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Módulo 3.
OPTIMIZACION MULTIOBJETIVO
DIFUSA
(Fuzzy Multiobjective Optimization)
Patricia Jaramillo A. y Ricardo Smith Q.
Instituto de Sistemas y Ciencias de la Decisión
Facultad de Minas
Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia
La lógica difusa
„
Es básicamente una lógica que permite valores
intermedios para poder definir evaluaciones
convencionales como sí/no, verdadero/falso,
negro/blanco, etc
„
La lógica difusa se inició en 1965 por Lotfi A.
Zadeh, profesor de ciencia de computadoras en
la Universidad de California en Berkeley.
1
„
En Japón la investigación sobre lógica difusa
es apoyada ampliamente con un presupuesto
enorme.
„
En Europa y USA se están realizando
esfuerzos para alcanzar al tremendo éxito
japonés. Por ejemplo, la NASA emplea lógica
borrosa para el complejo proceso de
maniobras de acoplamiento.
Conjuntos Booleanos
Definamos un subconjunto A de X con todos
números reales en el rango entre 5 y 8.
„ A = [5,8], X ∈[0,10]
función característica: asigna un número 1 o 0
al elemento en X, dependiendo de si el
elemento está en el subconjunto A o no.
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Conjuntos difusos
B = {conjunto de gente joven}
B = [0,20]
¿ por qué alguien es en su 20 cumpleaños
joven y al día siguiente no?
Operaciones con conjuntos difusos
Sea A un intervalo difuso entre 5 y 8, y B un
número difuso en torno a 4.
Operación AND (Y) (intersección) del A y B
A AND B = Min {A,B}
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Operación OR (O) (unión) del A y B
A OR B = Max {A,B}
Operación NEGACION (A)
A=1-A
Análisis multiobjetivo
Max Z(x)=(Z1(x),Z2(x)......Zq(x))
sujeto a:
g1 (x) < b1
S(x) g2 (x) < b2
gk (x) < bk
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Solución Pareto Optima
Se dice que una solución x* es Pareto
óptima si y solo si no existe otra x ∈ S,
tal que Zi(x) ≥ Zi(x*) para todo i y Zj(x) ≠
menos un j
Zj(x*) para alZ (x)
1
Producción económica ($)
A
Zmax
c
a
d
Zmin
S
B
Hectáreas preservadas en estado satisfactorio
I. Problema MO con Metas difusas
La meta difusa se refiere a desear alcanzar una
solución sustancialmente mayor o igual a un
valor Zi1 respecto al objetivo Zi
Para cada función objetivo existe una función
de pertenencia µi(x). Por ejemplo:
µi(x)

0,
0

 Zi ( x) − Zi
,
µi ( x ) =  1
0
 Zi − Zi
1,

1
0
Zi0
Zi ( x ) < Zi
0
0
Zi < Zi ( x ) < Zi
Zi ( x ) > Zi
1
1
Zi1
5
Otros Tipos de metas
Zi(X) debe estar en la vecindad de ri (llamada
“meta difusa de igualdad”)
2. Zi(X) debe ser sustancialmente mayor o igual a pi
(llamado “meta difusa máxima”)
3. Zi(X) debe ser sustancialmente menor o igual a
pi (llamado “meta difusa mínima”)
1.
µij
µij
1
µij
1
0
1
0
ri
0
pi
Zij
meta difusa de igualdad
pi
Zij
meta difusa máxima
Zij
meta difusa mínima
Solución Pareto Optima difusa
Se dice que una solución x* es Pareto
óptima difusa si y solo si no existe otra
x ∈ S, tal que µi(x) ≥ µi(x*) para todo i
y µj(x) ≠ µj(x*) para al menos un j
A
c
µ2
d
B
µ1
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La resolución del problema
multiobjetivo será:
Maximizar µD = µD(µ1(x),µ2(x),...,µq(x))
Por ser funciones difusas, esto es
equivalente a:
Maximizar Mínimo(µ1(x),µ2(x),...,µq(x)}
Sujeto a las restricciones originales
Maximizar Mínimo(µ1(x),µ2(x),...,µq(x)}
Sujeto a las restricciones originales
Equivalente a:
Sujeto a:
Max λ
µ(Zi (x)) ≥ λ, ∀i =1,...q
x∈S
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II. Programación Multiobjetivo
difusa
Maximizar ( Z1 ( x, a~1 ), Z 2 ( x, a~2 ),..., Z q ( x, a~q ))
~
Sujeto a g ( x, b j ) ≤ 0
~
a~i , b j son vectores de parámetros difusos
µij
Cada parámetro difuso tiene su
propia función de pertenencia.por
ejemplo:
1
0
aij
Conjunto α-nivel
El conjunto α-nivel de los números
~ son definidos como
difusos a~ y b
~
los conjuntos ordinarios ( a~, b )α para
los cuales el grado de sus funciones de
pertenencia exceden el nivel α.
µij
1
α
0
aij
8
Conjunto α-nivel
( a , b) / µa~ ir ( a~ir ) ≥ α , i = 1,..., q;

