Torsión de piezas prismáticas

PRÁCTICA Nº1 : TORSIÓN DE PIEZAS PRISMÁTICAS
1.− Determinación de la deformación inherente del equipo.
• Aluminio : 0.15º, 0.14º, 0.14º
• Latón : 0.12º, 0.12º, 0.13º
• Acero : 0.14º, 0.14º, 0.14º
Deformación inherente (DI) = 0.15º
2.− Comparación entre la sección maciza y la de pared delgada.
Sección maciza (s.m.)
Lectura del comparador LC = 0.835º
Ángulo corregido LC − DI = 0.7º
Longitud L = 600 mm
Sección de pared delgada (s.p.d.)
Lectura del comparador LC = 0.25º
Ángulo corregido LC − DI = 0.115º
Longitud L = 600mm
Sabiendo que y siendo el ángulo girado por la pieza por unidad de longitud, donde L es el ángulo girado
pro un extremo respecto a otro que distan L entre sí queda, . Operando y simplificando al ser MT y G iguales
tenemos:
3.− Comparación entre la sección de pared delgada cerrada y abierta.
a) Sección circular:
Sección cerrada (s.c.)
Lectura del comparador LC = 0.22º
Ángulo corregido LC − DI = 0.085º
Longitud L = 600mm
Sección abierta (s.a.)
Lectura del comparador LC = 3.44º
Ángulo corregido LC − DI = 3.305º
1
Longitud entre cojinetes L = 250mm
b) Sección cuadrada:
Sección cerrada (s.c.)
Lectura del comparador LC = 0.275º
Ángulo corregido LC − DI = 0.14º
Longitud entre rodamientos L = 650mm
Sección abierta (s.a.)
Lectura del comparador LC = 3.46º
Ángulo corregido LC − DI = 3.325º
Longitud entre rodamientos L = 200mm
Comparando de nuevo el módulo de torsión de ambas piezas en cada uno de los casos, y teniendo en cuenta
las mismas hipótesis anteriores, obtenemos:
4.− Efecto de alabeo impedido en las secciones extremas.
Sección con alabeo libre (a.l.)
Lectura del comparador LC = 1.54º
Ángulo corregido LC − DI = 1.405º
Longitud entre cojinetes L = 240mm
Sección con alabeo impedido (a.i.)
Lectura del comparador LC = 3.93º
Ángulo corregido LC − DI = 3.795º
Longitud entre cojinetes L = 200mm
De nuevo se tienen iguales valores de MT y G, obteniendo la siguiente relación de rigideces:
5.− Comprobación de las expresiones de la rigidez (J).
• Secciones maciza y de pared delgada cerrada
Sección circular
Para este caso se puede comprobar que al no existir alabeo, el módulo de torsión coincide con el momento
polar de inercia de la sección transversal.
2
(J)s.m. = 1.9·10−10 m4
(J)s.c. = 1.27·10−10 m4
Sección cuadrada
En el caso de ser la sección cuadrada cerrada, J se calcula mediante la fórmula:
y tomando los valores de la sección 20x20mm y 1.4mm de espesor, tenemos:
(J)s.c. =22,267·10−8m4
y con la fórmula
con
MT= 0.49Nm
G = 26100 Mpa
obtenemos:
(*L)s.c.= 0.548 m
• Secciones de pared delgada abiertas
Aplicando la fórmula
Sección circular: (J)s.a. = 848.23·10−8m4
Sección cuadrada (J)s.a. = 68.0512·10−8m4
J (m4)
(*L)teórico (º)
(*L)exp (º)
1.9·10−10
0,31
0.6995
1.27·10−10
0,278
0.085
848.23·10−8
4,17
3.305
22.267·10−8
0.06
0.14
68.0512·10−8
2.64
3.325
En la tabla vemos la relación entre los resultados teóricos obtenidos y los experimentales. Se puede apreciar
gran diferencia en el ángulo girado, siendo de mayor relevancia en las secciones abiertas.
