1 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural ANALISIS

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
ANALISIS SÍSMICO DE TANQUES RECTANGULARES ELEVADOS
Hugo Hernández Barrios
2
RESUMEN
Se deducen las ecuaciones de movimiento de un tanque elevado con forma rectangular, considerando la
interacción de la fuerza cortante inducida por el movimiento del líquido sobre las paredes. Las ecuaciones de
movimiento se integran numéricamente con los movimientos sísmicos presentados en el Valle de México
durante el sismo de 1985 y en Caleta de Campos. Los resultados se comparan con los obtenidos con el
modelo de masas-resorte y con los obtenidos considerando que el movimiento no produce oleaje. Los
resultados se expresan en términos de altura de ola, fuerza cortante y momentos de volteo en la base.
ABSTRACT
The equations of motion of an elevated rectangular tank are derived considering the interaction of shear force
produced by the motion of the liquid against the tank walls. The tank response is computed numerically using
ground motion records from stations in the valley of Mexico and Caleta de Campos for the September 19,
1985 earthquake. Wave height on the liquid free surface, shear forces, and overturning moments are
computed. Results are compared with those obtained with mass-spring models and with single degree of
freedom models which do not account for sloshing.
INTRODUCCIÓN
Los tanques para almacenar líquidos o procesar su contenido, como ocurre en sistemas de almacenamiento y
regulación de agua potable o en plantas industriales, pueden estar apoyados directamente sobre el terreno o
apoyados sobre una plataforma en cuyo caso son conocidos como tanques elevados. Los tanques elevados
pueden ser rectangulares o esféricos y según el material de que están hechos pueden ser de acero estructural o
de concreto reforzado (Fig. 1). En zonas metropolitanas los tanques de almacenamiento de agua potable son
vitales para el sistema de abastecimiento y dosificación y la falla de estas estructuras durante un evento
sísmico produciría, en una zona determinada, un desabasto y pérdida del líquido y además pondría en riesgo
la vida de un gran número de personas, posteriormente al evento.
(a) Tipo esférico industrial
(b) Tanque de concreto
Fig. 1 Diversos tipos de tanques elevados
(c) Tipo “bola”
En la literatura se encuentran registradas algunas fallas de tanques elevados, como las que sucedieron durante
el sismo de Valle Imperial, California, en 1979 (http://nisee.berkeley.edu), y la producida en un tanque cónico
ubicado en Fredericton, Canadá en 1990 (El Damatty, Korol y Mirza, 1997).
1
Profesor Investigador Tiempo Completo, Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Michoacana de San
Nicolás de Hidalgo, Morelia, Michoacán. Ciudad Universitaria, cp 58000, Teléfono (443)3 22 35 00 ext.
4341, [email protected]
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Puerto Vallarta, Jalisco, 2006
Fig.2 Fallas en tanques elevados ocurridas durante eventos sísmicos
En México (Fig. 3) sólo existe referida la falla de un tanque elevado, aclarándose que se trata de un problema
de pérdida de capacidad de carga del terreno (Zeevaert, 1973) debido a que ocurrió un sismo.
Fig.3 Falla en un tanque elevado debido a la pérdida de capacidad de carga del terreno
En la práctica profesional los tanques elevados de almacenamiento de agua potable normalmente son de 200,
250, 300 y hasta de 1000m3 de almacenamiento. Aunque, existen recomendaciones prácticas para obtener los
elementos mecánicos de diseño sísmico en tanques elevados (MDOC, 1993; NTC, 2004), en la práctica
profesional, los tanques elevados son calculados utilizando algún programa de cómputo, debido
principalmente a que se deben diseñar los elementos de apoyo que forman y sustentan la plataforma (Fig. 4).
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Mz
cW
V=
Q
W = mt g
h
2
H
A
Fig.4 Modelo utilizado convencionalmente en la práctica profesional
Los programas usados con mayor frecuencia no permiten modelar la interacción del fluido con la estructura, y
los que sí son capaces de resolver este problema, son poco utilizados por su relativo alto costo y porque
demandan un mayor conocimiento en la modelación y teoría de Método de Elemento Finito. Por lo tanto,
dicha interacción se desprecia y se supone que se obtienen resultados confiables y del lado de la seguridad al
colocar una masa concentrada, en un nodo ubicado en el centro de gravedad del recipiente y fija a las paredes
del mismo, con valor equivalente a la masa total del líquido. El recipiente, normalmente se diseña por carga
hidrostática y no se toman en cuenta los efectos hidrodinámicos en el cálculo de los espesores del mismo.
Mediante este criterio se desprecia además la altura de ola que puede generar derrames del líquido debido al
movimiento sísmico.
En este trabajo se deducen las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de un recipiente rectangular con
paredes rígidas, que contiene un líquido no viscoso, irrotacional e incompresible, sometido a un movimiento
sísmico en su base en las direcciones horizontal y vertical. Los resultados se expresan en términos de altura de
ola, presiones hidrodinámicas, fuerza cortante horizontal neta, fuerza vertical neta en el fondo del tanque y
momentos de volteo con respecto a un punto sobre el fondo. Además, se deducen las ecuaciones de
movimiento de un tanque elevado considerando el efecto líquido-recipiente. Se resuelven las ecuaciones de
movimiento y se analiza la respuesta en el dominio del tiempo utilizando registros del sismo del 19 de
septiembre de 1985 obtenidos en la Ciudad de México y en Caleta de Campos. Los resultados se comparan
con los obtenidos considerando el tanque elevado como un sistema de un grado de libertad (Fig. 4) y el
equivalente masa-resorte propuesto por Housner (1957) y que recomiendan el Manual de Diseño de Obras
Civiles (MDOC, 1993) y las Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Ejecución de obras e
Instalaciones Hidráulicas (NTC, 2004).
ECUACIONES DE FRONTERA PARA UN RECIPIENTE RECTANGULAR
Considérese un recipiente rectangular con pares rígidas y que contiene un líquido no viscoso, irrotacional e
incompresible, sometido a un movimiento sísmico en su base en las direcciones horizontal y vertical (Fig. 5).
El Tanque tiene dimensiones: largo, a , ancho, b , y altura del líquido, h . Las fronteras del recipiente se
a
encuentran en x = ± , en el fondo, y = −h , y en la superficie libre del líquido, y = 0 . La altura de ola se
2
cuantifica a partir de la superficie libre, η ( x,t ) .
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y
η ( x,t )
x
z
h
Ω
a
2
a
2
Y  ( t )
100
50
X  ( t )
0
-50
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
-100
-150
Fig. 5 Recipiente rectangular con pares rígidas
Si el movimiento del líquido se supone bidimensional la superficie libre del líquido se encuentra en:
y = η ( x, y )
(1)
Despreciando los efectos por tensión, la velocidad de una partícula de líquido, relativa a las paredes del
tanque, se puede representar por un gradiente de velocidad potencial, Φ ( x, y,t ) , tal que:
U = ∇Φ
(2)
Dρ
= − ρ∇ U
Dt
(3)
La condición cinemática de continuidad, es:
Si el fluido es incompresible,
Dρ
=0
Dt
En (3) ρ es la densidad del líquido. Entonces la condición cinemática (2) se puede escribir:
∇ 2Φ = 0 en Ω
La ecuación 5 es la ecuación de Laplace, válida en todo el dominio, y que se puede escribir como:
∂ 2Φ ∂ 2Φ
+
= 0 en Ω
∂x 2 ∂y 2
Las condiciones cinemáticas en las fronteras rígida del tanque son:
(a) para toda partícula de líquido sobre las paredes:
a
∂Φ
u ( x, y ) =
= 0 en x = ±
∂x
2
(b) para cualquier partícula de líquido en el fondo del tanque:
∂Φ
v ( x, y ) =
= 0 en y = − h
∂y
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Donde u ( x, y,t ) y v ( x, y,t ) son las componentes en x , y y de la velocidad relativa del líquido con respecto
a las paredes en un punto ( x, y ) en el instante t .
Se puede demostrar (Hernández, 2003) que la ecuación cinemática en la superficie libre del líquido,
despreciando los términos de orden superior, se puede escribir como:
∂η ∂Φ
−
= 0 en y = 0
(9)
∂t ∂y
ó bien:
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∂Φ
∂y
=
y =0
∂η
∂t
(10)
Parra determinar la función potencial de velocidad, ésta se puede escribir por medio de separación de
variables.
(11)
Φ ( x, y,t ) = An ( t )ψ n ( x ) ζ n ( y )
Donde An ( t ) , ψ n ( x ) y ζ n ( y ) ( n = 1, 2 ,3,...) son funciones continuas que se determinarán más adelante.
Sustituyendo la ecuación 11 en 6,
 ∂ 2ψ n ( x )

