Tomo 1

CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
1.
Representación:
•
A
Notación
2.
•
B
:
EJERCICIOS PROPUESTOS
AB
RAYO
Representación:
•
O
Notación
3.
SUSTRACCIÓN: AP = AB – PB
PB = AB – AP
m AB – m PB = m AP
LÍNEA RECTA
(1) En una línea recta se ubican puntos
consecutivos A, B, C, D tal que AB+ CD =2 .
BC, además AC+CD=21. Hallar BC.
•
A
:
a) 5
b) 7
c) 6
d) 3 e) 10
(2) En los puntos consecutivos A, B, C, D, E, que
se encuentran sobre una línea recta se cumple
que AB=BE, CD=BC=DE. Hallar el valor
numérico de AB + AE
BC BD
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 10
(3) En los puntos colineales A, B, C, D, E, se
marca el punto medio M del segmento DE .
Hallar CD, si AD=10, BM=6 y AB=BC+DE
OA
SEGMENTO DE RECTA
Representación:
A
Notación
B
:
AB
3.1. PUNTO MEDIO (M)
A
M
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
(4) En los puntos colineales A, B, C, D se cumple
que AB=7, AC=BD+BC. Calcular AD
B
a) 12
b) 14
c) 21
d) 28
e) 24
(5) Una Tortuga camina sobre una línea recta
desde el punto “A” hacia el punto “B” si al
llegar al punto “M” (“M” es el punto medio
de AB), decide retroceder hasta el punto P y
se le da cuenta que la distancia desde “P”
hacia “M” es la cuarta parte de la distancia de
“P” hasta “B. Calcular AB si la tortuga a
recorrido 72 metros.
AM = MB = AB / 2
3.2. OPERACIONES CON SEGMENTOS
A
P
B
ADICIÓN:
m AB = m AP + m PB
AB = AP + PB
AP + PB = AB
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
a) 36m
55
b) 45
c) 5
d) 108
e) 109
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(6) Los puntos A, B, C, D , se encuentran sobre
una línea recta de modo que AB = 8, BC = 12,
GEOMETRIA
a) 1
luego se toma el punto medio AC .Calcular BF
a) 1
b) 2
c) 1,5
d) 0,5
b) 12
c) 15
d) 20
a) 3
b) 5
c) 7,5
e)22
d) 10
c) 5cm
b) 8m c) 10m
a) 6
b) 7
x
e) 18m
a) 5
d) 9
C
c) 15
e) 10
d) 10
e) 9
d) 20
e) 90
c) 21
d) 21
e) 90
a) 4
b) 6
c) 4.5
d) 5
e) 21
CLAVES
c) 8
B
b) 10
b) 18
15
1
5
9
13
17
e) 10
(12) Hallar d(P,Q), si “P” es punto medio de AB,
“Q” es punto medio de CD y AC + BD = 40.
A P
d) 9
(18) Se ubican los puntos M, G y L con MG <
GL, se ubican los puntos I (punto medio de
MG), E (punto medio de GL) y U (punto
medio de ML); hallar UE, si MG = 8.
D
C
c) 8
b) 86 c) 12
a) 15
20
B
c) 6
(17) En una recta se toman los puntos consecutivos
P, Q y R, de tal manera que PR + QR = 42cm,
calcular el segmento MR; si “M” es punto
medio de PQ.
(11) En la figura calcular “x”, si AC = 12
A
b) 6
a) 5
d) 6 cm e) 7cm
d) 16m
e) 3,5
(16) Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos: A, B, y C tal que “M” es punto
medio de AC. Hallar “BM”, si: BC= AB + 40.
e) 3,5
(10) En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D siendo CD = 4 BC
Hallar AC . Si AD + 4 AB = 80 m.
a) 4m
b) 4.5
a) 5
(9) En la recta se ubican los puntos consecutivos
A, B, C y D donde “C” es un punto medio de
AD . Hallar BC si BD - AB = 12
a) 2cm b) 3cm
d) 0,5
(15) Se tienen los puntos consecutivos: P, Q, R, S,
T; hallar “RS”, siendo “R” y “S” puntos
medios de PT y QT respectivamente y PQ =
20, QT = 30
(8) Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D, se ubican M y N
untos medios de AB y CD respectivamente.
Hallar MN, si: AC + BD = 10
a) 2,5
c) 2, 5
(14) Se tienen los puntos consecutivos: A, P, B, C,
hallar “PB”, si AB – BC = 18 y “P” es punto
medio de AC.
e) 3
(7) Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Se ubican P y Q
puntos medios de AB y CD respectivamente.
Hallar : PQ, Si : AC + BD = 30
a) 6
b) 1,5
Q
d) 20
D
b
d
d
a
c
2
6
10
14
18
d
b
d
d
a
3
7
11
15
b
c
b
d
4
8
12
16
b
b
d
d
e) 18
(13) Se tienen los puntos consecutivos: A, B, C, D,
hallar “BC”, si AC = BD = 3 y AD = 5.
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
56
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
1.
ELEMENTOS
Lados
:
Vértice
:
GEOMETRIA
OA y OB
O
α < 90º
α
A
O
c) Ángulo Recto:
α
O
B
2.
α
NOTACIÓN
Ejemplo:
α = 90º
∠AOB, ∠BOA, A Ô B, Ô , α, β, γ, θ, Ω, etc.