Estas diferencias son debidas a los errores cometidos en las medidas debido a la precisión de los aparatos
utilizados (de *0.01mm).
En cuanto al módulo de torsión, es mucho mayor en secciones cerradas que en las mismas secciones pero
abiertas.
De esto deducimos que las piezas cerradas serán las de mejor comportamiento frente a esfuerzos torsores,
desancosejamos por tanto el uso de las abiertas.
PRÁCTICA Nº 2 : FLEXIÓN DE PIEZAS PRISMÁTICAS
1.−Resultados experimentales:
3
CONFIGURACIÓN
Comparador
*(º)
SECCIÓN
TRANSVERSAL
0
45
90
90
0
45
90
90
90
90
0
45
45
45
45
VERTICAL
(mm)
0
0
0
15
0
0
0
5
10
15
0
0
4
8
12
Comparador
HORIZONTAL
(mm)
0.5
1.47
2.21
2.24
0.535
0.48
0.41
0.435
0.37
0.36
1.405
0.64
0.67
0.68
0.62
Comparador
GIRO
(mm) *
0
1
0.04 **
0.04**
0
0.04
0
0
0
0
0.71
0.06 **
0
0
0
*(mm)
−−−−
−−−−
1.955
1.985
−−−−
−−−−
0.13
0.105
0.015
−0.01 ***
−−
0.205
0.03
−0.05
−0.11
(*)Con el comparador giro lo que realmente medimos no es el giro que experimenta la viga cuando le
sometemos a la carga, si no la diferencia entre el comparador vertical y el de giro.
(**)Esas medidas tan próximas a cero son en realidad nulas, pero debido a la precisión de los aparatos
utilizados y a pequeñas perturbaciones no son nulas del todo; posteriormente comprobaremos mediante la
teoría que efectivamente son nulas.
(***)Esa medida sale negativa, es decir la aguja en el comparador gira en sentido contrario, debido a que es
donde se cruzan las medidas, al ir disminuyendo los ángulos que es donde tenemos el centro de cortadura.
2.−Resultados teóricos:
CONFIGURACIÓN
Comparador
SECCIÓN
TRANSVERSAL
*(º) VERTICAL
(mm)
0
0
45 0
90 0
90 15
0
0
45 0
90 0
90 5
90 10
Comparador
HORIZONTAL
(mm)
0.396
1.06
1.72
1.72
0.37
0.3
0.23
0.23
0.23
Comparador
*(mm)
GIRO
0(mm) *
−0.66
0
0
0
−0.073
0
0
0
0
0
0
0.011
0
−0.21
−0.3
−0.22
−0.14
4
90
0
45
45
45
45
15
0
0
4
8
12
0.23
0.87
0.4
0.4
0.4
0.4
0
−0.7
0
0
0
0
−0.06
−0.15
−0.21
−0.12
−0.02
0.07
La flecha vertical que se produce la hallamos mediante la fórmula:
Corresponde al desplazamiento vertical (puesto que la carga aplicada se mantiene en el plano de la sección).
Esta expresión podrá usarse siempre que el plano de cargas sea paralelo a un plano de simetría de la pieza. Si
esto no ocurriera tendríamos que descomponer en dos estados: uno según una de las direcciones principales
(IY) y otro según la perpendicular (IZ) y sumar vectorialmente para obtener el desplazamiento total.
El ángulo girado por la pieza lo obtenemos de:
con
MT =0.49Nm
G = 26100Mpa
L = 510mm
IY = 3.6·10−9, 1.66·10−8, 9.76·10−9 m4 respectivamente para cada una de las piezas
IZ = 3.6·10−9, 2.73·10−8, 9.76·10−9 m4 respectivamente para cada una de las piezas
Para calcular de forma teórica la posición del centro de cortadura debemos buscar los ejes de simetría de cada
sección ya que veremos fácilmente que está sobre ellos.
Para saber la distancia exacta debemos obtenerlo de la equivalencia entre el momento que produce la
distribución de flujos que crea la carga aplicada y el momento que crea la carga aplicada en el centro de
cortadura.
