PSICOLOGÍA EDUCACIONAL DE LAS MATEMÁTICAS

Raúl González
IPSI Revista de Investigación en Psicología 1998, Vol. 1, Nº 2, pp. 09 - 40
PSICOLOGÍA EDUCACIONAL DE LAS
MATEMÁTICAS
Raúl González Moreyra 1
Se ha realizado una somera revisión bibliográfica actual para identificar el
estado del conocimiento psicopedagógico de la enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas. Hemos encontrado tres temáticas definidas: la primera sobre el
desarrollo cognitivo de los conceptos matemáticos, la segunda sobre los
procedimientos de cálculo y solución de problemas de los estudiantes y la
tercera sobre las estrategias psicodidácticas de aplicación escolar. En lo que
respecta al primer rubro hemos revisado dos áreas, la del desarrollo temprano
(cero a 4-5 años) y la del desarrollo operatorio (posterior). Hemos
considerado los nuevos hallazgos en lo que hace al número en el niño
preverbal y mantenido los aportes piagetanos a partir de las etapas
preconservantes. En lo que respecta al segundo tema hemos revisado los
errores y precisión del cálculo, las habilidades del cálculo eficaz. y el papel
de la memoria; además, aspectos de la solución de problemas como la
organización del conocimiento del procesamiento cognitivo y la actividad
resolutoria. En el tercer tema, que dividimos en psicodidácticas numéricas y
conjuntistas, hemos revisado por un lado los aportes de Thordnike, Gagné y
Resnick y por el otro los de la Gestalt, Bruner y Dienes. El saldo final es el de
un positivo avance en conocimientos y procedimientos sobre psicopedagogía
de las matemáticas.
Palabras clave: Enseñanza-aprendizaje, desarrollo cognitivo, estrategias psicodidácticas,
conceptos matemáticos, procedimiento de cálculo, solución de
problemas.
1t was made a brief lo dale bibliographic revision lo identify the state of psychopedagogic knowledge of mathematics leaching-learning. We found three defined
thematics: the first about cognitive development of the mathematics concepts, the
----------
1
second about the process of calculating and solving of problems by the students
and the third about the psycho-pedagogic strategies for school use. Respect the
first theme we have reviewed two areas, early development (zero to 4-5 years)
and operant development (post). We have considered the new findings in what is
made on number in the pre-verbal child and maintained the piagetian ideas from
the pre-conserving stages. About the second we have reviewed mistakes and
precision on calculating, the abilities of accurate calculation and the function of
memo,-y; also, aspects of problem solving as organization of knowledge of the
cognitive process and the resolutory activity. In the third theme, which we
divided in numerical psycho-didactics and conjunctivas, we have reviewed on
one side the ideas of Thordnike, Gagné and Resnick and on the other from the
Gestalt, Bruner y Dienes. The final balance is of a positive advance in
knowledge and procedures about mathematics psycho-pedago gy.
Keywords : Teaching-learning, cognitive envelopment, strategy psychodidactic,
mathematical concept, procedure of calculs. Solution of problems.
Uno de los problemas centrales de la educación para el desarrollo y la
modernización es el que presenta la enseñanza de las matemáticas en la
escuela. La formación de profesores, tanto los de nivel primario como los
de nivel secundario, exige plantearse claramente las demandas de
competencias que se les deberá exigir durante sus estudios académicos
respectivos, a los primeros en su formación general como docentes de ciclo
básico, a los segundos como profesores especializados en el área. Deberán
ellos, también, elaborar el currículo pertinente para la escolaridad, y
definirse en él objetivos, contenidos, metodologías, secuencias, medios y
evaluación pedagógica. Deberá, posteriormente, investigarse el impacto
social del currículo sobre las competencias matemáticas que los sujetos
desplieguen al salir de la escuela después de su exposición sistemática y
continua al entorno pedagógico. Tenemos, pues, que definir la formación
del docente, elaborar y aplicar currículos y averiguar el impacto o efecto de
estas experiencias sobre la población afectada. Se requiere para responder
eficazmente a estas tareas tener una idea clara del estado actual de la
pedagogía de la matemática. Un insumo importante para este conocimiento
Profesor emérito de la UNMSM.
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son los avances que recientemente han estado haciéndose en la Psicología
Cognitiva aplicada a la educación matemática. En ella se han afrontado tres
problemas centrales: el del desarrollo, el de los mecanismos cognitivos
involucrados en el procesamiento matemático y el de la enseñanza-aprendizaje.
El problema del desarrollo no es otro que el problema de la evolución
ontogenética del pensamiento matemático. Los aportes centrales a este
respecto son sin dudarlo los aportes piagetanos, nosotros los tendremos en
cuenta, pero además, daremos mucha importancia a aportes más recientes
vinculados a nuevas concepciones sobre el desarrollo temprano de aspectos
esenciales del pensamiento matemático como el número, el conteo y la
subitización. Expondremos en dos partes los problemas del desarrollo: una
primera parte dedicada al desarrollo temprano centrada en los avances más
recientes hechos sobre los procesos de pensamiento matemático del niño
pequeño. Una segunda parte la dedicaremos al desarrollo operatorio, con
gran énfasis en la concepción de Piaget sobre el desarrollo de las
matemáticas en el niño y el adolescente.
El problema de los mecanismos implicados en la cognición matemática
lo enfrentaremos bajo dos rubros: procedimientos de cálculo y de
resolución de problemas, que visualizan la dicotomía entre los
procedimientos algorítmico s y procedimientos heurísticos. En los primeros
existen reglas de cómputo que llevan a un resultado final, en los segundos
los problemas tienen vías más difusas que deberán identificarse y, que no
siempre llevan a una solución final, sino que a veces sólo a aproximaciones.
Nuestro tercer problema, el de la enseñanza-aprendizaje, también cubrirá
dos aspectos generados por dos enfoques distintos a las preguntas
complementarias sobre cómo aprende matemáticas el niño y cómo debe
enseñársele. El primer enfoque se orienta hacia estrategias algorítmicas y
numéricas que privilegian el dominio del cálculo. El segundo enfoque se
orienta hacia las estructuras matemáticas, los conjuntos, los dispositivos
lógicos y algebraicos subyacentes a todas las competencias del área. Es una
orientación vinculada a los desarrollos de la matemática moderna.
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1. DESARROLLO TEMPRANO
1.1. Detección numérica
Las investigaciones más recientes en el niño de cero a cuatro años han
revelado la presencia de capacidades cognitivas en general, y matemáticas
en particular, mayores y más complejas de las que se presumía poseía hasta
hace pocos años. Bajo el robro de detección numérica veremos los
conceptos de numerosidad, zoonumerosidad, subitización y conteo, y
desarrollaremos algunos aspectos relevantes de investigaciones pertinentes.
1.2. Numerosidad
El trabajo paradigmático se debe a los experimentos de Antell y Keating.
