Problemas de Física

DEPARTAMENT DE TERMODINÀMICA
Problemas de Física
Diplomatura en Óptica y Optometría
(Curso 2004/2005)
Introducción: unidades
Fundamentos matemáticos. Vectores y Campos.
Propiedades de los sólidos.
Fluidos ideales. Fluidos reales. Fenómenos de superficie
Ondas Mecánicas.
Acústica.
Campo eléctrico. Corriente continua.
Campo magnético. Inducción magnética.
Manuel Dolz
Departamento de Termodinámica. Facultad de Farmacia, 2do piso, Despacho: 2-51
http://www.uv.es/~mdolz/docencia
J.A. Martinez-Lozano y Pilar Utrillas
Departamento de Termodinámica. Facultat de Física. Bloque C (3er piso)
Despachos: 3307/3310
http://pizarra.uv.es/
http://www.uv.es/~utrillas/docencia
http://www.uv.es/~jmartine/docencia
Física. Diplomatura óptica y optometría
3
Introducción: unidades
0.1.- Expresad 1 km en cm, micrómetros (µm), nanómetros y en las unidades del SI.
Física. Diplomatura óptica y optometría
Fundamentos Matemáticos.Vectores y Campos
Resumen Teoría
• Vector:
0.2.- Sabiendo que 1 atm es la presión ejercida por una columna de mercurio (ρ=13,6 g/cm3) de 76 cm
• Suma vectores:
de altura, hallad su valor en el S.I.
• Resta vectores:
0.3.- Escribe en el S.I. : a) 10cc ; b) 3atm.; c) 7.2 km/h, d) 30ºC; e) 300g.
4
• Producto escalar:
0.4.- Calculad las dimensiones de la constante universal de la gravitación, G, y sus unidades en el
Gm1m 2
sistema internacional (S.I.) sabiendo que: F=
2
r
• Producto vectorial:
L
0.5.- Demostrad que la fórmula del periodo del péndulo simple T=2π
, donde L es la longitud del
g
G
G
G
G
v = vx i + vy j + vz k
JG JG JG
JG
A+ B= C
| C | = A+ B + 2AB cos (A, B)
JG JG JG
JG
A- B= D
| D | = A+ B - 2AB cos (A, B)
G
JJG
JJG v
G
uv =
µ v = (µ v) u v
v
JG JG
JG JG
A.B
A . B = AB cos (A, B) cos (A, B) =
AB
JG JG
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
JG JG JG
JG
Ax B= C
| C | = AB sen (A, B)
G
G
G
i
j
k
JG
C=
Ax
Ay
Az
Bx
péndulo y g la aceleración de la gravedad, es dimensionalmente correcta.
0.6.- Suponiendo que la velocidad de propagación del sonido, c, en un gas depende de la presión, p,y
de la densidad, ρ, encontrad una expresión para c utilizando el análisis dimensional..
0.7.- Calcular la altura de una tubería de 10m de larga, inclinada 30º sobre la horizontal.
G
• Circulación de v :
a
G
• Flujo de un vector v :
By
Bz
G b
C = ∫ vdr =⌠
⌡ (vxdx + vydy + vzdz)
bG
bG
G
φ = ∫ vds
a
a
• Operador
:
• Gradiente (de un escalar):
• Divergencia (de un vector):
∂G ∂ G ∂ G
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
∂u G ∂u G ∂u G
u=
(es un vector)
j+ k
i+
∂y
∂x
∂z
G ∂vx ∂vy ∂vz
v = ∂x + ∂y + ∂x (es un escalar)
=
• Rotacional (de un vector):
(es un vector)
G
x v=
• Campo Conservativo:
G G
G
i
G
j
G
k
∂
∂x
vx
∂
∂y
vy
∂
∂z
vz
b
G G
C = v∫ vdr = ∫ (∇xv)dr = 0
a
a
Física. Diplomatura óptica y optometría
5
Física. Diplomatura óptica y optometría
6
b) A lo largo de la recta x = y = z.
Problemas: Vectores y Campos
1.1.-
1.2.-
c) A lo largo del eje OX hasta (1,0,0); desde (1,0,0) paralelamente al eje OY hasta el punto
(1,1,0); desde (1,1,0) paralelamente al eje OZ hasta A (1,1,1).
G
G
De un cierto vector a se conoce su módulo, a = 6, y dos de sus cosenos directores, que son:
G
cosα = 1/2 y cosβ = 1/3. Calcular las componentes de un vector b , que cumpla la condición:
G
G G G
a x b = i - (3/2) j .
G
Solución: b (0,0,1/2).
¿Es F un campo de fuerzas conservativo?
Solución: a) 6 u.d.t.; b) 13/3 u.d.t.; c) 32/3 u.d.t.
1.9.-
1.4.-
1.5.-
tomar tres vectores cuyos módulos son 2, 5 y 8, respectivamente, y que forman entre sí
b) El flujo a través de toda la superficie
ángulos de 60°.
del paralelogramo.
Solución: a) ΦABCD = abc; b) ΦT = 3abc
G
G
Dados los vectores a (2,2,0) y b (3,-1.2), calcular:
G G
a) a · b ;
G G
b)
a x b;
c)
G G G
Solución: a) 4; b) 4 i - 4 j - 8 k ; c) 0; 0.
G G
G
G
G
G
1.10.-
(a xb ) · a ; (a x b ) · b
G
G
G
G
G G
G G G
G
Dados los vectores a = x i + z j + y k ; b = -z i + j - x k , hallar el gradiente de su producto
b)
G
Considerar la superficie sombreada de
campo de fuerzas a través de ella, y la
circulación de dicho campo a lo largo
G
G
G
G
G
G G
punto B (1,1,1) a lo largo de la curva: s = t i + t2 j + t3 k .
Solución: 1/3.
