1 TEMA 8.- FÍSICA CUÁNTICA ************************ 1.

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TEMA 8.- FÍSICA CUÁNTICA
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1.- Evolución de las ideas acerca de la naturaleza de la luz.
2.- Experimento de Young (de la doble rendija).
3.- Efecto fotoeléctrico. Energía y momento lineal de un fotón.
4.- Dualidad onda-corpúsculo.
5.- Principio de incertidumbre de Heisenberg.
1.- EVOLUCIÓN DE LAS IDEAS ACERCA DE LA NATURALEZA DE LA LUZ.
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Conocemos la forma de pensar de los antiguos filósofos griegos con respecto a la luz. Los más antiguos (Herón
y Euclides) aunque conocían fenómenos como la reflexión y la refracción de la luz, sólo le interesaban como un
problema geométrico. Respecto a la naturaleza de la luz pensaban que eran unos rayos que emanaban de los ojos
y eran reflejados por el objeto que veíamos.
Aunque filósofos posteriores, Pitágoras, ya hablaban de la luz procedente de un foco y reflejado por los objetos,
no fue hasta el año 1.000 d.C. en que Alhacen, basándose en estudios de disección, deja sentada que la luz
proviene de un foco exterior y es recogida por los ojos que transmiten la sensación nerviosa al cerebro.
Acerca de la velocidad de propagación de la luz, los filósofos discutieron sobre si era grande pero finita o si
la luz se propagaba instantáneamente. A Galileo (1.564-1.642) no le gustaba esta idea de propagación instantánea,
pero, aunque lo intentó, no pudo medir la velocidad de la luz (focos luminosos en montañas separadas unos 10
km).
Por aquellas épocas se discutía acerca de la naturaleza de la luz, si era un fenómeno de tipo ondulatorio o un
fenómeno de tipo corpuscular.
Newton tenía muy claro que la luz es un fenómeno corpuscular, ya que, si el sonido, movimiento claramente
ondulatorio, salva obstáculos ("dobla esquinas"), la luz no lo hace. Newton creía que la luz consistía en un
enjambre de corpúsculos disparados por un foco luminoso y que seguían trayectorias rectilíneas. Es curioso que
Newton describe en su Óptica (1.704) un claro fenómeno de interferencia, pero inventa una teoría para explicarlo
desde su hipótesis corpuscular.
Huygens(1.629-1.695) prefiere explicar la luz como un fenómeno ondulatorio,
sin definirse por ondas transversales o longitudinales. La luz, según él, necesitaría un medio("éter") para propagarse. El eter debe estar presente en el vacío y
en los medios materiales.
Tanto Newton como Huygens conocen el fenómeno de la birrefringencia o
doble refracción del Espato de Islandia (descubierto en 1.669), en el que un rayo
de luz que incide con un determinada dirección en un cristal de esta substancia se descompone en dos, de forma
que al salir del cristal, llevan direcciones paralelas, uno llamado ordinario y el otro extraordinario. Si giramos el
cristal el rayo ordinario permanece en el sitio y el extraordinario describe una circunferencia en torno a él. El rayo
ordinario y el extraordinario están polarizados en direcciones perpendiculares.
A finales del siglo XVIII había pues dos teorías, una corpuscular defendida (entre
otros) por Newton y una ondulatoria defendida por Huygens y Hooke, que suponían
que la luz se propagaba en un éter luminífero. Pero el gran prestigio de Newton hizo
pesar más la teoría corpuscular, a pesar de que por 1.665 Grimaldi había observado la
inflexión de las ondas luminosas en el borde de los objetos, pero no se le dio la
importancia debida a este descubrimiento.
Ley de
Snell
Tanto la teoría ondulatoria como la teoría corpuscular explican el fenómeno de la refracción y la ley de Snell, pero con una diferencia. Por ejemplo, para la luz que pasa del
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aire al agua:
Según la teoría corpuscular vagua > vaire y ...
según la teoría ondulatoria vaire > vagua.
Como no se podía medir la velocidad de la luz, la duda persistió.
En 1.676, Roëmer observó que el período de rotación de los
satélites de Júpiter "era distinto" con la tierra en el perihelio, que
en el afelio; esto lo interpreta como el tiempo que tarda la luz en
recorrer la distancia perihelio-afelio. Así pudo determinar la
velocidad de la luz en el vacío.
