Paradigmas en las ciencias matemáticas: el caso

23
La crítica de Leibniz a los Elementos de Euclides
Jorge Alberto Molina
Universidade de Santa Cruz do Sul (UNISC)
Universidade Estadual de Rio Grande do Sul (UERGS)
[email protected]
Abstract: In this text we deal with Leibniz's criticism of Euclid's
Elements. We focus our attention on Leibniz's objections to the
definitions, axioms and kinds of proof used by Euclides.
Key-words: Philosophy of mathematics; History of mathematics;
Leibniz.
Resumen: En este trabajo se examinan las objeciones de Leibniz a la
exposición euclidiana de la Geometría en los Elementos. Especial
atención é dada a las críticas de Leibniz a las definiciones, a los
axiomas y a las pruebas contenidas en esa obra.
Palabras clave: Filosofía de la matemática; Historia de la Matemática;
Leibniz.
En el siglo XVII los Elementos de Euclides eran considerados un paradigma
de exposición de la Geometría. Sin embargo no dejaron de formularse reparos
contra ellos: a) Euclides suponía cosas que podían ser probadas y asumía otras
sin prueba; b) algunas de las definiciones de los Elementos eran consideradas
confusas, por ejemplo las definiciones de la teoría de las proporciones y las de
recta y ángulo; c) Euclides usaba pruebas por reducción al absurdo; d) empleaba
pruebas por superposición, lo que introducía un elemento empírico en la
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 23 - 31, maio 2012.
24
exposición matemática; e) los Elementos no respetan el orden científico de
exposición que consiste en partir de los géneros supremos para llegar a las
especies ínfimas.
1. Sobre las definiciones y axiomas de los Elementos
Euclides define el ángulo, en los Elementos, como el encuentro de dos
líneas rectas inclinadas sobre un mismo plano. Pero cuando prueba que un
ángulo puede ser dividido en dos partes iguales asume que el ángulo no es el
encuentro de esas dos líneas, sino el espacio que determinan. Probablemente
Euclides no habría querido definirlo como el espacio comprendido entre dos
líneas por el hecho de que éste puede aumentar o disminuir según aumenten en
extensión las líneas que lo determinan. Pero ocupará siempre la misma parte
proporcional de la circunferencia que tiene por centro el punto donde se
encuentran esas dos líneas. La definición euclidiana de ángulo muestra lo que
para muchos era un defecto en el orden de exposición de los Elementos. Euclides
debería haber comenzado esa obra con una teoría de las proporciones, dado que
la definición de ángulo implícitamente la presupone. En 1677 Leibniz define el
ángulo como la razón del arco a la circunferencia (Leibniz 1995, p. 53).
Leibniz pensaba que muchas de las definiciones que están en el Libro I de
los Elementos podrían derivarse de definiciones más básicas. Consideraba
necesario también probar la posibilidad de las entidades geométricas definidas,
esto es, su carácter no contradictorio. En su Characteristica Geometrica, de 1679
afirma (Leibniz 1995, p. 227):
Todas las definiciones habituales de la recta no son lo
suficientemente perfectas, pues siempre puede dudarse y siempre
aún es necesaria una demostración de que tal recta sea posible. Mas
eso debe figurar entre las cosas más elementales, y por consecuencia
precisamos una definición que haga aparecer inmediatamente la
posibilidad de la recta. Si se la define como un mínimo se puede
dudar de que exista un mínimo de un punto al otro. Si se la define
como una línea, cuyos puntos no pueden apartarse, se presupone la
distancia, o una trayectoria mínima.
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 23 - 31, maio 2012.
25
Observemos que es la definición euclidiana de recta como línea cuyos
puntos no pueden apartarse la que está siendo aquí considerada. En un escrito
del año 1685, Leibniz presenta un procedimiento para la generación de una recta
(Leibniz 1995, p. 325):
Consideremos que dos puntos A y B de un cuerpo rígido
permanezcan inmóviles mientras que otro punto está en
movimiento. Todos los puntos del cuerpo que permanecen inmóviles
se encontrarán sobre una recta puesto que su situación en relación a
esos puntos inmóviles no puede variar siendo, por hipótesis , rígido el
cuerpo que los conecta, ni su lugar, puesto que ellos mismos son
inmóviles.