G
G
G
G
Dado el campo de vectores de posición r = xi + i j + zk , calcular:
a) El gradiente del módulo.
b) La divergencia.
d) El rotacional.
c) La circulación a lo largo de una línea cerrada.
G
Solución: a) r /r; b) 3; c) 0; d) 0.
G
G
G
G
Una partícula se encuentra sometida a la fuerza F = (3x2+6x) i - 14yz j + 20xz2 k . Calcular el
trabajo realizado por dicha fuerza cuando la partícula se traslada desde el punto O (0,0,0)
hasta el punto A (1,1,1) por los siguientes caminos:
a) A lo largo de la curva x = t; y = t2; z = t3.
A
O
de la línea que la delimita. (Febrero
Solución: a) No se puede; 6x+3; 0; b)
Calcular la circulación del vector a = xy i - z2 j + xyz k , desde el punto A (0,0,0) hasta el
z
la figura. Determinar el flujo del
1997)
G
G
Dado el campo de fuerzas F = 3x2 i + y j + 2z k
a) Determinar, si es posible, su gradiente, divergencia y rotacional.
G
G
G
Hallar la derivada del vector v = x i + y j , sabiendo que x = acosωt; y = asenωt. Comprobar
G
que resulta un vector perpendicular a v , y hallar la relación entre sus módulos.
G
G
JJG
Solución: v ' = -ωy i + ωx j ; v' = ωv.
G
1.8.-
G
rayada.
escalar en el origen de coordenadas.
1.7.-
G
a) El flujo a través de la superficie
G G G
Solución: k
1.6.-
G
Comprobar si el triple producto escalar ( a · b · c ) posee la propiedad asociativa. Para ello
Solución: No posee la propiedad conmutativa.
1.3.-
G
Dado el campo vectorial r = xi + i j + zk calcular:
0;0.
C
B
Física. Diplomatura óptica y optometría
7
Física. Diplomatura óptica y optometría
2.3.-
Propiedades de los sólidos
Del techo de una habitación se cuelga un alambre de acero de 0.8 mm de diámetro en cuyo
extremo inferior va soldado otro alambre de aluminio de 1.2 mm de diámetro, lastrado por su
otro extremo con un peso de 15 kp. La longitud total de los dos alambres es de 4 m. Sabiendo
Resumen Teoría
que el peso provoca alargamientos iguales en los dos alambres, se piden las longitudes
• Ley de Hooke:
∆L 1 F
• Tracción: L = E s
∆r
σ F
r = -E s
∆V
p
V = -Q
• Flexión:
Deformación = constante . esfuerzo
originales de estos, así como la energía elástica almacenada en cada uno.
E: Módulo de Young, s: superficie
Datos: Módulos de Young: acero, 2.1 104 kp/mm2; aluminio, 0.7 104 kp/mm2.
Solución: l1=2.3 m; l2 = 1.7 m; ∆l = 3.3 10-3 m; E = 0.243 J.
σ: Coeficiente de Poison
Q=
E
Q: Coeficiente de Compresibilidad
3 (1 -2σ)
2.4.-
• Ángulo de Torsión:
1 F
α=µ s
1
β=R M
µ=
E
2 (1+ σ)
π r4
R = 2L µ
diámetro, que lleva en su extremo inferior un disco metálico homogéneo de 500 g de masa y
ángulo de 10°. Calcular el módulo de rigidez del alambre.
Solución: µ=7 1013 N/m2.
µ : módulo de rigidez
2.5.-
de altura experimentará la columna líquida? ¿Cuál será la variación relativa de la densidad del
agua, expresada en %?.
Datos: Módulo de compresibilidad del agua: 2.2 104 kp/cm2.
1
1
W = 2 k α2 = 2 µ s L α2
• Oscilaciones (Tracción):
d2x
+ ω2x = 0;
x(t) = A cos( wt + f);
dt2
d2β
• Oscilaciones (Torsión):
+ ω2β = 0
dt2
En un tubo rígido de 1.2 m de longitud y 3.6 cm2 de sección, se introduce agua. Si se aplica
una fuerza de 47 kp mediante un émbolo que actúa por un extremo del líquido ¿Qué cambio
R : cte de torsión , M: momento.
1
• Energía elástica(Tracción): W = 2 k (∆L)2
• Energía elástica(Cizalla):
Un péndulo de torsión está formado por un alambre de 40 cm de longitud y 1 mm de
8 cm de radio. Se aplica al disco un par de fuerzas de momento 3 Nm que le hace girar un
1 l3
4 l3
F s2 = 4E
F b,d : dimensiones, s: flecha
s1 = E
3
bd
bd3
• Ángulo de cizalla:
k
ω=m ;
R
ω= I
Solución: ∆h=-0.71 mm; (ρ'-ρ)/ρ = 0.059%.
Es
k= L ;
k=
T=2π
mL
Es
2L I
πr4 µ
2.6.-
Un bloque ortoédrico de cierto material sufre una variación relativa de volumen de 5.266 104 cuando es sometido a una presión de 135.8 atm. Se desea saber:
a) El coeficiente de Poisson de dicho material
b) El valor de la fuerza tangencial que debe actuar sobre una de sus caras de dimensiones
2.8x3.5 m para que le produzca un ángulo de cizalla de 0.22°.
Datos: Módulos de Young: 1600 kp/mm2.
Problemas: Propiedades de los sólidos
2.1.-
Con qué fuerza tendremos que tirar de los extremos de un hilo de aluminio de 3.75 m de largo
y 0.32 mm de espesor para que pueda pasar exactamente por un agujero de diámetro 0.30
mm.
Datos: Módulo de Young: 7.0 1010 N/m2. Coeficiente de Poison: 0.13. Solución: 2.7 103 N.
2.2.-
8
Un bloque de mármol de 12 Tm se apoya sobre un tubo de acero vertical de 25 cm de largo,
12 cm de radio exterior y 4 cm de radio interior.
a) Calcular el acortamiento producido en el soporte.