Se les presentó a niños recién nacidos a través del procedimiento
habituación y deshabituación tarjetas que contenían el mismo número de
puntos, pero variando en longitud de líneas y densidad de puntos. Luego se
les mostraba una tarjeta posthabituación con un número distinto de puntos
(se mantenía longitud y densidad). Al cambiar el número emergía el
proceso de atención renovada. Si se sustituían los puntos por objetos de
diferentes colores y formas se obtenían los mismos resultados. En otros
experimentos con niños algo mayores de seis a ocho meses, se logró igual
detección de numerosidad pero con carácter interno sensorial (auditivovisual).
1.1.2. Subitización
Se define a la subitización como el reconocimiento inmediato sin conteo
explícito de un conjunto pequeño de objetos. Las formaciones de hasta tres
a cuatro puntos se subitizan fácilmente. Si se incrementan los puntos a seis
o diez ya no es posible resolver la tarea. En los adultos el costo en términos
de tiempo es de 50 milisegundos por cada cifra adicional, hasta cuatro cifras
en experimentos con niños de cinco años. En niños menores de seis a ocho
meses alcanza, según Gelman, hasta
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tres elementos, sugiriéndose la existencia de predisposiciones innatas que
influyen sobre la atención y la memoria, lo que permitiría el
almacenamiento de las representaciones numéricas. No se iniciaría el
desarrollo cognitivo del niño con vagas distinciones "muchos-pocos", sino
habrían tempranamente procesos numéricos con características de dominio
específico.
Se han propuesto dos teorías principales para explicar este proceso de
subitización. Una teoría es la de Glasersfeld, de base perceptiva y sin
procedimientos numéricos. Gallistel y Gelman han propuesto por su parte
una teoría de recuento rápido generada por una predisposición de dominio
específico sin base perceptiva.
a)
Demora en los adultos 1/3 de segundo por objeto, en los niños
demora 2/3 de segundo también por cada objeto.
b)
Los matemáticos hábiles empiezan a usar desde los cuatro años
para contar conjuntos grandes, el agrupamiento en subconjuntos. Se
cuenta cada subconjunto y se acumulan al final. Las pistas como
marcas, colores y distancias, favorecen los agrupamientos. Si las
pistas están distribuidas al azar no se producen los agrupamientos.
c)
El conteo de objetos es más difícil cuando estos están fijos y
dispersos; lo es menos cuando están fijos alineados; y aun menos
difícil cuando son móviles y pueden agruparse una vez contados.
d)
El principio de cardinalidad parece actuar según Wynn sólo a partir
de los tres años, los niños menores aun cuando puedan contar bien
hasta cinco, cuando se les pregunta por cuánto hay, no dan la última
cifra como respuesta.
1.1.3. Conteo
Gelman ha propuesto cinco principios del aprendizaje del conteo que
funcionan como reglas de predisposición innatas.
I.
Principios de correspondencia biunívoca: un elemento de una
colección con uno de la otra.
II.
Principio de ordenación estable: el recuento es independiente de
los rótulos que se unen, como por ejemplo cuando se aplica 1, 2, 4,
pero no se repite ningún rótulo.
III.
Principio de indiferencia de elementos: puede contarse cualquier
clase de objetos.
IV.
Principio de indiferencia de orden: el conteo es en cualquier
secuencia.
V.
Principio de cardinalidad simple: el último término del recuento da
el valor cardinal del conjunto.
Desde el punto de vista operacional, el conteo tiene las siguientes
propiedades:
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Finalmente debe señalarse que está firmemente establecida la capacidad
animal para discriminar tres a cuatro objetos. Algunas especies discriminan
entre cantidades grandes (40-50 picotazos).
Gallistel ha propuesto como mecanismos los principios de indiferencia
de elementos y correspondencia biunívoca. En esto los animales se
asemejan al niño pequeño, pero no en el principio de indiferencia del
orden, su recuento es unidireccional. El niño tiene mayor complejidad de
principios y la potencialidad para pasar a un sistema simbólico de
exclusividad específica.
1.2. Desarrollo simbólico
La detección temprana de la numerosidad y el conteo son el inicio de un
proceso cuyo primer desarrollo deberá culminar en la adquisición y uso de
los sistemas simbólicos (lenguaje) y conceptuales (teorías) pertinentes que
le servirán de base a la expansión futura de sus competencias matemáticas.
Los temas de estos acápites serán los numerales, la notación y la
matemática infantiles.
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1.2.1. Numerales
Los numerales se definen como los términos del lenguaje oral que
rotulan a los números en cuanto cantidades. Los numerales se aprenden por
reglas diferentes al etiquetado de objetos o denominación. La base de este
aprendizaje son los principios de irrelevancia del objeto y de ordenación
estable, que no son aplicables para nombrar objetos. Ambos dominios no se
confunden ante la masa de estimulación, debido según Gelman a la
influencia de los principios innatos de dominio específico.
A la importancia del léxico numérico debe añadirse la importancia del
aprendizaje del lenguaje matemático en general (léxico y gramática) y a
hacerlo independientemente del lenguaje estándar cotidiano. Los buenos
matemáticos dominan el lenguaje matemático, y este dominio correlaciona
positivamente con la comprensión matemática.
1.2.2. Notación
La notación numérica es logográfica a diferencia de la escritura que es
fonográfica, mientras el dibujo es pictográfico.
El desarrollo cultural y su dominio individual son dos aspectos
indispensables para la evolución de la competencia matemática.
Basados en Hugues proponemos un desarrollo de la notación en tres
etapas:
Primera etapa: garabato, no se identifica ninguna asociación entre el
elemento gráfico y el elemento numérico.
Segunda etapa: biunívoca, en este período correlacionan el número de
unidades gráficas con el número de objetos. El grafismo empleado primero
es pictográfico (dibujo del objeto) y luego es icónico (signos). Si se le
pregunta que diga por escrito ¿cuántos bloques hay? en un grupo de tales
que se le proporciona, en la sub-etapa pictográfica los representa con
dibujos que semejan los bloques con indicación de la cantidad, forma,
posición y orientación de estos. En la sub-etapa icónica dibuja marcas con
correspondencias con los bloques y cada signo representa un bloque
distinto.
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Tercera etapa: simbólica, se subdivide según Stallard en cuatro subetapas: 1) Dominio de cifras simples; 2) dominio de operaciones sencillas
como 2+2= 4 (realización); 3) dominio de operaciones más difíciles como 4; 4+0=; ¿ + 3=5; 4) Dominio posicional: uso de cifras mayores como
3,405, etc.
1.2.3. Metamatemática
Se define como metamatemática a las ideas peculiares del niño sobre el
número. Hay dos teorías principales de carácter secuencial La primera
teoría investigada por Gelman asume los números como lo que se obtiene
al contar, el número se piensa como una propiedad de las cosas contables.