∂ 2ζ n ( y )
∇ 2Φ = An ( t ) 
ζ
y) +
ψ
x ) = 0
(
(
n
n
 ∂x 2

∂y 2
Sustituyendo la ecuación 11 en la condición 7,
∂ψ ( x )
∂Φ
ζ n ( y) = 0
= An ( t ) n
a
∂x x =±
∂x x =± a
2
Sustituyendo la ecuación 11 en la condición 8,
∂Φ
∂y
y =− h
(12)
(13)
2
= An ( t )ψ n ( x )
∂ζ n ( y )
∂y
=0
(14)
y =− h
Por tanto, en las fronteras del problema se debe cumplir:
 ∂ 2ψ n ( x )

∂ 2ζ n ( y )
An ( t ) 
ζ
y) +
ψ
x ) = 0
(
(
n
n
 ∂x 2

∂y 2
∂ψ ( x )
An ( t ) n
ζ n ( y) = 0
∂x x =± a
(15)
(16)
2
An ( t )ψ n ( x )
∂ζ n ( y )
∂y
=0
(17)
y =− h
SOLUCIÓN EN VIBRACIÓN LIBRE
En vibración libre la ecuación 15 es:
 ∂ 2ψ n ( x )

∂ 2ζ n ( y )

ζ
y
ψ n ( x ) = 0
+
(
)
n
2
2
∂y
 ∂x

(18)
Por el método de separación de variables:
∂ 2ζ n ( y )
∂y
2
ζ n ( y)
∂ 2ψ n ( x )
=−
∂x 2
= mn 2
ψ n ( x)
(19)
Donde m2 es la constante de separación. En el caso del oleaje para que exista significado físico, m , se
tomará como real de manera que m 2 será siempre positivo. De 22 las ecuaciones diferenciales son:
∂ 2ζ n ( y )
∂y 2
∂ 2ψ n ( x )
∂x 2
− mn2ζ n ( y ) = 0
(20)
+ m n2ψ n ( x ) = 0
(21)
La solución de la ecuación (20) es de la forma:
ζ n ( y ) = B1emn y + B1e− mn y
(22)
La solución de la ecuación 21 es de la forma:
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ψ n ( x ) = A1cos ( mn x ) + A2sen ( mn x )
(23)
Sustituyendo las ecuaciones 22 y 23 en la ecuación 11,
Φ ( x, y,t ) = An ( t )  A1cos ( mn x ) + A2sen ( mn x )   B1emn y + B2 e− mn y  (24)


De la condición en el fondo del tanque:
∂Φ
= An ( t )  A1cos ( mn x ) + A2sen ( mn x )  mn  B1e − mn h − B2 e+ mn h  = 0


∂y y =− h
Que se debe cumplir para todo valor de x en el fondo del tanque y para todo valor de t , por lo que:
 B1e− mn h − B2 e + mn h  = 0


De donde:
B1 = B2 e +2mn h
(25)
(26)
(27)
Por lo que sustituyendo la ecuación 27 en 24,
Φ ( x, y,t ) = An ( t )  A1cos ( mn x ) + A2sen ( mn x )  e2 mn h emn y + e− mn h  B2


(28)
Como el término:
 e 2mn h e mn y + e− mn h  = 2emn h cosh  mn ( y + h ) 