Datos: Módulo de Young: 2.1 104 kp/mm2.Solución: a) 3.55 10-6 m.
Solución: a) σ=0.40; b) F=2.11 108 N.
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Física. Diplomatura óptica y optometría
3.3.-
Fluidos ideales y reales. Fenómenos de superficie
10
Desde un punto situado a una altura de 10 m sobre la superficie de un estanque lleno de agua
y de profundidad 5 m se deja caer una esferita de 0.2 cm de radio.
a) Si la esferita es de hierro de densidad 7.5 (relativa al agua), calcular :
(i) lo que tarda en llegar al fondo del estanque.
Resumen Teoría
• Ecuación hidróstatica:
p = p0 - ρgh
• P. Arquímedes:
E=Vρg
• Ecuación de continuidad: s v = s' v' = cte
1
• Teorema Bernoulli:
p + ρgh + 2 ρ v2 = cte
• Teorema Torricelli:
v = 2gh
∆v
• Viscosidad:
F=ηs
∆h
d
• Número de Reynolds:
R=vρ
η
• Fórmula de Stokes:
F =6π r η v
dW ∆W
• Tensión superficial:
σ = ds =
∆s
1 1
• Ecuación de Laplace:
p L - p0 = σ ⎛ r + r ⎞
⎝ 1 2⎠
2σ
Gota esférica:
pL - p0 = r
4σ
Burbuja esférica:
p L - p0 = r
• Ley de Tate:
mg = k σ
2σ cosθ
• Ley de Jurín:
h=
ρgR
(ii) La energía cinética con que llega al fondo.
b) Si la esferita es de madera de densidad 0.3. calcular :
(i) la profundidad hasta la que llega a hundirse en el estanque.
E: empuje
(ii) La velocidad con que emerge a la superficie.
Se prescinde en todo el problema de las fuerzas de rozamiento.
Solución: ai) 0.32 s; aii) 3.5 10-2 J; bi) 4.29 m; bii) 14 m/s.
v: velocidad
3.4.-
En el fondo de un recipiente cilíndrico de 30 cm de diámetro se realiza un orificio circular de
5 cm de diámetro. Si dicho depósito se llena de agua, determinar la velocidad con que fluirá
ésta por el orificio en el instante en que la altura del líquido en el depósito es de 60 cm. ¿Qué
error, en %, se introduce en el resultado si se desprecia la velocidad propia de la superficie
W: Trabajo
libre del líquido en el depósito?.
Solución: a) 3.43 m/s; b) 0.00241 %.
3.5.-
Una fuente lanza un chorro de agua de 10 m de altura. La boca del chorro, que está a nivel del
suelo, tiene un diámetro de 1.25cm. La bomba que impulsa el agua está 3 m por debajo de la
boca, en la vertical de la misma. La tubería que conduce el agua desde la bomba hasta la boca
de la fuente tiene un diámetro de 1.5 cm. Determinar la presión que ejerce la bomba.
Solución: 1.79 atm.
3.6.-
Se tiene un depósito de agua, de 2 m2 de sección, abierto por su parte superior. A 46 cm por
debajo de la superficie libre del líquido se practica un orificio de 2 cm2.
Problemas: Fluidos ideales y reales. Fenómenos de
superficie
a) Determinar la velocidad de salida del agua por dicho orificio.
b) Es posible aumentar dicha velocidad ejerciendo una sobrepresión en la superficie superior
del agua. Suponiendo que se optase por este método, colocando una plancha de plomo que
3.1.-
Un barco que en el mar desplaza 4000 toneladas, tiene una sección por la línea de flotación de
1000 m2. Al navegar por un río se hunde 12 cm más que en el mar. Determinar la densidad
cubriese toda la superficie, determinar el espesor que debería tener dicha plancha para
del agua del mar.
Datos: Densidad del plomo: 11300kg/m3.
Solución: a) v2 = 3 m/s; b) 0.597 m.(Febrero 1996)
duplicar la velocidad de salida obtenida en el apartado a).
Solución:1031 kg/m3.
3.2.-
En un recipiente se tiene aceite flotando sobre agua. Un corcho, de sección transversal
cilíndrica de radio r y longitud l, está situado verticalmente entre las dos capas, de modo que
En la conducción de la figura circula agua cuya viscosidad podemos considerar despreciable.
a) Determinar la presión en A, PA.
su parte superior está en el aceite y su base en el agua. Determinar la porción de corcho que
está bajo el agua, en función de las densidades del corcho (ρ), del aceite (ρa) y del agua (ρo).
Cerrando la llave T, el agua queda en reposo. Suponiendo que la presión en B no ha variado:
b) Calcular la nueva presión en A, PA' .
Solución: lo/l = (ρ-ρa)/(ρo-ρa).
3.7.-
Física. Diplomatura óptica y optometría
11
Física. Diplomatura óptica y optometría
3.10.-
A
12
Calcular la máxima diferencia de presión que puede haber entre los extremos de una
conducción cilíndrica de 20 cm de longitud y de 3 cm de diámetro, para que por su interior
v
A
SA
circule un líquido de viscosidad 2,1 mPa s y cuya densidad es de 0,9, sin que su régimen llege
h
B
S
a turbulento, en el caso de que dicha conducción sea vertical y que el líquido ascienda.
C
v
B
S
C
B
v
C
Solución: ∆P= 1766,8 N/m2
Datos de la conducción: Secciones: SA = 1.5 m2; SB = SC = 0.5 m2 Desnivel: h = 10 m.
3.11.-
Un líquido viscoso de densidad 0.90 circula por una conducción cilíndrica horizontal de 180
cm2 de sección. Si el NR es 900 y la disminución de presión por unidad de longitud (pérdida
Características del fluido en B: vB = 6 m/s; PB = 5 atm.
de carga) es de 420 Pa/m, calcular:
Solución: a) 4.18 atm. ; b) 4.03 atm.(Julio 1996)
a) Velocidad media del fluído
b) Viscosidad del líquido
3.8.-
Mediante un sifón se saca agua de un
Calcular la velocidad en 1, 2, y 3 y la presión
c) Gasto cúbico
depósito cilíndrico de 1000m de
en el punto 2.(Febrero98).