3.
d) Ángulo Obtuso:
BISECTRIZ
A
Z
α
O
α > 90º y
α < 180º
α
β
B
Ejemplo:
e) Ángulo Llano:
OZ : Bisectriz del ∠AOB
α
Entonces:
α = 180º
α = β = m∠AOB / 2
4.
f) Ángulo Cóncavo:
CLASIFICACIÓN
α
4.1. Por su medida:
α > 180º y
α < 360º
a) Ángulo nulo
b
)
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
Ángulo Agudo:
57
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
α = 0º
g)
Ángul
o de
una
Vuelt
a:
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
58
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
α = 360º
α
l.
Siendo Cα : complemento de α.
Ángulos Suplementarios:
4.2. Por sus características
α
β
h) Ángulos consecutivos:
α + β = 180º
I.1) Suplemento de un ángulo:
Ejemplo:
O
Para 30º → 150º es su suplemento
Para α → (180º-α) es su suplemento.
B
α
En general:
β
Dado α : →
Sα = 180º - α
Siendo Sα : Suplemento de α.
OB : lado común
α ∧ β: ángulos consecutivos
5.
PROPIEDADES
5.1. Del ángulo llano
i) Par lineal:
α2
α3
α1
α + β = 180º
αn
β
α
α1 + α2 + α3 + ....+ αn = 180º
5.2. Del ángulo de una vuelta
j) Ángulos opuestos por el vértice:
α2
β
α1
α=β
α3
αn
α
α1 + α2 + α3 + ....+ αn
k. Ángulos complementarios:
5.3
α
α + β = 90º
B
Q
Para 30º → 60º es su
complemento Para 72º →
18º es su complemento Para α
→ (90º-α) es su complemento
β
K.1) Complemento de un ángulo:
Ejemplo:
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
Bisectrices del par lineal
59
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
P
α
α
GEOMETRIA
β
A
C
∠POQ = 90º
β
6.
En general:
Dado α → Cα = 90º - α
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
O
60
POSICIONES RELATIVAS
RECTAS EN EL PLANO
DE
DOS
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
Las posiciones relativas de dos rectas en el
plano son: paralelas y secantes.
∠2 = ∠8
∠2 = ∠6
∠3 = ∠7
∠1 = ∠5
∠4 = ∠8
∠3 + ∠6 = 180º
∠4 + ∠5 = 180º
∠2 + ∠7 = 180º
∠1 + ∠8 = 180º
Correspondientes:
6.1. Rectas paralelas
L1
L2
L1 // L2
Conjugados Internos:
6.2. Rectas secantes
L1
Conjugados Externos:
L1 // L2
L2
7.1. Propiedades
a)
Si L1 // L2:
Las rectas secantes pueden ser oblicuas ó
perpendiculares.
a) Rectas oblicuas
L1
x
β
L2
α ≠ 90º
α
L2
L1
α
x = α+β
b) Si L1 // L2:
b) Rectas perpendiculares
x
L1
L1 ⊥ L2
L2
L1
α
β
α+β+θ = x+y
α = 90º
α
Suma ∠der. = Suma ∠izq.
y
7.
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS
PARALELAS Y UNA SECANTE
Si L1 // L2 y L3 es secante, determinan 8
ángulos.
θ
L2
EJERCICIOS PROPUESTOS
L3
1
4
2
L1
3
(1) La medida del complemento de un ángulo es
igual a 1/3 de la medida del suplemento del
mismo ángulo. ¿Cuánto mide el ángulo?
a) 15º
5
8
Alternos Internos:
6
L2
7
∠4 = ∠6
∠3 = ∠5
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 70º
(2) Calcular el complemento de la diferencia que
existe entre el suplemento de 110º y el
complemento de 85º.
a) 35º
b) 25º
c) 15º
d) 5º e) 40º
(3) El complemento de “x” más el doble del
Alternos Externos:
∠1 = ∠7
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
complemento de “2x” es igual al suplemento
de “x-18”. Hallar x.
a) 12º
59
b) 18º
c) 24º
d) 36º
e) 40º
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(4) Si el suplemento del complemento de
medida de un ángulo es igual a los 3/2 de
diferencia entre el suplemento y
complemento de dicho ángulo. Calcular
complemento de dicho ángulo.
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
(12) Sobre una recta AE se ubica un punto "O",
luego se trazan los rayos OB, OC y OD en un
mismo lado, formándose 4 ángulos
consecutivos que están en la relación de 1, 2,
4 y 8. Hallar el ángulo que forman las
bisectrices del primer y cuarto ángulo.
e) 65º
(5) En los ángulos consecutivos AOB y BOC se
trazan OM bisectriz del ángulo AOB y ON
bisectriz del angulo AOC. Hallar la medida
del ángulo MON, si
m BOC = 90º
a) 30º
b) 60º
c) 15º
d) 45º
a) 114º
b) 15º
c) 50º
e) 50º
a) 150º
d) 60º e) 45º
b) 150º
b) 140º
b) 15º
d) 180º e) 185º
c) 50º
c) 60º
d) 130º e) 55º
d) 70º
c) 25º
d) 35º
C
b) 24
c) 26º
d) 32º
e) 40º
(15) En la siguiente figura: OM es bisectriz del
∠ BOC. Si 2m ∠ AOB - m ∠ BOC = 3º,
hallar m ∠ AOM.
B
M
e) 80º
A
C
O
a) 75º
e) 45º
b) 112,5º c) 120,5º d) 115º e) 80º
(16) La diferencia entre los ángulos consecutivos
AOB y BOC es 30º. Hallar la medida del ángulo
que hacen OB y la bisectriz del ángulo AOC.
(11) Dos ángulos A y B suman 120º. Si al ángulo
A se le disminuye la mitad del complemento
de B y al ángulo B se le aumenta la cuarta
parte del suplemento de A, el anterior
a) 15º
6º al último obtenido.
resultado excede en 4º
Hallar los ángulos A y B.
