LICEO "BRICEÑO MENDEZ" COD. S0120DO320 DEPARTAMENTO DE EVALUACION EL TIGRE ESTADO ANZOATEGUI MSc. LIYUAN SUÁREZ 5to Cs “ ____” REALIZADO POR: __________________________________ __________________________________ __________________________________ __________________________________ FECHA ___/____/_____ LICEO "BRICEÑO MENDEZ" COD. S0120DO320 DEPARTAMENTO DE EVALUACION EL TIGRE ESTADO ANZOATEGUI MSc. LIYUAN SUÁREZ Un número real puede ser representado como: Un punto de una línea recta. Una pareja de números reales puede ser representado por un punto en el plano Una terna de números reales puede ser representado por un punto en el espacio. Existen interpretaciones útiles para representar cada una de estas anotaciones. Por ejemplo: Sistema de Ecuaciones Sistema de Coordenadas en Sistema de Coordenadas en Lineales de n Incógnitas R Dos Dimensiones R2 Tres Dimensiones R3 Y P(x,y) (0, y) X (x, 0) Sabemos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La frase “vector” se refiere a los elementos de cualquier espacio Rn. Cuando se tiene que: R1 = R → el vector es un punto, que llamado escalar. R2 el vector es de la forma (x1, x2) R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3). Al gun as D e fin icio n es: D e fin ición : Sum a de V ector es P a ra su m a r do s ve ct o r e s ⃗ r e sp e ct iva s de la sigu ie n te man e ra : ⃗ y ⃗ se su ma n su s co m p o n en t e s ⃗ Ej e m pl os 1: 1) D a do s l o s ve cto r e s , . H a l la r el ve ct or SUMA FECHA ___/____/_____ LICEO "BRICEÑO MENDEZ" COD. S0120DO320 DEPARTAMENTO DE EVALUACION EL TIGRE ESTADO ANZOATEGUI ⃗ MSc. LIYUAN SUÁREZ ⃗ 2) D a do s l o s ve cto r e s ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗ ( ) ( ) y ( ( ). Ha l la r e l ve cto r SUMA ) ) ( ) ( ) P r opie dade s de l a sum a de vector es ⃗ Asociat iva: ⃗ ⃗ ⃗ Con m utativa: ⃗ ⃗ ⃗ El e m e n to Ne utr o: ⃗ ⃗ ⃗ El e m e n to O puesto: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Definición: Longitud o Norma de un Vector Sea x = (x1, x2, x3, …, xn) un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la forma │x│ ó ║x║, se define como la raíz cuadrada no negativa de x ∙ x = <x, x>. Esto es: | | ‖ ‖ √ √ O simplemente: | | √ Notas: 1. El vector cero tiene magnitud cero. Como el punto inicial y el punto terminal coinciden, se dice que el vector no tiene dirección. 2. Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que: ║x + y║ ≤ ║x║ + ║y║. 3. Ejemplo para discusión: Sean u = (1, 5) y v = (3, 1). Compara ║x + y║ y ║x║ + ║y║. FECHA ___/____/_____ LICEO "BRICEÑO MENDEZ" COD. S0120DO320 DEPARTAMENTO DE EVALUACION EL TIGRE ESTADO ANZOATEGUI MSc. LIYUAN SUÁREZ Ej e m pl o 2: D a do s l o s ve ct o re s ve ct o r y ( ), ha l l ar e l mó dul o de l . |⃗ | √ |⃗ | √( √ √ √ ) √ √ √ √ √ √ D e fin ición : P r oducto de un Núm er o Real por un V ector E l pr oducto de un n úm er o r eal k D e igual dir ección qu e e l ve ct o r D e l m ism o sen tido qu e e l ve ct o r D e se n tido con tr ario de l ve ct o r | | |⃗ | D e m ódul o p o r u n vector e s o t r o vector : . si k es posit ivo . si k es n egativo . La s co m p o n en t e s de l ve ct o r r e su l tan t e se o bt ie n en mu l t ip l ica n do po r K l a s co m p o ne n te s de l vect o r . |⃗ | P r opie dade s del pr oducto de un n úm er o por un vector ⃗ Asociat iva: ⃗ D istr ib utiva r espe cto a l a sum a de v ector es: ⃗ ⃗ ⃗ D istr ib utiva r espe cto a l os escal ar es: ⃗ El e m e n to n e utr o: Ej e m pl o 3: D a do ( de t e r min ar ⃗ ⃗ de mo do qu e sea ) FECHA ___/____/_____ ⃗ ⃗ ⃗ LICEO "BRICEÑO MENDEZ" COD. S0120DO320 DEPARTAMENTO DE EVALUACION EL TIGRE ESTADO ANZOATEGUI MSc. LIYUAN SUÁREZ ( ) Definición: Producto Interno de dos Vectores Sean x y x vectores en Rn, tal que x = (x1, x2, x3, …, xn) y y= (y1, y2, y3, …, yn). El producto interno de x e y representado por x ∙ y ó <x, y>, es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es: x ∙ y = <x ∙ y> = (x1 · y1 + x2 · y2 + x3 · y3 + … + xn · yn). Los vectores x y y se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero. Definición: Distancia entre dos Puntos Sean x e y vectores en Rn, donde distancia entre x y y x = (x1, x2, x3, …, xn) y y = (y1, y2, y3, …, yn). La representada por d(a, b) está definida por: √ ACTIV ID AD ES: A) RESP O ND E. 1 ) ¿ Qu é e s un pa r o r den a do ? ___________________________________ ____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ ____________________ 2) ¿En ( qu é ) cua dr an t e ( ) ( de l √ pl a no ) (√ R2 ) e st á n los FECHA ___/____/_____ sigu ie n te s p u nt o s LICEO "BRICEÑO MENDEZ" COD. S0120DO320 DEPARTAMENTO DE EVALUACION EL TIGRE ESTADO ANZOATEGUI MSc. LIYUAN SUÁREZ 3 ) ¿ E n qu é p la n o e st án l o s p u nt o s qu e t ie n en su se gu n da co mp on e nt e igu a l a ce r o e n u n Siste ma de Co o r de na da s Tr idime n sio n al ? _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ ___________________ 4 ) Lo s p u nt o s qu e t ie ne n su t er ce r a co mpo n en t e igu al a ce r o , ¿ e stá n e n e l p la no ZY ? _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ ___________________ 5 ) ¿ E n qu é pl an o e stán l o s p un to s qu e t ie n en l a p r ime r a comp o ne n te igu a l a ce r o e n u n Siste ma de Co o r de na da s Tr idime n sio n al ? _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ ___________________ 6 ) ¿ E n qué e je e stá n lo s p un t o s qu e t ie n en l a p r imer a y l a segu n da co mpo n en te igu a l a ce ro en u n Sist e ma de Coo r de nada s Tr idime n sio n a l? _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ ___________________ 7 ) ¿ Qu é va l o r to ma l a p r ime ra y t e r cer a co mp on e nt e de l o s pu n to s que e stá n en e l e je Y ? _________________________________ _____________________ ____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ 8 ) ¿ Se p u e de a fir ma r qu e t o do pu nt o de l e sp a cio R 3 qu e t enga u n a co or de na da n u la e stá e n R 2 ? E XP LICA . ___________________________________ ___________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ 9 ) ¿ Qu é so n ve ct o re s Equ ip o l en te s? ____________________________ ___________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ ___________________ 10) ¿ Qu é se en t ien de p or V e ct or Libr e ? __________________________ ____________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ FECHA ___/____/_____ LICEO "BRICEÑO MENDEZ" COD. S0120DO320 DEPARTAMENTO DE EVALUACION EL TIGRE ESTADO ANZOATEGUI MSc. LIYUAN SUÁREZ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ ___________________ 11) ¿ P o r qu é el ve ct or libr e e s e qu ipo l en t e?_____________________ ____________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ ___________________ 12) Si u n ve ct o r e st á en u na dime n sió n, o e n t re s dime n sio ne s… o e n “n ” dim e n sio n e s, ¿ si e s e qu ip o le nt e a ⃗ e nt on ce s ⃗ e s e qu ip ol en t e a ? . E xpl ica _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ 13) P ie n sa y e xp l ica por qu é si vivié r a mo s e n u n mu n do de un a dime n sión , do s dim e n sio n e s, t re s dime n sio n e s…t odo l o qu e e stá en u n mun do co n u na dim e n sió n má s o adicio n a l , e s in visibl e e n e l cor r e spo n die n te mun do en que e x ist ié r amo s. (¡E st o e s a l go ve r da der ame n te in te r e sa nt e !) _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ __________________ B ) RES UELV E. 1) Dado los vectores: A=(-2,3,4); F=(2,-1,-5); Calcular: a) A + B b) C+ c) d) e) f) g) h) i) ( ); ( ); ( ); D=(-3,-2,-1); H=(4,-1,5) G–H D–E E + 2H (A + b) + D 2H + 3G F – (G + H) FECHA ___/____/_____ ( ); LICEO "BRICEÑO MENDEZ" COD. S0120DO320 DEPARTAMENTO DE EVALUACION EL TIGRE ESTADO ANZOATEGUI MSc. LIYUAN SUÁREZ REPRESENTE GRAFICAMENTE CADA UNO DE LOS VECTORES OBTENIDOS. 2) Hallar el valor que debe tener el vector (x, y, z) para que se cumplan las siguientes igualdades: a) 3(x, y, z) = (1, 3, 4) b) -3(x, y, z)= (3, -3, 0) c) (x, y, z)= (6, 2, 3) d) (x, y, z)= (-10, 5,-5) e) (x, y, z)=( ) 3) Encontrar en cada caso el vector de componente a, b y c: a) (2, 0, 1) + (a, b, c) = (-1, 0, 2) c) (-3, -2, 1) + (a, b, c) = (0, 4, 3) e) (a, b, c) + ( b) (a, b, c) + (-1, 2, 4) = (3, 0, -1) d) (a, b, c)+ (4, 2,1)=( ) ) =( ) f) 4(a, b, c) + ( 4) Dado los vectores: A= ( ) y B=( ) Calcular: a) La longitud de 2A + B c) La longitud de 2A – 3B )=( ) b) La longitud de 2B – A d) La longitud de ⃗ 5) Si se sabe que el producto interno de los vectores valor de x. es 6, calcular el 6) Muestra gráfica y analíticamente que: a) Los puntos rectángulo. b) Los puntos los lados iguales. c) Los puntos misma recta d) Los puntos e) Los puntos cuadrilátero. f) Los puntos ( ) todos los lados iguales. en R3 son los vértices de un triángulo en R3 son los vértices de un triángulo con todos en R3 son puntos que están sobre una ( ) en R3 son los vértices de un triángulo isósceles. ( ( ) ) en R3 son puntos que forman un en R3 son los vértices de un triángulo con FECHA ___/____/_____