Objetivos Generales

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Objetivos Generales
Al finalizar el estudio de Matemática del Ciclo de Nivelación usted deberá ser capaz de:
1.
Utilizar una metodología adecuada para el estudio de la Matemática.
2.
Alcanzar destreza operativa en temas básicos de Álgebra y Trigonometría
como aplicación de conceptos teóricos.
3.
Resolver problemas con procedimientos específicos
Esquema Conceptual
LÓGICA SIMBÓLICA
NUMEROS REALES Y COMPLEJOS

POLINOMIOS

FUNCIONES

ECUACIONES

TRIGONOMETRÍA
Unidad 1. Lógica simbólica. Números Reales y Complejos
1.1 Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. Implicaciones y equivalencias
lógicas. Tautologías, contradicciones y contingencias. Argumentos y modos de
demostración. Cuantificadores.
1.2 Los números reales, operaciones y propiedades. Potencias y raíces de números reales.
1.3 Números complejos, operaciones en forma binómica.
Unidad 2. Polinomios
2.1
Polinomios. Grado. Operaciones con polinomios. Adición, multiplicación y división.
2.2
Divisibilidad. Valuación. Teorema del resto.
2.3
Raíz de un polinomio. Orden de multiplicidad. Descomposición factorial de un
polinomio.
Unidad 3. Funciones
3.1
Conjuntos y subconjuntos. Operaciones con conjuntos. Par ordenado. Producto
Cartesiano.
3.2
Correspondencia entre puntos de la recta y números reales. Pares ordenados de
números reales. Conjuntos de puntos. Intervalos.
3.3
Relación y sus representaciones. Funciones. Definición. Funciones enteras de primer y
segundo grado.
3.4
Funciones exponencial y logarítmica.
Unidad 4. Ecuaciones.
4.1
Ecuación de primer grado con una y dos incógnitas.
4.2
Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
4.3
Ecuación de segundo grado con una incógnita.
4.4
Sistemas mixtos. Método de sustitución.
Unidad 5. Trigonometría
5.1
Longitud de un arco de circunferencia. Ángulos y su medición.
5.2
Funciones trigonométricas. Relaciones fundamentales.
5.3
Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos.
5.4
Fórmulas de adición.
5.5
Representación trigonométrica de un número complejo.
5.6
Producto y cociente de números complejos en forma trigonométrica.
5.7
Potencia de números complejos.
5.8
Igualdad de números complejos.
5.9
Raíces de números complejos.
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Bibliografía
Como bibliografía se aconseja utilizar los textos de estudio del secundario, sin
destacar ninguno en particular.
Orientación del Aprendizaje
Esta guía de enseñanza presenta una introducción a la lógica matemática o simbólica,
los conceptos básicos del número real y del número complejo, sus operaciones y propiedades
básicas. Considera los polinomios como entes abstractos y estudia sus operaciones y
propiedades. Previo a la definición de función se estudian los conjuntos y sus propiedades.
Hace hincapié en las funciones polinómicas de primer y segundo grado y en las funciones
exponencial y logarítmica. Plantea la resolución de ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas, y de segundo grado con una incógnita. Estudia, también, la resolución de sistemas
de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y de sistemas mixtos. Desarrolla, en
trigonometría, resolución de triángulos e identidades trigonométricas fundamentales. En cada
caso se plantea una introducción teórica al tema, el desarrollo de ejemplos y la ejercitación
correspondiente.
El alumno deberá utilizar, además de esta guía, los textos específicos de Matemática
que estudió en la escuela media, a fin de reforzar el aprendizaje.
Recuerde
“... la ciencia matemática no es el fruto de la contemplación, no es descriptiva en
ninguna de sus partes, es una actividad humana reducida a sus elementos
intelectuales esenciales. Comprender un resultado matemático es saber utilizarlo.
Conocer una teoría matemática es saber reconstruirla como si fuera su creador.
Aprender una demostración de memoria sin comprenderla es una proeza que
intentan algunos valientes ingenuos, pero es la que nunca he visto triunfar...”
Matemática Moderna. Matemática Viva, de A. Revuz.
Por ello es recomendable estudiar Matemática teniendo a mano abundante papel
borrador y lápiz.
En consecuencia:
1. Lea la introducción teórica tratando de comprenderla.
2. Aclare los conceptos desarrollando personalmente los ejemplos.
3. Realice la ejercitación correspondiente. Si tiene dificultades, repita los puntos 1 y 2.
4. Si no tiene éxito, no desespere, solicite ayuda al docente.
3
1
Lógica Simbólica.
Números reales y números complejos
Objetivos
Al finalizar esta unidad usted deberá ser capaz de:
 Operar con proposiciones simples para obtener proposiciones compuestas
mediante operadores lógicos.
 Identificar tautologías, implicaciones lógicas y equivalencias lógicas.
 Comprender los argumentos y los modos de demostración.
 Operar con cuantificadores.
 Identificar números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos.
 Operar con números reales y complejos utilizando sus propiedades.
Contenidos
1.1 Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. Implicaciones y equivalencias
lógicas. Tautologías, contradicciones y contingencias. Argumentos y modos de
demostración. Cuantificadores.
1.2 Números reales. Operaciones y propiedades. Potencias y raíces de números reales.
1.3 Números complejos. Operaciones en forma binómica.
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Esquema conceptual
LÓGICA SIMBÓLICA