Pero no se conocía ningún método para medir la velocidad en
distancias cortas y por lo tanto dentro del agua.
medida velocidad de la luz
No fue hasta 1.800 que quedó bien establecida la naturaleza
ondulatoria de la luz, con las experiencias de Young y los
trabajos de los franceses Fresnel y Focault (1.819-1.868).
Young, partiendo de la base que si bien es cierto que las ondas sonoras sufren difracción, también es cierto que
es más pronunciado este fenómeno en las ondas de gran longitud de onda, que en las de menor longitud de onda
(más agudas, mayor frecuencia). Entonces, ¿no será que la luz tiene una longitud de onda muy pequeña y por lo
tanto es muy difícil observar la difracción?.
Fue entonces cuando realizó su famosa experiencia de la interferencia demostrando la naturaleza ondulatoria
de la luz.
Aunque en un principio pensó Young que la luz eran ondas longitudinales, los estudios de la doble refracción
llevaron a Young y Fresnel a considerar la luz como ondas transversales. (Recuerden que sólo las ondas
transversales son polarizables).
Focault ideó un sistema para medir la velocidad de la luz a distancias cortas y así pudo comprobarse que la luz
viaja más lento en el agua que en el aire, siendo otra confirmación de la teoría ondulatoria.
A mediados del siglo XIX la teoría ondulatoria "transversal" estaba bien establecida. Suponía que la luz eran
ondas transversales elásticas, pero tenía grandes problemas que resolver. El principal problema era el éter, que
debía ser mucho más elástico que el mejor de los aceros pero muy poco denso (como un gas), para permitir el paso
de los planetas en su viaje entorno al Sol.
Realmente la gran dificultad estaba en la costumbre de buscar modelos mecánicos para explicar los hechos
físicos. Es decir, en considerar la luz como ondas mecánicas.
La teoría de Maxwell(1.873), resume los efectos electromagnéticos y predice la posibilidad de ondas electromagnéticas, que se moverían a la velocidad de la luz. El paso de un tren de ondas luminosas implica
fluctuaciones periódicas de campos electromagnéticos, más que unas vibraciones materiales.
En 1.888, Hertz, consigue generar las ondas electromagnéticas predichas por la teoría de Maxwell, y medir su
velocidad de propagación, que resulta ser igual a la de la luz, con lo que se confirma que la luz es una onda
electromagnética de muy corta longitud de onda(8. 380 nm (violeta) a 800 nm (rojo)).
Al Entrar en el siglo XX, la discusión relativa a si la luz es un fenómeno ondulatorio o corpuscular parecía estar
totalmente decantada por ondas.
En 1.905 Einstein, nos explica el efecto fotoeléctrico, que es la capacidad que tiene la luz (principalmente U.V.)
de arrancar electrones de los metales. Este fenómeno tiene unas características que no se pueden explicar por la
teoría ondulatoria y que Einstein explicó suponiendo que cuando se trata a nivel microscópico la luz puede
considerarse como una corriente de fotones (partículas sin masa) que tienen una energía asociada h< (< es la
frecuencia de la radiación) y que en su colisión con los electrones intercambian la energía en un proceso todonada, es decir la energía está cuantizada1, se ganan o se pierden cuantos de energía h<, como ya había utilizado
Planck en 1.900 para explicar la radiación del cuerpo negro (espectros continuos emitidos por cuerpos calientes).
Posteriormente en 1.923 Compton explicó lo que se conoce como efecto Compton, en el que en un choque
entre el fotón y el electrón además de conservarse la energía se conserva el momento lineal (p
P cantidad de
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realmente no es la energía, es la acción (energía por
tiempo); son las dimensiones de h (julios.segundo)
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movimiento).
Finalmente Luis de Broglie en 1.924 propone que toda partícula en movimiento tiene una onda asociada cuya
longitud de onda viene dada por:
Esta teoría fue comprobada con la difracción de electrones (en 1.926), protones y neutrones, y es el fundamento
de los microscopios electrónicos.
2.- EXPERIMENTO DE YOUNG (DE LA DOBLE RENDIJA)
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La importancia de esta experiencia de interferencia es que sirvió para
demostrar la naturaleza ondulatoria de la luz, y permite la medida de su longitud
de onda.
