han determinado dentro de un 2%, pero Z se
conoce dentro de un 75% (!!). De aquí, deducimos que no es conveniente restar dos
cantidades aproximadamente iguales, que se han medido independientemente: se debe hallar,
si es posible, otro método para determinar Z.
c) Considérese, por último, la siguiente situación: se desea evaluar Z = A/B; se han realizado
una serie de medidas y se ha encontrado que
A = 1000 ± 20
B = 10 ± 1
por tanto, los errores relativos en A y B son, respectivamente del 2% y del 10%. Puede
deducirse entonces, con las fórmulas dadas anteriormente, que el error relativo en Z es del
10.2%.
Supongamos que se planean nuevas medidas que permitan reducir el error en A o en B en un
ta zabal
factor 2. Si el tiempo de medidaeman
se dedica
a la zazu
magnitud A, se reducirá su error relativo al 1%
y el error relativo de Z será el 10%. Si, por el contrario, el tiempo de medida se emplea en
aumentar la precisión del valor de B (pasando a ser su error relativo el 5%), el error relativo
de Z se reducirá al 5.4%. En consecuencia los esfuerzos deben concentrarse en la
determinación precisa de las cantidades que más contribuyen al error final. En general
se debe planear el experimento de modo que en el resultado final ninguna magnitud
contribuya con un error mucho mayor que las demás.
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6. Comparación y análisis de resultados
En muchos casos, una vez obtenido el valor experimental de una determinada magnitud,
deseamos saber si ese valor es consistente con otras informaciones que disponemos. De
hecho, en muchas de las prácticas a realizar, se nos pide el que comparemos el valor obtenido
de alguna magnitud con su valor teórico o con el valor que hemos obtenido por algún otro
método. Aparte de la necesidad de usar las mismas unidades en los dos casos para poder
realizar la comparación, ésta no tendría ningún sentido, si no tenemos en cuenta en ella el
error de los dos valores que estamos comparando. Supongamos, por ejemplo, que el valor
obtenido para la constante de fuerza de un muelle es 2 N/m, y el resultado obtenido por otro
método es 3 N/m . ¿Son los dos resultados coincidentes o consistentes? es decir, ¿es 2=3?
Aquí no es como en las matemáticas, no podemos contestar a la pregunta si no conocemos el
error de cada valor. Si, por ejemplo, se tratase de 2±1 N/m y 3±1N/m, entonces
efectivamente las dos medidas dan resultados que coinciden dentro del error, ya que los dos
intervalos abarcados por el margen de error, [1,3] en el primer caso, y [2,4] en el segundo, se
“solapan”, es decir, hay una zona común a los intervalos, donde podría estar el valor
verdadero. Sin embargo, si las medidas obtenidas son 2.0±0.1 y 3.0±0.1 N/m,
respectivamente, los resultados no serían coincidentes, ya que los dos intervalos abarcados
por el error no se solapan.
IMPORTANTE: En general, si tenemos que decidir si dos valores A± ∆A y B± ∆B
son iguales, lo que tenemos que hacer es determinar si los intervalos [A-∆A, A+∆A] y [B∆B, B+∆B] se solapan. Si lo hacen, podemos decir que nuestros resultados son compatibles
y coincidentes, y que no contradicen la afirmación de que las dos cantidades son iguales
(A=B). Pero si queremos afinar más y saber hasta que punto nuestros resultados confirman
esa igualdad, lo más adecuado es calcular el valor del cociente r=A/B y su error ∆r. Si A
y B fueran iguales, r sería igual a 1. Por ello, nuestros valores serán consistentes con esa
igualdad si el valor 1 queda dentro del margen de error de r, es decir, dentro del intervalo [r∆r,r+∆r]. Por otro lado si ∆r es muy grande, significa que nuestra comprobación de la
igualdad es muy poco fiable y de una precisión muy baja.