REALIDAD MENSURABLE

SISTEMA NUMÉRICO

NÚMEROS REALES

NÚMEROS COMPLEJOS

ÁLGEBRA
Introducción
En esta unidad se presenta una introducción a la lógica simbólica y se revisan los
conceptos necesarios para trabajar las principales operaciones en el campo de los números
reales y complejos, que ya se han visto en cursos de la escuela media.
Orientación del aprendizaje
Lea la introducción teórica de cada tema y desarrolle personalmente los ejemplos que
le siguen. Realice la ejercitación correspondiente.
Bibliografía de la unidad
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Como bibliografía se aconseja utilizar los textos de estudio del secundario, sin
destacar ninguno en particular.
Aprender a calcular con exactitud, operar símbolos con facilidad y aplicar con
seguridad las propiedades de los números reales y complejos es un objetivo fundamental
para el estudiante de Ciencias Naturales y de Ingeniería.
Contenidos
1.1 Proposiciones. Conectivos lógicos y tablas de verdad. Implicaciones y equivalencias
lógicas. Tautologías, contradicciones y contingencias. Argumentos y modos de
demostración.
1.1.1 PROPOSICIONES
Sin pretender dar una definición filosóficamente irreprochable, diremos que una
proposición es toda sucesión de palabras de la cual tiene sentido afirmar que es verdadera o
falsa. Así por ejemplo:
El sol es verde.
Un cuadrado es un rombo y un rectángulo.
(1)
(2)
son proposiciones: (1) es falsa y (2) es verdadera.
En cambio,
¡Venga!
¿Qué hora es?
(3)
(4)
no son proposiciones, pues no tiene sentido decir que sean verdaderas o falsas.
Se debe notar que cuando tiene sentido decir que una expresión es verdadera, también
tiene sentido decir que es falsa, y viceversa. Por ejemplo, si alguien afirmara que (1) es
verdadera, no diríamos que esta afirmación carece de sentido, sino simplemente, que no
corresponde a la realidad.
Dada una proposición, si es verdadera, diremos que su valor de verdad es V (inicial de
“verdad”) y si es falsa diremos que su valor de verdad es F (inicial de “falsedad”).
Por ejemplo, el valor de verdad de (1) es F y el de (2) es V.
Así como en álgebra elemental se usan letras tales como x, y, z, etc. para representar
números, también en lógica se usan letras tales como p, q, r, etc. para representar
proposiciones.
Por ejemplo en álgebra suele decirse:
“Sea x un número cualquiera”.
En lógica por analogía, se usan expresiones tales como:
“Sea p una proposición cualquiera”.
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Si x es una letra que se usa para reemplazar números, en álgebra tiene sentido escribir:
x=2
De igual manera, en lógica, si p es una letra que se usa para reemplazar proposiciones, tiene
sentido escribir:
p = El sol es verde.
1.1.2 CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD
Con los conectivos gramaticales
“y”, “o”, “no”, “si..., entonces..., ”
se forman a partir de proposiciones dadas otras más complejas. Recíprocamente, estos
conectivos nos permiten analizar ciertas proposiciones complejas expresándolas mediante
otras más simples conectadas por ellos.
Por ejemplo, la proposición
Un cuadrado es un rombo y un rectángulo.
Se puede escribir con las proposiciones
p = Un cuadrado es un rombo,
q = Un cuadrado es un rectángulo,
en la forma: p y q. Una proposición de este tipo se llama conjunción.
Además de conectar proposiciones, la palabra “y” tiene otros usos. Así la proposición “Jorge
y Raúl son hermanos” indica una relación entre Jorge y Raúl que no es reducible a una
conjunción. Esto muestra la necesidad de introducir un símbolo cuya única función sea la de
conectar proposiciones. Adoptaremos, entonces, para la conjunción el símbolo  . Con este
símbolo (2) se escribe: p  q.
Teniendo en cuenta todo lo anterior damos la siguiente definición:
Dadas dos proposiciones p, q, se llama conjunción o producto lógico de p y q, a la
proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas ambas por la palabra
“y”. Se indica p  q, y se lee p y q.
Una conjunción es verdadera si ambas componentes son verdaderas, y falsa en caso contrario.
Dadas dos proposiciones p, q, hay solamente cuatro conjuntos posibles de valores de verdad
que se les pueden asignar. Estos cuatro casos posibles y el valor de verdad de la conjunción en
cada uno de ellos se pueden expresar mediante una tabla llamada tabla de verdad de la
conjunción:
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p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p  q
V
F
F
F
Se puede considerar que esta tabla define el símbolo  , ya que explica cuáles son los valores
de verdad que asume p  q en todos los casos posibles.
La disyunción de dos proposiciones se forma enunciando una proposición a continuación de
la otra, unidas ambas por la letra “o”. El uso habitual de esta palabra es ambiguo, pues si, por
ejemplo, decimos:
Comenzaré a estudiar hoy o mañana
es obvio que queda excluida la posibilidad que se den ambas alternativas. En cambio, si
decimos:
Fort es el propietario o el gerente
no queda excluida la posibilidad de que se den ambas afirmaciones parciales, a saber:
Fort es el propietario
y
Fort es el gerente
O sea que el lenguaje habitual admite dos usos diferentes de la palabra “o” que llamaremos
exclusivo e inclusivo, respectivamente. Nosotros utilizaremos el uso inclusivo de la misma,
que formalizamos mediante la siguiente definición:
Dadas dos proposiciones p, q, se llama disyunción o suma lógica de p y q, a la
proposición que se obtiene enunciando q a continuación de p, unidas ambas por la palabra
“o”, considerada en su uso inclusivo. Se indica p  q, y se lee “p o q”.
De acuerdo con la definición anterior, una disyunción es falsa solamente si son falsas ambas
componentes, y es verdadera en todos los demás casos. Esto se puede expresar mediante una
tabla, llamada tabla de verdad de la disyunción:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
V
V
F
Al igual que para la conjunción, esta tabla se puede considerar como la definición del símbolo
.
Nos ocuparemos ahora de la negación de una proposición, considerando la siguiente
definición:
8
Dada una proposición p, se llama negación de p, a la proposición que se obtiene
colocando la palabra “no” y enunciando a continuación la proposición p. Se indica  p, y se
lee no p.
Por ejemplo, si consideramos la proposición (1)
p = El sol es verde.
su negación es
 p = No el sol es verde.
Este enunciado resulta chocante, al menos en idioma castellano. Por ello adoptaremos la
convención de aceptar como equivalentes enunciados tales como: “No el sol es verde”, “El sol
no es verde” y “El sol es no verde”. Es decir, cuando una proposición se exprese mediante
palabras, seguiremos los usos corrientes del idioma; pero cuando la proposición se de en
forma simbólica, por ejemplo mediante la letra p, formaremos su negación anteponiendo el
símbolo  en estricto acuerdo con la definición dada.
La negación de una proposición verdadera es falsa, y la negación de una proposición falsa es
verdadera. Esto se puede expresar mediante una tabla llamada tabla de verdad de la
negación:
p
p
V
F
F
V
la cual se puede considerar como la definición del símbolo  .
Conviene aclarar que es usual referirse a los símbolos  ,  ,  introducidos para la
conjunción, disyunción y negación, respectivamente, con el nombre de conectivos lógicos.
En lógica, los paréntesis se usan con el mismo sentido que en aritmética y en álgebra,
es decir, para indicar como deben agruparse los diferentes elementos de una fórmula. Por
ejemplo, en la expresión “3.(4+5)”, lo que está dentro del paréntesis se debe agrupar y
resolver antes de efectuar la operación de multiplicación indicada por el punto que se
encuentra fuera del paréntesis. Teniendo en cuenta que el resultado de lo que está dentro del
paréntesis es 9, la expresión dada también se puede escribir así: 3.9, lo cual da como resultado
final 27. En cambio si colocamos los paréntesis de este modo “(3.4)+5”, hay que resolver lo
que ahora se encuentra dentro del paréntesis, que es 3.4 = 12, y luego resolver la operación
exterior al paréntesis, que en este caso es la suma: 12+5=17. En resumen, tenemos dos
resultados diferentes, que dependen solamente del modo en que se han agrupado los
elementos mediante el uso de paréntesis:
3.(4+5) = 27
(3.4)+5 = 17
En matemática, es habitual, en el segundo de los casos, no escribir los paréntesis,
aunque se los sobreentiende; es decir, se suele escribir “3.4+5”en lugar de “(3.4)+5”. Esto no
es ninguna cuestión conceptual profunda, se trata solamente de una convención destinada a
simplificar la escritura.
En lógica la situación es similar: la expresión p  q  r es ambigua, ya que puede
significar la conjunción de p con la disyunción de q y r, o puede significar la disyunción cuya
primera componente es la conjunción de p y q, y cuya segunda componente es r.
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Distinguimos los dos sentidos diferentes agrupando la expresión dada, ya sea así:
p  (q  r), o así: (p  q)  r.
En expresiones más complejas, además de los paréntesis se usan corchetes y llaves.
Por ejemplo, si quisiéramos indicar la disyunción entre p  r y la conjunción de p con
(q)  t, escribiríamos:
 p  r 


p  [( q)  t ]
(1)
Ahora bien, cuando se está habituado al uso de paréntesis, la distinción entre paréntesis,
corchetes y llaves no es necesaria, y se usan solamente paréntesis. Así, la fórmula (1) se
escribe:



(2)
 p  r    p     q   t  
 


Con el fin de disminuir el número de paréntesis, convenimos en escribir q  t en lugar de
(q)  t, entendiendo que el símbolo  se aplica a q y no a la expresión completa q  t. Con
esta convención, (2) adopta la forma:


