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Un enfoque estratégico de cómo usar la información para
dar significado, crear conocimiento y tomar decisiones.
Control optimizante
para regulación del
consumo floculante en
espesadores de relaves
Por:
Reynaldo Mayorca Castillo y Giancarlo Sotelo Cabrera
ABB SA., División Process Automation Perú.
E
n el presente trabajo se desarrolla una estrategia de control optimal para la regulación de
la densidad de descarga y turbidez del agua
clarificada en una espesador de relave a través de
la dosificación eficiente de floculante. La estructura
de control presentada toma en cuenta los criterios
de desempeño que es una medida de la calidad del
comportamiento o evolución de las variables. Uno de
los criterios de desempeño utilizado es el de tiempo
mínimo, es decir, se busca la acción de control que
produzca la trayectoria tal que el tiempo en alcanzar la
referencia de densidad y turbidez sea el mínimo posible conllevando a un menor consumo de floculante.
Asimismo se atribuye una penalidad a las transiciones
de estado que se alejan demasiado de los valores de
referencia o setpoint, con lo cual se trata de satisfacer un error aceptable en alcanzar las referencias.
Para el desarrollo de la estrategia de control se han
obtenido modelos del sistema basado en la respuesta
transitoria a los cambios de flujo de floculante.
Los modelos han sido tratados para determinar las ganancias del controlador óptimo y se
realizan simulaciones para verificar su funcionalidad e implementación.
La optimización y control de sistemas
de espesamiento continuo sigue siendo un
problema vigente ya que la recuperación de
agua en plantas de procesamiento mineras,
el costo de los reactivos floculantes y de los
insumos son problemas actuales que se agudizarán en el futuro.
Es bien conocido el efecto de los floculantes en la velocidad de sedimentación del
sólido a diversas concentraciones de sólido
y cantidades de floculante. La experiencia ha
demostrado que hay numerosos espesadores
en muchas empresas mineras nacionales que
no operan en forma eficiente y que requieren, para mejorar su eficiencia, de un estudio de optimización. Este trabajo requiere el
estudio de los parámetros de espesamiento
de la pulpa, de la cuantificación de reactivos
floculantes y su adición, de la forma de alimentación y dispersión del floculante, de la
autodilución, de la forma de la descarga, de
la reología del sedimento y del funcionamiento de las rastras, así como de la medición de
variables como concentración de descarga,
de presión del fondo, de nivel del sedimento
y de turbidez de agua.
Las estrategias de control tradicionales
se basan en considerar la mayor cantidad
de variables que sea posible: densidad
de la pulpa de descarga, densidad y flujo
másico de la pulpa que ingresa, nivel de
sedimento, torque de la rastra, presión
en las paredes, turbidez del agua clarificada, etc. Se configuran y se prueban
controladores basados en las estrategias
de lazo cerrado PID y sus variantes, lógica
difusa y funciones de per tenencia, etc.
El presente trabajo presenta una estrategia basada en un controlador optimal.
la cual se obtiene mediante el uso de
modelos de respuesta dinámica dentro
de los parámetros de operación normal
de un espesador de prueba.
La estrategia LQR (Linear Quadratic
Regulator)
El controlador LQR es un control por realimentación del vector de estado de forma:
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Donde K es el controlador, que se obtiene resolviendo un problema de optimización, concretamente
minimizando el siguiente funcional de coste:
Donde la matriz Q penaliza el estado y R, la que
pondera el esfuerzo de control. La solución para el
caso de horizonte infinito puede calcularse a partir de
la resolución de la ecuación de Ricatti.
LQR se utiliza para calcular la realimentación de
estados llevando el sistema al punto de equilibrio.
LQI (Linear-Quadratic-Integral)
LQI calcula la matriz ganancia óptima dado un modelo
espacio estado y dado las matrices de peso Q, R y N.
Al emplear LQI, se realiza un control óptimo basado en
realimentación de estados a fin de llevar el sistema a
una referencia establecida
Gráfico N0 1:
Diagrama de Bloques de la estructura de
realimentación con LQI
x
+
r
e
-
-k
Integrador
u
SYS
y
Xi
La ley de control establecida para este lazo de control
es de la forma:
mineros. El tiempo necesario para que la suspensión
sedimente en su totalidad o en su defecto en un alto
porcentaje, es un factor determinante a fin de extraer
del relave, un alto porcentaje de agua en el menor
tiempo posible.
En síntesis, la cantidad de agua recuperada de
relave representa la cantidad de agua que podrá ser
reutilizada en procesos posteriores. El proceso de
sedimentación puede realizarse de forma natural (sedimentación natural); sin embargo, requiere un tiempo
considerable para sedimentar y, debido a ello, es necesario el uso de químicos a fin de acelerar la reacción
en la suspensión.
