Números Complejos

Números Complejos
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Números naturales: útiles para contar cosas
N={ 0, 1, 2, … }
Pero con ellos no podemos resolver la ecuación:
X+5=2
Números Complejos
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Entonces inventamos los números enteros:
Z = {…-2, -1, 0, 1, 2, … }
Sin embargo, con ellos no podemos resolver la
ecuación:
5x = 2
Números Complejos
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Entonces inventamos los números racionales
Q, como la fracción:
p/q
con p y q números enteros (q distinto de cero)
Sin embargo, hay números que no son
racionales, como
Números Complejos
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Entonces inventamos los números reales, R
Sin embargo, no podemos resolver la ecuación:
?
No hay un número real cuyo cuadrado sea -4 !
Números Complejos
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Entonces inventamos los números complejos
Por supuesto, los números complejos no sólo
sirven para resolver ecuaciones como la del
ejemplo anterior. Los números (funciones)
complejos tienen muchas aplicaciones, en
particular, en física
Un sólo ejemplo:
Números Complejos
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A esta nuevo conjunto de números complejos
nos gustaría imponer, tantas como sean
posibles, propiedades de los números que ya
conocemos.
Por ejemplo:
Números Complejos
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Por lo tanto, postulamos que i se comporta
como un número real en operaciones tales
como la adición y la multiplicación.
Con la única nueva característica que:
Números Complejos
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Definición formal: definimos los números
complejos como un par ordenado (x,y) de
números reales:
Álgebra de números complejos
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Dos números complejos:
y
son iguales si y sólo si
e
Álgebra de números complejos
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Adición y multiplicación
Sean
y
dos números complejos.
Definimos la adición
como
y el producto
Álgebra de números complejos
O bien,
Y para el producto:
Álgebra de números complejos
●
Como mencionamos, varias propiedades
algebraicas de los números complejos son las
mismas de los números reales.
Ejemplos:
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Propiedad conmutativa
Álgebra de números complejos
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Propiedad asociativa
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Identidad aditiva
donde
Álgebra de números complejos
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Identidad multiplicativa
donde 1=(1,0)
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Inverso aditivo: para cada
aditivo
z hay un inverso
Álgebra de números complejos
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Para cada número complejo z (no nulo) existe
un inverso multiplicativo
tal que
con
tenemos que
Álgebra de números complejos
●
Si
entonces
o ambos son cero.
o
,
Álgebra de números complejos
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La división de dos números complejos se
define como
Álgebra de números complejos
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Complejo Conjugado
Definimos el complejo conjugado de un número
complejo
como:
Álgebra de números complejos
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Ecuación de Euler
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Teorema de “de Moivre”
Definimos la función valor principal de Ln(z), ln(z),
restringiendo el argumento de z en el intervalo:
Ejemplo: evaluar Ln(-i)
es decir
Mientras que el valor principal es:
Ejemplo: simplifique la expresión
Usando que
tenemos
Por lo tanto:
z es real!
Funciones hiperbólicas
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Algunas identidades
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Funciones hiperbólicas inversas
Sea
entonces
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