Young montó el dispositivo que se muestra en la figura:
La luz solar incide sobre una placa en la que hizo un pequeño orificio (1ª
rendija). Próxima a esta se encuentra otra placa (2ª rendija) con dos orificios
también muy pequeños, equidistantes del primero, la luz que pase por estos orificios se observa en una pantalla.
Sobre la pantalla se observan franjas o bandas de interferencia alternativamente brillantes y oscuras.
La primera placa actúa como fuente de luz. Los orificios de la segunda actúan como focos, en fase, de las ondas
de la luz, produciendose fenómenos de interferencia que se pueden observar en la pantalla.
La intensidad de la luz en un punto cualquiera P de la pantalla de la figura depende de la diferencia de fase
entre las dos ondas que llegan a P procedentes de las dos rendijas. Si usásemos luz monocromática encontraríamos
zonas de luz y oscuridad según correspondiese a distancias múltiplos de 8 o múltiplos impares de 8/2. Como
inicialmente no usó luz monocromática observó zonas con distintos colores.
Para que haya interferencia constructiva:
x1-x2 = n8
como podemos deducir de la gráfica
x1-x2 = d sen 2 = d.h/D
d.h
8=
n.D
La distancia h es igual a DA tg 1 pero, debido a que 1 es un ángulo pequeño, puede hacerse igual a DA sen 1.
Así pues, la longitud de onda de la luz se puede determinar midiendo las distancias h, d y D.
3.- EFECTO FOTOELÉCTRICO. ENERGÍA Y MOMENTO
LINEAL DE UN FOTÓN
3.1.- Hechos experimentales
Cuando la luz incide sobre un metal, arranca electrones, que si se les
somete a una diferencia de potencial, dan lugar a una corriente eléctrica.
Para su estudio experimental se usa el dispositivo de la figura.
Si no incide luz el amperímetro no acusa paso de corriente. Ahora bien
si lo iluminamos con luz, de una determinada longitud de onda (generalmente UV), esta arranca electrones de la placa metálica (cátodo) dando
lugar a una corriente eléctrica que es medida por el amperímetro. (Esta
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corriente es muy débil del orden del microamperio).
Respecto de este fenómeno se han observado los siguiente hechos:
1.- Si la lámina metálica se ilumina con luz monocromática y vamos aumentando la frecuencia de la luz hay
una frecuencia a partir de la cual existe emisión de electrones, no se produce emesión de electrones para
frecuencias más bajas que esta, deenominada frecuencia umbral(<0).
2.- Al aumentar la diferencia de potencial, aumenta la intensidad de la corriente hasta un valor máximo
llamado intensidad de la corriente de saturación, en que todos los electrones arrancados son llevados hacia el
ánodo. Esta intensidad de la corriente de saturación es directamente proporcional a la intensidad luminosa.
3.- Se puede medir la energía de los electrones arrancados, cambiando los polos y aumentando la ddp, hasta
que no llegue ningún electrón al polo opuesto a la lámina metálica, esta ddp es lo que se denomina potencial de
frenado.
Esta energía no depende de la intensidad de la radiación sólo de la frecuencia de la radiación. Recordando que
como Irad= cte@A2@T2 , podemos aumentar la intensidad de la radiación sin aumantar la frecuencia, aumentando la
amplitud, pero así no conseguiremos aumentar la energía de los electrones, sólo aumentamos el número de ellos
arrancados.
4.- Si la frecuencia es mayor que la frecuencia umbral, aunque sea pequeña la intensidad de la radiación hay
arranque de electrones.
Estos hechos no pueden ser explicados por la teoría ondulatoria. Por ejemplo, que intensidades pequeñas con
< > <0 se arranquen electrones y en cambio para intensidades grandes con < < <0 no se arranquen electrones.
Además, si la intensidad es pequeña llevará un tiempo, que los electrones tomen la energía cinética necesaria para
ser arrancados y no de forma inmediata como sucede.