Por lo tanto la ecuación (28) se puede expresar como:
Φ ( x, y,t ) = 2 B2 emn h An ( t )  A1cos ( mn x ) + A2sen ( mn x )  cosh  mn ( y + h ) 
De la condición cinemática en la frontera libre,
∂Φ
= 2 B2 e mn h An ( t )  A1cos ( mn x ) + A2sen ( mn x )  mn senh [ mn h ]
∂y y =0
(29)
(30)
(31)
La altura de ola η ( x, y ) se obtiene de la ecuación 10, tal que:
t
 ∂Φ 
dt
∂y  y =0
0
η ( x,t ) = ∫ 
(32)
Entonces:
t
η ( x, y ) = 2 B2 emn h mn  A1cos ( mn x ) + A2 sen ( mn x )  senh [ mn h ] ∫ An ( t )
(33)
0
Llamando a Dn , la constante en la que se presenta la altura de ola máxima,
Dn = 2 B2 emn h mn senh [ mn h ]
(34)
Despejando,
2 B2 emn h =
Dn
mn senh [ mn h ]
Sustituyendo 35 en la ecuación 30,
Φ ( x, y,t ) = Cn ( t )  A1cos ( mn x ) + A2sen ( mn x ) 
(35)
cosh  mn ( y + h ) 
mn senh [ mn h ]
(36)
donde Cn ( t ) = Dn An ( t ) .
Sustituyendo en la condición cinemática en las paredes del tanque:
∂Φ
∂x
x =±
a
2
a
a   cosh  mn ( y + h ) 



= Cn ( t ) mn  A2 cos  mn  ± A1sen  mn  
=0
2
2   mn senh [ mn h ]



(37)
La ecuación 37 se debe cumplir para cualquier t y para todo valor de y . Por lo que,
a
a


A1sen  mn  = ± A2 cos  mn 
2
2


(38)
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Si A2 ≠ 0 y A1 = 0 , entonces:
a

cos  mn  = 0
2

(39)
que se satisface para:
mn
a π 3π 5π
,
,....
= ,
2 2 2
2
ó bien,
mn =
( 2n − 1)
a
(40)
π para n = 1, 2,3...
Así, la función de potencial de velocidad se puede escribir:
 ( 2n − 1) π

cosh 
( y + h )
∞
a


Φ ( x, y,t ) = ∑ Cn ( t )
 ( 2n − 1) π 

n =1

 senh ( 2n − 1) π
a



Como en la ecuación 11 se planteó:
Φ ( x, y,t ) = An ( t )ψ n ( x ) ζ n ( y )
x

sen ( 2n − 1) π 
a

h
a 
(41)
(42)
(43)
De la ecuación 42, se deduce:

x
ψ n ( x ) =sen ( 2n − 1) π 
a

 ( 2n − 1) π

cosh 
( y + h )


a
a


ζ n ( y) = 

 ( 2n − 1) π  senh ( 2n − 1) π h 

a 
Evaluando la ecuación cinemática en la superficie libre del líquido, ecuación 10,
∞
∂ζ ( y )
∂Φ
∂η
= ∑ Cn ( t ) n
ψ n ( x) =
∂y y =0 n =1
∂y y =0
∂t
Como el término,
∂ζ n ( y )
=1
∂y
∂Φ
∂y
(45)
(46)
(47)
y =0
∞
y =0
(44)
= ∑ Cn ( t ) ψ n ( x ) =
n =1
∂η
∂t
(48)
Por tanto la altura de ola se obtiene integrando la ecuación (48),
t
η ( x,t ) = ψ n ( t ) ∫ Cn ( t ) dt
(49)
0
Realizando el siguiente cambio de variable:
t
qn ( t ) = ∫ Cn ( t ) dt
(50)
0
q&n ( t ) =
dqn ( t )
dt
=
t

d 
 ∫ Cn ( t ) dt  = Cn ( t )
dt  0

(51)
Según la ecuación 44 y la 51, la altura de ola se puede calcular con:
∞

x
η ( x,t ) = ∑ q n ( t ) sen ( 2n − 1) π 
a

(52)
n=1
donde qn ( t ) para ( n = 1, 2 ,3,...) son las coordenadas generalizadas.
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Sustituyendo la relación 51 en la 42, la función de potencial de velocidad se puede escribir:
 ( 2n − 1) π

cosh 
( y + h )
∞
a

 sen  2n − 1 π x 
Φ ( x, y,t ) = ∑ q&n ( t )
) 
(
a
 ( 2n − 1) π 

h

n =1
n
senh
2
1
π
−
) 


(
a
a



(53)
CONDICIÓN DINÁMICA EN LA SUPERFICIE LIBRE DEL LÍQUIDO
La condición dinámica válida para cualquier punto ( x, y ) dentro del dominio del tanque es:
∂u
∂u
∂u
1 ∂P &
+u
+v
=−
− X&( t )
ρ ∂x
∂t
∂x
∂y
(54)
∂u
∂v
∂v
∂P &
+ u + v = −g −
− Y&( t )
(55)
∂t
∂x
∂y
∂y
&( t ) , Y&
&( t ) son las componentes de la
Donde P es la presión, g la aceleración de la gravedad y X&
aceleración absoluta en la base del tanque, en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente.
Definiendo el operador derivada sustancial como:
D
∂
∂
∂
(56)
= +u +v
∂x
∂y
Dt ∂t
Las ecuaciones 54 y 55 se pueden expresar como:
DUˆ
1
= − ∇P − ∇  aˆ ( t ) ⋅ rˆ  − ∇ [ gy ]
(57)
ρ
Dt
Donde el vector de velocidad relativa del líquido es Û = ui + v j ; el vector de posición de una partícula de
∂
∂
líquido dentro del dominio: r̂ = xi + y j ; el operador nabla es: ∇ =  +  . El vector de aceleraciones
 ∂x ∂y 
absolutas en la base del tanque es:
&( t ) + Y&
&( t )
â ( t ) = X&
(58)
i
j
Como las velocidades relativas del líquido, la dirección horizontal y vertical, respectivamente, están definidas
por:
∂Φ
u=
(59)
∂x
∂Φ
v=
(60)
∂y
Despreciando los términos de orden superior la ecuación 57, se puede escribir como:
1
 ∂Φ 
∇
(61)
 = − ρ ∇P − ∇  aˆ ( t ) ⋅ rˆ  − ∇ [ gy ]
∂
t


