Experimentación F´ısica I - Federación Colombiana de Squash

Experimentación Fı́sica I
Revisión y modificación
diego peña lara
orlando zuñiga escobar
universidad del valle
facultad de ciencias naturales y exactas
departamento de fı́sica
2 011
ÍNDICE GENERAL
Prólogo a la edición revisada
ii
Prólogo a la primera edición
iii
1. La calidad del dato en fı́sica experimental y su interpretación en la toma de decisiones
1
2. Medición de tiempos
3. Determinación de la constante
22
π
27
4. Medición de la gravedad
35
5. Carril de aire y fotodetector
43
6. Determinación experimental de una trayectoria
50
7. Colisiones
55
8. Coeficiente de fricción
61
9. Fuerzas concurrentes
66
10.Comportamiento de la energı́a mecánica
72
11.Energı́as potencial gravitacional y cinética
80
12.Péndulo balı́stico
85
13.Momentos de fuerzas
91
14.Movimiento rotacional
96
15.Movimiento de rotación y traslación
102
A. Manejo cronómetro programable (Aslab)
A-1
B. Métodos de análisis gráfico
B-1
C. Método de mı́nimos cuadrados
C-1
i
Prólogo a la edición revisada
experimentación fı́sica I ha sido sometido a una revisión exhaustiva corrigiéndose los errores
tipográficos y ortográficos que han sido señalados por varios estudiantes y profesores que han seguido
la guı́a, sin embargo siguen algunos que esperamos sean reportados a la dirección electrónica
[email protected]
En esta edición revisada, debido a los equipos que dispone el Departamento de Fı́sica, se ha
implementado la siguiente metodologı́a:
Los laboratorios 1, 2, 3 y 4 pueden ser realizados por todos los grupos. A partir del laboratorio
5 hasta el laboratorio 15 se realizaran en forma cı́clica, e.d., el Grupo 1 realizara el laboratorio 5,
el Grupo 2 el laboratorio 5, hasta completar el grupo 7 el laboratorio 11, el próximo laboratorio del
Grupo 1 será el 12, el Grupo 2 será 13 y ası́ sucesivamente.
En caso que haya bloqueos, los laboratorios se aplazaran para la semana siguiente.
Se ha tratado de hacer la guı́a lo más clara posible, sin embargo, se recomienda que las dudas
o partes no claras sean enviadas al correo arriba mencionado para lograr el objetivo de tener pocos
errores y sea legible.
El objetivo sigue siendo el mismo de la primera edición.
Se ha introducido tareas de preparación al laboratorio para que cada Grupo tenga una idea de
lo que va a realizar. Estas tareas sonde carácter obligatorio y su no presentación da derecho a que
el profesor no lo deje realizar el laboratorio correspondiente y teniendo una nota de cero punto cero
(0,0).
Diego Peña Lara
Orlando Zuñiga Escobar
ii
Prólogo a la primera edición
Esta versión de las guias son las de 2 001 adaptadas para la reforma de 2 003. Estas guı́as de prácticas
fueron diseñadas para ser utilizadas en la asignatura experimentación fı́sica i para estudiantes
de los programas de estudio de la Facultades de Ciencias (Matemáticas y Quı́mica) e Ingenierı́a.
Las prácticas tiene en común el que están basados en diferentes conceptos y principios de mecánica,
y tienen por objetivo global mejorar la comprensión de estos conceptos y facilitar al estudiante el
desarrollo de habilidades experimentales, tanto manipulativas como de interpretación y análisis de
datos.
Las guı́as son resultado de muchos años de experiencia que tiene el Departamento de Fı́sica en la
docencia para los estudiantes de los cursos básicos de fı́sica de toda la Universidad. El acelerado avance
de las ciencias y la tecnologı́a, y la consiguiente necesidad de adecuar nuestros procesos docentes, han
motivado a los profesores del Departamento a efectuar la modernización. Ası́ pues, en la elaboración
de estas guı́as no sólo está plasmado el esfuerzo de los pioneros del Departamento de Fı́sica, sino
también de todos aquellos colegas que han tenido a su cargo esta asignatura durante los últimos años.
Los editores de este material les agradecen por sus invaluables aportes. Ası́ mismo agradecen a los
asistentes de docencia, técnicos de laboratorio y estudiantes por sus observaciones y sugerencias, que
han tenido en cuenta hasta donde ha sido posible.
La metodologı́a a seguir en el laboratorio es la siguiente:
1. Se conforman grupos de prácticas estudiantes. La duración de la práctica es de tres horas (a
menos que su profesor indique otra cosa), al final de la cual el grupo de práctica entrega un
informe en donde se registran los datos experimentales, gráficas y los cálculos solicitados.
2. Las primeras sesiones serán exclusivos para estudiar el texto introducción general a los
laboratorios de fı́sica y para realizar los talleres sobre medidas y errores.
3. Cada sesión de laboratorio trabaja con un máximo de 10 grupos de práctica, esto es, se realizan
en cada sesión 10 prácticas. No todas las prácticas son idénticas, esto significa que hay una
programación para cada grupo.
4. Cada uno de los estudiantes debe traer preparados los temas sobre los cuales trata el experimento.
5. Su profesor puede indicar modificaciones al procedimiento experimental o de análisis de datos,
agregar o suprimir preguntas para responder en el informe, etc.
6. Es obligatoria la asistencia a todas las sesiones.
iii
CAPÍTULO
1
La calidad del dato en fı́sica experimental y su interpretación en la
toma de decisiones
Tarea de preparación
Las siguientes observaciones referentes a ángulos (dados en minutos de arco), se refieren al medir el
espesor de una pelı́cula de helio lı́quido. Suponga que las observaciones reflejan incertidumbre al azar
y que son una muestra de un universo de Gauss.
34
38
33
38
38
36
35
47
36
32
40
40
45
36
43
38
48
40
40
38
43
40
39
36
46
34
37
33
32
34
1. Dibuje el histograma de las observaciones.
2. Identifique la moda y la mediana.
3. Calcule la media.
4. Calcule la mejor estimación de la desviación estándar del universo.
5. Calcule la desviación estándar de la media.
6. Calcule la desviación estándar de la desviación estándar.
7. a) Dentro de qué lı́mites hay una probabilidad del 68 % de que esté incluido una observación
particular? b) ¿Qué lı́mites dan una probabilidad del 95 %?
8. Dentro de qué lı́mites la media tiene a) una probabilidad del 68 %. b) Una probabilidad del 95 %
de estar incluida.
9. Dentro de qué lı́mites la desviación estándar de la muestra tiene a) una probabilidad del 68 %.
b) Una probabilidad del 95 % de estar incluida.
10. Calcule el valor de la constante h en la ecuación de la distribución gaussiana.
11. Si hubiera obtenido una observación individual de 55 en el conjunto, ¿se decidirı́a por aceptarla
o rechazarla?
1
2
12. Tome dos muestras escogidas al mazar, de cinco observaciones cada una, del conjunto principal
de observaciones. Calcule las medias y desviaciones estándar de lasa muestras para ver como se
relacionan entre sı́ y con los valores más precisos obtenidos del grupo total.
13. Si el experimento requiere que la desviación estándar de la media no sobrepase el 1 % del valor
de la media, ¿cuántas observaciones se requiere hacer?
14. Si la desviación estándar de la distribución del universo ha de definirse dentro del 5 %, ¿cuántas
observaciones deberán efectuarse?
3
1. Introducción a la experimentación en Fı́sica
1.1 Objetivos
1.1.1 Objetivo general
✔ Potenciar en el estudiante la actitud ante la toma y calidad de datos experimentales como un
instrumento esencial para el entendimiento de la Fı́sica Experimental.
1.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Familiarizar al estudiante en la importancia de la calidad en la toma de datos experimentales.
✓ Presentar criterios orientadores sobre el análisis de los datos experimentales.
✓ Ofrecer elementos que ayuden a la toma de decisiones sobre fenómenos observados, equipos
utilizados y análisis de datos procesados.
1.2 Introducción
La Fı́sica Experimental requiere una visión complementaria de por lo menos tres ejes temáticos (fig.
1.1):
➛ Manejo conceptual de términos fı́sicos.
➛ Manejo adecuado de equipos o instrumentos.
➛ Análisis de datos y toma de decisiones.
El eje Conceptos fı́sicos contiene tanto los conceptos fı́sicos como los modelos propuestos para
explicar un fenómeno, p. ej., para la caı́da libre debe ser claro los conceptos de posición, velocidad,
aceleración y el modelo propuesto es aquél donde sólo actúa el peso (constante) y la fricción se
desprecia.
Conceptos fı́sicos
Análisis
de
datos
Manejo de equipos
Figura 1.1: Visión complementaria de la Fı́sica Experimental.
El eje Manejo de equipos contiene el uso adecuado de los instrumentos de medición (conocer su
manejo y su precisión) y los métodos de medición (cuántas veces se mide y con que criterio, sensibilidad
del instrumento).
El eje Análisis de datos contiene algunos conceptos de la estadı́stica descriptiva y probabilidad
para tener el criterio de reportar y justificar los resultados de las mediciones.
El fundamento esencial en la interpretación de un fenómeno observado es la importancia en la
toma y la calidad de los datos experimentales.
En ciencias e ingenierı́a, el concepto de error tiene un significado completamente diferente al de
su uso habitual (equivalente a equivocación). error está asociado al concepto de incertidumbre en
la determinación del resultado de una medición. Lo que se espera en toda medición es conocer las
4
cotas (o lı́mites probabilı́sticos) de estas incertidumbres. Gráficamente, se busca establecer un intervalo
x − Δx ≤ x ≤ x + Δx como el de la fig. 1.2, donde con cierta probabilidad, se pueda decir dónde
se encuentra el mejor valor de la magnitud x. Este mejor valor x es el más representativo de nuestra
medición y al semiancho Δx lo denominamos la incertidumbre o error absoluto de la medición.
[
x − Δx
|
x
]
x + Δx
x
Figura 1.2: Intervalo asociado al resultado de una medición. En lugar de dar un único número, se define un
intervalo.
1.3 Medición
La medición es el proceso por el cual cuantificamos una propiedad o atributo del mundo sensible,
esto es, intentamos, aunque nunca con éxito total, representar dicha propiedad mediante un número
real, acompañado de la especificación de la unidad de medida. Las mediciones de magnitudes como
longitud, área, volumen, tiempo y masa han sido realizadas por el hombre desde tiempos remotos.
En una medición directa se compara una magnitud fı́sica1 con una unidad patrón, o unidad,
en cambio para una medición indirecta se obtiene como resultado de algunos cálculos realizados
con magnitudes medidas directamente. En la tabla 1.1 se ilustra las magnitudes fı́sicas fundamentales
con su unidad y su sı́mbolo, según el SI y reglamentado por la Norma Técnica Colombiana Oficial
Obligatoria 1 000, NTC. (Resolución No 005 de 95-04-03 del Consejo Nacional de Normas y Calidades).
Magnitud
longitud
masa
tiempo
temperatura
corriente
eléctrica
intensidad
luminosa
cantidad de
substancia
Unidad
metro
kilogramo
segundo
kelvin
Sı́mbolo
m
kg
s
K
ampère
A
candela
cd
mol
mol
Tabla 1.1: Unidades fundamentales del SI.
En todo proceso de medición se introducen errores debido a las limitaciones dadas por los instrumentos usados, al método de medición y al observador (u observadores) que realizan la medición. Por
ejemplo, cuando se usa un termómetro para medir una temperatura, parte del calor del objeto fluye al
termómetro (o viceversa), de modo que el resultado de la medición es un valor modificado del original
debido a la inevitable interacción que se debe realizar. Es claro que esta interacción podrá o no ser
significativa: Si al medir la temperatura de un metro cúbico de agua, la cantidad de calor transferida
al termómetro puede no ser significativa, pero si lo será si el volumen en cuestión es de una pequeña
fracción del mililitro.
Los instrumentos tienen una precisión finita, por lo que, para un dado instrumento, siempre hay una
variación mı́nima de la magnitud que puede detectar. Esta mı́nima cantidad se denomina apreciación
nominal del instrumento. Por ejemplo, con una regla graduada en milı́metros, no podemos detectar
variaciones menores que una fracción del milı́metro.
1 Atributo de un cuerpo, sustancia o fenómeno, que puede determinarse cuantitativamente, es decir, es un atributo
susceptible de ser medido.
5
A su vez, las magnitudes a medir no están definidas con infinita precisión. Imaginemos que se quiere
medir el largo de una mesa. Es posible que al usar instrumentos cada vez más precisos empecemos a
notar las irregularidades tı́picas del corte de los bordes o, al ir aun más allá, finalmente detectemos la
naturaleza atómica o molecular del material que la constituye. Es claro que en ese punto la longitud
dejará de estar bien definida. En la práctica, es posible que mucho antes de estos casos lı́mites, la falta
de paralelismo en sus bordes haga que el concepto de la ((longitud de la mesa)) comience a hacerse
cada vez menos definida, y a esta limitación intrı́nseca se denomina incertidumbre intrı́nseca o
falta de definición de la magnitud en cuestión.
Además de la precisión en los instrumentos, se tiene la exactitud de los mismos, ası́ p. ej., un
tornillo micrométrico (con una apreciación nominal de 10 μm) es más preciso que una regla graduada
en milı́metros (con una apreciación nominal de 1 mm) o un cronómetro es más preciso que un reloj
común, etc. La exactitud de un instrumento se asocia a la calidad de calibración del mismo, ası́ p.
ej., si un cronómetro (con una apreciación nominal de 1 s) se adelanta un minuto cada hora, mientras
que un reloj común no lo hace, se dice el cronómetro es todavı́a más preciso que el reloj común, pero
menos exacto. En general los instrumentos vienen calibrados dentro de ciertos limites. Es deseable
que la calibración de un instrumento sea tan buena como la apreciación del mismo. La fig. 1.3 ilustra
de modo esquemático estos dos conceptos.
precisión
(b)
(a)
exactitud
(c)
(d)
Figura 1.3: Ilustración esquemática de los conceptos de precisión y exactitud, la dispersión de los puntos da
una idea de la precisión, mientras la diana está asociado a la exactitud. (a) Preciso pero no exacto. (b) Exacto
y preciso. (c) Ni exacto ni preciso. (d). Exacto pero no preciso.
1.4 Cifras significativas
Al medir con una regla común (graduada en milı́metros), podemos decir, p. ej., que la longitud L de
una barra es de 64, 2 ± 0, 1 cm, en otras palabras, se está diciendo que estamos seguros de los dos
primeros dı́gitos: el 6 y el 4, pero puede haber un error en el último, el 2, ya que éste podrı́a ser 1 o
3. Se Dice que la medición tiene tres (3) cifras significativas. El número de cifras significativas
de una medida es igual número de dı́gitos seguros más el dı́gito dudoso contenidos en el resultado de
la medición que están a la izquierda del primer dı́gito afectado por el error, incluyendo este dı́gito.
El primer dı́gito, o sea el que está más a la izquierda, es el más significativo (6 en nuestro caso) y el
último (más a la derecha) el menos significativo (el 2), ya que es en él que tenemos ((menos seguridad)).
Nótese que carece de sentido incluir en nuestro resultado de L más cifras que aquellas en donde no
se tiene seguridad, es decir, no podemos reportar una medida de L = 64, 213 ± 0, 1 cm con una regla
común, ya que tenemos una incertidumbre de 1 milı́metro (0, 1 cm). Si el valor de L proviene de un
promedio y el error es del orden del milı́metro, se debe redondear el dı́gito donde primero cae el error.
¡Escribir más cifras adicionales de las cuales no tenemos seguridad, no tiene sentido!
Es usual expresar las incertidumbres con una sola cifra significativa, y solo en casos excepcionales
y cuando existe fundamento para ello, se pueden usar más. También es usual considerar que la incertidumbre en un resultado de medición afecta a la última cifra (en una unidad) si es que no se la indica
explı́citamente.
6
¿Qué pasará cuando se hace un cambio de unidades?, es decir, si en el ejemplo anterior se desea
expresar L en μm, el resultado serı́a (de acuerdo a nuestra intuición):
L = 642 000 ± 1 000 μm ¿es correcto?
¡No!, ¿Cuántas cifras significativas tenemos en este resultado? Seis. ¿Cuántas cifras significativas debemos tener realmente? Claramente tres, igual que antes, ya que la última cifra significativa sigue siendo
2. Sin embargo, si no indicamos explı́citamente la incertidumbre de L, es difı́cil saber cuántas cifras
significativas tenemos. Desde el punto de vista de la fı́sica experimental, 642 mm = 642 000 μm porque
el primer resultado tiene sólo 3 cifras significativas mientras el segundo tiene 6, es decir, se aumenta
la precisión por un simple cambio de unidad, sin ningún costo, en contradicción a la cotización entre
una regla común ($1 000) y un micrómetro de precisión 0,01 mm ($200 000).
La notación cientı́fica (en potencia de 10) nos indica la manera correcta de escribir un dato experimental, de esta forma L = 64, 2 × 104 μm o 642 × 103 μm, dependiendo de la incertidumbre
reportada.
El número de cifras significativas lo dan los dı́gitos que multiplican la potencia de 10. La posición
de la coma decimal no influye en el resultado.
1.5 Clasificación de los errores
1. Errores introducidos por el instrumento
✧ La falta de habilidad de un observador para medir con un instrumento adecuado introduce
un error que se denomina error de apreciación. Ası́, es posible que un observador
entrenado pueda apreciar hasta fracciones de milı́metro mientras que otro observador, con
el mismo instrumento, sólo pueda apreciar solo milı́metros, como se aprecia en la fig. 1.4.
Este error se representa por σapr .
0
milı́metros
10
20
30
Figura 1.4: Medición de una longitud.
✧ La mı́nima cantidad que puede medirse con un dado instrumento se asocia al error de
exactitud, como se ilustra en la fig 1.5 y se representa por σexa .
volts
3
6
0
Figura 1.5: Medición en un voltı́metro.
2. error de interacción. Es la interacción entre el método de medición con el objeto a medir.
Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor se estima de un análisis
cuidadoso del método usado. Se representa por σint
3. Falta de definición en el objeto a medir. Las magnitudes a medir no están definidas con infinita
precisión. Con σdef se designa el error asociado con la falta de definición del objeto
a medir.
7
En un experimento dado, en general, todas estas fuentes de errores están presentes, de modo que
resulta útil definir el error nominal de una medición σnom , como:
2
2
2
2
2
σnom
= σapr
+ σexa
+ σint
+ σdef
(1.1)
Sumar los cuadrados de los errores es un resultado de la estadı́stica, donde se ha asumido que todas
las distintas fuentes de error son independientes una de otras.
1.6 Tipos de errores de medición
El error sistemático se debe a causas identificables y, en principio, puede eliminarse. Los errores de
este tipo dan resultados de medición que son consistentemente mayores o consistentemente menores
que el resultado de medición de un valor convencionalmente verdadero. El error sistemático puede ser:
➛ Instrumental. Un instrumento mal calibrado como un termómetro que marca 102◦C cuando es
inmerso en agua en ebullición y 2◦ C cuando se sumerge en una mezcla de agua-hielo a presión
atmosférica. Tal termómetro dará medidas que son consistentemente mayores.
➛ Observable. El paralaje en la lectura de una escala métrica.
➛ Ambiental. Una fuente eléctrica con baja carga, debida a la humedad del aire, dará medidas de
corriente consistentemente menores.
➛ Teórico. Debido a las simplificaciones del modelo o a las aproximaciones en las ecuaciones que
describen un sistema fı́sico, p. ej., si una fuerza disipativa está presente en el experimento pero
ésta no se incluye en la teorı́a, entonces los resultados teóricos y experimentales no concordaran.
Los errores aleatorios son fluctuaciones negativas y positivas que causan que alrededor de
la mitad de las medidas sean mayores y la otra mitad sean menores a un valor convencionalmente
verdadero. Las fuentes de los errores aleatorios no siempre pueden ser identificadas. Algunas posibles
fuentes de errores aleatorios son:
➛ Observable. Errores de juzgamiento cuando se lee la resolución de un instrumento de medición
cuyas marcas sucesivas son relativamente muy pequeñas.
Los errores aleatorios, al contrario de los errores sistemáticos, pueden ser cuantificados por medio
de un análisis estadı́stico, por tanto, los efectos de los errores aleatorios sobre las cantidades o leyes
fı́sicas bajo investigación pueden ser determinados. Se designa por σest .
La distinción entre errores aleatorios y sistemáticos se puede ilustrar con el siguiente ejemplo.
Supóngase que la magnitud por medir (puede ser una cantidad fı́sica) se repite nueve veces bajo las
mismas condiciones. Si hay sólo errores aleatorios, los nueve resultados de medición estarán distribuidos
alrededor del valor convencionalmente verdadero; algunos muy alejados y otros muy cercanos, como
se muestra en la fig. 1.6a. Si además de los errores aleatorios hay errores sistemáticos, entonces los
nueve resultados de medición se distribuirán, no alrededor del valor convencionalmente verdadero,
sino alrededor de un valor alejado de éste, como se ilustra en la fig. 1.6b.
(a)
Valor convencionalmente aceptado
(b)
Figura 1.6: a) Error aleatorio. b) Error sistemático.
El error espurio se asocia a la equivocación a la hora de pasar en limpio los datos para realizar las
respectivas operaciones matemáticas, hacer mal las conversiones de unidades, usar unidades diferentes,
etc. A este tipo de error no se aplica la teorı́a estadı́stica de errores y el modo de evitarlo consiste en
una evaluación cuidadosa de los procedimientos realizados en la medición. Un ejemplo de este tipo
de error es el que se cometió en el Mars Climate Explorer a fines de 1 999, al pasar de pulgadas a
centı́metros se cometió un error que costo el fracaso de dicha misión a Marte.
8
¡Es imprescindible en ciencia e ingenierı́a especificar los errores de medición!
Al medir una magnitud X, el error final, combinado o efectivo de X, ΔX, es:
2
2
σnom
+ σest
ΔX =
2 + σ2 + σ2 + σ2 + σ2
=
σapr
est
exa
int
def
(1.2)
1.7 Cómo expresar un resultado
Un resultado numérico se expresa por medio de:
➛ error absoluto. Es el valor del error combinado (1.2), tiene las mismas dimensiones que
la magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de ésta. Si X es la
magnitud en estudio, X (valor medio) es el mejor valor obtenido y ΔX su incertidumbre, el
resultado se expresa como:
X = X ± ΔX
(1.3)
Por ejemplo, se midió un objeto y se encontró que su longitud promedia fue de = 92 cm con una
regla cuya incertidumbre absoluta fue de Δ = 0, 1 cm, porque se apreciaba con claridad cada
milı́metro. Por tanto, la ((verdadera)) longitud L está en el rango 92, 0 − 0, 1 ≤ L ≤ 92, 0 + 0, 1
cm, es decir la longitud L se debe reportar como:
L =
=
± Δ
92, 0 ± 0, 1 cm
➛ error relativo. Es la relación del error absoluto y el mejor valor de la magnitud.
r =
Δ
(1.4)
Para el ejemplo anterior, el error relativo es 0,001.
➛ error relativo porcentual. Es el error relativo multiplicada por 100.
% = 100r
(1.5)
por tanto % = 0, 1 %
La precisión de una medida depende de su error relativo. Se dice que dos medidas son hechas con
la misma precisión cuando los errores relativos de cada una de ellas son iguales. Evidentemente,
se puede deducir el error absoluto, si se conoce el error relativo porcentual. En el ejemplo anterior,
tenemos:
0, 1
Δ ≈
100
1.8 Propagación de incertidumbres
El convenio para simbolizar una magnitud fı́sica es utilizar letras mayúscula del alfabeto latino:
A, P, X, etc., y por sus respectivas incertidumbres la letra delta mayúscula del alfabeto griego
(Δ) acompañada de la respectiva letra minúscula: Δa, Δp, Δx, etc.
9
1.8.1 Expresiones para determinar la propagación de incertidumbres
Se describe un método sencillo e intuitivo para determinar la incertidumbre Δw del resultado de
medición o estimación w de una magnitud fı́sica W que puede depender de otras variables (magnitudes
fı́sicas) X1 , X2 , . . . , Xn , etc. La incertidumbre Δw se halla a través de una combinación lineal de las
incertidumbres Δxi asociadas a las estimaciones (o mediciones xi ) de las magnitudes Xi .
Los cálculos que se presentan en esta sección no hacen ningún tipo de consideración sobre la
función distribución de probabilidad asociada a los intervalos de incertidumbre ni a los niveles de
confianza de los resultados. Por tanto, las expresiones obtenidas pueden considerarse como una primera
aproximación a la incertidumbre de medición.
✏ suma. Sea la magnitud fı́sica
W =X +Y
con sus respectivos resultados de medición
w = x+y
(1.6)
Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente
x ± Δx
y ± Δy
entonces
wmáx
=
xmáx + ymáx
w + Δw
=
=
(x + Δx) + (y + Δy)
(x + y) + (Δx + Δy)
(1.7)
Comparando las ecs. (1.6) y (1.7) se obtiene la incertidumbre del resultado de medición de una
magnitud fı́sica cuando interviene una suma:
Δw = Δx + Δy
El mismo resultado se obtiene calculando wmı́n .
✏ resta. Sea la magnitud fı́sica
W =X −Y
con sus respectivos resultados de medición
w = x−y
(1.8)
Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente
x ± Δx
y ± Δy
entonces
wmáx
=
xmáx − ymı́n
w + Δw
=
=
(x + Δx) − (y − Δy)
(x − y) + (Δx + Δy)
(1.9)
Comparando las ecs. (1.8) y (1.9) se obtiene la incertidumbre del resultado de medición de una
magnitud fı́sica cuando interviene una resta:
Δw = Δx + Δy
El mismo resultado se obtiene calculando wmı́n .