 p  r    p    q  t  



1.1.3 IMPLICACIONES Y EQUIVALENCIAS LÓGICAS
(Tema desarrollado por la Ing. Especialista Laura Vargas orientado a la materia Informática.)
Implicación
Un concepto fundamental de la lógica y de la matemática es el concepto de deducción
o implicación. En ésta la conexión de dos proposiciones p y q es tal que “si se cumple p se
cumple q”. Este tipo de implicación, que es la que estudiaremos, recibe el nombre de causal y
se puede pensar como un “compromiso”.
La relación “p implica a q”, o “q se deduce de p”, o “p sólo si q”, se anota p  q . El
conectivo lógico  se denomina implicación o condicional, p antecedente y q consecuente
de la implicación.
Establecemos la siguiente definición:
Dadas dos proposiciones p, q, se dice que p implica a q, o que q se deduce de p, si no
se verifica que p sea verdadera y q falsa.
Vemos que en la implicación si es verdadero el antecedente p y falso el consecuente q
estamos ante el único caso de falsedad. Podemos pensar que no se cumpe el “compromiso”. Si
es verdadero el consecuente q, en cambio, nada sabemos del antecedente p, puede o no ser
verdadero, por lo que el valor es “verdadero”. Finalmente es verdadero el valor cuando tanto p
como q son falsas.
Ejemplo
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Si llueve, voy al cine.
Donde
p=llueve
q=voy al cine
Se verifica su falsedad sólo si es verdadero que llueve y falso que esté en el cine,
puesto que afirmé que cuando llueve voy al cine. Se debe tener especial cuidado en evitar
confusiones con el lenguaje natural, donde hay ambigüedad y la expresión del ejemplo se
puede confundir con “sólo voy al cine cuando llueve”, en cuyo caso si estoy en el cine es
verdadero que llueve y no puede ser de otra forma. En cambio en nuestro ejemplo puede ser
que esté en el cine y haya sol, nada se afirma al respecto. También se observa que si no estoy
en el cine, seguramente no llueve.
La tabla de verdad de la implicación resulta entonces:
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
pq
V
F
V
V
Otros ejemplos:
Si cobro la herencia, pago la deuda.
p=cobro la herencia
q=pago la deuda
Si llueve el baile se suspende.
p= llueve
q=el baile se suspende
Si la oferta del producto sube, su precio baja.
p=sube la oferta del producto
q=baja el precio del producto
También se puede expresar:
Es suficiente que suba la oferta del producto para que su precio baja.
O bien:
El precio del producto baja si sube su oferta.
Cuando se tiene p  q , se dice también que p es condición suficiente para q, o bien
que se cumple q si se cumple p (q si p).
En la misma situación, es decir p  q , se cumple p sólo si se cumple q (p sólo si q),
se dice también que q es condición necesaria para p.
Implicación Directa, Recíproca, Contraria, Contrarrecíproca.
A partir de la implicación vista, llamada directa, surgen otras, de la siguiente manera:
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Directa:
pq
Recíproca
qp
Contraria
~p~q
Contrarrecíproca
~q~p
En matemática corresponden a los teoremas directo, recíproco, contrario o inverso y
contrarrecíproco respectivamente.
Se demuestra que cualquier implicación directa tiene la misma tabla de verdad que
la contrarrecípoca, es decir que son equivalentes. Si se verifica la directa se verifica la
contrarrecíproca, esto es: “si p entonces q” equivale a “si no es q entonces no es p”.
Veamos la tabla de verdad:
P
V
V
F
F
q
V
F
V
V
pq
V
F
V
V
~q
F
V
F
F
~p
F
F
V
V
~q~p
V
F
V
V
Ejemplo
Directa:
Si un número es racional, entonces es real (Verdadera).
Recíproca
Si un número es real entonces es racional. (Puede o no ser verdadera, depende del caso)
Contraria:
Si un número no es racional entonces no es real. (Puede o no ser verdadera, depende del
caso)
Contrarrecíproca
Si un número no es real, entonces no es racional (Verdadera)
Observación
Se debe observar que:
I)
Del hecho que p  q sea verdadera no se deduce necesariamente que su recíproca
o su contraria sean verdaderas. Pueden serlo o no, según el caso particular de que
se trate.
II)
De la veracidad de p  q se deduce necesariamente la veracidad de su
contrarrecíproca.
III)
De la veracidad de q  p se deduce necesariamente la veracidad de p  q .
12
En los teoremas HT (directo) siempre se verifica que TH.
Cuando esto último es lo que se prueba se dice que se usó el método de demostración por el
absurdo.
Equivalencia (o doble implicación o bicondicional)
Dadas dos proposiciones p, q, se dice que p es equivalente a q si se verifica p  q y
q  p . Se anota p  q . En tal caso, p es el primer miembro y q el segundo miembro de
la equivalencia.
Cuando se tiene p  q se dice que p es condición suficiente para q (se cumple q si se
cumple p) y que q es condición necesaria para p (p sólo si q) ahora para la equivalencia
p  q se tienen las siguientes expresiones sinónimas:
I)
II)
p es condición necesaria y suficiente para q
se cumple q si y sólo si se cumple p
Dadas dos proposiciones p, q, la proposición p es equivalente a q, que se anota
p  q , es por definición la siguiente: ( p  q )  ( q  p ).
La proposición bicondicional es verdadera si y sólo si ambas proposiciones p y q
tienen el mismo valor de verdad (o ambas son simultáneamente verdaderas o simultáneamente
falsas).
A partir de las tablas de verdad de la implicación y de la conjunción resulta la tabla de
verdad de la equivalencia:
p
q
pq
q p
 p  q  q  p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
La tabla buscada es:
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
pq
V
F
F
V
13
Ejemplos de relación de equivalencia:
Si r es una raíz del polinomio P(x) (o sea P(r) =0), entonces x-r es un factor de dicho
polinomio.
Si y sólo si llueve se suspende el baile.
Si y sólo si la nota obtenida en el examen es mayor o igual a 4 se aprueba.
Reglas de prioridad
La conexión
tiene siempre prioridad más alta. Por consiguiente p  q debe ser
comprendida como ( p)  q , y no como ( p  q) . En el caso de las conexiones binarias, la
prioridad más alta se le da a  , seguida por ,  y  , en ese orden. En la expresión
p  q  r , debe ser entendida como ( p  q)  r . Similarmente, p  q  r debe ser entendida
como p  (q  r ) , porque  toma prioridad sobre  . La conexión  recibe la prioridad
más baja, lo que implica que p  q  r debe entenderse como p  (q  r ) .
Las reglas que involucran prioridad son, por supuesto, conocidas por las expresiones
aritméticas. Por ejemplo, en el lenguaje de programación C++, * tiene prioridad sobre +, lo
que significa que a+b*c debe ser interpretado como a+(b*c) .
En algunas expresiones, las reglas de prioridad no son suficientes para eliminar todas
las ambigüedades. Por ejemplo, la expresión p  q  r podría ser comprendido como
p  (q  r ) o como ( p  q)  r . La interpretación utilizada depende de la asociatividad
de la conexión  . Generalmente,  es un operador, como lo son los operadores + y / en
C++. Todas las conexiones lógicas binarias son asociativas por la izquierda. Por consiguiente,
p  q  r debe ser comprendido como ( p  q)  r . Esto es consistente con lenguajes de
programación tales como C++, donde a/b/c se interpreta como (a/b)/c en vez de a/(b/c). Por
lo tanto, los operadores aritméticos binarios en C++ son también asociativos por la izquierda.
1.1.4 TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS
Consideremos las siguientes proposiciones:
Colón descubrió América.
(1)
Colón descubrió América o Colón no descubrió América.
(2)
Ambas son verdaderas. La verdad de (1) es un hecho empírico, que conocemos por la
investigación histórica. Esta proposición podría ser falsa si los acontecimientos históricos
hubieran sido diferentes. En cambio, (2) por su forma, es necesariamente verdadera; su verdad
es independiente de todo hecho empírico, y subsistiría cualquiera hubiera sido el curso de la
historia.
La proposición (2) resulta de reemplazar p por “Colón descubrió América” en la fórmula
p  p (3)
14
Ahora bien, cualquier reemplazo en (3) da una proposición verdadera; por ejemplo,
reemplazando p por “Soy el rey de Inglaterra”, se obtiene la proposición verdadera
Soy el rey de Inglaterra o no soy el rey de Inglaterra.
Una fórmula que sólo tiene ejemplos de sustitución verdaderos se llama tautología o verdad
lógica. Para probar que (3) es una tautología construimos la siguiente tabla de verdad:
p
V
F
¬p
F
V
p  p
V
V
La primera columna de esta tabla contiene los posibles valores de verdad de p, la segunda se
forma a partir de la primera tabla de verdad de la negación, y la tercera a partir de las
anteriores con la tabla de verdad de la disyunción. Como esta última columna contiene sólo
valores V, se tiene que todos los ejemplos de sustitución de (3) son verdaderos, lo cual
significa que (3) es una tautología.
Las siguientes equivalencias:
(( p  q))  (p  q)
(( p  q))  (p  q))
llamadas leyes de De Morgan, también son tautologías. Las mismas formulan las relaciones
entre la conjunción, la disyunción y la negación, motivo por el cual presentan especial interés.
Otras tautologías de interés, son las siguientes leyes distributivas :
( p  q)  ( p  r )  p  (q  r )
( p  q)  ( p  r )  p  (q  r )
Ejercicio: Demostrar, mediante tablas de verdad, que las fórmulas anteriores son verdades
lógicas.
Consideremos, ahora, las proposiciones:
Hernández escribió el Quijote de la Mancha
(4)
Hernández escribió el Quijote de la Mancha y Hernández no escribió el Quijote
de la Mancha
(5)
Ambas son falsas. La falsedad de (4) es un hecho empírico o contingente, en tanto la falsedad
de (5) es independiente de los hechos; es una falsedad necesaria, consecuencia de la forma de
(5). Esta proposición resulta de reemplazar p por “Hernández escribió el Quijote de la
Mancha” en la fórmula
(6)
p  p
Ahora bien, cualquier reemplazo en (6) da una proposición falsa.
Una fórmula que sólo tiene ejemplos de sustitución falsos se llama contradicción o falsedad
lógica. Para probar que (6) es una contradicción construimos la siguiente tabla de verdad:
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p
F
V
p
V
F
p  p
F
F
Como la última columna contiene sólo valores F, se tiene que todos los ejemplos de
sustitución de (6) son falsos, lo cual significa que (6) es una contradicción.
Las fórmulas que no son tautologías ni contradicciones se llaman contingencias. Una
