A(25, 35, 30)mm

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Unidad No 2 Teoría de las proyecciones
Geometría:
La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades
y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos
aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o
axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman
cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas,
curvas y puntos, entre otras.
Geometría descriptiva
La geometría descriptiva es la ciencia de representación gráfica, sobre superficies
bidimensionales, de los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y
planos.
Algunos elementos geométricos son:
 Circunferencia: es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la
misma distancia de otro punto.

Circulo: Un círculo es una superficie plana limitada por una circunferencia.

Polígonos: Un polígono es una figura geométrica formada por segmentos
consecutivos no alineados, llamados lados y pueden ser polígonos regulares e
irregulares.
Nosotros trabajaremos solamente con polígonos regulares, como por ejemplo:
triangulo equilátero, cuadrado y otros.

Polígonos regulares: Los polígonos regulares son los que tienen los lados y los
ángulos iguales, y además se pueden circunscribir o pueden estar inscritos en una
circunferencia.

Circunscrito: limitado a un espacio determinado.

Fig. 1
Inscrito: cuando una figura geométrica se dibuja dentro de otra forma geométrica.


Fig. 2
Sólido: cuerpo tridimensional, es decir, que tiene volumen, nosotros en este curso
trabajaremos con sólidos rectos.
Sólidos rectos: es cuando la base del sólido y el eje son perpendiculares, es decir
forman 90º, nosotros trabajaremos con los siguientes sólidos:
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Prisma, pirámide, cono y cilindro.
 Poliedros: Un sólido con lados planos.
 Axonometría: es un tipo particular de representación que tiene, las mismas
pretensiones que las proyecciones ortogonales: permite, por lo tanto, la
representación sobre un plano de un objeto tridimensional
logrando una
identificación precisa de las formas y de las dimensiones del objeto , la
representación axonométrica se compone de una sola imagen, en la cual se
sugiere con claridad el aspecto volumétrico del objeto representado.
 Perspectiva axonométrica: representa elementos geométricos o volúmenes en un
plano, mediante proyección ortogonal ,en un triedro trirrectagulo donde el dibujo
está referido a tres ejes ortogonales de las forma que conserven sus proporciones
en las tres direcciones del espacio altura, ancho y longitud.
Ejemplos: perspectiva caballera, cuando uno de los ángulos entre los ejes forma 90º
perspectiva isométrica cuando el angulo entre cada eje es de 120º


