5to Cs “ ____”

LICEO "BRICEÑO MENDEZ" COD. S0120DO320
DEPARTAMENTO DE EVALUACION
EL TIGRE ESTADO ANZOATEGUI
MSc. LIYUAN SUÁREZ
5to Cs “ ____”
REALIZADO POR:
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Un número real puede ser representado como:
 Un punto de una línea recta.
 Una pareja de números reales puede ser representado por un punto en el plano
 Una terna de números reales puede ser representado por un punto en el espacio.
Existen interpretaciones útiles para representar cada una de estas anotaciones. Por ejemplo:
Sistema
de
Ecuaciones Sistema de Coordenadas en Sistema de Coordenadas en
Lineales de n Incógnitas R
Dos Dimensiones R2
Tres Dimensiones R3
Y
P(x,y)
(0, y)
X
(x, 0)
Sabemos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. La frase “vector” se refiere a
los elementos de cualquier espacio Rn.
Cuando se tiene que:
R1 = R → el vector es un punto, que llamado escalar.
R2 el vector es de la forma (x1, x2)
R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).
Al gun as D e fin icio n es:
D e fin ición : Sum a de V ector es
P a ra su m a r do s ve ct o r e s ⃗
r e sp e ct iva s de la sigu ie n te man e ra :
⃗
y ⃗
se su ma n su s co m p o n en t e s
⃗
Ej e m pl os 1:
1) D a do s l o s ve cto r e s
,
. H a l la r el ve ct or SUMA
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⃗
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⃗
2) D a do s l o s ve cto r e s
⃗
⃗
(
⃗
⃗
(
)
(
) y
(
(
). Ha l la r e l ve cto r SUMA
)
)
(
)
(
)
P r opie dade s de l a sum a de vector es
⃗
Asociat iva:
⃗
⃗
⃗
Con m utativa:
⃗
⃗
⃗
El e m e n to Ne utr o:
⃗
⃗
⃗
El e m e n to O puesto:
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Definición: Longitud o Norma de un Vector
Sea x = (x1, x2, x3, …, xn) un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la
forma │x│ ó ║x║, se define como la raíz cuadrada no negativa de x ∙ x = <x, x>. Esto es:
| |
‖ ‖
√
√
O simplemente:
| |
√
Notas:
1. El vector cero tiene magnitud cero. Como el punto inicial y el punto terminal
coinciden, se dice que el vector no tiene dirección.
2. Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que:
║x + y║ ≤ ║x║ + ║y║.
3. Ejemplo para discusión: Sean u = (1, 5) y v = (3, 1). Compara
║x + y║ y ║x║ + ║y║.
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Ej e m pl o 2: D a do s l o s ve ct o re s
ve ct o r
y
(
), ha l l ar e l mó dul o de l
.
|⃗ |
√
|⃗ |
√(
√
√
√
)
√
√
√
√
√
√
D e fin ición : P r oducto de un Núm er o Real por un V ector
E l pr oducto de un n úm er o r eal k




D e igual dir ección qu e e l ve ct o r
D e l m ism o sen tido qu e e l ve ct o r
D e se n tido con tr ario de l ve ct o r
| | |⃗ |
D e m ódul o
p o r u n vector
e s o t r o vector :
.
si k es posit ivo .
si k es n egativo .
La s co m p o n en t e s de l ve ct o r r e su l tan t e se o bt ie n en mu l t ip l ica n do po r K l a s
co m p o ne n te s de l vect o r .
|⃗ |
P r opie dade s del pr oducto de un n úm er o por un vector
⃗
Asociat iva:
⃗
D istr ib utiva r espe cto a l a sum a de v ector es:
⃗
⃗
⃗
D istr ib utiva r espe cto a l os escal ar es:
⃗
El e m e n to n e utr o:
Ej e m pl o 3: D a do
(
de t e r min ar
⃗
⃗
de mo do qu e sea
)
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⃗
⃗
⃗
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(
)
Definición: Producto Interno de dos Vectores
Sean x y x vectores en Rn, tal que
x = (x1, x2, x3, …, xn) y
y= (y1, y2, y3, …, yn). El
producto interno de x e y representado por x ∙ y ó <x, y>, es el escalar que se obtiene multiplicando los
componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es:
x ∙ y = <x ∙ y> = (x1 · y1 + x2 · y2 + x3 · y3 + … + xn · yn).
Los vectores x y y se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.
Definición: Distancia entre dos Puntos
Sean x e y vectores en Rn, donde
distancia entre x y
y
x = (x1, x2, x3, …, xn)
y
y = (y1, y2, y3, …, yn). La
representada por d(a, b) está definida por:
√
ACTIV ID AD ES:
A) RESP O ND E.
1 ) ¿ Qu é e s un pa r o r den a do ? ___________________________________ ____________________
_____________________ _____________________ _____________________ _____________________
_____________________ _____________________ _____________________ _____________________
_____________________ _____________________ _____________________ _____________________
_____________________ _____________________ _____________________ _____________________
_____________________ _____________________ _____________________ ____________________
2) ¿En
(
qu é
)
cua dr an t e
( )
(
de l
√
pl a no
)
(√
R2
)
e st á n
los
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sigu ie n te s
p u nt o s
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3 ) ¿ E n qu é p la n o e st án l o s p u nt o s qu e t ie n en su se gu n da co mp on e nt e igu a l a
ce r o e n u n Siste ma de Co o r de na da s Tr idime n sio n al ?