Volviendo al ejemplo del 2 y 3 mencionado arriba. Si se tratase de 2±1 y 3±1, el
cociente es 0.66666, pero el error ∆ r cumple (∆r/r)2 = (∆A/A)2 + (∆B/B)2 = 1/4 + 1/9 =
13/36=0.36, y por tanto, ∆ r= 0.666..x 0.36 = 0.4. Es decir, r= 0.7± 0.4, y el resultado
“confirma” la igualdad, pero con un error relativo en el resultado de más del 50%! por lo que
no podemos estar muy contentos. Las medidas han resultado compatibles pero son medidas
muy imprecisas. Por otro lado, si los valores fueran 2.0±0.1 y 3.0±0.1, (∆r/r)2 = 0.0025+
0.0011=0.0036, por lo que r= 0.67 ± 0.04, que está muy alejado del valor previsto, r=1. Es
decir las medidas no son compatibles pero su precisión es alta. Esto es indicativo de que
alguna de las medidas no es exacta, es decir tiene algún error sistemático que no hemos
detectado.
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El que uno de los dos valores a comparar sea un valor predicho por la teoría no
significa que no tenga su error. Normalmente ese valor “teórico” se obtiene utilizando una
determinada fórmula teórica en la que se sustituyen los valores de determinadas magnitudes
que han sido medidas experimentalmente, o cuyo valor es conocido con una precisión dada
por el fabricante, por lo que el valor “teórico” obtenido tendrá un error que se puede estimar
siguiendo las reglas explicadas en apartados anteriores.
Cuando los valores que se comparan resultan ser no compatibles entre sí para estimar
cómo de diferentes son dichos valores es conveniente determinar su diferencia relativa:
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Cálculo de errores en las medidas
B!A
= 1! r
B
"(Diferencia relativa) = "r
Diferencia relativa =
Se toma como referencia (en la fórmula el valor B) el valor teórico o el que se considere que
es más exacto. La diferencia relativa se expresa normalmente en porcentaje.
------------------------------------------Ejemplo 13: La llamada frecuencia de resonancia de un circuito RLC viene dada según la
teoría por la expresión ! o =(2" LC)-1, donde L es el llamado coeficiente de autoinducción
de la bobina utilizada, y C la capacidad del condensador. Si L se expresa en Henrios (H) y C
en Faradios (F), la frecuencia resultante de la formula anterior viene dada en Herzios (Hz).
Tenemos un circuito con un condensador de 0.51 µF y una bobina de 14 mH. La frecuencia
de resonancia que hemos medido resulta ser (1920±40)Hz. ¿Confirma nuestro resultado la
predicción teórica?
De acuerdo con la formula teórica la frecuencia de resonancia será:
$1
! oteo = &(' 2" 14#10 $3 H % 0.51#10 $6 F)+* = 1883.52K Hz
pero su error esta relacionado con los implícitos de C y L: ∆C=0.01 µF y ∆ L= 1 mH. La
expresión resultante de las reglas generales explicadas en apartados anteriores será:
!" teo
o =
1 !L 2+ 1 !C 2 = 0.00127 + 0.00010 = 0.037
4 L
4 C
" teo
o
y por tanto, el valor teórico de la frecuencia es ! teo
o = (1880 ± 70) Hz. La razón entre este
valor y el medido de (1920 ± 40) Hz es de 1.021..., con un error que cumple
∆r/r= (0.037) 2 + (0.021)2 = 0.043 . Por lo que ∆r= 0.043 × 1.021= 0.04. Es decir,
! 0exp
= 1.02 ± 0.04
! 0teo
y nuestra medida confirma plenamente la predicción teórica, con una buena precisión.
Siendo la diferencia relativa del 2%.
------------------------------------------7. Representación gráfica
En la práctica, muchas veces es muy útil expresar los resultados experimentales
gráficamente. Supongamos, por ejemplo, que medimos en un determinado sistema, dos
magnitudes, x e y, que están físicamente
relacionadas,
eman ta zabal
zazu para diferentes situaciones en las que x
e y toman diferentes valores. Primeramente, llevaremos a una tabla los valores de las
variables, xi,yi, obtenidos en la experiencia. En un sistema de ejes rectangulares, se
representan los puntos cuyas coordenadas correspondan a cada par de valores (xi,yi)
expresados en la escala elegida. Estas escalas dependerán del propio fenómeno y de aquello
que se quiera resaltar en él, así como de las limitaciones impuestas por el tamaño de la
representación.