contingencia es, por consiguiente, una fórmula que tiene entre sus ejemplos de sustitución
tanto proposiciones verdaderas como falsas. Así p  q, p  q y p  q son contingencias;
lo cual se puede ver por medio de sus tablas de verdad.
1.1.5 ARGUMENTOS y MODOS de DEMOSTRACIÓN.
ARGUMENTOS
Un argumento es una relación entre un conjunto de proposiciones p1 , p2, …, pn llamadas
premisas y otra proposición q llamada conclusión; denotamos un argumento por:
p1 , p2, …, pn  q
( se lee por lo tanto)
Se dice que un argumento es válido si las premisas dan como consecuencia la conclusión;
más formalmente:
Un argumento p1 , p2, …, pn  q es válido si q es verdadero cada vez que las premisas p1 ,
p2, …, pn sean verdaderas.
Un argumento que no es válido se llama falacia.
Ejemplo 1: El argumento p,
p  q  q es válido. Este argumento se llama modus ponendo
ponens, o más corto, modus ponens. La demostración de esta regla se obtiene directamente de
la tabla:
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
V
F
V
V
Observe que en la primera fila de la tabla q es verdadero cuando p y p  q
lo son; el
argumento es válido.
Es importante notar que prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos de
condicionales del tipo
(p1  p2  … pn)  q
16
A los p1  p2  … pn se les llama hipótesis y a q se le llama conclusión. Demostrar un
teorema significa probar que el condicional es verdadero. Observe que no se pretende
demostrar que q (la conclusión) es verdadero, sino que q será verdadero siempre que los p 1 
p2  … pn sean verdaderos. De aquí que las demostraciones matemáticas comienzan
frecuentemente con el enunciado “suponga que p1  p2  … pn son verdaderos” y concluye
con el enunciado “por lo tanto, q es verdadero”.
Cuando un condicional (p1  p2  … pn)  q es una tautología, entonces es siempre
verdadero, independientemente de los valores de verdad de los enunciados que componen los
q o de los pi . En este caso el argumento
p1 , p2, …, pn  q
p1
p2
.
.
.
Pn
___________
q
es universalmente válido, sin importar qué enunciados reales se sustituyan por las variables en
q y en los pi. La validez depende de la forma de los enunciados y no de sus valores de verdad.
Por ello estos argumentos universalmente válidos están representados por métodos generales
de razonamiento correcto, llamados reglas de inferencia. Los pasos de la demostración
matemática de un problema deberán seguirse de la aplicación de reglas de inferencia y una
demostración matemática debe iniciarse con la hipótesis, seguir a través de varios pasos, cada
uno justificado por alguna regla de inferencia, y llegar a la conclusión. El argumento p  q,
q  r  p  r es universalmente válido y por lo tanto es una regla de inferencia.
Damos a continuación algunas reglas de inferencia de gran utilidad:
1. p
pq
2. p q
p
3. p
p q
q
adición
simplificación
modus ponens
17
4. p  q
q
______
 p
modus tollens
5. p  q
p
q
silogismo disyuntivo
6. p  q
qr
 p  r silogismo hipotético
7. p
q
_____
pq
conjunción
1.1.6 CUANTIFICADORES
El objeto fundamental de la lógica no es tanto el estudio de la verdad o falsedad de las
proposiciones compuestas, como el de la validez o invalidez de los razonamientos deductivos.
La validez de cierto tipo de razonamientos no se puede estudiar considerando las
proposiciones que los integran como todos indivisibles, pues la misma depende de la
estructura lógica interna de las proposiciones no compuestas que dichos razonamientos
contienen. Es por ello que se crean técnicas para describir y simbolizar las proposiciones no
compuestas de manera que quede manifiesta su estructura lógica interna.
Entonces conviene que en las proposiciones separaremos los objetos o individuos de los
predicados o propiedades a ellos atribuidos, y que procuremos explicitar ambos con un
simbolismo adecuado.
Un predicado como
es azul
(1)
atribuido a objetos como
el sol, la luna, el hambre
(2)
da en algunos casos proposiciones
el cielo es azul, la luna es azul,
(3)
y en otros casos, expresiones que no son proposiciones:
el hambre es azul
(4)
Para describir en general situaciones como ésta, recurrimos a los métodos del álgebra.
18
Una expresión como
x+4=7
(5)
se llama ecuación, y no es una proposición, pues no tiene sentido afirmar que sea verdadera o
falsa, ya que “x” no tiene en ella un valor determinado.
La expresión (5) es un molde o esquema donde al reemplazar “x” por nombres de cosas, y si
las cosas son números se obtienen proposiciones. Por ejemplo, al reemplazar “x” por 4 y por 3
se obtienen las proposiciones
4+4=7
3 + 4 = 7,
(6)
de las cuales la primera es falsa y la segunda verdadera. Pero no se obtienen proposiciones al
reemplazar “x” por cosas distintas de números, por ejemplo “la luna”, en cuyo caso se obtiene
la expresión
la luna + 4 = 7
(7)
que no es una proposición.
De manera semejante, las proposiciones (3) y la expresión (4) se obtienen del esquema
x es azul
(8)
reemplazando x por los nombres de objetos (2). Al igual que (5), (8) no es una proposición
pues no puede decirse que sea ni verdadera ni falsa, ya que x no designa ningún objeto, sino
que es una simple señal puesta para marcar un lugar. Pero cuando se reemplaza x por el
nombre de un individuo o cosa de cierta clase o conjunto, (8) se transforma en una
proposición verdadera o falsa.
Todo esto nos lleva a la siguiente definición:
Se llama esquema proposicional en la indeterminada x, a toda expresión que contiene a “x”
y que posee la siguiente propiedad: existe por lo menos un nombre tal que la expresión
obtenida sustituyendo la indeterminada por dicho nombre, es una proposición.
Cuando no haya lugar a confusión, diremos simplemente “esquema” en lugar de “esquema
proposicional”. A las indeterminadas las llamaremos también variables o incógnitas, y a los
nombres de objetos particulares, constantes. Así, el “cielo”, “la luna”, “3”, son ejemplos de
constantes.
Es usual referirse a los esquemas proposicionales con el nombre de “funciones
proposicionales”.
Ejemplos
a)
x es interesante
es esquema, pues existe una constante, por ejemplo, “Este libro”, que colocada en lugar de la
variable produce la siguiente proposición:
19
Este libro es interesante
Que esta proposición sea verdadera o falsa dependerá de cuál sea el libro particular que se
esté señalando.
b)
¿Qué x es?
No es esquema, pues no hay ninguna constante que colocada en lugar de la variable produzca
una proposición. En efecto, en algunos casos se obtienen expresiones carentes por completo
de sentido, como
¿Qué 3 es?
y cuando se obtienen expresiones con sentido, tales expresiones son preguntas, como
¿Qué hora es?
¿Qué día es?
Las cuales no son proposiciones.
c)
xx
es esquema, pues cualquiera sea la constante que se coloque en lugar de la variable se obtiene
una proposición, siempre falsa.
d) x es un número impar
Es esquema.
Por analogía con lo que se hace en álgebra, utilizaremos símbolos como F(x), G(x),
E(x), P(x), etc. para designar esquemas proposicionales de incógnita x, también llamados
esquemas proposicionales en x; F(y), G(y), etc. para esquemas proposicionales de incógnita y,
también llamados esquemas proposicionales en y; etc.. Se lee: “F de x”, “G de x”, “F de y”,
“G de y”, etc.
Sea F(x) un esquema en “x “ y a una constante. Se dice que “a” satisface a F(x) si al
reemplazar la variable “x” por “a” se obtiene una proposición verdadera.
Ejemplo
Sea el esquema en x
F(x) = x es azul
La constante “el cielo” satisface a F(x) pues la proposición
F(el cielo) = el cielo es azul
es verdadera. En cambio, la constante “la luna” no lo satisface, pues la proposición
F(la luna) = la luna es azul
20
es falsa.
Teniendo en cuenta lo dicho para esquemas proposicionales con una sola
indeterminada, estamos en condiciones de definir qué se entiende por esquema proposicional
con varias indeterminadas.
Se llama esquema proposicional en las indeterminadas (o variables) x1........., xn , a toda
expresión que contiene dichas indeterminadas y que posee la siguiente propiedad: existen por
lo menos n constantes a1........., an , tales que la expresión obtenida sustituyendo las
indeterminadas x1........., xn , respectivamente por a1........., an , es una proposición.
Utilizaremos símbolos como F( x1........., xn ), G( x1........., xn ), etc. para designar
esquemas proposicionales en las indeterminadas x1........., xn .
Ejemplo:
F(x, y) = x es divisor de y
es un esquema o función proposicional con dos indeterminadas, el cual, para x = 2, y = 6,
produce la proposición
F(2,6) = 2 es divisor de 6. (V),
en cambio, para x = 12, y = 6, produce la proposición:
F(12,6) = 12 es divisor de 6. (F)
A partir de esquemas proposicionales es posible obtener proposiciones generales
mediante un proceso llamado cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos
los símbolos x y x, llamados cuantificadores universal y existencial en x,
respectivamente. Las expresiones
Para todo x, se verifica P(x).
Existe x, tal que se verifica P(x).
se denotan mediante:
x : P( x)
x | P( x)
y corresponden a una función proposicional P(x) cuantificada universalmente en el primer
caso, y existencialmente en el segundo. Una función proposicional cuantificada adquiere el
carácter de proposición. En efecto, considerando el siguiente ejemplo:
Todos los números enteros son pares.
21
es claro que hemos enunciado una proposición general y relativa a todos lo números enteros,
cuyo valor de verdad es F. Una traducción más detallada de esta proposición consiste en
decir:
Cualquiera que sea x, x es par.
x : x es par.
Es decir,
Si cuantificamos existencialmente la misma función proposicional, se tiene:
 x | x es par
O sea,
Existe x, tal que x es par.
O bien,
Existen enteros que son pares.
O más brevemente,
Hay enteros pares.
El valor de verdad es V, y en consecuencia se trata de una proposición. El
cuantificador existencial se refiere a, por lo menos, un x.
Es obvio que una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si
son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquélla. Para asegurar la verdad de una
función proposicional, cuantificada existencialmente, es suficiente que sea verdadera alguna
de las proposiciones asociadas a la función proposicional.
Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas.
