Actividades Colaborativo unidad 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Ecuaciones Diferenciales
Nombre del curso: Ecuaciones diferenciales.
Código: 551119.
Temáticas: Guía para el desarrollo del trabajo grupal para la Unidad No 1 del curso.
Estrategia de aprendizaje: Aprendizaje basado en problemas.
Peso evaluativo: 50 puntos (10%).
Cronograma: Ver agenda del curso.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Temáticas que se revisarán:
Unidad 1: Ecuaciones diferenciales de primer orden
Capítulo 1. Ecuaciones Diferenciales de primer orden.
Capítulo 2. Modelación matemática con ecuaciones diferenciales de primer orden.
Aspectos generales del trabajo:
En el capítulo 1 se debe hacer una lectura previa sobre el tema que se quiere abordar, posterior mente
se interioriza la teoría de la temática a trabajar, si es necesario se hacen las demostraciones y
posteriormente se resuelven ejercicios con el fin de orientar, comprender y desarrollar habilidades
para la solución.
En el capítulo 2 nos referimos teóricamente a la modelación en matemática. Es importante que el
estudiante se apropie de los que significa la resolución de problemas y la modelación matemática. En
lo referente al marco teórico de la modelación en Ecuaciones Diferenciales el estudiante deb e
consultar en el texto guía. Los estudiantes deben consultar sobre el significado de la resolución de
problemas, la modelación matemática y como se modelo a través de las ecuaciones diferenciales en la
temática del crecimiento, la mecánica clásica y los circuitos eléctricos.
Estrategia de aprendizaje propuesta:
Como oportunidad de aprendizaje, se promueve la estrategia de Aprendizaje Basado en Problemas
(ABP), cuyo objetivo es promover el aprendizaje activo del estudiante, es decir que aprenda a ser
autónomo y responsable de su propio aprendizaje. Los conocimientos que se presentan en esta
unidad se deben adaptar a sus necesidades y a su nivel de comprensión, pues el mismo se debe
interesar por el conocimiento de las Ecuaciones Diferenciales, su teoría, ej ercicios, tareas y resolución
de problemas. A través del desarrollo del curso los conocimientos adquiridos deben ser útiles para su
futuro como profesional de la docencia y de la misma ciencia.
Peso evaluativo:
50 puntos (10% del peso del curso)
Producto(s) esperado(s):
Presentación de las tareas, ejercicios, comentarios, y resolución de problemas.
Cronograma de las actividades:
Apertura: / Cierre: Ver agenda del curso
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Ecuaciones Diferenciales
Objetivo del Trabajo Colaborativo:




Evaluar e implementar la teoría vista durante el desarrollo de la unidad.
Desarrollar un trabajo en equipo que oriente el trabajo colaborativo y contribuya a la
asimilación de la teoría y solución de problemas de la misma disciplina y en otros contextos
de la ciencia.
Mejorar habilidades de comunicación, el lenguaje y la simbología de la misma matemática y
del idioma cotidiano.
Practicar habilidades que necesitará para su desempeño laboral como profesional y que
pueda comunicar ideas de manera sencilla y precisa.
Actividades
ACTIVIDAD No. 1
A través de las lecturas del texto o de otro texto que se encuentre en la bibliografía o los recursos el
estudiante debe definir los siguientes conceptos:
 Cuál es la historia y porque nacen las Ecuaciones Diferenciales. (referirse al planteamiento de
Newton en la mecánica clásica y la temática de la caída libre)
 Definir una Ecuación Diferencial.
 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales.
 Definición de la solución a una Ecuación Diferencial.
 Dentro del concepto de la definición de la solución a una Ecuación Difer encial, definir a qué
corresponde una solución particular, una solución general y una solución implícita.
Lectura: Capítulo 1. Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición.. Editorial Cengage Leaning.
México 2009
ACTIVIDAD No. 2
A continuación se muestran dos ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden con una solución
propuesta y se verifica si la función propuesta es solución o no.
A.
1
xe x Verificar si la función es solución es de la ecuación.
2
1
 c2e x  (e x  xe x ) y de nuevo derivamos:
2
y   y  e x  y  c1e  x  c 2 e x 
Si derivamos la solución tenemos: y  c e x
1
y  c1e  x  c2e x 
c1e x  c2 e x 
B.
1
(2e x  xe x ) , reemplazando en la ecuación se tiene:
2
1
1
(2e x  xe x )  (c1e x  c2e x  xe x )  e x , por tanto la función si es solución.
2
2
d3y
d2y
dy
4