Cada punto debe indicar, dentro de lo posible, los errores estimados para x e y,
expresados en sus respectivas escalas. Si entre las variables x e y existe una relación
matemática sencilla,Universidad
ésta se pondrá dedel
manifiesto
de forma visible en la gráfica de puntos
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obtenida a partir de los resultados experimentales. El comportamiento general de los puntos
se podrá representar como una curva continua en el plano coordenado. Dicha curva se trazará
de modo que esté lo más próxima al mayor número de puntos posible, sin presentar cambios
bruscos de pendiente y sin necesidad pasar por los puntos experimentales.
Como ventajas de la representación gráfica, podemos citar las siguientes: 1) de un sólo
golpe de vista se destacan no sólo los detalles, sino el conjunto del fenómeno en el intervalo
en que se han realizado las medidas; 2) es posible estimar otros valores de la variable
dependiente, sin necesidad de nuevas medidas; 3) en una representación gráfica, se ponen de
relieve aquellos valores que están afectados de un error anormal al separarse mucho del
comportamiento general de las medidas, y que deben ser desechados, y si es necesario,
redeterminados. 4) La "dispersión" de los puntos con respecto a la curva "suave" esperada, da
una idea de forma inmediata de la calidad de las medidas y de la magnitud del error en cada
una de ellas.
8.- Principio de Mínimos Cuadrados.
Hasta este momento hemos expuesto una especie de "recetario" para el cálculo de las
mejores estimaciones de los resultados de las medidas y de sus respectivos errores. Todas las
ecuaciones presentadas, pueden justificarse con las debidas hipótesis, excepto la
aparentemente arbitraria decisión, de adoptar la media como la mejor estimación del valor
verdadero de una magnitud que se mide, repetidamente y con igual fiabilidad, un número n de
veces. Esta elección puede justificarse con el llamado Principio de Mínimos Cuadrados,
que será descrito (brevemente) y aplicado en los párrafos siguientes.
Supongamos que se realizan n medidas de una magnitud cuyo valor verdadero es X. Sean los
resultados de las medidas x1, x2, x3, ..., xn y, por consiguiente, sus desviaciones
(desconocidas) del valor verdadero ε1 = x1 - X, ε2 = x2 - X, ε3 = x3 - X, ... εn = xn - X.
Consideremos la suma de los cuadrados de los errores:
E(X) = !21 +!22 +!23 + ... +!2n
Desconociendo el valor de X, y dado que E varía con X, el Principio de Mínimos
Cuadrados establece que la mejor estimación de X, es aquella que hace que E sea mínimo ( y
por tanto dE/dX = 0, para dicho valor). El valor "mejor" de X se puede obtener entonces de
esta ecuación.
Es fácil demostrar, aceptado este principio, que el promedio de los n resultados, tal
como se plantea en la ecuación (6) es entonces la mejor estimación del valor verdadero.
9. Ajuste por mínimos cuadrados. Regresión lineal
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Supongamos que estamos midiendo la longitud de una varilla en función de la
temperatura. Esperamos que la relación entre la longitud de la varilla y la variable
temperatura sea lineal:
L(T) = Lo (1+αT)
(18)
donde L(T) es la longitud a determinada temperatura T, Lo la longitud a T = 0K y α es el
coeficiente de dilatación lineal del material. Lo y α son desconocidos y son los parámetros
físicos que nos interesa determinar, especialmente el coeficiente α, que será una propiedad
general del material.Universidad del País Vasco
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Cálculo de errores en las medidas
Si medimos la longitud de la barra en dos
temperaturas
diferentes
tendremos
dos
ecuaciones del tipo (18) distintas, con dos
incógnitas, por lo que podríamos despejar Lo y
α y obtener sus valores a partir de los
resultados de esas dos únicas medidas. Sin
embargo, asumiendo la completa validez de la
relación (18), esto sólo es cierto en un
experimento ideal, libre por completo de
errores. Si efectuamos n medidas a n
temperaturas diferentes, el aspecto de la
representación gráfica de nuestras medidas
puede ser parecido al de la figura. La relación
entre las ordenadas y abscisas de los puntos es
lineal solamente de forma aproximada, debido a
los errores de cada una de las medidas. Por ello,
si tomásemos únicamente dos puntos para
definir la recta el resultado tendría un importante error debido al error en los dos puntos
usados.