Solución: : a) 1.4 m//s, b) 0.214 Pa s, c) 0.0.252 m3/s
diámetro, lleno de agua salada de
densidad
1050kg/m3.El
tubo
2
3.12.-
que
forma el sifón tiene una sección de 6
1
debajo de la superficie libre, ¿ cual es el radio de dichas partículas mas pequeñas?.
(Viscosidad del agua 1,2 mPa s. Densidad de la sal 2,5 g/cm3)
Solución: : 10-4 cm.
cm2 y su punto más alto se encuentra
a 60 cm de la superficie libre del agua,
36 cm
mientras que la salida del desagüe se
3
halla 36 cm por debajo.
3.9.-
Se quiere conocer el radio de las partículas más pequeñas de una sal insoluble. Si se echa en
agua y dos horas después de agitar el producto, el agua estaba turbia a partir de 2 cm por
60 cm
3.13.-
El esquema adjunto representa la salida de agua desde un depósito de gran sección, cuyo
Los reogramas siguientes corresponden a diferentes tipos de fluidos que en general,
responden a la ecuación: τ = τ0 + kγ n . Indica el tipo de fluido al que corresponde cada
gráfica así como la ley correspondiente.( Sep2001)
nivel permanece cte., que al final desemboca a la presión atmosférica. Esta salida está
formada por dos tubos, uno de 2 m de longitud y 100 cm2 de sección, y otro, acoplado a
éste, que tiene 50 cm de longitud y 25
cm2
τ
τ
a)
τ
b)
τ
c)
d)
de sección. Los puntos medios de ambos tubos
están conectados con un manómetro que indica la diferencia de presión entre éstos. Calcular:
a) Velocidad del agua en cada tubo.
γ
b) Lectura del manómetro.
η
γ
γ
e)
η
η
γ
g)
f)
h= 3 m
γ
L 1= 2 m
M
L = 0.5 cm
2
3.14.-
γ
γ
Determinar el diámetro máximo que puede tener una aguja de acero para que, al depositarla
sobre la superficie del agua, se mantenga a flote (sin que el agua la moje).
Datos: Tensión superficial del agua 0.073 N/m. Densidad del acero 7500 Kg/m3.
α = 20°
Solución: a) v1 = 8.69 m/s; v2 = 2.17 m/s; b) 0.31 atm.(Febrero 1997)
Solución: 1.6 mm.
Física. Diplomatura óptica y optometría
3.15.-
13
Física. Diplomatura óptica y optometría
14
Se tienen dos burbujas de agua jabonosa de 3 cm y 5 cm de radio respectivamente.
Ondas Mecánicas.
Suponiendo que se juntan sin que ninguna de ellas desaparezca, determinar el radio de
curvatura de la superficie esférica común.
3.16.-
Solución: 7.5 cm.
Resumen Teoría
Con un cuentagotas de 0.5 mm de radio se dejan caer gotas de un líquido de densidad 1.5
g/cm3 sobre un recipiente cilíndrico cuya base tiene 5 cm de radio, a razón de 40
x t
• Movimiento armónico simple (MAS): Ψ(x,t) = A cos [2π ( ± T ) + φ]
λ
2π
2π
λ
ω= T k=
v=T
Ψ(x,t) = A cos [kx ± ωt + φ)
λ
∂2Ψ(x,t) µ ∂2Ψ(x,t)
• Ecuación de ondas:
=F
µ: densidad lineal
∂x2
∂t2
gotas/minuto. En una hora, la altura alcanzada por el líquido en el recipiente es de 20 cm.
Determinar la tensión superficial del líquido y el radio de una gota.
Solución:: Tensión superficial 6.13 N/m; r = 5.4 mm.
3.17.-
v=±
Los radios de las ramas de un tubo de vidrio en forma de U son iguales a 1 mm y 3 mm
respectivamente. ¿Que diferencia habrá entre las alturas alcanzadas en ambas ramas si se
F
µ
2
• Densidad de energía cinética:
introduce agua, suponiendo que el ángulo de contacto es de 0° y la tensión superficial de
3.18.-
0.073 N/m.
• Densidad de energía potencial:
Solución::0,99 cm
• Densidad de energía total:
Al situar un líquido, de densidad 1.1 (relativa al agua) y tensión superficial desconocida, en
• Efecto Doppler:
G
Ψ( r ,t) =
1 ∂ 2ψ (x, t)
v2
∂t 2
µ ∂Ψ(x,t) 2
ρec = 2 ⎛ ∂t ⎞
⎝
⎠
µ ⎛∂Ψ(x,t)⎞ 2
ρep = 2
⎝ ∂x ⎠
ρE = 2ρec = 2ρep
|v| - (vo -vm)
ν' =|v| - (v -v ) ν
F m
un tubo de vidrio en forma de U, de ramas de diámetros 1 mm y 2 mm, se observa que la
diferencia de las alturas alcanzadas en ambas ramas es de 4.17 cm (ver figura). Si el ángulo
de contacto es 0o, determinar:
a) La altura que alcanzaría el líquido en un tubo capilar de 0.2 mm de radio.
b) Se utiliza un cuentagotas que forma gotas de agua de 0.3 g de masa ¿Cuántas gotas del
líquido anterior serán necesarias para
1mm
Problemas: Ondas Mecánicas
4.1.
obtener 3 cm3 de dicho líquido?
La posición de una partícula que vibra, en función del tiempo, viene dada por la gráfica a), y
la de todas las partículas en función de la distancia en la gráfica b).¿Cual es la ecuación de la
2mm
onda y su velocidad de propagación?.