Se concluye que, cuando una magnitud W se define como la suma o la resta de otras dos
magnitudes X y Y , la incertidumbre del resultado de medición w de la magnitud W , puede
calcularse, en ambos casos como:
|Δw| = |Δx| + |Δy|
(1.10)
10
Ejemplo 1.1 Sea X = 123, 6 m (Δx = 0, 1 m) y Y = 4, 89 (Δy = 0, 01), ¿cuál serı́a el resultado
X + Y ? Para este caso, el dı́gito 9 se suma a un número desconocido y por lo tanto dará un
dı́gito desconocido, se concluye que el resultado debe reportarse con décimas, es decir:
123, 6 m + 4, 89 m = 128, 5 m
donde se ha aplicado la regla no convencional de redondeo de cifras.
regla 1. La precisión de una suma o una resta es igual a la del número menos preciso de los
que se suman o restan.
✏ producto. Sea la magnitud fı́sica
W =XY
con sus respectivos resultados de medición
w = xy
(1.11)
Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente
x ± Δx
y ± Δy
entonces
wmáx
w + Δw
= xmáx ymáx
= (x + Δx) (y + Δy)
= xy + xΔy + yΔx + ΔxΔy
(1.12)
Comparando las ecs. (1.11) y (1.12) se tiene que
Δw = xΔy + yΔx + ΔxΔy
En la mayorı́a de los casos, las incertidumbres suelen ser pequeñas comparadas con los resultados,
por tanto, para estos casos, el último término del lado derecho de la ec. (1.12) se puede despreciar
Δw = xΔy + yΔx
De (1.4) la incertidumbre relativa del resultado de medición de una magnitud fı́sica cuando
interviene un producto es:
Δw
Δx Δy
=
+
w
x
y
✏ división. Sea la magnitud fı́sica
W =
X
Y
w=
x
y
con sus respectivos resultados de medición
(1.13)
Si las incertidumbres de los resultados de medición de X y Y son, respectivamente
x ± Δx
y ± Δy
entonces
wmáx
=
w + Δw
=
xmáx
ymı́n
x + Δx
y − Δy
(1.14)
11
por tanto,
Δw
=
=
≈
x + Δx
−w
y − Δy
x + Δx x
−
y − Δy
y
yΔx + xΔy
y2
donde se ha hecho la aproximación y (y − Δy) ≈ y 2 , suponiendo que Δy y.
Comparando las ecs. (1.13) y (1.14) obtenemos la incertidumbre del resultado de medición de
una magnitud fı́sica cuando interviene una división:
Δw
Δx Δy
=
+
w
x
y
Se concluye que, cuando una magnitud W se define como el producto o la división de otras dos
magnitudes X y Y , la incertidumbre del resultado de medición w de la magnitud W , puede
calcularse, en ambos casos como:
Δw Δx Δy =
+
(1.15)
w x y Ejemplo 1.2 Sea X = 354, 62 m (Δx = 0,01 m) y Y = 79, 81 m (Δy = 0,01 m), ¿cuál serı́a el
resultado XY ? En este caso es conveniente escribir los factores en potencia de 10, ası́:
354,62 m → 3, 5462 × 102 m y
79,81 m → 7, 981 × 10 m, por tanto
XY = (3, 5462)(7, 981) × 103 m2
En el número de menor precisión, un error de una unidad en el último dı́gito, darı́a un error de:
(7, 981)(0, 01) = 0, 07 . . .
lo que nos indica que el resultado tendrá un error en sus centésimas.
En resumen, el resultado tendrá el mismo número de decimales que el número de menor precisión:
(3,5462)(7, 981) × 103 m2 = 28, 30 × 103 m2
regla 2. La cantidad de cifras significativas en un producto o cociente es igual a la cantidad
más pequeña de cifras significativas en cualquiera de los números que se multiplican o se
dividen.
✏ producto de potencias. Sea la magnitud
W = X2
de la regla del producto se infiere que
Δw
Δx
=2
w
x
Generalizando este resultado se tiene que cuando una magnitud W se define como la potencia
de otra magnitud X, la incertidumbre relativa del resultado de medición w de la magnitud W ,
puede calcularse como:
Δx
Δw
=n
w
x
12
Por último, consideremos la magnitud fı́sica
W = Xm Y n Zp
Se concluye que, de la regla para la potencia y de la regla del producto (o la división, en caso que
el exponente sea negativo), cuando una magnitud W se define como el producto de potencias de
otra magnitudes X m Y n Z p , la incertidumbre del resultado de medición w de la magnitud W ,
puede calcularse como:
Δw Δx Δy Δz = m
+ n
+ p
(1.16)
w x y z Una forma sencilla de obtener la ec. (1.16) es recordar las propiedades del logaritmo natural:
ln[xm y n z p ] = m ln[x] + n ln[y] + p ln[z]
y su derivada total
d(ln[W ]) =
por tanto,
dW
,
W
dx dy dz |d ln[x y z ]| = m + n + p x
y
z
m n p
ahora se ((transforma)) el operador d → Δ, por tanto se obtiene la ec. (1.16)
Ejemplo 1.3 Reportar el volumen de una esfera si su diámetro es de D = 4, 23 ± 0, 01 cm.
Sabemos que el volumen V de una esfera es
4
4
V = πr3 = π
3
3
El error serı́a:
D
2
3
= 39, 629 603 25 cm3 .
ΔD
0, 01
ΔV
=3
=3
= 7, 092 198 58 × 10−3 ,
V
D
4, 23
por tanto,
ΔV = 0, 281 061 016 cm3
correspondiente a los resultado obtenidos en una calculadora cientı́fica convencional. Recordando la
regla 2 de la pág. 11 el volumen que debe reportarse es:
V = 39, 6 ± 0, 3 cm3
1.9 Fundamentos del análisis de datos experimentales
Cuando se obtiene una serie de datos experimentales, se debe tener presente:
➛ La Información incluye Datos.
➛ Los Datos no necesariamente incluyen Información.
Definamos algunos conceptos básicos del análisis estadı́stico.
13
1.9.1 La media
Es el resultado obtenido de la suma de todos los datos individuales dividido entre el número total de
datos. Si x1 , x2 , . . . , xN son los datos individuales y N el número total de datos, la media, denotada
por el sı́mbolo μ (para N > 30) o x (N ≤ 30), se define como:
μox=
N
1 xi
N i=1
(1.17)
Ejemplo 1.4 Las medidas (ordenadas ascendentemente) del periodo (en segundos) de un péndulo
simple son:
1, 98 2, 02 2, 07 2, 09 2, 16
ası́
T =
1, 98 + 2, 02 + 2, 07 + 2, 09 + 2, 16
= 2, 06 s
5
1.9.2 Principales caracterı́sticas de la media
1. El cálculo de la media se basa en todos los valores de un conjunto de datos. Por tanto, es
fuertemente afectada por los valores extremos, p. ej., si se tiene:
1,95; 1,95; 1,95, 1,95 y 5,95 ⇒
x = 2, 75.
El valor 5,95 ha elevado la media en 0,8.
2. Tiene dos propiedades matemáticas:
a)
(xi − μ) = 0.
b)
(xi − a) es mı́nima cuando a = μ.
1.9.3 Varianza (σx2 o s2x ) y desviación estándar (σx o sx )
El grado al cual los datos tienden a esparcirse alrededor de un valor medio se denomina dispersión.
Las definiciones más comunes de cuantificar la dispersión es la varianza, que se denota con el sı́mbolo
σx2 , y la desviación estándar, que se denota con el sı́mbolo σx :
σx2 =
N
1 (xi − x)2 ,
N i=1
σx =
σx2
(1.18)
donde N > 30 es el número de datos. De igual forma, la varianza muestral, s2x , y la desviación
estándar muestral, sx :
1
(xi − x)2 ,
(N − 1) i=1
N
s2x =
sx =
s2x
con N ≤ 30.
De acuerdo al ejemplo 1.4, tenemos:
s2x = 4, 73 × 10−3 s2 ;
sx = 0, 068 s,
con N = 5.
(1.19)
14
1.9.4 Principales caracterı́sticas de la desviación estándar
Para una distribución normal (ver §1, fig. 1.8) se tiene:
1. Una desviación estándar alrededor de la media corresponde al 68,27 % del total de los datos,
es decir, hay una confiabilidad que de 100 datos tomados 68 están incluidos en el intervalo
μ − σx ≤ x ≤ μ + σx .
2. Dos σx alrededor de la media corresponden al 95,45 % del total de los datos y están incluidos
en el intervalo μ − 2σx ≤ x ≤ μ + 2σx .
3. Tres σx alrededor de la media corresponden al 99,73 % del total de los datos y están incluidos
en el intervalo μ − 3σx ≤ x ≤ μ + 3σx .
1.10 Cómo descartar datos dudosos
Muchas veces se mide valores que aparentemente no están dentro de un intervalo de confiabilidad,
p. ej., el periodo del ejemplo 1.4 oscila entre 1,98 s y 2,16 s. ¿Qué pasa si se obtiene un valor de
0,45 s? ¿Qué decisión se toma y bajo qué criterio?: ¿Se ignora?, ¿se descarta? La respuesta es utilizar
los intervalos definidos por la desviación estándar. Para el 95,45 % del total de los datos, éstos están
incluidos en el intervalo (x − 2σx , x + 2σx ). Por tanto, se calcula x y σx y se aplica la condición
x ± 2σx . Ası́, para los datos:
0, 45 1, 98 2, 02 2, 07 2, 09 2, 16
se tiene:
x = 1, 80;
σx = 0, 66
⇒
x ± 2σx ∈ [0, 48; 3, 12]
los datos deben oscilar entre 0,48 s y 3,12 s, es decir, se puede descartar el valor 0,45 s con una
confiabilidad del 95,45 %.
Los datos que no se encuentran dentro del intervalo x ± 2σx , se pueden descartar con una
confianza del 95,45 %.
1.11 Coeficiente de variación (CV)
El coeficiente de variación es otra medida de la dispersión y es independiente de la unidad de
medida. Resulta útil en la comparación entre conjuntos de datos. Se da por medio de la desviación
estándar expresada como un porcentaje de la media y está dado por:
CV =
sx
× 100
x
(1.20)
Ejemplo 1.5 Los siguientes son los datos de la gravedad g en m/s2 por dos métodos (mA y mB ):
mA :
mB :
8, 94 9, 70 10, 30 10, 52 11, 17
9, 26 9, 36 19, 44 19, 55 19, 68
⇒
⇒
g A = 10, 13;
g B = 19, 46;
sgA = 0, 85;
sgB = 0, 16;
CV = 8,39 %.
CV = 1, 69 %.
La interpretación del CV es como sigue: El mA es más variable que el mB , sin embargo, es más
confiable la media gB que gA .
1.12 Curva de error gaussiana
Cuando se repite varias veces una medición, disponiéndose de instrumentos de gran precisión, se
obtienen datos distribuidos aleatoriamente sobre intervalos mayores que la incertidumbre absoluta
que afecta cada una de las mediciones efectuadas. Se explica esta observación como presencia de
fluctuaciones en el proceso de medición, p. ej., al medir el periodo de un péndulo, cada vez que se
15
T (s)
9.26
9.27
9.28
9.29
9.30
9.31
9.32
9.33
9.34
9.35
9.36
9.37
9.38
9.39
9.40
f (veces)
1
1
3
7
10
16
23
30
22
17
10
6
4
1
1
Tabla 1.2: Frecuencia o número de veces f para cada periodo T medido.
repite el experimento se obtiene un resultado distinto a pesar de mantener invariables las condiciones
bajo las cuales se realiza el experimento, como puede verse en la tabla 1.2 donde se reporta las medidas
del periodo con su respectivo número de veces que se repite cada medida o frecuencia.
La fig. 1.7 se denomina histograma o distribución frecuencial y muestra la gráfica de la
tabla 1.2 y está construida por una serie de barras verticales, de anchura igual a la incertidumbre de
cada medida individual y de altura igual a la frecuencia relativa de magnitud ni /n, siendo ni la
frecuencia (número de veces en que se obtuvo en cada intervalo) y n el número total de medidas.
Figura 1.7: Histograma correspondiente a la tabla 1.2.
A medida que el número de observaciones se incrementa, se va aproximando a la famosa curva de
la fig 1.8 conocida como campana de gauss o curva de error gaussiana.
La variable x tiene una distribución normal o gaussiana si y sólo sı́ la función llamada densidad de
probabilidad (definida como el lı́mite del contorno o envolvente del histograma, cuando el número
de observaciones tiende a infinito y la anchura de cada barra tiende a cero), corresponde a la función:
(x − μ)2
1
yn [x] = √ exp −
(1.21)
2σx2
σx 2π
Tres parámetros importantes de una distribución son: la media μ, que da una idea de la localización
del valor medio de los valores en la muestra, la desviación estándar, σx , y la varianza, σx2 , que dan una
idea de la dispersión de los datos alrededor de la media. Cuando más concentrada esté la distribución
alrededor de μ menor será σx y viceversa.
16
Figura 1.8: Curva de error gaussiana o distribución normal.
Aunque la densidad de probabilidad se extiende desde −∞ hasta +∞, se aproxima asintóticamente
al valor cero, por lo cual tiene un valor apreciable sólo dentro de un intervalo de anchura igual a unas
pocas veces la desviación estándar σ. La probabilidad de medir x en cierto intervalo es proporcional
al área correspondiente a ese intervalo.
1.13 Prueba t student
Se ha mostrado hasta ahora cómo puede estimarse un parámetro (μ, σ) a partir de datos, sin embargo,
muchos problemas, ya sea en ciencia o ingenierı́a, requieren que se tome una decisión entre dos o más
métodos para calcular una magnitud fı́sica o cómo tomar una decisión entre aceptar o rechazar una
proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis, es decir una
proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones.
La prueba t student se utiliza para:
1. Calcular los errores de muestreo y porcentual.
2. Construir el intervalo de confianza de una serie de datos.
3. Diferenciar entre las medias de dos poblaciones.
4. .Determinar las diferencias entre dos medias muestrales.
Esta prueba se basa en la distribución t, que surge cuando la desviación tı́pica de una población
se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. La base para la construcción
de la distribución t se basa en las hipótesis del teorema central del lı́mite:
➛ Dada una variable aleatoria cualquiera, si extraemos muestras de tamaño n, y calculamos los
promedios muestrales, entonces dichos promedios tienen distribución aproximadamente normal.
➛ La media de los promedios muestrales es la misma que la de la variable original.
√
➛ La desviación tı́pica de los promedios disminuye en un factor n (error estándar). Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n → ∞.
Estadı́sticamente se toma una muestra cuando n ≤ 30 datos, para n > 30 se va a aparecer de
manera natural a la distribución normal.
1.13.1 Caracterı́stica de la distribución t student
✧ Es una distribución continua.
✧ Es de forma de campana y simétrica
17
✧ Es menor en la media y más alta en los extremos que una distribución normal.
✧ Hay una distribución t para cada tamaño de la muestra, por lo que ((hay una distribución para
cada uno de los grados de libertad ν)).
✧ Los grados de libertad se definen como el número n de observaciones independientes en la
muestra (tamaño de la muestra) menos 1.
1.13.2 Especificaciones de la distribución t student
Sea x1 , . . . , xn variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza
σx2 . Sea
x1 + · · · + xn
xn =
n
la media muestral y (1.19) la varianza muestral. Entonces, se puede demostrar con base en el teorema
de lı́mite central que la prueba estadı́stica basada en la diferencia entre la media x de la muestra y la
media μ hipotética es
x−μ
√
z=
σx / n
se distribuye según una normal de media 0 y varianza 1. William Sealey Gosset estudió una expresión
relacionada,
x−μ
√
(1.22)
t=
sx / n
y mostró que tiene la siguiente distribución:
yt [t] =
(1 +
Y0
t2 (ν+1)/2
ν )
(1.23)
donde Y0 esa una constante que depende de n, tal que el área total bajo la curva es 1, y ν es el número
de grados de libertad. La distribución sólo depende de ν, la independencia de μ y σ es lo que hace
a la distribución t tan importante en la teorı́a y en la práctica. La distribución (1.23) se denomina
distribución t student y para grandes valores de n (aproximadamente n > 30) la curva (1.23) se
aproxima a la curva normal
1
1
yn [t] = √ exp − t2
2
2π
Figura 1.9: Distribución normal (linea punteada) y distribución t student (lı́nea continua). La región comprendida entre los valores crı́ticos, −tp y tp , se conoce como región de aceptación.
Al igual que la distribución (1.21), la distribución (1.23) tiene una tabla de valores para ν y tp ,
como se indica en la siguiente tabla:
18
ν
t0,70
t0,80
t0,90
t0,95
t0,975
t0,995
Confianza a
dos colas
40 %
60 %
80 %
90 %
95 %
99 %
0,727
0,617
0,584
0,569
0,559
0,553
0,549
0,546
0,543
0,542
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
3,080
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
6,310
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
12,710
14,303
13,182
12,776
12,571
12,447
12,365
12,306
12,262
12,228
63,657
69,925
65,841
64,604
64,032
63,707
63,499
63,355
63,250
63, 169
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 1.3: Valores de la distribución t.
1.13.3 Intervalo de confianza y nivel de significancia
Con la distribución normal se puede definir intervalos de confianza del 68 %, 95 % y 99 %. De igual
manera se puede estimar, con especı́ficos lı́mites de confianza, la media μ. Por ejemplo, si −t0,975
y t0,975 son los valores de t para el cual 2,5 % del área yace en cada una de las ((colas)) (nivel de
significancia 5 %, α = 0,05) de la distribución, entonces un intervalo de confianza al 95 % para tp;ν
(p = 1 − α/2 = 1 − 0,25) es:
x − μ√
−t0,975;ν <
n < t0,975;ν
sx
por tanto, μ se estima que está en el intervalo:
sx
sx
x − t0,975;ν √ < μ < x + t0,975;ν √
n
n
con 95 % de confiabilidad (probabilidad 0,95). En general se puede representar el intervalo de
confianza (ic) como
sx
IC = x ± tp;ν √
(1.24)
n
1.13.4 Uso de la tabla de distribución t
✧ Es más compacta y muestra las áreas y valores de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente
(10 %, 5 %, 1 %, etc.).
✧ No se centra en la probabilidad de que el parámetro de la población que esta siendo estimado caiga dentro del intervalo de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que ese
parámetro no caiga dentro del intervalo de confianza.
✧ Se debe especificar los grados de libertad con que estamos trabajando.
Ejemplo 1.6 Se desea obtener un intervalo de confianza al 99 % para el tiempo medio requerido para
realizar un trabajo. Una muestra aleatoria de 11 mediciones produce una media de 13 min y una
desviación estándar de 5,6 min.
En este caso:
n = 11
⇒
x = 13 min
ν = 11 − 1 = 10
sx = 5, 6 min
19
Como el IC = 99 %, el α = 1 % debe repartirse entre las dos colas de la distribución t de la fig. 1.9,
por tanto el valor de p = 1 − α/2 = 1 − 0, 05 = 0,995 correspondiente a tp;ν debe ser buscado en la
tabla 1.3, con ν = 10
p = 1 − 0, 005 = 0, 995
⇒
t0,995;10 = 3, 169
sx
5, 6
IC = x ± tp;ν √ = 13 ± 3, 169 √
n
11
IC ∈ [7, 65; 18, 35] min
El tiempo medio requerido para realizar el trabajo será entre 7,65 min y 18,35 min con una certeza
del 99 %.
1.13.5 Error de muestreo y error porcentual
Estadı́sticamente, el error de muestreo es:
tp s x
= √
n
(1.25)
Muchas veces es más práctico trabajar con un error porcentual, definido como:
% =
100 %
μ
(1.26)
1.13.6 Comparación de dos métodos para decidir cuál seleccionar
Otra utilidad de la distribución t es decidir entre dos métodos cuál es el más confiable. Para ello
es necesario primero hacer una prueba de que la serie de resultados tomados por ambos métodos es
diferente; la prueba consiste en calcular un valor de t mediante:
t=
donde
s12 =
x1 − x2
s12 n11 +
(1.27)
1
n2
s2x1 (n1 − 1) + s2x2 (n2 − 1)
n1 + n2 − 2
el valor de s12 es una desviación estándar combinada que se obtiene con las dos series de datos. El valor
de t obtenido a partir de (1.27) debe compararse con el valor de tp de la tabla 1.3 para (n1 + n2 − 2)
grados de libertad ν:
Si el valor de t calculado es mayor que el valor de tp tabulado, las dos series de resultados
son significativamente diferentes para el nivel de confianza considerado.
Ejemplo 1.7 De acuerdo con el ejemplo 1.5, se tiene los siguientes datos de g (en m/s2 ) medidas por
los métodos mA y mB
mA :
mB :
8, 94 9, 70 10, 30 10, 52 11, 17
9, 26 9, 36 19, 44 19, 55 19, 68
⇒
⇒
nA = 5 g A = 10, 13 s2A = 0, 72
nB = 5 g B = 19, 46 s2B = 0, 03
Para una confiabilidad del 90 %, el nivel de significancia es α = 0, 10 y t1− α2 ;ν = t0,95;4 = 2, 132. El
error de muestreo para cada método, de acuerdo con (1.25) es, respectivamente:
A
=
B
=
(2, 132)(0, 8461)
√
= 0, 81
5
(2, 132)(0, 1635)
√
= 0, 16
5
20
El error porcentual (1.26), para los dos métodos es, respectivamente:
%A
=
%B
=
0, 81
100 % = 8, 00 %
10, 13
0, 16
100 % = 1, 69 %
9, 46
Esto quiere decir que el mA presenta mayor error que mB .
Se debe descartar datos dudosos antes de proceder a la comparación de los dos métodos.
El intervalo de confianza de cada método permite descartar datos dudosos, como se especı́fica a
continuación:
ICA = 10, 13 ± 0, 81 ⇒ IC ∈ [9, 32; 10, 94]
del método mA se descarta los valores 8,94 y 11,17 con un 90 % de confianza.
ICB = 9, 46 ± 0, 16
⇒
IC ∈ [9, 30; 9, 62]
del método mB se descarta los valores 8,26 y 9,68 con un 90 % de confianza.
Los datos confiables son utilizados para representar los resultados finales de cada método de medición de la aceleración de la gravedad:
mAb :
9, 70 10, 30 10, 52
⇒
nAb = 3 g Ab = 10, 17 s2Ab = 0, 18
con 90 % de confianza, t0,95;2 = 2, 920
Ab = 0, 71
mB :
9, 36 19, 44 19, 55
⇒
%Ab = 6, 98 %
nBb = 3
gBb = 19, 45 s2Bb = 0, 01
con 90 % de confianza, t0,95;2 = 2, 920
Bb = 0, 17
% = 1, 80 %
El método mA presenta mayor error que el MB .
Para la comparación de los dos métodos, y decidir cuál seleccionar, se utiliza los datos depurados
en la ec. (1.27).
0, 18(3 − 1) + 0, 01(3 − 1)
= 0,31
s12 =
3+3−2
10, 17 − 9, 45
t =
= 2, 84
0,31 13 + 13
Para una confiabilidad del 90 %, la tabla 1.3 da el valor de 2,132. Como tcalcu > ttabul , entonces los
dos métodos son significativamente diferentes o se dice que hay una significancia entre los dos métodos
con un 90 % de confiabilidad. Se concluye que el método mB es más confiable.
Si hubiese resultado iguales, serı́a indiferente estadı́sticamente escoger uno u otro método para
medir la aceleración de la gravedad.
1.13.7 Cómo decidir si en una serie de datos se haya un valor esperado
Para tal fin se construye un intervalo de confianza con una confianza predeterminada. Para el ejemplo
anterior se tiene:
ICAb = 10, 17 ± 0, 71
ICBb = 9, 45 ± 0, 16
⇒
⇒
∈
∈
[9, 46; 10, 88]
[9, 29; 9, 61]
ICAb
9
10
10,88
9,46
21
11
9
9,62
ICBb
9,28
9,78
10
11
Figura 1.10: Intervalos de confianza para los métodos mA y mB . El valor aceptado es g = 9, 78 m/s2 . El valor
aceptado es g = 9, 78 m/s2 y está en el ICAb .
Es decir, mA tiene un mayor IC que el mB , por tanto mA tiene un rango de variabilidad mayor que
mB . Hay mayor probabilidad de cometer errores sistemáticos con mA que con mB y esto se refleja en
el error de muestreo.
El valor aceptado de g en la Universidad del Valle es de 9,78 m/s2 . Este valor se encuentra incluido
en el primer intervalo de confianza pero no se encuentra incluido en el segundo intervalo de confianza
(ver fig. 1.10). Por tanto, el valor de g, determinado por mA , se encuentra dentro de la serie de datos
tomados con una confianza del 90 %, pero no queda incluido por mB ; esto no quiere decir que mB
es ((malo)) sino que en la utilización de mB puede haber mayor propagación de las incertidumbres de
medición.
En el método mA se encuentra el valor esperado o ((teórico)) de la gravedad, pero hay
mayor probabilidad de cometer errores sistemáticos que en el método mB .
CAPÍTULO
2
Medición de tiempos
Tarea de preparación
1. Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad, usando
l
T = 2π
g
El periodo T medido fue de 1, 24 ± 0, 02 s y la longitud de 0, 381 ± 0, 002 m. ¿Cuál es el valor
resultante de g con sus incertidumbre absoluta y relativa?
2. Se usa un péndulo para medir g. Veinte mediciones de T dan una media de 1,82 s y una desviación
estándar de la muestra de 0,06 s. Diez mediciones de l dan una media de 0,823 s y una desviación
estándar de la muestra de 0,014 s. ¿Cuál es la desviación estándar de la media para el valor
calculado de g?
22
23
2. Medidas de tiempos
2.1 Objetivos
2.1.1 Objetivo general
✔ Determinar el tiempo de reacción de personas y el tiempo mı́nimo entre poner en marcha y
detener un cronometro.
2.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Calcular la media, desviación estándar, CV, IC y error porcentual.
✓ Construir un histograma.
2.2 Equipamiento
☞ Regla.
☞ Cronómetro.
2.3 Montaje experimental
El sistema son los estudiantes del grupo de laboratorio (como máximo 4), de los cuales uno sostiene la
regla y toma tiempo y los otros son a quienes se le medirá el tiempo de reacción. Todos deben tomar
el tiempo de reacción a sus compañeros.