Una mejor estimación de la recta y por tanto, de las magnitudes buscadas debe poder
obtenerse utilizando "a la vez" los n puntos experimentales. Por consiguiente, la pregunta a
contestar es ¿cuál es la mejor estimación de la "verdadera" línea recta, y por tanto de las
magnitudes Lo y α, a partir de las n medidas?.
La pregunta puede ser contestada utilizando el Principio de Mínimos Cuadrados, y lo
vamos a hacer para un caso general. Supongamos una magnitud física y, relacionada con
otra, x, mediante una función y = ax+b (donde el valor teórico de b puede ser cero). Es decir,
que y(x) es una recta que corta el eje de ordenadas en el punto b. Consideraremos únicamente
el caso más simple suponiendo que la precisión con la que se mide x (variable independiente)
es mucho mayor que la de y. Esto quiere decir, que podemos representar sin error el valor de
x. Si conociéramos el valor de a y b (pendiente y ordenada en el origen de la recta
"verdadera"), el verdadero valor de y (que llamaremos y*) vendría dado entonces por y*= ax
+ b. En definitiva a los valores x1, x2, ..., xn les corresponderían y1*, y2*, ..., yn* y todas estas
parejas de valores están sobre la verdadera línea recta. Las desviaciones con los valores
medidos de y serán:
ε1 = y1 - y1* = y1 - ax1 - b
ε2 = y2 - y2* = y2 - ax2 - b
:
eman ta zabal zazu
εn = yn - yn* = yn- axn - b
y, la suma de los cuadrados de estas desviaciones (función de los valores desconocidos de a
y b) será:
E (a,b) = (y1 - ax1 - b)2 + (y2 - ax2 - b)2 + ... + (yn - axn - b)2.
Los valores que minimizan E(a,b) son aquellos para los cuales ∂E/∂ a=0 y ∂E/∂ b=0. El
cumplimiento simultáneo de estas dos condiciones de punto extremal (mínimo) de la función
permite entonces obtener las mejores estimaciones de a y b, que son:
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n
n
n
i=l
n
i=l
2
! xi yi - ! xi ! yi
n
i=l
a=
n
n! x2i -
! xi
i=l
n
!
b=
x2i
i=l
n
!
n
yi -
i=l
n
n ! x2i i =l
(19)
i=l
!
n
xi
i=l
n
!
! xiyi
i=l
2
xi
i=l
Para calcular a y b, es conveniente obtener previamente los valores medios <x>,<y>, <x2> y
<xy>, definidos por la ec. (5) para x, y expresiones análogas para los demás, como, por
ejemplo:
n
x2 =1
n
! x2i
xy =1
n
! xiyi
(20a)
i=1
n
(20b)
i=1
ya que a y b se pueden obtener en forma muy sencilla en función de esas cantidades, en
concreto:
a=
xy - x y
x2 - x 2
(21)
(22)
b = y - ax
A partir de un cálculo más elaborado, se pueden hallar también las expresiones
generales para los errores de los parámetros a y b:
!a =
!b =
"y
n x2 - x 2
(23)
(24)
x2 !a
donde !y es una medida del error promedio cometido sobre y, que se calcula mediante la
siguiente expresión:
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n
!y 2 = 1 ! (yi - xi - b)2 = n y2 - y 2 -a2 ( x2 - x 2 )
(25)
(n-2) i=1
n-2
El método de mínimos cuadrados para estimar la mejor línea recta se conoce también como
regresión lineal. Es conveniente resaltar que para el cálculo de los coeficientes a y b,
conviene conservar el máximo de cifras decimales en las etapas intermedias del cálculo (por
existir sustracciones de cantidades del mismo orden de magnitud, y denominadores muy
pequeños). Se debe redondear, por supuesto, pero al final del cálculo.