3.2.- Teoría de Planck - Einstein
La explicación del efecto fotoeléctrico la dió Einstein en 1.905 (en uno de los tres artículos publicados en
aquella fecha y que revolucionaron la Física). Supone que la luz, de frecuencia <, no es una energía distribuida
uniformemente en el espacio, sino como una corriente de "pequeños paquetes" de energía h<, denominados
FOTONES. Los fotones serían como unas partículas sin masa ni carga, cada ,fotón porta una energía h<; la
intensidad luminosa viene dada por el número de fotones. La onda luminosa sería como una superficie cubierta
de fotones cuya densidad superficial va disminuyendo según se propaga la onda (algo parecido a un globo con
muchas manchitas pequeñas, que al irse hinchando se van separando. La superficie del globo sería el frente de
ondas).
Einstein, aplica a los fotones, la teoría cuántica propuesta por Planck, en 1.900, en que la perdida o ganancia
de energía debe hacerse en "paquetes" o cuantos de energía. El fotón al interaccionar con el electrón del metal
le entrega su energía en un proceso todo o nada, de forma que si le entrega algo es toda su energía y el fotón
desaparece.
Según Einstein la energía del fotón es comunicada al electrón y este la invierte en salir del metal, y la que le
sobra la invierte en energía cinética.
Dicho de otra forma la energía del fotón se invierte en arrancar el electrón y comunicarle una energía cinética.
Este trabajo de extracción es la energía mínima que debe tener el fotón para arrancar un electrón y se le
denomina trabajo de extracción, función trabajo (M0). Puesto en fórmula:
h@< = M0 + Ec = h@<0 + ½ mev²
Para la mayoría de los metales la frecuencia umbral del efecto fotoeléctrico corresponde a la región del
ultravioleta del espectro, excepto para los metales alcalinos y sus óxidos, que se encuentran en la zona del visible.
Como es lógico, si la radiación luminosa es muy intensa (posee en gran número de fotones), estos liberarán
un gran número de electrones.
3.3.- Efecto Compton. Momento lineal del fotón
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H.A. Compton, observó en 1.923, al estudiar la radiación electromagnética que ha atravesado una región en
la que hay electrones libres que además de la radiación incidente se encuentra otra de menor frecuencia, es decir
de mayor longitud de onda. Observó además que la longitud de onda de esta radiación depende de la direccón de
la dispersión, encontrando la ecuación experimental que relaciona la longitud de la onda incidente (8), con la
longitud de onda de la radiación dispersada (8') y con el ángulo de dispersión ":
8' - 8 = 8c(1-cos ")
donde 8c es una constante cuyo valor es 8c= 2,4262@10-12 m. y se le denomina longitud de onda de Compton.
Compton dedujo la explicación teórica de este proceso apartir de los principio de conservación del momento
lineal y de la energía tratados desde el punto de vista relativista.
Ppfotón incidente = Ppfotón difundido + Ppelectrón dispersado
Egíafotón incidente + Egíaelectrón reposo = Egíafotón difundido + Egíaelectrón dispersado
Obteniendose para 8c = h/me@c quer coincide con el valor experimental. Fíjense que el aumento de longitud de
onda )8 = 8' - 8 no depende de la frecuencia de la radiación incidente.
En este caso el electrón gana la energía que el fotón pierde y al igual que en el caso de choque entre partículas
se conserva el momento lineal.
En cuanto al fotón, su energía, como ya se ha dicho, es:
E = hA < (SEGÚN PLANCK)
E = pA c (SEGÚN LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN)
El momento lineal del fotón será, entonces:
p = E/c = hA</c
4.- DUALIDAD ONDA - CORPÚSCULO
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Esta "dualidad" de la luz, que se comporta como onda unas veces (difracción, por ejemplo) y otras como
corpúsculo (efectos fotoeléctrico y Compton), se extiende también a las partículas, que, como veremos, se
comportan a veces como ondas (como los electrones en el microscopio electrónico o los neutrones que se
difractan en iones cristalinos).
Este hecho, que es una forma sencilla de expresar la mecánica cuántica mencionada, se puede entender
mediante la otra gran transformación que sufrió la noción de energía debida a la Relatividad.
Einstein entendió que las ideas sobre medidas de longitud y tiempo utilizadas en la Física encerraban
contradicciones cuando los objetos se movían a velocidades no muy inferiores a la de la luz, c. La solución a
dichas paradojas implicaba, entre otras cosas, que la masa era una forma de energía, de manera que partículas
de hecho materiales se podían convertir en pura energía (luminosa, p.e.) y viceversa según la famosa relación:
E = mA c²
Siendo materia y energía manifestaciones distintas de una misma realidad y siendo la energía, como hemos
visto en la luz, a veces corpúsculo, es lógico que los corpúsculos materiales se comporten a veces como ondas.