La negación de
Todos los números enteros son pares.
es
No todos los enteros son pares.
es decir
Existen enteros que no son pares.
y en símbolos
x | P( x)
Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia
el cuantificador en existencial y se niega la función proposicional.
La negación de
Existen enteros que son pares.
es
No existen enteros pares.
es decir
Cualquiera que sea el entero, no es par.
o lo que es lo mismo
Todo entero es impar
y en símbolos
x : P( x)
22
Entonces para negar una función proposicional cuantificada existencialmente se
cambia el cuantificador en universal, y se niega la función proposicional.
Se tienen las siguientes equivalencias:
[x : P( x)]  x | P( x)
[x | P( x)]  x : P( x)
Ejemplo 1. Sea la proposición:
Todo el que la conoce, la admira.
Nos interesa escribirla en lenguaje simbólico, negarla, y expresar la negación en lenguaje
ordinario.
La proposición dada puede enunciarse.
Cualquiera que sea la persona, si la conoce, entonces la admira.
Aparece clara la cuantificación de una implicación de las funciones proposicionales
P(x) : x la conoce
Q(x) : x la admira
Se tiene
x : P(x)  Q(x)
Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente
y una implicación, resulta:
x | P(x)  ¬Q(x)
Pasando al lenguaje ordinario:
Hay personas que la conocen y no la admiran..
Ejemplo 2. Consideremos la misma cuestión en el siguiente caso:
Todo entero admite un inverso aditivo.
Es decir
Cualquiera que sea el entero, existe otro que sumado a él da cero.
Intervienen dos variables y la función proposicional
P(x, y) : x + y = 0
La expresión simbólica es entonces
x y | x + y = 0
Su negación es
23
x | ¬[y | x + y = 0]
Es decir,
x | y : x + y  0
su traducción al lenguaje ordinario es
Existe un entero cuya suma con cualquier otro, es distinta de cero. (F)
Ejemplo 3. Sea la proposición
Hay alumnos que estudian y trabajan.
Su enunciado sugiere un cuantificador existencial y dos funciones proposicionales:
P(x) : x estudia
Q(x) : x trabaja
En forma simbólica se tiene
 x | P(x)  Q(x)
Su negación es
 x : ¬[P(x)  Q(x)]
Considerando las leyes de Morgan
 x : ¬P(x)  Q(x)
Que en lenguaje ordinario se puede expresar como
Cualquiera que sea el alumno, no estudia o no trabaja.
24
1.2.1 Números reales. Operaciones y Propiedades.
Los procedimientos cuantitativos básicos de la ciencia comprenden las operaciones de
contar y medir. Contar significa caracterizar una colección o conjunto de objetos mediante un
número, en tanto que medir es asignar un número a alguna propiedad de un objeto. Las
nociones de “contar” y “medir”, al igual que la de conjunto, distan de ser conceptos simples.
Cada una de estas nociones ha sido objeto de muchos estudios en el campo de la metodología
científica. Lo importante para nosotros en el presente estudio es el hecho de que tanto
“contar” como “medir” conducen a números, y mediante el uso de números y conjuntos es
posible lograr una buena compresión de los fenómenos de la naturaleza.
Los niños aprenden primero a contar y se familiarizan con los números 1, 2, 3 ... (N).
En los primeros estudios, el niño aprendió a sumar, restar, multiplicar y dividir dos números
naturales. Aunque algunas divisiones, como 6:3 = 2 eran posibles, sin embargo fue necesario
pasar a nuevos números para darle sentido a expresiones como 7:2 y 3:5. Para salvar estas
situaciones, se introdujeron las fracciones y se desarrolló la aritmética de las fracciones.
Más adelante el joven estudiante se familiarizó con el cero y con los números
negativos tales como –7, -3, -5/3, etc., y aprendió a realizar operaciones con ellos. El conjunto
constituido por los enteros positivos y negativos y las fracciones positivas y negativas recibe
el nombre de conjunto de los números racionales (Q). La ventaja de utilizar este sistema en
vez de usar únicamente los números positivos consiste en que podemos restar cualquier
número racional de otro número racional. Si sólo dispusiéramos de los números positivos,
entonces 3-5, por ejemplo, carecería de significado.
Cuando se introducen los números irracionales tales como 2 y π se dice que estos
números no se pueden representar como fracciones ordinarias, sino que se escriben como
expresiones decimales infinitas, por ejemplo 1,4142... y 3,1415... Las expresiones decimales
de los números racionales también son infinitas, por ejemplo,
1/4 = 0,25000...
1/3 = 0,33333...
2 = 2.00000...
1/7 = 0,142857142857...
Estas últimas expresiones, sin embargo, se repiten periódicamente a partir de alguna
cifra, mientras que las correspondientes a los números irracionales no tienen esta propiedad.
El conjunto de todos estos números, los racionales y los irracionales, constituyen el conjunto
de los números reales (R). Podemos decir entonces, que un número real es un número que
se puede representar por una expresión decimal infinita.
Si “a” y ”b” son dos números reales cualesquiera, se pueden establecer las siguientes
operaciones en el conjunto de los números reales (R):
Adición
Multiplicación
Sustracción
División
:
:
:
:
ab
a.b
a b
a : b , si b  0
25
Dos símbolos, a y b , que representan números reales, son números iguales si y
solamente si representan el mismo número real.
Si a, b y c representan números reales y si a  b , entonces
ac bc
a.c=b.c
(supuesto c  0 )
ac  bc
a/c b/c
1.2.1.1. Propiedades operativas de los números reales
I.
II.
III.
IV.
V.
La adición y la multiplicación son operaciones conmutativas; esto es, si a y b son dos
números reales cualesquiera:
ab  ba
a.b=b.a
La adición y la multiplicación son operaciones asociativas; esto es, si a , b y c son
números reales :
(a + b) + c = a + (b + c)
a . (b . c) = (a . b ) . c
La multiplicación distribuye sobre la suma; esto es, si a , b y c son números reales:
a . (b + c) = a . b + a . c
El número real “0” es el elemento neutro en la adición; es decir, si “ a ”es un número
real cualquiera:
a0  a
El número real “1” es el elemento neutro en la multiplicación; es decir, si “ a ”es un
número real cualquiera:
a.1=a
Dado un número real “ a ”; existe un número real que se denota con “- a ”, que se llama
“opuesto de a ” y tal que:
a  ( a )  0
Dado un número real “ a ” diferente de cero, existe un número real que se denota “ a 1 ”
(o también 1/a) que se suele llamar “inverso de a “ y tal que:
a . a-1 = 1
Además es una consecuencia de las propiedades anteriores el hecho de que cualquiera
sea el número real “ a ”:
a.0=0
Si “ a ” y “ b ” son números reales y a . b = 0 , entonces  a  0  o  b  0  .
El conjunto de números reales es un conjunto totalmente ordenado, esto es, dados
dos números reales distintos se puede establecer cuál es el mayor. Utilizando el lenguaje de
las desigualdades podemos expresar que para cada par de números reales a y b, es verdadera,
una, y solamente una de las proposiciones
ab
ab
ab
Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de
una recta (la recta numérica), de modo que a cada número real le corresponde un punto de la
recta, y a cada punto de la recta le corresponde un número real.
1.2.2. Potencias y raíces de números reales
1.2.2.1. Potencias de números reales.
Definimos las “potencias” de un número real “ a ” de la siguiente forma:
26
a1  a ;
a2  a1  a  a  a ;
a3  a 2  a  a  a  a ;
En general, si “n” es un número natural:
(n factores)
an  a  a  a...a
es decir que el símbolo “ a n ” (que se lee: potencia enésima de “ a ”) significa el producto de
“n” factores iguales a “a”.
El número “ a ” se llama “base” y el número “n”, “exponente” de la potencia. La
potencia 2 de un número se llama su “cuadrado” y la potencia 3 su “cubo”.
Para todo número real “ a ” distinto de cero el concepto de potencia se amplía con
las definiciones siguientes:
1
(P: número natural)
a 0  1; a   
a
No damos significado alguno al símbolo 00.
Si la base “ a ” es un número real no nulo, la potenciación queda así definida para
todo exponente entero.
1.2.2.2 Propiedades de la potenciación
Sean a , b ; números reales no nulos; m, n: números enteros,
1.
Producto y cociente de potencias de igual base:
an  am  a nm
a n / a m  a n m
2.
Potencias de productos y cocientes:
a / bn  a n / b n
(a  b)n  a n  bn
3.
Potencias de potencias:
(a n )m  a nm
Observación: La potenciación no es asociativa, es decir, en general
c
a (b ) no es igual a (ab )c
c
c
Usamos el símbolo a b para indicar el número a (b ) .
1.2.2.3. Raíces de números reales
Si “n” es un número natural y “b” un número real positivo, existe un único número
real positivo “a” tal que: a n  b.
El número “a” se llama la raíz enésima de “b” (o también la raíz enésima aritmética de “b”) y
se denota con el símbolo n b .
n
b a
es equivalente a
an  b
El símbolo n
se llama “radical”; el número “n” se llama “índice” y el número “b”
“radicando”. Para n = 2, 3, 4, 5,... se dice que “a” es la raíz cuadrada, cúbica, cuarta, quinta,
etc.; para n = 1 se tiene a = b; para n = 2 es costumbre suprimir el índice y escribir:
2
b
b.
en vez de
1.2.2.4. Propiedades de las raíces aritméticas.
1.
Producto y cociente de radicales del mismo índice
n
a  n b  n a b
27
a / n b  n a/b
n
 a
n
En particular:
2.
m
 n am
Radicales superpuestos:
m n
3.
a  mn a  n m a
Se puede multiplicar por el mismo número natural el índice del radical y el exponente
del radicando:
n
am 
n p
a m p
Esta propiedad permite:
a) simplificar un factor común al índice del radical y exponente del radicando;
b) reducir varios radicales al mismo índice.
Ejemplo 1
6
a4  3 a2
Ejemplo 2
3
Los radicales
30
a ; 6 b ; 15 c se expresan también, respectivamente, en la forma:
a10 ; 30 b5 ; 30 c 2
Observaciones
1)
Si “n” es impar , la raíz aritmética a  n b es el único número real tal que a n  b . Si
“n” es par, el número a   n b tiene la misma propiedad; se llama la raíz enésima
negativa de “b”.
2)
A menudo se usa el símbolo n afectando a un número negativo; por ejemplo:
3
8; 4
etc., en general:
b
siendo b positivo.
Si el índice “n” es impar existe un único número real cuya potencia enésima es igual a “b”, es el número
n
c
n
b
Ejemplo
3
8   3 8  2
28
Si el índice “n” es par el radical no tiene sentido.
Es importante destacar que para estas expresiones no son válidas, en general, las
propiedades de los radicales aritméticos.
Ejemplos
3
1)
8
no es igual a
3
8   3 8  2
6
 8
2
4
 1
2
 8
2
 6 64  2
4
2)
6
 1