~


( a~, b )α = 
~

 µb~ js (b js ) ≥ α , j = 1,..., m

De ese conjunto infinito de posibilidades, el decisor desea
encontrar los valores que maximicen la función objetivo. El
problema queda ahora como
Maximizar ( Z1 ( x, a1 ), Z 2 ( x, a2 ),..., Z q ( x, aq ))
Sujeto a g ( x, b j ) ≤ 0
~
(a , b) ∈ (a~i , b j )α
Donde (ai, bj, x) son variables de decisión
Redefinición del concepto de Optimo
de Pareto α-nivel
Se dice que una solución x* es Pareto óptima~
α-nivel si y solo si no existe otra y x ∈ X ( b )
~
( a~, b )α tal que:
Z i ( x, a~i ) ≥ Z i ( x*, a~i ), i = 1,...q
donde los correspondientes valores de a* y b*
son llamados parámetros óptimos α-nivel
9
Cuando el problema es lineal
Maximizar ( c~1 x, c~2 x,..., c~q x )
~
~
Sujeto a A x ≤ b
~ ~
c~, A, b son parámetros difusos
Cada parámetro difuso tiene su
propia función de pertenencia.por
ejemplo:
µij
1
0
cij
Redefinición del concepto de
Conjunto α-nivel Para PL
~ ~
El conjunto α-nivel de los parámetros A, b y c~
~ ~~
se define como el conjunto ( A, b , c
)α para el
cual el grado de función de pertenencia excede
el nivel α
µij
1
α
0
aij
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Conjunto α-nivel problemas lineales
De ese conjunto infinito de posibilidades, el decisor desea
encontrar los valores que maximicen la función objetivo. El
problema queda ahora como
Maximizar ( c~1 x, c~2 x,..., c~q x )
Sujeto a Ax ≤ b
~ ~
( A, b, c ) ∈ ( A, b , c~ )α
Donde (A, b, c, x) son variables de decisión ⇒
NO LINEAL
Si
µi(x) es la función de pertenencia de Zi(x)
Maximizar ( µ1 (c~1α x), µ 2 (c~2α x),..., µ q (c~qα x))
Sujeto a Ax ≤ b
~ ~
( A, b, c ) ∈ ( A, b , c~ )α
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Si consideramos los puntos extremos de
cada valor α
[A
α
L
, Aα
R
]
[b
L
α
, bα
R
]
[c
iα
L
, ciα
R
]
Maximizar(µ(c~1Rα x), µ(c~2Rα x),...,µ(c~qRα x))
µij
1
Sujeto a AαL x ≤ bαR
α
0
cijL
cijR
cij
Aplicaciones
Ha sido aplicado en:
„ Problemas de regulación de la contaminación del aire (Lotov et al,
1997)
„ Problemas de transporte (Verdegay, 1984)
„ Planificación mediambiental (Sakawa and Yano, 1985)
„ Planificación del sistema de suministro de agua (Slowinski, 1986)
„ Job Shop scheduling (Sakawa and Kubota, 2000)
„ Gestión de aguas residuales (Duckstein et al, 1994)
„ Otros......
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