GRADO EN MATEMÁTICAS ASIGNATURA: Análisis Real Carácter

GRADO EN MATEMÁTICAS
ASIGNATURA: Análisis Real
Carácter
Asignatura optativa
Ubicación dentro del plan de estudios y duración
Materia: Análisis Funcional.
Cuarto curso, primer semestre.
Su ubicación se justifica por su carácter optativo.
Créditos ECTS
6 créditos ECTS (150 horas),
Responsable de la docencia
Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología.
Facultad de Ciencias
Profesor: Fernando Gómez Cubillo
Despacho: A237
Correo electrónico: [email protected]
Idioma en que se imparte
Castellano
Requisitos previos
Es recomendable haber cursado las asignaturas “Cálculo Infinitesimal”, “Análisis Matemático”, “Topología” y “Ampliación
de Análisis Matemático”.
Competencias a desarrollar
Competencias Generales
G1. Demostrar poseer y comprender conocimientos en el área de las Matemáticas a partir de la base de la educación
secundaria general, a un nivel que, apoyado en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican
conocimientos procedentes de la vanguardia en el estudio de las Matemáticas.
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G2. Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias
que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro del área de
las Matemáticas.
G4. Poder transmitir, tanto de forma oral como escrita, información, ideas, conocimientos, problemas y soluciones del ámbito
matemático a un público tanto especializado como no especializado.
G5. Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores en Matemáticas
con un alto grado de autonomía.
G6. Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas, incluyendo los recursos
telemáticos.
G7. Leer y comprender textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico,
especialmente la inglesa.
G9. Gestionar de forma óptima, tanto en el trabajo individual como en equipo, el tiempo de trabajo y organizar los recursos
disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
G10. Tener la capacidad de trabajar en equipo, aportando orden, abstracción y razonamiento lógico; comprobando o
refutando razonadamente los argumentos de otras personas y contribuyendo con profesionalidad al buen funcionamiento y
organización del grupo.
Competencias Específicas
E1. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de
las Matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
E2. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de las Matemáticas.
E3. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este
objeto en diferentes contextos.
E4. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos)
distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con
contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
E5. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
E6. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.
E8. Planificar la resolución de un problema en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de
tiempo y recursos.
Resultados de aprendizaje
Adquirir el conocimiento de los conceptos de σ-álgebra de conjuntos y medida positiva sobre una σ-álgebra, junto con la
definición de la integral en un espacio medible. Ser capaz de aplicar las propiedades básicas de la integral y resultados
fundamentales como los teoremas de convergencia. Adquirir un conocimiento preliminar de las propiedades de los espacios
Lp. Usar con soltura la integración en espacios producto: entender la idea de la medida producto y de integración iterada.
Comprender la utilidad de manejar medidas complejas, entre otras razones por sus aplicaciones al estudio del dual de los
espacios Lp. Captar la importancia de propiedades topológicas en el desarrollo de la teoría de la medida.
Breve descripción de contenidos
Medidas positivas. Integración abstracta. Teoremas de convergencia.
Medidas producto. Teorema de Fubini.
Medidas complejas. Teorema de descomposición de Lebesgue.
Espacios Lp.
Medidas de Radon. Teorema de representación de Riesz.
Principios Metodológicos/Métodos Docentes
A continuación se describen algunos aspectos de las actividades formativas presenciales: naturaleza de
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la actividad, metodologías que se utilizan, etc.
• Clases Teóricas: Por este tipo de actividad se entiende las clases en las que el profesor presenta el corpus teórico de la
asignatura. Corresponde en gran medida al concepto de lección magistral, aunque se entiende que el profesor puede contar
con otros recursos docentes e informáticos. Lleva consigo una interacción del alumno más limitada que en otras actividades.
Estas clases magistrales pueden también ser de exposición de técnicas de resolución de problemas.
• Resolución de problemas: Esta actividad comprende clases en las que se resuelven ejercicios y problemas con
intervención del estudiante, aunque siempre orientada por el profesor.