4
2
no es igual a
 1
1  1
1
3)
no tiene sentido.
4)
Si “m” y “n” son números naturales y “a” es un número real positivo, se definen las
potencias de exponente p = m/n; -p = -m/n por medio de las fórmulas:
 2   2  4  2
no tiene sentido.
 2   2
am / n  n am
1
am / n  m / n
a
es decir, que a m / n es otra notación para la raíz enésima aritmética de “ a m ”.
Es importante observar que a m / n depende del número racional “ p  m / n ” y no de la fracción
que lo representa. Si se tiene: m / n  r / s (ó, equivalentemente: m  s  n  r ) resulta:
a m / n  n a m  ns a ms
a r / s  s a r  ns a nr
Por la igualdad m  s  n  r resulta:
ns
a ms  ns a nr
y por lo tanto
am / n  ar / s
Las propiedades de la potenciación que hemos enunciado para exponentes enteros
resultan válidas para exponentes racionales cuando la base es un número real positivo.
La notación a m / n no se extiende al caso en que “a” es un número negativo puesto que,
en este caso, puede tenerse a m / n  ar / s , como vimos anteriormente, siendo m / n  r / s . Por
ejemplo:
1/ 3
2/ 6
 8   8
1.3. NÚMEROS COMPLEJOS
Hay muchos problemas que no se pueden resolver en el conjunto de los números
reales. Por ejemplo, con sólo los números reales no podemos resolver
x2  1
29
Para buscar una solución a esta dificultad introducimos un nuevo símbolo, i , que por
definición, es tal que i 2  1 .
Después, escribimos expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales, y
a estas expresiones las llamamos números complejos. El número a es la parte real de
a
+ bi, y b es la parte imaginaria. Para poder manejar estas expresiones como números,
debemos definir con ellas las operaciones aritméticas usuales.
Definiciones
Las operaciones aritméticas en el conjunto de los números complejos se definen así:
Igualdad:
a  bi  c  di
Adición:
 a  bi    c  di    a  c    b  d  i
Multiplicación:
 a  bi    c  di    ac  bd    bc  ad  i
si y solamente si
ac y bd
Obsérvese que la definición de multiplicación es consistente con la propiedad asignada a i, a
saber, i 2  1 .
En efecto, si multiplicamos  a  bi    c  di  usando el álgebra ordinaria, obtenemos
ac  i  bc  ad   i 2  bd  . Ahora, cuando sustituimos i 2 por –1, llegamos a la fórmula de la
definición.
Ejemplo 1
a.
b.
c.
d.
 3  6i    2  3i   5  3i
 7  5i   1  2i   6  3i
 5  7i    3  4i   15  41i  28i 2  15  28  41i  13  41i
 2  3i    1  4i   2  11i 12i 2   2  12  11i  10  11i
También debemos considerar la división. Queremos expresar 1/  a  bi  como un
número complejo. El mejor modo de conseguirlo es utilizar el número complejo conjugado
a  bi .
Definición de conjugado
Los números complejos a  bi y a  bi se llaman conjugados.
Ahora escribimos:
1
1 a  bi a  bi
a
bi