_____________________ _____________________ _____________________ _____________________
_____________________ _____________________ _____________________ ___________________
4 ) Lo s p u nt o s qu e t ie ne n su t er ce r a co mpo n en t e igu al a ce r o , ¿ e stá n e n e l p la no
ZY ?
_____________________ _____________________ _____________________ _____________________
_____________________ _____________________ _____________________ ___________________
5 ) ¿ E n qu é pl an o e stán l o s p un to s qu e t ie n en l a p r ime r a comp o ne n te igu a l a
ce r o e n u n Siste ma de Co o r de na da s Tr idime n sio n al ?
_____________________ _____________________ _____________________ _____________________
_____________________ _____________________ _____________________ ___________________
6 ) ¿ E n qué e je e stá n lo s p un t o s qu e t ie n en l a p r imer a y l a segu n da co mpo n en te
igu a l a ce ro en u n Sist e ma de Coo r de nada s Tr idime n sio n a l?
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_____________________ _____________________ _____________________ ___________________
7 ) ¿ Qu é va l o r to ma l a p r ime ra y t e r cer a co mp on e nt e de l o s pu n to s que e stá n en
e l e je Y ? _________________________________ _____________________ ____________________
_____________________ _____________________ _____________________ _____________________
8 ) ¿ Se p u e de a fir ma r qu e t o do pu nt o de l e sp a cio R 3 qu e t enga u n a co or de na da
n u la e stá e n R 2 ? E XP LICA . ___________________________________ ___________________
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9 ) ¿ Qu é so n ve ct o re s Equ ip o l en te s? ____________________________ ___________________
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_____________________ _____________________ _____________________ _____________________
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10)
¿ Qu é se en t ien de p or V e ct or Libr e ? __________________________ ____________
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11)
¿ P o r qu é el ve ct or libr e e s e qu ipo l en t e?_____________________ ____________
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12)
Si u n ve ct o r e st á en u na dime n sió n, o e n t re s dime n sio ne s… o e n “n ”
dim e n sio n e s, ¿ si e s e qu ip o le nt e a ⃗ e nt on ce s ⃗ e s e qu ip ol en t e a ? . E xpl ica
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13)
P ie n sa y e xp l ica por qu é si vivié r a mo s e n u n mu n do de un a dime n sión ,
do s dim e n sio n e s, t re s dime n sio n e s…t odo l o qu e e stá en u n mun do co n u na
dim e n sió n má s o adicio n a l , e s in visibl e e n e l cor r e spo n die n te mun do en que
e x ist ié r amo s. (¡E st o e s a l go ve r da der ame n te in te r e sa nt e !)
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B ) RES UELV E.
1) Dado los vectores: A=(-2,3,4);
F=(2,-1,-5);
Calcular:
a) A + B
b) C+
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(
);
(
);
(
); D=(-3,-2,-1);
H=(4,-1,5)
G–H
D–E
E + 2H
(A + b) + D
2H + 3G
F – (G + H)
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(
);
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REPRESENTE GRAFICAMENTE CADA UNO DE LOS VECTORES OBTENIDOS.
2) Hallar el valor que debe tener el vector (x, y, z) para que se cumplan las siguientes igualdades:
a) 3(x, y, z) = (1, 3, 4)
b) -3(x, y, z)= (3, -3, 0)
c)
(x, y, z)= (6, 2, 3)
d) (x, y, z)= (-10, 5,-5)
e) (x, y, z)=(
)
3) Encontrar en cada caso el vector de componente a, b y c:
a) (2, 0, 1) + (a, b, c) = (-1, 0, 2)
c) (-3, -2, 1) + (a, b, c) = (0, 4, 3)
e) (a, b, c) + (
b) (a, b, c) + (-1, 2, 4) = (3, 0, -1)
d)
(a, b, c)+ (4, 2,1)=(
)
) =(
)
f) 4(a, b, c) + (
4) Dado los vectores:
A= (
) y B=(
)
Calcular:
a) La longitud de 2A + B
c) La longitud de 2A – 3B
)=(
)
b) La longitud de 2B – A
d) La longitud de
⃗
5) Si se sabe que el producto interno de los vectores
valor de x.
es 6, calcular el
6) Muestra gráfica y analíticamente que:
a) Los puntos
rectángulo.
b) Los puntos
los lados iguales.
c) Los puntos
misma recta
d) Los puntos
e) Los puntos
cuadrilátero.
f) Los puntos
(
)
todos los lados iguales.
en R3 son los vértices de un triángulo
en R3 son los vértices de un triángulo con todos
en R3 son puntos que están sobre una
(
) en R3 son los vértices de un triángulo isósceles.
(
(
)
) en R3 son puntos que forman un
en R3 son los vértices de un triángulo con
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