En esta teoría ni el cero ni las fracciones son números.
Para la segunda teoría el número es algo con lo que se realizan y a los
que se aplican operaciones matemáticas. En esta concepción cambia la
naturaleza del cero y de las fracciones. Wellamn y Miller investigaron las
ideas sobre el cero y señalaron tres estadios de progreso: el primero es de
familiarización y notación del cero independientemente de su comprensión;
en el segundo estadio comprende que el cero hace referencia a ninguno o
nada; en el tercer estadio comprende que es el número más pequeño de la
serie de enteros no negativos.
Karminoff-Smith investigó el desarrollo de las ideas del niño sobre las
fracciones: primero el niño identifica a las fracciones con el papel que los
enteros cumplen en las operaciones (sumará 1/2+ 1/4= 1/6). En una
segunda etapa comprende que los dos números implican la división entre
números distintos. Se va más allá del número en relación con lo real para
definirlo como relación entre números distintos. Luego va más allá del
número en relación con lo real para definirlo como pura relación entre
números.
2. DESARROLLO OPERATORIO
2.1. Las operaciones intelectuales
Piaget definió las operaciones como acciones simbólicas, interiorizadas
y reversibles. El desarrollo de las operaciones significa:
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a) diferenciación simbólica entre significantes y significados; b)
restricciones lógicas al operar conscientemente con los símbolos y c)
desarrollo del pensamiento verbal.
Los niveles piagetanos de operaciones intelectuales son:
Etapa preoperatoria (2-7 años): existe la diferenciación significantesignificado, pero sin restricciones lógicas.
Etapa lógico-concreta (7-12 años): operaciones en el plano de las
representaciones, estructura el presente en función del pasado sin las
deformaciones, dislocaciones ni contradicciones del niño preoperatorio.
Etapa lógico-formal (12-16 años): operaciones sobre lo posible
configurando lo real como uno de sus casos. Frente a un problema se
preveen todas las relaciones de posible validez y luego se determina por
experimentación y análisis lógico cuáles de las relaciones posibles tiene
validez real. Es un pensamiento hipotético-deductivo, proposicional y
probabilístico.
Según Piaget las principales características de las operaciones son:
•
•
•
•
Transformaciones de los símbolos en forma interiorizada y reversible
configurando estructuras y sistemas de procesamiento (razonamiento).
Aprehensión simultánea simbólica e interna de una síntesis única de
una serie completa de hechos separados.
Reflexión sobre la organización de los propios actos: carácter
contemplativo, no sólo activo.
Independización más allá de los actos presentes y de los objetos
concretos del entorno real: transición a manipular simbólicamente
entidades no tangibles.
2.2. Nivel preoperatorio o preconservante
En términos piagetanos es el niño preconservante de cantidad, con
dificultades para conservar la cantidad de líquido, las discontinuidades
espaciales en correspondencia y otras transformaciones geométricas y
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numéricas. Al final de esta etapa se desarrollan las primeras operaciones
intuitivas de conservación de la cualidad y de función orientada.
2.2.1. Transformaciones numéricas
Correspondencias biunívocas. Dificultad entre los cuatro a seis años para
poner en correspondencia objetos como flores y floreros, verificándola al
poner la flor dentro del florero. Los pequeños la descubren por la relación
contenido-continente.
Relaciones de equivalencia. Dificultad para establecer la correspondencia
con F1 (flores del experimento del párrafo anterior) con F2 (un nuevo
conjunto de flores), después que se ha trabajado sólo con F2 igual F" pero
de diferente clase y en los mismos floreros.
Adición de clases. Experimentos en los cuales se muestra un conjunto de
bolas de madera con más bolas rojas que blancas. Dificultad para responder
si hay más bolas rojas o de madera.
Composición aditiva (4+4= 7+1): Experimentos del tipo: si un día come
cuatro galletas en la mañana y cuatro en la tarde, al día siguiente le dan
igual cuatro, para la mañana y cuatro para la tarde; pero no tiene hambre y
deja tres para la tarde; ¿ha comido igual los dos días?
Correspondencia ordinal. Diez muñecos y diez bastones de tamaño
graduado de mayor a menor en desorden, debe darle a cada muñeco el
bastón suyo para que pueda salir a pasear. Comparación global del niño, sin
seriación ni correspondencia biunívoca.
Conservación de la cantidad. Esta puede ser continua o discontinua. Se
explora por correspondencias entre el contenido de una botella y en
contenido vaciado en vasos uno alto y el otro ancho.
2.2.2. Transformaciones geométricas
Construcción de la medida. Construir una torre igual a otra de 80 cms.
Hecha de cubos, sobre una mesa casi un metro más baja que la del modelo.
Fracasa, su copia es sumaria, imperfecta y sin análisis.
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Conservación de la longitud. Si bien son buenos perceptores al
taquitoscopio de segmentos desplazados. cuando a nivel representacional se
desplaza una varilla, implica un cambio de evaluación: uno u otro se hace
más grande o más chico.
Lugares geométricos. Se le propone materializar en dibujos que elija, la
posición de sus camaradas de juego lanzando una pelota a un centro común
que esté igual de lejos para todos en un círculo.
Geometría del espacio. Parte de referir todos los puntos del espacio a un
punto de vista único y propio. Sobre una maqueta se le pregunta por
posiciones próximas o cercanas desde perspectivas diferentes a las propias.
2.2.3. El problema de la conservación y
teorías explicativas
El problema de la conservación puede plantearse así: ¿cómo los niños
muy pequeños que ya poseen numerosidad, cuentan y poseen principios
para hacerlo y, además comprenden la cardinalidad, sin embargo fallan en
la conservación? Se han elaborado tres teorías importantes:
a) Teoría de Piaget: los niños no tienen un conjunto de principios
numéricos explicativos.
b) Teoría de Gelman: falta la representación abstracta (algebraica) de
razonar sobre relaciones numéricas sin representación concreta.
c) Teoría de Karmiloff-Smith: se debe a un proceso de redescripción que
pasa de la conservación embutida en el recuento a hacerla explícita en la
actividad de contar, es decir extraerla para utilizarse con cantidades sin
especificar.
2.3. Nivel lógico concreto
Se desarrollan de siete a doce años operaciones capaces de manejar
representaciones bajo restricciones lógicas. Estas operaciones son las de
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clasificación jerárquicas, seriación ordenada y conservación de invariantes
(cantidad, peso y volumen).
2.3.1. Operaciones aritméticas
Consisten en el grupo aditivo de números enteros con composición (1 +
1= 2; 2+3= 5; etc.); asociatividad [(1 + 1)+ 1 = 1 +(1 + 1 )]; inversos (-1; 2); identidad (0); iteración (1+1= 2; 2+1= 3; etc.).
El otro grupo es el multiplicativo de números enteros con composición
(2x 1 = 2; 3x2= 6; etc.), asociatividad [(1 x2)x3= 1 x(2x3)]; inverso ( (1;
(2); identidad (1).