 2
 2
 2
2
2
a  bi a  bi a  bi a  b
a  b a  b2
que es el número complejo igual a 1/  a  bi  . Extendiendo este método podemos calcular
cualquier cociente de la forma general  a  bi  /  c  di  :
a  bi  a  bi    c  di   ac  bd    bc  ad  i  ac  bd   bc  ad  i


 2
 2
c  di  c  di    c  di 
c2  d 2
c  d2
c  d2
30
División: Para calcular el cociente
 a  bi  /  c  di  ,
multiplicamos el numerador y el
denominador por el número complejo conjugado c  di y simplificamos el resultado.
Ejemplo 2
4i
4  i 2  3i  4  i  2  3i  5  14i 5 14

g


  i
2  3i 2  3i 2  3i  2  3i  2  3i 
13
13 13
Por último, resolveremos algunas ecuaciones que contienen números complejos. El siguiente
ejemplo sugiere el método general.
Ejemplo 3
Resolver
 x  yi  2  3i   4  i .
Podríamos resolver la ecuación escribiendo
x  yi   4  i  /  2  3i 
y calculando a continuación el cociente indicado en el miembro de la derecha. Sin embargo,
utilizaremos otro procedimiento. Si efectuamos la multiplicación en el miembro de la
izquierda obtenemos
 2 x  3 y    3x  2 y  i  4  i
Según nuestra definición de igualdad de dos números complejos, las partes reales de ambos
miembros han de ser iguales y, del mismo modo, las partes imaginarias también han de serlo.
Por lo tanto,
2x  3 y  4
 3x  2 y  1
Resolvemos estas ecuaciones simultáneas multiplicando por 3 la primera ecuación y por 2 la
segunda y sumando las dos ecuaciones,
6 x  9 y  12
 6 x 

4y
2
13 y  14
14
13
Multiplicamos por 2 la primera ecuación y por –3 la segunda ecuación y sumando las dos
ecuaciones:
4x  6 y  8

y

9x
 6 y  3

13x
5
5
13
Este método, que consiste en igualar las partes reales e imaginarias, es de gran importancia en
la aplicación de los números complejos a la ingeniería.
x

Otra introducción
31
Nuestra definición de números complejos carece de recursos intuitivos. Dijimos que no existe
ningún número real x tal que x 2  1 , pero, sin embargo, introdujimos i dotado de esta
propiedad.
¿Qué es, pues, i? Tanto inquietó esta pregunta a los matemáticos que al fin, dieron a i el
nombre de número imaginario y a a  bi el de número complejo, para indicar el contraste con
los otros números de nuestro sistema, que son reales. Nuestro propósito actual es iniciar un
nuevo desarrollo de los números complejos de una manera lógica y fuera de lo imaginario.
Definiciones
Número complejo
Un número complejo es un par ordenado de números reales (a, b)
Parte real de un número complejo
El número complejo (a, 0) se llama parte real del número complejo (a, b).
Veremos que, de una manera natural, se pueden identificar los pares (a, 0) con los
números reales a.
Número imaginario puro
Un número complejo de la forma (0, b) se llama número imaginario puro.
La aritmética de los números complejos viene dada por las siguientes definiciones básicas.
Definiciones
Igualdad
Dos números complejos (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a  c y b  d .
Adición
(a, b)  (c, d )  (a  c, b  d )
Multiplicación
(a, b)  (c, d )  (ac  bd , bc  ad )
Es evidente que existe una correspondencia biunívoca entre, los números complejos (a, 0) y
los números reales a, que está definida por
(a,0) 
a .
Esta correspondencia es particularmente útil porque en ella las sumas corresponden a las
sumas y los productos corresponden a los productos. Esto es:
(a, 0)  (c, 0)  (a  c, 0) (a, 0)  (c, 0)  (ac, 0)
b
a
b

c
b

a

b
c
a
b

c
b

ac
32
Este tipo de correspondencia se llama isomorfismo y decimos que el conjunto de los números
complejos (a, 0) es isomorfo al conjunto de los números reales a, con respecto a la adición y a
la multiplicación. Se justifica así la identificación de los dos sistemas. En consecuencia,
podemos decir que (a, 0) es un número real cuando no exista motivo de confusión.
Adición
:
Multiplicación
:
 0, b    0, d    0, b  d 
 0, b    0, d    bd ,0
Es importante observar que el producto de dos números imaginarios puros es un número real.
En particular,
 0,1   0,1   1,0
Recordemos ahora que lo que motivó nuestra introducción de los números complejos fue,
precisamente, la imposibilidad de resolver la ecuación x2  1 dentro del conjunto de los
números reales.
Veamos ahora como la introducción de los números complejos nos permite resolver esta
ecuación. Conforme con el isomorfismo, la ecuación
 x, y 
2
  x, y    x, y    1,0 
 x, y    0,1 es una solución de esta ecuación, ademas se puede
 x, y    0, 1 es otra solución. Por consiguiente, nuestra introducción de los
Según hemos visto,
comprobar que
números complejos nos permite resolver ecuaciones de este tipo que no tienen solución en los
números reales.
Para completar nuestra discusión necesitamos mostrar la correspondencia entre nuestras dos
definiciones de los números complejos. Antes de entrar en esa discusión, señalaremos las
siguientes identidades:
 0, b    b, 0    0,1
 a, b    a, 0    b, 0    0,1 
Como ejercicio verifique las identidades anteriores.
Ahora estableceremos la siguiente relación entre las dos notaciones:
Notación (a,b)
Notación a + bi
Números Reales
(a,0)
a
Unidad Imaginaria
(0,1)
i
Utilizando las identidades anteriores podemos, ahora, deducir las correspondencias :
Notación (a,b)
Notación a + bi
33
Imaginarios Puros
(0,b)
bi
Números Complejos
(a,b)
a + bi
De estas correspondencias se deduce que las reglas que rigen la igualdad, la adición y la
multiplicación de los números complejos en notación a  bi , que fueron establecidas como
definiciones anteriormente, concuerdan con las correspondientes definiciones en
notación  a, b  .
1.3.1. Representación gráfica de los números complejos
Eje imaginario
A diferencia de los números reales, los números complejos no se pueden representar, de una
manera aceptable, como puntos de una recta. Por la misma razón no podemos definir la
noción de desigualdad entre dos números complejos.
Si queremos representar gráficamente los números complejos, el procedimiento más
conveniente es asociarlos biunívocamente con los puntos del plano.
Para ello, medimos la parte real a de a  bi a lo largo del eje horizontal (o eje real) y la parte
imaginaria b a lo largo del eje vertical (o eje imaginario).
De esta manera establecemos una correspondencia biunívoca entre los números complejos y
los puntos del plano.
0
a
a+bi
b
Ejereal
1.3.2. Clasificación de los números
El siguiente esquema muestra las diferentes clases de números y las relaciones que existen
entre ellas.
34
Números naturales
Enteros
Números
racionales
Números
reales
b=0
Números
complejos
a + bi
Cero
Enteros negativos
Fracciones
Números
irracionales
Números
imaginarios
puros
a=0
b=0
1.4. Ejercitación de la Unidad
Ejercicio 1
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones?
a) ¿Es esto verdadero?
b) Ana es un nombrec) 8 es primo.
d) 8 no es primo.
R: a) no es una proposición, pero b), c) y d), lo son.
Ejercicio 2
Asigne las constantes lógicas V o F a las siguientes proposicionesa) 7 es par.
b) Carlos Paz es una ciudad.
c) Argentina es una ciudad.
R: a) F. b) V. c) F.
35
Ejercicio 3
Identifique todas las proposiciones simples en las siguientes oraciones, y abrévielas con
símbolos tales como p, q, r. Entonces convierta las oraciones al cálculo proposicional.
a) Si Carlos está en la casa entonces Raúl debe de estar en la casa también.
b) El auto que escapó era rojo o marrón.
c) Las noticias no son buenas.
d) Estarás a tiempo sólo si te apuras.
e) Él vendrá si tiene tiempo.
f) Si ella estaba allí, entonces debió haber oído.
R: a) p: Carlos está en la casa. q: Raúl está en la casa. p  q
b) p: El auto que escapó era rojo. q: El auto que escapó era marrón. p  q
c) p: Las noticias son buenas.  p
d) p: Llegarás a tiempo. q: Te das prisa. p  q
e) p: Vendrá. q: Tiene tiempo. p  q
f) p: Estaba allí. q: Lo oyó. p  q
Ejercicio 4
Inserte paréntesis dentro de las expresiones siguientes, de tal manera que se elimine la
ambigüedad sin usar las reglas de prioridad.
a) p  q  r  p
b) p  r  q   r
c)  ( p1  p2)   q  p1
d) p  q   q   p
R:
a) (( p  q )  r )  p
b) (( p  r )  q )   r
c) ( ( p1  p2))  (( q )  p1)
d) ( p  q )  (( q )   p)
36
Ejercicio 5
Construya las tablas de verdad para las siguientes expresiones:
a)  ( p   q )
b)  ( p   q )
R:
a)
P
q
 p
 q
 p q
 ( p   q )
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
P
q
 p
 q
 p q
 ( p   q )
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
b)
Ejercicio 6
En los siguientes problemas muestre en cada caso si el argumento dado es válido:
a) p  q, q  p
b)  p  q, q  p
c) p   q,  r   q  p   r
d) Si 6 es par, entonces 2 no divide a 7. O 5 no es primo, o 2 divide a 7. Pero 5 es primo.
Por lo tanto, 6 es impar.
e) Si trabajo, no puedo estudiar.
O trabajo, o paso apruebo Matemática.
37
Aprobé Matemática.
Por tanto, estudié.
Respuestas: a) Si. b) No. c) No. d) Si. e) No.
Ejercicio 7
En los siguientes problemas efectúe la demostración requerida:
a) Demuestre que p  q implica lógicamente a p  q.
b) Demuestre que p  q implica lógicamente a p.
Respuestas:
a)
p
q
pq
pq
(p  q)  (p  q)
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
Tautología
b)
p
q
pq
(p  q)  p
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
Tautología
38
Ejercicio 8
1
1 4  
9 
 16     5
  3

