Localización de Anderson en ondas sísmicas B. R. Glass, J. C. Flores Departamento de Física, Facultad de Ciencias Universidad de Tarapacá, Arica, Chile Email: [email protected]; [email protected] Resumen En este trabajo se estudia el comportamiento de ondas sísmicas en sistemas desordenados, donde la caracterización de las ondas en dichos medios está dada por la denominada longitud de localización. Para ello se asume una ecuación de onda lineal para los desplazamientos ψ de los elementos de materia dentro de la tierra, considerando un modelo multicapas en función de la profundidad z. Se obtiene una expresión analítica de la longitud de localización, de dichas ondas, tanto en el límite de alta frecuencia, como en el de baja frecuencia, para finalmente postular una expresión válida para todos los rangos de frecuencia. En ciertas regiones, los resultados muestran un comportamiento de ondas no afectados por la localización, lo cual sugiere una posible relación con la denominada capa de Mohorovicic en la superficie terrestre. 3 Introducción El problema de la propagación de ondas sísmicas reviste importancia desde un punto de vista teórico y experimental. Sin duda, la tierra dista de ser un sistema homogéneo (densidad constante) y, por lo tanto, las consideraciones para un sistema invariante de traslación espacial son solo una aproximación. En este sentido, se puede pensar en considerar la propagación de ondas sísmicas en un medio no-homogéneo particular, es decir, la propagación de ondas mecánicas en un sistema desordenado. Los sistemas desordenados han sido estudiados desde la década de los 60, con énfasis en sistemas electrónicos [1]. Recientemente (en los 80) han sido consideradas ondas mecánicas y electromagnéticas [2]. Desde el punto de vista de la sismología, las aplicaciones son mas recientes. En efecto, uno de los primeros trabajos en el área data del 2001 y fue realizado por M. Van der Bann [3], y en nuestro trabajo lo usaremos como punto de partida. La teoría de los sistemas desordenados establece [4] que el conjunto de defectos, impurezas, irregularidades, de un sistema extendido, donde se propagaría la onda, está dado por una distribución de probabilidad. En este sentido cada defecto, o centro difusor, tiene una probabilidad independiente de tener un valor u otro. Llegados a este punto, uno se pregunta: ¿puesto que la tierra es un sistema elástico único, qué valor tiene un conjunto muestral (ensamble) relacionado con una teoría de probabilidades?. En este sentido asumiremos la validez del teorema ergódico, esto es, el valor medio (promedio espacial) de una cantidad física (por ejemplo la amplitud de la onda) es equivalente al promedio sobre el conjunto (ensamble) de sistemas. Localización de Anderson (generalidades) Como fue mencionado en la Introducción, en este artículo nos ocuparemos del estudio de ondas elásticas (sísmicas) en sistemas desordenados. La caracterización de las ondas en dichos medios está dada por la denominada longitud de localización Lc. En efecto, es conocido que una onda en un medio desordenado, usualmente, está localizada exponencialmente (localización fuerte). Este fenómeno, bastante complejo, dice relación con las difusiones múltiples de la onda con los centros difusores (defectos). Como consecuencia de dichas colisiones, la onda interfiere consigo misma en forma destructiva. Entonces, llegar a localizarse en una región de longitud Lc , llamada longitud de localización. La longitud de localización Lc se relaciona directamente con el decaimiento del módulo de la función de onda ψ (x ) , mediante la definición explícita 4 ln ψ ( x ) 1 = − lim Lc x x →∞ (1) Por ejemplo, claramente para ondas planas ( exp ikx ), donde ψ (x) =Cte., la longitud de localización es infinita ( Lc = ∞ ) correspondiendo a ondas extendidas en todo el espacio. Desde un punto de vista general, es sabido que en sistemas desordenados con dimensión uno (D=1) todas las ondas están localizadas [ 5]. En dimensión dos (D=2) las ondas están críticamente localizadas y en dimensión tres (D=3) pueden existir ondas extendidas (no localizadas). Las consideraciones anteriores son bastantes generales, sin embargo en la última década estos supuestos han sido puestos en discusión por la existencia de contraejemplos con correlaciones entre los centros difusores. En la actualidad existe un número creciente de ejemplos respecto de la posible localización y el modo de romperla en sistemas especialmente construidos para ello [4]. Además, desde un punto de vista