Contraste de interacción en tablas ANOVA de dos dimensiones sin

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Vol. 31, Núm. 120, 1989, p^gs. 95 a^ 08
Contraste de I nteracción en Tablas AN OVA
de dos dimensiones sin Replicación (*^
por
FERNANDO TUSEL^
Universidad del País Vasco, Facultad de CC.EE.
Dpto. de Análisis Econcímico {G rupo Estadístico}
RESUMEN
Se considera el problema de contrastar la presencia de ínteracción en una tabla ANOVA de dos dimensiones sin replicación.
Se sugiere un rnétodo y su comportamiento se cornpara con el
del sugerido por Johnson-Graybill 11972) mediante un estudio
de Monte Carlo.
Claves: Interacción; ANOVA; Modelos no aditívos; Test de aditividad.
Clasífica ción A MS: P r i m a r i a, 6 2 J 10 .
1.
INTRODUCCION
Tukey (1949) propuso un copntraste de aditividad para tablas ANOVA
con dos factores sin replicación, que ha sido comúnmente utilizado desde
entonces. Se ha mostrado 1Gosh and Sharma (1963) 1 que tiene buena
potencia contra una particular clase de alternativas. En esencia, contrasta
la hipótesis ,j^o: ^= 0 en el ajuste del modelo:
y;; = Q+ Q^ . + p. ; + aA:.A.; + Ef;
^ ^>
(") Este trabajo se ha beneficiado considerablemente de la crítica minuciosa y atinadas
observaciones de dos evaluadores anónimos.
96
EST Af^lsTl(^A ESP ^^ ti()L A
Por consiguiente, analiZa un particular tipo de interacción de considerable
interés préctico. Se ha extendido a modelos de más dimensiones (véase
Tukey ( 195bi Í. Johnson-Graybiil (1 97^2) por su parte consideran un con^unto de alternativas rnás amplio, contrastando Ho: a= 0 en:
yi j=!^ -^- l-3i .^- ^. j-^- ^^Í i ó j-^- E i j
t 2}
Más recientemente, Tusell (1987) propone un contraste de interacción
sabre un número reducido de filas (o columnas) de una tabla ANOVA
rectangular sin replicacián, contrastando paralelismo de filas en dicha tabla
de una manera reminiscente del análisis de perfiles (profile analysis} habituai en An^lisis Multivariante.
En lo que sigue, se muestra un contraste més genera{. La Sección 2
introduce la notación y describe la idea subyacente al contraste que se
propone. La Sección 3 describe traba jo retacionado y la Sección 4 contiene
tos resultados de una reducida simulación.
2.
UN C4NTRASTE DE INTERACCION
Sean yij, (i - 1, . . . , r; ,^ = 1, . . . , c) las observaciones disponibles. Suponernos rc c^; el papel de filas y columnas es no obstante intercambiable. Bajo
la hipótesis nula de no interacción,
(3)
^tj -- ^ + r^i . -^- Q, j ^- Ei j
Sea yi ^ -( y^l ,..., yic), e y^^) '-( yl j,. . „yrj ^, Definamos Y como la matriz
r.x c^ de observac^ones,
...
y1 c
y2 i
.
ZJ12
y^ z
.
...
y^ ^
yrl
yr2
'''
3111
..
•..
..
yrc
^ ^
ZJ1
3l z'
...
_ (y^^)
^
y^2 ^
i
....
,,
yr
La idea subyacente al contraste propuesto es realizar sucesivas combinaciones linea^es de filas y colurnnas en Y que anulen las partes ^1, ^3, , j.^ ^ de
^^,,. En ausencia de interacción, escogiendo adecuadamente las combinaciones lineales a realizar finalizamos con una matriz cuyas columnas son
vectores independientes con matriz de covarianzas escalar. Esta última
hipótesis puede entonces contrastarse utilizando teoría multivariante standard.
9%
('O^JTRASTE DE^: I^+'TERA('C'IOti F.^+ TAE3L.AS :^tiO^'.•^ DE: CX)S DIME:tiSlO`ES Slti REPL[('A('IC)ti'
Ba^o los supuestos habituales de independencia, homoscedasticidad y
normalidad para la perturbación E,,, y si yt^ se genera de acuerdo a(3), las
columnas de r' se distribuyen como y(>> ^ N(^C1, v^I,.) con
^.; ° (^ + Q.^ )1,. -^- ,4^.