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Cálculo de errores en las medidas
Volviendo a nuestro ejemplo, lo que debemos hacer con nuestros n "puntos
experimentales" (Ti,Li) es utilizar las ecuaciones (21-25) para obtener la mejor estimación de
los parámetros a y b y sus errores en la relación:
L(T)= aT+b
(26)
Una vez obtenidos a y b, se debe dibujar la recta matemática resultante en la misma
gráfica donde están representados los puntos experimentales, y comprobar visualmente que la
recta obtenida mediante "mínimos cuadrados" se ajusta a lo que es razonable esperar a simple
vista de la representación gráfica de puntos. Si los cálculos de las ecuaciones (21) y (22) se
han hecho correctamente, la recta dibujada usando los valores de a y b obtenidos debe ser tal,
que a simple vista se debe poder apreciar, que la recta corta la distribución de puntos
experimentales de forma que estos se sitúan a los dos lados de la recta de forma "equilibrada".
Si hay una asimetría clara entre el número de puntos a un lado y a otro de la recta, teniendo en
cuenta que los puntos más distantes de la recta "pesan" más, se puede estar seguro que se ha
cometido algún error en el cálculo o en su traducción gráfica. Los errores Δa y Δb obtenidos
mediante (23) y (24) nos dan idea de la incertidumbre en la pendiente y el punto de corte para
la recta "ajustada por mínimos cuadrados". Debemos también comprobar su fiabilidad,
observando en la gráfica la dispersión de los puntos experimentales con respecto a los puntos
"ideales" sobre la recta; ya que esta dispersión nos permite también, a simple vista, tener una
idea del orden de magnitud de la incertidumbre a la hora de decidir "la mejor recta". Esta
incertidumbre debe ser consistente con los errores obtenidos mediante las ecuaciones (23) y
(24).
Una vez conocidos los mejores a y b en (26), comparando (26) y (18), es inmediato
determinar Lo y α, como Lo= b y α=a/b. Sus errores se calculan entonces mediante las reglas
definidas arriba:
ΔLo = Δb
y
1 !a 2 + a !b 2
!" =
b
b2
------------------------------Ejemplo 14: Dadas las temperaturas ,T, medidas para diferentes presiones, P, que se listan
abajo, realizar un ajuste a una recta T = aP + b por el método de mínimos cuadrados.
Calcular a±∆a, b±∆b.
P (mmHg) :
T(°C): -20
65
17
75
42
85
94
95
127
105
emanpara
ta zabal
Aplicamos las fórmulas de ajuste,
lo zazu
cuál debemos calcular los sumatorios y los
promedios:
n=5; ΣT=260; Σ Τ2= 27418; Σ P=425; ΣP2=37125; ΣPT=25810; <P2>-<P>2 =200;
<T2> - <T>2 = 2779.6; <PT> - <P><T> = 742
De estos valores, aplicando las fórmulas, obtenemos a = (3.7±0.2) °C/mmHg y b= (-260 ±
20)°C. Los puntos experimentales y la recta de mínimos cuadrados obtenida se representan
gráficamente para visualizar el grado de bondad del ajuste, tal como se muestra en las
figuras. Nótese que las escalas de una de las gráficas no están tomadas de forma adecuada
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para de está forma mostrar
el valor dedel
la ordenada
en el origen.