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
O
D
a) 16º
(10) Calcular el mayor de tres ángulos que están en
la relación de 3, 5 y 7, sabiendo que el
complemento de la suma de dichos ángulos es
15º.
a) 5º
c) 175º
A
que queda del primero. Hallar su diferencia.
b) 30º
b) 160º
c) 145º d) 162º e) 135º
(9) Si a uno de dos ángulos suplementarios se le
disminuye 35º para agregárselo al otro, da
como resultado que el segundo es 8 veces lo
a) 15º
e) 115º
B
(8) Si a uno de dos ángulos suplementarios se le
disminuye 20º para agregárselo al otro, éste
resulta ser 8 veces lo que queda del primero.
Hallar el suplemento del menor.
a) 40º
c) 125º d) 126º
(14) En la figura mostrada: m ∠ BOC = 116º,
hallar m ∠ AOD.
(7) La diferencia entre el suplemento y la mitad
del complemento de un ángulo es 99º. Hallar
el suplemento del complemento de tal ángulo.
a) 15º
b) 120º
(13) En un plano se toma el punto "O" y se trazan
alrededor las semirectas OA, OB, OC y OD
de manera que los ángulos AOB, BOC, COD
y DOA son proporcionales a 1, 2, 3 y 4. Se traza
la bisectriz OX del ángulo AOD. Calcular
el ángulo COX.
(6) Si el complemento de x, más el suplemento de
2x es igual al suplemento del complemento de
3x, hallar x.
a) 30º
GEOMETRIA
e) 90º y 40º
d) 100º y 20º
la
la
el
el
b) 30
a) 90º y 30º
60
c) 45º
d) 60º
e) 50º
b) 88º y 32º c) 85º y 35º
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
(17) Cuatro rayos forman en torno a un punto
y en un mismo plano, cuatro
ángulos cuyas
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
61
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
medidas son proporcionales a los números 1;
2; 3 y 4. El ángulo formado por las bisectrices
de los dos menores ángulos mide:
a) 27º
b) 32º
c) 48º
d) 54º
e) 58º
(18) La diferencia entre el suplemento de un
ángulo y el cuádruplo de su complemento es
el doble de su complemento. Hallar el ángulo.
a) 72º
b) 52º
c) 42º
d) 32º
e) 62º
(19) Hallar la medida de un ángulo, sabiendo que
el complemento del ángulo y el complemento
del suplemento del triple de dicho ángulo, son
complementarios.
a) 60º
b) 45º
c) 30º
d) 15º
e) 50º
(20) Hallar el menor de dos ángulos conociendo
que uno de ellos excede en 10º al
complemento del segundo y además el
segundo ángulo es igual a la mitad del
suplemento del primer ángulo.
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 30º
e) 40º
CLAVES
1
2
3
4
5
c
b
b
c
d
6
7
8
9
10
a
d
b
d
d
11
12
13
14
15
b
d
d
c
c
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
16
17
18
19
20
a
d
a
b
c
62
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
1.
GEOMETRIA
DEFINICION
Es un polígono compuesto por 3 lados.
x
•B
θ
α
x=α+θ
A•
2.
•C
3.3. De los ángulos externos
ELEMENTOS
x
B
x
z
c
a
y
α
A
x + y + z = 360º
C
b
3.4. Desigualdad de lados
Vértice
Lados
Ángulo interno
Ángulo externo
Perímetro
:
:
:
:
:
A, B y C
AB , AB BC y AC
α
x
m BC + m AC + m AB
c
a
b
2p =
3.
a + b + c
a–c < b < a+
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
3.5. Relación ángulo–lado
3.1. De sus ángulos internos
c
β
α
θ
C
Si
a
α
α>θ
θ

a>c
α + β + θ = 180º
4.
3.2. De un ángulo externo
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
63
CLASIFICACIÓN
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
4.1. De acuerdo a sus lados
6
EQUILÁTERO
4.2.
ISÓSCELES
ESCALENO
De acuerdo a sus ángulos
GEOMETRIA
cuales concurren en un punto llamado
CIRCUNCENTRO.
5.4.Bisectriz interior. Es la bisectriz del ángulo
interno. En todo triángulo, se pueden trazar 3
bisectrices interiores las cuales concurren en
un punto denominado INCENTRO.
5.5.Bisectriz exterior. Es la bisectriz del ángulo
externo. En todo triángulo, al trazar 2
bisectrices exteriores y la bisectriz interior
del tercer ángulo, estas son concurrentes en
un punto llamado EXCENTRO.
B
a)
Triángulo rectángulo
P
b : cateto
c : cateto
a : hipotenusa
β + θ = 90º
β
Y
a
α
c
α
A
b)
b
θ
C
b
Siendo:
Triángulo oblicuángulo
β
α
θ
ACUTÁNGULO
α , β , θ < 90º
5.
θ
•M
H
θ
b
Z•
α
OBTUSÁNGULO
α > 90º
LÍNEAS NOTABLES
5.1. Mediana. Segmento de recta, que une un
vértice con el punto medio del lado opuesto.
Todo triángulo tiene 3 medianas, los cuales
son concurrentes en un punto llamado
BARICENTRO.
5.2. Altura. Segmento de recta, comprendido
entre un vértice y el pie de la perpendicular
trazada del vértice al lado opuesto. En todo
triángulo, se pueden trazar 3 alturas, las
cuales son concurrentes en un punto
denominado ORTOCENTRO.