El grupo es un sistema de transformaciones con composición,
asociatividad, reversibilidad (inversión) e identidad. La interacción
convierte a los elementos lógicos intensivos en cuantificables.
2.3.2. Operaciones métricas
Es la medición de relaciones partes a todo, en la que las partes se
convierten en unidades iterables a las que se aplican números. Depende de
operaciones infralógicas que son operaciones lógicas aplicadas a los
objetos y a las relaciones espacio-temporales de sus partes, en virtud de lo
cual: 1) el objeto es una entidad única, sus partes no permanecen ni
independientes ni separadas cuando componen un todo; 2) la constitución
del objeto requiere proximidad de sus partes; 3) sus operaciones
constitutivas son síntesis y partición que se corresponden con adición y
sustracción de clases. En las operaciones métricas se aplica la lógica de la
cuantificación al mundo físico. Los niños avanzan en la medición usando
primero su cuerpo como medida común, para luego usar objetos
independientes.
2.4. Nivel lógico formal
Las operaciones concretas tienen, como punto de partida lo real.
Están ligadas al aquí-ahora, son como "islotes funcionales" que no
configuran un sistema por el que ante un problema el niño pueda pasar de
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una estructura operatoria a otra. En cambio, las operaciones lógico
formales elaboran lo potencial y posible como distinto de lo real; se
desarrollan estrategias hipotético-deductivas y las entidades más
importantes en el razonamiento no son las representaciones de objetos y
hechos concretos sino el pensamiento proposicional, generado a partir de
las vinculaciones lógicas entre las proposiciones resultantes de las
operaciones concretas. Estos vínculos interproposicionales son implicaciones, conjunciones, disyunciones, identidades, etc. Son operaciones
de segundo grado, operaciones sobre operaciones.
Las propiedades del nivel lógico formal en términos piagetanos son la
combinatoria intraproposicional que consisten en la red de dieciséis
combinaciones posibles dado A= niños aprobados, y B= niñas aprobadas
(A; B; AB; AB; AB; etc.). La otra propiedad es la de las transformaciones
interproposicionales del grupo INRC (identidad, negativa, recíproca y
correlativa). El sistema aplicado al mundo físico de aumentar viscosidad
(I) o disminuir peso (C) para resistir el desplazamiento de un pistón se
completan con sus negaciones respectivas: disminuir viscosidad (N) y
aumentar pero (R), constituyendo un grupo de transformaciones
interpreposicionales.
2.4.1. Esquema de combinaciones El experimento tiene tres etapas:
a) Se proporcionan cuatro frascos semejantes con líquidos inodoros e
incoloros, son: 1) ácido sulfúrico diluido; 2) agua; 3) agua oxigenada y
además 4) una botella con cuentagotas y con yoduro de potasio.
b) Se le presentan dos vasos al sujeto. El primero tiene 1+3; el segundo
tiene dos. Le echa g al primero (1+3+g) que da un color amarillo. Le echa
g al segundo (2+g) que no cambia de color. El yoduro en (1 + 3 + g) es
oxidado por el agua oxigenada en un medio ácido, lo que produce el color.
En el segundo (2+g), el agua es neutra y su mezcla no cambia el color. Si
se añade d a (1+3+g)+4 lo decolora. El niño debe repetir la experiencia de
mezclar dando color amarillo.
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c) El sujeto preformal no agota las combinaciones. El sujeto formal las
realiza en orden. Ej.: (2+g); (1 +g); (3+g) y (4+g). Luego pasa a (1 +2+g);
(1 + 3+g); (1 +4+g); (2+ 3+g); (2+4+g); (3+4+g). En seguida pasa a probar
combinaciones con tres frascos y el grupo total. A pesar del resultado (1
+3+g), trata de agotar todas las combinaciones para explicar el resultado.
2.4.2. Esquema de proporciones
En condiciones de experimentos como los del pistón, peso y viscosidad
del líquido se tiene la relación proporcional I/R = C/N. Si I = P; R = q y
N = p; entonces se tiene p/q = q/p, Y en consecuencia p v p = q v q.
2.4.3. Esquema de correlaciones
Se plantea el problema de la correlación entre color de ojos y color de
cabello, en el que:
a = ojos azules y cabellos rubios (p.q)
b = ojos azules y cabellos negros(p.q)
c = ojos negros y cabellos rubios (p.q)
d = ojos negros y cabellos negros(p.q)
Sólo si (a+d) es mayor que (b+c) en función de la totalidad de
posibilidades existe la correlación, que será mayor cuanto mayor sea la
diferencia a+d > b+c.
2.4.4. Esquema de distribución
Corresponde a la distribución de Gauss a través del experimento de
lanzar bolitas por un orificio central a cuatro cajas planas inclinadas, cuya
parte inferior se divide en dos, tres, cuatro o 18 casilleros y la parte
superior tiene una abertura central en forma de embudo.
El niño debe prever la distribución. El preformal sólo prevee
distribución uniforme en general, y nunca la simetría de los casilleros
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externos. Puede predecir el mayor número en el casillero central. El niño
formal anticipa distribución en campana y equilibrio en casilleros externos.
3. PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO
El cálculo es el conjunto de algoritmos y procedimientos
computacionales mediante los que se manipulan los números y sus
símbolos.
3.1. Precisión
Los errores en el cálculo pueden ser de dos tipos: a) en la tarea meta se
aplican procedimientos incorrectos y b) en las subdestrezas prerrequisitos
hay falta de habilidades pertinentes. Los errores se evalúan de la siguiente
manera:
a) Tomar prestado de cero: 103-45= 158.
b) Saltar la columna correspondiente para tomar préstamo, tomando de
la siguiente: 503-114 = 299.
c) O-N= N, cuando el dígito de arriba es cero se pone en la diferencia el
de abajo N.
d) O-N= O, cuando el dígito de arriba es cero se pone en la diferencia
cero.
e) N-O= O, cuando el dígito de abajo es cero se pone en la diferencia
cero.
3.3. Falta de habilidades previas
a) Los errores que sólo se dan en la tarea-meta se deben a procedimientos
incorrectos.
3.3.1. Análisis de tareas lógicas
b) Los errores que se dan conjuntamente en habilidades previas y tareameta son falta de conocimientos prerrequisitos.
Es preguntarse ante una tarea: qué tiene que saber hacer una persona
para resolver correctamente esta clase de tareas suponiendo que sólo se le
proporcionan instrucciones. Identificadas las habilidades prerrequisito a
ellas también se les puede aplicar un análisis de tarea lógico, avanzando a
un segundo nivel de análisis. Los datos empíricos señalan que es muy
común que este segundo nivel sea el que falle.