Realizando los pasos anteriores llegamos a:
SECCIÓN EN FORMA DE U: 18.55 (mm de G)
SECCIÓN EN FORMA DE L: 8.84 (mm de G)
PRÁCTICA Nº 3: FLEXIÓN DE VIGAS HIPERESTÁTICAS. LÍNEAS DE INFLUENCIA
1.−Ensayos sobre una viga bi−apoyada sometida a una carga concentrada en el centro.
1.1 Apoyo rígido
Lectura del comparador CB (mm): −2.93
Lectura del comparador CC (mm): 0.00
5
Lectura del comparador CD (mm): 1.99
Giro experimental en el apoyo (º) : 0.995
Reacción en C (N) : 5
Flecha teórica en la sección central (mm): 2.88 en el sentido de la carga
Giro teórico en el apoyo : 0.97
Reacción teórica en C (en N) : 4.9
1.2 Apoyo elástico
Lectura del comparador CB (mm): −2.96
Lectura del comparador CC (mm): −0.11
Lectura del comparador CD (mm): 1.81
Giro experimental en el apoyo (º) : 0.905
Reacción en C (N) : 5
Flecha teórica en la sección central (mm): 2.88 en el sentido de la carga
Giro teórico en el apoyo : 0.97
Reacción teórica en C (en N) : 4.9
Se puede usar este ensayo para determinar experimentalmente la constante elástica del anillo:
Carga en B
1000gr
+200gr
+200gr
+200gr
Comparador CC (mm)
−0.11
−0.11
−0.13
−0.15
Reacción en C (mm)
5
6.05
7
7.90
Ajustando los valores de la tabla anterior por mínimos cuadrado, obtenemos la recta: y = 52.052x .
Su pendiente es la constante elástica del anillo:
K = 52.052 KN/m
2.− Ensayos sobre una viga empotrada−apoyada
2.1 Determinación experimental de la flecha en el centro y del giro en el apoyo
a) Apoyo rígido
Lectura del comparador CB (mm): −1.49
6
Lectura del comparador CC (mm): 0.00
Lectura del comparador CD (mm): 1.11
Giro experimental en el apoyo (º) : 0.555
Reacción en C (en N) : 3.45
Usamos las siguientes expresiones:
Obtenemos:
Flecha teórica en la sección central (mm): 1.24
Giro teórico en el apoyo : 0.73
Reacción teórica en C (N) : 3.06
b) Apoyo elástico
Lectura del comparador CB (mm): −1.5
Lectura del comparador CC (mm): −0.08
Lectura del comparador CD (mm): 1
Giro experimental en el apoyo (º) : 0.5
Reacción en C (en N) : 3.25
Teóricamente tendríamos que resolver el problema de una viga empotrada con apoyo elástico en el extremo.
Resulta ser un problema hiperestático con grado de hiperestatismo 1, por lo que para resolverlo aplicamos el
método de compatibilidad.
Nuestros dos estados son:
ACAC
estado (0) estado (I)
Los estados 0 y I se resuelven como el caso de una viga bi−apoyada y sumando un giro y desplazamiento
extra provocados por la presencia del muelle. Este desplazamiento es equivalente al de un sólido rígido y sale
de exigir en cada estado que la relación en el apoyo C sea F/2 en (0) y M/L en (I).
La ecuación de compatibilidad a plantear es:
*A = 0
Con esto el momento que obtenemos es: M =−0.9257 Nm
Con lo que nos queda:
7
Flecha teórica en la sección central (mm): 1.45
Giro teórico en el apoyo : 0.74
Reacción teórica en C (N) : 2.87
2.2−Comprobación experimental del teorema de reciprocidad
Si en el caso de apoyo rígido, trasladamos el peso aplicado del punto B al D se comprueba
experimentalmente el Teorema de Reciprocidad.