(4)
donde 1,. es un vector r x 1 de 1's, y(^i, '_(^31,, ..., J^r, ).
Sea L'^ 1a matriz k x(k - 1) definida así:
1
^
-1
^
1
1
^
12
1
1
12
^
1
6
12
...
...
Uk =
1
k(k-1)
1
...
k(k-1)
1
...
k(k-1)
1
...
k(k-1)
1
k(k-1)
es decir, una matriz ^rectangular de columnas ortogonales igual a una matriz
de Helmert, salvo en que carece de la prirnera de las columnas.
Sea ^^" la matriz r x(c^ - 1) definida así:
.^ ,
^1
^ ^
X = YU
^ = x2
• _ x t (1)
^
x (Z)
^
...
!
--(^-1^
z
)
--^ ^
^r
Como !as columnas de C'^ son ortogonales, los vectores r x 1 z^t) ,
(i = 1, ..., c^ - 1} son independientes, y se distribuyen normalmente con la
misma matriz de covarianzas que los y(') (Lema 2.3 en Seber, G.A.F.
(1984) ). Además,
E(x (k)] - E(ulky(1) -}- u2ky(2) ^- . . . -}- ucky(c)^
c
^
,
^
_
ujk^.jir
^ljk(^lr + l^i.) ^`
j=1
j=1
_ (u^kA.^ + ^zkA.z + . . . + u^kA.^)ir
(k=1,...,c--1)
(5)
98
E5TA[>IS^Tl( :^ f.SP^tiC)l..A
en que (ó ) se sigue de (4) y( 5) porque el vector (^1,. -{- ^(3i^) no depende de
^
.
?, y^^=1 u^ k= 0 pa ra todo k.
ae (6 ^ se deduce que losi t^^(j = 1, ..., c^ - 1} tienen vectores de medias de
elementos igua^es. Por consiguiente, si defínimos una matriz Z' de orden
(r - 1) x (c' - 1) así:
Z'=U^X
sus columnas se distribuyen independientemente como N(fl, Q' I,_,}. Por
consiguiente,
c-i
Z'Z =^ z^zi' ^ Wishart(c - 1, o2lr_1)
(7)
i-1
Si (3 ^ no es cierto, Z'Z se distribuye como una matriz Wishart descentrada con parámetros de no centralidad 1t^1= UrBU^.U^.B''Ur, en que B=(^3;,) es la
matriz r x c^ de términos de interaccíón.
Podemos ahora contrastar la hipótesis de que los z1's proceden de una
^
distribución normal multivariante con vector de medias p y matriz de
covarianzas escalar. EI contraste basado en la razón de verosimilitudes ^
(Seber, G.A.F. (1984), Sec. 3.5.4) hace uso del estadístico:
e2^n - n -
^Z^Z^
^cr^^(z'z)/(* - i^^^ r-1^
(8)
y^1 puede compararse a los valores críticos proporcionados por lVagarsenker and Pillai (1 972).
Ei contraste basado en 1i parece proporcionar un método de contraste
completamente general, que, a diferencia de otros propuestos en la literatura, no hace supuestos acerca de la forma de los j^;;.
Esto es solo una apariencia, como es fácil ver. Los j^;^ no verifican en
genera! otras restricciones que ^; _ , j3;^ = 0 (j = i , . . ., c} y ^^_ , ^,^ = 0
(i= 1, ..., r); solo gracias a esta característica de yacer en un subespacio de
dimensión reducida pueden los vectores columna de la matriz B =(^3;^} ser
distinguidos de perturbaciones.