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-------------------------------
eman ta zabal zazu
Soluciones (de pag. 3):
a) 4800 ± 300
b) (678±4)×10-7
c) 5.0±0.2
d) (201±5)×10-5
e) (1260±20)
f) 12.00±0.05
g) 10±20
h) 0±500
i) 346.07± 0.05
j) 346± 4
k) (6122.2± 0.4)× 10-3
l) (1.2± 0.3)× 10-5
m) 0.0± 0.1
n) 21.55± 0.02
ñ) (10± 1)× 103
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DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA MATERIA CONDENSADA
II- INSTRUCCIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LOS INFORMES
DE CADA PRÁCTICA.
1) El informe debe describir los resultados de la práctica realizada siguiendo los pasos y
apartados que estén indicados en el guión; incluyendo, en aquellos casos en que sea
necesario, comentarios pertinentes a los resultados obtenidos.
2) Los valores obtenidos para magnitudes físicas deben incluir siempre una estimación del
error; bien sea explícitamente, o al menos, implícitamente a partir del número de cifras
significativas utilizado. Este debe, por tanto, ser siempre "redondeado" de acuerdo al error
estimado. Por ejemplo, si se indica que una frecuencia angular medida es 3124.4756 rad/s, se
está indicando implícitamente que el error es del orden de 0.0001 rad/s, y por tanto que
hemos determinado la frecuencia con precisión hasta la diezmilésima, y un error relativo del
orden de 10-6% (¡lo cual, por cierto, sería absolutamente falso con los medios disponibles en
nuestro Laboratorio!). En otro ejemplo: si se dice que una resistencia es de 315.4 Ω,
estaremos implícitamente diciendo que su error es 0.1 Ω. Como se indicó anteriormente, hay
que tener presente que, en la mayoría de los casos, sobretodo en el caso de resultados finales,
el error relativo de una magnitud física es difícil conseguir que sea mucho menor que el 1%.
En general, si un resultado final se obtiene con un error relativo muy inferior al 1%, en la
mayoría de los casos, será indicativo de un error de cálculo en la estimación del error.
3) El informe debe contener siempre una descripción de aquellos elementos que se han
empleado en la práctica cuyas características pueden ser variables. Por ejemplo: a) si se
hace un experimento utilizando una resistencia y un condensador, se debe mencionar en el
informe, antes de pasar a detallar los resultados obtenidos, el valor de la resistencia (bien
nominal o mediante medida) y el
valor
la capacidad
del condensador, que eventualmente
eman
ta de
zabal
zazu
figurará en su exterior. b) Si se hace una medida con un determinado instrumento
(cronómetro, calibre, cinta métrica, balanza, multímetro,...) se debe mencionar en el informe
cual es su error instrumental (la mínima magnitud medible con el aparato).
4) Se deben comentar los problemas o dificultades encontradas a la hora de la realización o
comprensión de la práctica.
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5) En ningún caso se debe copiar el guión en el informe, o incluir consideraciones
generales teóricas, que no se hayan pedido explícitamente en el guión.
6) A la hora de representar gráficamente puntos experimentales, en el caso de que no se haga
mediante ordenador, se debe utilizar SIEMPRE papel milimetrado. Se debe indicar en la
abscisa y en la ordenada la magnitud que se representa y entre paréntesis las unidades que
se están utilizando, por ejemplo: V(V), I(A), m(Kg), t(s), etc... Las escalas que se utilicen en
la representación deben ser las adecuadas para aprovechar al máximo el espacio disponible
en la figura, y las escalas deben quedar indicadas claramente mediante divisiones periódicas
en los dos ejes, con números que indiquen el valor que les corresponden. Los puntos
experimentales deben quedar indicados mediante puntos a lápiz claramente distinguibles
sobre el fondo. En la gráfica solamente deben aparecer esos puntos y en el caso de que se
deban ajustar a una recta, también se dibujará la recta obtenida mediante ajuste aproximado
visual, o mediante ajuste por mínimos cuadrados, si es que el guión de la práctica requiere
que se haga mediante ese último método, más exacto.
En la hoja adjunta se muestra un ejemplo de gráfica.