Integrando la ecuación anterior, se obtiene la ecuación de Bernoulli, válida en todo el dominio del líquido:
∂Φ
1
(62)
= − P − aˆ ( t ) ⋅ rˆ − gy
∂t
ρ
De la ecuación (62), se calcula la presión en cualquier punto del dominio, con:
 ∂Φ 
&
&
&
&
(63)
P ( x, y,t ) = − ρ 
 − ρ  X ( t ) x + Y ( t ) y  − ρ [ gy ]
 ∂t 
En la superficie libre del líquido, y = η ( x,t ) , la presión puede considerase constante o cero, de manera que:
∇P = 0 , por lo que la condición dinámica en la superficie libre del líquido es:
∂Φ
&( t ) x + Y&
&( t ) y = 0
+ gη + X&
∂t
(64)
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En vibración libre, la ecuación dinámica en la superficie libre es:
∂Φ
+ gη = 0
∂t
Y la altura de ola del líquido se obtiene despejándose de 65,
1  ∂Φ 
η ( x,t ) = − 
g  ∂t 
(65)
(66)
FRECUENCIAS DE VIBRAR DE LA SUPERFICIE LIBRE DEL LÍQUIDO
De la condición cinemática en la superficie libre del líquido, ecuación 10,
∂Φ
∂η
=
∂y y =0 ∂t
(67)
Y de la condición dinámica, 66, integrándola con respecto a t ,
∂η
1
=−
∂t
g
 ∂ 2Φ 
 2 
 ∂t 
(68)
y =0
Igualando las ecuaciones 67 y 68,
 ∂Φ 


 ∂y 
+
y =0
1  ∂ 2Φ 


g  ∂t 2 
=0
(69)
y =0
Considerando una función del tipo senoidal para las coordinas generalizadas, en la función de potencial de
velocidad, ecuación 53, y sustituyendo en las derivadas de la ecuación 69, se tiene:
 ( 2n − 1) π 
h

ωn2 = g 
(70)
 tanh ( 2n − 1) π 
a
a




De donde se pueden calcular las n = 1, 2 ,3,... frecuencias de vibrar, ωn , del la superficie libre del líquido.
SOLUCIÓN EN VIBRACIÓN FORZADA EN DIRECCIÓN HORIZONTAL
De la condición dinámica en la superficie libre del líquido, 64, despejando la altura de ola, y derivándola con
respecto a t
1  ∂ 2Φ  1 d &
∂η
 X&( t )  x
=− 
(71)
−
∂t
g  ∂t 2  g dt 
Igualándola con la condición cinemática en la superficie libre del líquido, y = 0 , ecuación 68:
 ∂Φ   ∂ 2Φ 
d &
&
g
 +  2  = − dt  X ( t )  x
∂
y

  ∂t 
Sustituyendo las ecuaciones 43, 44 y 45; y evaluado las derivadas respectivas se tiene:
∞
x
d
1

∑ C&&n ( t ) + ωn2Cn ( t )  sen ( 2n − 1) π  = −  X&&( t ) x
a
dt
y
ζ
= 0)
(


n =1
n
(72)
(73)
Que mediante el siguiente cambio de variable, 50 y 51, se puede escribir:
∞
x
1

(74)
∑  q&&n ( t ) + ωn2 qn ( t ) sen ( 2n − 1) π  = − xX&&( t )
ζ n ( y = 0)
a

n =1
Haciendo uso de las propiedades de ortogonalidad de la función seno, los coeficientes de la serie de la
ecuación 74, se pueden expresar como:
2
&
&
&
(75)
mn q&
n ( t ) + mn ωn qn ( t ) = mo γ n X ( t )
Donde la masa total del líquido contenido en el tanque de dimensiones: largo, a , ancho, b , y profundidad ,
h , es:
mo = ρ abh
(76)
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ρ a 2b
mn =
h

2 ( 2n − 1) π  tanh ( 2n − 1) π 
a


 ( 2n − 1) π 
−2 sen 

2

 a
γn =
h
2
 
( 2n − 1) π 
(77)
(78)
La ecuación 75 representa la ecuación de movimiento de la superficie libre del líquido; la coordenada
generalizada, q ( t ) , representa el desplazamiento del la superficie libre del líquido con respecto a las paredes
rígidas, de tal manera que la altura de ola en cualquier punto del tanque se calcula con:
∞
x

η ( x,t ) = ∑ q n ( t ) sen ( 2n − 1) π 
a

n=1
(79)
a
. El término del lado derecho de la ecuación 75, indica que
2
&( t ) .
un porcentaje, γ n , de la masa total del líquido, mo , se mueve con aceleración absoluta, X&
Siendo máxima en las paredes del tanque, x = ±
PRESIÓN SOBRE LAS PAREDES DEL TANQUE
La distribución de presiones hidráulicas en las paredes del tanque se obtiene de sustituir la ecuación 53 en la
a
63, evaluada en x = ± ,
2
y + h

cosh ( 2n − 1) π
∞
 ( 2n − 1) π  


a
a
a
a 


  &

P  + , y,t  = − ρ   X&
sen  

( t ) − ρY&&( t ) y − ρ gy − ρ ∑ q&&n ( t ) 

2
 2

2
 ( 2n − 1π )  senh ( 2n − 1) π h 


n =1

a 
(80)
y + h

cosh ( 2n − 1) π
∞
 ( 2n − 1) π  


a
a 
 a

a &

&
&
&
&
&
P  − , y,t  = + ρ   X ( t ) − ρY ( t ) y − ρ gy + ρ ∑ qn ( t ) 
sen  


2
 2

2


n =1
 ( 2n − 1π )  senh ( 2n − 1) π h 

a 
(81)
En las ecuaciones 80 y 81 se puede ver que la existencia de la componente vertical de la aceleración absoluta
&( t ) , puede incrementar considerablemente las presiones hidrodinámicas. En ambas
en la base del tanque, Y&
ecuaciones el término ρ gy representa la presión hidrostática del líquido sobre las paredes.
Las fuerzas horizontales debidas a las presiones sobre la pared derecha se calculan con:
0
 a

