Cuerpos geométricos

Cuerpos
geométricos
Un cuerpo geométrico o sólido es una porción del espacio limitada por superficies planas o
curvas llamadas caras.
2.1 Poliedros
Los poliedros son cuerpos geométricos limitados por cuatro o más caras en forma de polígono.
E n u n p o l i e d r o se d i s t i n g u e n l o s s i g u i e n t e s e l e m e n t o s : caras, aristas y vértices {fig. 7).
Figura 7
L o s e j e m p l o s m á s c o m u n e s d e p o l i e d r o s s o n l o s p r i s m a s y las p i r á m i d e s .
2.1.1 Prismas
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras poligonales iguales y paralelas llamadas bases y
— Base
cuyas caras laterales con paralelogramos (/7g. 8).
A l d e s a r m a r el p r i s m a d e la f i g u r a 8, se o b t i e n e u n a f i g u r a p l a n a l l a m a d a
- Cara lateral
del
El d e s a r r o l l o d e l p r i s m a p e n t a g o n a l está f o r m a d o p o r :
•Base
•
•
Figura 8
desanvUo
prisma.
'
'
"'-^
^,
D o s pentágonos congruentes.
R e c t á n g u l o s c u y a s bases s o n i g u a l e s a l l a d o d e l p e n t á g o n o y c u y a s a l t u r a s s o n
iguales a la a l t u r a d e l p r i s m a .
•
Desarrollo del
prisma pentagonal
Algo
£0 imoortante
O
— :
Los prismas se
nombran de acuerdo
con la forma de sus
bases. Por ejemplo,
prisma triangular,
prisma rectangular,
prisma pentagonal.
Al prisma
rectangular también
se le conoce como
ortoedro.
Se l l a m a área lateral (A^) a l a s u m a d e las áreas d e las caras l a t e r a l e s . En e l d e s a r r o l l o ,
el área l a t e r a l c o r r e s p o n d e c o n el área d e l r e c t á n g u l o . Así
A^ = P • h
P: p e r í m e t r o d e la base
Se l l a m a área total (Aj) a l área d e l d e s a r r o l l o e n e l p l a n o . Se o b t i e n e s u m a n d o e l área
l a t e r a l y e l área d e las d o s bases.
Aj^: área d e l a base
El volumen de un prisma se halla multiplicando el área de la base por la altura.
V = A„- h
V: volurven
Ejercicio resuelto
Hallar el v o l u m e n d e l p r i s m a de la f i g u r a 9.
Solución
Para hallar el área d e la base se aplica el t e o r e m a d e Pitágoras.
/,2 =
+ ¿,2 ^
a = V/i^ -
^
a =
V25
- 16 — • a =
Se halla el área d e la base q u e es u n triángulo: \
V9
Figura 9
= 3
' ^ ^ ^ ^ '''^^ = 1 2 c m ^
Luego, se r e m p l a z a en la fórmula d e l v o l u m e n d e u n p r i s m a .
V = Ag-h
\ / = ( 1 2 c m ^ ) ( 1 7 c m ) = 2 0 4 cm^
Vértice -
.Arista
2.1.2 Pirámides
Una pirámide es un poliedro que tiene un polígono como base y triángulos con un vértice
Base
común, como caras laterales.
E n u n a p i r á m i d e se d i s t i n g u e n l o s s i g u i e n t e s e l e m e n t o s : a r i s t a , base, v é r t i c e , caras
Figura 10
l a t e r a l e s y a l t u r a (/í^. 7 0 ) .
La a l t u r a h d e u n a p i r á m i d e es l a d i s t a n c i a q u e h a y d e s d e e l v é r t i c e h a s t a su base,
t o m a d a p e r p e n d i c u l a r m e n t e a la base.
Para h a l l a r e l área t o t a l y e l v o l u m e n d e u n a p i r á m i d e es n e c e s a r i o r e c u r r i r a su d e -
Pirámide pentagonal
sarrollo e n el p l a n o .
El d e s a r r o l l o e n e l p l a n o d e u n a p i r á m i d e está f o r m a d o p o r e l p o l í g o n o d e l a b a s e y
t a n t o s t r i á n g u l o s c o m o l a d o s t i e n e l a base.
E l área l a t e r a l iA¡)
d e la p i r á m i d e es l a s u m a d e las áreas d e las caras l a t e r a l e s .