En la Demostración de las proposiciones primarias, del año 1671 (Leibniz
1982, p. 86-95) Leibniz intentó demostrar el axioma de que el todo es mayor que
cualquiera de sus partes. En un opúsculo del año 1686, consideró como un
defecto de los Elementos, suponer cosas que pueden ser demostradas (C, p.180).
Posteriormente en los Nuevos Ensayos (N.E, p. 489)
criticó a quienes
reprocharon a Arnauld querer demostrar en sus Nuevos Elementos de Geometría
el axioma de que si a magnitudes iguales les substraemos una misma magnitud la
igualdad permanece.
2. Sobre las pruebas de los Elementos
En sus Segundos Analíticos, I, 26, Aristóteles afirmó que la demostración
directa es superior a la demostración por el absurdo. Inspirándose en esa
concepción muchos matemáticos del siglo XVII buscaron sustituir las pruebas
por el absurdo por pruebas directas. Cuando se deriva una contradicción de que
A no es B, y a partir de ahí se concluye que A es B, la existencia de esa
contradicción es un signo de la falsedad de que A no es B. Pero la prueba no da
una razón de por qué A es B, simplemente indica el hecho. Las pruebas por
reducción al absurdo no se dejan subsumir dentro de la concepción aristotélica
de ciencia según la cual ésta es el conocimiento de las causas.
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 23 - 31, maio 2012.
26
Otras pruebas que, para muchos matemáticos del siglo XVII, resultaban
polémicas eran las pruebas por superposición como la demostración de la
proposición I, 4 de los Elementos. Se apoyan en el axioma de los Elementos que
dice que dos cosas que pueden superponerse una con las otra son iguales entre
si. Las ciencias matemáticas según la caracterización de Aristóteles en su
Metafísica M, 3, se ocupan de la cantidad en la medida en que ésta es abstraída
de las cosas sensibles. Como el movimiento es propio de las cosas sensibles y no
de las abstractas, en la Geometría no podrían ser admitidas
pruebas que
estuvieran basadas en el movimiento de figuras.
Leibniz pretendió llevar el análisis de la naturaleza de las demostraciones
desde el plano de la Geometría sintética de los griegos hasta otro plano, el de un
cálculo, la característica geométrica,
que opera con símbolos, sin figuras.
(Leibniz 1995, p. 47-48). Sería una cogitatio caeca, una manipulación simbólica
de acuerdo con ciertas reglas que no exige que al efectuarse cada operación se
piense en el contenido representativo de cada símbolo. Sin embargo la idea de
usar un cálculo como auxiliar de la Geometría no era nueva. La Geometría de
Descartes enseñaba cómo resolver problemas geométricos usando el álgebra.
También puede ser pensada como una cogitatio caeca, pues no es necesario
saber qué representa cada símbolo al efectuar las operaciones. Sólo al final de
todo el cálculo algebraico sabremos cuál es la referencia de la incógnita. ¿En qué
sentido era para Leibniz su characeristica geometrica superior a la Geometría
de Descartes? Leibniz afirma que el método de Descartes presupone los
Elementos (Leibniz 1995, p. 52), entre otras cosas, el Teorema de Pitágoras para
introducir las coordenadas. Eso era inaceptable para Leibniz pues estaba
interesado en rescribir los Elementos, en su cálculo característico, a partir de
nociones más básicas que las de Euclides. Además las pruebas en la Geometría
cartesiana podrían ser muy complejas pues en ellas son introducidas las
magnitudes suponiendo las posiciones a partir de la figura (Leibniz 1995, p. 52) y
después se es forzado a trazar líneas y figuras apelando a la imaginación. Por
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 23 - 31, maio 2012.
27
último Leibniz estaba en desacuerdo con la creencia de que todos los problemas
geométricos pudieran resolverse por medio de ecuaciones.