7) Cuando el guión demanda la comprobación de si un valor obtenido en una determinada
medida es igual a otro, bien sea teórico o también experimental, se debe seguir el método
explicado en el apartado 6 del capítulo de cálculo de errores. Es decir, se debe comprobar que
los intervalos de cada valor con su error tiene solapamiento, o bien calcular el cociente entre
las dos cantidades y su correspondiente error, y comprobar entonces que el valor obtenido
difiere de 1 en una cantidad menor que el error estimado. Si esta condición no se satisface, se
debe concluir que los dos valores comparados son diferentes, y así se debe indicar en el
informe.
eman ta zabal zazu
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Instrucciones
eman ta zabal zazu
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Instrucciones
Errores más frecuentes encontrados en los informes de las prácticas:
1- No indicar magnitudes y/o unidades en gráficas.
En las representaciones gráficas es necesario indicar la magnitud representada en cada
eje, incluyendo las unidades si las tuviese.
2- No indicar unidades en los resultados.
En los resultados es necesario indicar las unidades. Es recomendable usar el sistema
internacional, salvo en casos particulares en los que se indique lo contrario.
3- Elegir mal las escalas de las gráficas.
Las escalas de las gráficas hay que tomarlas teniendo en cuenta los datos que se quieren
representar y el tamaño de papel o el espacio que tenemos disponible para la
representación. Hay que procurar que se aproveche al máximo el papel o el espacio
disponible
4- Usar fórmula de errores relativos (14) cuando no se puede.
La ecuación (14) sólo se puede aplicar en lo casos en los que la función de la que
queremos calcular el error se cumple la expresión (13). Si no se puede aplicar la
expresión (14), hay que aplicar la expresión general (11).
5- No calcular errores.
Hay que determinar el error de todos los resultados finales, salvo en casos particulares
en los que se indique explícitamente lo contrario.
6- Tomar error instrumental cuando hay que tomar el error cuadrático.
En el caso de las medidas directas el error que hay que tomar es el mayor de entre el
error instrumental y el error cuadrático. Para determinar el error cuadrático de una
magnitud, es necesario hacer varias medidas de dicha magnitud.
7- Indicar incorrectamente el error instrumental del aparato.
El error instrumental es la unidad más pequeña que el instrumento puede apreciar o
medir.
8- Determinar mal las cifras significativas o hacer mal los redondeos.
Para determinar las cifras significativas hay que tener en cuenta las reglas de la página
3.
9- No comparar los resultados o hacerlo erróneamente.
Cuando en una práctica seeman
determina
unazazu
misma magnitud por dos métodos diferentes,
ta zabal
o cuando se pide comparar el valor medido de una magnitud con su valor teórico, es
necesario realizar una comparación de resultados siguiendo las directrices del apartado
6.
10- Dibujar mal la recta obtenida del ajuste.
Cuando hay que realizar un ajuste mediante regresión lineal, en la representación gráfica
hay que dibujar tanto los puntos experimentales, como la recta obtenida del ajuste. No
una recta ajustada a ojo.
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Técnicas experimentales
III- TÉCNICAS EXPERIMENTALES
1- LOS CALIBRES VERNIER Y MICROMÉTRICO
Para medir pequeñas longitudes existen aparatos especiales. Dos de ellos, el calibre
vernier y el calibre micrométrico se usan frecuentemente en un laboratorio de Física.
El calibre vernier:
Un esquema de un calibre vernier se muestra en la Fig. 1, con una inserción mostrando
un detalle. La escala principal está dividida en centímetros y milímetros. La escala
deslizante o vernier tiene veinte divisiones que cubren la misma longitud que treinta y nueve
divisiones en la escala principal, de forma que si el cero de la escala vernier está alineada con
el cero de la escala principal, la primera marca sobre la escala vernier queda 1/20 mm más
corta que la segunda marca en la escala principal, la segunda marca en la escala vernier 2/20
mm más corta que la cuarta marca en la escala principal, etc.... De esta forma, si el cero de la
escala vernier se mueve 1/20 mm, la primera marca en el vernier se alineará con la segunda
marca en la escala principal. Si se mueve 4/20 mm, la marca cuarta en el vernier se alineará
con una marca (la octava) en la escala principal. Esto nos permite utilizar el vernier para
medir con una resolución de 0.05 mm, a pesar de que la escala fija está en mm.
eman ta zabal zazu
Figura1. Dibujo del calibre Vernier y detalle de las escalas principal y Vernier.