3.2. Procedimientos incorrectos
3.2.1. Los errores como fuente de datos
3.3.2. Habilidades pertinentes, tiempo de aprendizaje y nivel de
competencia
Deben verse los errores no como señal de falta de inteligencia, sino
como fuente de datos y ayuda para comprender la naturaleza del
desempeño. Deben elevarse estos a un nivel metacognitivo generando la
conciencia de los errores como producto de una secuencia incorrecta o
incompleta; el conocimiento procedimental nuevo generado así será más
independiente.
Trabajos de Gagné y Paradise encontraron que la correlación entre las
habilidades pertinentes y el tiempo de aprendizaje con el nivel de
competencia eran de .78 y .82. Una medida de inteligencia general
(vocabulario) tenía una correlación de .18 y .22, con tiempo de aprendizaje
y nivel de competencia.
3.2.2. Errores en la resta (un ejemplo)
3.4. Cálculo eficaz
Son de dos tipos: a) inversión de la diferencia cuando se resta siempre
de la cifra mayor, ej.: 62-39= 37; y b) el manejo del cero que produce las
mayores dificultades, entre ellas:
3.4.1. Almacén declarativo
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Al inicio del aprendizaje el almacén puede ser declarativo, aún no se
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ha procedimentalizado por lo que el trabajo es lento e impreciso.
3.4.2. Números de pasos
•
En la suma los niños pequeños usan primero iteración (+ 1); la de los
mayores recupera información pertinente de la MLP, lo que la hace más
eficaz. Hay cinco procedimientos iterativos:
a)
b)
c)
d)
e)
Contar ambas cantidades, es el más eficaz.
Contar desde el primero sumando.
Contar desde el segundo sumando.
Contar desde el número menor.
Contar desde el número mayor, es el más eficaz.
3.4.3. Procedimientos compuestos
Los matemáticos hábiles configuran los diversos pasos de cálculo como
un sistema de producción reduciendo el número de ellos. Se encontró en
estudiantes expertos un promedio de 2.7 pasos y en los principiantes uno
de 3.7.
3.4.4. Estimaciones
Las estimaciones son aproximaciones tentativas a los resultados. su
función es el actuar conjuntamente con el cálculo y al llegar con ambos
procedimientos a resultados similares, servir de comprobación del cálculo
hecho. Las grandes discrepancias (no las pequeñas) señalan error. Las
estrategias de estimación son tres:
a) Reformulación, redondear números para hacerlos manejables.
b) Traducción, modificar la estructura del planteo por otra, ej.:
492+504+487= 500x3.
c) Compensación, ajustes en una dirección que se equilibran con
ajustes en otra.
3.5. Papel de la memoria
3.5.1. Papel de la memoria de largo plazo
La memoria de largo plazo cumple tres roles fundamentales:
25
•
•
Integración de la representación (Larkin): es como se conectan y
relacionan entre sí los conceptos en forma rica y ordenada. Se explora
por asociaciones sobre el tema, con ráfagas asociadas a un concepto
organizador: el experto produce bloques de ítems, el inexperto los
recupera al azar.
Correspondencia con tema: debe haber un ajuste entre las ideas del
sujeto sobre el tema con la estructura del contenido y la estructura de
los expertos (libros de texto y enseñanza). Se usan para estimarla
métodos de asociación de palabras, agrupación de tarjetas y tests
gráficos.
Grado de conexión: relaciones del tema con otros conocimientos de la
persona. Se estiman a partir de actuaciones y entrevistas. Por ejemplo
el dominio de la resta implica conexiones con el conocimiento del
valor posicional de las cifras.
3.5.2. Papel de la memoria de corto plazo
Siegel y Ryan compararon niños con problemas de lectura, con
transtomos de atención y con dificultades especificas de mátemáticas.
Todos tenían dos tareas, una verbal y otra numérica. La primera era decir
las palabras que faltaban en frases. La segunda era identificar puntos
amarillos, en tarjetas distribuidas al azar, entre puntos azules. Luego de
cada tarea debían decir las palabras y los números respectivamente y en el
mismo orden. Los niños con dificultades específicas tenían puntuaciones
bajas sólo en la tarea numérica y no en la verbal.
4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Los problemas matemáticos exigen para ser resueltos "comprensión
matemática", es decir saber cuando hay que utilizar un procedimiento u
otro para solucionarlo. Es una utilización flexible y apropiada de los
sistemas de proposiciones y producciones: este conjunto se denomina
"organización del conocimiento".
Según Loftus y Suppes las variables de dificultad de un problema son
las siguientes:
26
Raúl González
Psicología educacional
a)
b)
c)
d)
e)
Número de operaciones necesarias.
Relación de los procedimientos del problema con el anterior.
Longitud léxica del enunciado
Complejidad gradual del enunciado.
Conversión de unidades de medida.
4.1. Organización del conocimiento
La organización del conocimiento específico influye en la solución de
problemas de un campo dado porque guía la búsqueda de solución. Una
solución rápida y precisa depende de la organización del conocimiento
(DDC). Esta es como un mapa cognitivo de un área determinada.
4.1.1. Estructura asociativa
La ODC de los expertos es muy similar con la estructura aceptada de un
área de estudios. Se puede investigar por asociaciones libres a partir de los.
términos claves del área. Por ejemplo, Gagné estudió las asociaciones libres
(5) a los términos sumar, restar, multiplicar y exponente. Los conceptos de
suma y resta están más próximos entre sí que con el concepto exponente,
pero sumar está más cerca de exponente que restar.
4.1.2. Asociaciones post-estudio
Greeslin y Shavelson exploraron las asociaciones antes de estudiar (pretest) y dos semanas después (post-test) y dos semanas después (retención).
En el post-test y la retención el grupo experimental alcanzó una ODC
similar a la del texto.
4.1.3 Enunciados narrativos
Silver pidió a los sujetos ordenar 16 problemas en grupos relacionados
matemáticamente. Los problemas tenían dos clases de relaciones: por el
contenido al tratar de igual tema como por ejemplo la agricultura; la otra
relación era el proceso: se tiliza el mismo procedimiento matemático de
27
solución. Luego sobre la base de solución a 12 de esos problemas se
dividió a los sujetos en buenos, medios y malos solucionadores. Los
buenos clasificaron los problemas casi totalmente por el proceso y los
malos los clasificaron con ligero dominio por el contenido. Los medios
también los clasificaron por el proceso.
4.2. Procesamiento cognitivo
El procesamiento cognitivo implica a qué se le presta atención y qué se
recuerda. Atender y recordar son dos aspectos claves del procesamiento
cognitivo.
4.2.1. La atención
Robinson y Hayes estudiaron la diferenciación de los aspectos
relevantes de un problema. Los buenos estudiantes se desempeñaron de la
siguiente manera:
•
•
•
•
Los segmentos relevantes de los enunciados fueron identificados como
tales en mayor proporción que los irrelevantes (90-20 %).
