Problema ondas en cuerda con dos bloques

O9. Una cuerda ligera de masa de 12.0 g de masa y longitud igual a 4.00 m
tiene sus extremos sujetos a dos paredes que están separadas por una
distancia D = 2.50 m. Dos masas, cada una de valor M = 2.00 Kg, están
suspendidas de la cuerda como se indica en la figura.
a. Si un pulso de
onda se envía desde el
punto A, ¿cuánto tardará
D
en viajar hasta el punto
𝑳⁄
B?
𝑳⁄
𝟒
𝟒
b. ¿Qué
frecuencia
𝑳⁄
se
requiere
para
formar
𝟐
A
B
ondas
estacionarias
entre los puntos A y B en
el modo fundamental?
M
M
c. ¿En que puntos de
la cuerda se localizan
nodos
y
antinodos
correspondientes
al
segundo sobretono? (Tome x=0 en el punto A).
CLAVES:
1) Aunque es sencillo, pero lo primero es darse cuenta de que
tiempo de viaje del pulso =(dist. recorrida por el pulso)/(veloc. del
pulso)
2) Para la obtención de la tensión de la parte horizontal de la cuerda
(necesaria para la velocidad) ha de trabajarse con un diagrama de
cuerpo libre: en los puntos de los que la cuerda se sostiene actúan
varias fuerzas
DATOS:
M = 2.00 Kg ; mc = 12*10-3 Kg ;
L=4m;D=2m
(a) Desde el punto A, ¿cuánto tardará un pulso en viajar hasta
B?
El tiempo solicitado se ajusta a:
𝜟𝒕(𝑨 → 𝑩) =
𝒅𝒊𝒔𝒕(𝑨 → 𝑩) 𝑳⁄𝟐
=
(𝟏)
𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄. 𝒐𝒏𝒅𝒂
𝒗
𝒚
𝒗=√
𝑻
(𝟐)
𝝁
Necesitamos entonces calcular la tensión y la densidad lineal de masa
 Cálculo de la tensión de la cuerda
Por la Estática sabemos que la condición
de equilibrio en el punto A (o en forma
similar en el punto B) supone que:
∑ ⃗⃗⃗
𝑭𝒊 (𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝑨) = 𝟎
𝐘
⃗⃗⃗
𝑇1
𝑇1 𝑠𝑒𝑛𝜃
(𝒚)
∑ 𝑭𝒊
θ
∑ 𝑭(𝒙)
𝒊 = 𝟎 ⟹ 𝑻𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝑻𝟐
⃗⃗⃗
𝑇2
𝑇1 𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝟎 ⟹ 𝑻𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝑴𝒈
𝐀
𝐗
𝑀𝑔
} ⟹
Necesitamos T2, pues ésta es la tensión en
la parte de cuerda (horizontal) donde se
propaga el pulso. Al dividir ambas
ecuaciones, eliminamos T1 y entonces:
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝑴𝒈
𝑴𝒈
⟹ 𝑻𝟐 =
𝑻𝟐
𝒕𝒂𝒏𝜽
 Densidad lineal de masa.
La fórmula de definición de la densidad lineal: 𝝁 =
La figura inicial muestra que: 𝐋𝐨𝐧𝐠. 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐜𝐮𝐞𝐫𝐝𝐚 =
𝒎𝒄𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂
=
𝑳
𝑳⁄
⏟
𝟒
+
𝒕𝒓𝒐𝒛𝒐 𝒊𝒏𝒄𝒍.
𝒊𝒛𝒒.
𝒎𝒄
𝑳
𝑳⁄
⏟
𝟐
𝑳⁄
⏟
𝟒
+
𝒕𝒓𝒐𝒛𝒐 𝒊𝒏𝒄𝒍.
𝒅𝒄𝒉.
𝒕𝒓𝒐𝒛𝒐 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛.
 Valor final de la velocidad
Con lo que: 𝒗 = √
𝑴
𝑳𝒈
𝒎𝒄 𝒕𝒂𝒏𝜽
(3) . Aún nos falta expresar tan en función
de L, (dato proporcionado por el enunciado, no así )
 Obtención del tiempo de viaje de A a B
o Expresión de tan en función de L y D
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
D
b
b
𝐿⁄
4
𝒃
𝟐
√(𝑳⁄ ) −𝒃𝟐
𝟒
𝑳
𝟐𝒃 + 𝟐 = 𝑫 ⟹ 𝒃 =
𝐿⁄
4
2
√(𝐿⁄ ) − 𝑏2
4