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¿Cómo medir?
Para medir con este instrumento, lo primero, observamos donde se
encuentra el cero de la escala vernier con respecto a la escala principal. La marca (de la
escala principal) más cercana por la izquierda corresponderá al número entero de milímetros
de la longitud medida. La parte decimal de la medida (en milímetros) vendrá dado por la
primera marca en la escala vernier que coincida con una en la escala principal. En el detalle
de la Fig. 2, el cero del vernier se encuentra entre 8 y 9, sobre la escala principal, por tanto
sabemos que los brazos del calibre están abiertos entre 8 y 9 mm. La marca del vernier
correspondiente al 55 (situada en la mitad del 5 y el 6 está alineada con una marca sobre la
escala principal. Por tanto, la longitud medida es 8.55 mm (con un error de ± 0.05mm).
El cero de un calibre vernier siempre debe ser comprobado antes de efectuar una medida, y si
el instrumento no indica cero cuando se encuentra cerrado, hacer la correspondiente
corrección.
Figura 2. Ejemplo de medida con el calibre Vernier
eman ta zabal zazu
Figura.3 Fotografía de ejemplo de medida con calibre Vernier. Medida: (16.50±0.05)mm
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Técnicas experimentales
El calibre micrométrico:
Un esquema del calibre micrométrico o micrómetro se muestra en la figura 4. Este tipo
de aparato se puede usar para medir pequeñas longitudes hasta 0.01mm. La separación entre
los brazos del micrómetro (distancia de medida) está controlada por un tornillo ó tambor,
que avanza 0.50 mm por cada vuelta completa. El tambor está graduado en 50 divisiones. De
esta forma, contabilizando el número de vueltas que ha dado el tambor se pueden medir
longitudes. Para facilitar esta labor, la parte fija del eje del tampor, llamada cilindro
principal, está marcada con unas divisiones cada 1/2 mm. Por la parte superior de la linea
horizontal, hay marcas numeradas cada milímetro; y por la parte inferior de la horizontal, hay
marcas que corresponden con los medios milímetros de las marcas situadas por encima de la
horizontal.
¿Cómo medir?
Para medir con este instrumento, se debe, primero, observar la posición
del límite del tambor sobre la escala del cilindro principal. Es particularmente importante
notar si la última marca que se ha sobrepasado es de las de la parte superior de la horizontal
(marcas de los milímetros), ó de las de la parte inferior (marcas de los medios milímetros).
Con esta medida se tiene el valor de la longitud con una precisión de hasta el medio
milímetro. Para determinar con mayor precisión la parte decimal, se toma nota de la lectura
del tambor. Para ello, se mira que marca del tambor está más cerca de la linea horizontal del
cilindro. Este valor determina el numero de centesimas de milímetros que tenomes que
añadir a la anterior lectura para obtener el valor final de la longitud de medida. Todo ello con
un error instrumental o precisión de 0.01mm).
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Figura 4. Esquema del calibre micrométrico
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Como ejemplo de medida, en el detalle de la figura 4, el límite del tambor está más
allá de la marca de 13.50 mm, y el tambor indica "22". La distancia es por tanto 13.50 + 0.22
= 13.72 mm (con un error o precisión de 0.01mm).
Es muy importante observar la lectura del micrómetro cuando está cerrado, y usar
esto para hacer una "corrección del cero", ya que a menudo estos instrumentos no indican
cero cuando están cerrados.
Figura 5. Fotografía del calibre micrométrico. Medida: (5.81±0.01)mm
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