Si la pregunta se ubica al inicio del enunciado es más probable
identificar a la primera lectura los aspectos relevantes, que si se pone al
final: la pregunta es orientadora.
En la segunda lectura sólo mejora la performance en los que habían
leído la pregunta al final..
Aspectos irreleventes no matemáticos en ese contexto son más
proclives a la confusión.
4.2.2. La retención
Mayer descubrió que los estudiantes recordaban mejor los aspectos
relevantes de los problemas que más frecuentemente aparecen en los textos.
Los estudiantes recordaran mejor las Proposiciones de asignación (dar un
valor numérico a una variable, ej.: el camión partió a las 13 horas) que las
proposiciones de relación (describir con un valor numérico la relación
entre dos variables, ej. un segundo camión viaja a la velocidad de 15 kms.
Hora más que el primero. Las proposiciones de asignación son el
28
Raúl González
Psicología educacional
61 % de los enunciados de los problemas, las proposiciones de relación
son el 11 % en los textos. El 29 % de proposiciones de relación se olvidan,
frente a sólo el 9 % de preposiciones de asignación.
4.3. Solución de problemas
Siguiendo a Resnick estudiaremos cuatro secuencias básicas: representación del problema, datos del problema, instrucciones del problema y
soluciones del problema.
4.3.1. Representación del problema
El sujeto identifica y codifica las características del problema para
hacerlo interpretable por los mecanismos de procesamiento. Forma
representaciones estableciendo vínculos entre el planteamiento del
problema y su propia red semántica y procedimental (matemática y
espacial); participan aquí las habilidades lingüísticas generales, el
conocimiento del vocabulario matemático y las imágenes que traducen
icónicamente las características del problema.
4.3.2. Datos del problema
Se denomina entorno de la tarea pues comprende los elementos
disponibles y que son percibidos. Suscitan información específica e
inspiran procedimientos determinados. El entorno también puede dar lugar
a errores porque los datos orientan mal a la solución. Este proceso se
adecua al encarrilamiento o fijación funcional de la Gestalt.
4.3.3. Instrucciones del problema
Activan esquemas representacionales en función del modo como se
propagan. Katona experimentó con tres instrucciones diversas para
recordar un número largo: darlo en las centenas que lo componen (tres
cifras), insertarlo como PBI de la nación y proponerlo como una serie
numérica. Activó tres tipos de estrategias con diferente eficacia cognitiva.
Las
instrucciones
que
facilitan
representaciones
ricas,
29
inspirando el suso de conceptos pre-aprendidos, tiene un efecto diferente al
de instrucciones para ejecutar rutinas ejercitadas.
4.3.4. Soluciones del problema
Una vez representado un problema, éste puede ser resuelto
algorítmicamente o no. En el primer caso la representación adecuada es el
paso más importante, pues sólo queda aplicar los procedimientos. Si la
representación no tiene solución algorítmica directa es fácil generar
soluciones falsas y erradas; en este segundo caso el sujeto podrá resolverlo
sí: a) detecta la no aplicabilidad de las rutinas que conoce; y b) desarrolla
estrategias para localizar información pertinente o reconstruir lo que falta a
partir de elementos asociados entre sí. Las estrategias son:
Generación y ensayo. Recorre la lista de elementos candidatos que se
ajustan a un criterio, el cual define lo que hace falta hasta encontrar uno
que los satisface.
Empleo de subobjetivos. Reformula objetivos parciales que avancen l-n
dirección del objetivo final y resuelve primero los parciales. Los expertos
son más hábiles en esta estrategia: sus subobjetivos son resolubles. En esta
estrategia las pistas que se ofrecen son entendidas en función de la
representación que del subobjetivo como problema tiene el sujeto.
5. PSICODIDÁCTICA NUMÉRICA
La psicodidáctica numérica o algorítmica se orienta a la matemática
tradicional y a sus componentes de cálculo, problemas y aplicaciones. Se
divide generalmente en cursos de Aritmética, Algebra, Geometría y
Cálculo. En la educación básica se orienta al dominio de las operaciones
con números, sus mecanismos y las tablas correspondientes. Estudia y
ejercita problemas modélicos de aplicación. Pueden distinguirse en esta
psicodidáctica tres estrategias de enseñanza-aprendizaje: ejercicios de
Thorndike, acumulaciones de Gagné y rutinas de Resnick.
30
Raúl González
Psicología educacional
5.1. Los ejercicios de Thorndike
sólo resolver con precisión el 100% de listas de problemas.
Se fundamenta en la ley del efecto descubierta por Thorndike en sus
investigaciones sobre aprendizaje por ensayo y error, consistente en
conexiones entre situación y respuesta. Si la conexión se acompaña de un
estado satisfactorio aumenta su fuerza, si el estado es poco o nada
satisfactorio entonces disminuye.
5.2. Las acumulaciones de Gagné
5.1.1. Aplicación educativa
El propósito pedagógico es establecer los vínculos y hábitos necesarios
para el cálculo y los problemas. Debe analizarse los temas educativos para
establecer el inventario de conexiones necesarias, cada una de las cuales
debe recibir tratamiento pedagógico.
Las conexiones o vínculos pueden ser de dos tipos: propedéuticos y
cooperativos. Las conexiones propedéuticas son utilizadas sólo para
facilitar nuevos aprendizajes y deben ser temporales; por ejemplo,
multiplicar 5 X 4, sumando 5, 10, 15, 20, que deberá ser sustituido por 5 X
4 = 20. Las conexiones cooperativas son vínculos organizados subyacentes
a operaciones largas y complejas, que requieran para ser adquiridas una
práctica progresiva y cuidadosa.
En el aprendizaje acumulativo de Gagné las tareas sencillas funcionan
como componentes de las más complejas, permitiendo al aprender las
sencillas transferir el aprendizaje a lo complejo. Las tareas se ordenan en
una jerarquía de aprendizaje aplicable a todo conocimiento. Esta jerarquía
abreviadamente consta de: a) resolución de problemas, que requieren como
requisitos b) reglas, principios y conceptos definidos, que requiere c)
conceptos concretos, que requiere d) discriminaciones, que, finalmente
requiere e) conexiones E-R.
5.2.1 Elaboración y validación de jerarquías
Los vínculos se crean ofreciendo cantidades de ejercicios adecuados en
orden apropiado para cada tipo de tema, progresando de lo sencillo a lo
complejo. Buswell demostró que pequeñas cantidades de ejercicios
frecuentes son mejores que largas concentraciones. Los ejercicios aislados
pueden asentar lo recién aprendido y corregir respuestas equivocadas.
Se realizan por un análisis racional de tareas; se identifican las
destrezas y conocimientos esenciales, jerarquizados y configurados de
arriba-abajo, necesarios para aprender una capacidad. Al análisis del primer
nivel de prerrequisito y así sucesivamente. Se ignoran los requisitos más
elementales. Hay que identificar claramente el objetivo final, el punto de
partida y los pasos intermedios.