Fig. 3
Trazas: Son líneas rectas que representan la intercepción de planos auxiliares
con los planos principales de proyección.
Abatimiento: Método que se usa para determinar la verdadera magnitud de un
elemento geométrico a partir de sus proyecciones.
Importancia de la Geometría Descriptiva.
En el caso de la geometría descriptiva puede englobar trabajos como bosquejos o
croquis, esquemas, diagramas, planos eléctricos y electrónicos, representaciones de
todo tipo de elementos mecánicos, planos de arquitectura, urbanismo etc.; Ya que esta
tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del espacio por medio de
operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de los sólidos; de
manera que estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea. Toda
disciplina que requiera la representación de elementos en una superficie plana (papel)
encontrará, en la Geometría Descriptiva, un gran aliado.
Teoría de las proyecciones.
Típicamente los Ingenieros idean y proyectan maquinas, estructuras, dispositivos y
dirigen su construcción, por tanto deben prepararse descripciones que enseñen cada
detalle o aspecto en cuanto a forma y tamaño.
Debido a esta necesidad, las ideas se describen por su proyección, es decir, por la
formación de una imagen sobre un plano, utilizando los rayos o líneas visuales que van
en una dirección particular desde el objeto a dicho plano.
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Definición de Proyección.
Es la vista del punto, línea o cuerpo, que las líneas visuales generan sobre el plano de
proyección.
La proyección es un procedimiento descriptivo que permite representar sobre un plano
de proyección todos los puntos destacados de un objeto espacial, es decir los puntos que
pertenecen al objeto son imaginados por un observador y proyectados mediante líneas
rectas imaginarias van a incidir sobre una superficie plana anterior o posterior al objeto,
la cual se denomina plan de proyección.
La imagen reproducida sobre el plano de proyección, se llama proyección del objeto.
Tipos de Proyecciones.
 Proyección Cónica:
en este sistema el centro de proyección está situado a una distancia finita del objeto,
por lo tanto los rayos proyectantes son divergentes, las líneas visuales parten de un
punto fijo (ojo humano, lámpara), y la trayectoria que describen al pasar por el objeto
es cónica.
Fig. 4. Proyección cónica
 Proyección Paralela o Cilíndrica:
En este sistema de proyección, el observador está ubicado a una distancia infinita del
objeto, por lo que los rayos proyectantes son paralelos entre si, pudiendo interceptar el
plano en forma oblicua o perpendicular.
1. Proyección paralela Oblicua o caballera: cuando las líneas proyectantes
interceptan oblicuamente al plano de proyección
Fig. 5. Proyección Oblicua
2. Proyección paralela Ortogonal: cuando las líneas proyectantes interceptan el
plano perpendicularmente, es un sistema de proyección común en la
representación industrial, por la simplicidad de construcción y las propiedades de
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la proyección paralela que aseguran conservación de las relaciones dimensionales
naturales del objeto,
La proyección ortogonal tiene dos formas de representarse: en vistas múltiples y
en proyección axonometría.
Fig. 6. Proyección ortogonal
Sistemas Espaciales y sus planos ortogonales.
Fig. 7. Sistema espacial.
Sistemas de Proyección.
Por normalización han sido enumerados I,II,II,VI, en sentido contrario a las agujas del
reloj.
Igualmente existen dos planos bisectores (también indefinidos) que dividen a cada
cuadrante en dos partes dando origen a los octantes.
Fig. 8. Planos bisectores
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Las normas internacionales utilizan generalmente sus proyecciones en el primer
cuadrante ISO E y tercer cuadrante ISO A.
El primer cuadrante corresponde al sistema europeo Norma DIN (ISO E), consiste en
colocar el sólido a proyectar entre el observador y los planos de proyección.
Planos Abatidos.
Rebatimiento: Rebatir un plano (a), consiste en girarlo a través de una de sus rectas
características, la cual actúa como una “bisagra”, hasta hacerlo coincidir con uno de los
planos principales de proyección.
La proyección se realiza sobre tres planos, el vertical, horizontal y lateral, el plano lateral
resuelve el problema de exactitud, entrando en un campo tridimensional, donde el
objeto ocupará un solo espacio ,determinado por los tres planos, se denomina
proyección triédrica.
El tercer cuadrante corresponde al sistema Americano Norma DIN (ISO A), consiste
en colocar el plano de proyección entre el observador y el objeto a proyectar.
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Considerando las normas DIN se empleara el primer cuadrante para realizar las
proyecciones en este curso.
 Elementos de la proyección Ortogonal
PV : Plano horizontal
PH : Plano vertical
PL : Plano Lateral
LT : Línea de Tierra
LP: Línea de Pliegue
LI: Línea de intersección
dl : distancia del objeto al plano lateral (Se aleja del plano lateral)
c : cota, distancia del objeto al plano horizontal (Se aleja del plano horizontal)
av: alejamiento vertical , distancia del objeto al plano vertical.(Se aleja del plano
vertical)
Los planos PV, PH, PL son los planos de proyección donde se representa las vistas del
objeto.
El punto.
Punto: Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por
lo tanto carece de forma y dimensiones.
Proyección del punto:


Paso 1: determinar los planos de proyección.
Paso 2: Se grafica el punto a través de la triada distancia lateral, cota y
alejamiento vertical.
El primer punto que aparece en la triada es la distancia lateral (dl) y se mide
desde el origen sobre la línea de tierra, hacia la izquierda.
Luego está la cota , la cual se mide sobre la línea de pliegue
Seguidamente sobre la línea de intersección ( LI) hacia la derecha se mide el
alejamiento vertical (av), y también hacia abajo.
Ejemplo:
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Las coordenadas de un punto se expresan siempre en orden y separadas por una coma
(,). Por ejemplo, la notación A(25, 35, 30)mm, identifica a un punto (A) con las
siguientes coordenadas:



25 mm. ésta medida se llama distancia lateral (dl) y se ubica sobre la línea de tierra
hacia la izquierda a partir del origen .
35 mm. ésta medida se llama cota (C) y se mide hacia arriba, sobre la línea de
pliegue.
30 mm. ésta medida se llama alejamiento vertical y se mide sobre la línea de
intersección hacia la derecha y hacia abajo.
Fig. 12
Posición Relativa:
 Cuando el punto pertenece a un plano:
Pertenece al PV: el alejamiento vertical del punto es igual a cero, la proyección vertical
Av coincide con el punto A, la proyección horizontal Ah, estará sobre la LT y la
proyección vertical (Al) estará sobre la línea de pliegue. Ejemplo
Fig. 13
Pertenece al PH: la cota del punto será igual a cero, la proyección horizontal Ah coincide
con el punto A, la proyección vertical Av estará sobre la línea de tierra y la proyección
lateral estará sobre la línea de intersección. Ejemplo
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Fig. 14
Pertenece al PL: la distancia lateral del punto es igual a cero, la proyección lateral AL
coincide con el punto, la proyección vertical Av estará sobre la línea de pliegue de PV y
PL, y Ah estará sobre la línea de interseccion entre PL y PH