¿Cómo serían las demostraciones en ese cálculo característico? En una
carta de 1678 (Leibniz 1972, p. 122) Leibniz afirma:
Pues en las demostraciones de cualquier proposición, no se precisa
nada más que las definiciones, los axiomas (a los que reduzco aquí los
postulados), los teoremas ya demostrados y las experiencias. Y como
a su vez, los teoremas deben ser demostrados y todos los axiomas,
excepto los idénticos, pueden serlo, es en fin evidente que todas las
verdades se resuelven en definiciones, proposiciones idénticas y
experiencias [….]; y habiendo terminado la resolución perfecta,
aparece que una cadena de demostraciones comienza con
proposiciones idénticas o experiencias; ella se detiene en la
conclusión
En Sobre la síntesis y el análisis universal, de 1679, Leibniz refuerza lo dicho en
esa carta (Leibniz 1982, p. 199 y GP VII, p. 292):
A partir de estas ideas o definiciones pues, pueden demostrarse
todas las verdades, excepto las proposiciones idénticas, las que por
su naturaleza es patente que son indemostrables y a las que
realmente se las puede llamar de axiomas. Pero los axiomas
ordinarios pueden ser reducidos a identidades ,es decir pueden ser
demostrados por resolución del sujeto o del predicado, o de ambos
[…] De donde es patente que en último análisis coinciden la
demostración ostensiva y la demostración apagógica [...] Así puede
darse razón de una verdad cualquiera pues la conexión del predicado
con el sujeto o es patente por sí misma, como en las proposiciones
idénticas, o debe ser explicada, lo que se hace con la resolución de
los términos. Este es el único y supremo criterio de verdad en todo lo
que es abstracto y no depende de una experiencia: que la
proposición sea idéntica o reducible a las proposiciones idénticas.
Si uno de los llamados axiomas aparece en una demostración se reducirá,
vía sustitución del definiendum por el definiens a una identidad del tipo A es AB.
En relación con esas demostraciones ideales, en las que piensa Leibniz, no se
podría hacer la distinción entre pruebas directas y pruebas apagógicas. En ellas
serían usados los símbolos de la característica geométrica y la propia fórmula
final obtenida al término del proceso demostrativo mostraría su verdad.
Leibniz justifica las pruebas por superposición por medio de las propiedades
de la relación de congruencia, expuestas en su ensayo Characteristica
Geometrica (Leibniz 1995, p. 205-206). Cuando dos cosas, por ejemplos dos
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 23 - 31, maio 2012.
28
líneas AB e CD, no coinciden, es decir no ocupan el mismo lugar en el mismo
momento, pero pueden superponerse y sustituirse una por la otra sin ninguna
modificación interna ellas son llamadas, por Leibniz, congruentes, hecho
denotado por ABCD.
3. La cuestión del orden de exposición en los Elementos
Los Elementos no respetan la regla metodológica de comenzar por las
cosas más simples y más generales, para pasar después a las más compuestas y a
las más particulares (Arnauld e Nicole 1970, p. 402). Después de tratar de la
Geometría plana, en los libros I, II, III y IV, Euclides, en el V, aborda un tópico más
general, la teoría general de las razones y proporciones, que puede aplicarse
tanto a cantidades continuas como a las discretas. En el libro VI vuelve a
ocuparse de la Geometría plana. En los libros VII, VIII e IX se ocupa de los
números. Retorna a la Geometría en los libros X hasta XIII, tratando de ángulos
planos, sólidos, método de exacción en polígonos semejantes dentro de círculos,
pirámides, conos, cilindros y esferas.
En su Characteristica Geometrica, Leibniz comienza a partir del espacio,
definido como lo extenso puro y absoluto, puro porque desprovisto de toda
materia y de todo movimiento, absoluto porque es ilimitado y encierra en sí
mismo toda extensión. La segunda cosa que considera es el punto, el objeto más
simple entre todos aquellos relativos al espacio y a la extensión, pues del mismo
modo que el espacio contiene la extensión absoluta, el punto expresa la mera
situación. A partir de esa definición, Leibniz deduce la definición euclidiana de
que el punto es lo que no tiene partes. Muestra que todos los puntos son
congruentes, igualmente semejantes e iguales. Después define la trayectoria
como un lugar continuo sucesivo. La trayectoria de un punto es una línea. De eso
Leibniz deduce que toda parte de una línea es una línea. La trayectoria de una
línea es una superficie y la de una superficie es un cuerpo. La noción de
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 23 - 31, maio 2012.
29
trayectoria permite definir la línea recta, después de haber definido en general lo
que es una línea. Habiendo elegido dos puntos está inmediatamente
determinada la trayectoria más simple que pasa por los dos. Si no existiera esa
trayectoria no estaría determinada la distancia entre ellos ni su situación. Esa
línea es la recta. De ahí se sigue que dos rectas no poseen dos puntos en común
ni encierran ningún espacio.