4.17cm
Datos: Tensión superficial del agua
y(cm)
0.073N/m Solución: a) 0.21 m; b) 3.57
5
y(cm)
5
6
gotas ( Febrero 1997)
3.19.-
2
Se vierte un líquido en un depósito en el que hay dos tubos capilares de 25 y 100 µm de
3
8
t(s)
1
5
x(cm)
-5
diámetro respectivamente. Una vez alcanzado el equilibrio, el líquido se encuentra 8 cm por
debajo en el primero, respecto al segundo. Determinar el ángulo de contacto sólido-líquido.
Datos: Tensión superficial 0.4 N/m. Densidad 2.5 g/cm3. Solución: 92.34°.
4.2.-
La función de onda de una onda transversal en una cuerda tensa viene dada por la ecuación
y = 0.03 sen(2 t - 3x).
donde x e y se expresan en cm y t en segundos. Determinar:
a) Amplitud, período, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda.
b) El desplazamiento respecto de la posición de equilibrio en x = 0.2, para t = 0.2 s y t = 0.4
s.
Física. Diplomatura óptica y optometría
15
c) Las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración de oscilación de las partículas de la
4.3.-
Física. Diplomatura óptica y optometría
4.8.-
Un niño sentado a la puerta de su casa ve acercarse un autobús con velocidad uniforme y un
cuerda.
sonido de motor de 3000 r.p.m.. Al alejarse el autobús, observa una disminución aparente de
Solución: a) A= 0.03 cm ; T = π s ; v = (2/3) cm/s ; b) y (x=0.2; t=0.2) = -0.006 , y (x=0.2;
t=0.4) = 0.006 ; c) vy = 0.06 cos (2t -3x) , ay = -0.12sen (2t -3x)
frecuencia de 15 Hz. El mismo autobús (a la misma velocidad), varias calles después, ve
acercarse un coche por una calle perpendicular a su dirección y con una velocidad de 60
Km/h. Calcular la frecuencia del sonido que percibirá el conductor del coche en el momento
Un foco puntual realiza un movimiento periódico representado por la ecuación
t
x
y (cm) = 4 cos 2π (6 + 240 ).
en que la línea que une el autobús y el coche forma un ángulo de 60° con la dirección del
coche.
Solución: 58.68 Hz.
Determinar:
a) La velocidad de la onda.
b) La diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el intervalo de
4.9.-
Un barco se acerca perpendicularmente a una costa acantilada. Pone en marcha la sirena,
emitiendo un sonido de una determinada frecuencia.
tiempo transcurrido es de 1 segundo.
a) Si la relación entre las frecuencias que percibe un observador situado en el acantilado (ν')
c) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos partículas separadas 210 cm.
y la que percibe el capitán del barco como eco (ν") es ν'/ν"=98/100, averiguar cual es la
d) Si el desplazamiento (y) de una determinada partícula en un instante determinado es de 3
velocidad del barco.
cm, determinar cuál será su desplazamiento 2 segundos más tarde.
b) Debido a un fuerte oleaje, el barco sufre una desviación de 90° de su rumbo, manteniendo
Solución: a) 0.4 m/s; b) 60°; c) 315°; d) -3.79 cm.
4.4
16
el módulo de su velocidad. Si la frecuencia del sonido que percibe el observador del
Demostrar que las funciones:
acantilado después de recorrer 80 m es 97/100 de la que percibía antes, determinar la
y = y0 sen(kx-ωt)
distancia a que se encuentra el barco del observador.
y = A eik(x-vt)
Solución: a) 6.93 m/s, b) 160 m.
i=(-1)1/2
satisfacen la ecuación de ondas.
4.10.4.5.-
Un avión se desplaza a velocidad v= 720 km/h constante a una altura h= 1000m sobre el
A qué velocidad debería ir una nave espacial para ver verde el planeta Marte (planeta rojo) .
suelo. Lleva una sirena a bordo que emite un sonido de frecuencia ν = 435 Hz.
Datos: λ del rojo 750 nm; λ del verde 600 nm.
a) Determinar la frecuencia que percibirá un observador en reposo situado en el suelo,
Solución: 2.7 108 km/h
cuando el avión haya recorrido 1000 m después de pasar por su vertical.
b) Supongamos ahora, que la sirena esta fija sobre el suelo a una altura h' = 200 m. Un
4.6.-
Un coche se desplaza con un movimiento uniforme y rectilineo a una velocidad de 30 m/s. En
observador se desplaza sobre el suelo con una velocidad horizontal v' = 36 km/h, de forma
sentido contrario va un camión a una velocidad de 21 m/s con una superficie reflectora en su
que su trayectoria define con el punto donde se encuentra la sirena un plano vertical. Calcular
parte posterior. Si el coche emite un sonido de 1000 Hz, calcular:
la frecuencia percibida por el observador 30 s después de haber pasado por la vertical de la
a) La frecuencia percibida por un observador fijo situado entre ambos.
sirena.
b) Frecuencia de las ondas que llegan a la superficie reflectora cuando ambos vehículos se
Solución: a) 307.2 Hz; b) 424.3 Hz.(Febrero 1997)
han cruzado.
c) Frecuencia que percibirá el observador después de que las ondas se reflejen en el camión.
Solución:: 1079 Hz; 862´2 Hz ; 812 Hz.
4.7.-
Un foco emite un sonido de 310 hertz y se desplaza hacia un observador a una velocidad de
79 km/h. A su vez, el observador se mueve hacia el foco a una velocidad de 35 km/h y
percibe el sonido con una frecuencia de 340 hertz. ¿ Cúal es la velocidad del sonido en el
aire?. ¿ Qué frecuencia percibirá cuando se hayan sobrepasado y se alejen uno del otro?.
Solución: : 349 m/s ; 284 Hz.