FH x =+ a = b ∫ P  + , y,t dy
2

2
−h 
(82)
Y en la pared izquierda:
FH x =− a = −b
2
0


∫ P  − 2 , y,t dy

−h 
a
La fuerza cortante horizontal neta efectiva producida por el movimiento del líquido es:
FH = FH x =+ a + FH x =− a
2
(83)
(84)
2
Al realizar operaciones tenemos:
&( t ) +
FH = − mo X&
∞
∑ mo γ n q&&n ( t )
(85)
n =1
10
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
El primer término de 85, representa la fuerza inercial de la masa del líquido contenida en el tanque, y el
segundo la fuerza inducida por el movimiento sísmico en el líquido a un porcentaje de la masa total, γ n , y
&
que está relacionada con la aceleración relativa del liquido, q&
n (t ) .
La fuerza vertical neta efectiva en el fondo del tanque se calcula con:
FV = b
a
2
∫ P ( x, −h,t ) dx
(86)
a
−
2
ó bien:
&( t )
FV = mo g + moY&
(87)
El primer término de 87 representa el peso del líquido contenido en el tanque y el segundo término la
contribución de la componente vertical de la aceleración del terreno en la fuerza neta vertical.
El momento de volteo con respecto al punto donde se ubica el origen del sistema coordenado de referencia
(Fig. 6), se calcula con:
M ( t ) = +b
0
+
a
2
0




∫ P  + 2 , y,t  y dy + b ∫ P ( x, − h,t ) x dx − b ∫ P  − 2 , y,t  y dy




a
−h
−h
a
−
a
(88)
2
y
M z (t )
x
0
y
y
x
−h
0
a
2
a
2
Fig. 6 Convención del momento de volteo del tanque
−
+
Es posible determinar la posición de las fuerzas horizontales que generan el momento de volteo estáticamente
equivalente, pero referido a la base del tanque, considerando las presiones en el fondo del tanque, según se
observa en la Figura 7. En la Figura 7, las distancias son:




1

(89)
d1 = a 
  2n − 1 π  senh  2n − 1 π h  
(
)
(
)



a  

 a2 
d2 = 

12h 
d3 =
h
2
h 


cosh ( 2n − 1) π  − 1



a 
a


d4 = 

2
n
1
π
−

(
)

 senh ( 2n − 1) π h 

a 
(90)
(91)
(92)
11
XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Puerto Vallarta, Jalisco, 2006
y
M z (t )
x
mo X  ( t )
∞
∑ mo γ n q  n ( t )
d4
n =1
d3
d2
d1
Fig. 7 Posición de las fuerzas que generan el momento de volteo con respecto a la base
Para el caso de un tanque elevado basta aumentar a estas distancias las de los apoyos al centro de la base del
tanque, según se observa en la Figura 8.
∞
∑ mo γ n q  n ( t )
mo X  ( t )
n =1
d4
d3
cL
H
Mz
d1 d 2
A
Fig. 8 Momento de Volteo con respecto a la base del tanque elevado
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UN TANQUE ELEVADO
Con respecto a la Figura 9, la ecuación de movimiento de un tanque elevado considerando la fuerza de neta
horizontal es:
(93)
[ mo + me ] X&&( t ) + Ce Z&( t ) + Ke Z ( t ) = F ( t )
Donde mo es la masa del líquido contenido en el tanque, me es la masa de la plataforma más la masa del
recipiente vacío, K e la rigidez lateral de la plataforma incluyendo el recipiente vacío, y
Ce = 2ξ s me ωe
(94)
ωe 2 =
Ke
me
(95)
12
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
∞
&
F ( t ) = ∑ mo γ n q&
n (t )
(96)
&( t ) = U&
& ( t ) + Z&
&( t )
X&
g
(97)
n =1
&( t ) es la aceleración relativa del la base del recipiente con
& ( t ) es la aceleración del terreno y Z&
donde U&
g
respecto al terreno. Considerando la participación de n = 3 masas, la ecuación 93, se puede escribir:
[ mo + me ] Z&&( t ) + Ce Z&( t ) + Ke Z ( t ) − moγ1q&&1 ( t ) − moγ 2 q&&2 ( t ) − moγ 3q&&3 ( t ) = − [ mo + me ]U&&g ( t )
(98)
y
qn ( t )
Y
x
Ke
Ce
F (t ) =
mo
∞
∑ m o γ n q  n ( t )
n =1
me
terreno
X
U g (t )
Z (t )
X (t )
Fig. 9 Modelo analítico del un tanque elevado rectangular
De la ecuación 75, considerando amortiguamiento viscoso,
2
&
q&
n ( t ) + 2ξ nωn q&
n ( t ) + ωn qn ( t ) =
&( t ) = U&
& ( t ) + Z&
&( t ) , se puede escribir,
Considerando que: X&
g
2
&
q&
n ( t ) + 2ξ nωn q&
n ( t ) + ωn qn ( t ) −
mo
&( t )
γ n X&
mn
mo
&
&( t ) = mo γ U&
&( t )
γn Z
n
mn
mn
(99)
(100)
con n = 1, 2 y 3 .
Matricialmente la ecuación 98 y la 76 para n = 1, 2 y 3 , se pueden escribir:
&t 
 Z&
 [ mo + me ] − moγ 1 −moγ 2 − moγ 3   ( ) 



 −  mo  γ


1
0
0
&
&
0
0
0   Z&( t ) 


q
t
1
(
)
 m
  1  Ce
1




 0 2ξ ω


0
0   q&
 
1 1
1 (t ) 
  mo 

+
+  0
0
2ξ 2ω2
0   q&2 ( t ) 
0
1
0   q&
−   γ 2
&
2 ( t ) 


m

  2

 0
0
0
2ξ3ω3   q&3 ( t ) 



 −  mo  γ
&( t ) 
0
0
1   q&
  m3  3
 3 




13
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Puerto Vallarta, Jalisco, 2006
 − [ mo + me ]


0
0   Z t    mo  γ 1 
 Ke 0
()  m



 1
2

0
0   q1 ( t )  
 0 ω1

 =  m 
& (t )
 U&
(101)


g
o
2
0 ω2 0  q2 ( t )     γ 2 
 0

   m2 



0
0 ω32   q3 ( t )  