5.3. Mediatriz. Es la recta perpendicular en el
punto medio del lado del triángulo. En todo
triángulo, se pueden trazar 3 mediatrices, las
BM
:
mediana
BH
:
altura
MP
:
mediatriz
AZ
:
bisectriz interior
CY
:
bisectriz exterior
6.
PROPIEDADES ADICIONALES
6.1. De la altura y la bisectriz
B
BH : altura
BZ : bisectriz
x
A
H
C
Z
HB̂ Z =
 −Ĉ
2
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
GEOMETRIA
63
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
6.2. Del cuadrilátero cóncavo
PROBLEMAS PROPUESTOS
x=α+β+θ
β
α
(1) Hallar “x”.
θ
x
x
x
6.3. Del incentro
x
x
x
I : Incentro
β
x
x
•I
a) 8º
b)13º
c) 26º
d) 36º
e) 38º
x
x = 90º +
(2) De la figura calcular el valor de “x”,
si:AD=BD=DC
β
2
B
3x
D
6.4. Del excentro (1ra.)
E : Excentro
β
2x
A
a) 19º
b) 18º
c). 17º
C
d) 16º e) 20º
(3) De la figura, calcular el valor de “x”,
si AB = BC.
Q
B
x
x = 90º −
β
E•
2
x
80º
20º
70º
A
a) 20º
β
2
β
b) 30º
c) 35º
E
6.5. Del excentro (2da.)
x=
C
x
d) 47º
40º e) 50º
(4) Si los lados de un triángulo miden: 12;
(x+4 ); ( x + 5 ), calcular el menor valor
entero de x, para que dicho triángulo exista.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
(5) En un triángulo ABC: AB = 8; BC = 7.
Hallar el mayor valor entero de “AC”.
E : Excentro
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15 e) 16
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
GEOMETRIA
64
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(6) Hallar “x”
GEOMETRIA
(11) En un triángulo rectángulo ABC recto en B,
se trazan la altura BH y la bisectriz interior
AE que se cortan en P. Calcular: PH, si BH =
7 cm y BE = 4 cm.
x
54º
2θ
2w
a) 18º
b) 24º
a) 3cm
θ
w
c) 27º
b) 5cm
d) 4cm e) 7cm
∆ABC, La suma de los ángulos
(12) En un
d) 32º e) 34º
c) 6cm
∧
∧
exteriores A y C es 270. Hallar uno de los
(7) En el ∆ ABC se cumple que: 2m ∠ C=140º m ∠ B. Hallar “x”.
ángulos del triangulo.
a) 135
B
αα
b) 90
c) 60 d) 45
e) 50
(13) Se tiene un cuadrado ABCD y se construye
exteriormente un triángulo equilátero AEB.
Calcular m∠AED.
H
a) 30º
b) 15º
c) 20º d) 28º
e) 25º
x
P
A
a) 15º
b) 20º
Q
c) 32º
(14) En un triángulo ABC se cumple que: m∠A +
m∠B + 2m∠C = 260º. Calcular la medida del
ángulo que forman las bisectrices interiores de
los ángulos A y B.
C
d) 56º e) 60º
(8) Hallar “x”, si: α + 2θ = 150º
a) 130º
b) 120º
c) 110º
d).115º e) F.D
2x
(15) En la figura hallar el ángulo B̂
θ
2α
α
C
2θ
β
β
x
110°
a) 40º
b) 60º
c) 50º
d) 26º e) 30º
∝
A
(9) Hallar “x”.
θ
θ
α
30º
x
α
a) 50
b) 18º
c) 20º
b) 41
B
c) 42
d) 43 e) 45º
(16) Se tiene un triángulo ABC; luego se trazan
perpendiculares desde el vértice B a las
bisectrices interiores de ∠A y ∠C. Calcular el
ángulo que forman estas perpendiculares, si:
m∠B = 70º.
x
a) 10º
∝
a) 40
83°
ºb) 45º
c) 35º
d) 55º
e) 60º
d) 22º e) 23º
(10) Dos lados de un triángulo miden 1 y 6 metros.
Si el tercer lado mide un número entero de
metros. Calcular el perímetro del triángulo.
a) 13m
b) 11m
c) 9m
d) 7m e) 8m
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
65
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(17) Determinar el valor de “x”
GEOMETRIA
CLAVES
x
θ
α
2x
2α
2θ
a) 30º
b) 45º
c) 60º
(18) Del gráfico hallar: “x”
1
d
6
a
11
a
16
d
2
b
7
b
12
b
17
b
3
d
8
c
13
b
18
b
4
b
9
a
14
a
19
c
5
c
10
a
15
c
20
*
d) 75º e) 80º
CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
1.
20º
DEFINICIÓN:
B
E
≅
50º
50º
x
10º
A
a) 30º
b) 35º
c) 40º
C
D
F
∆ABC ≅ ∆DEF
d) 45º e) 50º
(19) En la figura: AB = BD, DC = DE, Calcular x.
2.
CASOS DE CONGRUENCIA:
B
B
2x x
A
≅
C
D
A
3x
C
E
a) 10º
E
A.L.A.
b) 14º
c) 18º
B
d) 22º
e) 20º
D
F
L.A.L.
E
≅
(20) Sí AB=BC=CD=DE, hallar “x”
D
A
119º - 3x
B
C
x
a) 11º
b) 14º
D
L.L.L.
F
E
≅
B
A
C
E
c) 17º d) 21º
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
A
C
F
D
∆ABC ≅ ∆DEF
e) 23
66
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3.
APLICACIONES:
GEOMETRIA
4.1. Corolario
3.1. Propiedad de la bisectriz
B
B
Si: MN // AC
Z
P
M
α
N
⇒ MN = AC / 2
α
O
A
Si: P ∈ OZ
⇒ PA = PB
A
5.
