f (z) = [1/(√2π σ)]

ANÁLISIS DE DATOS
DISTRIBUCIÓN NORMAL:
Cuando una v.a. continua se comporta de forma que sigue una
distribución descrita por la función:
x(z) = [1/(√2 σ)] x e – (Z - µ)2/2σ2
en donde :
- < Z >
se dice que se distribuye según una distribución normal.
Características:
* unimodal
* simétrica respecto a su media ( µ )
* la media, la mediana y la moda de la distribución son idénticas
* definida absolutamente por los parámetros : µ (mu) y  (sigma)
( : representa la magnitud de la dispersión respecto la media)
ANÁLISIS DE DATOS
DISTRIBUCIÓN NORMAL:
Si:
x(z) = [1/(√2 )] x e
– Z2/2
Entonces la variable aleatoria X tiene una distribución
normal con media igual a 0 y una varianza igual a 1.
Si:
2/2(14,3)2
x(z) = [1/(√2 (14,3))] x e – (Z – 3,6)
Entonces X tiene una distribución normal con media 3,6
y una desviación estándar de 14,3
ANÁLISIS DE DATOS
REPRESENTACION GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL:
µ1 < µ2
-∞
µ1
µ2
+
∞
Z
Los valores medios se representan en el gráfico y es evidente que
la función de distribución normal es simétrica respecto a sus
medias (µ1 y µ2)
ANÁLISIS DE DATOS
REPRESENTACION GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL:
2
σ
2
1
<σ
2
2
σ
1
2
σ
-∞
2
µ
+
∞
Z
La varianza mide la variabilidad o dispersión de la variable aleatoria.
A mayor varianza, mayor es la variabilidad. La desviación estándar
σ puede ser usada para localizar los puntos de inflexión de la
función de distribución de probabilidad. Los puntos de inflexión
son representados a: µ - σ y µ + σ.
ANÁLISIS DE DATOS
DISTRIBUCIÓN NORMAL:
Muchas variables aleatorias continuas se distribuyen según la
distribución normal; plomo en sangre, arsénico en orina, nivel
serológico de colesterol, peso, etc.
Por ej. la curva normal podría utilizarse para estimar la probabilidad.
de que al elegir un sujeto al azar, este tenga un nivel de plomo
serológico superior a 20 mg/100ml. Pregunta de interés que nos sirve
para planear servicios de prevención por exposición a plomo
ocupacional.
Dado que el total del área bajo la curva es igual a 1, podemos
contestar la pregunta calculando la proporción del área bajo la curva
que se encuentre a la derecha del punto Z = 20.
Se usan TABLAS DE ÁREAS ya calculadas para la curva normal, en
particular se dispone de aquella definida por:
µ = 0 y  = 1 ==> Distribución Normal Estándar
a_dat647/jsc
ANÁLISIS DE DATOS
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR:
ƒx(Z)
( µ = 0,  =1 )
-4
-3
-2
-1
0 1 2 3
Z = (x - µ) / σ
4
Z = variable aleatoria estándar
Para conocer el área bajo la curva normal estándar (probabilidad), se
usa una tabla que contiene los datos calculados según: ( µ = 0,  =1 )
La entrada al cuerpo de la tabla especifica el área bajo la curva a la
derecha de z.
a_dat648/jsc
ANÁLISIS DE DATOS
DISTRIBUCIÓN NORMAL
ESTÁNDAR:
ƒ( X)
68.2%
( µ = 0,  =1 )
-4
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
Z
Suponga que deseamos saber el área bajo la curva normal estándar que
existe entre z = -1.00 y z = 1.00; dado µ = 0,  =1, oséa el área contenida
en el intervalo µ +/- 1, y que ilustra la figura de arriba.
El área a la derecha de Z = 1 es 0.159, por simetría de la curva, el área a
la izquierda de Z = -1 es 0.159 también. Si el área total bajo la curva es
1.000, el área entre z = -1.00 y z = 1.00 es calculada como:
1.000 - 0.159 - 0.159 = 0.682
INTERPRETACIÓN: En una distribución normal estándar, el 68.2% del
área bajo la curva cae dentro de +/- 1 desviación estándar de la media.
a_dat649/jsc
ANÁLISIS DE DATOS
DISTRIBUCIÓN NORMAL
ESTÁNDAR:
95.4%
ƒ( X)
( µ = 0,  =2 )
-4
-3 -2
-1
0
1
2
3
4
Z
Podríamos calcular el área bajo la curva normal estándar contenida en el
intervalo µ +/- 2 . El área a la derecha de Z = 2.00 es 0.023; el área a
la izquierda de Z = -2.00 es 0.023 también. Luego, el área entre -2.00 y
2.00 es: 1.000 - 0.023 - 0.023 = 0.954
INTERPRETACIÓN: En una distribución normal estándar, el 95.4% del
área bajo la curva cae dentro de +/- 2 desviación estándar de la media.
a_dat650/jsc
ANÁLISIS DE DATOS
DISTRIBUCIÓN NORMAL
ESTÁNDAR:
ƒ( X)
0.10
-4
1
2
3
4
Z
1.28
También podríamos calcular el valor de Z que corta el área superior del
10% de la distribución normal estándar.
Ubicando 0.100 en el cuerpo de la tabla, observamos que el valor
correspondiente de Z = 1.28. Es decir, el 10% del área bajo la curva
normal estándar cae a la derecha de Z = 1.28 (ver figura).
a_dat651/jsc
-3
-2
-1
0
ANÁLISIS DE DATOS
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
ESTÁNDAR:
ƒ( X)
1-α
α
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Kα = (X - µ) / σ
X
Interpretación en términos de Probabilidad:
La probabilidad de que algún valor sea mayor a Kα es igual a α
O de otro modo: P(x > Kα) = α
Cuál es : P(x < -Kα) = ?
Cuál es : P(x > -Kα) = ?