2.4 Consideración teórica
Cuando una persona debe realizar alguna acción en respuesta a un dado estı́mulo (visual, auditivo,
táctil), transcurre un tiempo entre la recepción del estı́mulo y la ejecución de la acción. Este intervalo
de tiempo se conoce como tiempo de reacción de una persona. Esto sucede, p. ej., cuando una
persona que conduce un vehı́culo tiene que frenarlo luego de visualizar un obstáculo en el camino o
cuando un atleta en la lı́nea de partida debe decidir que empieza la carrera después de que escucha la
señal de largada dada por el juez de la competencia. Estas demoras en la reacción están reguladas por
dos efectos. El primero es el tiempo de tránsito del estı́mulo en los órganos sensible correspondientes
(ojo, oı́do, etc.). El segundo tiene que ver con el tiempo que pasa entre los impulsos nerviosos y el
movimiento de los músculos.
2.4.1 Observación
En mediciones de tiempos usando un instrumento activado manualmente, p. ej. cuando se emplea
un cronómetro (analógico o digital), el operador introduce una incertidumbre en la definición de los
intervalos que está asociada a su tiempo de reacción. Esta incertidumbre debe considerarse en el
momento de estimar la incertidumbre total de la medición de tiempos.
2.5 Procedimiento
2.5.1 Primera parte
① Cada estudiante medirá su tiempo mı́nimo entre poner en marcha y detener el cronómetro.
24
2.5.2 Segunda parte
❶ Un estudiante S1 sujeta la regla de 100 cm de longitud entre sus dedos y con la otra tiene el
cronometro. Otro estudiante S2 al que le desea medir el tiempo de reacción debe colocar su
mano unos 10 cm más abajo de S1 y en la posición de un punto bien definido de la regla, con
los dedos ı́ndice y pulgar abiertos alrededor de la regla. Por ejemplo, los dedos podrı́an estar en
la marca de las decenas de centı́metros, cuidando de no tocar la regla. S2 deberá asir la regla
apenas vea que S1 la suelta. Desde luego, no debe haber ningún aviso previo, S2 sólo debe tratar
de asir la regla con los dedos cuando se dé cuenta que la misma ha sido soltada por S1 .
2.6 Análisis
2.6.1 Primera parte
✑ Los intervalo de tiempo medidos en ① serán consignados en la tabla 2.1.
✑ Repitan el anterior ı́tem los otros estudiante y completen las tablas 2.2–2.4.
✑ Con la tabla 2.4. calculen la media (1.17), desviación estándar (1.19), CV (1.20), IC (1.24) y
error porcentual (1.26), con una probabilidad del 90 % (t0,90 ) utilizando la tabla 1.3.
✑ Repitan los mismos cálculos para las tablas 2.2–2.4.
✑ Con las tablas 2.1–2.4, organicen todos los datos en forma ascendente sin omitir los datos que
se repitan.
✑ Construyan un histograma de los distintos tiempos registrados.
2.6.2 Segunda parte
✒ Midan en cada prueba la distancia que la regla cayó desde la marca de referencia.
✒ Suponiendo que la regla cae con un movimiento uniformemente acelerado y que g ≈ 9, 8 m/s2 ,
calculen el tiempo de reacción y completen la tabla 2.5.
✒ Repitan el anterior ı́tem con los estudiante S1 y S3 completando las tablas 2.6–2.8.
✒ Con la tabla 2.5, calculen la media (1.17), desviación estándar (1.19), CV (1.20), IC (1.24) y
error porcentual (1.26), con una probabilidad del 90 % (t0,90 ) utilizando la tabla 1.3.
✒ Repitan los mismos cálculos para las tablas 2.6–2.8.
✒ Con las tablas 2.5–2.8, organicen todos los datos en forma ascendente sin omitir los datos que
se repitan.
✒ Construyan un histograma de los distintos tiempos de reacción.
✒ ¿Cuál es el valor medio de este tiempo para cada uno de los estudiantes.
✒ El tiempo de reacción obtenido es en respuesta a un estı́mulo visual. Diseñe un experimento con
el que pueda medir el tiempo de reacción ante un estı́mulo auditivo.
✒ Compare los tiempos de reacción en respuesta a los distintos estı́mulos.
De los gráficos y preguntas, tanto de la primera como la segunda parte, hagan sus conclusiones.
D. A. Wardle, Phys. Teach. 36: 442 (1 998).
R. Nijhawan, Nature 370: 256 (1 995).
25
Tabla de datos (Medidas de tiempos)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Código:
Código:
Código:
Δt (
)
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 2.1:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t( )
Δt ( )
Plan:
Plan:
Plan:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 2.2:
d(
Tabla 2.5:
)
Δt ( )
Tabla 2.3:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
)
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Δt ( )
Tabla 2.4:
d( )
Tabla 2.6:
26
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t( )
d(
Tabla 2.7:
)
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
)
d( )
Tabla 2.8:
CAPÍTULO
3
Determinación de la constante π
Tarea de preparación
1. De acuerdo con la siguiente tabla de datos, haga un gráfico de y en función de x.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
20
43
61
77
101
121
148
163
2. Grafique y en función de x.
3. Determine la pendiente y el intercepto, con sus respectivos errores.
4. Escriba la ecuación que describen y en función de x.
27
28
3. Determinación de la constante π
3.1 Objetivos
3.1.1 Objetivo general
✔ Determinar por medidas indirectas el valor de π con sus respectivas incertidumbres.
3.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Reportar información a través de la presentación en tablas y gráficas.
✓ Aplicar el método de mı́nimos cuadrados a los datos experimentales.
✓ Adquirir destreza de medir y tener en cuenta el error en la medida.
✓ Estudiar el movimiento de un cuerpo viajando a velocidad constante en una trayectoria circular.
3.2 Equipamiento
3.2.1 Primera parte
☞ Cinco (5) cı́rculos de diámetro diferente.
☞ Calibrador.
☞ Metro de modisterı́a.
3.2.2 Segunda parte
☛ Aparato de fuerza centrı́peta completo
(Cenco).
☛ Pesas: 1 kg, 500 g y 100 g.
☛ Varillas universal.
☛ Cronómetro.
☛ Calibrador
☛ Portapesas.
3.3 Montaje experimental
3.3.1 Primera parte
El sistema son cinco cı́rculos de diámetros diferentes a los cuales se le medirá el perı́metro y el diámetro.
3.3.2 Segunda parte
El sistema está conformado por un aparato de fuerza centrı́peta y un rotor eléctrico de velocidad
variable, como se ilustra en la fig. 3.1.
El aparato de fuerza centrı́peta consiste de un marco metálico n, dentro del cual está monta una
masa cilı́ndrica mr , sujeta a un resorte helicoidal h. La tensión del resorte se varı́a enroscando un
tambor t desde un origen que es leı́do en una escala e como se aprecia en la fig. 3.2. Dos varillas
de guı́a y un fiel l hacen que el movimiento del cuerpo cilı́ndrico sea a lo largo del eje del resorte,
perpendicular al eje del rotor. En reposo, mr se encuentra apoyada sobre un tope, pero al rotar ésta
se aleja, estirando h.
La frecuencia de rotación se determina contando el número de revoluciones dadas por el aparato
en un intervalo de tiempo dado. Este conteo se hace con un contador de revoluciones amarrado al
marco del rotor por medio de un resorte acerado, que mantiene desengranado el piñón del contador;
presionando con el dedo el extremo del resorte, el piñón se engrana con uno idéntico que se mueve
con el eje de rotación.
29
Figura 3.1: Aparato de fuerza centrı́peta.
20
15
10
5
0
20
e
15
10
5
0
enroscar
=⇒
t
(a)
(b)
Figura 3.2: Configuración para variar la tensión del resorte.
La velocidad se controla variando el punto de contacto entre el disco de fricción y el disco de
manejo. Moviendo la cabeza grafilada de un tornillo se arrastra el disco de fricción hacia el centro o
hacia la periferia, a lo largo del radio del disco de manejo.
3.3.2.1 Observaciones
Al medir el radio de giro, trate que l apunté a j en el mismo punto que cuando mr está rotando, como
se ilustra en la siguiente figura:
r
h
mr
j
l
Figura 3.3: Diagrama cuando mr está rotando. El fiel l apunta al indicador j.
Al montar el marco metálico, asegúrense que éste quede firmemente atornillado, para que no salga
disparado por las altas velocidades angulares que se manejan y produzca un accidente.
Al usar el contador de vueltas, tomen cuidado de no rozar su brazo con la polea del rotor eléctrico
ni de tocar el rotor por la alta temperatura que presenta al estar funcionando.
30
3.4 Consideración teórica
3.4.1 Primera parte
Una relación importante que se determinó fue entre el perı́metro p de una circunferencia con su
diámetro. Esta relación es directamente proporcional, p ∝ d. La constante de proporcionalidad es un
un número irracional de muchas cifras decimales que hasta ahora no se repiten y se denomina π, cuyo
valor estimado es:
π = 3, 141 592 654 . . .
3.4.2 Segunda parte
Si un cuerpo de masa ma no interactúa, su estado natural será de seguir parado, si lo estaba, o
de continuar moviéndose con la velocidad que tenı́a y con un movimiento rectilı́neo. Cuando ma
interactúa con otro mb , p. ej. a través de un hilo, y describe un movimiento circular alrededor de
mb , pero accidentalmente se rompe el hilo, ma sale disparado en lı́nea recta. Se dice que el hilo era
quien hacı́a una fuerza (una interacción) sobre ma con tal de hacerlo girar. Esta fuerza, responsable
del hecho que un cuerpo gire, y por tanto, responsable de cambiar la dirección de la velocidad de ma ,
se conoce como fuerza centrı́peta.
Para simplificar el estudio de la acción recı́proca entre entre ma y mb , se reemplaza el hilo por un
resorte, ya que éste tiene un comportamiento descrito por la conocida ley de hooke: ((La fuerza que
devuelve un resorte a su posición de equilibrio es proporcional al valor de la distancia que se desplaza
de esa posición)). La constante de proporcionalidad de un resorte helicoidal depende de las condiciones
geométricas del material del que se construya.
Con base en lo anterior, ma sentirá una fuerza hacia fuera del cı́rculo (note que el fiel empieza a
levantarse), debida al resorte, cuando empieza a rotar y debe ser, por la segunda ley de Newton, igual
a la fuerza centrı́peta.
Para poder calcular la constante del resorte, éste debe interactuar con otra masa mc , esto se
logra desmontando el marco metálico y sometiéndolo a diferentes pesos y registrando las diferentes
elongaciones.
3.5 Procedimiento
3.5.1 Primera parte
① Midán el perı́metro p y el diámetro d de cada uno de los 5 cı́rculos.
3.5.2 Segunda parte
❶ Ajusten el resorte a la mı́nima tensión (xi = 0 en la escala e de la fig. 3.2a), mediante t.
❷ Desenrosquen el marco metálico y cuélguenlo en la varilla de soporte, como se ilustra en la fig.
3.4.
❸ Sujeten por la cuerda que está unida a mr , el portapesas q y con algunas masas necesarias mi
(fig. 3.4) observen que l señale la cabeza de j (fig. 3.3).
Si es necesario pueden cambiar la tensión un poco.
❹ Monten el marco en el eje del rotor (debe estar vertical) asegurándolo firmemente.
❺ Pongan el disco de fricción cerca del centro del disco de manejo y enciendan el motor. Observando
el ı́ndice de velocidad, aumenten la velocidad angular ω (desplazando el disco de fricción hacia
la periferia del disco de manejo) hasta que l señale la cabeza de i como se ilustra en la fig. 3.3.
Regulen ω hasta adquirir suficiente destreza para ésta sea la mı́nima que mantenga horizontal
l, e. d., la fuerza centrı́fuga sobre mr será debida solamente a la tensión del resorte. Bajo esta
condición, la tensión en el resorte, para la posición en que se encuentra el tambor, iguala al peso
colgante.
31
h
mr
q
mi
Figura 3.4: Arreglo para calcular la constante del resorte κ.
❻ Registren la lectura inicial Li del contador y posteriormente engrane el contador. Luego de 1
min desengranen el contador y utilicen el freno para detener el contador. Obtengan esta última
lectura Lf restándole dos vueltas que son las que se alcanzan a dar antes del freno. Repitan esta
medida de frecuencia dos veces.
Es conveniente que la lectura del cronómetro la haga una segunda persona.
❼ Aumenten la tensión del resorte enroscando el tambor hasta alcanzar las posiciones x = 5 mm
(fig. 3.2) y repitan desde el item ❷.
❽ Repitan el anterior ı́tem para x = 10, 15 y 20 mm.
3.6 Análisis
3.6.1 Primera parte
✑ Registren las mediciones de p y d, en la tabla 3.1.
✑ Determinen las incertidumbres de p y d, completando la tabla 3.2.
✑ Hagan una gráfica, en papel milimetrado, de p como una función de d.
✑ Usando el método de mı́nimos cuadrados, tracen la mejor recta de ajuste.
✑ Determinen la pendiente. ¿Que información puede obtener de ella?
✑ Calculen la incertidumbre de la pendiente.
✑ Con un paquete de graficación (Origin, Excel, Graph, entre otros), hagan la gráfica de p vs d,
usen la herramienta de regresión lineal y obtengan a, b y r.
✑ Comparen los valores anteriores con los obtenidos manualmente.
✑ Reporten el valor de π con su incertidumbre.
3.6.2 Segunda parte
✒ Reporten los valores de mp (portapesas), mr (su valor está estampado en el cilindro) y r (radio
de giro) en la tabla 3.3.
✒ Para cada valor de xi y su respectiva masa de equilibrio, M i = mi + q + mr , llenen la tabla 3.4.
✒ De la tabla 3.4, hagan un gráfico de M i en función de las elongaciones xi del resorte.
✒ ¿Qué representa fı́sicamente su gráfico?, es decir, ¿qué forma tiene su gráfico?, sı́ es lineal, ¿cuáles
son los valores del intercepto y de la pendiente?, ¿cuál es el significado fı́sico de la pendiente?
32
✒ Para cada tensión del resorte registren los valores de Li y Lf en las tablas 3.5–3.8.
✒ Con las tablas anteriores calculen f = ΔL/60, la frecuencia en Hz, completando la tabla 3.9.
✒ Calculen la velocidad angular ω = 2πf y completen la tabla 3.10 con Ω = mr rω 2i
✒ Hagan un gráfico de Ω como función de Mi .
✒ ¿Qué representa fı́sicamente su gráfico?
√
√
✒ Calculen las cantidades Mi g y 2f mr r, tomando g = 9,78 m/s2 , completando la tabla 3.10
✒ Hagan un gráfico a partir de los datos de la tabla 3.11.
✒ ¿Qué representa fı́sicamente su gráfico?
✒ Con el resultado obtenido de compárenlo con el anterior resultado, aplicando la fórmula (1.27)
y decida que método escoge para calcular el valor de π.
✒ Discuta por qué escogió ese método.
✒ Reporten sus resultados con la respectiva incertidumbre.
De los gráficos y preguntas, tanto de la primera como la segunda parte, hagan sus conclusiones.
33
Tabla de datos (Determinación de la constante π)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
p( )
d( )
p/d
Plan:
Plan:
Plan:
Δp ( )
Δr ( )
Δπ
Tabla 3.2:
mp ( )
Mi (
Li ( )
)
Lf ( )
ΔL ( )
ola
xi = 0 ΔL =
Tabla 3.4:
Li ( )
r( )
Tabla 3.3:
Tabla 3.1:
xi (mm)
0
10
15
20
mr ( )
Lf (
Tabla 3.5:
)
ΔL ( )
Li ( )
Lf ( )
ΔL ( )
ola
ola
xi = 10 ΔL =
xi = 15 ΔL =
Tabla 3.6:
Tabla 3.7:
34
Li ( )
Lf (
)
ΔL ( )
ola
xi = 20 ΔL =
Tabla 3.8:
Ω(
)
Mi ( )
Tabla 3.10:
xi (mm)
0
10
15
20
f ( )
Tabla 3.9:
√
2f mr r (
)
√
Mi g ( )
Tabla 3.11:
CAPÍTULO
4
Medición de la gravedad
Tarea de preparación
1. De acuerdo con la siguiente tabla de datos, haga un gráfico de y en función de x.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
0.20
0.43
0.81
1.57
2.43
3.81
4.80
6.39
2. Haga una tabla de datos de y contra z = x2 y grafique y en función de z.
3. ¿Es su gráfica de y en función de z una lı́nea recta? Si su respuesta es afirmativa determine su
pendiente y su intercepto, con sus respectivos errores.
4. Escriba la ecuación que describen y en función de x2 .
35
36
4. Medición de la gravedad
4.1 Objetivos
4.1.1 Objetivo general
✔ Determinar indirectamente el valor de la gravedad con su incertidumbre.
4.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Linealizar un comportamiento entre las variables de entrada y de salida.
✓ Construir un histograma.
✓ Comparar dos métodos para decidir cuál seleccionar.
4.2 Equipamiento
4.2.1 Primera parte
☞ Equipo de caı́da libre.
☞ Chispómetro.
☞ Cintas termosensible.
4.2.2 Segunda parte
☛ Regla de madera.
☛ Proyectil.
☛ Transportador.
☛ Cronómetro.
☛ Hilo.
4.3 Montaje experimental
4.3.1 Primera parte
El sistema consta de un soporte vertical en cuyo extremo superior, por medio de conexiones, se sujeta
una masa la cual tiene una pequeña varilla de hierro.
4.3.2 Segunda parte
Un péndulo simple es un sistema (fig. 4.1) que consta de un hilo sujeto por uno de sus extremos a un
punto fijo (punto de oscilación) y en su extremo opuesto está unido a una masa m de cualquier forma
(proyectil).
4.4 Consideración teórica
4.4.1 Primera parte
El estado natural de un cuerpo m es, para Galileo, tanto el reposo como el movimiento en linea
recta con velocidad contante. Bajo este esquema no hay necesidad de una divinidad que ((empuje)) al
mundo, él mismo puede hacerlo por su propia inercia. Galileo usando un razonamiento, que aun hoy
nos maravilla por su contundencia y brillantez, sostenı́a que el tiempo de caı́da de todos los cuerpos
desde una dada altura h (siempre que el rozamiento con el aire se desprecie) es el mismo y la caı́da de
los cuerpos se realiza con la misma aceleración contante para todos los cuerpos, pesados o livianos.
37
30◦
Figura 4.1: Vista frontal de un péndulo simple.
h1
h2
h3
Figura 4.2: Cinta representativa para el experimento de caı́da libre.
4.4.2 Segunda parte
Un cuerpo cuyo movimiento se repite parcial o totalmente alrededor de una posición ((fija)) (sobre
la cual pasa un eje perpendicular) se denomina movimiento de vibración u oscilación. Este
movimiento se caracteriza por que en un determinado tiempo, el cuerpo repite la misma trayectoria.
El intervalo de tiempo T necesario para a realización de una oscilación completa se denomina periodo.
4.5 Procedimiento
4.5.1 Primera parte
Para esta práctica se les entregarán las cintas, sin embargo, se hará una demostración general del
funcionamiento del equipo para caı́da libre.
En la fig. 4.2 se tiene una muestra de una cinta, donde los puntos son las marcas dejadas por el
chispómetro. Este aparato registra cada 1/60 s, por tal razón, se puede hablar de una ((separación
puntual temporal)). Como se tiene muchos puntos, es necesario tomar un subconjunto igual de ellos y
ası́ formar una nueva unidad de tiempo denominada tic, ası́, p. ej., en la fig. 4.2 el tic es de 3 puntos, o
equivalentemente 3 veces 1/60 s, en otras palabras, se tiene otra manera de medir tiempo. Las alturas
hi se han tomado desde el primer punto hasta el respectivo tic.
Téngase en cuenta el hecho fı́sico que la velocidad que se determina para cada intervalo espacial de
la cinta, es una velocidad media para este intervalo. ¿Cuál es la elección del tiempo que se le asigna a
esta velocidad? Al final del n-intervalo espacial, la masa con la varilla de hierro ha caı́do una distancia
hn . El tiempo que empleo en recorrer esta distancia, desde el el primer punto es:
tn = tn−1 + Δtn
(4.1)
donde Δtn = tn − tn−1 es el intervalo de tiempo registrado por el chispómetro que corresponde al
tiempo de paso del n-ésimo intervalo espacial. Esto se ilustra esquemáticamente en la fig. 4.3. Por
tanto, se puede hacer un gráfico hn [tn ] en función de tn y obtener el valor de la aceleración g.
Si se aplica el anterior argumento para el gráfico de vn [tn ] en función del tiempo, se tiene un
pequeño error porque vn es la velocidad media en el n-ésimo intervalo y, por consiguiente, se debe
asociar a un valor de tiempo intermedio tcn , definido como:
tcn = tn−1 +
Δtn
2
(4.2)
38
Δt1
Δt2
Δt3
Δh1
Δh2
Δh3
v1 =
Δh1
Δt1
v2 =
h0 = 0
t0 = 0
Δh2
Δt2
v3 =
h1 = h0 + Δh1
t1 = Δt1
tc1 =
Δh3
Δt3
h2 = h2 + Δh2
t2 = t1 + Δt2
Δt1
2
tc2 = tc1 +
Δt2
2
Figura 4.3: Esquema de corrección de los tiempos asignados a cada intervalo.
▼
v (m/s)
▼
▼
g
vn
▼
▼
▼
▼
▼
g > g
t (s)
tcn
tn
Figura 4.4: Ilustración de la variación de la pendiente de la función v[t] en función del tiempo t. La lı́nea
continua representa la variación de vnc con respecto a tcn o g y la lı́nea a trazo es vn con respecto a tn o g > g.
y no al tiempo tn , que está asociado al intervalo en que finaliza el n-ésimo recorrido espacial. En
resumen, los gráficos de xn [tn ] y vn [tcn ] son equivalentes y, en cierto modo, el segundo es la derivada
del primero. En la fig. 4.4 se observa también que g > g, donde g es la pendiente del gráfico vn como
función de tn y g se obtiene del gráfico vnc como función de tcn .
4.5.2 Segunda parte
4.5.2.1 Medición de tiempos
❶ Construyan un péndulo simple.
❷ Con la regla de madera, midan una longitud adecuada de su péndulo (mayor de un metro) y
manténgala constante.
❸ Midan un ángulo menor de 15◦ con el transportador y ponga a oscilar su péndulo (siempre al
mismo ángulo).
❹ Con un reloj común tomen el tiempo que dura una oscilación.
❺ Tomen un T errado, p. ej., puede ser que tomen el proyectil antes o después de terminar la
oscilación.
❻ Tomen dos veces el tiempo para 5, 10, 15, 20 y 30 oscilaciones.
39
4.5.2.2 Relación con el ángulo
❶ Con un ángulo mayor de 20◦ y el cronómetro midan T dos veces, aumentando cada vez de 5◦ a
10◦ .
4.5.2.3 Relación con la masa
❶ Cambien la masa del proyectil por otra.
❷ Registren un periodo.
❸ Cambien por otra masa diferente y repitan el anterior ı́tem.
4.5.2.4 Relación con la longitud
❶ Disminuyan en 10 cm la longitud inicial.
❷ Registren un periodo.
❸ Continúen disminuyendo la longitud cada 10 cm, hasta obtener una longitud final de 10 cm a
15 cm.
4.6 Análisis
4.6.1 Primera parte
✑ Organicen de 8 a 10 subconjuntos iguales de puntos por cada cinta, e. d., de 8 a 10 tic.
✑ Midan las alturas hn , como se ilustra en la fig. 4.2 y completen las tablas 4.1 a 4.4.
✑ Por cada tabla, hagan la gráfica de hn (cm) como función de tn (tics), dado por (4.1). ¿Qué forma
tiene?
✑ Usando las ecs. (4.1) y (4.2) hagan un gráfico de hn /tn y hn /tcn . ¿Qué forma tiene?
✑ De cada gráfica, calculen su intercepto y pendiente. ¿Qué información obtienen?
✑ Con los valores obtenidos calculen: g (1.17), sx (1.19), CV (1.20) y error de muestreo (1.25), con
una probabilidad del 90 % (t0,90 , según tabla 1.3).
✑ Discutan sus resultados, al usar (4.1) y (4.2).
✑ Reporten el valor de g con su respectivo IC (1.24).
✑ ¿Se encuentra su valor esperado en su IC? Caso que no se encuentre con el 90 % de probabilidad,
¿con qué probabilidad se encuentra su valor esperado en su IC?
✑ Haga un gráfico de su IC tal como en se ilustra en la fig. 1.10.
4.6.2 Segunda parte
✒ Completen la tabla 4.1 para T medido con el reloj común.
✒ Calculen T , desviación estándar, CV, IC y error porcentual con una probabilidad del 90 % (t0,90 )
utilizando la tabla 1.3.
✒ Completen las tablas 4.2–4.9 para T medido con el cronómetro.
✒ Calculen T sólo para cualesquier de las tablas 4.2–4.9.
✒ Completen la tabla 4.10 para el tiempo medido para las diferentes oscilaciones (de 5 a 30).
40
✒ Calculen T para las diferentes oscilaciones.
✒ Discutan sus resultados obtenidos de las tablas 4.1, 4.2 y 4.10. ¿Es posible, con las técnicas
utilizadas, determinar el periodo con un error menor que el 1 %?
✒ Con las tablas 4.6–4.9, organicen todos los datos en forma ascendente sin omitir los datos que
se repitan.
✒ Realicen un histograma que muestre la frecuencia de ocurrencia de cada medición.
✒ Analicen la forma de su histograma con el mostrado en la fig. 1.7. ¿Qué puede decir acerca del
carácter de la distribución de los resultados obtenidos en sus mediciones? ¿Están los valores
distribuidos normalmente?
✒ ¿Cuántos datos caen dentro del intervalo T ± sx ?
✒ Hagan una prueba de datos dudosos y descártelos con una confiabilidad del 95,45 %. ¿Qué porcentaje de los datos caen fuera del intervalo T ± 2sx ?