E l área t o t a l (.4J se o b t i e n e s u m a n d o el área l a t e r a l c o n el área d e l a base (Ag).
Aj=Ai^
+ Ag
El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la
Desarrollo en el plano
medida de la altura.
V =
lA,-h
Ejercicio resuelto
H a l l a r el v o l u m e n de la pirámide de la f i g u r a 1 1 , c u y a base es u n hexágono regular
de 6 c m d e l a d o y
c m de a p o t e m a .
Solución
Primero, se halla el perímetro d e l hexágono: P = 5 • ( 5 c m ) = 3 6 c m .
Después, se halla el área d e la base. Para ello, se r e m p l a z a en la fórmula d e área d e l
hexágono, así.
^ ( 3 6 c m ) ( 3 V ^ c m ) ^ ^08^
^
2
2
^
^
^
2
F i n a l m e n t e , se aplica la fórmula d e v o l u m e n d e u n a pirámide.
V = -Ag-
h = - ( 9 3 , 4 2 cm^) • (7 c m ) = 2 1 8 cm^
Figura 11
cbtdnudi
reribdniitíruu tíb[Jd(.idi y íneiriLU
Actividades 2
Competencias
[!] Interpretativa
[Ai Argumentativa
[P] Prepositiva
[IJ Modelación
[PJ
Problemas
Resolver.
1 0 . Si se d u p l i c a el área de la base en la pirámide c u a -
H a l l a r el área l a t e r a l , t o t a l y e l v o l u m e n de los s i g u i e n t e s
prismas.
drada, ¿ q u é sucede c o n el v o l u m e n ?
1 1 . Si se r e d u c e a la m i t a d la a l t u r a en cada pirámide,
¿ c u á l es el área t o t a l e n cada una de ellas?
1 2 . Si se t r i p l i c a el lado / de la base de un p r i s m a h e x a g o nal de a l t u r a h, ¿ q u é m e d i d a t i e n e n las nuevas d i m e n siones?
Solución de problemas
Comprender el enunciado
1 . U n a caja de b o l s i t a s de aromática m i d e 1Z,5 c m de
largo, 6 c m de a n c h o y 4 c m de a l t o . ¿ C u á n t a s de est a s cajas c o n t i e n e una caja q u e m i d e 1 0 0 c m de largo, 6 0 c m de a n c h o y 4 2 c m de a l t o ?
[A] Razonamiento
¿ Q u é pasa c o n el v o l u m e n d e l p r i s m a si se d u p l i c a la
m e d i d a d e l l a d o de su base?
2 . U n t a n q u e para a l m a c e n a r agua c o n f o r m a de p r i s m a
p e n t a g o n a l regular, c o n t i e n e 9 . 2 2 5 l i t r o s de agua. Si el
l a d o d e l pentágono es de 5 0 c m y su a p o t e m a m i d e
4 2 c m , ¿ q u é a l t u r a lleva el a g u a si se ha l l e n a d o s o l o
hasta la m i t a d ?
3. Se necesita f o r m a r una caja de 5 4 c m de largo, 4 2 c m
de a n c h o y 5 0 c m de a l t o . Si el p l i e g o de p a p e l m i d e
2 2 c m de largo p o r 16 c m de a n c h o , ¿ c u á n t o s pliegos
de p a p e l son necesarios para f o r m a r la caja?
Para pensar
¿El siguiente desarrollo ccTesponde a un prisma? Justificar la respuesta.
7.
Hacer una demostración
4 . C u a n d o dos pirámides c u a d r a d a s regulares, cuyas c a -
I
•
1
ras laterales son triángulos equiláteros, se c o l o c a n de
m a n e r a q u e sus bases c o i n c i d e n , se f o r m a u n c u e r p o
sólido l l a m a d o o c t a e d r o regular.
D e m o s t r a r q u e e l v o l u m e n V de u n o c t a e d r o
con
arista a se expresa c o m o :
Comprender e! enunciado
5. El área l a t e r a l de una pirámide h e x a g o n a l regular es
de 1 8 0 c m ^ . Si el l a d o de la base m i d e 6 c m : c a l c u l a r
la a l t u r a de la pirámide.
iNivei ti
-—
(vioauio y
—
2.2 C u e r p o s r e d o n d o s
w
O
-Base
L o s t r e s c u e r p o s r e d o n d o s m á s c o n o c i d o s s o n : c i l i n d r o , c o n o y esfera.