Esta idea es la que sugiere el contraste anterior, que puede racional^izarse
como un contraste de esfericidad sobre las columnas de Z'. Pero es que,
dada la construcción de Z', sus vectores columna son (r - 1 ^ dimensionaies,
en presencia o no de interacción. Los términos ^;^ y Ios residuos ^;; son por
tanto indistinguib/es, salvo en la medida en que las columnas de Z' se
C'ONTRASTE^ DE 1NTE:RAC'C"ION EN TABL.^S ANC)VA DE DOS UI!^1E^NS1C)NES SIN RLPLIC,ACIUN
99
separen en forma acusada del comportamiento esperable de vectores r dirnensionales al ser prayectadas sobre un subespacio ( ^^ - 1) dimensional.
De un modo más formal, (8) puede escribirse así:
A_
al az . . . a,.-i
f
1 r- 1
I^r - 1^-1L^k_1 ñk l
1
L
(9)
es decir, como una función monótona de la razón de la rnedia geométrica a
la media aritmética de los autovalores de 7'7_. A es máximo cuando
^,, = a^ ^_..._ ^?^r_, , y el contraste propuesto es de hecho un contraste de
igualdad de los autovalores de la matriz de parámetros de la distribución
Wishart en (7).
Bajo la hipótesis alternativa H^ :.^3 ^0, tenemos:
E[ Z'ZJ = ( r - 1)o2 I + M
Si M tiene autovalores iguales, su contribución a la formación de los
valores propios de ^^[7.'^ será idéntica a un incremento en a^2. En esta,
situación, un contraste basado en 11 carecería de potencia; solo cuando los
autovalores de M difieren puede el test propuesto ser de utilidad. Por
consiguiente, el contraste basado en ( 8) carece de potencia frente a una
alternativa completamente general, mientras que es utilizable frente a lo
que podríamos denominar " interacción no esférica". Este es también el
caso de otros contrastes preexistentes, como los citados en la Sección 1.
3.
OTROS CONTRASTES RELACIONADOS.
Dado que, como se ha indicado, una estructura de interacción cornpletamente general sería indistinguible de la perturbación, los contrastes que
intentan aislar interacción en ausencia de replicación están dirigidos contra
alternativas de una cierta forma. La especificación ( 2), por ejemplo, impone
una particular estructura en los f^;; , que hace la matriz B de rango 1. Una
generalización de (2) de rango c^ consideraría ^;; _^^ _, r^^ y;^ rS^, con
1< c!< (^' - 2); cl = r- 1 agotaría los grados de libertad disponibles.
Krishnaiah - Yochmowitz ( 1 980) examinan trabajo anterior explotando la
misma idea que la Sección 2. Los estadísticos que se sugieren son no
obstante diferentes: razón del mayor autovalor de 1'1 a la traza,
ESTADISTIC:^ ESF'^^()L.^
^Qn
(10)
.^ 1 -^- , . . -^- ^ r -
o cocientes de autovalores consecutivos:
^^ f^;+1
( i = I,...,r - 2)
(1 1)
Las transformaciones lineales conduciendo a Z'7_ son también diferentes
de hecho, la Z'Z considerada es de dimensión r x r y rango deficiente .
Lo mismo ocurre con 1os contrastes en goik, R. J. (1986). La insistencia en
emplear una Z'Z de rango deficiente imposibilita la aproximación al problema seguida por nosotros, a nuestro juicio más natural: no cabe contrastar
igualdad de autovalores, pues uno es cero por construcción.
EI estadístico 11 } fue propuesto por Johnson-Graybill ( 1972), que lo
obtuvieron como resuitado de un contraste razón de verosimiiitudes de
H^, : a^ = 0 en ( 2}. Puede esperarse por ello una buena potencia cuando B es
aproximadamente de dimensión uno. EI contraste utilizando (1 1) parece
adecuado contra alternativas implicando B muy aproximadamente de rango
i. EI contraste propuesto en ($) puede esperarse que dé buen resultado
siempre que haya algún autovalor muy pequeño, o, no siéndolo ninguno,
haya acusadas diferencias entre ellos. En este sentido, es más general.
Para comprar la potencia de ($) y ( 1 O) podría en teoría recurrirse a la
integración numérica de una función de densidad de Wishart con parámetro de no centralidad como el indicado a continuación de (7). Es más
simple, sin embargo, recurrir a la simulación. Así lo hemos hecho nosotros,
obteniendo los resultados de que se da cuenta a continuación.