 6 y  0  y  c1e  x  c 2 e 2 x  c3 e 3 x Verificar si la función es solución es
3
dx
dx
dx 2
de la ecuación.
Si derivamos la solución tenemos: y  c1e x  2c2e2 x  3c3e3 x , de nuevo derivamos dos veces más.
y  c1e x  4c2e2 x  9c3e3 x
y  c1e x  8c2e2 x  27c3e3 x
Reemplazando en la ecuación diferencial tenemos:
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Ecuaciones Diferenciales
c1e x  8c2e2 x  27c3e3 x  4(c1e x  4c2e2 x  9c3e3 x )  (c1e x  2c2e2 x  3c3e3 x ) 
6(c1e x  c2e2 x  c3e3 x )  0
Un buen ejercicio para verificar la igualdad.
Ejercicios tomados de: Ecuaciones Diferenciales. Arias Elkin; Rúa José y Vélez Astrid. Universidad de Medellín.
Editorial. Sello editorial. Universidad de Medellín. 2012.
ACTIVIDAD No. 3
El estudiante puede resolver los siguientes ejercicios con el fin de verificar la solución a la ecuación
diferencial.
Verifique si la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada.
1.
y  (1  senx)
1
2
 2 y '  y 3 cos x
2. dy  20 y  24;  y  6  6 e 20t
dt
5
5
3. x 3 y   2 x 2 y   xy   y  12 x 2  y  C1 x 1  C2 x  C3 x ln x  4 x 2
4. Para qué valores de la variable m, será : y  e mx , solución de la ecuación: y  5 y  6 y  0
5. Para qué valores de la variable m, será : y  x m , solución de la ecuación: xy  2 y  0
Ejercicios tomados de: Ecuaciones Diferenciales. Arias Elkin; Rúa José y Vélez Astrid. Universidad de Medellín.
Editorial. Sello editorial. Universidad de Medellín. 2012.
ACTIVIDAD No. 4
Definir las ecuaciones diferenciales de primer orden y los métodos de solución de cada tipo de
ecuación diferencial. Por ejemplo:
Definición: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria dónde
intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con
su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita: f ( x, y, y )  0; y( x0 )  y0
Ecuaciones de variables separables
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:
dy
M ( x)dx  N ( y)dy o de la forma:
 g ( x)h( y ) se dirá que es una ecuación diferencial de variables
dx
separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este
tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:
Método de solución de una ecuación de variable separable:
1.
Sea la ecuación: f ( x)dx  g ( y)dy  0 , separar las variables con el diferencial, es decir escriba la
ecuación de la forma: f ( x)dx  g ( y)dy
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Ecuaciones Diferenciales
2.
Integre a ambos lados de la ecuación :
 f ( x)dx   g ( y)dy ,
primitivas serán: F ( x)  c1  G( y)  c2 , como c1
escribir una sola constante como: c  c2  c1
3.
4.
y
c2 ,
luego las anti derivadas o
con constantes, entonces se puede
Escriba la solución general como: F ( x)  G( y)  c
Si hay condiciones iniciales: y( x0 )  y 0 , encuentre la solución particular.
Definiciones tomadas de: Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición.. Editorial Cengage Leaning.
México 2009.
ACTIVIDAD No. 5
Los estudiantes deben presentar los ejercicios siguientes. Es importante que el trabajo lo puedan
realizar en grupo, deben escoger un líder que suba los ejercicios en formato pdf en el entorno de
evaluación y seguimiento en el espacio creado para ello.
Ejercicios tomados de: Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición.. Editorial Cengage Leaning. México
2009.
Ejercicios 1.1. De la página: 10 N° 19, 21, 22, 47.
Ejercicios 1.2. De la página: 17 N° 9, 10, 19, 45.
Ejercicios 2.2. De la página: 50 N° 13, 19, 27
Ejercicios 2.3. De la página: 60 N° 23, 27, 28
Ejercicios 2.4. De la página: 68 N° 15, 25, 36
Ejercicios 2.5. De la página: 74 N° 23, 25, 27
ACTIVIDAD No. 6
A través de las lecturas del texto o de otro texto que se encuentre en la bibliografía o los recursos el
estudiante debe definir los siguientes conceptos:
 Definir qué significa modelar en matemáticas
 Definir que es un modelo matemático.
 Definir el modelo matemático que refiere al crecimiento y decrecimiento incluyendo la ley de
enfriamiento.
 Definir el modelo de la mecánica clásica y los circuitos simples.
 Definir el modelo de mezclas.
ACTIVIDAD No. 7
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL
El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud X tal que su variación en el
tiempo es proporcional a su valor, lo cual implica que crece o decrece muy rápidamente en el tiempo de
acuerdo con la ecuación:
Fenómenos con crecimiento exponencial