Cara
lateral cuna
2.2.1 Cilindro
Un cilindro es un cuerpo redondo limitado por una cara curva y dos caras planas con forma
-Base
de círculo {fig. 12).
Figura 12
P a r a h a l l a r e l área t o t a l y e l v o l u m e n d e u n c i l i n d r o es n e c e s a r i o i d e n t i f i c a r e n él las
siguientes medidas.
R a d i o ( r ) : es e l r a d i o d e l c í r c u l o d e la base.
A l t u r a (lí): es l a d i s t a n c i a e n t r e las d o s bases (fig.
13).
T a m b i é n es n e c e s a r i o r e c u r r i r a l d e s a r r o l l o d e l c i l i n d r o (fig. 14) p a r a d e d u c i r las f ó r m u l a s d e área l a t e r a l y área t o t a l .
El área l a t e r a l c o r r e s p o n d e a l área d e l r e c t á n g u l o . C o m o l a base d e l r e c t á n g u l o es
i g u a l a la l o n g i t u d de la c i r c u n f e r e n c i a , e n t o n c e s
Aj. =(2K
• r) • h
E l área t o t a l es i g u a l a l a s u m a d e l área l a t e r a l c o n e l área d e las d o s bases.
Aj
= A¡^+ 2Ag ^
2 - • r • /! + 2 • n •
Se remplaza
A¡^ y Ag.
Figura 13
El volumen de un cilindro es igüsi al producto del área de la base por la altura.
V = A_- • h
V = -K- r"
Ejercicios resueltos
En una fábrica se p.'caucen dos t i p o s de e m p a q u e s c i l i n d r i c o s de latas para atún
(fig. 15).
a.
Responcer.
-2nr-
¿ C u á l d e los e m p a q u e s r e q u i e r e m a y o r c a n t i d a d de lámina de lata para su
fabricación?
b.
¿ C u á l de ios er-Dacues t i e n e m a y o r v o l u m e n ?
Figura 1 4
Solución
a.
Se halla e l área t o t a l de cada e m p a q u e . Así,
E m p a q u e 1.
A-=Zn
•r • h + 2 • n •
/V = 2 ( 3 , 1 4 1 5 ) ( 4 c n i ) { 1 4 c m ) + 2 ( 3 , 1 4 1 5 ) ( 4 cm)^ - 4 5 2 , 3 7 6
arr
E m p a q u e 2.
Aj = 2 ( 3 , 1 4 1 5 ) ( 6 a m ) ( 7 o n ) + 2 ( 3 , 1 4 1 5 ) ( 6 cm)^ = 4 9 0 , 0 7 4 crrf
Luego, el e m p a q u e 2 r e q u i e r e m a y o r c a n t i d a d de lámina de l a t a .
b.
Se halla el v o l u m e n de cada e m p a q u e . Así,
E m p a q u e ^.
V = n •
•h
14 cm
7 cm
V = ( 3 , 1 4 1 5 ) ( 4 c m ) ^ ( 1 4 c m ) = 7 0 3 , 6 9 6 cm^
E m p a q u e 2.
V = ( 3 , 1 4 1 5 ) ( 6 c m ) 2 ( 7 c m ) = 7 9 1 , 6 5 8 cm^
Luego, el e m p a q u e 2 t i e n e m a y o r v o l u m e n .
Empaque 1
Figura 15
Empaque 2
V
tstanaar
f e n s a m i e n i o espacial y métrico
O
—
-Vértice
—
2.2.2 Cono
Un cono es un cuerpo redondo limitado por una cara curva y una cara plana con forma de
círculo, llamada base {fig. 16).
-Altura
Para d e d u c i r las f ó r m u l a s d e área t o t a l y v o l u m e n d e u n c o n o es n e c e s a r i o r e c u r r i r
a s u d e s a r r o l l o e n el p l a n o .
•Vértice
Figura 16
Altura
Algo
Base
importante
Si no se conoce
la longitud de la
generatriz de un
cono se puede
^
deducir mediante la
siguiente expresión:
El d e s a r r o l l o e n e l p l a n o está f o r m a d o p o r :
•
U n c í r c u l o d e r a d i o r y d e p e r í m e t r o 2n • r.
•
U n s e c t o r c i r c u l a r d e r a d i o {§) y l o n g i t u d d e a r c o (/) i g u a l a 2TI • r.