Las jerarquías se validan por los procedimientos: a) escalamiento,
medido por el dominio de los prerrequisitos con los signos + y -. Luego se
ordena a los estudiantes por rendimiento en la tarea. Debe generarse una
escala Guttman; b) entrenamiento, ejercitado en los prerrequisitos él un
grupo experimental, su rapidez y calidad de aprendizaje debe ser mejor que
el del grupo control similar, pero sin entrenamiento.
5.1.3. Críticas al modelo
5.2.2. Aplicación educativa
5.1.2 Papel de la práctica
Bronwell criticó en su momento a Thorndike por no tener en cuenta:
a) que hay diferencias cualitativas entre los cálculos del niño y los del
adulto: el niño asume procedimientos propios; b) que el objetivo educativo
es desarrollar la capacidad de pensar matemáticamente y no
31
Hay dos condiciones para el éxito de la acción educativa: dominio de
secuenciación de la enseñanza: a) dominio de
prerrequisitos y
prerrequisito: el aprendizaje solo puede iniciarse cuando se conoce las
tareas previas que saben y dominan los educandos; b) secuenciación de
la enseñanza: es la aplicación del ordenamiento de la enseñanza de la
jerarquía de aprendizaje y el análisis de tareas. Las jerarquías
32
Raúl González
Psicología educacional
específicas deben ser probadas empíricamente. Son un mapa para la
secuencia de enseñanza.
5.3. Rutinas de Resnick
Esta psicodidáctica está centrada en los pasos mentales necesarios a dar
para resolver una tarea: son las exigencias a la memoria y a las habilidades.
La secuencia de pasos mentales es una rutina.
5.3.1. Identificación de rutinas
Son dos los procedimientos para identificar las rutinas: el análisis
hipotético y el análisis de tarea:
a)
El análisis hipotético es un análisis racional de los procesos y la
elaboración de un diagrama de flujo. Ej.: para el conteo de objetos
móviles que se pueden tocar y mover a voluntad hay el siguiente
diagrama de flujo:
A
Extraer
un
objeto
del
conjunto y decir
la cifra uno
B
Extraer
un
objeto
del
conjunto y decir
la cifra : dos,
tres, …etc..
C
¿Existen
más
objetos en el
conjunto?
Si
No
D
Declarar que la
última
cifra
corresponde al
número
del
conjunto
En esta tarea no se usa necesariamente la memoria (los objetos contados
pueden ser separados). Si los objetos no pueden moverse hay una tarea
adicional: recordar los objetos tocados pero no movidos.
b) El análisis de tareas se concreta en tres procedimientos básicos: tiempo
de reacción, análisis de protocolos y problemas en contexto. En el análisis
por tiempo de reacción hay que hallar los diferentes tiempos por tareas y
por soluciones iguales con diferente estrategia. Por ejemplo, en suma hay
tres posibles estrategias: contador se pone en cero, contador parte del
primer número, y contador parte del número mayor. Los resultados
demuestran la inversión de más tiempo con la primera estrategia y de
33
menos tiempo con la tercera. En el análisis de protocolos se pretende
identificar procedimientos y errores. Los protocolos son registros lo más
completos posibles de lo que hace el sujeto al resolver un problema. Hay
gran cantidad de estrategias poco ortodoxas. Los buenos matemáticos usan
algoritmos, los malos cometen errores. Estos no son causales sino
sistemáticos, derivados de su falta de comprensión. Finalmente el análisis
por programas en contexto somete a comparación programas de
computación con análisis de protocolos. Se ha descubierto que frente a los
programas por ejemplo algebraicos (Bobrow) en los que la computadora
primero divide el problema en frases, segundo traduce las frases a términos
algebraicos, tercero escribe con ellos ecuaciones y las resuelve, el sujeto
humano tiene dos variantes: una, el conocimiento amplio de equivalencias
de frases; y otra, el uso de representaciones físicas de las que extrae
información pertinente.
5.3.2 Aplicaciones educativas
La enseñanza debe orientarse al dominio de rutinas con comprensión de
la naturaleza sistemática del algoritmo para su uso significativo. Debe
superarse la incomprensión de los procedimientos y porque los errores no
son casuales deben analizarse e identificarse las rutinas defectuosas usadas.
La enseñanza debe ajustarse a las dificultades individuales y respetar las
estrategias propias si son matemáticamente correctas y llevan a soluciones
correctas. Debe insertarse en los siguientes aspectos educativos:
a) Doble codificación: tanto verbal como icónica, no sólo de problemas
físicos sino de cantidades.bbb
b)
Automatización: el dominio incompleto de las rutinas (ej. las tablas)
genera mucho error por sobrecarga de la memoria en el procesamiento.
Si se trabaja con currículo en espiral y no se registra en la memoria
desde el inicio valores numéricos y algoritmos pertinentes y la práctica
es escasa, habrán dificultades posteriores si ese dominio es incluido
después como componente de tareas más complejas.
c) Transiciones en competencias: desde los procedimientos que utiliza el
propio estudiante debe apoyarse mejores rutinas y estrategias,
34
Raúl González
Psicología educacional
enseñándolas y fomentando la invención de rutinas más eficientes.
d)
Conexión de relaciones: la memoria semántica no sólo debe asociar
ítems sino relacionarlos o con más exactitud multirrelacionar los
diversos componentes de dos o más redes semánticas entre sí.
e) Objetivos cognitivos: las redes semánticas deben concretizar objetivos
cognitivos ampliando la estructura del conocimiento además del
rendimiento o conducta. Los objetivos deben centrarse en
conocimiento y procedimientos; para especificarlos deben tenerse en
cuenta los siguientes aspectos: conceptos de la estructura del
contenido, pautas bien estructuradas del conocimiento y por último,
información empírica derivada de las estructuras del conocimiento de
los expertos.
f) Enseñanza de problemas: debe ser un eje en la enseñanza cuidando,
primero de dar conocimientos maximizando vínculos entre
conocimientos bien estructurados y procedimientos; segundo tener en
cuenta que los datos o entornos del problema son el estímulo primario
para procesar la solución; tercero, diseñar estrategias concretas de
solución de problemas, enseñando a anticipar y visualizar las posibles
diversas vías de acción antes de definir y proceder por una de ellas.
6. PSICODIDÁCTICA CONJUNTISTA
La psicodidáctica conjuntista, estructural, lógica simbólica o algebraica está
orientada al dominio de las estructuras algebraicas fundamentales de la
matemática moderna. Sus partes son: el álgebra de conjuntos con temas
como las operaciones entre conjuntos: disyunción, unión, etc., las
relaciones entre elementos del conjunto, tales como: funciones, productos,
y equivalencia; y las estructuras de los conjuntos tales como grupo, anillo,
reticulado y sus propiedades de transformación y composición: los nuevos
conceptos de la matemática moderna tienen un amplísimo rango de
35
generalidad y un alto nivel de abstracción, estas propiedades le conceden
mayor rigor lógico, un alto nivel de exigencia intutitiva y formalista y en
consecuencia, según sus defensores, una mayor capacidad para reconocer
por "tacto" lo relevante e importante matemáticamente. Sus detractores se
basan en esas mismas características para criticar sus dificultades de
aplicabilidad.