de las propiedades espectrales de dichos sistemas desordenados, notamos que son de una complejidad extrema. Aun siendo sistemas extendidos tienen espectro discreto contra toda predicción lógica. En efecto, la estructura de espectro discreto está de acuerdo con la localización de la función de onda del sistema; pero como hemos mencionado, el sistema es extendido. La compleja estructura espectral de tales sistemas ha sido estudiada y, naturalmente, está dada por un ensamble estadístico. Respecto de este punto sólo mencionaremos que estados con frecuencias espectrales muy cercanas, están bastante separados en el espacio. Contrariamente, estados muy cercanos espacialmente, tienen frecuencias muy separadas. Todo lo anterior es válido para sistemas desordenados donde los centros difusores están estadísticamente distribuidos y, muy importante, sin correlaciones entre ellos (estadísticamente independientes). Cuando se relaja tal condición, es decir, el sistema tiene correlaciones, eventualmente pueden existir estados extendidos [4]. Comprobaciones experimentales de estos nuevos efectos pueden encontrarse en Ref. [4]. El modelo multicapas de ondas sísmicas La ecuación de propagación de ondas sísmicas está relacionada con la teoría de la elasticidad, con los correspondientes valores para los parámetros de elasticidad involucrados [6]. Naturalmente que es un tema de alta complejidad. En esta Charla supondremos, como es habitual, una ecuación de onda lineal para los desplazamientos ψ de los elementos de materia dentro de la tierra. Además, consideramos un modelo multicapas (estratos) en función de la profundidad z. En particular, estamos pensando en un símil del conocido modelo de capas de la estructura continental debido a Gutenberg [6], válido hasta los 1000 Km de profundidad. En este 5 sentido, suponemos que el índice de refracción n(z) es una variable estocástica discreta asociada a capas de ancho promedio a, donde cada una tiene un índice homogéneo n (ver Fig.1). Puesto que usamos el modelo de Gutenberg como referencial, suponemos a “grosso modo” que cada capa tiene un ancho medio de a= 42 km y que el índice de refracción fluctúa entre 0.088 ≤ n(z) ≤ 0.163 para las ondas longitudinales (ondas P), con un promedio n0 = 0,118 y una desviación estándar respecto del promedio σ = 0.01 Fig.1: Índice de refracción correspondiente al modelo de Gutenberg, las capas (abcisas) se rotulan con índice entero de 1 a 20. Este modelo, no siendo el más moderno, tiene la ventaja de presentar un mayor número de capas, con sus respectivas velocidades (y respectivos índices de refracción), a diferencia del modelo PREM [7], donde, para los primeros 1000 km, el ancho medio de las capas es de 44 km, pero tiene una desviación estándar de 54 km. Además, el índice de refracción promedio y su desviación estándar son prácticamente iguales, lo cual implica un mal comportamiento estadístico asociado. Otro aspecto de este modelo (PREM), y también en el de Gutenberg, es que la velocidad de las ondas S (transversales) es alrededor de 58% de la de una onda P para cualquier material sólido, por lo cual el desarrollo y consideraciones presentadas a continuación son válidos para ambos tipos de ondas. Para el modelo de Gutenberg asumiremos la distribución de probabilidad P(n) para el índice de refracción n en la capa “i” (Fig.2) como una distribución cajón, donde el índice 6 de refracción fluctúa entre (n0 – σ) ≤ n(z) ≤ (n0 + σ), con n0 el promedio de los n(z) y σ la desviación estándar respectiva. Nótese que suponemos la misma distribución de probabilidad para cualquier capa (el sistema es homogéneo en promedio). P i-1 i i+1 n Fig. 2: Símil del modelo de capas (rotuladas por el índice i) y distribución cajón considerada (por capa) en este trabajo. Localización en alta frecuencia En esta sección hacemos una deducción analítica de la longitud de localización en el límite de alta frecuencia. Sea P+ la probabilidad que la onda (rayo) se refracte en una interface y P- que no lo haga, por lo tanto, se debe cumplir P+ + P - = 1 (2) Entonces, si tenemos N capas independientes, la probabilidad que la onda se refracte a través de todas ellas es: P+ P+ P+ ... P+ = P+N =PN (3) Cuando N → ∞, tenemos que PN → 0, pues P+ < 1. Nótese que cualquier resonancia (P+ =1) está excluida pues éstas forman un conjunto de probabilidad nula. Esto nos permite escribir para la probabilidad total PN −1 PN = e N ⋅ln P+ = e − N ⋅ln P+ (4) Recordemos que a es el ancho medio de cada capa y la conexión con la longitud