Física. Diplomatura óptica y optometría
17
Acústica
Física. Diplomatura óptica y optometría
5.5-
18
El máximo nivel de intensidad (en db) que pueden soportar los obreros de una fábrica es de
60 db. Si cada una de las máquinas produce 40 db, ¿cuántas de ellas podrán funcionar al
mismo tiempo?
Resumen Teoría
• Ley de Beer:
I =I0 exp (-βx)
Solución: : 100 máquinas
β: coeficiente del medio
5.6-
I1 r22
• Atenuación: I = 2
r 1
2
El nivel de intensidad de cierto sonido vale 60 db después de atravesar cierta pared. Sabiendo
que el coeficiente de absorción de la misma es de 0,5 cm-1, calcular:
I1
φt =I
a) La intensidad física de la onda en la primera cara de la pared si el espesor de esta es de 2
• Factor de transmisión:
• Intensidad total:
It+Ir=I0
b) El nivel de intensidad (en db) percibido, despues de atravesar el muro, si este fuera de
• Nivel de intensidad (dB):
∆S=10 log
cm.
2
I
10-12
Problemas: Acústica
5.1.-
doble espesor.
Solución: : 2,7 10-6 W/m2; 55,66 db
5.7.-
absorción del material con que se tiene que construir un recinto para que a 20 m del foco y
Un muro de 60 cm tiene un espesor de semiabsorción de 80 cm y una impedancia acústica de
4200 Ω acústicos. Si a este muro le llega una onda de 5 W/m2,
con un espesor de 15 cm no se perciba sensación sonora alguna en el interior del
recinto.(Considerar el factor de transmisión =0´5).
a) ¿Cual es la intensidad reflejada en la primera cara del muro?
Solución: : 1.136 cm-1
b) ¿Cual es la intensidad que llega a la segunda cara?
c) ¿Cual es la intensidad reflejada en la segunda cara?
(Impedancia del aire Za = 420 Ω acústicos)
Solución: : 3,35; 0,98; 0,66 W/m2
5.2.-
Una locomotora se acerca en linea recta desde 1 Km de distancia a un observador, quien
percibe el silbato con un tono de 704 Hz. En este instante el tren empieza a frenar con una
deceleración de 0,5 m/s2. En el momento de detenerse, el observador aprecia un aumento de
nivel de intensidad de 20 db en relación al instante inicial. Calcular la frecuencia real del
sonido. (Suponer 340 m/s para la velocidad del sonido)
Solución: : 642 Hz
5.3.-
A 100 m del lugar donde se produce una explosión de frecuencia media 60 Hz, el nivel de
intensidad del sonido es de 100 db. Calcular: la distancia a la que deja de ser audible la
explosión si se supone despreciable la absorción, y la potencia sonora del foco.
Solución: : 31620 m; 1260 W
5.4.-
Si 10 sonidos idénticos producen conjuntamente un nivel de intensidad de 50 db, ¿cual sería
el nivel de intensidad en db, en las mismas condiciones, de uno solo de ellos?
Solución: : 40 db
Un foco sonoro emite un sonido de 1000 Hz y potencia 0,5 W. Calculese el coeficiente de
5.8.-
A 3 km de la pista de aterrizaje de un aeropuerto se construye un hotel.
a) Si a una distancia de 30 m un avión al despegar da un nivel de intensidad de 130 db, ¿Qué
nivel de intensidad se percibirá a la puerta del hotel?
b) ¿Qué grosor han de tener las paredes del hotel si el coeficiente de absorción del material
empleado es de 0,6 cm-1 para que no se perciba sensación fisiológica en su
interior.?(Supongase para dicho sonido que la intensidad umbral es de 10-11 W/m2 y que el
factor de transmisión es 1).
Solución: : 90 db; 30´7 cm.
Física. Diplomatura óptica y optometría
19
Física. Diplomatura óptica y optometría
20
a) Calcular el valor de la tensión de los hilos en posición de equilibrio
Campo eléctrico. Corriente continua
b) Calcular la carga de cada esfera
c) Si desaparece una carga, calcular el campo eléctrico que sería necesario aplicar para que
la otra permaneciera en la misma posición.
Resumen Teoría
G
qq G
F = k 12 2 u r
r
G
JG F
q G
= k 2 ur
E=
q
r
JG 0G
φ = E.S
Superficie no plana
JG G
φ = ∫ E.S = 4πk qint
JG
∂V G ∂V G ∂V G
E = −∇V =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
JG G
∆V = − ∫ Edr
• Ley de Coulomb:
• Campo eléctrico:
• Flujo: Superficie plana
• Teorema Gauss:
• Potencial electrostático:
• Corriente:
dq
I = dt
• Resistencia:
L
R=ρ s
• Asociación resistencias:
• Ley de Ohm:
• Energía:
6.4.-
situadas en los puntos de coordenadas (a,0,0), (-a,0,0), (0,a,0) y (0,-a,0).
a) Determinar el campo y el potencial creados por esa distribución de carga en un punto de
JG G
φ = ∫ E.S
coordenadas (0,0,z).
b) En el punto (0,0,0) se coloca una carga q de masa m. Seguidamente se desplaza
ligeramente en la dirección del eje OZ ( a2+z2 ≈ a2 ) y se deja en libertad. Determina el
periodo de oscilación si dicha carga es negativa. Si la carga es positiva ¿Que tipo de
movimiento realizará?. Justifícalo.
qz
q
;V=
πε0(a2 + z2)3/2
πε0(a2+z2)1/2
2πa
b) T = q
πmε0a .
ρ: resistividad s: sección
Paralelo
1
1
1
R = R1 + R2
6.5.-
Sea el modelo simple del átomo, constituido por una carga puntual +q rodeada de una
distribución esférica de carga de radio a con densidad de carga constante ρ y carga total -q. Se
V=IR
dEp = dq (VA - VB)
dEp
V2
P = dt = I V = I2R = R
• Potencia:
Sobre un sistema de referencia O(x,y,z) se disponen cuatro cargas q puntuales y positivas
Solución: a) E =
R = R1 + R2
Serie
Solución: a) 0.023N; b) 1.12 10-6 C; c) 104 N/C
pide:
JG
a) calcular E en puntos interiores (r<a) y exteriores (r>a) a la distribución.
b) calcular el potencial eléctrico en cualquier punto del espacio.