MEDIANA RELATIVA A LA
HIPOTENUSA
3.2. Propiedad de la mediatriz
x
C
B
Si: P ∈ xy
P
BM = AC / 2
⇒ PA = PB
A
B
y
A
M
C
Observación:
3.3. Del triángulo isósceles
B
α α
A
Al trazar la mediana a la hipotenusa, se
forman 2 triángulos isósceles.
Si: BP es bisectriz
Mediana
⇒BP: Altura
Mediatriz
B
α
C
α
P
4.
A
M
C
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
(T.P.M.)
B
M
Si: BM = MA
P
MX // AC
X
Propiedad:
A
C
BP = PC
MP = AC / 2
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
67
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GEOMETRIA
1.
DEFINICIÓN
Es la figura determinada por 3 ó más puntos no
colineales unidos mediante segmentos de
recta.
2.
ELEMENTOS
B
Equilátero
Equiángulo
y
β
x
A
C
Irregular
Regular
α
E
3.
Vértices
Lados
Ángulos Internos
Ángulos Externos
Diagonales
3.2.
D
:
:
:
:
:
Por su número de lados
Nº
Lados
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
A, B
AB
α, β.
x, y
AC, AD.
CLASIFICACIÓN
3.1. Por sus elementos:
a) Equilátero: sus lados son de igual
medida. Ejemplo: el rombo.
b) Equiángulo: sus ángulos son de igual
medida. Ejemplo: el rectángulo.
c) Regular: sus lados y ángulos tienen igual
medida. Ejemplo: el cuadrado.
d) Irregular: polígono, que no es regular.
Ejemplo: el trapecio.
4.
Denominación
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Exágono
Heptágono
Octógono
Nonágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Pentadecágono
Icoságono
PROPIEDADES GENERALES
En todo polígono de “n” lados, se cumplen
las siguientes propiedades:
4.1.Total de diagonales:
Dn = n(n-3) / 2
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
68
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4.2.Suma de los ángulos internos:
a) 60º
4.3.Suma de los ángulos exteriores:
a) Cuadrado
c) Octógono
S∠ e = 360º
a) 540º
e
i
a) 115º
b) 900º c) 720º d) 1080º e) 1090º
b) 120º c) 125º
d) 135º e)140
(8) La suma de los ángulos de cierto polígono
regular excede a la suma de los ángulos
externos en 900º. ¿Cuántos lados tiene el
polígono?
5.1.Medida de un ángulo interior:
∠i = 180º(n-2) / n
a) 9
5.2.Ángulo exterior:
∠e = 360º / n
b) 7
c) 5
d) 11
e) 12
(9) Hallar el número de lados de un polígono regular
de lado igual a 4cm, si el número de diagonales
es cuatro veces su perímetro, expresado en
centímetros.
5.3.Ángulo central:
α = 360º / n
a) 30
PROBLEMAS PROPUESTOS
c) Endecágono
d) Heptágono
(2) En que polígono el numero de lados es menor
que el numero de diagonales en 3.
a) I
c) 40
d) 25
e) 50
b) II
c) III
d) I y II
e) III y I
(11) Calcular la suma de ángulos interiores de
aquel polígono en el cual su número de lados
mas su número de diagonales es igual a 45.
c) Hexágono
d) Heptágono
(3) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior
mide 150º?
a)1440º b) 1260º c) 1080º d) 900º e)1000º
b) Octógono
d) Dodecágono
(12) Calcular la suma de los ángulos internos de
aquel polígono para el cual al duplicar el
número de lados, el número de diagonales
aumenta en 18.
(4) En un Pentágono convexo tres de sus ángulos
miden 120º cada uno, y los otros dos son
congruentes .Hallar uno de estos últimos.
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
b) 35
(10) Dada las siguientes proposiciones :
I ) Cada ángulo interior de un hexágono mide
120º
II) En el decágono se pueden trazar 36
diagonales
III) El polígono regular cuyos ángulos
exteriores miden 36º, es un decágono.
Son verdaderas:
(1) En que polígono se cumple que la suma de los
ángulos interiores y exteriores es 1260º.
a) Hexágono
c) Icoságono
b) Hexágono
d) Decágono
(7) En un polígono regular el doble del número de
diagonales es el quíntuplo del número de
lados. Luego la medida de su ángulo interior
es:
es :
α
a) Cuadrilátero
b) Pentágono
GEOMETRIA
d) 120º e) 100º
(6) Calcular la suma de los ángulos interiores de
un polígono cuyo número de diagonales
excede en 7 al número de vértices.
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
REGULARES
a) Hexágono
b) Pentadecágono
c) 90º
(5) En que polígono regular el ángulo interior es
el triple de la medida del ángulo exterior.
S∠ i = 180º (n-2)
5.
b) 30º
a) 1080º b) 900º c) 360º d) 540º e) 800
69
CENTRO INFORMÁTICO
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(13) Si la suma de los ángulos interiores se
de un
GEOMETRIA
(22) En un polígono convexo de 14 lados 12 de sus
ángulos interiores suman 2000º. Hallar el
ángulo que forma la bisectriz de los otros 2
lados.
polígono es igual a 2 veces la suma de los
ángulos los exteriores. Hallar el número de
lados.
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
a) 160º b) 120º c) 140º d) 100º e)110
e)8
(23) Un polígono convexo de “n” lados tiene “d”
diagonales
y otro polígono de 2”n” lados
posee “5d” diagonales. Hallar “n”.