Son tres las psicodidácticas que se han orientado preferentemente a la
matemática moderna: la comprensión de Gestalt, el descubrimiento de
Bruner y el constructivismo de Dienes.
6.1. La comprensión de la Gestalt
Los conceptos fundamentales de la Gestalt con relevancia para las
matemáticas son los de forma, insight y pensamiento productivo.
a) Forma (Wertheimer): el perceptor aporta a la percepción la
configuración, que es más que la simple suma de elementos bajo las reglas
de la pregnancia o buena forma.
b) Insight (Kohler): intelección súbita de una situación problema que
reorganiza la situación en forma repentina y espontánea. Procede de la
reestructuración de los elementos del problema que se ven en un nuevo
contexto. Son famosos los experimentos realizados por Kohler con
chimpancés.
c) Pensamiento productivo (Duncker): elaboración nueva, no
reproductiva ante un problema. La solución productiva no es tan sólo un
paso a partir del planteamiento del problema. Inicialmente surge el
principio o valor funcional de la solución. Este principio se logra
concretizar más y más. Las propiedades generales o esenciales de una
solución son anteriores a las específicas: éstas se derivan de aquellas.
6.1.2. Aplicaciones educativas
a) Aprendizaje comprensivo. Orientar al sujeto al descubrimiento de los
principios, estructura o relaciones subyacentes es mejor que un aprendizaje
sin sentido: mejora la atención, la transferencia y la capacidad de
reconstruir la solución. Katona esperimentó con números de trece cifras
frente a las que los sujetos podían asumir tres tareas.
36
Raúl González
Psicología educacional
Primera: repetir tres veces el número por grupo de tres cifras (centenas).
Segundo: recordarlo como PBI del país. Tercera: aprenderla como una
serie numérica. El mejor resultado a la semana, pues todos los grupos
pudieron recitarla inmediatamente, fue el del grupo tercero que recordaba
perfectamente la serie porque había descubierto la ley de su formación para
aprenderla. El segundo grupo recordaba la cifra aproximada del valor PBI.
El tercero no recordaba nada.
b) Facilitación del insight (Polya). Consiste en dar pistas y apoyos para
descubrir las estructuras subyacentes cuando se trabaja un problema: son
heurísticos orientados a cuatro estrategias secuenciales. Primera:
comprender el problema, identificar datos e incógnita. Segundo:
desarrollar un plan hacia la solución estableciendo las relaciones entre
datos e incógnita usando problemas relacionados, replanteamiento, rodeos,
etc. Tercero: ejecutar el plan comprobando la corrección de cada paso.
Cuarto: examinar la solución obtenida y su congruencia con los datos y la
incógnita.
6.2. El descubrimiento de Bruner
Las siguientes son las dos características esenciales del aprendizaje por
descubrimiento: a) es producido por una indagación activa ante un
problema cuya solución genera un conocimiento más profundo y completo,
y b) debe reconocerse la situación y activarse los recursos cognitivos
necesarios para procesar un producto que la satisfaga.
Según Glazer tiene características de aprendizaje inductivo por ~r de los
ejemplos a las reglas. También se ha señalado que es un aprendizaje con
errores, porque el sujeto agrega su propia estructura a la secuencia
instructiva propuesta. Debe orientársele a sacar provecho de sus errores y a
reducir éstos al mínimo posible.
6.2.1 Principios del descubrimiento Son cuatro los principios propuestos:
a) Principio de sencillez: todo problema o cuerpo de conocimientos
37
puede ofrecerse en forma sencilla como para que cualquier
estudiante determinado 10 pueda comprender en forma reconocida.
b) Principio de la representación: el conocimiento de un campo se
desarrolla ordenada y evolutivamente en una secuencia de formas
representacionales: enactiva, icónica y simbólica, es decir en
acción, imágenes y pensamiento verbal.
c) Principio del proceso: el descubrimiento estimula un modo de
aprender operando y anima al desarrollo de una concepción
matemática más como proceso que como producto.
d) Principio de la satisfacción: el descubrimiento es no intrínsecamente gratificante por lo que requieren formas extrínsecas de
premio.
6.2.2. Tipos de descubrimiento
Bigg propuso cinco tipos de aprendizaje por descubrimiento.
Reduciremos su propuesta a sólo tres tipos.
a) Fortuito y libre: es muy aleatorio y no garantiza aprendizaje.
b) Guiado: apoyado en función de la actuación del sujeto.
e) Dirigido y programado: es contradictorio a los mismos principios del
descubrimiento, no se puede garantizar su eficacia.
El aprendizaje por descubrimiento no es absolutamente generalizable y
exige altas condiciones profesionales y pedagógicas del profesor.
6.3. El constructivismo de Dienes
Está basado en los aportes psicoevolutivos de Piaget y de Bruner, y en
una concepción estructuralista de la matemática moderna.
38
Raúl González
Psicología educacional
6.3.1 Principios fundamentales
a) Principio dinámico: se supondrán primero juegos preliminares
estructurados y prácticos, dan la experiencia indispensable. En los
mayores puede hacerse juegos mentales.
b)
Principio constructivo en la estructuración secuencia! de los juegos
la construcción precederá siempre al análisis reflexivo. Este está
generalmente ausente hasta los doce años.
c)
Principio de variabilidad matemática: los conceptos con más de
una variable deben ser estudiados con experiencias que supongan el
manejo del mayor número posible de esas variables.
d)
Principio de variabilidad perceptiva: es una exigencia de concretización múltiple, la misma estructura conceptual deberá
presentarse en tantas formas perceptivas equivalentes como sea
posible.
6.3.2. Etapas didácticas
La didáctica constructivista se ofrece en un modelo cíclico, es una
secuencia en sus etapas, tres de ellas lúdicas y las otras tres
representacionales.
Las primeras etapas son lúdicas. La primera es de libertad:
manipulación libre de los materiales concretos y descubrimiento de sus
propiedades. La segunda es de reglas: con los mismos materiales inventa o
aplica reglas, debe hacérseles conscientes de los cambios de reglas. La
tercera es de comparaciones: se comparan los juegos reglados par a par,
encontrando semejanzas, diferencias, clases y tipos de juego.
Las últimas tres etapas son representacionales. La primera es espacial:
realiza diagramas o diseños con la estructura común a los tipos de juego. La
segunda es simbólica: determinación de un lenguaje para las propiedades
comunes a los juegos. La tercera es formalizada: organización de un
sistema ordenado de las propiedades de cada tipo de Juego.
39
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