LOUIS DE BROGLIE, en 1923, se planteó el siguiente problema:"¿tendrá toda partícula en movimiento
asociada una onda « PILOTO » ?".
Por la teoría de los cuantos de Planck, la energía asociada a un fotón viene dada por la relación:
E = hA < = hA c/8
Por la teoría de la relatividad, la masa de un cuerpo se manifiesta como energía según la ley:
E = mA c²
Igualando ambas expresiones:
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8 = h/(mA c)
De Broglie generaliza esta expresión a toda partícula en movimiento, estableciendo el siguiente
principio:
« Parece ser que a todo corpúsculo en movimiento le corresponde una onda asociada cuya longitud
depende de la cantidad de movimiento de esa partícula, a la cual es inversamente proporcional, verificándose
que:
8 = h/p = h/mA v
donde m representa la masa de la partícula y v su velocidad ».
DAVISSON y GERMER, en 1927, y G.P. THOMSON, en 1928, observaron fenómenos de difracción en
haces de electrones. Estas experiencias confirmaban las hipótesis de De Broglie: existe un movimiento
ondulatorio asociado a las partículas en movimiento (en estos casos, electrones).
5.- PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
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Una de las consecuencias más importantes de la doble naturaleza corpúsculo-ondulatoria de la materia es
el PRINCIPIO DE INDETERMINACIÓN enunciado por WERNER HEISENBERG (1901 - 1976) en 1927.
Su base teórica es la siguiente:
Para la Mecánica Clásica, si se conocen la posición y velocidad iniciales de una partícula, podemos
predecir con exactitud su nueva posición y su nueva velocidad al cabo de un tiempo )t. en el mundo
microscópico (microfísico), esto es imposible, como nos demuestran las experiencias relativas a difracción de
electrones, prueba evidente de que se trata de un fenómeno ondulatorio, lo que hace imposible la determinación simultánea y exacta de su posición y velocidad.
Esta dificultad en la mecánica de pequeñas partículas fue puesta de manifiesto por Heisenberg. El
enunciado general del Principio de Incertidumbre es:
« Siempre que se opere con variables conjugadas de acción, el producto de los errores cometidos en la
determinación simultánea de ambas variables ha de ser igual o mayor que la constante de Planck ».
Lo que, referido a las magnitudes posición y cantidad de movimiento (momento lineal), y energía y tiempo,
se traducirá así:
)xA )px $ h
;
)EA )t $ h
El principio de Incertidumbre puede considerarse como una faceta particular del principio de
complementariedad: « Siempre que se afina más en un aspecto de un problema, los otros van quedando más
inexactos ».
ACOTACIONES
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1.- Atendamos a estas tres conclusiones surgidas de la teoría de la Relatividad:
mo / masa en reposo ; v / velocidad ; E / energía
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Comparando las dos primeras: E = pA c²/v (*)
Si mo = 0, de la tercera
: E = pA c
(**)
Relacionando (*) y (**) : pA c²/v = pA c , es decir: v = c
Así pues: una partícula de masa en reposo nula (mo = 0), ha de estar siempre en movimiento (E = pA c)
con una velocidad igual a la de la luz (v = c). El FOTÓN está en este caso.
2.- Otra expresión relativista es:
Que la masa en reposo de un fotón sea nula no quiere decir que su masa relativista, m, sea cero. En
efecto:
La masa relativista , m, del fotón es: m = E/c²
Como su momento, p, es:
p = mA c = (E/c²)A c = (hA <)/c = h/8
3.- Es muy frecuente encontrarse con estas dos expresiones alternativas para el principio de incertidumbre:
)xA )px $ h / 2B
;
)EA )t $ h / 2B
Apéndice: El nacimiento de la mecáncica cuántica:
El movimiento de los cuerpos que observamos a nuestro alrededor puede ser descrito en función de unas
reglas generales basadas en evidencias experimentales. Estas reglas o principios son: Conservación del
momento lineal o cantidad de movimiento, Conservación del momento angular o cinético y Conservación
de la energía. La Física clásica está basada en estas leyes de conservación y es capaz de describir en detalle
el movimiento de las partículas bajo la hipótesis de que están localizadas en el espacio y podemos
observarlas sin perturbar apreciablemente sus movimientos.