✒ Para las diferentes amplitudes mayores de 20◦ , registren T en la tabla 4.11.
✒ Determinen T para las diferentes amplitudes.
✒ Detecta alguna diferencia del perı́odo para las distintas amplitudes?
✒ Al cambiar la masa, completen las tabla 4.12 y 4.13.
✒ Determinen T para las tablas 4.12 y 4.13.
✒ Hagan un gráfico de T en función de la masa m.
✒ ¿Qué dependencia encuentran entre T y m.
✒ ¿Encuentra alguna ventaja en tener un péndulo con una masa más grande? ¿Qué pasa si la masa
se hace nula?
✒ Si tratan de usar el péndulo que acaban de estudiar como reloj; discutan y analicen para este
reloj: su alcance (o rango máximo de tiempo que puede medir), exactitud y precisión.
✒ Reporten el valor de la gravedad con su IC (1.24) y haga un gráfico de su IC tal como en se
ilustra en la fig. 1.10. ¿Qué pueden concluir?
✒ ¿Se encuentra su valor esperado en su IC? Caso que no se encuentre con el 90 % de probabilidad,
¿con qué probabilidad se encuentrá?
✒ Para la variación de la longitud, completen las tablas 4.14–4.19.
✒ Hagan un gráfico de T en función de la longitud, usando tanto escalas lineales como logarı́tmicas.
✒ De acuerdo con la gráfica en escalas lineales, ¿qué dependencia hay entre T y la longitud l del
péndulo.
✒ Traten de linealizar la gráfica anterior.
✒ Encuentren el valor de la pendiente y el intercepto. ¿Qué información pueden obtener de ellos?
✒ Del gráfico de escalas logarı́tmicas, ¿cuál es el valor de la pendiente y el intercepto?
✒ Comparen los resultados obtenidos de los dos gráficos anteriores.
✒ Reporten sus resultados con la respectiva dispersión.
✒ Con los datos de g obtenidos de la primera y segunda parte compárenlos (sección §1) aplicando
la fórmula (1.27) y decida que método escoge para calcular la gravedad en un determinado lugar.
✒ Discutan por qué escogió ese método.
De los gráficos y preguntas, tanto de la primera como la segunda parte, hagan sus conclusiones.
41
Tabla de datos (Medición de la gravedad)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
hn (
)
tn ( )
Plan:
Plan:
Plan:
tcn ( )
hn ( )
Tabla 4.1:
hn (
)
tn ( )
t( )
Tabla 4.5:
tcn (
)
tcn (
)
Tabla 4.2:
tcn ( )
hn ( )
Tabla 4.3:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tn ( )
tn ( )
Tabla 4.4:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t( )
Tabla 4.6:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
Tabla 4.7:
)
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
Tabla 4.8:
)
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
Tabla 4.9:
)
42
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t( )
Tabla 4.10:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t( )
Tabla 4.15:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t( )
Tabla 4.20:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t( )
Tabla 4.11:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t( )
Tabla 4.16:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t( )
Tabla 4.21:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
)
Tabla 4.12:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
)
Tabla 4.17:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
)
Tabla 4.13:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
)
Tabla 4.18:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
)
Tabla 4.14:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t(
)
Tabla 4.19:
CAPÍTULO
5
Carril de aire y fotodetector
Tarea de preparación
1. Un carrito sobre un carril de aire tiene una aceleración uniforme de 0,172 m/s2 . ¿Cuál es la
velocidad del carrito después de 4,00 s si parte del reposo?
2. Cuánto viaja el carrito de la pregunta anterior en 4,00 s si parte del reposo?
3. En la fig. 5.1, ¿cuáles son las fuerzas que actúan sobre el carrtiro de masa M que debe considerarse
para determinar la aceleración del sistema? Cuales fuerzas que actúan sobre M no contribuyen
a la aceleración?
4. ¿cuáles son las fuerzas que actúan sobre la masa m de la fig. 5.1?
5. Describa brevemente el cronómetro programable y el fotodetector.
43
44
5. Carril de aire y fotodetector
5.1 Objetivos
5.1.1 Objetivo general
✔ Usar un fotodetector para la adquisición de datos e interpretarlos.
5.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Hacer gráficas para visualizar el comportamiento de la aceleración resultante de un sistema.
✓ Utilizar el ajuste de mı́nimos cuadrados para juzgar la linealidad de la relación de los datos y
determinar el valor del intercepto y de la pendiente, con sus respectivas desviaciones.
✓ Estudiar el comportamiento de la aceleración del sistema sometido a la fuerza gravitatoria y
compararlo con las expectativas teóricas.
✓ Hacer consideraciones acerca del modelo teórico desarrollado y decidir acerca del efecto de los
elementos despreciados.
5.2 Equipamiento
☞ Carril recto de aluminio, con una polea liviana y de baja fricción, en uno de sus extremos.
☞ Cuerda liviana y resistente (3 m).
☞ Carrito de aluminio con once orificios y once
postes metálicos cilı́ndricos.
☞ Fotodetector (Pasco Scientific).
☞ Pesas de 10 g y una pesa de 5 g.
☞ Un portapesas liviano.
☞ Cronómetro programable (Aslab 1 o Science
First).
☞ Calibrador.
☞ Compresor de aire y manguera flexible.
☞ Balanza.
5.3 Montaje experimental
El sistema consta de un carril de aire a, un fotodetector f, un cronómetro programable l, montado
sobre una mesa como se ilustra en la fig. 5.1. El carrito M, se acaballa al carril y uno de sus extremos
se une una cuerda liviana c, a una masa m por medio de una polea p.
Figura 5.1: Esquema ilustrativo del montaje experimental y sus principales elementos.
45
5.3.1 Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos
✍ El compresor de aire (no indicado en la fig. 5.1) debe estar enchufado a una toma de 110 V. Su
salida de aire debe estar conectada a un extremo del carril mediante una manguera flexible.
✍ Cerciórese que la superficie superior del carril no presente irregularidades de ninguna ı́ndole y
esté totalmente limpia. Si requiere limpieza, solicite un trapo limpio y alcohol.
✍ Encienda el compresor y verifique que no haya los pequeños orificios de la superficie superior del
carril no se encuentren obstruido.
✍ El herraje, que sostiene la polea en el extremo del carril, debe estar bien ajustado y la polea
debe rotar con facilidad (muy poca fricción).
✍ El carrito debe estar limpio, en especial por su parte inferior, por donde se acaballa al carril. Los
bordes y esquinas del carrito no deben presentar deformaciones o asperezas. En caso de haber
alguna, informe al instructor para solucionar la irregularidad.
precaución: Procure no deslizar el carrito sobre el carril sin estar encendido el compresor para
no tupir los orificios y no deteriorar las superficies.
✍ Con el compresor funcionando, ubique el carrito en varios lugares a lo largo del carril y compruebe
que éste esté nivelado. De no estarlo, nivélelo mediante el tornillo de ajuste que se encuentra en
la parte inferior del carril.
✍ Un extremo de la cuerda debe estar atado al borde ((delantero)) del carrito y el otro extremo
al gancho del portapesas. La longitud de la cuerda debe permitir que el portapesas caiga desde
una altura cercana a la polea cuando el carrito está próximo al extremo opuesto.
✍ Inmovilice el carrito al carril por medio de la cuerda que está unida en el borde ((trasero)) del
carrito, mientras se establece el ((colchón de aire)).
✍ En la parte superior del carrito hay 11 perforaciones, prácticamente equidistantes, en las que
porta 11 pequeños ((postes)). Verifique que los postes estén insertados en los orificios, firmes y
paralelos entre sı́.
✍ El cronómetro digital programable debe estar alimentado por una pequeña fuente de voltaje dc
que debe conectarse al tomacorriente.
✍ El fotodetector funciona en conjunto con un cronómetro programable (ver apéndice A para el
funcionamiento delo cronómetros aslab, al cual debe estar conectado.
5.3.2 Funcionamiento del cronómetro programable y del fotodetector
☎ La fig. 5.2 ilustra esquemáticamente las partes frontal y lateral de un fotodetector, el cual consta
de un soporte rı́gido y en su parte superior está montado un fotoemisor e, y frente a él, a unos
cuantos centı́metros de separación, hay un fotorreceptor r.
☎ e emite un estrecho haz continuo de luz infrarroja enfocado a r. Si un objeto opaco cualquiera
se interpone en la trayectoria e interrumpe el haz de luz, aún cuando sea por unos pocos microsegundos, r sufre un cambio de estado que genera una señal de control y ésta es percibida por
el cronómetro digital.
☎ El fotodetector debe estar dispuesto como se sugiere en la fig. 5.1, de tal forma que los postes lo
atraviesen y corten el haz de luz, mientras pasa el carrito en su trayecto de un extremo al otro
del carril.
☎ El borde delantero del primer poste inicia el conteo de tiempo en el cronómetro. El borde
delantero del segundo poste hace que el cronómetro registre el tiempo transcurrido hasta ese
momento, con una precisión del orden de las diezmilésimas de segundo. Ası́ mismo ocurrirá con
los demás postes; es decir, para cada poste se registra el intervalo de tiempo transcurrido desde
46
e
Lateral
r
Frontal
Figura 5.2: Esquema del fotodetector.
que se inició el cronómetro hasta que pasa el poste respectivo. El cronómetro tiene 10 memorias
en las que registra los 10 intervalos de tiempo correspondientes al paso de los 11 postes.
5.4 Consideración teórica
El sistema consta de 4 cuerpos: el carrito de masa M , la masa colgante m, la cuerda liviana y la polea
liviana de baja fricción.
Una posible aproximación teórica al problema del movimiento de dicho sistema comienza con las
siguientes consideraciones:
❍ La cuerda se asume inextensible y liviana, e. d., se despreciar su masa. Con esto, su único papel
es el de unir las masa M y m, haciendo que se muevan en una dirección.
❍ La polea por ser liviana se puede despreciar su momento de inercia y por ser de baja fricción no
presenta dificultad para rotar.
❍ Como el carrito se desplaza sobre un ((colchón de aire)), la fricción se reduce a niveles despreciables
y el carril solo sostiene el carrito, ejerciendo una fuerza normal N.
Con estas simplificaciones se puede modelar el sistema considerando sólo el carrito M y el objeto
colgante m, por tanto, actúan sólo tres fuerzas externas sobre el sistema, cuyas magnitudes son: los
pesos M g, mg y N . A lo largo del eje del movimiento, mg no se equilibra y, por tanto, acelera al
sistema.
Los diagramas de fuerza, para cada cuerpo, se ilustran en la fig. 5.3; la tensión T indica la presencia
de la cuerda. Nótese que T sobre M se ha tomado de igual magnitud que T sobre m, la razón se debe
a que se ha despreciado tanto las inercias de la cuerda y de la polea como el rozamiento en el eje de
la polea.
La dinámica del sistema se analiza mediante las leyes de Newton: Las aceleraciones de M y m se
consideran iguales porque la cuerda que los une se ha considerado inextensible. El carrito M se mueve
horizontalmente, por tanto:
N − Mg
T
= 0
(5.1)
= Ma
(5.2)
El carrito m se mueve verticalmente, por tanto:
mg − T = ma
(5.3)
Al sustituir (5.2) en (5.3) se obtiene que:
m
g
(5.4)
m+M
siendo que la gravedad es constante en el espacio donde opera el sistema, mientras las masas m y
M no varı́en, la aceleración del sistema permanece constante. La ec. (5.4) sugiere una variación de la
aceleración al variar la masa colgante m, lo que se puede estudiar experimentalmente.
a=
47
mvto
N
T
mvto
M
m
T
mg
Mg
(a)
(b)
Figura 5.3: Diagrama de fuerzas para: (a) masa M , (b) masa m.
5.4.1 Acerca de la medición de la aceleración
Teóricamente hemos concluido que el movimiento del carrito M es uniformemente acelerado a lo largo
de su trayectoria recta, sobre el carril de aire; por lo tanto, sus ecuaciones cinemáticas, estando en el
origen (x0 = 0) y en reposo (v0 = 0), son:
a
=
a0
(5.5)
v
=
a0 t
1
a0 t
2
(5.6)
x =
(5.7)
A partir de estas ecuaciones se intenta obtener una expresión que ayude a la interpretación y al
análisis teórico. Con el sistema indicado en la fig. 5.1, suponga que el carrito se suelta, partiendo del
reposo. Al haber recorrido una distancia D, el borde delantero del primer poste corta el haz de luz
del fotodetector. La fig. 5.4 muestra dicha distancia. Sea d la distancia entre los frentes delanteros de
dos postes, t1 el tiempo transcurrido desde que se inició el movimiento hasta cuando el primer poste
corte el haz de luz, durante el cual el carrito recorrió una distancia D y sea t2 el tiempo transcurrido
hasta cuando el otro poste corte el haz, durante el cual recorrió una distancia D + d.
Figura 5.4: Esquema que ilustra las distancias.
De la ec. (5.7) podemos escribir que:
D=
1 2
a0 t
2 1
(5.8)
y
1 2
a0 t
(5.9)
2 2
Ahora bien, lo que el cronómetro mide es el intervalo de tiempo transcurrido entre el paso del
primer poste y el paso del otro poste. Esto es, el cronómetro registra la diferencia Δt12 = t2 − t1 .
D+d=
48
Despejando t1 y t2 de (5.8) y (5.9) se calcula Δt12 , obteniendo:
√
2 √
Δt12 ≡ t2 − t1 =
( D + d − D)
a0
(5.10)
Esta expresión puede ser de utilidad para la interpretación de los datos del experimento y, a su vez,
sugiere una manera para medir la aceleración del sistema.
5.5 Procedimiento
① Pesen M (carrito), m (portapesas) y m1 , m2 , . . . , m5 (discos que utilizarán).
② Midan las distancias d1 , d2 , d3 , . . . , d10 , e. d., entre el frente delantero del primer poste y el frente
delantero de los postes que utilizará.
③ Definan la posición del fotodetector para seleccionar la distancia D entre el frente del primer
poste y el fotodetector. Tengan en cuenta que el carro debe estar acelerado mientras los postes
atraviesan el fotodetector.
④ Siguiendo el procedimiento indicado en el apéndice A, preparen el cronómetro para tomar medidas. Usen como primera masa colgante a m1 y ubique el carrito en la posición inicial, manteniéndolo quieto, Esperen hasta que se establezca el colchón de aire que separar el carro de
la superficie del carril. Suelten el carrito y una vez atraviese completamente el fotodetector
deténgalo. Apaguen el compresor y procedan a revisar los tiempos registrados en las memorias
del cronómetro. Tomen sólo los seis primeros datos.
⑤ Modifiquen la masa del portapesas y repita el procedimiento para las cinco masas diferentes.
5.6 Análisis
✑ Registren los valores de mi , M y m en la tabla 5.1.
✑ Completen la tabla 5.2 con los diferentes di y sus correspondientes Δti para las masas mi .
√
√
✑ Calculen Ωi = D + di − D y llenen la tabla 5.3.
✑ Grafiquen, en una misma hoja milimetrada, Δti en función de Ωi , para cada conjunto de valores
obtenidos con una determinada masa colgante. Usen sı́mbolos diferentes para cada conjunto de
datos.
✑ Usando mı́nimos cuadrados, obtengan a, b y r.
✑ Calculen los valores de las aceleraciones ai , para cada masa colgante, llenando la tabla 5.4.
✑ Comparen sus resultados con la ec. (5.10).
✑ Calculen Θi = mi /(mi + M ) completando la tabla 5.4.
✑ Grafiquen ai en función de Θi y comparen su resultado con la ec. (5.4).
✑ Reporten el valor de g con su incertidumbre.
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
49
Tabla de datos (Carril de aire y fotodetector)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
m1 ( )
m2 ( )
m3 (
)
m4 ( )
Plan:
Plan:
Plan:
m5 ( )
M (
Tabla 5.1:
di (
Δt (
m1
Δt (
m2
Δt (
m3
Δt (
m4
Δt (
m5
Ωi (
)
)
m2
m2
m2
m2
m2
di ( )
Δt ( )
m1
Δt ( )
m2
Δt ( )
m3
Δt ( )
m4
Δt (v)
m5
)
)
)
)
Tabla 5.3:
)
m2
m2
m2
m2
Continuación Tabla 5.2:
Tabla 5.2:
Δt (
m( )
Continuación Tabla 5.1:
)
Ωi ( )
)
mi ( )
ai ( )
Tabla 5.4:
Θi (
)
m2
CAPÍTULO
6
Determinación experimental de una trayectoria
Tarea de preparación
1. Una partı́cula es lanzada con una velocidad de 25,0 m/s con un ángulo θ = 35◦ por encima
del eje X. La partı́cula no tiene acelerción en la dirección X, pero hay y una aceleración en la
dirección Y de magnitud 5,00 m/s2
a) ¿Cuál es la velocidad inicial de vx en t = 0 s?
b) ¿Cuál es la velocidad inicial de vy en t = 0 s?
c) ¿Cuál es el valor de vx en t = 2, 00 s?
d ) ¿Cuál es el valor de vy en t = 2, 00 s?
e) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la partı́cula en t = 2, 00 s?
2. Una partı́cula se mueve de tal forma que sus coordenadas de posición x e y como función del
tiempoestán dadas por la siguiente tabla:
x (m)
y (m)
t (s)
0,00
0,00
0,00
0,550
1,425
0,100
1,100
2,700
0,200
1,650
3,825
0,300
2,200
4,800
0,400
2,750
5,625
0,500
3,300
6,300
0,600
3,850
6,825
0,700
4,400
7,200
0,800
a) ¿Cuál es velocidad promedio de la partı́cula en la dirección y, vy entre t = 0, 200 s y
t = 0, 300 s? ¿Cuál es vy entre t = 0, 400 s y t = 0, 500 s? ¿Cuál es vy entre t = 0, 700 s y
t = 0, 800 s?
b) ¿Cuál es velocidad promedio de la partı́cula en la dirección x, vx entre t = 0, 200 s y
t = 0, 300 s? ¿Cuál es vx entre t = 0, 400 s y t = 0, 500 s? ¿Cuál es vx entre t = 0, 700 s y
t = 0, 800 s?
c) ¿Cuál es velocidad instantánea de la partı́cula en la dirección y, vy en t = 0, 250 s? ¿Cuál
es vy entre t = 0, 450 s? ¿Cuál es vy entre t = 0, 750 s?
Ayuda Asuma que la velocidad promedio durante un intervalo de tiempo es igual a la
velocidad instantánea en el centro del intervalo de tiempo.
50
51
6. Determinación experimental de una trayectoria
6.1 Objetivos
6.1.1 Objetivo general
✔ Obtener la ecuación experimental de la trayectoria del movimiento de un balı́n lanzado, muchas
veces, desde una misma cierta altura por una pista curvada.
6.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Utilizar el método de linealización para determinar la ecuación de la trayectoria.
✓ Medir indirectamente la velocidad de salida del proyectil y el ángulo de salida de la pista.
✓ Determinar los parámetros que cuantifican la dispersión en los datos correspondientes al eje Y .
✓ Utilizar el método de mı́nimos cuadrados para juzgar la linealidad de la relación de los datos y
determinar los valores de la pendiente y del intercepto.
6.2 Equipamiento
☞ Soporte vertical (en forma de L) con ajuste.
☞ Un calibrador.
☞ Pista de aluminio curvada fija a la mesa.
☞ Flexómetro.
☞ Cintas de papeles carbón blanco.
☞ Un balı́n.
☞ Cinta de enmascarar.
☞ Plomada.
6.3 Montaje experimental
El sistema consta de una pista de aluminio curvada p, sobre el cual rueda un balı́n b (proyectil) y un
soporte vertical V como se ilustra en la fig. 6.1:
Figura 6.1: Esquema ilustrativo del montaje experimental y sus principales elementos.
52
6.3.1 Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos
✍ La pista de aluminio debe estar fija a la mesa; verifique que las prensas y la nuez estén ajustadas
y que la pista no presente deformaciones o tropiezos.
✍ Utilice la plomada para comprobar que el soporte en forma de L presenta una superficie vertical
al piso; de no estarlo, mueva los tornillos de la base del soporte hasta conseguir la verticalidad
requerida.
6.4 Consideración teórica
El movimiento del balı́n después de abandonar la pista tiene una dinámica sencilla. Despreciando el
rozamiento con el aire, el movimiento está gobernado por el peso del balı́n, dando como resultado una
aceleración constante, igual a la gravedad local.
Un cuerpo lanzado con una velocidad v0 formando un ángulo θ0 con respecto a la horizontal, en
presencia de un campo gravitatorio uniforme g, describe una trayectoria en el plano formado por los
vectores v0 y g.
Escogiendo los ejes de tal forma que la aceleración esté en la dirección del eje Y , las ecuaciones
del movimiento de la coordenada x serán las de un movimiento uniforme (no acelerado):
ax = 0
vx = v0 cos[θ0 ]
x = x0 + v0 cos[θ0 ]t
(6.1)
(6.2)
(6.3)
Las ecuaciones de movimiento de la coordenada y serán las de un movimiento uniformemente
acelerado (caı́da libre):
ay = g ≡ const.
(6.4)
vy = v0 sen[θ0 ]
(6.5)
1
y = y0 + v0 sen[θ0 ]t + gt2
2
(6.6)
Para analizar la trayectoria del balı́n, es posible ubicar un origen de las coordenadas en el punto
donde su centro de masa abandona la pista; es decir, x0 = 0 e y0 = 0. Las ecs. (6.3) y (6.6) permiten
calcular las coordenadas de la partı́cula en un tiempo cualquiera, a partir de una posición inicial dada,
es decir:
g
x2
(6.7)
y = tan[θ0 ]x +
2v0 cos2 [θ0 ]
La ec. (6.7), sugiere una trayectoria parabólica para el balı́n, de la forma:
y = Ax + Bx2
(6.8)
La ec. (6.8) se puede linealizar para obtener los valores de los coeficientes A y B e interpretarlos de
acuerdo con (6.7).
6.5 Procedimiento
① Marquen en el piso las posiciones del soporte x0 = 0 y xmáx que utilizarán.
② Fijen entre x0 y xmáx , unas diez (10) posiciones equidistantes en las que irán ubicando el soporte
de manera secuencial a medida que avanza el experimento.
③ Coloquen la tira de papel blanco sobre la superficie vertical del soporte y cúbrala con la tira de
papel carbón; fije ambas tiras al soporte.
④ Ubiquen el soporte en la posición x0 y obtengan el registro de la posición y0 .
53
⑤ Mueva el soporte hasta la posición siguiente (x1 ) y registre la coordenada y1 , para tres lanzamientos.
⑥ Repitan el procedimiento anterior para cada una de las siguientes posiciones xi marcadas pero,
como podrá observar, a medida que aumenta xi hay una mayor dispersión en los registros de yi
correspondientes y, por lo tanto, cada vez deberá incrementar el número de lanzamientos con el
objeto de medir la dispersión.
6.6 Análisis
✑ Definan como origen (y0 = 0) el primer punto (el registro más alto) y mida para cada valor de xi
el conjunto de valores de yi correspondiente. Completen las dos primeras columnas de la tabla
8.1.
✑ Determinen para cada coordenada xi , los correspondientes valores yi . Calculen la media (1.17),
sx (1.19), CV (1.20), completando las columnas 3–5.
✑ Calculen, para cada conjunto, la distancia entre el mı́nimo valor (yi,mı́n ) y el máximo (yi,máx )
de yi , e. d., Δyi = yi,máx − yi,mı́n . Ası́, para cada coordenada xi se tiene una coordenada yi dada
por:
Δyi
(6.9)
yi = y i ±
2
✑ Comparen, por cada intervalo, el CV con la ec. (6.9). Discuta sus resultados.
✑ Hagan un gráfico de yi en función de xi con sus respectiva barras de error. ¿Qué tipo de gráfica
obtuvieron?
✑ Calculen los cocientes zi = yi /xi , completando la última columna.
✑ Hagan un gráfico de zi en función de xi . ¿Qué gráfica obtuvieron?
✑ De la gráfica anterior obtenga los valores del intercepto, la pendiente con sus correspondientes
incertidumbres.
✑ Calcule la velocidad de salida del balı́n v0 y el ángulo de salida θ0 .
✑ Compare sus resultados con la ec. (6.7).
✑ Reporte sus datos con la respectiva dispersión.
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
54
Tabla de datos (Determinación experimental de una
trayectoria)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
No
1
xi ( )
yi ( )
yi (
Plan:
Plan:
Plan:
)
sx (
2
3
4
5
6
7
8
9
Tabla 6.1:
)
CV
Δyi ( )
yi /xi
CAPÍTULO
7
Colisiones
Tarea de preparación
1. ¿Cuál es la definición de momentum lineal?
2. ¿Cuáles son las condiciones bajo las cuales el momentum lineal de un sistema de partı́culas se
conserva?
3. ¿Cuántos tipos de colisiones existen? ¿Cuáles son sus caracterı́sticas?
4. Un carro de masa 1 800 kg para en un semáforo y es golpeado por un carro de 900 kg de masa
y los dos quedan unidos. Si el carro más pequeño se movı́a a 20,0 m/s antes de la colisión, ¿cuál
es la velocidad final después de la colision?
55
56
7. Colisiones
7.1 Objetivos
7.1.1 Objetivo general
✔ Comprobar el principio de conservación de la cantidad de movimiento para el caso de dos cuerpos
que colisionan elástica e inelásticamente en una dimensión.
7.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Medir indirectamente las velocidades antes y después para las colisiones elástica e inelástica.
✓ Hacer consideraciones acerca del modelo teórico desarrollado y decidir acerca del efecto de los
elementos despreciados.
7.2 Equipamiento
☞ Carrito pequeño (masa m2 ).
☞ Carril de aire.
☞ Carrito grande (masa m1 ).
☞ Plastilina.
☞ Un chispómetro.
☞ Balanza.
7.3 Montaje experimental
El sistema consta de un carril de aire a, dos carritos, m1 y m2 , acaballados al carril y éste sobre
una mesa firme como se ilustra en las figs. 7.1 y 7.2. Los registros de tiempo requeridos son tomados
haciendo uso del chispómetro g.