(14) Al disminuir 3 lados en un polígono, su
número de diagonales disminuye en 21.Hallar
el número de los lados.
a) 7
b) 5
c) 6
a) 8
d) 7 e) 9
(15) En un polígono regular la relación entre
ángulo interior y sus ángulos exterior es como
3 es a 2. Hallar su número de lados.
a) 4
b) 5
c) 6
b) 15
c) 20
a) 7
d) 7 e)10
b) 12
c) 18
d) 8 e) 3
a) 8
d) 15 e) 20
b) 18º
c) 36º
b) 6
c) 4
d) 10
b) 9
c) 10
d) 12 e) 14
(27) En un octágono equiángulo ABCDEFGH
AB = 5 2 y BC = 7 Hallar AC
diagonales aumentado en el número de
vértices es igual a 153. Hallar el ángulo
a) 20º
e) 18
(26) En un polígono convexo de “n” lados se sabe
que desde “n-4” vértices consecutivos se
pueden trazar 4n+3 diagonales. Hallar “n”.
(18) En un polígono regular el número de
central.
d) 16
(25) Hallar el número de lados de un polígono
regular tal que si tuviera 6 lados menos, la
medida de su ángulo externo aumentaría en
80º.
4
d) 10 e) 12
a) 7
b) 6
c) 9
(17) En un polígono el número de diagonales es
igual a 6 veces el número de lados. Hallar
dicho número de lados.
a) 14
c) 7
donde AB =8, BC =6 y DE =6. Hallar EF
(16) Hallar el número de diagonales de un
polígono regular si su interior mide el triple de
su ángulo exterior.
a) 2
b) 9
(24) Se tiene hexágono equiángulo ABCDEF
a) 11
16
d) 45º e) 50
b) 12
c) 13
e) 15
d) 14
(19) En un polígono el número de lados aumenta
en 3 y el número de diagonales aumenta en15.
Hallar el número de lados del polígono.
a) 5
b) 7
c) 6
d) 8 e) 9
(20) Hallar el número de lados de 2 polígonos
regulares cuya suma de los ángulos internos
difieren en 360º y los ángulos centrales
difieren en 30º.
a) 5 y 6 b) 6 y7 c) 4 y 6 d) 5y7 e) 8y6
(21) Si en un polígono se aumenta en 5 su número
de lados, resulta que su ángulo exterior
disminuye
en 6º. Hallar
su número de lados.
CENTRO
DE EXTENSIÓN
EDUCATIVA
70
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
a) 12
b) 13
c) 14
GEOMETRIA
d) 15 e) 18
CLAVES
1
5
9
13
17
21
25
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
71
d
c
b
c
d
e
e
2
6
10
14
18
22
26
c
b
c
d
a
d
*
3
7
11
15
19
23
27
d
d
a
b
a
b
b
4
8
12
16
20
24
c
a
c
c
c
a
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
1.
2.
GEOMETRIA
DEFINICIÓN
Son polígonos que tienen 4 lados.
3.2.3. Las diagonales se bisecan.
CLASIFICACIÓN
De acuerdo al paralelismo de sus lados, los
cuadriláteros pueden ser:
a. Paralelogramos.
3.3. Clasificación
b. Trapecios.
c. Trapezoides.
3.
PARALELOGRAMOS
3.3.1. ROMBOIDE.- Sus lados y
ángulos
consecutivos
son
diferentes.
3.1. Definición
Sus lados opuestos son paralelos.
3.3.2. RECTÁNGULO.ángulos son rectos.
B
C
b
D
3.3.4.
CUADRADO.- Sus lados y sus
ángulos son iguales.
E
θ
3.2. Propiedades
α
3.2.1. Los lados y ángulos opuestos
son iguales.
3.3.1
α
3.3.2
α
θ
α α
θ
45º
3.2.2. Los ángulos adyacentes a
45º
α α
suplementarios.
45º
45º
α + θ = 180º
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
4
3.3.3. ROMBO.- Sus 4 lados son
iguales.
h
A
Sus
3.3.3
72
3.3.4
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
4.
GEOMETRIA
TRAPECIOS
b
4.1. Definición.- Cuadrilátero que tiene un par
de lados paralelos llamados bases.
b
B
C
B
C
A
D
n
M
b
a
N
Fig. 4.4.1
h
E
A
n
D
a
h
α
BC // AD
β
Fig. 4.4.2
4.2.
Elementos
Bases
Altura
Mediana
4.4.
Fig. 4.4.3
: Mayor = a; Menor = b
: CE = h
: MN; MN // bases
5.
TRAPEZOIDES
Cuadrilátero que no tiene lados paralelos.
Clasificación:
P
C
4.4.1.
Trapecio isósceles.- Sus lados no
paralelos son iguales.
4.4.2.
Trapecio escaleno.- Sus lados no
paralelos son desiguales.
Q
Trapecio Rectángulo.- Uno de sus
lados no paralelos es perpendicular
a las bases.
ABCD : trapezoide
4.4.3.
B
D
A
BC // AD ∧ AB // CD
∠A = ∠D
AC = BD
n = (a-b)/2
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
73
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
GEOMETRIA
(7) Se da un trapezoide ABCD. Se prolonga CD
y desde A se traza una perpendicular a esta
prolongación, la cual cae en E. Hallar el
EJERCICIOS PROPUESTOS
(1) El ángulo A de un paralelogramo ABCD mide
64°. Hallar la medida del ángulo B.