Lectura del comparador CB (mm): 1.13
Lectura del comparador CC (mm): 0.00
Lectura del comparador CD (mm): −2.5
2.3−Líneas de influencia. Determinación experimental del punto donde hay que aplicar la carga para
obtener máximo giro en el apoyo
Ahora vamos a determinar experimentalmente las líneas de influencia del desplazamiento en el centro y
del giro en el apoyo. Para ello aplicaremos una carga de 1 Kg en distintos puntos a lo largo de la viga.
El apoyo en C se considera rígido, así que haremos 0 la medida de su comparador para cada medida.
Obtenemos los datos siguientes:
comparador CB
comparador CD
(mm)
−0.97
−1.30
−1.50
−1.48
−1.27
(mm)
0.315
0.44
0.565
0.625
0.63
x(mm)
150
200
250
300
350
Proponemos un método para conocer a qué distancia del empotramiento tenemos que aplicar la carga
para obtener máximo giro en el apoyo.
Colocamos la carga en extremo D y ayudándonos de un nivel buscaremos donde la pendiente se anula.
En ese punto se tendrá lugar el máximo desplazamiento.
Medimos la x donde ha ocurrido eso. Ahora ponemos la pesa en x y comprobamos que el giro es
máximo.
Para determinarla línea de influencia nos basaremos en el Teorema de Reciprocidad. Consideramos
dos estados de un mismo sólido:
En uno se está aplicando una carga unitaria en P y medimos el desplazamiento en Q y en el otro
aplicamos una carga unitaria en Q con la misma dirección que el movimiento que queremos estudiar.
Aplicando el Teorema de reciprocidad obtenemos que los desplazamientos de Q en el estado (1) son los
mismos que los de P en el (2), y éstos últimos son la deformada del sólido cuando se aplica en Q la carga
8
unitaria.
Buscamos calcular los giros de la sección en un punto determinado cuando ponemos una carga en
diferentes puntos. Calculamos la línea de influencia hallando la deformada de este problema:
F
Este problema es hiperestático, así que procedemos a separar en dos estados liberando el giro en el
empotramiento y exigiendo como ecuación de compatibilidad, que el giro en el punto A sea cero, Así
hallamos el momento en el empotramiento (incógnita hiperstatica).
La ecuación de la deformada es:
con M= 1.12308Nm
Distancia al empotramiento (mm): 333.3
Giro máximo (º) : 0.57
Nótese que existe apreciable diferencia entre los resultados teóricos y los experimentales. Las causas
provienen de los diversos errores cometidos durante las mediciones por la falta de pericia de los observadores
y le extrema precisión de los aparatos de medida.
3.− Análisis e interpretación de los resultados.
3.1 Determinación experimental de la constante elástica del anillo
Primero debemos conocer el valor del incremento de diámetro. Este valor lo obtenemos aplicando Castigliano.
−Valor experimental: 52.052 KN/m
−Valor teórico: 46.738 KN/m
3.2 Comparación entre los resultados experimentales y teóricos.
CONFIGURACIÓN
v (mm)
Teórico
*(º)
Experimental Teórico
2.8
2.93
0.97
0.995
1.4
1.49
0.73
0.555
1.5
0.74
0.5
1.13
−1.55
−1.355
Experimental
Viga bi−apoyada
(apoyo rígido)
Viga empotrada−apoyada
(apoyo rígido y fuerza en el
centro)
Viga empotrada−apoyada
1.45
(apoyo elástico y fuerza en el
centro)
Viga empotrada−apoyada
0.97
9
(apoyo rígido y fuerza en un
extremo)
3.3 Líneas de influencia. Desplazamiento en el centro de la viga empotrada−apoyada.
Al igual que en el apartado 2.3, pero ahora el problema a resolver es el de una viga empotrada−apoyada con
una carga en el centro. El punto en el cual se consigue el mayor desplazamiento en B y su valor es:
Distancia al empotramiento: 276,9 mm
Desplazamiento de B: 1,32 mm
Comparando resultados experimentales con teóricos obtenemos:
10
11