La dosificación de floculante al interior del espesador tiene la finalidad de acelerar la reacción de sedimentación al interior del espesador; sin embargo, el
uso del mismo, representa un alto costo que no genera
ganancias al sector minero; por lo tanto, es necesario
optimizar la dosificación del floculante en base a un
modelo de control óptimo, con la finalidad de obtener
un alto porcentaje de agua recuperada en el menor
tiempo posible y un menor costo de dosificación de
floculante.
En este punto es necesario especificar las variables
que afectan la dinámica del sistema a fin de optimizar
la cantidad de floculante a utilizar. En el Gráfico N°2
se muestra una vista general del proceso operativo de
espesamiento de relave.
La operación de espesamiento consiste en alimentar relave al espesador, midiendo densidad y flujo para
calcular el flujomasa y tonelaje de relave sólido. Las
variables de salida son la densidad de descarga en
el underflow y la turbidez del agua recuperada; otras
variables importantes son el torque de la rastra y el
bedmass. (ver gráfico 2)
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Gráfico N0 2:
Variables de proceso en la operación de
espesamiento de relaves.
Donde: K es un vector que contiene la ganancia
óptima y un integrador para cada estado. Este control
asegura que la salida realice un proceso de seguimiento a la señal de referencia “r”.
La señal de control “u” minimiza la función de coste:
Las matrices de peso S, N y R pueden seleccionarse para penalizar ciertos estados/entradas más
que otros. Como veremos, las matrices S y N deben
ser semi-definidas positivas, y la R definida positiva.
Modelo de la dinámica de espesamiento
Hoy en día la dinámica de sedimentación al interior de
un espesador es de vital importancia para procesos
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Desarrollo de los modelos DensidadTurbidez-Floculante.
Las consideraciones para la obtención del modelo se basan
en la continuidad de la operación del espesador y son:
• El proceso de espesamiento es continuo y la estrategia
de control óptima se desenvuelve a partir de condiciones operativas normales.
• Se cumple la fenomenología del proceso y las condiciones de mezcla entre el floculante y la alimentación son
perturbaciones que no están incluidas en el modelo.
• Para la densidad, el modelo es del tipo entrada-salida
por lo se considera la densidad de descarga del espesador y no el perfil de densidades.
• Para la turbidez, el modelo también es de entradasalida por lo que se considera la turbidez en el punto
de acopio de agua clarificada.
La dinámica descrita por cada variable en específico representa una respuesta al escalón, donde
la amplitud de inicio y la amplitud final del escalón,
cuantifican la variación de dosificación de flujo de floculante (m3/hr) a fin de llevar los estados a un punto
de referencia deseado.
Considérese el siguiente modelo de primer orden
descrito por Eq. 3.
Gráfico N0 5:
Modelo Integral de una solución BI
+
–
1500
Set Point
Densidad
Modelo discreto del sistema
K Ts
z-1
X
+
+
Inregrador discreto
Calculando los parámetros K, L, T de la Eq. 3. para las
variables densidad y turbidez respectivamente, se obtiene:
scope
-C-
• Modelo Densidad de descarga-Floculante:
-dki
-C-
underflow density
1580
1560
1540
1520
0
100
200 300
400
500 600
700
dosage flocculant
8
7
6
4
0
100
200 300
400
500 600
700
Gráfico N0 4:
Respuesta transitoria en lazo abierto de la turbidez
del agua clarificada al cambio de flujo de floculante,
turbidez (%), dosificación de floculante (l/min)
turbidity
40
10
dosage flocculant
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• Modelo Turbidez-Floculante:
Estrategia de control
La estrategia de control a utilizar comienza con el cálculo de ganancias óptimas con la finalidad de obtener
la trayectoria óptima de la señal de control a fin de
minimizar la dosificación de floculante.
R: matriz que penaliza la señal de control.
X1: Densidad de relave (g/l).
X2: Turbidez de agua clarificada (%).
K: Ganancia de realimentación de estado óptima.
Ki: Integrador.
Tabla Nº 1
R([X1,X2])
0
100
200 300
400
500 600
700
[5000;120000]
X1
X2
7
R([X1,X2])
[2000;90000]
6
0
100
200 300
400
500 600
700
X
La estrategia de control óptima se aplicará al sistema discretizado, por lo cual es necesario discretizar
el sistema antes de aplicar la estrategia de control. La
discretización del sistema se realizará por intermedio
de la herramienta de programación MATLAB.
X1
X2
8
4
Turbidez
Modelo discreto del sistema
R([X1,X2])
20
X
Ganancia de realimentación óptima del sistema Densidad
[5000;90000]
30
2.2
-dk
Los modelos a desarrollar tienen la dinámica mostrada
en los Gráficos N°3 y N°4.