D e a c u e r d o c o n e l d e s a r r o l l o e n el p l a n o , e l área l a t e r a l (A^) d e l c o n o es el área d e l
sector circular:
1.
1 =
AL
El área de un sector
• r)g
A¡_ = n • r • g
circular de radio r
que corresponde a
= ^Í2K
Al
remplazar.
Al resolver.
E l área t o t a l es l a s u m a d e l área l a t e r a l m á s e l área d e l a base, l u e g o ,
un arco de longitud
/es
Af-= - • T • g + TíT'
Al
remplazar.
El volumen de un cono es 1= te—era parte del producto del área de la base por la altura.
1'
Ejercicio resuelto
G a b r i e l a va a c o m p r a r u n e m p a q u e de h e l a d o para su f i e s t a . Si las t r e s p r e s e n t a c i o nes (fig. 17) t i e n e n el m i s m o p r e c i o , ¿ c u á l debería c o m p r a r ? , ¿por qué?
Solución
28 cm
•
El e m p a q u e Rico h e l a d o es u n c o n o , así q u e su v o l u m e n es:
V = ^nr^-hóe
d o n d e , V = j ( 3 , 1 4 1 5 ) ( 1 1 cm)^ • ( 2 8 c m ) = 3.547,8 cm^
El e m p a q u e Super h e l a d o es u n c i l i n d r o , así q u e su v o l u m e n es:
28 cm
V = n
h d e d o n d e , V = ( 3 , 1 4 1 5 ) ( 1 1 c m ) ^ ( 2 8 c m ) = 1 0 . 6 4 3 , 4 0 2 cm^
El e m p a q u e
Deli h e l a d o es u n p r i s m a r e c t a n g u l a r c o n base c u a d r a d a . Así
Ag = ( 2 2 c m ) 2 = 4 8 4 c m ^
V = Ag-h
28 cm
- 2 2 cm —
Figura 17
22 cm
d e d o n d e , V = ( 4 8 4 cm^ ) ( 2 8 c m ) = 13.552 c m ^
Luego, Gabriela debería c o m p r a r el e m p a q u e
contenido.
Deli h e l a d o pues t i e n e
mayor
Actividades 3
Competencias
[!j Interpretativa
[P|
ÍAl Argumentativa
8 . El v o l u m e n d e l c i l i n d r o es m a y o r q u e el v o l u m e n d e l
[P] Prepositiva
cono.
9 . Para forrar el c i l i n d r o se necesita m a y o r c a n t i d a d de
Razonamiento
D e t e r m i n a r el v o l u m e n d e l c i l i n d r o q u e se genera en cada
1 0 . El v o l u m e n d e l c o n o es m e n o r q u e la m i t a d d e l v o l u -
desarrollo.
4cm_,
1.
p a p e l q u e para forrar el c o n o .
m e n del cilindro.
1 cm -
2.
SoJycién de problemas
Comprender el enunciado
1. U n t u b o en f o r m a de c i l i n d r o t i e n e 4 0 c m de largo. Si
el diámetro i n t e r n o es de 6 c m y el diámetro e x t e r n o
3. Si se v a n a f o r r a r c o n p a p e l seda, los c i l i n d r o s a n t e r i o res, ¿ q u é c a n t i d a d de p a p e l se usará en cada u n o ?
D e t e r m i n a r cuál de los c i l i n d r o s d i b u j a d o s p u e d e albergar
una m a y o r c a n t i d a d de líquido
es d e 8 c m , ¿ c u á n t o s c m ^ de m e t a l se u t i l i z a r o n para
c o n s t r u i r el t u b o ?
2 . Se v e n d e leche en p o l v o de la m i s m a m a r c a en dos
r e c i p i e n t e s d i s t i n t o s . El r e c i p i e n t e A t i e n e el d o b l e
de a l t o q u e el r e c i p i e n t e fi, pero su diámetro es la
(sugerencia 1 c m ^ = 1 m i l i l i t r o ) .
m i t a d de la d e l r e c i p i e n t e B. Si la leche en p o l v o d e l
r e c i p i e n t e A c u e s t a $ 8 . 0 0 0 y la leche en p o l v o d e l
4.
5.
r e c i p i e n t e B c u e s t a $ 1 2 . 0 0 0 , ¿ c u á l de los r e c i p i e n t e s
es más e c o n ó m i c o ?