4.
RESULTADOS DE UNA SIMULACION
Se han generado 1^' = 1 ^0 muestras aleatorias de tablas ANOVA de diferentes tamaños: 3x5, 3x$, 4x$, and 5x10. Tras Ilenarlas con ruido blanco,
se añadió a su esquina superior izquierda una matriz tal como:
1
-2
1
--2
1
1
1
1
-2
(interacción de dimensión dos). Por consiguiente, la matriz B referida m^s
arriba es de la forma,
^
^gi^ _
1
`1
--1
1
(interacción de dimensión uno) o
B
_
11
a
0
0
('ONTRASTF- D^ ItiTFR.•^('('IOti E^ T^1BL.•^^ :^tiO^'•> [}E. [7OS U1^1F-.`^I(^tiF S Sl` FtE F'1.1C ^^( IOti
^^)^
en que los bloques de ceros tienen la dimensión adecuada para que f^ sea
r x c^.
La interacción superimpuesta se reescaló de modo que la " razón señalruido'" (SNR)
SNR =
1
^` *
c
2
C X T Li=1 ^j=1 ^ij
0
z
tomara valores desde SNR = 0 hasta SNR = 4, creciendo de 20 en 20
centésimas; ^' es la varianza de la perturbación E„ . EI caso en que SNR = 0
corresponde a ausencia de interacción, y valores crecientes a interacciones
progresivamente más acusadas.
Las Tablas 4.1 a 4.5 proporcionan el porcenta je de rechazos de la h ipótesis de no interacción para las diversas tablas y valores de SNR, y niveles
de significación a de 0.01, 0.05 y 0.10. Estos porcentajes pueden tomarse
como aproximaciones a la potencia de los contrastes.
Es claro que el contraste especializado de Johnson-Graybill da porcentajes de rechazo moderadamente mejores que el contraste de esfericidad en
el caso de interacción 1-dimensional (así tiene que ser, de acuerdo con el
teorema de Neyman-Pearson). Sin embargo, fracasa por completo cuando
la interacción es 2-dimensional.
Algunas otras observaciones son de interés. Los valores críticos de las
distribuciones de ambos estadísticos parecen ser algo conservadores: el
porcentaje de rechazos cuando la hipótesis nula es cierta (SNR = 0) es
sistemáticamente inferior al que se deduciría de las niveles de significación
nominales.
Es también de interés señalar que en la Tabla 4.3 (y sobre todo en la 4.5)
la potencia del contraste de Johnson-Graybill decrece al crecer SNR; es
decir, interacciones prOgresivamente más acusadas tienen menor probabilidad de ser detectadas si son 2-dimensionales. Este resultado no es sorprendente si se examina la forma del estadístico de contraste.
Finalmente, señalaremos que los resultados descritos lo han sido analizándo un particular tipo de interacción; diferentes formas para la matriz f^, ^
podían haber sido ensayadas. EI razonamiento seguido en la construcción
del contraste sugiere que el comportamiento del mismo depende de modo
crucial del tamaño relativo de los autovalores de la matriz
.11= C'; BL'^ C',' ^3' C', . Ello orienta sobre el rendimiento del cantraste frente a
cualquier alternativa.
E:ST •>DISTICA FSPAtiC}!_.A
5.
CONCLUSIQN
Parece que un test de esfericidad es una elección adecuada cuando no
hay razones para confiar en que la interacción, de existir, sea aproximadamente unidimensional. EI precio a pagar por esta mayor generalidad del
test de esfericidad es una cierta pérdida de potencia en el caso unidimensional, en que el contraste de Johnson-Graybill
como resultaba esperable
de su condición de razón de verosimilitudes
ofrece rnayor potencia.
Es pla^usible, por otra parte, que en multitud de situaciones que hemos
descrita como de interacción 1-dímensional, ésta se deba a la presencia de
una única combinación entre tratamientos de acusada sinergia; en el caso
en que esto sea lo previsibie, un contraste tendente a localizar out/iers sería
una alternativa sensata al test de Johnson-G raybill.
SUMMARY
INTERACTiON TEST IN TWO-WAY, UNREPLICATED
ANOVA TABLES.