de localización es a través de la formula: PN = e − Na ⋅ ln PN−1 a 7 =e − Na Lc (5) entonces, la lectura directa de la ecuación anterior nos da la longitud de localización en función de P+: Lc = a ⎛ 1 ln⎜⎜ ⎝ P+ (6) ⎞ ⎟⎟ ⎠ Expresión, como se dijo anteriormente, correspondiente a longitudes de onda λ pequeñas: λ→0, es decir, para frecuencias altas, ω→∞. Usando argumentos geométricos (ley de Snell) y considerando incidencia de todos los ángulos sobre las capas, la probabilidad de que la onda pase de una interfase a otra viene dada por: ⎛ n −σ P+ = ⎜⎜ 0 ⎝ n0 + σ ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2 (7) Que en el límite sin desorden σ = 0 nos da P+ =1, como corresponde. Usando las dos expresiones anteriores, la longitud de localización Lc , en este límite de alta frecuencia, se expresa como: Lc = a ⎛ n +σ 2 ln⎜⎜ 0 ⎝ n0 − σ (8) ⎞ ⎟⎟ ⎠ Localización a baja frecuencia En el caso de ondas mecánicas (y electromagnéticas) se espera que la longitud de localización diverja. Esto es bastante intuitivo puesto que a baja frecuencia corresponde una gran longitud de onda y por lo tanto, la onda no reconoce las imperfecciones (locales) del medio elástico. Una descripción semi-cuantitativa de dicho fenómeno es la siguiente. La ecuación de onda usual (segundas derivadas espaciales y temporal) admite una ω ∂ descomposición en términos del operador A = n( z ) − i (y su complejo conjugado A*). c ∂z ω ⎛ ⎞ i ⎜ kz − n ( z )dz ⎟ c ⎝ ⎠ ∫ Las funciones propias de este operador son ψ ( x) = exp , donde n(z) es considerada una variable estocástica (ruido blanco Gaussiano). El promedio sobre el − k 2 aσ 2 z 4 , donde se considera que la variable espacial ensamble (ruido) nos da 〈ψ ( x)〉 = exp tiende a infinito. Entonces, la longitud de localización correspondiente a este límite de baja frecuencia es: 4 (9) Lc = 2 2 σ ⋅k ⋅a 8 Sólo en este límite de baja frecuencia se cumple que los operadores A y A* conmutan y tienen funciones propias comunes. La expresión anterior coincide con aquella encontrada en la literatura [3] Longitud de localización para todo rango de frecuencias Dado estos dos comportamiento (alta y baja frecuencia) discutidos, podemos suponer que la longitud de localización, para todo rango de valores de frecuencia es, en primera aproximación, una superposición de las dos expresiones anteriores, esto es, Lc = 4 ⎛n +σ ⎞ + L0 , con L0 = a /(2 ln⎜⎜ 0 ⎟⎟) σ ⋅k2 ⋅a ⎝ n0 − σ ⎠ 2 (10) y donde se consideran capas de ancho promedio a; n0 es el índice de refracción promedio y σ su desviación estándar. Los valores son estimados a partir de datos relacionados con el modelo de Gutenberg (ver sección Modelo multicapas). Entonces, tenemos la expresión explícita para la longitud de localización en función del número de onda k: Lc = (7.96 / k 2 ) + 71.86( Km) (11) La Fig. 3 muestra la longitud de localización en función de k (número de onda), para valores de los parámetros antes mencionados (ambos ejes son adimensionales, Lc/a y ka). Es interesante notar, a partir del gráfico, que la longitud de localización es siempre mayor que 70 Km (en este modelo). En particular, en regiones de tamaño menor, se espera un comportamiento de ondas no afectados por la localización. Esto sugiere una posible relación con la denominada capa de Mohorovicic [6] en la superficie terrestre. Nótese además que para una onda que recorre una distancia L<Lc(k) no existe localización. Esto determina una frecuencia, o número de onda critica kc, (cuando L=Lc(kc)). Esto es, dada una distancia fija L, existen ondas con k>kc que nunca salen de dicha región. 9 ⎛ Lc ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ka Fig.3 Longitud de localización Lc a , en función del número de onda (k a) , para una onda propagándose verticalmente usando los parámetros del modelo de Gutenberg. Referencias 1. O. Madelung, Introduction to Solid state Theory. Ed. Springer, (1981) 2. P. Sheng, Introduction to Wave Scattering, Localization and Mesoscopic Ed. Springer (2006) 3. Mirko van der Baan Geophys. Acoustic wave propagation in one dimensional random media: the wave localization approach. J. Int. 145, 631 (2001) 4. E. Diez, F. Domínguez-Adame y V. Bellani, Localización y su ausencia en superredes desordenadas. Revista Charlas de Física 16, 39 (1999) 5. Roger Balian et al. Ill-Condensed Matter (North-Holland and World Scientific, 1978). 6. K. Aki, P. G. Richards, Quantitative Seismology: Theory and Methods (W. H. Freeman and Company (1980). 7. Dziewonski & Anderson, Preliminary Reference Earth Model (1981). 10