 0


m
o


γ
  m3  3 


Este sistema de ecuaciones se puede integrar paso a paso por cualquiera de los métodos existentes. En este
trabajo se utilizó el Método de Theta de Wilson.
MODELO DE MASAS CONCENTRADAS
Los primeros intentos de considerar el efecto dinámico del fluido sobre un contenedor fueron propuestos por
Graham y Rodríguez (Hutton, 1963) y se aplicaron principalmente a problemas de tanques de aeronaves.
Graham y Rodríguez supusieron que las presiones dinámicas del líquido sobre las paredes del tanque pueden
separarse en dos: una convectiva y otra impulsiva. Las presiones impulsivas están asociadas con las fuerzas de
inercia producidas por movimientos impulsivos de las paredes del tanque y son directamente proporcionales a
la aceleración de las paredes del mismo. Las presiones convectivas son producidas por la oscilación del fluido
en la superficie libre. Retomando la propuesta de los autores anteriores, Housner (1957) propuso algunas
expresiones un poco más sencillas cuyos resultados comparados con las expresiones de Graham y Rodríguez,
presentan un error del 2.5% (Housner, 1957).
Las expresiones propuestas por Housner y su analogía de masas-resortes para considerar el comportamiento
de un líquido dentro de un contenedor fueron deducidas para tanques apoyados sobre el terreno, con paredes
rígidas que contienen un líquido ideal y con condiciones cinemáticas linealizadas. Este modelo considera la
existencia de dos masas: una impulsiva fija a las paredes del tanque, mo , y otra convectiva que representa el
movimiento del líquido dentro del recipiente y que considera únicamente el primer modo de vibrar de la
superficie del líquido, m1 . Las Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Ejecución de obras e
Instalaciones Hidráulicas (NTC, 2004) y el Manual de Diseño de Obras Civiles (MDOC, 1993) sugieren para
el diseño sísmico de tanques elevados este mismo modelo.
Para efecto de comparación de los resultados obtenidos con las ecuaciones de un oscilador de dos grados de
libertad y los obtenidos con las ecuaciones 101, se puede agregar amortiguamiento equivalente del tipo
viscoso a cada una de las masas, de manera que según la Figura 10, el sistema de ecuaciones resultante es:
m1
K1
U liquido
C1
mo
me
H1
Ho
H
Fig. 10 Modelo equivalente masa-resorte propuesto por GW Housner
14
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
 mo + me
 0

&  Ce + C1 −C1  U&   K1 + K e
0  U&
e
e
&
+

  &  +  −K
m1  U&
−
C
C
U
1
1  1 
1
1 
− K1  U e 
=
K1  U1 
 m + me 0  &
(102)
U&
− o
m1  g
 0
Para calcular el desplazamiento de la masa m1 que está asociado a la altura de ola del líquido, relativo a las
paredes del tanque, se debe utilizar:
(103)
U liquido = U1 − U e
Y para el tanque elevado de la Figura 10, la fuerza cortante en la base del tanque se calcula con:
& + U&
&  − m U&
& &
&
&
& &
&
VH ( t ) = − me U&
e
g
o  e + U g  − m1 U1 + U g 
El Momento de volteo con respecto a la base del tanque:
& + U&
&  − m [ H + H ] U&
& &
&
&
& &
&
M H ( t ) = −me H U&
e
g
o
o  e + U g  − m1 [ H + H1 ] U1 + U g 
En las expresiones anteriores (MDOC, 1993), la masa impulsiva adherida a las paredes del tanque es:
L

tanh 1.7 
H

m
mo =
L
1.7
H
La masa convectiva asociada al primer modo de vibrar del líquido,
 H
0.83tanh 1.6 
L

m1 =
H
1.6
L
Asociada a la rigidez equivalente:
K1 =
3gm12
H
mL2
Las masas están ubicadas a una altura de la base del tanque:

m

− 1 
H o = 0.38 H 1 + α 
m
 o  

(104)
(105)
(106)
(107)
(108)
(109)
1 

2
2
 2

 Lm 
m L
L 
H1 = H 1 − 0.33   + 0.63β
0.28 
(110)
 − 1 
m1  H 
H
Hm1 
 






Donde se debe tomar α = 1.33 y β = 2 a fin de incluir el momento de volteo en la base del recipiente.
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Consideremos un tanque elevado rectangular de concreto reforzado con dimensiones: a = 400 cm ,
b = 400 cm y h = 300 cm . El recipiente contiene agua con densidad, ρ = 1.01937 x10−9 ts2/cm4. El periodo
fundamental de la plataforma y recipiente vacío es de T = 0.36 s , y con rigidez lateral, K e = 3.7248 t/cm. Se
considera un porcentaje de amortiguamiento con respecto al crítico de ξ = 5% , para la plataforma y
recipiente vacío, y de ξ = 0.5% para el líquido contenido en el tanque. Se incluyen en el análisis el valor de
n = 1, 2 y 3 . El tanque se sometió a las componentes de aceleración EW y NS registradas durante el sismo del
19 de septiembre de 1985 en las estaciones de Ciudad Universitaria (CU), Viveros (VIV), Secretaría de
comunicaciones y Transportes (SCT), Central de Abasto (CA), Tacubaya (TACY) y Caleta de Campos
(CALE), este último en también en la componente vertical. En el análisis se utilizan las ecuaciones que
consideran interacción recipiente-líquido (ILR), ecuaciones 101; las ecuaciones obtenidas con el modelo
15
XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Puerto Vallarta, Jalisco, 2006
masa-resorte equivalente (MRE), ecuaciones 102, y el modelo utilizado convencionalmente en la práctica
profesional de un grado de libertad (SUGDL).
Tabla 1 Desplazamientos máximos obtenidos con los tres métodos descritos
Movimiento
CAEW
CANS
CUEW
CUNS
SCTEW
SCTNS
VIVEW
VIVNS
TACYEW
TACYNS
CALEEW
CALENS
ILR
21.53
19.93
14.89
17.21
126.80
68.63
17.80
13.07
9.89
7.03
35.77
17.48
Altura de ola máxima (cm)
∆%
SUGDL
MRE
19.08
11
---15.52
22
---11.96
20
---13.70
20
---102.16
20
---55.20
20
---15.25
14
---10.70
18
---7.70
22
---6.74
4
---27.46
22
---14.72
16
----
En la Tabla 1 se muestra el oleaje máximo cuando el tanque es sometido a los movimientos sísmicos antes
descritos. El modelo SUGDL establece que no existe movimiento del líquido. El oleaje máximo obtenido con
el modelo ILR para todos los movimientos sísmico es mayor que el obtenido con el modelo MRE. En
particular, para los movimientos TACYEW, CANS y CALEEW la diferencia porcentual es del 22%. El
incluir en el análisis, al menos los tres primeros modos superiores de vibrar del líquido ( n = 1, 2 ,3) influye en
la altura de ola máxima, ya que ésta es mayor que la calculada con el modelo equivalente de masas
concentradas, el cual considera únicamente el primer modo de vibrar del líquido.
18
Oleaje (cm)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
Tiem po (s )
(a) Historia de oleaje, movimiento VIVEW, modelo MRE
20
15
Oleaje (cm)
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0
10
20
30
40
50
60
Tiem po (s)
(b) Historia de oleaje, movimiento VIVEW, modelo ILR
Fig. 11 Historia de oleaje, movimiento VIVEW
16
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
20
15
Oleaje (cm)
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0
10
20
30
40
50
60
Tiem po (s)
(c) Comparación de la altura de ola con los modelos ILR y MRE
Fig. 11 Historia de oleaje, movimiento VIVEW (continuación)
En la Figura 11a se muestra la historia de la altura de ola en la pared derecha del tanque, obtenida con el
modelo masa-resorte, integrando las ecuaciones 102 por el método de Tetha de Wilson y con el registro
VIVEW. En la Figura 11b, se muestra la historia del oleaje en la misma pared, obtenida con el modelo que
considera interacción fluido-estructura, ILR, para el mismo movimiento sísmico, y en la Figura 11c, se
compara la respuesta obtenida con los dos modelos anteriores.
En la Tabla 2 se muestran los desplazamientos laterales máximos obtenidos en la plataforma en su parte
superior (base del recipiente), para todos los movimientos sísmicos descritos. Se observa que los resultados
máximos se presentan con el modelo SUGDL, lo cual es lógico debido a que considera toda la masa del
líquido como inercial. Los resultados obtenidos con el modelo MRE son mayores que los obtenidos con el
ILR, para casi todos los movimientos analizados, ya que para CALENS estos son menores hasta en un 14%.
Tabla 2 Desplazamientos máximos en la plataforma obtenidos con los tres métodos descritos
Desplazamiento máximo horizontal en la
plataforma (cm)
∆%
∆%
SUGDL
ILR
MRE
3.23
1.53
52
1.58
51
2.61
1.21
53
1.36
48
1.81
1.07
41
1.22
33
1.36
0.73
46
0.84
38
4.34
4.26
1
4.41
2
2.43
1.97
19
2.01
17
2.47
1.54
37
1.74
30
2.51
0.98
61
1.08
57
1.31
0.79
40
0.84
36
1.86
0.50
73
0.56
70
5.58
2.51
55
2.97
47
1.78
1.95
-8
2.07
-14
Movimiento
D es plaz am iento plataform a(c m )
CAEW
CANS
CUEW
CUNS
SCTEW
SCTNS
VIVEW
VIVNS
TACYEW
TACYNS
CALEEW
CALENS
MRE
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
ILR
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Tiempo (s)
Fig. 12 Desplazamiento lateral de la plataforma, movimiento SCTEW
17
XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Puerto Vallarta, Jalisco, 2006
En la Figura 12 se compara historia de desplazamientos laterales de la plataforma del tanque del ejemplo,
obtenida con el movimiento SCTEW, y con los modelos ILR y MRE. En la Tabla 3 se comparan las fuerzas
cortantes máximas obtenida con los tres modelos: ILR, MRE y SUGDL, para cada uno de los movimientos
sísmicos anteriormente descritos. Comparando primeramente los resultados obtenidos con los modelos MRE
y SUGDL, se puede observar que las fuerzas cortantes máxima obtenida con SUGDL son mayores que los
obtenidos con el MRE. Por lo anterior, podría pensarse que el modelo utilizado comúnmente en la práctica
profesional, SUGDL, produce fuerzas cortantes del lado de la seguridad. Sin embargo, al comparar los
resultados anteriores con los obtenidos con el modelo ILR, se observa que este modelo produce fuerzas
cortantes máximas, mayores que los obtenidos con los modelos MRE y SUGDL. Las diferencias entre ambos
resultados en forma porcentual se observa en la cuarta y en la sexta columna para cada modelo,
respectivamente. El incremento porcentual máximo del 73% se presenta para el movimiento sísmico SCTEW,
para el caso de ambos modelos.
Por lo anterior, se puede deducir que el modelo SUGD y el de MRE subestiman en gran manera las fuerzas
cortantes obtenidas con los movimientos sísmicos utilizados. Lo anterior obedece a que los modelos MRE y
SUGDL, no consideran la interacción fluido recipiente, despreciando la fuerza cortante inducida al sistema y