ángulo
90º y
a) 70°
CÂE
D̂
a) 30º
B̂
=
= 135º.
b) 26°
c) 30°
d) 34°
b) 15
c) 25
d) 45
b) 180º
c) 60º d) 45º e) 90º
(8) En un trapecio ABCD, las bisectrices de los
ángulos adyacentes a la base menor se
intersecan en un mismo punto de la base mayor;
si ésta mide 50cm, halle la suma de las medidas
de los lados no paralelos.
e) 36°
(3) En un rectángulo ABCD se toman los puntos
medios E de AD y F de CE . Se une A con F
y se prolonga hasta cortar a CD en G. Hallar
FG, sabiendo que
AF = 45m.
a) 30
= 60º ,
b) 85° c) 116° d) 122° e) 125°
(2) Las medidas de los ángulos interiores de un
trapezoide son entre sí como 1,2,3 y 4. Hallar
la medida del menor ángulo del trapezoide.
a) 20°
Â
sí: AB = AD,
a) 30
b) 35
c) 50
d) 45
e) 25
(9) En un cuadrado ABCD se toman los puntos E
sobre BC y F sobre DC , tales que AEF es
un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el
e) 22,5
ángulo B
 E?
(4) En el paralelogramos ABCD se trazan las
a) 30º b) 60º
bisectrices de B̂ y Ĉ las cuales se cortan en
P. Si la distancia de P a AD es 2 y la
separación entre los lados opuestos BC y
AD es 5, hallar la distancia entre los lados
AB y CD .
a) 3
b) 5
c) 6
d) D. 4
a) 90º
ángulo M D̂ N.
e) 2
a) 90º
e) 60º
a) 6 cm b) 7cm
(6) En un paralelogramo ABCD se trazan las
bisectrices de  y B̂ las cuales se cortan en
E. Hallar la distancia de E al punto medio de
CD si el perímetro de ABCD es 28 y AB = 5.
a) 5
b) 6.5
c) 13
d) 5.5
b) 75º c) 45º
c). 8cm d) 9cm e) 10cm
(12) En un trapecio ABCD la base menor AB es
∧
igual al lado BC, Â =135° y B =127°. Hallar
el perímetro de este trapecio teniendo presente
que AB = 10 cm.
e) 11
a) 55,3 cm
d) 43,7cm
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
d) 120º e) 60º
(11) En el trapecio ABCD rectos en A, y B los
lados BC, CD y DA mide 12 cm, 16cm y
20cm. Hallar la distancia del punto de
intersección de las bisectrices de los ángulos
C y D al lado recto.
AÊD .
b) 45º c).180º d) 135º
d) 15º e) 22º30’
(10) En un paralelogramo ABCD, sobre los lados
AB y BC se construyen exteriormente los
triángulos equiláteros ABM y BCN. Hallar el
(5) Se tiene un paralelogramo ABCD, en el que
AD = 2 AB. Se toma E, punto medio de
BC . Hallar el ángulo
c) 45º
73
b) 48,7cm
c) 58,6cm
e) 62,5cm
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
(13) En el paralelo gramo de la figura, hallar AB,
∧
a) 115°
∧
d) 140°
si PQ = 8cm. Si B A P = 2P A F
B
Q
B
S
F
a) 7 cm
d) 4cm
b) 6cm
a) 156°
d) 125°
c) 5cm
e) 3cm
b) 145°
x
A
Hallar AB + CD
B
c) 12
d) 15
53º
A
(19) En un trapecio isósceles ABCD (BC //
e) 16
AD ) , y
m∠A = 50 . Hallar la m∠C
(17) Los ángulos A y B de un trapezoide ABCD
miden 70° y 100°. Calcular la medida del
ángulo formado por las bisectrices de los
ángulos C y D.
b) 85°
c) 80°
d) 75
e) 70°
1
c
6
b
11
c
16
e
2
e
b
7
c
c
12
a
d
17
b
e
d
e
14
e
c
19
(18) En un trapecio ABCD (AB // CD ) , AB = 6,
3
BC = 12, CD = 14, y AD = 8. Las bisectrices de
los ángulos A y D se cortan en P, y las
bisectrices de los ángulos B y C se cortan en
Q. Hallar PQ.
5
a) 1
b) 1,5
C
c) 8
e)12
(16) En un romboide ABCD: M y N son puntos
medios de BC y CD respectivamente.
AM ∩ BD en P y AN ∩ BD en Q. Si PQ = 4,
Calcular BD.
a) 90°
c) 45°
AC y BD mide 3.
puntos medios de las diagonales.
b) 3
b) 30°
e) N.A.
(21) El segmento que une los puntos medios de
c) 135°
e) 162°
b) 7
D
a) 15°
d) 60°
(15) La base mayor de un trapecio mide 24.
calcular la base menor, sabiendo que es
congruente con el segmento que une los
a) 6
d) 9
C
105°
(14) Calcular el mayor ángulo formando por las
bisectrices de dos ángulos opuestos de un
trapezoide, si las otros dos ángulos miden
108° y 72°
a) 8
e) N.A.
(20) En la figura, BC // AD , AB = CD, y AC =
AD. Calcular x.
P
A
GEOMETRIA
c) 130°
b) 120°
c) 2
d) 2,5
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
4
c
a
8
9
10
13
15
18
20
c
c
21
e
e) 0
74
CENTRO INFORMÁTICO
I.S.T.P. “CARLOS CUETO FERNANDINI”
a) 10
d) 15
b) 12
GEOMETRIA
c) 14
e) 18
CLAVES
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
75
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GEOMETRIA
DEFINICIÓN
B
Es una línea curva cerrada, cuyos puntos
equidistan de otro interior llamado centro. A esta
equidistancia se le denomina radio de la
circunferencia.
2.