El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.
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Ecuaciones Diferenciales





En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el
índice de inflación.
El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n.
Los intereses que nos cobran los bancos cuando nos hacen el préstamo para pagar la matrícula del
semestre crece de manera exponencial.
El número de bacterias que se reproducen por fisión binaria.
El número de individuos en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de predador
Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano o
poblacional lo hizo Thomas Malthus, economista inglés en 1798.
El crecimiento es exponencial cuando el crecimiento de la función en un punto es proporcional al valor de la
función en ese punto, lo que se puede expresar en términos matemáticos mediante la ecuación diferencial
de primer orden: dx  k x y al resolver por el método ya expuesto logramos la ecuación solución a la
dt
ecuación diferencial: x(t )  x0 e kt . Es importante analizar que si la constante de proporcionalidad es un
valor positivo, hay crecimiento y si el valor es negativo hay decrecimiento.
a. El estudiante debe obtener la solución al modelo matemático d e crecimiento.
Resolver el siguiente problema: En un trozo de madera quemada se encontró que 98% del C-14 se había
desintegrado. ¿Cuál es la edad de la madera aproximada? (Es precisamente este dato el que los arqueólogos
usaron para determinar la edad de las pinturas prehistóricas encontradas en una caverna de Lascaux,
Francia): la semivida del carbono 14 C-14 es de 5600 años.
Ejercicios tomados de: Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición. Editorial Cengage Leaning.
México 2009. P. 89.
ACTIVIDAD No. 8
El grupo de estudiantes definen la ecuación diferencial para la ley de enfriamiento propuesta por
Newton y encontrar la solución a través de la demostración.
Resolver a siguiente situación o problema.
En el sonado caso de Diomedes Díaz una de las versiones desechadas decía que en ese amanecer frío hacia
las 5 de la mañana (2 grados de temperatura cerca de la capital de Tunja), Doris Adriana fue asesinada e
inmediatamente arrojada por el Señor Álvarez del vehículo. A las 8:00 a.m. hora en que llegaron las
autoridades al alto del Sote, encontraron que el cadáver registraba una temperatura de 12ºC. A las 10:00 a.
hora de hacer el levantamiento, el forense determina que la temperatura del cadáver registraba 8 ºC. ¿A
qué hora fue asesinada Doris Adriana? Y porque es rechazada la versión del señor Álvarez. Rta:
aproximadamente a las 3 horas; 5 minutos; 43 segundos de la madrugada.
ACTIVIDAD No. 9
En la mayoría de situaciones de la física y especialmente en la cinemática, específicamente en la c aída
de los cuerpos, el modelo matemático desprecia la fricción del aire, situación que orienta el problema
a una situación ideal, sin embargo cuando un cuero cae, se debe tener en cuenta la fricción del aire ,
como aquella fuerza que se opone a la caída de los cuerpos. El planteamiento del modelo es el
siguiente:
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Ecuaciones Diferenciales
Newton, en su segunda ley, planteo:
 F  ma , pero la aceleración la
escribió de la siguiente manera:
dv
 a
dt
, que significa el cambio de la velocidad de una partícula con respecto a la variable tiempo o también como:
d 2x
 a , que significa la segunda derivada de la posición respecto al tiempo.
dt 2
F  F1  F2  ecuación : propuesta
ma  mg  kv
CAIDA LIBRE:
dv
 mg  kv; v  velocidad : objeto
dt
dv
k
 g  v  Modelo.matemático
dt
m
m
Mecánica de Newton K>0, constante de proporcionalidad:

dv
k

v g
dt
m
Que simplemente es una
ecuación diferencial de primer orden lineal
Definiciones tomadas de: Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición.. Editorial Cengage Leaning. México
2009.
Los estudiantes deben desarrollar la siguiente tarea:
Un paracaidista cuya masa es de 75 Kg se arroja de un helicóptero que vuela a 2000 m sobre el suelo y cae
hacia éste bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debido a la resistencia del aire es
proporcional a la velocidad del paracaidista con la constante de proporcionalidad k1  30 N s cuando el
m
paracaídas está cerrado y
k 2  90 N s
m
cuando se abre. Si el paracaídas se abre automáticamente
cuando la velocidad del paracaidista es de 20 m/s, ¿después de qué tiempo llegará al piso? ¿Cuál es la
velocidad con qué golpea el piso?
Los estudiantes pueden consultar la bibliografía de base o cualquier texto para definir los modelos de
circuitos simples. Es fundamental que tengan como conocimiento preliminar las leyes de KIRCHHOFF.
Resolver la siguiente tarea:
5. Un circuito R-L tiene una fem de 8sen(2t ) voltios, una inductancia de 2 henrios, una resistencia de 10
ohmios, y tiene corriente inicial de 5 amperios. Determinar la corriente en el circuito para un tiempo de
t   2 segundos. R. 0.2779amperios.
ACTIVIDAD No. 10
Consultar la propuesta del modelo de mezclas y resolver la ecuación diferencial para demostrar su
correspondiente solución:
PROBLEMAS DE MEZCLAS
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Ecuaciones Diferenciales
Supóngase que x(t ) representa la cantidad de cierto elemento que se halla presente en un determinado
recipiente aislado y además que R1 (t ) es la rapidez con la que entra dicha sustancia a recipiente en el tiempo t , y
que R2 (t ) es la rapidez con la cual sale del recipiente, entonces se logra el, siguiente Modelo matemático
resuelto:
dx
 R1  R2 , con : R1  veCe ; R2  vsCs
dt
volumen
cantidad  sus tan cia
ve 
;C 
tiempo
volumen
Resolver la siguiente tarea:
Un gran tanque parcialmente lleno con 200 litros de líquido en los cuales se disuelven 15 libras de sal. Una
salmuera contiene 0.2 Kg de sal por litro y entra al tanque con una rapidez de 3 litros cada minuto. La
solución adecuadamente mezclada sale hacia fuera del tanque a razón de 5 litros cada minuto.
ACTIVIDAD No. 11
Los estudiantes deben presentar los ejercicios siguientes. El trabajo lo puedan realizar en grupo, pero
su entrega es individual.
Ejercicios 3.1. De la página: 89 N° 3, 5, 8, 15, 17, 27, 32,34, 38, 43,
Ejercicios tomados de: Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición. Editorial Cengage Leaning. México
2009.
Resultados Actividades
Entregar un único archivo en formato pdf, sobre esta actividad, con resultados y evidencias de su
correspondiente proceso. Deben de estar los aportes de los estudiantes en el Foro del Trabajo
Colaborativo. Si necesitan preguntar o resolver dudas pueden hacerlo ubicándola en el tema creado
para tal fin en el mismo foro del Trabajo Colaborativo.
Bibliografía Básica.
 ZILL, Dennis, “Ecuaciones Diferenciales “. Grupo editorial Iberoamérica. España. 1992.
 SIMMONS, George. “Ecuaciones Diferenciales”. Grupo editorial Iberoamérica. España. 1992.
Bibliografía de consulta.
 CAMPBELL, S. L. “Introducción a las Ecaciones Diferenciales” . Editorial., Addison-Wesley. Mexico
1998.
 LARSON,Hostetler . “Ecuaciones Diferenciales”. . Editorial Harla . Mexico 1997.
 SWOKOWSKY, COLE . “Ecuaciones Diferenciales”. Grupo Editorial Iberoamerica. Mexico. 1996.

RAINVILLE, Earl D. Ecuaciones diferenciales. Editorial, Prentice Hall.

NAGLE-SAFF,Kent-Edward. Fundamentos de ecuaciones diferenciales. Editorial Educativa.

www.derive-europe.com/main.asp. www.wolframalpha.com

http://www.geogebra.org/cms/es