Figura 7.1: Esquema experimental de un choque elástico.
La fig. 7.1 ilustra el estudio de una colisión elástica y la fig. 7.2 la inelástica.
Figura 7.2: Esquema experimental de un choque inelástico.
57
Ambas situaciones se hacen sobre una dimensión y bajo la considerando que no hay fricción entre
los cuerpos que se mueven (carritos) y la superficie por la cual se deslizan (carril de aire).
7.3.1 Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos
✍ Para aproximarnos a las condiciones de sistema aislado, es importante que el carril de aire
se encuentre muy bien nivelado. Cerciórese de cumplir esta condición colocando el carrito en
diferentes partes del carril y, con el aire actuando, suéltelo para observar su comportamiento.
Es posible que detecte desniveles locales (valles o crestas), pero si el carro, por sı́ solo, no logra
velocidades apreciables podrá determinar si el carril, en promedio, está nivelado. De no estarlo,
proceda a nivelarlo mediante el ajuste de los tornillos del soporte.
✍ El chispómetro es un cronómetro de chispas. El tiempo transcurrido entre chispa y chispa es de
1/60 de segundo; no obstante, usted puede tomar como unidad de tiempo el espacio entre una,
dos, cinco, etc. marcas dejadas por él.
7.4 Consideración teórica
La cantidad de movimiento lineal o momentum p, se define como la masa del cuerpo m en
movimiento veces su velocidad v, ası́:
p = mv
(7.1)
Consideremos un sistema de dos partı́culas donde el momentum total antes del choque es:
pt = p1 + p2 = m1 v1 + m2 v2
(7.2)
Para un sistema aislado, el momentum total del sistema después del choque es (ver fig. 7.2):
pt = p1 + p2 = m1 v1 + m2 v2
(7.3)
7.4.1 Colisión elástica
Experimentalmente se puede encontrar que pt = pt , lo cual significa que
El momentum total de un sistema compuesto de dos partı́culas entre las que sólo hay la
interacción mutua permanece constante.
Para el caso del sistema aislado de dos partı́culas tendremos que:
p1 + p2 = p1 + p2
(7.4)
7.4.2 Colisión inelástica
En este caso la energı́a cinética de las partı́culas o cuerpos interactuantes no permanece constante y por
lo tanto puede transformarse en otras formas de energı́a. En el caso de una colisión 1-D perfectamente
inelástica, el principio de conservación del momentum implica que:
m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v
(7.5)
donde, v1 y v2 son las velocidades de los carritos antes de la colisión. Después del choque, los dos
carritos se mueven como uno solo de masa (m1 + m2 ) con velocidad v .
En el diseño experimental mostrado en la fig. 7.2, adoptaremos la situación en la cual v2 = 0, de
modo que la ec. (7.5) permite obtener la relación
v1 =
m1 + m2 v
m1
la cual predice la forma como se relacionan las velocidades antes y después del choque.
(7.6)
58
7.5 Procedimiento
7.5.1 Choque elástico
① Pesen los carritos por separado.
② Una vez que el carril esté nivelado impulse el carrito de masa m1 con una velocidad suficientemente alta de tal manera que las marcas dejadas en el papel termosensible por el chispómetro,
correspondientes a los dos carritos, puedan ser perfectamente diferenciables.
Deben tener cuidado que al impulsar el carrito no vaya a recibir una descarga eléctrica.
③ Doble los alambres de los carritos de tal manera que las chispas de uno de ellos deje sus huellas
en la parte superior de la cinta termosensible y las huellas de las chispas del otro se registren en
la parte inferior de la cinta.
④ La posición del carrito m2 antes del choque debe ser escogida de tal manera, que haya un buen
espacio para ser recorrido por el carrito m1 antes del choque y que quede espacio adecuado para
el registro del movimiento de ambos carritos después del choque.
⑤ Cuando esté seguro de que todo funciona adecuadamente, coloque la cinta termosensible y
empiece a registrar las huellas de camino de los carros.
⑥ El chispómetro debe estar conectado desde que se impulsa el carrito m1 , antes del choque, hasta
el momento en que justo el carro m2 llegue al otro extremo del carril de aire.
⑦ Repitan la toma de datos una o dos veces.
7.5.2 Choque inelástico
❶ Pesen los carritos juntos (uno de ellos tiene platillina).
❷ Acaballen los carritos al carril.
❸ Cerciórese que los carritos queden unidos después de la colisión.
❹ Procedan a montar la cinta para ejecutar el experimento.
❺ Repitan la toma de datos una o dos veces.
7.6 Análisis
7.6.1 Choque elástico
✑ Regitren los valores de m1 y m2 en la tabla 7.1.
✑ Con las cinta registradas de puntos escojan de 8 a 10 intervalos, llenando las tablas 7.2 y 7.3.
✑ En papel milimetrado representen gráficamente la distancia recorrida por ambos carros en función de la unidad del tiempo antes y después del choque. ¿Qué representa la pendiente de cada
una de estas curvas?
✑ Calculen la cantidad de movimiento del sistema de los dos carritos antes y después del choque.
✑ Calculen su respectivo error. ¿Hay conservación de la cantidad de movimiento en los dos casos?
Explique.
59
7.6.2 Choque inelástico
✒ Regitren los valores de m1 + m2 en la tabla 7.1. Comparen con los valores de m1 y m2 por
separado.
✒ Repitan el mismo procedimiento seguido para la colisión elástica, completando las tablas 7.4 y
7.5.
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
60
Tabla de datos (Colisiones)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
m1 ( )
Plan:
Plan:
Plan:
m2 (
)
m1 + m2 (
)
Tabla 7.1:
xi (
)
ti (
Tabla 7.2:
)
xi ( )
ti ( )
Tabla 7.3:
xi ( )
ti (
Tabla 7.4:
)
xi ( )
ti ( )
Tabla 7.5:
CAPÍTULO
8
Coeficiente de fricción
Tarea de preparación
1. Complete la siguiente frase:
“La dirección de la fuerza de fricción es siempre una dirección . . . . . . . . . . . . a la dirección del
movimiento”.
2. Hay dos clases de coeficiente de fricción. Describa la condición bajo la cual es apropiado usar
cada uno. ¿Cuál es la relación que hay entre estas dos cantidades?
3. Suponga un bloque de masa 25,0 kg esta en reposo sobre un plano inclinado, el coeficiente de
fricción entre las superficies es de 0,220.
a) ¿Cuál es la máxima fuerza estática posible que actúa sobre el bloque?
b) ¿Cuál es la fuerza de fricción sobre el bloque si una fuerza externa de 25,0 N actúa horizontalmente sobre el bloque, paralela a la base del plano?
4. En el experimento para medir el coeficiente de fricción dinámico de un bloque que se desliza hacia
abajo, se requiere que el bloque se mueva a velocidad sea constante. ¿Por qué es es necesaria
esta condición?
61
62
8. Coeficiente de fricción
8.1 Objetivos
8.1.1 Objetivo general
✔ Medir el coeficiente de fricción entre dos bloques de madera.
8.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Comparar los coeficientes de fricción estático y dinámico.
✓ Hacer consideraciones acerca del modelo teórico desarrollado y decidir acerca del efecto de los
elementos despreciados.
8.2 Equipamiento
☞ Plano inclinado de madera con polea.
☞ Taco de madera.
☞ Portapesas.
☞ Dulceabrigo.
☞ Transportador.
☞ Nivel.
☞ Juego de pesas.
8.3 Montaje experimental
El sistema consta de un plano inclinado q, de uno a dos bloques de masas m1 y m2 , como se ilustra
en la fig. 8.1.
fe
N
N
q
m1
fd
m1 g
θ
T
T
q
m1
m2
m1 g
m2 g
θ
(a)
(b)
Figura 8.1: a) Montaje para μe . b) Montaje para μd .
8.3.1 Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos
✍ Limpien bien las superficies del plano inclinado como el taco de madera m1 con el dulceabrigo.
✍ Cerciorense que el plano inclinado está nivelado, para ello use el nivel.
63
8.4 Consideración teórica
8.4.1 Coeficiente de fricción estático
Del diagrama de fuerzas de la fig. 8.1a se tiene que:
m1 g sen[θ] − fe = 0
(8.1)
N − m1 g cos[θ] = 0
(8.2)
y por lo tanto el coeficiente de fricción estático queda:
μe = tan[θ]
(8.3)
siendo θ el ángulo mı́nimo para que el bloque se ponga en movimiento con respecto al plano.
8.4.2 Coeficiente de fricción dinámico
Del diagrama de fuerzas de la fig. 8.1b, cuando m1 se mueve hacia arriba del plano inclinado con
velocidad constante, se tiene que
m2 g − m1 g sen[θ] − fd = 0
(8.4)
siendo m2 la masa mı́nima necesaria para que el cuerpo se mueva hacia arriba con velocidad constante.
Cuando el m2 se mueve hacia abajo del plano con velocidad constante, se tiene que
m1 g sen[θ] − m2 g − fd = 0
(8.5)
siendo m2 la masa necesaria para que el cuerpo se mueva hacia abajo con velocidad constante. De las
ecs. (8.4) y (8.5) se obtiene que el coeficiente de fricción dinámico μd queda:
μd =
m2 − m2
2m1 cos[θ]
(8.6)
Igualando fd en las ecs. (8.4) y (8.5), se obtiene la siguiente relación:
m1 sen[θ] =
m2 + m2
2
(8.7)
Combinando las ecs. (8.6), (8.7) y si θ = 45◦ , queda que
μd =
m2 − m2
m2 + m2
(8.8)
8.5 Procedimiento
8.5.1 Coeficiente de fricción estático
① Hagan el montaje de la fig. 8.1a, seleccionando el plano bajo un ángulo θ pequeño y colocando,
en cualquier punto del plano, el taco de madera.
② Hagan variar el ángulo hasta conseguir que el cuerpo inicie el movimiento. En estas condiciones
hallen el valor del ángulo.
③ Repitan el procedimiento anterior 5 veces. Encuentren el promedio del ángulo.
④ Pesen y anoten el cuerpo m1 .
⑤ Coloquen pesas (Mi ) sobre m1 y repitan los dos primeros pasos anteriores.
64
8.5.2 Coeficiente de fricción dinámico
❶ Realicen el montaje de la fig. 8.1b, la inclinación debe ser de 45◦ .
❷ Coloquen una masa m2 (para cada masa proporcione una pequeña sacudida) hasta que el bloque
se mueva con velocidad constante hacia arriba, anote este valor.
❸ Pesen el cuerpo m2 .
❹ Coloquen una masa m2 hasta que el bloque se mueva hacia abajo con velocidad constante.
❺ Pesen el cuerpo m2 .
8.6 Análisis
8.6.1 Coeficiente de fricción estático
✑ Completen la tabla 8.1 para el coeficiente de fricción estático.
✑ Con los datos de la tabla 8.1 encuentren el ángulo θ y μe con su respectiva incertidumbre.
✑ ¿Por qué el coeficiente de fricción estático no permanece constante cuando se realizan varias
mediciones con el mismo cuerpo?
✑ ¿Qué efecto tiene el área de la superficie y el peso del cuerpo en el coeficiente de fricción estático?
✑ Reporten sus datos con la respectiva dispersión.
8.6.2 Coeficiente de fricción dinámico
✒ Repitan los tres primeros pasos anteriores, llenando la tabla 18.2.
✒ ¿Qué efecto tendrá la polea en la precisión del coeficiente de fricción dinámico?
✒ Comprueben la relación (8.7). Expliquen sus resultados.
✒ Reporten sus datos con la respectiva dispersión.
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
65
Tabla de datos (Coeficiente de fricción)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
m1
M1 ( )
Plan:
Plan:
Plan:
M2 ( )
M3 ( )
M4 ( )
Tabla 8.1:
m1 (
)
m2 ( )
Tabla 8.2:
m2 (v)
θ( )
CAPÍTULO
9
Fuerzas concurrentes
Tarea de preparación
1. Clasifique las siguientes cantidades en escalar o vector:
a) Volumen.
f ) Torque.
b) Densidad.
c) Velocidad.
g) Peso.
h) Masa.
d ) Aceleración.
e) Fuerza.
i) Rapidez.
2. Responda las preguntas de acuerdo con la figura 9.1:
A
B
Figura 9.1: Esquema de un par de fuerzas perpendiculares.
es un vector fuerza de magnitud 30 N y B
es un vector fuerza de 40 N de magnitud,
a) Si A
¿cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante obtenida por la adición vectorial
de las cantidades usando un método analı́tico?
b) ¿Cuál es la fuerza equilibrante que se necesitarı́a para compensar la fuerza resultante y cuál
es su dirección?
66
67
9. Fuerzas concurrentes
9.1 Objetivos
9.1.1 Objetivo general
✔ Estudiar el comportamiento de cada una de las fuerzas que intervienen tanto perpendiculares,
no perpendiculares, aproximadamente colineales como antiparalelas.
9.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Encontrar las direcciones y magnitudes de cada una de las fuerzas tanto perpendiculares, no
perpendiculares, aproximadamente colineales como antiparalelas.
✓ Hacer consideraciones acerca del modelo teórico desarrollado y decidir acerca del efecto de los
elementos despreciados.
9.2 Equipamiento
☞ Anillo con tres hilos ligados.
☞ Nivel.
☞ Prensas con sus poleas.
☞ Juegos de pesas.
☞ Mesa de fuerzas.
☞ Portapesas.
9.3 Montaje experimental
El sistema consta de una mesa de fuerzas, cuerdas y portapesas como se ilustra en la fig. 9.2.Esta
mesa de fuerza sirve para el estudio de dos o más fuerzas concurrentes que pueden ser perpendiculares,
no perpendiculares, aproximadamente colineales y antiparalelas, aplicadas sobre un punto (un anillo)
mediante cuerdas de masa despreciable. Cada cuerda pasa sobre una polea que se fija en cualquier
punto de la periferia circular de la mesa por medio de una prensa. En los extremos de las cuerdas se
ata un portapesas al que se le adicionan pesos. La mesa circular de fuerzas posee un punto central O
y en el borde una escala angular en grados que permite medir la dirección de las fuerzas con respecto
al sistema de referencia previamente escogido. Para realizar el análisis de fuerzas asumiremos que los
ejes cartesianos están centrados en el punto O.
9.3.1 Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos
✍ Cerciórense que mesa de fuerza esté equilibrada, para ello use un nivel.
✍ Es conveniente que la magnitud FA (portapesas + masas) sea aproximadamente de 150 g y la
de FB de 250 g.
✍ Para minimizar la fricción golpear suavemente la mesa de madera, recuerden hay muchos puntos
de rozamiento que pueden darle errores.
✍ Cuando logren un equilibrio para hallar una fuerza dada (FE , θE ) es conveniente determinar los
valores extremos, tanto en los ángulos como en las magnitudes de las fuerzas, para los cuales la
argolla muestra algún desplazamiento con respecto al centro apreciable. Midiendo estos valores
extremos se calcula la incertidumbre tanto para la fuerza como para el ángulo ası́:
Fmáx − Fmı́n
2
θmáx − θmı́n
Δθ =
2
ΔF =
68
Figura 9.2: Mesa de fuerza.
9.4 Consideración teórica
Sean Fm fuerzas orientadas en un plano horizontal y descritas según sus componentes como:
Fm = Fm cos[θ]ı̂ + Fm sen[θ]ĵ
m = A, B, . . .
(9.1)
Sea FE la fuerza equilibrante del sistema y FR la fuerza resultante de la superposición de las fuerzas
FA y FB . Para calcular la magnitud de la fuerza resultante se obtiene primero sus componentes tanto
en la dirección X como en Y , como se ilustra en la fig 9.3a y b, e.d.:
FRx = FA cos[θA ] + FB cos[θB ]
FRy = FA sen[θA ] + FB sen[θB ]
Y
(9.2)
(9.3)
Y
FR
FR
FA
FB
θR
θE
FA
θR
X
FE
θA
θE
θB
FB
(a)
X
FE
(b)
Figura 9.3: Diagrama de fuerzas: (a) FA y FB perpendiculares. (b) FA y FB no perpendiculares.
Por el teorema de Pitágoras se obtiene:
FR =
2 + F2
FRx
Ry
(9.4)
69
y el ángulo de FR es:
−1
θR = tan
FRy
FRx
(9.5)
Un sistema estará en equilibrio cuando la sumatoria de las fuerzas sea igual a cero. En nuestro
caso el anillo debe ser concéntrico con el eje de la mesa y no debe permitirse su desplazamiento.
FA + FB + FE = 0 o
FR + FE = 0
(9.6)
9.5 Procedimiento
9.5.1 Procedimiento para fuerzas perpendiculares
① Con el anillo centrado en el eje de la mesa, coloque en ángulo recto dos hilos que pasen por las
poleas con los portapesas en sus extremos, como se muestra en la fig. 9.3a. Las fuerzas que se
utilizaran se llamam FA y FB (portapesa + masa).
② Determinen la fuerza equilibrante FE , es decir, calculen experimentalmente el ángulo θE , tensionando la cuerda con la mano, produciendo pequeños desplazamientos del anillo. Simultáneamente
a este desplazamiento vaya cambiando lentamente la dirección de la cuerda.
③ Tomen como ángulo, aquel con el que le movimiento del anillo es tal que su centro pasa repetidas
veces por el eje de la mesa. Efectúen este procedimiento varias veces girando en ambas direcciones
y promedien.
④ Pongan la polea en la posición angular promediada encontrada θE . En el extremo de la cuerda
coloque el portapesas y agregue masas hasta lograr el equilibrio.
⑤ Pesen simultáneamente el portapesas con las masas que logro el equilibrio.
9.5.2 Procedimiento para fuerzas no perpendiculares
❶ Las fuerzas FA y FB deben formar un ángulo cualquiera menor a 180◦ y diferente de 90◦ .
❷ Empleen el procedimiento anterior para calcular el ángulo θE y la magnitud FE .
9.5.3 Procedimiento para fuerzas aproximadamente colineales
➀ Las fuerzas FA y FB deben estar en la misma dirección, pero con una diferencia entre ellas de
10◦ (esto garantiza que sean lo más paralelas posible).
➁ Calculen la fuerza equilibrante usando el procedimiento anterior.
9.5.4 Procedimiento para fuerzas aproximadamente antiparalelas
➊ Las fuerzas FA y FB deben estar en dirección opuesta, pero con una diferencia entre ellas de
10◦ como se ilustra en la fig. 9.3b.
➋ Calculen la fuerza equilibrante usando el procedimiento anterior.
9.6 Análisis
✑ Calculen experimentalmente la magnitud FR y la dirección θR , para las fuerzas perpendiculares,
no perpendiculares, aproximadamente colineales, aproximadamente antiparalelas completando
las tablas 11.1–11.4, respectivamente.
70
✑ Calculen analı́ticamente la magnitud FR y la dirección θR , para las fuerzas perpendiculares, no
perpendiculares, aproximadamente colineales, aproximadamente antiparalelas completando las
tablas 11.1–11.4, respectivamente.
✑ Comparen las magnitudes de FR y FE al igual que los ángulos θR y θE .
✑ Reporten sus datos con la respectiva dispersión.
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
71
Tabla de datos (Fuerzas concurrentes)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
θE (
)
FE ( )
Plan:
Plan:
Plan:
θR ( )
FR ( )
Δθ (
)
ΔF ( )
Δθ (
)
ΔF ( )
Δθ (
)
ΔF ( )
Δθ (
)
ΔF ( )
Tabla 9.1:
θE (
)
FE ( )
θR ( )
FR ( )
Tabla 9.2:
θE (
)
FE ( )
θR ( )
FR ( )
Tabla 9.3:
θE (
)
FE ( )
θR ( )
FR ( )
Tabla 9.4:
CAPÍTULO
10
Comportamiento de la energı́a mecánica
Tarea de preparación
1. Un resorte tiene una constante elástica κ = 7, 50 N/m. Si el resorte se estira 0,55 m de su
posición de equilibrio, ¿cuál es la fuerza que el resorte ejerce?
2. Un resorte tiene una constante elástica κ = 8, 25 N/m se estira desde su posición de equilibrio
0,15 m. ¿Cuál es la energı́a potencial elástica almacenada en el resorte?
3. ¿Cuál fue el trabajo realizado al estirar el resorte en la pregunta anterior desde su posición de
equilibrio hasta una distancia de 0,15 m?
4. Si el resorte de la pregunta 2 se estira desde un desplazamiento de 0,15 m hasta un desplazamiento
de 0,35 m, ¿cuál es el cambio de energı́a potencial elástica entre las dos posiciones?
5. Un resorte de constante elástica κ = 12, 5 N/m se cuelga verticalmente. Una masa de 0,500 kg
se suspende del resorte. ¿Cuál es el desplazamiento al final del resorte debido al peso de la masa
de 0,500 kg?
6. Una masa de 0,400 kg se eleva una distancia vertical de 0,45 m en el campo gravitacional
terrestre. ¿Cuál es el cambio en su energı́a potencial gravitatoria? La misma masa desciende
una distancia vertical de 0,35 m en el campo gravitacional terrestre. ¿Cuál es el cambio en su
energı́a potencial gravitatoria?
7. Un resorte de constante elástica κ = 8, 75 N/m se cuelga verticalmente a un soporte rı́gido. Ua
masa de 0,500 kg se pone al final del resorte y se sostiene con la mano en un punto tal que
el desplazamiento del resorte es 0,250 m. La masa se libera repentinamente y se permite caer.
En la posición más baja de la masa, ¿cuál es el desplazamiento del resorte desde su posición de
equilibrio?
Ayuda Para resolver este problema, deberá resolver una ecuación cuadrática y una de las
soluciones será el desplazamiento original 0,250 m.
72
73
10. Comportamiento de la energı́a mecánica
10.1 Objetivos
10.1.1 Objetivo general
✔ Analizar los cambios de la energı́a mecánica total del sistema, compuesta de tres tipos de energı́a:
potencial elástica, potencial gravitatoria y cinética.
10.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Determinar el valor de la constante elástica de un resorte helicoidal bajo la acción de una fuerza
gravitacional.
✓ Determinar la velocidad media que se mueve bajo la acción de una fuerza elástica, en presencia
del campo gravitacional.
10.2 Equipamiento
☞ Portapesas especial, con gancho inferior y
borde chaflanado.
☞ Juego de pesas.
☞ Tiras de papel termosensible de 1 m de largo.
☞ Chispómetro.
☞ Soporte con resorte helicoidal.
☞ Cinta de enmascarar.
☞ Flexómetro.
☞ Balanza.
10.3 Montaje experimental
El sistema consiste de un resorte helicoidal, κ; unido en su extremo superior al trı́pode y en su inferior
se cuelga un portapesas, p, al cual se le puede colocar masas adicionales, constituyendo la masa total
del sistema, M . La base del portapesas es un disco con su borde chaflanado para precisar el lugar
por donde salta la chispa y mejorar los registros. Al soporte de aluminio, S, en forma de L, en su
superficie vertical frontal se adhiere una cinta termosensible, como se ilustra en la fig. 10.1.
10.3.1 Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos
✍ El chispómetro provee un alto voltaje, periódico, suficiente para hacer pasar carga eléctrica
(((saltar chispa))), a través del aire, en distancias cortas. Se utiliza para registrar el movimiento
del sistema sobre un papel termosensible, el cual cambia de color al ser calentado localmente por
el paso de carga. En el extremo inferior del soporte vertical hay un tornillo largo A, que sirve
para anclar el portapesas.
✍ Conecten el chispómetro al tomacorriente de 110 V ac. El terminal positivo debe conectarse
a la parte superior del resorte y el terminal al soporte vertical como se ilustra en la fig. 10.1.
Cercióresen que la frecuencia de la chispa sea 60 Hz.
✍ Un pequeño botón con forma de palanca, en la cara frontal del cronómetro, activa la chispa
mientras se mantenga movida hacia abajo. Prueben que haya chispa entre la superficie frontal
del soporte y el disco del portapesas.
74
κ
−
+
S
M
p
A
Figura 10.1: Esquema ilustrativo para el estudio de las energı́as.
10.4 Consideración teórica
10.4.1 Acerca del resorte lineal
Un resorte lineal es aquel que ejerce una fuerza, Fr , proporcional a la distancia que se deforma, ya
sea que se estire o se comprima. El sentido de dicha fuerza es, siempre, contrario al sentido de la
deformación sufrida.
Designando por x la distancia que se estira o comprime el resorte, a partir de su longitud natural,
Fr puede expresarse como:
(10.1)
Fr = −κx
siendo κ la constante de proporcionalidad cuya magnitud dependerá de las caracterı́sticas del resorte.
Para que un resorte, anclado por su extremo superior, pueda soportar un objeto atado en el extremo
inferior, necesita estar estirado una cierta distancia. En el equilibrio (fig. 10.2),
Fr = Fg ≡ mg
(10.2)
La cantidad de trabajo efectuado sobre el resorte por la fuerza Fr cuando desplaza el extremo del
resorte desde x0 hasta una distancia xf cualquiera es;
xf
xf
w = Fr · dr =
Fr dx = −κ
xdx
(10.3)
x0
o sea que:
w=−
1 2 1 2
κx − κx
2 f 2 0
x0
(10.4)
donde el signo menos significa que el trabajo es hecho por el resorte. La cantidad κx2 /2 se interpreta
como la cantidad de energı́a potencial que posee el resorte por haber sido deformado una distancia x.
Dicha cantidad se denomina energı́a potencial elástica y se escribe EP E .