A procedure is proposed for testing interaction in two-way,
unreplicated ANO^VA tables.
Its behaviour is compared to that of the Johnson -- Graybill
(1 972) test by means of a small Monte Carlo study.
k'ey words: Interaction tests, Non - Additive models.
AMS Subject Classification: Primaria, 62J 10.
^ 0^
C'OtiTft,ASTF; DE: Iti T E:R ^( ( IOti E_ti "T -^Rl_ ^S ^^tiO1^' 1[)F Fx)S C)1^1E ^S^IO`E:S tilti KF F'l l( -^( IOti
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104
EST.aDISTIC^ a ESPatiUL.a
Tabla 4.1
PORCENTAJE DE REC}^AZOS DE A`^: B= 0
EN TABLAS ANCVA 3 x 5 CON INTERACCIONES B^^ - 1 -1
-1
1
^1/ ^kli ^k
A
SNR
ac--0.10
a-0.01
0
1
0
1
6
0
1
4
1
7
12
0
4
7
3
10
14
15
a-0.05
0
0,2
0.4
0
cY=0.05
cx=0.10
a=0.01
0.6
0
4
7
3
ll
0.8
0
4
9
4
14
26
1.0
0
4
12
3
19
29
1.2
1
4
12
3
17
32
1.4
1
8
17
8
23
36
1.6
Z
9
22
8
30
50
1.8
0
8
22
7
36
55
2.0
0
16
38
15
46
?4
2.2
4
21
45
20
61
72
2.4
2
19
50
19
65
87
2.6
4
26
59
24
75
90
2.8
1
28
55
28
69
93
3.0
3
30
63
26
71
92
3.2
6
45
74
42
86
99
3.4
7
51
92
48
96
98
3.6
5
53
81
51
92
98
3.8
9
57
91
54
96
100
4.0
14
63
90
62
96
100
A
:
.1i/ ^k_1 ak:
a
.
contraste de esfericida.d ^Sección 2)
contraste de Johnson-Graybill
nivel de significación
C^ONTRASTf=: UF. ItiTERAC^CIC)ti f:ti T^4BLAS .4tiOVA DE D(7S DI!^1E=.tiS1OtiLS Slti REPLIC AC'IOti
Tabla 4.2
POR.CENTA^E DE RECHAZOS DE Ho: B= 0
1
-1
EN TABLAS ANOVA 3 x 8 CON INTERACCIONES B11 .-
--1
1
a^ i ^^r-^i ak
A
SNR
a=0.01
c^=0.05
rx=0.10
^=0.01
ar=0.05
cx=0.10
12
0.0
0
3
5
1
4
0.2
0
3
4
2
4
6
0.4
0
4
5
2
5
13
0.6
1
10
16
3
15
19
0.8
4
12
27
5
22
38
1.0
2
15
31
6
28
42
1.2
6
25
42
13
38
55
1.4
16
53
76
32
73
80
1.6
18
57
79
33
69
92
1.8
29
65
87
50
81
94
2.0
27
85
95
50
93
97
2.2
44
92
97
74
96
97
2.4
67
96
99
80
99
99
2.6
75
98
100
92
100
100
2.8
81
99
100
93
100
100
3.0
87
100
100
96
100
100
3.2
90
100
100
96
100
100
3.4
93
100
100
100
100
100
3.6
98
100
100
100
100
3.8
98
100
100
100
100
^
100
4.0
100
100
100
100
100
"
100
A
.
^^ I/ ^^,i ak:
contraste de esfericida,d (Sección 2)
contraste de Johnson-Graybill
cx
nivel de significacidn
.
100
^^5
^ ()h
E > 1 ^^ [ ^I^ f !c -^ E 4H ^ ti( ^t .t
^rabla 4.3
PURC^:NTAJE DE RECHAZOS DE Ho: B= 0
1
1
-2
EN 'I'ABLAS ANOVA 4 x 8 CUN INTERACCIONES B^^ = -2 1 1
1
I
-2
^
A
r- ^ ^
1^ ^k^1 k
SNR
a=0.01
cz=0.05
c.^=0.10
ci=0.01
cr=0.05
cx=0.10
8
0.0
1
2
5
2
4
0.2
1
1
3
0
1
5
0.4
1
6
11
2
9
14
0.6
0
2
?
