repaso 1

Física
22/10/04
I.E.S. Elviña
DEPARTAMENTO DE
FÍSICA E QUÍMICA
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Problema
[4 Ptos.]
1. Desde lo alto de una torre de 100 m de altura se dispara un proyectil de masa 200 g con velocidad inicial
de 50 m/s que forma con la horizontal un ángulo  (sen  = 0,80; cos  = 0,60). Calcula:
a) el momento angular del proyectil respecto al punto de lanzamiento cuando alcanza su máxima altura.
b) el momento de la fuerza peso cuando llega al suelo
Datos: g = 10 m·s–2.
Solución:
a) Como en el aire, la única fuerza que actúa sobre la masa es su peso y es constante, la aceleración es un
vector constante y la ecuación de movimiento es:
r = r0 + v0 t + ½ a t2.
Se elige un sistema de referencia con origen en el punto de lanzamiento, eje X horizontal, sentido positivo el
de avance el proyectil (derecha), eje Y vertical, sentido positivo hacia arriba.
La velocidad inicial es:
v0 = 50 cos  i + 50 sen  j = 50 · 0,60 i = 50 · 0,80 j = 30 i + 40 j m/s
y la aceleración:
a = -10 j m·s-2
La ecuación de movimiento en el sistema de referencia indicado, queda
r = (30 i + 40 j) t + ½ (-10 j) t2 = 30 t i + (40 t – 5 t2) j
Cuando alcanza la máxima altura, la componente vy de la velocidad es nula: vy = 0.
La velocidad se obtiene derivando el vector de posición:
v = dr / dt = d (30 t i + (40 t – 5 t2) j) / dt = 30 i + (40 – 10 t) j
Se impone la condición de altura máxima: vy = 0.
40 – 10 th = 0  th = 4,0 s
y se calcula el vector de posición y la velocidad en ese instante.
r4 = 120 i + 80 j m
v4 = 30 i m/s
Como el momento angular LO o momento cinético respecto a un punto O que se toma como origen es el
momento respecto a ese punto del momento lineal,
LO = r × mv = (120 i + 80 j) [m] × 0,200 [kg] · 30 i [m/s] = –480 k kg m2 s–1
b) Cuando llega al suelo, la coordenada y = -100 m
x i – 100 j = 30 ts i + (40 ts – 5 ts2) j
-100 = 40 ts – 5 ts2
 ts = 10 s
x = 30 ts = 300 m
El momento MF,O de una fuerza F respecto a un punto O que se toma como origen es: MF,O = r × F.
La fuerza peso vale: F = - mg j = -0,200 [kg] · 10 [m/s2] j = -2,0 j N
MF,O = r × F.= (300 i – 100 j) [m] × -2,0 j [N] = -600 k N·m
Cuestiones
[2 Ptos. /una]
1. a) El producto vectorial de dos vectores perpendiculares es igual a . . .
otro vector perpendicular a ambos cuyo módulo vale el producto de sus módulos.
c = a × b ; │c│ = │a│ │b│ sen 90º = │a│ │b│
b) El producto escalar de un vector por sí mismo da ...
un número que es el cuadrado de su módulo.
a · a = │a││a│ cos 0 = │a│2
c) El significado geométrico del módulo del producto vectorial de dos vectores es ...
el área del paralelogramo que definen. │a × b│ = │a│ │b│ sen θ = │a│ h = Área del paralelogramo.
d) La proyección de un vector sobre otro es el producto escalar de ...
el vector que se proyecta por el vector unitario de la dirección sobre la que se proyecta.
Proyección de a sobre b = a · b / │b│ = a · ub
2. La condición para que se conserve:
a) el momento lineal (cantidad de movimiento) de una partícula es que ...
la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella sea nula.
dp / dt = ∑F. Si ∑F = 0 entonces p = cte.
b) el momento angular (momento cinético) de una partícula respecto al origen es que ...
el momento de la fuerza resultante respecto al origen sea nula.
 O d r
dL
d
p
 r ×∑ F=
 M

=
×p r ×
=v ×
p r ×∑ F=
O ,∑ 
F
dt
dt
dt 

0
Si MO,∑F = 0, entonces LO = cte.
c) la energía mecánica de una partícula es que ...
el trabajo de las fuerzas no conservativas sea nulo.
W∑F = WCONSERVATIVAS + WNO CONSERVATIVAS
ΔEc = -ΔEp + WNO CONSERVATIVAS
WNO CONSERVATIVAS = ΔEc + ΔEp
Si WNO CONSERVATIVAS = 0, la energia mecánica se conserva.
d) la energía cinética de una partícula es que ... (no vale contestar que su velocidad no varíe)
el trabajo de la fuerza resultante sea nulo.
rB
rB
rB
vB
vB
A
A
A
A
A
1
1
 d r =∫ m a d r =∫ m d v d r =∫ m d r d v =∫ mv d v =−
W A  B=∫ ∑ F
m v 2B−−
m v2A = E c
2
2
dt
dt
r
r
r
v
v
Si el trabajo de la fuerza resultante es nulo, la energía cinética se conserva.
RES
3. Contesta verdadero o falso, JUSTIFICANDO tu respuesta, a las siguientes cuestiones (Si es falso,
dar un ejemplo; en caso contrario, justificarlo)
a) Se conserva la cantidad de movimiento de la lenteja de un péndulo durante su movimiento de
oscilación?
Falso. La velocidad de la lenteja cambia de dirección, porque es tangente a la trayectoria.
b) ¿Los cuerpos sometidos a fuerzas centrales tienen velocidad areolar constante?
Verdadero, porque en las fuerzas centrales, F es paralelo a r, y el producto vectorial r × F = 0, por lo que
el momento angular respecto al origen se conserva, y la velocidad areolar dA / dt = │LO│/ 2m = cte.
c) Si el momento resultante respecto a cierto punto es cero, ¿será también cero respecto a cualquier
otro punto?
Falso. El momento del vector -10 j situado en el punto (0, 20) respecto al origen es:
MO,F = r × F = 20 j × (-10 j) = 0
pero el momento del mismo vector situado en el mismo punto respecto al punto (5, 0), es:
M'O,F = r' × F = (20 j – 5 i) × (-10 j) = 50 k
d) Suponiendo que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no realiza trabajo ¿Puede la
partícula moverse en línea recta?
Falso. Si la fuerza resultante no realiza trabajo debe ser perpendicular al desplazamiento, por tanto es una
fuerza normal que produce una aceleración normal y la trayectoria debe ser curva..