10.4.2 Acerca de la dinámica del sistema masa-resorte
El sistema masa-resorte consta de un resorte elástico, fijo por uno de sus extremos. De su extremo
libre pende un objeto de masa m, en presencia del campo gravitatorio terrestre. El sistema puede estar
75
Fr
mg
Figura 10.2: Resorte en equilibrio.
en equilibrio, como en la fig. 10.2, y podrá permanecer en equilibrio indefinidamente. Sin embargo, un
agente externo puede bajar la masa m estirando el resorte más allá del punto de equilibrio, donde la
fuerza elástica se hace mayor que la fuerza gravitatoria. El agente externo realizará un trabajo hecho
sobre la masa m y está dado por:
(10.5)
w = −(mgyf − mgy0 )
donde el signo menos significa que el trabajo es hecho por la masa m, g es la gravedad e y es la distancia
vertical a un punto de referencia arbitrario y = 0. La cantidad mgy se interpreta como la cantidad de
energı́a potencial gravitacional que posee la masa m por haber sido levantada una distancia y. Dicha
cantidad se denomina energı́a potencial gravitatoria y se escribe EP G .
Cuando la fuerza externa libera la masa aparecerá un movimiento gobernado por el desequilibrio
de fuerzas y el sistema comenzará a oscilar de manera periódica alrededor del punto de equilibrio.
El sistema oscilará muchas veces antes de volver al equilibrio. Se detendrá una vez que la energı́a
entregada al sistema, por el agente externo, se disipe en los alrededores. En esta dinámica se debe
considerar, como mı́nimo tres fuerzas: la del resorte Fr , la gravitacional mg y la de fricción con el aire.
Esta última, sin embargo, puede ser pequeña y despreciarse. También puede ser posible despreciar
la masa del resorte, por tanto, las leyes de Newton permiten encontrar la relación entre aceleración
resultante, con las fuerzas que intervienen, ası́:
Fr − mg = ma
(10.6)
La ec. (10.5) muestra que la aceleración no puede ser constante por cuanto la fuerza Fr va variando
con la altura. Esto hace que la ecuación sea diferencial y su solución requiera conceptos que no están
a la mano. Sin embargo, el análisis energético del sistema es sencillo.
Recordando que el sistema masa-resorte realiza dos trabajos: uno, hecho por el resorte, debido a
Fr y, dos, hecho por la masa, debido a Fg . El trabajo total será la suma de estos dos trabajos, e. d.,
1 2
κx + mgy
w=−
(10.7)
2 f
Por ser ambas fuerzas conservativas, el trabajo realizado sobre m se puede calcular mediante el
cambio de sus energı́as potenciales elástica y gravitatoria, respectivamente:
w = −ΔEP G − ΔEP E
(10.8)
De otro lado, el sistema tiene una velocidad y, por tanto, adquiere una energı́a cinética EC , la cual
se relaciona con w a través del teorema del trabajo y la energı́a:
El trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre un objeto es igual al cambio de la
energı́a cinética total de dicho objeto.
76
o sea:
w = ΔEC
(10.9)
EC = −ΔEP G − ΔEP E
(10.10)
De las ecs. (10.7)–(10.9) se tiene que:
Si se consideran dos instantes del movimiento, t1 y t2 , para los que la energı́a cinética sea EC1 y EC2 ,
la energı́a potencial gravitatoria sea EP G1 y EP G2 y la energı́a potencial elástica sea EP E1 y EP E2 ,
respectivamente, la ec. (10.10) se puede escribir de la siguiente manera:
EC2 − EC1 = −(EP G2 − EP G1 ) − (EP E2 − EP E1 )
(10.11)
reordenando, se obtiene que:
EC1 + EP G1 + EP E1 = EC2 + EP G2 + EP E2
(10.12)
Esta ecuación muestra que la suma de la energı́a cinética y de las energı́as potenciales permanece igual
en el tiempo. Esto, como consecuencia de que las fuerzas que intervienen sean conservativas.
Llamando energı́a total mecánica a la suma de energı́a cinética y de energı́as potenciales, es decir,
Et = EC + EP G + EP E
(10.13)
el resultado (10.12) se puede escribir abreviadamente ası́:
Et1 = Et2
(10.14)
Esta ecuación constituye el denominado principio de conservación de la energı́a mecánica.
De la ec. (10.12) podemos calcular la energı́a total del sistema en cualquier instante si conocemos
la velocidad de la masa, su posición respecto del origen y la elongación del resorte.
10.5 Procedimiento
10.5.1 Determinación de la constante elástica del resorte
① Coloquen una tira de papel termosensible, sin arrugas, sobre la superficie vertical del soporte,
con su cara sensible hacia el exterior y coloque el soporte.
② Añadan suficientes masas al portapesas hasta lograr que el disco esté unos 2 cm por debajo del
borde superior del soporte vertical. Ubiquen el soporte a una distancia adecuada para que salte
la chispa.
③ Enciendan el chispómetro y, con el disco en reposo, haga saltar la chispa. Esta marca será el
registro de la elongación del resorte correspondiente al peso inicialmente utilizado.
④ A continuación, sin accionar el chispómetro, agreguen una masa de 50 g. Cuando el disco logre
el reposo, accione el chispómetro y marque la nueva posición.
⑤ Repitan el procedimiento anterior agregando masas de 50 g hasta lograr la mayor elongación
posible.
⑥ Retiren la cinta termosensible y midan la elongación del resorte
77
x0
xm
x
L
H
h
L
y0
(a)
(b)
(c)
Figura 10.3: (a) x0 es la longitud inicial del resorte y H la distancia entre su extremo inferior y el piso. (b)
Ilustración de una posición cualquiera en equilibrio. (c) Configuración inicial para el registro del movimiento
ascendente.
10.5.2 Registro del movimiento ascendente del sistema masa-resorte:
La fig. 10.3 ilustra de manera esquemática la geometrı́a del montaje experimental:
❶ Añadan masa al portapesas hasta lograr la posición que se muestra en la fig. 10.3b (cercano a
la mitad de la altura del soporte vertical). Amarre las masas y el portapesas para evitar que se
caigan cuando se estén moviendo.
❷ Halen la masa colgante hasta el tornillo A como indica la 10.3c. Manténgalo en dicha posición,
sin tocar el portapesas ni el soporte de aluminio. Encienda el chispómetro y permita que salte
la chispa continuamente.
❸ Suelten el portapesas y obsérvenlo mientras sube; si el soporte vertical está bien ubicado, deberá notar que la chispa salta a todo lo largo del soporte mientras va subiendo, y que no se
producen roces entre el borde del disco y la superficie del soporte. Desactive la chispa justo
antes de que el portapesas llega a su máxima altura.
❹ Sin mover el soporte, adhieran una tira de papel termosensible a su superficie frontal y repita el
procedimiento anterior.
❺ Desconecten el chispómetro. Remuevan la tira de papel del soporte. Retire el portapesas y, sin
despegar las masas adicionales, determine la masa total colgante y regı́strela.
10.6 Análisis
10.6.1 Determinación de la constante elástica del resorte
✑ Tabulen sus datos de fuerza aplicada al resorte y de elongación en la tabla 10.1.
✑ ¿Es posible tomar el primer punto como cero elongación y cero fuerza? ¿Por qué?
✑ Grafiquen la fuerza gravitacional (Fg = mg) en función de la elongación.
78
Y
Δt
y3
Δy
y2
y1
t
t1
t2
t3
Figura 10.4: Determinación de la velocidad instantánea.
✑ Encuentren la constante del resorte y su incertidumbre.
10.6.2 Registro del movimiento ascendente del sistema masa-resorte
✒ Determinen la masa total colgante y regı́strenla.
✒ Tabulen sus datos de posición y tiempo distribuidos en toda la cinta y complete la tabla 10.2.
✒ Hagan una gráfica de posición como función del tiempo y calculen las velocidades medias, siguiendo el algoritmo representado en la fig. 10.4.
✒ Tomen como h = 0 el punto más bajo y tenga en cuenta que entre punto y punto hay 1/60 de
segundo.
10.6.3 Determinación de la velocidad media
En la fig. 10.4, se ha ejemplificado el caso para determinar la velocidad media que corresponde al
tiempo t2 : Se calcula como la pendiente de los puntos (t3 , y3 ) y (t1 , y1 ), ası́:
v2 =
y3 − y1
t3 − t1
✑ Utilicen el algoritmo anterior para calcular las velocidades instantáneas correspondientes a los
instantes registrados.
✑ Calculen los tipos de energı́a, completando la tabla 10.3.
✑ En una hoja de papel milimetrado, escogiendo una escala de energı́a adecuada, representen el
comportamiento de las cuatro energı́as en función del tiempo.
✑ Reporten sus datos con la respectiva dispersión.
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
79
Tabla de datos (Comportamiento de la energı́a
mecánica)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
Plan:
Plan:
Plan:
m
x( )
Tabla 10.1:
t( )
v (
h( )
)
Tabla 10.2:
EC ( )
EP G (
)
Tabla 10.3:
EP E (
)
CAPÍTULO
11
Energı́as potencial gravitacional y cinética
Tarea de preparación
1. ¿Cuál es la definición de masa gravitacional?
2. ¿Cuál es la ecuación para la energı́a potencial gravitacional próxima a la superficie terrestre?
3. ¿Cuál es el principio de conservación de la energı́a mecánica aplicada a una masa que cae
libremente cerca de la superficie terrestre? Expréselo en palabras y en forma de ecuación.
4. ¿Qué clase de fuerzas conservan la energı́a mecánica? Se conserva la energı́a mecánica en presencia de fuerzas de fricción?
80
81
11. Energı́as potencial gravitacional y cinética
11.1 Objetivos
11.1.1 Objetivo general
✔ Estudiar la ley de la conservación de la energı́a mecánica.
11.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Observar la variación de la energı́a cinética en función de la energı́a potencial gravitacional.
✓ Observar la variación del alcance horizontal en función de la energı́a cinética inicial en un tiro
parabólico de una partı́cula.
11.2 Equipamiento
☞ Cuchilla de afeitar.
☞ Balı́n de acero.
☞ Papel milimetrado.
☞ Papel carbón.
☞ Soporte vertical.
☞ Regla.
☞ Plano metálico.
☞ Hilo.
11.3 Montaje experimental
El sistema es un plano metálico q, un péndulo formado por un balı́n suspendido de un hilo y una
cuchilla de afeitar en el punto A, como se ilustra en la figura 11.1. El filo de la cuchilla está dispuesto
de tal forma que corte el hilo cuando el balı́n llegue a A, después de soltarse desde una altura h.
q
A
v
h
y
x
Figura 11.1: Esquema del montaje experimental.
11.3.1 Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos
✍ El soporte vertical y la guı́a del plano metálico deben estar fijos a la mesa.
✍ Apriete bien la nuez de la varilla donde pende el hilo.
82
✍ El plano metálico se debe colocar de tal forma que el plano del movimiento del balı́n coincida
con él. Esta verificación debe hacerse cada vez que va a liberar el balı́n desde una altura h.
11.4 Consideración teórica
La suma de las energı́as cinética y potencial gravitacional de un objeto de masa m que se encuentra
en un campo gravitacional se conserva en el tiempo y se conoce como energı́a mecánica E, esto es:
E =K +U
(11.1)
donde K la energı́a cinética dada por:
1
mv 2
2
siendo v la velocidad del objeto y U es la energı́a potencial gravitacional dada por:
K=
U = mgh
(11.2)
(11.3)
con g la aceleración de la gravedad y h la altura a la cual se encuentra el objeto, medida desde el nivel
de referencia que se use para determinar la energı́a potencial.
Entonces para un objeto que pasa de una situación inicial i a una final f , es posible aplicar la ley
de la conservación de la energı́a en la forma
K i + Ui = K f + Uf ,
esto es,
1
1
mv 2 + mghi = mvf2 + mghf
2 i
2
(11.4)
Como habrá observado, a medida que h se incrementa, el alcance horizontal del balı́n x, aumenta
y cada vez que se aumenta h, es decir, cada vez que aumenta la energı́a potencial gravitacional del
balı́n, también aumenta la velocidad con que éste abandona el punto A. Esto significa que x crece con
la velocidad del balı́n en ese punto. Entonces si x crece con la velocidad del balı́n en el punto A, se
podrı́a pensar que x crece con la energı́a cinética que el balı́n ha adquirido en A.
La ley de la conservación de la energı́a establece que la energı́a cinética del balı́n en el punto A,
mv 2 /2, es igual a la energı́a potencial gravitacional del balı́n antes de ser liberado, mgh, medida desde
la horizontal que pasa por A, esto es
1
mgh = mv 2
(11.5)
2
Además, una partı́cula describe una trayectoria parabólica el alcance horizontal x, está dado por
x = vt,
(11.6)
donde v es la componente horizontal de la velocidad inicial del balı́n cuando pasa por el punto A y t es
el tiempo de vuelo de la partı́cula. La altura y que desciende la partı́cula desde el punto A, está dado
por
1
y = gt2
(11.7)
2
De estas dos últimas ecuaciones se obtiene
v2 =
gx2
2y
(11.8)
Reemplazando esta expresión para v 2 en la ec. (11.2) se obtiene para h:
h=
x2
4y
(11.9)
83
11.5 Procedimiento
① Suelten el balı́n desde una altura h y cuando pasa por el punto A, la cuchilla corta el hilo y el
balı́n sigue hasta tocar el suelo en el punto x, como se muestra en la fig. 11.1. Recuerde que el
plano del movimiento del balı́n debe ser paralelo al del plano metálico, donde se determinará la
altura h de la cual se libera el balı́n.
② Determinen la altura h, desde la cual suelta el balı́n, en la hoja de papel que adhieren al plano
metálico coincidente con la trayectoria del balı́n desde que lo suelta hasta que llega al punto A.
③ Para un mismo valor de h, liberen el balı́n al menos tres veces y determinen el valor de x.
④ Tomen al menos 6 valores diferentes de h y repitan el procedimiento anterior.
11.6 Análisis
✑ Midan la altura y.
✑ Midan las alturas h y las respectivas distancias x Completando la tabla 11.1.
✑ Al soltar el balı́n desde la altura h, ¿qué tipo de trayectoria sigue el balı́n después de abandonar
el punto A?
✑ Para un mismo valor de h, ¿observan alguna dispersión en el valor de x?
✑ ¿El alcance horizontal x depende de la altura y?
✑ A partir de sus datos de la tabla 13.1, grafiquen h en función de x y encuentren la relación
matemática entre h y x, es decir, h = f (x).
✑ En caso que obtenga una curva, linealı́zenla. ¿Cuál es el valor de la pendiente de esta lı́nea recta?
¿Cuál es el significado fı́sico?
✑ Para h = f (x2 ) a partir de sus mediciones experimentales, ¿está de acuerdo con la ley de la
conservación de la energı́a?
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
84
Tabla de datos (Energı́as potencial gravitacional y
cinética)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
h( )
x( )
ola
ola
ola
ola
ola
Plan:
Plan:
Plan:
ola
ola
Tabla 11.1:
ola
ola
ola
ola
ola
ola
CAPÍTULO
12
Péndulo balı́stico
Tarea de preparación
1. ¿Qué tipo de colisión no conserva la energı́a cinética? ¿Qué tipo de colisión da como resultado
la máxima pérdida de energı́a cinética?
2. Una bola de masa 0,075 kg se lanza horizontalmente contra un péndulo balı́stico como se muestra
en la fig. 12.1. La masa del péndulo es 0,350. La bola se incrusta al péndulo y el centro de masa
del sistema sube una distancia vertical de 0,145 m sobre la superficie terrestre. ¿Cuál es la
velocidad original de la bola? Asuma g = 9, 80 m/s2
3. ¿Cuánta energı́a cinética se perdió en la colisión del problema anterior?
4. Un proyectil se lanza en la superficie terrestre con una velocidad horizontal v = 9, 00 m/s. ¿Cuál
es la distancia horizontal recorrida en 0,550 s?
5. Un proyectil se lanza en la dirección horizontal. Viaja 2,050 m horizontalmente mientras cae
0,450 m y luego golpea el suelo.¿Cuál es la velocidad original del proyectil?
6. ¿Cuánto está el proyectil del problema anterior en el aire?
7. ¿Cuál es la velocidad en la dirección horizontal del proyectil del problema 7 cuando golpea el
suelo? ¿Cual es la velocidad en la dirección vertial en ese tiempo?
85
86
12. Péndulo balı́stico
12.1 Objetivos
12.1.1 Objetivo general
✔ Medir de la velocidad de un proyectil.
12.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Usar las leyes de la conservación del momentum lineal y de la energı́a mecánica para medir la
velocidad inicial de un proyectil al incrustarse en un blanco.
✓ Usar las leyes del movimiento realizado por el proyectil para calcular la velocidad inicial con la
que fue disparado.
✓ Hacer una comparación de la velocidad inicial del proyectil dada por las leyes anteriores.
12.2 Equipamiento
☞ Hojas de papel carbón y de papel blanco.
☞ Péndulo balı́stico (Cenco).
☞ Calibrador.
☞ Plomada.
☞ Balanza.
☞ Balı́n.
☞ Flexómetro.
12.3 Montaje experimental
El sistema consiste básicamente de un péndulo y de una pistola de resorte para impulsar el proyectil,
como se ilustra en el diagrama esquemático de la fig. 12.1.
El péndulo lo forma una cavidad cilı́ndrica c, para recibir el proyectil (balı́n b), una varilla liviana
y fuerte l, unida a la cavidad en la parte inferior y mediante un pivote en su extremo superior donde
hay un tornillo T, el cual debe ajustarse para asegurara la estabilidad del péndulo y la menor fricción
posible durante la ejecución del movimiento.
Figura 12.1: Detalles del péndulo balı́stico.
87
La pistola de resorte consta de un eje móvil E, que entra en la perforación que tiene el balı́n, y es
compreso a través de un resorte R. El eje se suelta por medio de un gatillo G. Al dispararse el balı́n,
éste es retenido en la cavidad y se mantiene dentro de ella por medio de una lámina, como se ilustra en
la fig. 12.2, de tal forma que el centro de gravedad de todo el cuerpo en su punto más bajo se ubique
en el eje de l. En algunos aparatos hay una punta de indicadora, unida a c, y determina la ubicación
del centro de gravedad del cuerpo resultante; en otros hay una cinta unida a l.
b
X
c
(a)
(b)
Figura 12.2: Cavidad y balı́n. a) Antes del choque, (b) Después del choque.
La altura máxima hi a la cual llega el péndulo cuando se incrusta el balı́n en la cavidad se registra
al quedar el péndulo sostenido por una cuña Q que se engancha en los dientes de una pequeña rampa
dentada d. Esta rampa tiene una escala, en su cara externa para indicar la altura alcanzada por el
péndulo
12.3.1 Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos
✍ Para preparar la pistola, inserten el balı́n en el extremo del eje E y sosteniendo la base con una
mano empujen el balı́n hacia atrás hasta engancharlo en el gatillo G. Esto comprime el resorte
R una cantidad definida que dará al balı́n una velocidad inicial igual cada vez que se dispara.
✍ Para preparar el péndulo, llévelo a la posición vertical, ajústelo a través del tornillo T y verifiquen
que oscila libremente, es decir, déle un pequeño empujón con su mano y observe el movimiento.
Si no oscila libremente, afloje un poco T.
✍ Realicen varios disparos y observen que el péndulo no se salga de la rampa dentada, caso que
suceda, aprieten un poco el tornillo.
12.4 Consideración teórica
Si sobre dos cuerpos que chocan no actúa ninguna fuerza externa durante el tiempo en que tiene lugar
el choque, la cantidad de movimiento lineal total del sistema formado por los dos cuerpos se conserva
durante el choque. Si un balı́n de masa m y velocidad v, en una dirección horizontal escogida como el
eje X (ver fig. 12.2) realiza un choque frontal y se incrusta en una masa M en reposo. El conjunto de
las dos masas M + m adquiere una velocidad V en la misma dirección del proyectil incidente; entonces,
se cumple:
m+M
V
(12.1)
mv = (m + M )V
⇒ v=
m
Para medir V , el blanco de masa M se suspende de un péndulo y se mide la altura máxima que
logra subir el centro de masa del nuevo cuerpo con masa M + m. Debido al intercambio de energı́as
entre la energı́a cinética que adquirió m + M , después del choque, y la energı́a potencial lograda en el
punto más alto de su trayectoria. Esto es,
1
(m + M )V 2 = (m + M )gh
2
⇒
V =
2gh
(12.2)
Reemplazando (12.2) en (12.1), se tiene:
v=
m+M
2gh
m
(12.3)
88
la velocidad del proyectil v, cuando se conocen las masas m, M y la altura h.
La velocidad v del proyectil también puede medirse usando la ecuación de la trayectoria que
describe bajo la acción de la gravedad. En estas condiciones, el movimiento se realiza en el plano
vertical como se ilustra en la fig. 12.3, por tanto:
Eje X:
alcance máximo:
R = vt
Eje Y :
caı́da libre:
H = 12 gt2
de acuerdo con un sistema cartesiana ubicado a la salida del balı́n. Eliminando el tiempo de estas dos
ecuaciones, obtenemos
g
(12.4)
v=R
2H
Y
v0
H
X
R
Figura 12.3: Trayectoria descrita por el proyectil.
12.5 Procedimiento
12.5.1 Determinación de la velocidad inicial por el péndulo balı́stico
① Con el péndulo en reposo, accionando G, el proyectil b se incrustará en c, e. d., de acuerdo con
la fig. 12.2, b pasa de la posición (a) a la (b), quedando finalmente enganchado en un diente
particular de la rampa d.
② Registren la posición alcanzada, según la escala de la rampa (número de ranuras) y procedan con
cuidado a sacar b de c empujándolo con el dedo o con un elemento delgado, luego compriman R
unido con b.
③ Repitan desde ①, diez (10) veces.
④ Noten que la posición de enganche en la rampa varı́a. El promedio de las posiciones obtenidas
da la posición media más alta. Lleven el péndulo a dicha posición, engánchelo en el diente más
cercano al valor medio.
⑤ Midan la altura desde la base del péndulo balı́stico a un punto de referencia de l h1 y la altura
máxima promedio obtenida h2 (ver fig. 12.1).
⑥ Desenrosquen T y remuevan el péndulo, cuidadosamente, de su soporte .
⑦ Pesen el péndulo y el balı́n.
⑧ Regresen el péndulo a su posición original, ajustándolo cuidadosamente con T.
89
12.5.2 Determinación de la velocidad inicial por la medición del alcance
máximo y la altura
Para esta segunda parte, el péndulo debe estar en un diente de d para que no interfiera en el
movimiento de b.
❶ Con la plomada obtengan el punto de salida sobre el eje X y mida la altura inicial en el eje Y .
❷ Realice un disparo y observe el lugar del impacto de b en el piso.
❸ Adhieran una hoja de papel al piso en dicho lugar y cúbralo con papel carbón para determinar
el punto de impacto.
❹ Dispare diez (10) veces y midan el alcance para cada disparo.
12.6 Análisis
12.6.1 Determinación de la velocidad inicial por el péndulo balı́stico
✑ Registren las alturas hi , obtenidas de los diez (10) disparos, en la tabla 12.1.
✑ Anoten las masas m (balı́n), M (péndulo), por separado y juntos, en las tres primeras filas de
la tabla 12.2 y la altura h1 en la cuarta fila.
✑ Calculen hi , desviación estándar, CV, IC, completando las ultimas fila de la tabla 12.2.
✑ Calculen h = hi − h1
✑ Encuentren la velocidad del proyectil usando la expresión (12.3).
✑ Reporten el valor de v con su respectiva incertidumbre.
12.6.2 Determinación de la velocidad inicial por la medición del alcance
máximo y la altura
✒ Registren las distancias Ri , obtenidas de los diez (10) disparos, en la tabla 12.3.
✒ Anoten la altura inicial H en la primera fila de la tabla 12.4.
✒ Calculen Ri [(1.17)], desviación estándar [(1.19)], CV [(1.20)], IC [(1.24)] y error porcentual
[(1.26)] con una probabilidad del 90 % (t0,90 ) utilizando la tabla 1.3, completando las ultimas
fila de la tabla 12.3.
✒ Encuentren la velocidad del proyectil usando la expresión (12.4).
12.6.3 Comparación
✑ Determinen la diferencia entre los valores de velocidad obtenida por los dos métodos.
✑ Analicen los errores probables en cada método y estime cual debe ser el resultado más preciso.
✑ ¿Qué condición dinámica (fuerzas externas) deben cumplirse durante el choque de las dos masas,
para que las cantidades de movimiento antes y después del choque sean iguales? ¿Se cumple con
exactitud esta condición? ¿Cómo podrı́an reducirse estos efectos externos?
✑ Comparando los dos experimentos y con base en los modelos teóricos respectivos, ¿cuál cree que
arrojen los resultados más confiables de las medidas realizadas?
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
90
Tabla de datos (Péndulo balı́stico)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Plan:
Plan:
Plan:
hi ( )
m( )
M ( )
m+M ( )
h1 ( )
h( )
σx ( )
CV ( )
IC ( )
( )
m+M
Tabla 12.2:
Tabla 12.1:
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ri ( )
Tabla 12.3:
H ( )
R( )
σx ( )
CV ( )
IC ( )
( )
m+M
Tabla 12.4:
CAPÍTULO
13
Momentos de fuerzas
Tarea de preparación
1. ¿Cuáles son las condiciones para que un cuerpo rı́gido este en equilibrio?
2. En la figura 13.1, ¿cuál es la magnitud del torque de la fuerza F1 alrededor del punto A? ¿Es
dicho torque en el sentido de las manecillas del reloj o contrario a las manecillas del reloj?
3. En la figura 13.1, ¿cuál es la magnitud del torque debido a la fuerza F2 alrededor del punto B?
¿Es dicho torque en el sentido de las manecillas del reloj o contrario a las manecillas del reloj?
4. En la figura 13.1, ¿cuál es la magnitud neta del torque debido a la fuerza F1 y F2 alrededor del
punto A? ¿Es dicho torque en el sentido de las manecillas del reloj o contrario a las manecillas
del reloj?
5. En la figura 13.1, ¿cuál es la magnitud neta del torque debido a la fuerza F1 y F2 alrededor del
punto B? ¿Es dicho torque en el sentido de las manecillas del reloj o contrario a las manecillas
del reloj?
10
A
20
F1 = 10 N
30
40
50
B
60
70
80
F2 = 15 N
Figura 13.1: Regla con dos fuerzas actuando sobre ella, F1 y F2 .