Gráfico N0 3:
Respuesta transitoria en lazo abierto de la densidad de descarga al cambio de flujo de floculante,
densidad (g/l), dosificación de floculante (l/min)
y(n) = Cx(n) + Du(n)
x(n+1) = Ax(n)+Bu(n)
X1
X2
K
Ki
1.9679
1.9832
-0.0283
-0.0067
K
Ki
1.9679
1.9831
-0.0283
-0.0058
K
Ki
1.9753
1.9832
-0.0447
-0.0067
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-C-
+
+
y(n) = Cx(n) + Du(n)
x(n+1) = Ax(n)+Bu(n)
-tki
-C-
21.46
X
-tk
Ganancia de realimentación óptima del sistema Turbidez
Al obtener los valores de K y Ki se simula el sistema empleando el modelo SIMULINK del Gráfico N°5.
Resultados
Cada grupo de valores de K y Ki se simula para obtener un resultado del valor de los estados dando la
referencia a uno de ellos.
• Con R[X1,X2] :[5000;90000] el error de X1 (densidad de relave) se minimiza hasta llegar al valor
de referencia, el estado X2 (turbidez) alcanzar
valores no aceptables (ver Gráfico N°6).
• El consumo totalizado de floculante en esta simulación es aproximadamente 44 l durante el transitorio, luego el consumo es constante.
• Con R[X1,X2] :[5000;120000] el error de X1 (densidad de relave) se minimiza hasta llegar al valor
de referencia, el estado X2 (turbidez) alcanzar
valores aceptables (ver Gráfico N°7).
• El consumo totalizado de floculante en esta simulación es aproximadamente 134 l durante el transitorio, luego el consumo es constante.
• Con R[X1,X2] :[2000;90000] el error de X1 (densidad de relave) se minimiza hasta llegar al valor
de referencia, el estado X2 (turbidez) alcanzar
valores no aceptables (ver Gráfico N°8).
Gráfico N°6
Curva de simulación de la respuesta de X1: Densidad (gráfica superior) y X2: Turbidez (Gráfica
inferior), considerando R[X1,X2] :[5000;90000].
1500
1450
1400
40
35
30
25
0
100
200
300
400
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Gráfico N°7
Curva de simulación de la respuesta de X1: Densidad (gráfica superior) y X2: Turbidez (Gráfica
inferior), considerando R[X1,X2] :[5000;120000].
1500
1450
1400
1350
1300
40
35
30
25
20
0
100
200
300
400
Gráfico N°8
Curva de simulación de la respuesta de X1: Densidad (gráfica superior) y X2: Turbidez (Gráfica
inferior), considerando R[X1,X2] : 2000;90000].
1500
1400
1300
1200
250
200
150
100
50
0
100
200
300
400
0
100
200
300
400
1500
1400
1300
1200
250
200
150
100
50
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Conclusiones
• La construcción del modelo de control optimal
basado en el empleo de una función costo,
permite analizar el compor tamiento del sistema de espesamiento de relaves en función a la
prioridad del proceso; es decir, si la prioridad
fuera el control de la turbidez se penalizaría
mÁs el error entre la referencia de turbidez y
su estado.
• Las conclusiones se basan en el cambio de la
matriz de pesos R, se obtienen diferentes comportamientos cuando se regulaN las matrices Q
y N, encontrando diferentes esquemas de penalización de la señal de control.
• La función costo permite al sistema equilibrar
los objetivos, dado que asigna pesos relativos a
cada una de las variables del sistema.
• El empleo de la estrategia de control optimal
presenta una clara ventaja respecto a estrategias de control basadas en acciones derivativas
e integrativas, ya que no tienen la posibilidad de
asignar un costo o penalidad a los errores o a la
señal de control.
• En el proceso de espesamiento de relaves donde
no se requiere un ajuste exacto en los parámetros de proceso (densidad y turbidez), el control
optimal resulta ser una alternativa con la que se
puede equilibrar estas dos variables, racionalizando el consumo de floculante para mantener
ambas en niveles aceptables.
• El consumo de floculante depende de cómo se
calculen las ganancias óptimas, y esto depende de los valores de las matrices de peso y de
penalidades.
Referencias
1. M. C. BUSTOS, F. PAIVA, AND W. WENDLAND,
Control of continuous sedimentation as an initial
and boundary value problem.
2. Bürger, R., Concha, F., 1998. Mathematical
model and numerical simulation of the settling of
flocculated.
suspensions. Int. J. Multiph. Flow 24, 1005–1023.’
3. Bürger, R., Ariel Narváez, 2007. Steadystate,
control, and capacity calculations for flocculated
suspensions in clarifier–thickeners.
4. Daniel Lovera, Amelia Coronado, Pedro López,
2005. Modelling and simulation of metallurgical
processes: flotation, filtration, leaching and thickening.
5. P. Garrido, R. Burgos, F. Concha, R. Burger,
2002. Software for the design and simulation of
gravity thickeners. Institute of Applied Analysis and
Numerical.
Simulation, University of Stuttgart, Pfaffenwaldring
57, D-70569 Stuttgart, Germany.