debida al movimiento del fluido en el recipiente, como se verá más adelante.
Tabla 3 Fuerza Cortante máxima
Movimiento
CAEW
CANS
CUEW
CUNS
SCTEW
SCTNS
VIVEW
VIVNS
TACYEW
TACYNS
CALEEW
CALENS
ILR
10.40
10.62
11.27
9.74
60.20
27.47
17.25
13.62
5.77
5.59
27.59
19.21
Fuerza Cortante máxima (t)
SUGDL
MRE
∆%
5.90
43
12.03
5.10
52
9.72
4.58
59
6.74
3.15
68
5.07
16.49
73
16.17
7.52
72
9.05
6.54
62
9.20
4.08
70
9.35
3.17
45
4.88
2.09
63
6.93
11.13
60
20.78
7.77
60
6.63
∆%
-13
8
40
48
73
67
47
32
15
-19
25
65
En la Tabla 4 se comparan los momentos de volteo máximos obtenido en la base de la plataforma (anclas de
las columnas) y su diferencia porcentual con respecto al modelo ILR, para los movimientos sísmicos ya
descritos. De nueva cuenta, comparando primeramente los resultados obtenidos con los modelos MRE y con
SUGDL, se puede observar que estos últimos son mayores para casi todos los movimientos sísmicos, por lo
que podría pensarse que este modelo produce resultados del lado de la seguridad. Si se comparan los
resultados obtenidos con los modelos MRE y SUGDL, con los obtenidos con el modelo ILR, la diferencia
porcentual es significativa. Esta diferencia porcentual es del 70% para el movimiento SCTEW.
Concluyéndose, para este ejemplo, que es importante considerar los efectos de interacción entre el fluido y el
recipiente, y que los modelos MRE y SUGDL subestiman los momentos de volteo en la cimentación del
tanque. Las diferencias obtenidas entre los modelos ILR, MRE y SUGD, se deben a que la los dos últimos no
consideran la fuerza cortante inducida al sistema y que es debida al movimiento del líquido en el recipiente.
La ecuación 96 representa esta fuerza cortante inducida,
F (t ) =
∞
∑ mo γ n q&&n ( t )
(111)
n =1
En la Tabla 5 se muestra la fuerza cortante inducida para cada movimiento sísmico. Esta fuerza es del orden
de 54 t, para el movimiento SCTEW (Fig. 13). En esta misma tabla se observa la fuerza vertical neta,
calculada con la expresión 87,
&( t )
FV = mo g + moY&
(112)
Cuando se considera la aceración vertical del movimiento, como es el caso del movimiento CALE (Fig. 14),
en ambas direcciones, se observa un aumento en la fuerza vertical del 6%. Este aumento en la fuerza axial
debe ser resistido por las columnas que sostienen el recipiente, por lo que deben de ser tomada en cuenta en el
diseño. Los modelos MRE y SUGD no contemplan esta posibilidad.
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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Tabla 4 Momento de Volteo máximo
Momento de Volteo máximo (t cm)
SUGDL
ILR
MRE
∆%
16 519 10 417
37
21 054
17 537
8 941
49
17 013
18 722
8 022
57
11 798
15 395
5 534
64
8 865
94 629 29 546
69
28 290
42 337 13 458
68
15 840
28 271 11 444
60
16 100
22 703
7 010
69
16 361
9 609
5 586
42
8 539
9 518
3 662
62
12 124
46 640 19 278
59
36 373
32 865 13 503
59
11 606
Movimiento
CAEW
CANS
CUEW
CUNS
SCTEW
SCTNS
VIVEW
VIVNS
TACYEW
TACYNS
CALEEW
CALENS
∆%
-21
3
37
42
70
62
43
28
11
-21
22
65
Tabla 5 Fuerza horizontal inducida por el oleaje máxima, y Fuerza vertical neta
Fuerza
inducida
(t)
8.95
7.69
7.95
8.67
53.96
26.48
12.96
9.41
4.72
4.21
21.35
11.44
Movimiento
CAEW
CANS
CUEW
CUNS
SCTEW
SCTNS
VIVEW
VIVNS
TACYEW
TACYNS
CALEEW
CALENS
Fuerza vertical
neta (t)
48.11
48.11
48.11
48.11
48.11
48.11
48.11
48.11
48.11
48.11
51.41
51.41
60
Fuerza inducida (t)
40
20
0
-20
-40
-60
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Tiempo (s)
Fig. 13 Fuerza cortante inducida por el movimiento SCTEW debido al movimiento del líquido
CONCLUSIONES
Se obtuvieron las ecuaciones de movimiento de un tanque elevado con forma rectangular considerando la
fuerza cortante que se induce en las paredes del mismo, debido al movimiento del líquido. Las ecuaciones se
integraron paso a paso para los registros sísmicos presentados en el Valle de México durante el sismo de 1985
y en Caleta de Campos. Los resultados se comparan con los obtenidos con los modelos: (1) masa-resortes y
(2) el de concentrar la masa líquido (comúnmente usado en la práctica) el cual desprecia el movimiento del
fluido dentro del recipiente. Los resultados indican que despreciar el movimiento del líquido dentro del
tanque, sólo es conservador para el caso de desplazamientos laterales de la plataforma de soporte, y ya que se
19
XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Puerto Vallarta, Jalisco, 2006
supone que el líquido no se mueve no es posible cuantificar el oleaje generado, lo cual produciría pérdida del
líquido por derramamiento.
52
Fuerza neta vertical (t)
51
50
49
48
47
46
45
44
43
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Tiem po (s )
Fig. 14 Fuerza neta vertical, movimiento CALENS
El considerar al menos tres modos superiores de vibrar del líquido produce un mayor altura de ola, que el
considerar uno sólo, tal y como lo hace el modelo de masas y resortes. Las fuerzas cortantes y momentos de
volteo en la base del tanque se incrementan notablemente cuando se toma en cuenta la fuerza cortante
inducida por el movimiento del fluido sobre las paredes del contenedor. De igual manera, el considerar la
componente vertical del movimiento sísmico aumenta la fuerza neta vertical que se induce a las columnas de
la plataforma, lo cual podría producir inestabilidad por pandeo lateral en las columnas.
AGRADECIMIENTOS
El autor agradece a la Coordinación de la Investigación Científica y la Dirección de la Facultad de Ingeniería
Civil de la UMSNH, el apoyo otorgado para la realización de este trabajo. Se agradecen los comentarios y
sugerencias al manuscrito del Dr. Ernesto Heredia Zavoni.
CITAS, REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA
Anónimo (1993), “Manual de Diseño de Obras Civiles, Diseño por Sismo”, Comisión Federal de
Electricidad, Instituto de Investigaciones Eléctricas, México.
Anónimo (2004), “Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Ejecución de Obras e
Instalaciones Hidráulicas”, Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal, México.
Hernández B.H. (2003), “Análisis Sísmico No Lineal de Tanques Cilíndricos de Almacenamiento”, Tesis
para obtener el grado de Doctor en Ingeniería, DEPFI-UNAM, México.
Housner G.W. (1957). “Dynamic Pressures on Accelerated fluid containers”, Bulletin of the Seismological
Society of America, Vol. 47, 15-35.
http://nisee.berkeley.edu/bertero/html/damage due to vibration.html, (1994).
Hutton R.E. (1963). “An investigation of Resonant, Nonlinear Nonplanar Free Surface Oscillations of a
Fluid”, NASA TN D-1870.
Zeevaert L. (1973), “Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions”, Van Nostrand Reinhold
Company, 523 pp.
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