27
32 
3
 
R  3
Ejercicio 9
1
3
2
 1 9 
 1  3 8   8  5 32 

  
  
 
 2 
 6   3 
R
7
8
Ejercicio 10
3
1
1

1
1  3  1 

 
 64 
 5

2
3
1

343
R
13
42
Ejercicio 11
2
 2  1 1   2  1 3 
 2      5    
 3   
 3  

3

61 
  1  2  
2 

R
139
3
Ejercicio 12
1

9 
2 1

 1  
16 
3 6


34  33
R
1
63

1 
 0, 25  0,3    1  0,36  3
5
64

R
4
45
Ejercicio 13
1
5
39
Ejercicio 14
2
2

1
  0, 4

 
4
3
   3   0, 2   
:


3
  0, 2  3 1  0, 784  
 5 




R
74
5
Ejercicio 15
Dar un número racional comprendido entre cada uno de los pares de números siguientes:
Nota: la respuesta no es única
R
17
24
R
3
10
2
3
a.
y
3
4
1
2
b.  y 
5
5
c.   3 y
15
100
R  100  285 / 200
Ejercicio 16
Escriba dos números racionales comprendidos entre
2 3
y .
5 5
1 9
R ,
2 20
Ejercicio 17
Escriba los siguientes números como cociente de dos enteros:
R
a. 3,242424...
321
99
R
b. 0,555...
R
c. 0,142857142857...
5
9
142857
999999
40
Ejercicio 18
Un alumno obtuvo 9, 7 y 6 de calificación en sus tres primeras evaluaciones de Álgebra. ¿Qué
calificación debe obtener en la cuarta evaluación para que su promedio sea 8?
R = 10
Ejercicio 19
Un granjero distribuyó cierto número de hectáreas de tierra entre sus tres hijos. Marta recibió
2/3 de la tierra distribuida, Jorge 4/7 de lo que quedó y por último Raúl se quedó con lo
restante, 18 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas obtuvo Marta?
R = 84 hectáreas
Ejercicio 20
1
1
Una persona caminó cierta distancia, trotó 2 2 la distancia que caminó y corrió 2 2 veces la
distancia que trotó. Si en total recorrió 2.340 metros, ¿Cuánto caminó?
R = 240 metros
Ejercicio 21
Encontrar la suma o diferencia de los números complejos siguientes:
 3  6i   8  i  
R  11  5i
13  4i    25  6i  
R  12 10i
8  2i    6  20i  
R  2  18i
  6  5i    7  3i  
R  1  8i
  4  3i    3  7i  
18  13  2i  
(14  11i)  13i 
R  1  10i
R  5  2i
R  14  2i
Ejercicio 22
Encontrar el producto de los números complejos siguientes:
 2  5i  3  i  
R  11 13i
41
 4  11i  6  i  

7 i

R  35  62i

7 i 
R 8
 4  2i  4  2i  
R  20
9  4  6i  
 7i  3  6i  
R  36  54i
R  42  21i
 4i  9i  
R  36
Ejercicio 23
Encontrar el cociente de los números complejos siguientes:
(3  2i) /(4  3i) 
R
(14  3i) /(2  i) 
(18  i)
25
R  5  4i
(6  2i) /(3  2i) 
R
(22  6i)
13
3i /(5  4i) 
R
(12  15i)
41
(4  2i) / 7i 
R
(2  4i)
7
En los ejercicios 22 al 23 iguálense, separadamente, las partes reales y las partes imaginarias
para hallar los valores de x e y.
Ejercicio 24
 x  iy  3  2i   4  i
R:x 
10
11
, y
13
13
R:x 
4
17
, y
15
15
Ejercicio 25
 x  iy  6  3i   5  6i
42
Ejercicio 26
 x  iy  4  7i   16  3i
R:x 
17
20
, y
13
13
En los ejercicios 25 al 27 comprobar que el número complejo dado satisface la ecuación dada.
Ejercicio 27
x2  2 x  5  0
1  2i;
Ejercicio 28
x2   7  3i  x  10  11i   0
3  2i;
Ejercicio 29
x2   7  3i  x  10  11i   0
4  i;
En los ejercicios 28 al 30 utilícese la notación (a, b), para realizar las operaciones indicadas.
Ejercicio 30
 6, 2  1, 4 
R   7, 6 
Ejercicio 31
 6,1   3, 2 
R  16,15
Ejercicio 32
(3,2) /(1,1) 
5 1
R   , 
2 2
1.5. Ejercicios suplementarios – Unidad 1
Ejercicio 1
2
 1 1  10
   : 
3
 2 5
R
10
3
Ejercicio 2
3 1 1 3

  
5 25  5  5
R 1
43
Ejercicio 3
 1 1 7
 2  5  : 40 


R2
Ejercicio 4
2
 4
16
1 



 
25
225 
 9
R
49
25
Ejercicio 5
 4
2 


 15 
9 
 25
R4
Ejercicio 6
2
 1 1
1     
 2  3
2

R2
Ejercicio 7
2
 1 1 13   3  2 1  
      :    
 3 2 6   5  5 4 
2
R5
Ejercicio 8
1
3
3 2 
   : 1   
 2 7   17 
R 1
Ejercicio 9
3 3
19 2
 
 
4 2
25 5
R
9
10
44
Ejercicio 10
2
1
 6 1 1
1
 1
2
       3          2  
 3 2 5
2
 2
R  14
Ejercicio 11
Grafique los siguientes números sobre una recta y ordénelos de menor a mayor:
4
0 2 3 2 6
; 2; ; ; ; ; .
5
3 3 4 7 7
Ejercicio 12
Escriba:
3 4
y
5 5
1 3
b.
4 números racionales comprendidos entre y
3 4
1 5
c.
5 números racionales comprendidos entre y
5 6
Ayuda: es conveniente reducir primero a común denominador.
a.
3 números racionales comprendidos entre
Ejercicio 13
Realizar cada una de las siguientes operaciones:
a.
 4  3i    2i  8
b.
c.
d.
e.
f.
3  1  4i   2  7  i 
 3  2i  2  i 
 i  2 2 1  i   3  i 1
2  3i
4i
 4  i  3  2i 1  i 
g.
2  i 3  2i 1  2i 
1  i 2
h.
 2i  1
i.
2i 
 4



 1 i 1 i 
i 4  i 9  i16
2  i 5  i10  i15
2
1  i   2 1  i 
3
2
3
1  i 
1  i 
2
j.
R  4  i
R  17  14i
R  8i
R  9  7i
R
11 10
 i
17 17
R  21  i
R
15
 5i
2
R
11 23
 i
2 2
R  2i
3
R  3  2i
45