ELEMENTOS
A
O
r
D
Fig. 3.4
Fig. 3.3
r
B
P
Lt
Arco
Cuerda
Radio
Diámetro
Flecha
Secante
Tangente
:
:
:
:
:
:
:
AB
AB
OA = r = OB = OC
BC = 2 r
MP
Ls
Lt
4.
B
Fig. 3.5
APLICACIONES DE LA TANGENTE
4.1. Teorema de Poncelet.- En todo triángulo
rectángulo, la suma de los catetos, es igual a
la hipotenusa más el doble del radio de la
circunferencia inscrita.
AB + BC = AC + 2r
B
PROPIEDADES
1.1. Todo radio perpendicular a una cuerda, biseca
a la cuerda y al arco subtendido.
1.2. Dos cuerdas paralelas, comprenden arcos
iguales.
1.3. Cuerdas iguales, subtienden arcos iguales.
1.4. Todo radio es perpendicular a la tangente, en
el punto de tangencia.
1.5. Las tangentes trazadas desde un punto exterior
a una circunferencia son iguales.
r
A
C
4.2. Teorema de Pitot.- En todo cuadrilátero
circunscrito, la suma de los lados opuestos
es constante.
b
a
A
O
r
A
Ls
3.
A
M
C
r
r
O
P
r
C
P
M
B
d
Fig. 3.1
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
Fig. 3.2
a+c=b+d
76
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5.
GEOMETRIA
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1) Central
A
A
α
O
(1) Calcular x:
α
B
C
C
α = AC
α = AC / 2
3) Semi-inscrito
4) Interior
A
B
EJERCICIOS PROPUESTOS
2) Inscrito
A
α
B’
α
a) 2
α
b) 3
c).2,5
d) 3,5
E) 1,5
(2) Calcular x:
B
A’
C
α = (AB + A’B’) / 2
α = BC / 2
5) Exterior
β
θ
α
θ α
β
a)
d)
β
θ
α = (β-θ) / 2
α
3 −1
3 +1
2
b) 3 +1
c)
3 −1
2
e) 2 3
(3) Calcular x:
CUADRILATERO INSCRITO
α
β
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
α + β = 180º
77
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a) 2
e) 5
b) 3
c)4
GEOMETRIA
d) 6
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
78
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(4) Calcular b + 2a
GEOMETRIA
(8) Los lados de un triángulo rectángulo tienen
medidas que forman una progresión aritmética
de razón igual a 6. Calcular la medida del
radio de la circunferencia inscrita en el
triángulo.
a) 5
b) 6
c) 5,5
d) 6,5
e) 8
(9) Calcular AD – CD
a) 10
b) 12
c)11
d) 14 E) 16
(5) BC // AD , calcular BP + CQ
a) 3,5
b) 2,5
c) 1,5 d) 3
e) 2
(10) Calcular x:
a) 16
b) 17
c)18
d)19
c) 2,5
d) 1,25
e)20
(6) Calcular x:
a) 2
b) 1,5
a) 1
e) 1,75
b) 1,5
c).3
d) 1,5
e) 2,5
(11) “O”, centro, calcular “x”:
(7) Calcular x:
a) 1,25
b) 2
c)1 d) 0,75
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
e) 0,5
a) 30
79
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
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GEOMETRIA
(16) Calcular “ α ”:
(12) Hallar el perímetro del triangulo ABC si
AP = 6, BQ = y RC = 3
B
P
A
a) 28
Q
C
R
b) 26
c) 24
d) 30
a) 30
e) 22
b) 80
c)75
d) 90
a) 40
e) 95
a) 40
b) 110
c) 115
d) 53 e)75
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
(18) Calcular m AB:
(14) mABC = 120, Calcular x:
a) 100
c) 60
(17) Calcular x:
(13) mAB + mCD = 200. Calcular x:
a) 85
b) 45
b) 80
c) 90
d) 50
e) 70
d) 70
e) 75
d) 105 e) 95
(19) Calcular x:
(15) mAB = 2mCD. Calcular CD:
a) 75
b) 60
c) 45
d) 53
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
e) 37
a) 55
80
b) 60
c) 65
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(20) “O”, centro, calcular “x”:
a) 20
b) 25
c) 30
GEOMETRIA
(24) mAC = mBD, si mACE = 100, Calcular x:
d) 35
a) 40
e) 40
a) 30
b) 14
c) 60
d) 70
e) 80
(25) Calcular x:
(21) Calcular x:
a) 15
b) 50
c) 12
d) 10
b) 45
c) 60
d) 75
e) 80
(26) Hallar el ángulo de ABT si “B” es punto de
e) 20
ˆ + B
ˆ = 124º
tangencia y A
(22) Calcular x:
A
C
B
a) 50
b) 55
c) 60
d) 65
e) 80
a) 90
(23) Calcular “ α + β ”:
a) 90
b) 120
c) 180
d) 130
CENTRO DE EXTENSIÓN EDUCATIVA
1
5
9
13
17
21
25
e) 60
81
b) 120
a
d
e
b
b
d
c
2
6
10
14
18
22
26
c) 180
CLAVES
c
3
a
7
c
11
a
15
e
19
b
23
e
d) 130
e
c
b
b
d
c
4
8
12
16
20
24
e) 60
b
b
c
c
a
b
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GEOMETRIA
RELACIONES MÉTRICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA
5.1. TEOREMA(Relaciones entre cuerdas)
A
D
Q
C
B
AQ. QB = CQ. QD
5.2. TEOREMA(Relación entre secantes)
5.3. TEOREMA(Propiedad de la tangente)
T
Q
B
A
TQ2 = QA. QB
5.4. TEOREMA(Producto de lados)
B
c
A
a
h
a.c = h.2r
b
C
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