91
90
92
6. En la figura 13.2 si m1 = 0,100 kg, ¿cuál es el valor de m2 para que el sistema esté en equilibrio?
10
20
30
40
50
60
m1
70
80
90
m2
Figura 13.2: Torque sobre una regla debido a 2 fuerzas aplicadas por las masas, m1 y m2 .
7. La regla métrica en la figura 13.3, m1 = 0,300 kg, m2 = 0,200 kg y m3 = 0,100 kg. La regla
posee una masa uniformemente distribuida de 0.150 kg. ¿En qué posición debe colocarse una
masa de 0.400 kg para que el sistema este en equilibrio?
10
20
m2
m2
30
40
50
60
70
80
90
m3
Figura 13.3: Torque sobre la regla debido a tres fuerzas.
8. ¿Qué es el centro de masa y el centro de gravedad?
9. ¿En qué punto se ubica el centro de masa de una regla con masa uniformemente distribuida?
10. ¿En qué posición se ubica el centro de masa de una persona?
93
13. Momentos de fuerzas
13.1 Objetivos
13.1.1 Objetivo general
✔ Comprobar el equilibrio debido a momentos de fuerzas.
13.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Demostrar el equilibrio de fuerzas paralelas.
13.2 Equipamiento
☞ Regla con orificios para suspensión de pesos
y acople magnético
☞ Polea de torsión de adhesión magnética calibrada en newtons.
☞ Tablero magnético de fuerzas.
☞ Balanza.
☞ Pesas.
El sistema consiste de una regla suspendida en uno de sus extremos y sostenida por un hilo acoplado
a la polea de torsión desde el otro extremo. El peso de la regla es aplicado a su centro de masa, un
peso se suspende en uno de los agujeros de la regla el cual puede variar en magnitud y posición con
relación al punto de oscilación, como se muestra en la fig. 13.4.
13.4 Consideración teórica
En la fig. 13.4 se ilustra una situación de equilibrio dada por:
T0 + T = mg + F
mgL
+ Fx
TL =
2
(13.1)
(13.2)
donde T0 es la reacción debido al soporte en el extremo izquierdo de la regla, T es la magnitud de la
T0
T
mg
F
Figura 13.4: Esquema ilustrativo.
tensión que se mide en el otro extremo de la regla, mg es el peso de la regla y F es el peso adicional
suspendido a una distancia x del centro de oscilación, L es la longitud de la regla y corresponde al
94
brazo de T , L/2 corresponde al brazo del peso de la misma y x es el brazo de la fuerza aplicada. La
ec. (13.2) puede expresarse como:
F x mg
+
(13.3)
T =
L
2
La ec. (13.3) será comprobada experimentalmente, como se explicará en el procedimiento.
13.5 Procedimiento
13.5.1 x fijo
① Los pesos disponibles permiten variar F y obtener, por tanto, T en la polea calibrada, después
de haber equilibrado el sistema. El equilibrio del sistema puede obtenerse de dos maneras:
i. Girando suavemente con la mano el soporte de la polea hasta que la regla alcance su posición
horizontal, formando un ángulo de 90◦ con la cuerda de la polea.
ii. Desplazando verticalmente el centro de oscilación.
Se recomienda la segunda sugerencia.
② Con el montaje esquematizado en la fig. 13.4 y para las distancias fijas de x < L/2, x = L/2 y
x > L/2 ), hallar las F variables que equilibran el sistema.
13.5.2 F fijo
❶ Repetir el procedimiento anterior para x variable y F fijo.
Realice la gráfica de T versus F examine si es lineal, si lo es, halle el valor de la pendiente y el
intercepto con sus respectivas incertidumbres.
Teniendo en cuenta las incertidumbres en las medidas, realizar las respectivas regresiones lineales,
para obtener las pendientes e interceptos, y obtener el error relativo porcentual de estas.
13.6 Análisis
✑ Para un x fijo, complete la tabla 13.1 y grafiquen T en función de F .
✑ ¿Qué tipo de gráfica obtuvieron?
✑ ¿Qué significa cada término de la ecuación que describe la gráfica anterior?
✑ Para un F fijo, complete la tabla 13.2 y grafiquen T en función de x.
✑ ¿Qué tipo de gráfica obtuvieron?
✑ ¿Qué significa cada término de la ecuación que describe la gráfica anterior?
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
95
Tabla de datos (Momentos de fuerzas)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
F ( )
Plan:
Plan:
Plan:
T ( )
x < L/2
T ( )
x = L/2
Tabla 13.1:
x( )
T ( )
Tabla 13.2:
T ( )
x > L/2
CAPÍTULO
14
Movimiento rotacional
Tarea de preparación
1. ¿Cuál es la definición de momentum angular?
2. ¿Qué condiciones se deben satisfacer paar que el momentum angular se conserve?
3. Deduzca la eq. (14.4).
96
97
14. Movimiento rotacional
14.1 Objetivos
14.1.1 Objetivo general
✔ Estudiar la dinámica de un movimiento de rotación.
14.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Determinar el momento de inercia a partir de la aceleración angular del sistema bajo una fuerza
constante.
✓ Calcular el momento de inercia de discos en rotación a partir de la medición de su radio y su
masa gravitatoria.
✓ Comprobar el principio de conservación del momento angular.
14.2 Equipamiento
☞ Kit para dinámica rotacional de Pasco.
☞ Compresor.
14.3 Montaje experimental
El sistema consiste de un kit de dinámica cuyas vistas superior y lateral se ilustran en la fig. 14.1 y
un compresor, no ilustrado, el cual tiene un tanque de almacenamiento que permite presiones hasta
de 100 psi (poundal square inch, libras por pulgada cuadrada). La salida del tanque está controlada
por una válvula manual. La base del aparato es una caja firme y hueca. En su interior hay un circuito
Pin
Válvulas
1 2 3
A
E
F
Ingreso de
aire comprimido
E
F
D
A
B
D
C
Pantalla
Selector de disco
Figura 14.1: (a) Vista superior. (b) Vista lateral. A: disco superior de acero, B: disco inferior de acero, C:
portapesas, D: polea, E: polea, F : cuerda.
de flujo de aire a presión moderada. El circuito conduce aire al interior y dependiendo de una llave de
paso (válvula 1) llega a una parte superior creando un colchón de aire entre los discos y la base. El
aparato posee un par discos (A y B) de acero inoxidable (el disco B siempre va debajo de A), aunque
la simetrı́a de ambos discos parece ser la misma, existen cavidades centrales que los hacen diferentes.
98
Los dos discos son controlados por un pin que los hacen flotar juntos o por separado. Hay dos clases
de pines: los macizos, que sirven como tapón para la salida de aire por el centro de los discos y el
hueco, que permite la salida de aire por su interior.
Cada disco posee 200 lı́neas a lo largo de su perı́metro, las cuales son detectadas por un medidor de
velocidad angular, que cuenta el número de lı́neas que pasan por el detector, durante 2 s, el medidor
tiene un selector de velocidad para elegir la medición de la velocidad angular del disco A o B (upper
o lower respectivamente).
14.4 Consideración teórica
14.4.1 Rotación por una fuerza constante
Dos discos A y B concéntricos unidos mediante una cuerda F a un objeto C que pende de la misma
tal como se observa en las figs 14.1a y b. Suponiendo que el sistema se encuentra en reposo en el
instante en que se suelta, y despreciando las fuerzas de fricción que actúan sobre el mismo, tendremos
el siguiente diagrama:
2r
2rpd
2rp
T1
T
mC
Figura 14.2: Diagrama del sistema de rotación.
Aplicando las leyes de Newton, respectivamente se tiene:
mC g − T = mC a
T rp − T1 rp = Ip α
T1 rpd = (Id + Ipd )α
Teniendo en cuenta que, a = rα, ω = αt y como rp ≈ rpd = r0 , se obtiene la expresión:
mC gr0
t
ω=
m +m
Id + p 2 pd r02 + mC r02
(14.1)
(14.2)
(14.3)
(14.4)
en donde, mC es masa total en el portapesas C, r0 = 13, 5 mm es el radio de la polea D más pequeña,
g es la magnitud del vector aceleración de la gravedad (9, 799 ± 0, 003 m/s2 ), Id es el momento de
inercia total del disco, mp = 15 g y mpd = 13 g.
14.4.2 Conservación del momento angular
En ausencia de un torque externo, el momento angular de un sistema fı́sico se conserva en el tiempo.
Nuestro sistema en consideración consiste de dos discos A (con momento de inercia IA ) y B (con
momento de inercia IB ) que pueden rotar alrededor del mismo eje y que están libres de torques
externos. Inicialmente se asume que el disco A gira con cierta frecuencia ωi mientras que el disco B
permanece en reposo. Finalmente se permite que el disco A descanse sobre el B cambiando de esta
99
forma la frecuencia angular a ωf . El momento angular del sistema compuesto por los discos A y B se
conserva, luego tenemos que:
Li = Lf
IA ωi = (IA + IB )ωf
(14.5)
14.5 Procedimiento
14.5.1 Rotación por una fuerza constante
① Realicen el montaje indicado en las figs. 14.1a y b utilizando los dos discos de acero representados
por A y B.
② Coloquen en el portapesas C una masa total de 15 g (incluida la del portapesas) haciendo uso
del juego de pesitas de 5, 10 y 20 g disponibles.
③ Ajusten la polea D al disco A con el tornillo que tiene un agujero en el centro para permitir
la salida del aire inyectado desde el compresor y ası́ lograr eliminar el colchón de aire entre los
discos B y A.
④ Enciendan el compresor y abran la llave de paso con cuidado hasta sentir la salida del aire a
presión baja y ajuste la llave de paso hasta que el manómetro indique 9 psi aproximadamente.
Debe monitorear la presión y asegurarse de que esté siempre en el valor anterior.
⑤ Enrollen la cuerda F en la polea D hasta que C quede casi al nivel de la polea E.
⑥ Coloquen uno de los dos pines disponibles en la válvula 1 para permitir que el disco B gire
libremente sobre la base fija G.
⑦ Sostengan ligeramente uno de los dos discos y espere a que la pantalla marque cero. Una vez
se obtenga esta lectura suelte el disco y registre las lecturas de la pantalla las cuales son dadas
automáticamente cada 2 s, es decir, cada 2 s aparecen la medida en lı́neas/segundo. Solo registre
datos durante el proceso de caı́da del portapesas C.
⑧ Repitan el experimento para las otras masas.
14.5.2 Conservación del momento angular
❶ Realice el mismo montaje del procedimiento anterior pero dejando solamente los discos A y B.
❷ Inserte en el agujero central del disco A uno de los dos pines disponibles y el otro en la válvula.
❸ Sostenga el disco B mientras espera que la pantalla marque lectura cero teniendo el selector de
disco en posición upper. Luego aplique un torque al disco A de tal manera que la lectura en la
pantalla esté alrededor de 100 lı́neas/s.
❹ Retire el pin del disco A para permitir que este en repose sobre el disco B y registre las lecturas
estables de la pantalla inmediatamente antes y después de quitarlo.
❺ Repita el experimento para cuatro frecuencias más, como por ejemplo: 200, 300, 400, 500 lı́neas/s.
14.6 Análisis
14.6.1 Rotación por una fuerza constante
✑ Pesen cada disco por separado y registre sus datos y completen la tabla 14.1.
✑ Con el calibrador vernier midan los radios externo e interno de A y B, ası́ como también el radio
de la polea D y llenen la tabla 14.1.
100
✑ Registren los datos durante el proceso de caı́da del portapesas C en la tabla 14.2.
✑ Grafiquen en una misma hoja milimetrado los datos de frecuencia angular versus tiempo para
las tres masas.
✑ Comparen el tipo de curva obtenida para cada gráfico con la ec. 14.4 y determinen si los tipos
de curvas obtenidos están de acuerdo con la teorı́a. Expliquen.
✑ Con base en la gráfica ω vs t, encuentre el momento de inercia del disco, teniendo en cuenta el
modelo teórico.
✑ Calculen el momento de inercia teórico de los discos y de la polea D [ID = (Ri2 + Re2 )/2].
✑ Calculen la incertidumbre del momento de inercia obtenido en el punto anterior y evalúen la
concordancia con los resultados experimentales.
14.6.2 Conservación del momento angular
✒ Conviertan las lecturas obtenidas en la pantalla dadas en lı́neas/s a rad/s y llenen la tabla 14.3.
✒ Utilicen los valores de momentos de inercia hallados en la sección anterior para el disco A y para
el sistema compuesto por los discos A y B y compruebe si el momento angular se conserva.
✒ Suponga que se hubiesen puesto a girar inicialmente los dos discos pegados y luego se hubiese
frenado el disco inferior dejando el disco superior girando libremente. ¿Se hubiese constatado
conservación de momento angular para esta situación? Explique claramente su respuesta.
✒ Usted ha calculado el momento de inercia de dos discos concéntricos por dos métodos distintos,
hay algún criterio por el cual puedan determinar ¿cuál de los dos resultados obtenidos es más
confiable? Si lo hay, explique su respuesta con suficiente claridad.
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
101
Tabla de datos (Movimiento rotacional)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Código:
Código:
Código:
Plan:
Plan:
Plan:
Disco A
Disco B
Masa ( )
Radio interno ( )
Radio externo ( )
Tabla 14.1:
Lı́neas
t( )
ω( )
Lı́neas
t( )
ω( )
Tabla 14.2:
ωi (lı́n/s)
ωf (lı́n/s)
Tabla 14.3:
Lı́neas
t(
)
ω( )
CAPÍTULO
15
Movimiento de rotación y traslación
Tarea de preparación
1. ¿Cómo se define el momento de inercia?
2. ¿Cuál es el momento de inercia de un cilindro macizo?
3. ¿Qué significa: ((rodar sin deslizar))?
102
103
15. Movimiento de rotación y traslación
15.1 Objetivos
15.1.1 Objetivo general
✔ Estudiar el movimiento combinado de traslación y de rotación sin deslizamiento de un cuerpo
rı́gido.
15.1.2 Objetivos especı́ficos
✓ Deducir el momento de inercia de un objeto cilı́ndrico.
✓ Hacer consideraciones acerca del modelo teórico desarrollado y decidir acerca del efecto de los
elementos despreciados.
15.2 Equipamiento
☞ Cuerpo cilı́ndrico en madera.
☞ Flexómetro.
☞ Rieles paralelos.
☞ Cronómetro.
☞ Calibrador.
☞ Balanza.
15.3 Montaje experimental
El sistema consiste de un cuerpo cilı́ndrico, M , montado sobre dos rieles paralelos, u, los cuales están
elevados en uno de sus extremos una altura h, formando un plano inclinado, como se ilustra de forma
esquemática en la fig. 15.1.
M
M
s
h
θ
θ
u
Figura 15.1: Esquema ilustrativo.
15.3.1 Chequeo inicial y minimización de errores sistemáticos
✍ Verifiquen que los rieles estén ubicados como en la fig. 15.1, sin que resbalen mientras se efectúa
el experimento.
✍ Trabajen con alturas h menores de 50 cm, ası́ obtendrá mejores resultados; el cuerpo que rueda
lo hará más despacio dándole a usted la posibilidad de tomar el tiempo con mayor precisión y
evitando que el cuerpo deslice.
✍ Pongan cuidado en la ubicación inicial del cuerpo M al momento de soltarlo, para que cuando
baje rodando no toque los lados de los rieles y se produzca un frenado del mismo.
104
✍ Tengan en cuenta que la altura h que usted debe medir corresponde a la distancia vertical
desde el punto de partida hasta donde usted ubicó su sistema de referencia (posición final) y no
necesariamente corresponde a la parte más baja de los rieles (el piso).
✍ No confundir el radio del eje de rotación r con el radio del cuerpo R.
15.4 Consideración teórica
Sea un cuerpo rı́gido de masa M y de momento de inercia I con respecto a su eje de revolución, que
descansa sobre dos rieles paralelos inclinados como se indica en la fig. 15.1. Si el cuerpo, partiendo del
reposo, rueda bajando sin resbalar, una distancia vertical h, se tiene:
1
1
M v 2 + Iω 2
(15.1)
2
2
donde v es la velocidad lineal del centro de masa en la parte final de su recorrido, ω es la velocidad
angular alrededor del centro de masa en la parte final de su recorrido. Como v = rω, siendo r el radio
del eje de rotación, se tiene:
1 v 2
1
(15.2)
M gh = M v 2 + I
2
2
r
De otro lado, como el movimiento de traslación del centro de masa es un movimiento uniformemente
acelerado, se tiene que:
M gh =
v = at
(15.3)
1
s = at2
(15.4)
2
siendo s distancia recorrida por el centro de masa en el tiempo t. Despejando a de (15.4) y reemplazando en (15.3), se tiene:
2s
(15.5)
v=
t
15.5 Procedimiento
① Midan los radios R (cilindro), r (de giro) y pesen M .
② Para una misma inclinación de los rieles, suelten el objeto desde el mismo punto cinco (5) veces
y midan el tiempo de bajada del cuerpo, la distancia s recorrida y la altura h.
③ Repitan el experimento con otras seis inclinaciones.
15.6 Análisis
✑ Reporten las medidas de r, R en la tabla 15.1.
✑ Calculen R [(1.17)], desviación estándar [(1.19)], CV [(1.20)], IC [(1.24)] y error porcentual
[(1.26)] con una probabilidad del 90 % (t0,90 ), utilizando la tabla 1.3, y M en la tabla 15.2.
✑ Igual al ı́tem anterior pero para r (tabla 15.3).
✑ Completen las tablas 15.5–15.8 para cada altura hi .
✑ Hagan un gráfico de h en función de v2 y compare con la ec. (15.2). Determinen la pendiente,
¿cuál es el significado fı́sico?
✑ Determinen I por consideraciones geométricas.
✑ Comparen los resultados obtenidos y diga cuál de las formas de calcular I creen que sea más
confiable. ¿Por qué?
De las preguntas y gráficos anteriores, hagan sus conclusiones.
105
Tabla de datos (Movimiento de rotación y traslación)
Fecha:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
M ()
r()
Código:
Código:
Código:
ola
ola
ola
ola
Plan:
Plan:
Plan:
R()
Tabla 15.1:
sx ( )
sx ( )
IC ( )
()
Tabla 15.2:
h()
r()
CV ( )
CV ( )
IC ( )
s()
t()
v()
v2 ( )
()
Tabla 15.3:
Tabla 15.4:
h()
s()
t()
v()
v2 ( )
h()
s()
Tabla 15.5:
h()
s()
t()
v()
Tabla 15.7:
t()
v()
v2 ( )
Tabla 15.6:
v2 ( )
h()
s()
t()
v()
Tabla 15.8:
v2 ( )
APÉNDICE
A
Manejo cronómetro programable (Aslab)
La fig. A.1 ilustra, de manera esquemática, la parte frontal del cronómetro Aslab 1, que se usa en
el capı́tulo 5. El cronómetro se alimenta con un voltaje continuo (V dc) proveniente de un adaptador
de pared, que se conecta en su lado izquierdo. En su extremo superior hay 4 entradas, utilice la que
está a la derecha para conectar el fotodetector. El cronómetro programable se enciende con la tecla
➀.
Fotodetector ↓
V dc
1
→
2 3
← →
OFF
➀ ➁ ➂
a
➃ ➄ ➅
b
➆ ➇ ➈
d
0
# d
Figura A.1: Esquema frontal del Science First.
Enciéndalo y en la pantalla aparecerá un despliegue como el que se muestra en la A.1, indicando que
la tecla ➀ (OFF), ahora, es para apagar el cronómetro y las teclas ➁ y ➂ (← →) son para retroceder
o avanzar respectivamente.
Pulse la tecla ➂ para ingresar al Menú Principal, el cual tiene 5 opciones, que podrá revisar
pulsando consecutivamente las teclas ➁ y ➂ o ← →:
Opc. 1: Experiments: Para escoger el experimento que se va a controlar (Picket fence 2 ). Opc. 2: #
decimals: Para escoger el número de decimales a utilizar (4).
A-1
A-2
Opc. 3: # memories: Para escoger el número de memorias a usar en los registros de tiempo (10).
Opc. 4: Tranfer data: Para transferir los datos registrados a una computadora (no se requiere).
Opc. 5: Memory clear: Para limpiar el contenido de las memorias y dejarla en cero.
Use la tecla a para escoger cualquier opción. Comience escogiendo la opción 3 (# memories). Use
la tecla ➂ para incrementar el número a 10 y use la tecla a para aceptar la entrada y regresar al
menú principal.
Ahora escoja la opción 2: decimals. Podrá observar que está en 4 por defecto. No requiere cambio,
pulse la tecla ➀ para regresar al Menú Principal.
Ahora escoja la Opción 5: Memory clear; acepte la opción con la tecla a.
Ahora escoja la Opción 1: Experiments. Use la tecla 3 para avanzar en los diferentes experimentos
hasta llegar a Picket Fence 2; acepte la opción con la tecla a. Ahora, en la pantalla aparece:
Indicando que el cronómetro está preparado para tomar los datos. El asterisco () indica que el
fotodetector está siendo alimentado
Indicando que el cronómetro está preparado para tomar los datos, ) indica que el fotodetector
está siendo alimentado
Ahora pulse la tecla a y, a continuación, en la pantalla aparece:
se ha reemplazado por m, indicando que el cronómetro está ahora en la fase de medición.
Con esto, el cronómetro está listo para registrar los intervalos de tiempo.
Verifique su funcionamiento cortando el haz, con el dedo ı́ndice, once veces. Aunque no parezca, el
cronómetro está midiendo. Sólo después de haber cortado el haz las once veces el cronómetro termina
su función y en la pantalla aparece:
Mostrando el contenido de la memoria 10, o sea el décimo intervalo de tiempo registrado. Para
revisar los demás intervalos pulse, consecutivamente, las teclas ➁ y ➂ para retroceder o avanzar.
Pulse la tecla ➀ para regresar al Menú Principal. Elija la Opción 5: Memory clear para limpiar
todos los registros. Ahora elija, de nuevo, el experimento Picket Fence 2 y repita el proceso hasta
dejarlo listo para registrar los intervalos de tiempo del experimento.
APÉNDICE
B
Métodos de análisis gráfico
B.1 Importancia de las gráficas
La presentación de los resultados experimentales se debe considerar como parte esencial de los
experimentos. Es útil que los datos obtenidos se presenten en un gráfico, donde quede resumida la
información para su apreciación y análisis. En la mayorı́a de los casos un gráfico es más útil que una
tabla de valores, especialmente cuando:
➛ Se mide una variable y en función de otra x y se quiere interpretar la relación funcional entre
ellas, p. ej., la medición del perı́odo de un péndulo en función de su longitud; medición de la
altura en función del tiempo transcurrido en una caı́da libre; etc.
➛ Se estudia si dos variables mantienen una correlación (causal o no) y cómo es el grado de
interdependencia, p. ej., el estudio de la relación entre el peso y la altura de personas; etc.
Se trata que la información que se quiere representar sea clara y explı́cita para que la representación
gráfica ((hable por sı́ sola)). Lo importante es que un gráfico debe servir para un posterior tratamiento
de los datos, que lleve a inferir las leyes subyacentes en ellos y ahondar ası́ en las posibles implicaciones
y generalizaciones de los resultados obtenidos en los experimentos.
B.2 Elección de variables
Al estudiar cualquier sistema lo que se trata de obtener son las respuestas del sistema ante ciertas
perturbaciones que se le puede aplicarle de manera controlada. La fig. B.1 representa esquemáticamente
un sistema bajo estudio.
Las variables xi se les denomina variables de entrada o variables independientes porque
se las puede controlar y variar. Ante los cambios de xi , el sistema revela sus caracterı́sticas o comportamientos a través de los cambios que sufren las variables yi , por tal razón se les denomina variables
de salida o variables dependientes. Por simplicidad, el cientı́fico estudia la respuesta de una
variable de salida ante la variación de una de las variables de entrada.
xi
sistema
yi
Figura B.1: Representación esquemática de un sistema al que se estudia las respuestas yi cuando se varı́a el
conjunto xi .
B-1
B-2
B.3 Normas para graficar
Se acostumbra tomar el eje de las abscisas para representar la variable de entrada o variable ((fácil))
de medir o variable independiente y el eje de las ordenadas para la variable de salida o variable
dependiente. Igualmente se usa pequeñas cruces, cuyas longitudes de las barras horizontal y vertical,
son proporcional a la incertidumbre de las respectivas variables, de acuerdo a las escalas elegidas para
cada eje. La incertidumbre en una variable pueden ser muy pequeña comparada con su factor de escala
y su lı́nea de incertidumbre tendrı́an una anchura comparable al grosor de la lı́nea que representa el
intervalo de la otra variable.
El arte de hacer gráficas para dilucidar los resultados se ha facilitado con el desarrollo de programas
especializados como Excel, Origin, entre otros. Estas programas incorporan los principios de diseño
gráfico para obtener gráficas de alta calidad. Es altamente conveniente que el estudiante utilice estas
aplicaciones. Sin embargo, en principio se debe realizar los gráficos a mano, por tal motivo tenga en
cuenta:
✧ Utilizar papel milimetrado de modo que la precisión de trazado sea del mismo orden que la
precisión de los datos a graficar.
✧ Indicar, en cada eje, la magnitud que va a representarse con su sı́mbolo y su unidad de medida.
✧ Escoger las escalas de modo que la gráfica ocupe la mayor parte del espacio disponible.
✧ Facilitar la localización de las divisiones en los ejes, es decir evitar factores de escala que no
permitan una lectura directa de la misma, p. ej., no tomar 7 unidades de una magnitud y
representarlas por 1 cm.
✧ Colocar sobre los ejes un número moderado de ((marcas de escala)), e. d., rayitas hacia afuera
del área de datos o región de la gráfica comprendida en el rectángulo delimitado por los ejes.
✧ Colocar rótulos de división de escala debajo de algunas marcas de escala, sin sobrecargar la
gráfica.
✧ No es necesario que el origen sea el punto (0, 0). No obstante, puede ser necesario incluir el
origen en la gráfica si se quiere determinar gráficamente el intercepto con alguno de los ejes.