Si embargo, cuando se trata de estudiar el comportamiento de las partículas básicas de la materia
(electrones, protones, etc.), la Física clásica sólo da resultados aproximados, en algunos casos, y completamente
inadecuados, en otros.
La evidencia experimental hizo que se desarrollara un nuevo formalismo, llamado Mecánica Cuántica,
que ha producido una revolución en la Física y que permite explicar el comportamiento de estas partículas
subatómicas. Esto no quiere decir que las leyes enunciadas anteriormente no sean válidas, lo que ocurre es que
el tratamiento seguido para explicar el comportamiento de estas partículas debe seguir otro camino distinto al
empleado en la Física clásica.
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La Mecánica cuántica es el resultado del trabajo
de Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, Werner
Heisenberg, etc.. Parte de unos postulados, o principios, basados en el carácter ondulatorio asociado
a las partículas. Su aparato matemático es más
complejo que el de la Mecánica clásica pero a nivel
macroscópico las dos coinciden (lo cambia todo,
dejando igual los hechos ya explicados).
Podemos considerar como el comienzo de la
Mecánica cuántica la Teoría Cuántica de Planck
surgida al explicar la radiación emitida por el
denominado cuerpo negro.
Un cuerpo negro es un cuerpo que absorbe
todas las radiaciones y en consecuencia debe poder
emitirlas. La intensidad de la radiación (energía por Espectro radiación cuerpo negro
unidad de área y de tiempo) emitida por un cuerpo
negro depende de su temperatura.
Si hacemos un estudio de la energía emitida a cada frecuencia (o longitud de onda), a una temperatura dada
obtenemos unas curvas, como las de la figura, denominadas espectro continuo de emisión, que no dependen
de la naturaleza del cuerpo negro.
La Física clásica no podía explicar estas gráficas. Aunque varios físicos (Wilhelm Wein, John W. Rayleigh, James H. Jeans, Josef Stefan y Ludwig Boltzmann), habían obtenido leyes respecto a este fenómeno, que
no explicaban totalmente el efecto. Así Wien había obtenido una expresión que describía la primera parte de
la curva, pero fallaba en la zona infrarroja. Rayleight y Jeans, habían encontrado otra que daba bien en la zona
infrarroja, pero fallaba a las longitudes de onda pequeñas.
En 1.900 Max Planck (1.858 - 1.947), propuso una ecuación que ajustaba las dos partes de la curva, y además realizó una deducción teórica de ella. Pero para deducirla, tuvo que introducir una condición: Planck
considera que los átomos radiantes que constituyen el cuerpo negro, se comportan como osciladores eléctricos
armónicos (recuerda como se generan las ondas electromagnéticas), cada uno vibrando con una frecuencia
propia <, y que cada oscilador no puede tener valores continuos de energía sino, un determinado número de
paquetes, "cuantos", cuyo valor es hA<, donde < es su frecuencia de oscilación, es decir, un oscilador puede
tener energía 0, hA<, 2hA<, 3hA<, etc., siempre múltiplos enteros de hA<, donde h es una constante universal
llamada constante de Planck:
h= 6,62A10-34 JAs
La energía de los osciladores está cuantizada. Esto supone la ruptura con uno de los principios de la
Física clásica, la ganancia o pérdida de energía no se hace de forma continua sino como un proceso
discontinuo, en valores múltiplos enteros de hA<.
El desarrollo posterior de estas ideas para explicar observaciones como el efecto fotoeléctrico o el efecto
Compton, le sugirieron a Niels Bohr (1.885 - 1.962) la posible cuantización de los niveles energéticos de los
átomos, estableciendo su modelo del átomo de hidrógeno, capaz de explicar el espectro discontinuo de emisión
de este elemento.
Pero el modelo de Bohr es un modelo propuesto por la gran intuición de Bohr, pero no es un modelo con
base teórica sólida, sin embargo condujo a la investigación de una serie de propiedades atómicas desconocidas
hasta entonces.
Y surgió el principio de indeterminación de Heisenberg, que establece que al determinar simultáneamente la posición y el momento lineal de una partícula, nuestra imprecisión es del orden de h (como mínimo).
Así:
)xA)p $ h
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