JJJG
∇E en cada una de las regiones en las que se ha dividido el espacio.
JG
JG
q ⎛1
r ⎞G
q ⎛ 1 r2
3 ⎞
− 3 ⎟ u r = ; r< a; E = 0 r > a; b) V =
Solución: E =
⎜ − 3− ⎟ ,
⎜
2
⎜
4πε0 ⎝ r
4πε0 ⎝ r 2a
2a ⎟⎠
a ⎠
JJJG ρ
r<a; V = 0 , r > a ; c) ∇E =
c) calcular
Problemas: Campo eléctrico. Corriente continua
6.1.-
Consideremos un modelo planetario del átomo de hidrógeno. Un electrón gravita alrededor de
ε0
un protón describiendo una trayectoria circular de radio r = 5 nm bajo el efecto de la fuerza
de Coulomb. a) ¿Cuál es la energía total del electrón? b) ¿Cuál es la velocidad del electrón?
me= 9.1 10-31 Kg, qe=-1.6 10-19 C
Solución: a) ET = -2.3 10-20 J ; b) v = 2.25 105 m/s
6.2.-
6.3.-
JG
G
6.6.-
Suponiendo que una carga positiva está distribuida uniformemente en un volumen esférico de
R=10 cm, siendo la densidad de carga por unidad de volumen (3/4π) 10-5 C/m3, calcular el
potencial y el campo creados en los siguientes puntos:
Sea E = (a+bx) u x el campo eléctrico en cierta región del espacio. ¿Cuánto valen el potencial
a) En un punto situado a 5 cm del centro de la esfera
eléctrico y la densidad de carga correspondiente?.
1
Solución: V = -ax - 2 bx2 + C; ρ = εob
c) En un punto de la superficie de la esfera
b) En un punto situado a 20 cm del centro de la esfera
Solución: a) E = 4500N/C; V = 1237.5V; b) E = 2250N/C; V = 450V; c) E = 9000N/C; V =
Dos esferas muy pequeñas de dos gramos de masa, cargadas positivamente con la misma
900V.
carga, se encuentran en los extremos de dos hilos de seda de un metro de longitud,
Nota: Se recomienda resolver el problema en general para un volumen esférico de radio a y
suspendidos en el mismo punto. Si en la posición de equilibrio, el ángulo que forma cada hilo
con densidad de carga ρ, y posteriormente hacer la aplicación numérica.
con la vertical es de 30°, se pide:
Física. Diplomatura óptica y optometría
6.7.-
21
Física. Diplomatura óptica y optometría
Para cargar una batería de 24 V y resistencia interna 2 Ω se utiliza un generador de 30 V y 1
Campo magnético. Inducción
Ω de resistencia interna en serie con una resistencia de 3 Ω. Calcular: a) La potencia
suministrada por el generador, b) las pérdidas de potencia por efecto Joule, y c) la energía
almacenada durante 30 horas de carga. Solución: a) Pg = 29 W, b) ∆P = 6 W, c) E = 0.72
kWh
6.8.-
Sea una pila cuya fuerza electromotriz es
ε
y su resistencia interna r. Si se conecta a una
resistencia R, demostrar que la potencia consumida por la resistencia es máxima para R=r.
¿Cuánto vale esa potencia máxima?.
ε2
Solución: Pmax = 4r
22
Resumen Teoría
G
G JG
F = qv ∧ B
G JG JG
• Fuerza sobre un elemento de corriente: F = IL ∧ B (conductor recto o campo uniforme)
JJG JJG JG
dF = IdL ∧ B (conductor no recto o campo no uniforme)
JG JJG
JJG
µ0
IdL ∧ u r
• Ley de Biot y Savart:
km = 4π
dB = k m
r2
• Fuerza de Lorentz
• Campo creado por una corriente rectilínea:
6.9.-
En el circuito de la figura: a) Calcular la resistencia equivalente a la asociación de R3 y R4.
Hacer lo mismo con R1 y R2. Dibujar el circuito resultante equivalente al de la figura,
señalando los puntos A y B.
b) Calcular la corriente que pasa por
d) I1 = I2 = I3 = I4 = 0.5 A, V1 = V2
la pila.
=2 V, V3 =V4 = 8 V
R1
c) Calcular la tensión en el punto A,
en el punto B, y la diferencia de
R2
tensión entre A y B.
B
d) Calcular la corriente que pasa por
cada resistencia y decir qué tensión
Conductor finito
y
• Teorema Ampere:
• Flujo magnético:
JG G
v∫ Bdr = 4πk m Ic
JG G
φ = ∫ Bdr
• Ley de Faraday- Henry:
dφm
ε = - dt
R4
Problemas: Campo magnético. Inducción.
VA = 2V;
7.1.-
6.10.a)
Dados los dos circuitos de la figura
Determinar el valor de RT para que los dos circuitos sean equivalentes, suponiendo que R1 =
b)
Determinar el valor de R para que por el circuito circule una intensidad de 1 A, suponiendo
5
Solución: a) 3 R; b) 3Ω
-
R3
ε
R1
+
R2
G G
G
G G
G
G
G
Solución: F = - 3 10-6 ( i + 4 j ) N
7.2.-
que ε = 6 V y r =1 Ω.
JG
En cierta región del espacio actúa un campo eléctrico uniforme E = i - k (N/C), y un campo
JG
G G
G
magnético B = 3 i - j + 2 k (T). Determinar la fuerza total ejercida sobre una carga en
movimiento q = 3 µC, en el instante en que lleva una velocidad v = 2 i - j (m/s).