En un manuscrito de enero de 1680 (Leibniz 1995, p. 277) Leibniz afirma
la idealidad del continuo extenso. El continuo-dice-es aquello cuyas partes son
indefinidas y delimitadas mentalmente. La situación (Situs) no es otra cosa que la
posición (status) de una cosa que hace que ella pueda ser concebida de una
forma bien determinada como existiendo simultáneamente junto con otras
cosas extensas, esto es su modo de coexistir. El espacio es aquello en lo cual,
considerado en si mismo, ninguna otra cosa puede ser pensada además de la
extensión. Del punto no se puede decir otra cosa fuera de que tiene una
posición.
En su Characteristica Geometrica (Leibniz 1955, p. 183) Leibniz había
distinguido entre dos relaciones, la semejanza y la igualdad, la primera
cualitativa y la segunda cuantitativa: son semejantes aquellas cosas que no
pueden ser discernidas consideradas una después de la otra, como dos
triángulos semejantes; iguales son las cosas extensas que sin ser efectivamente
congruentes, pueden serlo sin modificación de su masa, esto es de su cantidad,
por medio de una transposición de sus puntos. En los Principios Metafísicos de la
Matemática (Leibniz 1982, p. 581-596; GM VII, p. 17-29) va todavía más lejos.
Distingue la cantidad y la cualidad así: cantidad o magnitud es aquello que puede
conocerse en las cosas por su mera percepción simultánea; cualidad es aquello
que puede conocerse cuando se las observa en su singularidad (GM VII, p. 18-19)
A partir de esto distingue entre semejanza e igualdad sin pasar por la noción de
congruencia. Iguales son entes de la misma cantidad. Semejantes son entes de la
misma cualidad, de modo que dos entes semejantes y desiguales sólo pueden
distinguirse al ser percibidos simultáneamente. Así Leibniz comienza con una
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 23 - 31, maio 2012.
30
definición del género supremo: el continuo, aquello cuyas partes son indefinidas
y delimitadas mentalmente. Define la diferencia específica: la simultaneidad.
Entonces tenemos el espacio, como el orden del coexistir de los simultáneos.
Define la situación y después la cantidad y la cualidad. De esas definiciones se
derivan las de igualdad y semejanza. Notamos así la preocupación de Leibniz por
comenzar la Geometría por las cosas más abstractas y generales, y de respetar
aquella marcha que va de lo más abstracto a lo más específico y concreto.
5. Conclusiones
No hay una versión definitiva de la característica geométrica. En ninguno
de sus textos Leibniz consiguió rescribir todas las definiciones de los libros I y V
ni demostrar todos los axiomas y postulados de los Elementos. No fue más allá
de los primeros principios y de la prueba de algunos de ellos, sin conseguir
derivar todos dentro de su cálculo característico. Su esfuerzo de rescribir los
Elementos está asociado a su Calculus situs y debe ser relacionado con sus
ensayos de Característica geométrica. Leibniz, pensaba poder obtener, dentro de
ese cálculo, las demostraciones de los Elementos de Euclides (C. p. 546).
Lo que distingue el proyecto de Leibniz de otros intentos de reformular
los Elementos es: a)La idea de que no habría axiomas propiamente geométricos,
dado que todas las pruebas geométricas procederían a partir de proposiciones
idénticas, definiciones y sustituciones; b) la introducción de un cálculo , la
característica, que permitiría dispensar el uso de figuras, y que a diferencia del
álgebra no presupondría los Elementos; c) la redefinición de los objetos de la
Geometría, a partir de la definición de entidades más abstractas.
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 23 - 31, maio 2012.
31
Bibliografia
ARNAULD, A. y Nicole, P. La logique ou l’ art de penser. Paris: Flammarion, 1970.
EUCLIDES. The Thirteen Books of The Elements. New York: Dover, 1956.
LEIBNIZ, G. W. Mathematische Schriften Hildesheim: Olms, 1971. Abreviado MS
______. Leibniz: oeuvres. Tradução Lucy Prenant. Paris: Aubier Montaigne, 1972.
______. Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano. Tradução espanhola de
J.Echeverria. Madri: Editora Nacional, 1977. Abreviado N.E
______. Philosophische Schriften. 7 vols. Hildesheim: Olms, 1978. Abreviado GP
______. Escritos filosóficos. Tradução Ezequiel de Olaso. Buenos Aires: Charcas,
1982.
______. Opuscules et fragments inédits. Editados por Louis Couturat. Hildesheim:
Olms, 1988. Abreviado C.
______. La caractéristique géométrique. Paris: Vrin, 1995.
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 23 - 31, maio 2012.