Cuando el punto está sobre la línea de tierra. Ejemplo:
Fig. 15
Fig. 16
También el punto puede pertenecer a las líneas de pliegues.
La recta.
Línea Recta:
Las proyecciones de una línea recta quedan definidas por las proyecciones homónimas
de dos de sus puntos A y B, la unión de las proyecciones de esos puntos mediante una
línea recta permiten obtener las proyecciones vertical, horizontal y lateral de la porción
de la línea recta r, representada por el segmento de recta AB.
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Fig. 17
Proyecciones de una recta
Posiciones relativas de la recta:
 Cuando la recta pertenece a un plano
Pertenece al PV: todos los puntos de esa recta tienen sus alejamientos iguales a cero.
Fig. 18
Pertenece al PH: todos los puntos de esa recta tienen las cotas iguales a cero.
Pertenece al PL: todos los puntos de esa recta tienen las distancias laterales iguales a
cero.
 Cuando la recta esta perpendicular a un plano:
Perpendicular a PV: para que la recta cumpla esta condición, todos los puntos deben
tener, igual cota, igual dL y será paralela a PH y a PL.
Su proyección p’ es perpendicular a LT y p’’ es un punto que coincide con la traza de la
recta.
Fig. 19. Recta perpendicular a PV
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Perpendicular PH: para que la recta cumpla esta condición, todos los puntos deben
tener, igual alejamiento y igual dL, y será paralela a PV y PL.
Tiene traza con PH. Su proyección Pv es perpendicular a LT y Ph es un punto que
coincide con la traza de la recta.
Fig. 20. Recta perpendicular a PH
Perpendicular a PL: para que la recta cumpla esta condición, todos los puntos deben
tener, igual cota e igual alejamiento vertical, y será paralela a PV y PH.
Fig. 21 .Recta perpendicular a PL
 Cuando la recta esta paralela a un solo plano:
Paralela a PV: todos los puntos de esta recta tienen iguales alejamientos verticales, pero
diferentes cotas y distancias laterales, lo que indica que es oblicua respecto a PH y a PL.
tiene traza con el plano horizontal. En su representación diédrica f’’ forma ángulo con LT
y f’ es paralela a LT
Fig. 22. Recta paralela a PV
Paralela a PH: todos los puntos de esta recta tienen iguales cotas pero diferentes
alejamientos y distancias laterales, lo que indica que esta oblicua con respecto a PV y PL.
Tiene traza con el plano vertical. En su representación diédrica h’ forma ángulo con LT y
h’’ es paralela a LT
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Fig. 23. Recta paralela a PH
Paralela a PL: Todos los puntos de esta recta tienen iguales distancias laterales pero
diferentes cotas y alejamientos, lo que indica que esta oblicua respecto a PV y a PH.
tiene trazas con PH y PV. Sus proyecciones p’ y p’’ son perpendiculares a LT. Para
conocer su inclinación se necesita el plano de perfil PP
Fig. 24. Recta paralela a PL

Cuando la recta esta oblicua a los tres planos: Todos los puntos de esa recta
tienen las cotas, los alejamientos y las distancias laterales diferentes.
Fig. 25. Recta oblicua a los tres planos de proyección