10 cm
; 10 cm
3. U n b a r q u i l l o c i l i n d r i c o t i e n e 6 c m de f o n d o y 2 c m de
diámetro. ¿ C u á l es la c a p a c i d a d d e l b a r q u i l l o ? y ¿ q u é
c a n t i d a d de g a l l e t a se utilizó en cada b a r q u i l l o ?
I
6
er datos de un dibujo
[I] EJercitación
H a l l a r el área l a t e r a l , t o t a l y el v o l u m e n de los s i g u i e n t e s
conos.
6.
7.
A l h a c e r girar u n triángulo rectángulo s o b r e u n o de sus
c a t e t o s , se f o r m a u n c o n o .
'
Hallar el área t o t a l d e l c o n o q u e se f o r m a al hacer girar el
0-4 c
triángulo sobre el c a t e t o i n d i c a d o .
4. Cateto a
0.3:dm
5. C a t e t e b
[A] Razonamiento
O b s e r v a r el par de imágenes y d e t e r m i n a r si la afirmación
es verdadera o falsa.
.y^t-.
6. Calcular el v o l u m e n e n t r e el c i l i n d r o y el c o n o , y la
razón e n t r e el v o l u m e n d e l c o n o y d e l c i l i n d r o .
y
tstanaar
c e n s a m i e n r o espacial y métrico
O
—
2.2.3 Esfera
Una esfera es un cuerpo redondo limitado por una cara curva. Todos los puntos de la
Centro
¿Círculo
máximo
Figura 18
superficie de la esfera equidistan de un punto llamado centro. La distancia de un punto de la
superficie de la esfera al centro se llama radio (//g. 78).
El área de la superficie de una esfera de radio r es igual a cuatro veces el área del círculo
máximo.
A = 4-
Algo
o
O
n -
El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del producto de n por el radio al cubo.
oo ríante
La Intersección entre
una esfera y un
plano que contiene
al centro, se conoce
como círculo
máximo {fig. 18).
Ejercicios resueltos
Los b a l o n e s oficiales usados en los m u n d i a l e s d e fútbol t i e n e n f o r m a esférica. A u n q u e e n los últimos m u n d i a l e s su diseño ha c a m b i a d o , sus m e d i d a s h a n v a r i a d o m u y
p o c o . Según la FIFA, la l o n g i t u d d e la c i r c u n f e r e n c i a máxima d e l balón o f i c i a l d e b e
estar c o m p r e n d i d a e n t r e 6 8 , 5 c m y 6 9 , 5 c m .
Para el m u n d i a l de A l e m a n i a 2 0 0 6 , el balón " T e a m g e i s t " q u e significa "espíritu de
e q u i p o " t u v o u n a l o n g i t u d de c i r c u n f e r e n c i a de 6 9 c m .
De a c u e r d o c o n la información dada, calcular:
a.
Radio d e l balón T e a m g e i s t .
c.
Área de la s u p e r f i c i e d e l T e a m g e i s t .
b.
Diámetro d e l balón T e a m g e i s t .
d . Volume.n d e l balón.
Solución
a.
C o m o la l o n g i t u d / d e la c i r c u n f e r e n c i a m.áxima d e l balón T e a m g e i s t es de
6 9 c m , se despeja el radio, así:
l = 2n-r
luego —
,.69ari^
6,28
b.
= r
3 ^
Para calcular e l diámetro, se r e m p l a z a
d =
2-r
c/= 2 ( 1 0 , 9 8 ) = 2 1 , 9 6 c m
c.
El área de la s u p e r f i c i e esférica d e l balón es
A = 47t •
A = 4 ( 3 , 1 4 ) ( 1 0 , 9 8 cm)^== 1 . 5 1 4 , 2 3 c m ^
d.
El v o l u m e n d e l balón se calcula al r e m p l a z a r e n :
V = | ( 3 , 1 4 ) ( 1 0 , 9 8 cm)^ = 5.542,11 cm^
Actividades 4
Competencias
[O Interpretativa
[A] Argumentativa
[P|
[Pj Prepositiva
Problemas
Resolver.
[11 EJercitación
5. La p e l o t a de la f i g u r a está d e n t r o de u n a caja cúbica y
Hallar e l radio, e l área y el v o l u m e n d e los s i g u i e n t e s o b j e -
t o c a a p e n a s cada u n a d e sus caras. H a l l a r e l v o l u m e n
t o s , dada la l o n g i t u d d e su c i r c u n f e r e n c i a máxima.
de la caja.