A
L/2
𝑳
(𝑫 − )⁄𝟐
𝟐
𝟏
(𝟐𝑫 − 𝑳)
𝟏 𝟐𝑫 − 𝑳
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
= 𝟒
=
𝟐 √𝑫(𝑳 − 𝑫)
𝟐
𝟐
√𝟏 𝑫(𝑳 − 𝑫)
√(𝑳⁄ ) − [𝑫 − 𝑳/𝟐]
𝟒
𝟒
𝟐
(𝟒)
𝑫−
𝟐
𝑳
𝟐
⟹
}
=𝑳
o
En fin, recurriendo a (3) y (4)
𝑴 𝑳𝒈
𝑴 𝑳 𝒈 𝟐√𝑫(𝑳 − 𝑫)
𝟐
𝟒 ∗ 𝟗. 𝟖
=√
=√
∗
∗ 𝟐√𝟐. 𝟓 ∗ 𝟏. 𝟓 = 𝟏𝟓𝟗 𝒎⁄𝒔
−𝟑
(𝟐𝑫 − 𝑳)
𝒎𝒄 𝒕𝒂𝒏𝜽
𝒎𝒄
𝟏𝟐𝒙𝟏𝟎
𝟏
𝒗=√
𝜟𝒕𝒗𝒊𝒂𝒋𝒆 𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐
𝑳⁄
𝟐
= 𝟐=
= 𝟏𝟐. 𝟔 𝒎 𝒔
𝒗
𝟏𝟓𝟗
Fórmula al inicio de la
resolución del inciso
(b) Frecuencia de ondas estacionarias entre A y B en el
modo fundamental
CLAVES: La clave en los siguientes incisos es sencilla; se basa en el análisis gráfico
de las formas geométricas de los distintos modos o armónicos; se presenta en la
tabla que sigue:
Número
de
orden n
Clave inciso b.
Clave inciso c.
A
1
2
3
4
…..
Nº de
nodos
Nº de
antinodos
Nº de
bucles
(n+1)
(n)
(n)
Fundamental
2
1
1
Primer sobretono
3
4
5
2
3
4
2
3
4
…..
Armónico
Primero
(fundam.)
Segundo
Tercero
Cuarto
…..
Tonos
Segundo sobretono
Tercer sobretono
…..
B
𝑳⁄
𝟐
𝑳
…..
La figura nos muestra con
claridad que (como corresponde
al modo fundamental, n = 1)
𝝀𝟏 = 𝟐 ∗ 𝑳𝒐𝒏𝒈. 𝒄𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂 = 𝟐 ∗ 𝟐 = 𝟒𝒎.
Y como la frecuencia ha de cumplir: 𝒗 = 𝝀𝟏 𝒇𝟏 ⟹
𝒇𝟏 =
…..
𝒗
𝟏𝟓𝟗
=
= 𝟑𝟗. 𝟕𝟓 𝑯𝒛
𝝀𝟏
𝟒
(c) Posición en la cuerda de nodos
correspondientes al segundo sobretono?
y
antinodos
Hablar del segundo sobretono equivale a tomar n = 3 (n sirve para numerar a qué
armónico nos referimos). Para la formación de nodos, antinodos, etc. y en
particular para el segundo sobretono, véase la parte involucrada de la tabla:
Número
de
orden n
Armónico
3
…..
Tonos
Tercero
…..
Nº de
nodos
Nº de
antinodos
Nº de
bucles
(n+1)
(n)
(n)
4
3
Segundo sobretono
…..
…..
3
…..
…..
La cuerda entonces presentará. 3 bucles y 4 nodos, y, por ello, 3 antinodos: por
otro lado, en base a la definición de la longitud de onda, distancia entre dos
puntos consecutivos en el mismo estado de oscilación (cuando N0 corresponda a
superposición de puntos que vienen subiendo, N1, corresponderá a interferencia
de puntos que vienen bajando; entonces hay que llegar a N2 para encontrar el
‘mismo estado’ que N0). Véase la gráfica inmediatamente inferior:
y
XA1 = λ/4
x

λ/4
N0

A1
XN0 = 0
XA2 = 3λ/4


N1
λ
XA3 = 5λ/4


A3
N2
A2
XN1 =λ/2
XN2 = 2λ/2

N3
XN3 = 3λ/2
L (long. de la cuerda)

Conclusiones sencillas en base a la gráfica
o Longitud de onda: 𝜆3 = 2⁄3 𝐿. La teoría nos señala que en general, para
el armónico de orden n: 𝜆𝑛 = 2𝐿 ⁄ 𝑛
𝜆
𝜆
1 2
o Posición de cada nodo 𝑁𝑛 : 𝑋𝑁𝑛 = 𝑛 2 (= 2𝑛 4) = 𝑛 2 (3 𝐿) (tomando
aquí también para las nodos n = 0). Así que:
𝒑𝒐𝒔. (𝑵𝟎 ):
𝒑𝒐𝒔. (𝑵𝟏 ): 𝑿𝑵𝟏 = 𝟎. 𝟔𝟕𝒎
𝑿𝑵𝟎 = 𝟎 ;
𝒑𝒐𝒔. (𝑵𝟐 ): 𝑿𝑵𝟐 = 𝟏. 𝟑𝟑𝒎 ;
o Posición de cada antinodo 𝐴𝑛 :
𝒑𝒐𝒔(𝑵𝟑 ): 𝑿𝑵𝟑 = 𝟐𝒎
𝜆
1 2
𝑋𝐴𝑛 = (2𝑛 − 1) 4 = (2𝑛 − 1) 4 (3 𝐿)
Así que:
𝒑𝒐𝒔. (𝑨𝟏 ): 𝑿𝑨𝟏 = 𝟎. 𝟑𝟑𝒎 𝒑𝒐𝒔. (𝑨𝟐 ): 𝑿𝑨𝟐 = 𝟏𝒎 ;
𝒑𝒐𝒔(𝑨𝟑 ): 𝑿𝑨𝟑 = 𝟏. 𝟔𝟔𝒎
(𝑝𝑜𝑠. (𝐴0 ): 𝑁𝑜 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑛 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑛𝑜𝑑𝑜)