0
3
9
0.8
0
0
5
0
5
9
1.0
0
2
10
0
1
4
1.2
2
9
20
0
0
4
1.4
3
8
14
0
1
1
l.fi
1
7
18
0
0
1
1.8
2
11
26
0
0
2.0
3
20
38
0
0
2
.
0
2.2
1
22
39
0
0
2.4
3
28
54
0
0
0
2.6
5
33
57
0
0
0
0
2.8
3
48
66
0
0
0
3.0
9
42
67
0
0
0
3.2
15
62
81
0
0
0
3.4
17
69
91
0
0
4
3.6
28
59
87
0
0
0
3.8
34
78
95
0
0
0
4.0
29
84
98
0
0
0
A
.
^^ / ^k-1 ^^:
:
cz
cuntraste de esfericidad (Sección 2)
contraste de Johnson-Graybill
nivel de significación
C^ONTR;^STE DE itiTERAC'C'1O^i E,ti T.ABL.AS .^^OVA UE. [,^f)S f^Iti1E^^^Si(:^tiE^_S ^iti RE^F'l.l( ^C IOti
Tabla 4.4
PORCENTAJE DE RECHAZOS DE Ho: B= 0
EN TABLAS ANOVA 5 x 10 CON INTERACCIONES Bli = 1 -1
-1
1
A
al ^ ^k=i ^k
SNR
cY=0.01
c^c=0.05
a^=0.10
a=0.01
a^=0.05
cx=0.10
0.0
0
1
4
0
4
8
0.2
1
6
7
1
6
13
0.4
1
3
7
0
11
15
0.6
1
8
15
9
20
35
0.8
5
23
36
30
58
71
1.0
25
50
66
67
89
96
1.2
44
76
88
91
99
100
1.4
63
90
96
98
98
99
1.6
88
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
98
100
100
100
100
100
100
1.$
2.0
,
2.2
100
100
100
100
100
2.4
100
100
100
100
100
100
2.6
100
100
100
100
100
100
2.8
100
100
100
100
100
100
3.0
100
100
100
100
100
100
3.2
100
100
100
100
100
100
3.4
100
100
100
100
100
100
3.6
100
100
100
100
100
100
3.8
100
100
100
100
100
100
4.0
100
100
l00
100
100
100
A
.
r-1
^1 ^ ^k=1 ñk:
a
contraste de esfericidad (Sección 2)
contraste de Johnson-Graybill
nivel de significación
ÍO!
l^)f^
E^iT •^D1^T 1C > E SP ^^(ll. ^^
Tabla 4.5
PORCENTAJE DE RECHAZfJS DE H,^: B= 0
1
-2
1
EN TABLAS ANOVA 5 x 10 CON INTERACCIONES B11 =
A
-2
1
1
1
1
-- 2
^^^ ^k=1 ^k
SNR
a-0.01
a=0.05
a-0.10
a=0.01
a-0.05
cx=0.10
0
0
3
4
0
3
7
0.2
0
1
5
4
7
12
0.4
0
2
6
1
7
14
0.6
0
3
?
0
3
8
0.8
0
7
10
1
3
6
1.0
2
16
29
1
5
11
1.2
8
30
46
2
7
21
1.4
12
37
54
0
5
12
1.6
22
62
78
1
4
9
1.8
32
74
88
1
3
13
2.0
49
86
96
0
3
8
2.2
68
94
97
0
3
7
2.4
76
97
100
0
0
8
6
2.ó
87
100
100
0
1
2,8
92
99
100
0
1
1
3.0
97
100
100
0
1
3
3.2
99
100
100
0
0
1
3.4
100
100
100
0
0
1
3.6
99
100
100
0
0
2
3.8
100
100
100
0
0
1
4.0
loo
ioo
loo
0
0
0
A
.
^r/ ^k^i ^k:
or
.
contraste de esfericidad (Sección 2)
contraste de Johnson-Graybill
nivel de significación