Cuando la recta pertenece a LT: todos los puntos de esas rectas tienen las
cotas y los alejamientos iguales a cero, pero diferentes distancias laterales
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Trazas de una recta:
Se denomina trazas a los puntos de intersección originados por la línea recta al
atravesar los planos de proyección. Así la recta AB origina los puntos H y V, el punto H
es la traza horizontal y el punto V es la traza vertical.
Determinar las proyecciones de una recta conocida sus trazas: Como sus trazas son dos
puntos en cada plano de proyección, por cada punto se traza una recta que debe llegar
hasta la LT en forma perpendicular, determinándose así la proyección vertical Hv de la
traza horizontal y la proyección horizontal de Vh de la traza vertical, sobre la línea de
tierra.
Uniendo con una línea los puntos V con Hv, se construye la proyección vertical y H con
Vh se construye la proyección horizontal.
Fig. 26. Trazas de una recta
Fig. 27. Proyección de las trazas
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Fig. 28. Proyección de la recta.
El plano.
Es una superficie formada por el movimiento de una línea recta directriz inmóvil
(Bogoliubov 1988, p. 68)
Representación de un plano
La posición de un plano en el espacio en el espacio queda determinada de acuerdo a las
siguientes condiciones:
Y también la representación descriptiva del plano viene dado por las proyecciones de:
 Por tres puntos no colineales.
 Por una recta y un punto exterior a ella
 Por dos rectas que se cortan
 Por dos rectas paralelas.
Fig. 29. Representación de planos.
Trazas: son la intersección de un plano auxiliar con los planos de proyección, las trazas
tienen un punto común sobre la línea de tierra, se llama punto de intersección de las
trazas (PIT) basta con dos trazas para representar a un plano, las líneas de la figura que
está a la derecha representan las trazas del plano auxiliar que está a la izquierda.
Trazas del Plano
Fig. 30. Representación de trazas
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cuando un plano se ve de filo se dice que está de canto.
Posiciones relativas de un plano.
 Cuando el plano auxiliar es paralelo a uno de proyección.
Paralelo a PV: perpendicular a PH y a PL, por eso se ve como una línea recta en PH y
PL.
Traza
Fig. 31. Plano auxiliar // a PV
Paralelo a PH: necesariamente es perpendicular a PV y a PL, por eso se ve como una
línea recta en PV y en PL
Traza
Fig. 32. Plano auxiliar // a PH
Paralelo a PL: es perpendicular a PV y a PH, por eso se ve como una línea recta en PV y
en PH.
Traza
Fig. 33. Plano auxiliar // a PL
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Cuando el plano auxiliar es perpendicular a uno de proyección.
Perpendicular a PV: el plano esta oblicuo a PL y a PH
Traza
Fig. 34. Plano auxiliar perpendicular a PV
Perpendicular a PH: El plano esta oblicuo a PV y a PL
Traza
Fig. 35. Plano perpendicular a PH
Perpendicular a PL:
Traza
Fig. 36. Plano perpendicular a PL
Cuando el plano auxiliar es oblicuo a los tres planos de proyección.
Fig. 37. Plano auxiliar oblicuo a los planos de proyección.
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Razonamientos sobre puntos, rectas y planos geométricos.
1.- El comportamiento de un punto depende de sus coordenadas o triadas, la
coordenada más pequeña nos dirá a que plano de proyección está más cercano dicho
punto.
2.-Si una de las coordenadas vale cero (0)mm, entonces el punto pertenece (Є) al plano
de proyección que corresponde con dicha coordenada.
3.- Si dos triadas valen cero, entonces el punto Є al eje (línea) donde se interceptan los
dos planos involucrados.

LT: Línea de tierra, hay dos:
- una que resulta de la unión de PV con PH
- y otra que resulta de la unión de PL con PH, esta puede llamarse línea de
intersección.
LP: Línea de pliegue. resulta de la unión de PV con PL.
4.- Si todas las triadas valen cero entonces el punto Є al origen.
5.-Si dos triadas tienen el mismo valor, pero a su vez son distintas de cero Є al alguno
de los bisectores:
P (a, b, b) , Є al 1er bisector
P (b, a, b) , Є al 2do bisector
P (b, b. a) , Є al 3er bisector
6.- El comportamiento de una recta, viene dado por sus puntos extremos, es decir, si
tienen iguales o diferentes triadas.
7.- Una recta está paralela (ll) a un plano de proyección, si sus puntos tienen idéntico
valor en la triada correspondiente a dicho plano de proyección.
8.- Una recta está oblicua (/_ ) a un plano de proyección , si sus puntos tienen diferente
valor en la triada correspondiente a dicho plano de proyección.
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9.- Una recta esta perpendicular ( l ) a un plano de proyección, si y solo si, está paralela
a los otros dos planos de proyección.
10.- La proyección de una recta, dependerá siempre de cómo esté con respecto al plano
de proyección. Si está paralela ( ll) su proyección estará en Verdadera magnitud (VM). Si
está oblicua ( /_ ) , su proyección será de menor tamaño, y si está ( l ) su proyección
será un simple punto.
11.- Una recta puede Є a un eje o a un plano de proyección, si sus dos puntos también
Є al elemento espacial, pero nunca podrá Є al origen pues no sería una recta.
12.- El comportamiento de un plano geométrico, viene dado por la combinación de todos
sus puntos, es decir, si tienen iguales o diferentes triadas.
13.- Un plano podrá Є a un plano de proyección, si todos sus puntos también Є a ese
plano de proyección. pero nunca podrá Є al origen o a uno de los ejes, pues ya no seria
un plano.
14.- Un plano está paralelo ( ll ) a un plano de proyección si sus puntos tienen el mismo
valor en la triada correspondiente a dicho plano de proyección.
15.- Un plano está oblicuo a un plano de proyección, si sus puntos tienen al menos un
valor diferente en la triada correspondiente a ese plano de proyección.
16.- Cuando un plano esta ll a un plano de proyección, entonces está perpendicular a los
otros dos.
17.-La proyección de un plano, dependerá de cómo esté con respecto al plano de
proyección. Se está ll, su proyección su proyección estará en verdadera magnitud (VM).
Si está oblicuo, su proyección será de menor tamaño y si esta perpendicular, su
proyección será una recta.