• Tutorías y seminarios, incluyendo presentaciones de trabajos y ejercicios propuestos: En este apartado se incluyen
varios tipos de actividades, todas ellas con la componente común de servir de fomento y apoyo del aprendizaje autónomo de
los alumnos con la asistencia del profesor.
a) Tutorías individualizadas: Tutorías personales en las cuales el alumno solventa con ayuda del profesor las dificultades que
ha encontrado en su estudio personal. Se incluye en este apartado la posibilidad de realizar estas tutorías utilizando medios
como correo electrónico, foros de internet o alguna plataforma de enseñanza.
b) Tutorías grupales: Actividades participativas de aclaración de dudas sobre teoría y problemas, supervisión de trabajos y
comentarios de lecturas propuestas en las que cada alumno expone sus dudas y contribuye a la solución de las dudas de los
demás.
c) Seminarios de resolución de problemas: Actividad en la que los estudiantes deben dedicar un tiempo establecido a resolver
de forma individual o bien con algún compañero algunos problemas propuestos. El profesor supervisa y ayuda, exponiendo
en la pizarra comentarios que considera de interés general.
d) Exposición de trabajos y ejercicios propuestos: Los alumnos, de forma individual o en grupo, exponen sus trabajos, y
contribuyen con sus dudas y comentarios en las exposiciones de sus compañeros.
Procedimientos y criterios de evaluación
La evaluación de cada uno de los estudiantes tendrá dos componentes diferenciadas:
Evaluación continua: Se llevará a cabo a lo largo del curso mediante la realización y entrega de trabajos (principalmente
resolución de problemas propuestos) y la exposición de temas previamente fijados por el profesor. Puede incluir también
controles escritos. Dependiendo de la carga de trabajo exigida, supondrá entre el 30% y el 40% de la nota total.
Examen final: Prueba escrita de 4 horas de duración en la que se propone resolver varios problemas.
Tanto en las convocatorias ordinarias como en las extraordinarias el estudiante puede elegir entre la media ponderada de la
evaluación continua y el examen final por un lado y la nota del examen final (renunciando a la evaluación continua) por otro.
Recursos de aprendizaje y apoyo tutorial
Se pondrán a disposición del alumnado los recursos necesarios para la realización de las actividades formativas presenciales
descritas en la sección “Principios Metodológicos/Métodos Docentes”. Dichas actividades se realizarán en los espacios
asignados de la Facultad de Ciencias y el Aulario-Biblioteca del Campus Miguel Delibes de la UVa. Se añaden a éstos
recursos los propios de la plataforma Moodle del Campus Virtual de la Uva, Bibliotecas, Servicios Administrativos, etc.
El horario de tutorías del profesorado se fijará según la normativa de la UVa.
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Tabla de Dedicación del Estudiante a la Asignatura/Plan de Trabajo
ACTIVIDADES PRESENCIALES
Horas
Clases teóricas
22
Resolución de problemas en grupos reducidos
23
Clases con ordenador en el aula de informática
Tutorías y seminarios, incluyendo
presentaciones de trabajos y ejercicios
propuestos
Sesiones de evaluación
Total presencial
11
4
60
TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNO
Estudio autónomo individual o en grupo
Preparación y redacción de ejercicios u otros
trabajos
Programación/experimentación u otros trabajos
con ordenador/laboratorio
Horas
60
18
Documentación: consultas bibliográficas,
Internet…
12
Total personal
90
Bibliografía
G. de Barra, Introduction to Measure Theory (Van Nostrand-Reinhold, 1974).
J. Cerdá, Análisis Real (Ed. Universitat de Barcelona, Barcelona, 1996).
D.L. Cohn, Measure theory (Birkhauser, Boston, Mass., 1980).
G.B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications (Wiley. Nueva York, 1984).
P.R. Halmos, Measure Theory (Springer, New York, 1974).
C. George, Exercises in Integration (Springer, New York, 1984).
W. Rudin, Análisis Real y Complejo (McGraw-Hill. Madrid, 1990).
R.L. Schilling, Measures, Integrals and Martingales (Cambridge U.P., Cambridge, 2005).
P.L. Ulianov, M.I. Dyachenco, Análisis Real: Medida e Integración (Addison-Wesley/UAM, Madrid, 2000).
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