✧ Señalar los puntos experimentales con pequeños cı́rculos rellenos.
✧ Si se van a graficar varias series de datos sobre la misma hoja, use diversos sı́mbolos además del
cı́rculo para destacar y distinguir los puntos correspondientes a cada curva, p. ej., cuadrados,
rombos, triángulos, entre otros. Debe evitarse el empaquetar demasiada información en el mismo
gráfico, haciéndolo ilegible.
✧ Si gráfica una variable continua es imprescindible indicar su incertidumbre mediante barras de
longitud proporcional al mismo, a menos que ésta no sea significativa.
✧ No aprovechar los espacios vacı́os en el área de datos para realizar cálculos aritméticos de pendientes, etc.
✧ Usar ((lı́neas de referencia)) cuando haya un valor importante que interese señalar a todo lo largo
o ancho de la gráfica, sin interferir con los datos.
✧ Poner una leyenda de la gráfica que explique la relación entre las variables.
Un ejemplo con las consideraciones es:
B-3
Figura B.2: Relación entre la raı́z cuadrada de la distancia x1/2 (m1/2 ) como función del tiempo t (s). La lı́nea
a trazo es el ajuste lineal.
B.4 Relación lineal
Una relación entre las variables x e y del tipo:
y[x] = a + bx
(B.1)
se conoce como relación lineal. Las caracterı́sticas de esta recta son: el intercepto a = 0 o corte
con el eje vertical y la pendiente b o cambio de razón Δy/Δx. La fig. B.2 es un ejemplo tı́pico. La
recta es la forma geométrica más simple en dos dimensiones. Al mismo tiempo, una relación lineal
entre dos variables cualesquiera es más fácil de ser identificada a simple vista. No es una exageración
afirmar que es el único caso en que esta discriminación puede hacerse a simple vista. Entre una recta
y una curva, nuestro ojo siempre notará la diferencia, pero no discriminará a la función que define la
curva.
La fig. B.3 representa dos series de datos. Trate de inferir cualitativamente cuál serie se aproxima
a una relación lineal entre x e y. Utilice una regla común o ponga el papel hasta el nivel de los ojos (si
desea, cierre un ojo como cuando se hace punterı́a) y observe si los puntos se ven alineados. Este tipo
de toma de decisión no debe desdeñarse al momento de analizar datos experimentales. La decisión de
aceptar o no una relación lineal entre las variables debe ser tomada por el experimentador, ya sea se
espere o no una vinculación lineal entre las variables en juego. Una vez que se decida que los datos
((caen sobre una recta)), se puede estimar sus parámetros (pendiente e intercepto) de la mejor recta
que pase por la mayorı́a de los datos, o usar métodos para aproximar los datos a una relación lineal
como se verá más adelante.
B.5 Relación potencial
Sea la relación entre x e y del tipo
y[x] = axc
(B.2)
donde a y c son constantes. Esta relación potencial es muy estudiada porque sirve como aproximación del comportamiento en una gran variedad de casos, p.e.j. ,en biologı́a, la ec. B.2 se le denomina
((ecuación alométrica)). La constante c se denomina exponente de escala y define la escala de variación de y según varı́a x. Esto es, si x se multiplica por un factor f , y cambiará consecuentemente
f c veces. El significado fı́sico de la constante a es el de representar el valor que toma y cuando X vale
la unidad. La dimensión de a es tal que da homogeneidad dimensional a la ecuación. p. ej., parece ser
que el peso de los dinosaurios p estaba bien correlacionado con la longitud l medida desde la cabeza
hasta la cola, según
p = p0 l 3
B-4
Figura B.3: Representación de dos series de datos. ¿Cuál aproxima mejor una relación y ∼ x?
Esta ecuación se lee de la siguiente forma: p0 representa el peso de un dinosaurio de ((largo unidad)),
por tanto, si la unidad elegida para la longitud es el metro y para el peso es el newton, p0 representa
cuántos N pesaba un animal de largo igual a 1 m. La unidad de p0 será tal que se igualen las unidades
de los dos miembros de la ecuación. En este caso, p0 tendrá la unidad N/m3 , sin embargo, p0 no es la
densidad de los animales, a pesar de su unidad, puesto que l3 no es el volumen. Note que el valor de
p0 cambiará si se eligen otras unidades de medición. P. ej., si el peso se midiera en dinas y la longitud
en cm, p0 adoptarı́a un nuevo valor.
Un análisis cualitativo del gráfico de la ec. (B.2) se puede observar una curva ((cóncava hacia
arriba)) si c > 0, mientras que si c < 0, la curva se verá ((cóncava hacia abajo)). Lo que quiere decir es
que una variación de la variable x a un dado ritmo, hace que la variable y cambie a un ritmo distinto:
más rápido si c > 0, más lento si c < 0.
B.6 Técnicas de linealización
Cuando se tiene una relación lineal entre las variables de entrada y salida, se facilita el análisis
entre estas variables, por tal razón si se hace el cambio de variables
x∗ = xc
y∗ = y
en la ec. (B.2), toda vez que se conozca el exponente c, se tiene
y ∗ = x∗
que es una relación lineal entre las variables transformadas. Se dice que se ha linealizado la representación gráfica. La técnica consiste en tratar de ((convertirla)) una curva no lineal en una lineal
mediante un cambio apropiado de variables.
Ejemplo B.1 Se mide el perı́odo T de un péndulo simple para distintas longitudes L. Para el caso
de pequeñas amplitudes de oscilación, las variables están relacionadas
L
T = 2π
g
donde g es la aceleración de la gravedad. La relación es del tipo
T = aLc
con
2π
a= √
g
y
c=
1
2
B-5
Si se acepta que el exponente c = 1/2, un gráfico T versus Lc dará una recta que pasa por el origen
de coordenadas (dado que un péndulo de longitud nula debe tener un perı́odo de oscilación nulo) y
de cuya pendiente a se puede obtener el valor de g.
Ejemplo B.2 Se mide el tiempo para diferentes alturas durante la caı́da libre y se encontró el siguiente
comportamiento:
√
t[x] = 0, 45 x
donde x se mide metros y t en segundos. Al hacer el cambio de variable
√
u= x
se tiene la siguiente relación entre la variable de salida t y la nueva variable u
t = 0, 452u
La gráfica de esta ((nueva)) función en el√plano t − u es una lı́nea recta que pasa por el origen (ya que
partió del reposo) y de pendiente 0,45 m/s.
En el caso más general, donde no se conoce ni a a ni a c, ¿cómo se procede a linealizar? Para facilitar
la tarea de encontrar el exponente de escala c y la constante a, es conveniente tomar el logaritmo a
ambos miembros de (B.2):
log[y] = log[axc ]
= log[a] + log[xc ]
= log[a] + c log[x]
Una representación de log[y] en función de log[x] da una recta que tiene pendiente c e intercepto log[a].
Este tipo de representación gráfica es extremadamente útil cuando se analizan ecuaciones algebraicas,
se estudian correlaciones, leyes de crecimiento, etc. En la práctica no es necesario tomar los logaritmos
de los datos, sino representarlos en escalas logarı́tmicas, para lo cual ya existen papeles especialmente
diseñados para realizar estos gráficos. Ası́ mismo casi todos los buenos paquetes de graficación usando
computadora, brindan la posibilidad de representar los datos en escalas lineales (las normales ) o
logarı́tmicas.
B.7 Elección de las escalas
¿Cómo se realiza un gráfico de log[y] en función de log[x]? Una forma serı́a tomar el logaritmo y
hacer una nueva tabla de log[x] y log[x] para después graficar, sin embargo este procedimiento es muy
tedioso, ya que podemos tener tablas de 100 o hasta miles de datos. Otra forma, y la más utilizada, es
representar directamente los pares de valores (x, y) en un gráfico donde sus dos ejes contengan escalas
logarı́tmicas.
Un gráfico doble-logarı́tmico como el de la fig. B.4 también es llamado gráfico log-log. La
posición de las grillas más gruesas identifica un valor igual a una potencia de 10. Por lo tanto, en
cada eje, el espacio entre esas grillas representa una década de variación de las variables, es decir,
entre 10n y 10n+1 , cualquiera que sea n. Las ocho grillas intermedias indexan los valores k10n , con
k = 2, 3, . . . , 9.
Esto hace muy simple la construcción de ejes en escalas logarı́tmicas. Esto requiere marcar intervalos fijos a distancias 1, 10, 100, 1000,. . . (100 , 101 , 102 , . . . , 103 , . . . ). Si los datos a representar no
cubren un rango tan amplio de valores, los intervalos pueden realizarse a distancias de 1, 2, 4, 8, 16,
32,. . . (20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , . . . ).
Observando la fig. B.4 se puede advertir que las escalas logarı́tmicas son ((más democráticas)) que
las lineales, puesto que dejan ocupar el mismo espacio en el gráfico a los intervalos entre décadas entre
valores ((pequeños)) que el espacio ocupado por los intervalos entre décadas entre valores ((grandes));
B-6
Figura B.4: Ejemplo de un gráfico con escalas logarı́tmicas.
se puede ver, p. ej., que el lugar reservado para los valores entre 10−5 y 10−4 es idéntico al reservado
para el intervalo 108 y 109 .
Si la relación (B.2) se representada en un gráfico log-log se debe tener una recta de pendiente c e
intercepto log[a] , e. d., se puede inferir que y ∼ xc . Para calcular directamente del gráfico el valor de
c, se debe contar cuántas
√décadas varı́a y cuando x varı́a una. De la fig. B.4, la lı́nea 1 tiene pendiente
c = 0, 5, por tanto y√∼ x. Para la lı́nea 2, c = 1, por lo tanto, y ∼ x y, por último, para la lı́nea 3,
c = −1,5, e. d., y ∼ x−3 .
Esta representación usualmente se hacı́a usando un papel especial (papel logarı́tmico), que, dicho
sea de paso, aun se consigue en las librerı́as o en laboratorio de investigación de cierta antigüedad que
conservan algunas muestras. Con las ventajas que ofrecen hoy en dı́a los programas de computadora
(Origin, Excel, etc.), este tipo de representación puede realizarse de manera inmediata para sacar
mayor provecho al análisis de los datos experimentales.
B.8 Planeación experimental
Usando las herramientas básicas de estadı́stica vistas, se debe estar en capacidad de tomar decisiones propias sobre la manera de conducir un experimento y analizar sus datos.
Los pasos del experimento son los siguientes:
✍ Identificar el sistema.
Tener claridad de cual es el tema que se tratará en el experimento.
✍ Elegir las variables apropiadas.
Cuales son las magnitudes a medir.
✍ Identificar la teorı́a correspondiente.
Tener los conceptos teóricos que se aplicarán.
✍ Elegir el alcance de las variables.
Escoger los intervalos en que se harán las mediciones.
✍ Determinar la precisión de las magnitudes a medir.
Identificar la precisión de los instrumentos que se usan para medir las magnitudes y reportar de
forma rigurosa los resultados finales.
✍ Reportar los datos.
Elaborar tablas de datos cuyas columnas están rotuladas con las magnitudes de entrada que
deben controlarse y las magnitudes de salida que deben medirse. Es conveniente incluir también
columnas para todas las cantidades por calcular, en el análisis de los datos.
APÉNDICE
C
Método de mı́nimos cuadrados
En un experimento tı́pico que envuelve la medición de varios valores de dos variables fı́sicas es
investigar la funcionalidad entre las dos variables. En términos generales, sea la variable de entrada x
y la variable de salida y, por simplicidad, las dos están relacionadas linealmente y que la incertidumbre
en la medición de x es mucho menor que la respectiva incertidumbre en y, e. d.:
y[x] = a + bx
(C.1)
donde la pendiente b y el intercepto a son parámetros que deben determinarse mediante un criterio.
La fig. C.1 muestra la situación a estudiar.
Cuando se hace una serie de medidas del tip descrito, se puede preguntar:
1. ¿Cómo elegir ((la mejor recta)) que ajuste una serie de datos experimentales?
2. ¿Con qué exactitud se determinan el intercepto a y la pendiente b?
El método analı́tico de encontrar la mejor lı́nea recta que ajuste una serie de datos experimentales
se denomina regresión lineal o método de mı́nimos cuadrados y la exactitud de determinar a
y b es a través de métodos estadı́sticos.
La regresión lineal consiste en suponer que la incertidumbre en una de las mediciones de las
variables es despreciable frente a la otra. Esta suposición es razonable ya que las incertidumbres en
una de las variables a menudo son mayores que en la otra y, por tanto, se pueden ignorar.También se
asume que las incertidumbres en una de las variables son todas del mismo orden, lo cual es razonable
en muchos experimentos,pero no necesariamente cierta. Sea la variable x la que tiene incertidumbre
despreciable y las mediciones de cada yi están gobernadas por la distribución (1.21), con el mismo
parámetro σy para todas las mediciones.
Si se conoce las constantes a y b,para cualquier valor dado de xi (que se ha asumido no tiene
incertidumbre), se puede calcular el valor verdadero de la correspondiente ti ,
(valor verdadero de yi ) = a + bxi
La desviación entre el i-ésimo valor experimental yi [xi ] y la respectiva ordenada a + bxi en la supuesta
recta de ajuste es:
(C.2)
δyi = yi − (a + bxi ), con i = 1, 2, . . . , n
Entre todas las posibles rectas de intercepto a y pendiente b que ajusta a la serie de datos experiemtnales, se escoge aquella para la cual tiene lugar el siguiente criterio:
La suma de los cuadrados de las desviaciones δyi debe ser mı́nima, es decir,
C-1
C-2
y
pendiente b
y[x]
yi − y[xi ]
yi
a
x
xi
Figura C.1: Gráfico de datos asociados a un modelo lineal. La cantidad yi − y[xi ] representa la desviación de
cada observación de yi respecto del valor predicho por el modelo yi [xi ].
n
(δyi )2 = mı́n
i=1
Teniendo en cuenta la relación (C.2):
n
(yi − a − bxi )2 = mı́n
i=1
La condición de existencia del mı́nimo de esta expresión exige que sus derivadas parciales con respecto
a los parámetros a y b se anulen, es decir:
n
n
∂ ∂ 2
2
(yi − a − bxi )
(yi − a − bxi )
=0
;
=0
∂a i=1
∂b i=1
Al realizar la operación indicada, se obtiene
n
(yi − a − bxi ) = 0
i=1
;
n
(yi − a − bxi )xi = 0
i=1
Estas dos ecuaciones pueden ser reescritas como ecuaciones simultaneas lineales para a y b:
yi
;
a
xi + b
x2i =
xi yi
an + b
xi =
donde se ha omitido los lı́mites i = 1 a n en los signos de la sumatoria , por comodidad en la
escritura de las ecuaciones. La solución de este sistema es:
2
xi
yi − xi (xi yi )
a=
(C.3)
2
n x2i − ( xi )
b=
n
xi yi − xi yi
n x2i − ( xi )2
De esta manera se encuentra el intercepto y la pendiente de la recta que minimiza la suma
Del análisis estadı́stico, la incertidumbre en y es:
(yi − a − bxi )2
sy =
n
(C.4)
(δyi )2 .
C-3
T (◦ C)
R (Ω)
10
12,3
20
12,9
30
13,6
40
13,8
50
14,5
60
15,1
70
15,2
80
15,9
Tabla C.1: Datos de la temperatura T (◦ C) y la resistencia R Ω.
pero este estimativo no es correcto porque los números a y b son los valores verdaderos desconocidos.
En la práctica, estos números deben reemplazarse por los mejores estimativos dados por (C.3) y C.4,
esto conduce a una reducción en sy al reemplazar n → n − 2:
(yi − a − bxi )2
(C.5)
sy =
n−2
La razón es que se ha hecho n medidas pero se deben calcular dos cantidades a y b.
Teniendo sy , las incertidumbres de a y b se obtienen de
2
xi
sa = sy
2
2
n xi − ( xi )
sb = sy
n
n
x2i
− ( xi )2
(C.6)
(C.7)
De esta forma, el método de mı́nimos cuadrados permite calcular de manera inequı́voca las incertidumbres del intercepto a y de la pendiente b con base en los datos medidos y no en las apreciaciones
basadas en las incertidumbres de los valores medios de los datos.
¿Qué tan válido es aproximar un conjunto de datos mediante una dependencia lineal de la forma
como se ha planteado? La respuesta a esta pregunta se obtiene mediante el cálculo del llamado
coeficiente de correlación lineal, el cual se define de la siguiente manera:
n xi yi − xi yi
(C.8)
r = 2
2
n x2i − ( xi )
n yi2 − ( yi )
Esta magnitud, en cierta medida caracteriza el grado de dependencia lineal de la variable y con
respecto a la variable x. Si r = 1, significa que la correlación entre x e y es perfecta. Al contrario, si
r = 0, entre x e y no hay correlación. Una correlación imperfecta significa que 0 < r < 1.
Ejemplo C.1 Se quiere investigar la dependencia de la resistencia R de un material con respecto a
la temperatura T . Los resultados se muestran en la tabla C.1 y la gráfica en la fig. C.2:
Como suele suceder en muchos problemas, las variables no llamadas x e y, pero debe tenerse
cuidado enla identificación de cada una. Para el presente caso, se tiene el reemplazo:
xi ↔ Ti
yi ↔ Ri
Un vistazo a la distribución de estos datos permite afirmar que éstos se pueden ajustar mediante una
recta. El objetivo es determinar dicha recta mediante
el método
2 de
mı́nimos
cuadrados. De acuerdo
Ri ,
Ti ,
Ri2 y
Ti Ri :
con las ecs. (C.3) y (C.4), se necesita conocer
Ti ,
Con base en estos valores, se puede determinar los valores de la pendiente b y el intercepto a:
2
Ri − Ti Ti Ri
Ti
(20 400)(113, 3) − (360)(5 308)
a=
=
= 11,91 Ω
2
2
8(20 400) − (360)2
n Ti − ( Ti )
b=
n
Ti Ri − Ti Ri
8(5 308) − (360)(113, 3)
= 4, 98 × 10−2 Ω/◦ C
2
2 =
2
8(20
400)
−
(360)
n Ti − ( Ti )
C-4
Figura C.2: Gráfica de los datos de la tabla C.1.
Ti
Ri
Ti2
Ri2
Ti Ri
◦ 2
( C) (Ω) ( C )
(Ω2 )
(◦ C Ω)
10
12,3
100
151.29
123
20
12,9
400
166,41
258
30
13,6
900
184,96
408
40
13,8 1 600 190,44
552
50
14,5 2 500 210,25
725
60
15,1 3 600 228,01
906
70
15,2 4 900 231,04
1 064
80
15,9 6 400 252,81
1 272
2 2 Ti
Ri
Ti
Ri
Ti Ri
60 13,3 20 400 1 615,21 5 308
◦
Tabla C.2: Datos para calcular las ecs. (C.3) y (C.4).
Ti
( C)
10
20
30
40
50
60
70
80
◦
Ri
(Ω)
12,3
12,9
13,6
13,8
14,5
15,1
15,2
15,9
a + bTi
(Ω)
12,4
12,9
13,4
13,9
14,4
14,9
15,4
15,9
δRi
(Ω)
0.1
0
0,2
0,1
0,1
0,2
0,2
0
(δRi )2
(Ω2 )
0,01
0
0,04
0,01
0,01
0,04
0,04
0
( δRi )2
0,15
Tabla C.3: Datos para calcular la magnitud sy dada por (C).
C-5
Figura C.3: Regresión lineal usando el método de mı́nimos cuadrados de la fig C.2.
De los anteriores resultados, se puede determinar las magnitudes δRi = Ri − (a + bTi ) y
Éstos datos se encuentran en la tabla C.3.
Con base en estos valores, se puede determinar sy (C):
0, 15
(δyi )2
=
= 0, 16 Ω
sy =
n−2
8−2
(δRi )2 .
y ası́ se puede determinar las desviaciones estándar de la pendiente y el intercepto:
2
20 400
xi
sa = sy
= 0, 13 Ω
2
2 = 0, 16
8(20 400) − (360)2
n xi − ( nxi )
sb = sy
n
n
= 0, 16
x2i − ( xi )2
8
= 2, 47 × 10−3 Ω/◦ C
8(20 400) − (360)2
Por tanto, la recta R = a + bT que ajusta los datos de la fig. C.2 de acuerdo con el criterio de
mı́nimos cuadrados tiene la forma:
R[T ] = (11,9 ± 0, 1) + (5, 0 ± 0, 3) × 10−2 T
y se presenta en la fig. C.3.
Finalmente, para el coeficiente de correlación se tiene:
n xi yi − xi yi
r = 2
2
n x2i − ( xi )
n yi2 − ( yi )
8(5 308) − (360)(113, 3)
= 8(20 400) − (3602 ) 8(1 615, 2) − (113, 32)
= 0, 9934
lo cual indica que la resistencia del material considerado está bien correlacionada con la temperatura.
Modelo de informe tipo artı́culo cientı́fico
De los factores que se deben tener en cuenta al escribir un informe cientı́fico, el más importante
es la claridad; también es necesario tener presente en todo momento al lector, a quien va dirigido
el trabajo para ası́ determinar el nivel académico del lenguaje que se debe usar. El otro factor es la
estructura del informe. Este consta, como primera aproximación de:
1. Tı́tulo.
2. Autor(es).
3. Dirección (de la institución, programa, etc, al cual se pertenece).
4. Resumen
5. Introducción y discusión teórica
6. Métodos o procedimiento experimental y resultados
7. Análisis de resultados y discusión
8. Conclusiones.
9. Referencias bibliográficas o bibliografı́a.
A continuación se dan instrucciones acerca de la forma como debe elaborarse un artı́culo cientı́fico,
resultado del trabajo realizado en el laboratorio.
Tı́tulo
El tı́tulo es la elaboración más resumida del trabajo ejecutado. La elección del tı́tulo de un trabajo
cientı́fico consiste en elegir aquel que describa lo más fiel y brevemente posible el contenido de éste. Hay
que evitar tı́tulos demasiado generales, por ejemplo, ley de ohm, calor de fusión, tensión superficial,
instrumentos de medición, etc., pues no proporcionan información alguna.
Autor(es)
Es el nombre como quiera ser reconocido en la comunidad cientı́fica, puede ser, p. ej., Nombres y
apellidos completos, Iniciales de sus nombres y apellidos completos, entre otras alternativas.
D-11
D-12
Dirección
Todo autor debe pertenecer a una institución cientı́fica o no y,por tanto, se deben dar los respectivos
créditos.
Resumen
En este se describen con brevedad los objetivos del trabajo (fenómeno, propiedad estudiada), el
método (sustancia, sistema fı́sico y técnicas experimentales) empleado y los resultados obtenidos. Sirve
para que el lector decida si quiere leerlo completo.
Introducción
En esta parte se proporciona la información necesaria para situar el problema; es decir, se menciona
el por qué se pensó que valı́a la pena resolverlo, cuáles son las ideas vigentes al respecto, los modelos
aplicables al respecto y las consecuencias de su aplicación. También debe decirse cuál es el resultado
que se busca y las técnicas o métodos experimentales que se utilizan en el experimento. Aquı́ se plantea
la motivación y los objetivos del trabajo ası́ como el contenido de cada aparte del mismo.
Discusión teórica
Se amplı́an y desarrollan las ideas presentadas en la introducción respecto a formas y modelos
aplicables para afrontar o resolver el problema por la comunidad cientı́fica. En forma resumida se
definen las cantidades que van a ser medidas ası́ como el ”modelo”de las expresiones matemáticas a
emplear y/o corroborar. Tenga en cuenta, si utiliza expresiones obtenidas de textos, artı́culos o guı́as
de laboratorio hacer la correspondiente referencias bibliográficas. Si la deducción de las expresiones se
hace extensa, realice un apéndice y traiga sólo las expresiones de interés.
Procedimiento experimental y resultados
En la descripción del experimento se harán saber las partes que se consideren importantes del
procedimiento experimental, con el fin de ayudar a otros investigadores a reproducirlo si lo consideran
conveniente; se proporcionan también los datos necesarios para evaluar la precisión en las medidas y
la concordancia del experimento con las suposiciones del modelo o hipótesis de trabajo. Sintetice el
procedimiento experimental haciendo una descripción del equipo, y los pasos realizados.
Escriba los resultados en tablas y realice las gráficas (las tablas y las gráficas deben ir en un anexo
debidamente identificado, ası́ como el diagrama del montaje). Los resultados deben ser suficientemente
exhaustivos para comparar con la hipótesis o modelo con el experimento; si los números obtenidos son
resultado de diversas operaciones matemáticas y/o consideraciones estadı́sticas, se deben mencionar,
aunque no es conveniente reportar todos los datos del experimento, porque podrı́an ocupar mucho
espacio.
Análisis de resultados y discusión
En esta parte debe consignar la interpretación de los resultados obtenidos, su relación con lo
esperado teóricamente y los errores ası́ como la justificación de las discrepancias que surjan (si compara
con otros autores debe citarlos para llevarlos a las referencias). Para lo anterior son útiles las preguntas
que se formulan dentro de la guı́a.
En todos los casos debe incluirse la redacción de respuestas a las preguntas formuladas en
la guı́a pero sin que aparezcan como una respuesta directa a una pregunta en particular.
Las preguntas incluidas en la guı́a son orientadoras para el progreso del laboratorio, pero
D-13
el autor del informe debe estar en libertad de hacerse sus propias preguntas y dar sus
propias respuestas.
Si necesita escribir una ecuación, ésta debe ir numerada entre paréntesis ( ) y el reporte de datos
se debe usar el modelo de tablas con sus respectivos rótulos.
Conclusiones
En las conclusiones se debe contestar la pregunta planteada inicialmente o establecer por qué no se
puede responder. También se añadirá cualquier comentario que se juzgue conveniente. Las expresiones
((Los objetivos del laboratorios se cumplieron)) no es una conclusión.
Referencias
Son las citaciones a libros, artı́culos o trabajos relacionados con el tema en cuestión. Como caracterı́sticas generales, éstas deben escribirse en paréntesis angulares [ ] y no necesariamente deben ir en
un orden creciente.