1 . / = 18,526 c m
2 . / = 19,939 c m
[I] Razonamiento
6 . D e t e r m i n a r e l v o l u m e n q u e resulta a l q u i t a r l e a la
H a l l a r el v o l u m e n de cada esfera dada su área.
3.A = 113,04cm2
esfera el c o n o q u e se m u e s t r a e n la f i g u r a .
4.A = 50,24cm2
2.3 Otros c u e r p o s
E x i s t e n o t r o s c u e r p o s g e o m é t r i c o s q u e se f o r m a n a p a r t i r d e p o r c i o n e s d e c o n o s y d e
p i r á m i d e s . Estos s o n : t r o n c o d e c o n o y t r o n c o d e p i r á m i d e .
2.3.1 Tronco de cono
Un tronco de cono es una porción de un cono comprendida entre 'a base y un plano paralelo
, a ella.
Se p u e d e o b s e r v a r q u e e l d e s a r r o l l o e n e l p l a n o está formado por un t r a p e c i o c i r c u l a r
y d o s círculos (fig. 19). Así, e l área l a t e r a l es:
A, = Kg(R
Figura 19
+ r)
E l área t o t a l es l a s u m a d e l área l a t e r a l m á s las áreas d e l o s c í r a i l o s , así:
Aj
= n • g(R
+ r) +
TZR^ +
KT-
E l v o l u m e n d e l t r o n c o d e c o n o se c a l c u l a a p l i c a n d o l a s i g u i e n t e f ó r m u l a :
1/
= |-7i • h(R^+
r +
R-
r)
2.3.2 Tronco de pirámide
Un tronco de pirámide es una porción de pirámide comprendida entre la base y un plano
paralelo a ella {fig. 20).
La f ó r m u l a p a r a e l c á l c u l o d e l v o l u m e n d e u n t r o n c o d e p i r á m i d e es:
V = ^h(B
+ b + 4Bb)
Figura 20
tbianaar ^ renbdrnieruu ebpdLidi y intíLnLu
2.4 Sólidos platónicos
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales.
Existen solo cinco poliedros regulares y soii llamados sólidos platónicos. Este
nombre se debe a la asociación que hacía el filósofo Platón (428-348 a.C.) con los
elementos primarios. Estos son:
Asociado con
O « s » r o t l o en e l p l a n o
Tetraedro
el fuego
Cubo
la tierra
Octaedro
'A
el aire
\/
Dodecaedro
el universo
Icosaedro
el agua
El área total de cada sólido platónico se puede calcular a partir de su desarrollo en
el plano.
Para calcular el volumen de los sólidos platónicos se dividen en pirámides y se suman
sus volúmenes.
Actividades 5
m
Competencias
íi] Interpretativa
ÍA] Argumentativa
(P) Propositiva
EJercitación
Hallar el v o l u m e n de cada c u e r p o .
[P] Problemas
3.
rf\
5.
Resolver.
Se necesita hacer una pieza hueca en m e t a l c o m o la q u e
se m u e s t r a en la figura.
6.
1. ¿ C u á n t o s c m ^ de m a t e r i a l s o n necesarios para f u n d i r
esta pieza?
6 cm
6 cm
[P] Razonamiento
Calcular el v o l u m e n de los dos sólidos de cada f i g u r a .
9.
10 cm
4cm/ \ar-
2 . ¿ C u á n t o s baldes de agua c o m o el q u e se m u e s t r a en
la f i g u r a , se d e b e n sacar de un p o z o c o n 1 0 0 d m ^ de
c a p a c i d a d para v a c i a r l o c o m p l e t a m e n t e ?
/
/
Lo más i m p o r t a n t e
Volumen
Área total
Prisma
P: perímetro de la base
I /): altura
Ag. área de la base
V = A^-h
Aj- = P • h + Z- Ag
Pirámide
Ag. área de la base
A^: área lateral
\\ \
Cilindro
r. radio
h: altura
A^ = 2n • r • h + Znr^
Cono
V = K-
g: generatriz
r. radio
Aj = K • r • g + nr^
Esfera
V = Ag- h
r. radio
A = 4nr^
3
r'- • h
¡ \