R2 = R3 = R4 =R
+
I
B = 2 km y
φm2 = L2 I2 + M21 I1
M12 = M21 = M
dφm1
dI1
dI2
ε = - dt = -L1 dt - M dt
I= 1A; c) VA = 8V, VB = 10V, VB -
r
Conductor infinito
I R2
(x2+ R2)3
B =2π km
Solución: a) R12 = 2Ω, R34 = 8Ω; b)
ε
L2
4
• Inducción mutua y autoinducción: φm1 = L1 I1 + M12 I1
A
R3
resistencia.
Datos: R1 = R2 = 4 Ω,R3=R4= 16Ω.
y2+
• Campo espira:
V = 10
hay entre los extremos de cada
IL
B = km
a) ¿Cuál es la velocidad de un haz de electrones cuando la acción simultánea de un campo
r
eléctrico de 34 104 V/m y otro magnético de 2 x10-2 T, ambos perpendiculares entre sí, no
-
produce desviación de la trayectoria de los electrones?
b) Cuál es el radio de la órbita del electrón cuando se suprime el campo eléctrico?.
Solución: a) V = 1.7 107 m/s; b) r = 4.83 mm
R4
RT
Física. Diplomatura óptica y optometría
7.3.-
23
Física. Diplomatura óptica y optometría
24
Un electrón en el punto A de la figura tiene una velocidad v0 de 107 m/s. Hallar:
a) La magnitud y dirección del campo magnético que obligará al electrón a seguir la
trayectoria semicircular de A a B.
b) El tiempo necesario para que el
electrón se mueva desde A hasta B.
c) ¿Cuáles son los resultados de los
7.7.v
placas metálicas paralelas situadas a ambos lados de la trayectoria, separadas 1cm y
apartados anteriores si la partícula es
un protón en lugar de un electrón?
A _
mp=1.67 10-27kg, me=9.1 10-31kg
10 cm
conectadas a una d.d.p. de 80V. El campo B vale 2 10-3 Wb/m2. A la salida de las placas, el
B
campo magnético sigue actuando perpendicularmente a la trayectoria del haz, y observamos
que éste se curva convirtiéndose en una trayectoria circular de 1.14 cm de radio.
Solución: a) B = 1.14 mT; b) t = 15.7 ns; c) B = 2.12 T; t = 15.7 ns
7.4.-
Un haz de electrones pasa, sin ser desviado de su trayectoria rectilínea, a través de un campo
eléctrico y otro magnético perpendiculares entre sí. El campo eléctrico está generado por dos
0
a) Hallar la razón carga/masa de los electrones
b) Calcular el tiempo que cada electrón invierte en recorrer una circunferencia completa
Un hilo de 0.5 m de longitud está sobre el eje Y y transporta una corriente de 10 A en la
c) Si el haz en su trayectoria circular equivale a una corriente de 20 mA ¿Qué campo
dirección positiva de dicho eje. Si se aplica un campo magnético uniforme de componentes:
Bx = 0.3 T, By = -1.2 T y Bz = 0.5 T.
magnético B crea en el centro de la circunferencia?.
q
Solución: a) m = 1.754 1011 C/kg; b) T = 1.79 10-8 s; c) B = 1.1 10-6 T.
Determinar:
a) Componentes de la fuerza que actúa sobre el cable.
b) Magnitud de la fuerza total que actúa sobre el cable.
G
Solución: a) F = (2.5, 0, -1.5) N , b) F = 2.92 N
7.8.-
Hallar el campo magnético en el punto
y
P de la figura, que es el centro común
I
de los arcos de semicircunferencia.
7.5.-
JG
⎛ 1
1 ⎞G
Solución: B = πk m I ⎜
−
⎟k
R
R
⎝ 1
2⎠
Dos cables rectilíneos, paralelos y horizontales, uno sobre el otro, están separados por una
distancia 2a. Si los dos transportan corrientes iguales en sentidos opuestos, ¿cuál es la
I
R2
R1
z
magnitud del campo en el plano de los cables en un punto situado:
a) a la mitad de la distancia que las separa y
b) a una distancia a por encima del hilo superior?.
Si los hilos transportan corrientes iguales en el mismo sentido, ¿cuál es la magnitud del
campo en el plano de los cables en un punto situado:
c) a la mitad de la distancia que los separa, y
d) a una distancia a por encima del hilo superior?.
µ0I
1 µ0I
2 µ0I
Solución: a) B = πa ; b) B = 3 πa ; c) B=0 d) B = 3 πa
7.9.-
En el eje x de un sistema cartesiano se sitúa un conductor rectilíneo infinito por el que circula
circuito rectangular tiene dos de sus lados, de 10 cm de longitud, paralelos al conductor
recto. Los otros dos lados miden 5 cm.
El lado del circuito más próximo al
Si por el circuito rectangular circula
neta ejercida sobre el mismo.
circula por el una corriente de 2A también en sentido positivo de x.
Solución: a) B =-3.33 10-7 jT; b)F= -6 10-6 k N; c) F= -4 10-6 k N
20A
5A
10cm
se indica en la figura, hallar la fuerza
Solución: 7.14 10-5 i N
sobre otro conductor, de 6m de largo, paralelo al primero, que pasa por el punto anterior, si
5cm
separados por una distancia de 2 cm.
a)Calcular el vector campo magnético que crea en un punto situado a 3m del origen, sobre el
G
G G
v = (2i + 3j)m / s . ¿Qué fuerza actuará sobre ella?. c) Calcular el vector fuerza que actuaría
y
conductor recto y éste se encuentran
una corriente de 5 A en el sentido positivo de x.
eje z.. b)Si una partícula de carga q=9C pasa por dicho punto con una velocidad:
x
Por un conductor rectilíneo largo (longitud infinita) circula una corriente de 20 A. Un
una corriente de 5 A en el sentido que
7.6.-
I
P
G
z
2cm
x