T03TCAr05 - Facultad de Ingeniería

UN MODELO DE LUBRICACION PORO-ELASTOHIDRODINAMICA
PARA UNA PROTESIS DE CADERA. SOLUCION NUMERICA VIA
ELEMENTOS FINITOS.
Marcelo E. Berli y José Di Paolo
Grupo Biomecánica Computacional
Facultad de Ingeniería – UNER
CC 47, Suc. 3, 3100, Paraná, Entre Ríos
e-mail: [email protected]
Resumen: Las prótesis de cadera son prácticamente la única solución actual para un
paciente con su articulación totalmente desgastada. Si bien la tecnología para la producción
y posterior colocación de prótesis ha mejorado notablemente, estas funcionan
adecuadamente a lo sumo 15 años.
Una de las principales fallas de estos implantes es el desgaste del polietileno del
componente acetabular debido, entre otros factores, a los fenómenos de abrasión, fatiga y la
alta fricción que se produce entre las superficies en movimiento.
La articulación de cadera natural contiene un elemento poroso y elástico (cartílago) capaz
de contribuir en el caudal de fluido sinovial que circula por el canal de lubricación formado
entre las superficies y de adaptarse a las exigencias dinámicas de la articulación. Trabajos
anteriores a éste, sobre modelos de rodilla, demostraron vía resultados numéricos que el
proceso de autolubricación es uno de los principales responsables de los bajos coeficientes
de fricción que se producen en la articulación sana.
En este trabajo se resuelve numéricamente un modelo bidimensional de lubricación de
prótesis de cadera con movimiento pleno en estado estacionario, donde se considera
adherido sobre un componente acetabular rígido, un sustrato genérico poroso, delgado y de
baja rigidez con capacidad de exudar y absorber líquido sinovial, para generar un
mecanismo de autolubricación similar al del cartílago articular.
Los resultados preliminares muestran que el sustrato del componente acetabular de las
prótesis de cadera debería tener un módulo elástico del orden del cartílago articular.
Gracias a la gran capacidad de deformarse, este material evitaría el contacto directo entre
los componentes disminuyendo el desgaste por abrasión, además de lograr una mayor
distribución de la carga reduciendo las tensiones normales que causan el desgaste por fatiga.
Por otro lado dicho material, mediante la capacidad de absorber y liberar fluido,
contribuiría al caudal circulante entre los elementos de la prótesis disminuyendo el
coeficiente de fricción sobre la superficie polimérica.
Palabras claves: Elementos finitos, prótesis de cadera, desgaste, sustrato poroso.
1
INTRODUCCIÓN
Ante un estado de movimiento pleno y bajo la acción de cargas, la articulación de la cadera
humana permite el movimiento relativo entre los huesos que la componen con un mínimo de
fricción entre las superficies en contacto. De esta manera, se preserva la articulación natural
con tasas de desgaste muy bajas a lo largo de toda la vida de un individuo.
Debido a enfermedades propias del envejecimiento humano (artritis, artrosis, etc.),
anormalidades congénitas o traumas previos, la articulación suele sufrir un deterioro
significativo que generalmente llevan al paciente a un estado de rigidez articular con dolores
muy agudos. La mejor solución actual a este problema es el reemplazo de la articulación
dañada con una prótesis. Esta última consta de un componente femoral metálico y un
componente acetabular de Polietileno de Ultra Alto Peso Molecular (UHMWPE). Si bien
estos reemplazos constituyen prácticamente la única solución para una articulación totalmente
desgastada, tienen una vida media de solo 15 años, lo cual en individuos jóvenes puede
devenir en nuevas intervenciones y padecimientos psicofísicos de importancia.
El desgaste del polietileno es reconocido como una de las principales causas de falla de las
prótesis de cadera actuales. Los factores mecánicos más importantes que influyen en el
proceso de desgaste son: la abrasión debido al contacto directo entre los elementos y la fatiga
del material. Esta última puede ser provocada principalmente por las tensiones elevadas que
se producen en cargas cíclicas o, en menor medida, por los esfuerzos cortantes que terminan
por delaminar las superficies. Para ello, la elasticidad y rigidez del material determinarán su
capacidad de adaptarse a las exigencias de la articulación, mientras que la lubricación de las
superficies es un punto fundamental a tener en cuenta para reducir el coeficiente de fricción
en las mismas.
La articulación natural de la cadera está compuesta por extremidades rígidas (huesos)
recubiertas por un material muy deformable y poroso (cartílago hialino). Este último está
constituido por un entramado de moléculas hidrofílicas (colágeno, proteoglicanos) que le
permiten mantener un alto grado de hidratación. Ante la acción de una carga, el líquido
atrapado en el seno del cartílago puede ser exudado por compactación hacia la superficie
articular. De esta manera, el cartílago tiene la capacidad de funcionar como una esponja,
liberando líquido cuando se lo comprime y absorbiéndolo cuando se lo expande. Este
fenómeno trae como consecuencia el aporte de fluido a la zona de contacto para favorecer a la
lubricación de la articulación y, junto con su alta elasticidad y baja rigidez, es una de las
principales diferencias entre una articulación natural y una prótesis actual.
Trabajos previos al que se presenta, sobre un modelo unidimensional de lubricación de la
articulación de rodilla, demostraron que la característica poroelástica de los cartílagos es
fundamental en la obtención de los bajos coeficientes de fricción de las articulaciones
saludables, evidenciando el beneficio del mecanismo de autolubricación [1, 2, 3].
Trabajos posteriores [4] a los citados, realizados también con modelos de lubricación en
una dimensión, permitieron analizar una hipotética prótesis de rodilla conteniendo un
componente de metal y otro de sustrato poroso. En ellos pudo comprobarse la disminución del
coeficiente de fricción respecto a las prótesis con polímeros no porosos, disminución que
llega a ser alrededor de un 30% si se toman rangos de valores óptimos del parámetro θ (factor
de exudación), el cual mide la capacidad que tiene el sustrato poroso para absorber o liberar
fluido de sus poros.
Trabajos realizados sobre un modelo de articulación de cadera [5], presentan el contacto
entre los elementos protésicos mediante la abstracción equivalente de una esfera girando
2
sobre un plano revestido de un material de baja rigidez. El método de solución del modelo
construido sobre dicha representación está basado en la discretización de las ecuaciones
mediante diferencias finitas y fuertes aproximaciones, válidas para un estado de cargas
elevadas.
En este trabajo se emplea un modelo bidimensional de lubricación para analizar una
prótesis de cadera de metal y sustrato poroso de baja rigidez, a través de una ecuación de
Reynolds que surge modificada por el parámetro de exudación. El modelo es estacionario y
de características elastohidrodinámicas, las cuales son representativas del movimiento pleno
de la articulación. Mediante la utilización de un algoritmo de solución simultánea de las
ecuaciones basado en el método de elementos finitos, el método de Newton y procesos de
continuación paramétrica, que no requiere de suposiciones previas acerca de las variables del
problema para su correcta inicialización, se obtuvieron resultados que van en la misma
dirección de aquellos obtenidos para la articulación de rodilla: aparición de un mecanismo de
autolubricación, canal de lubricación superior a la suma de las rugosidades, presiones
moderadas, baja solicitación elástica de los componentes y bajos coeficientes de fricción
hidrodinámica.
MODELO
El modelo de ecuaciones surge del planteo de las ecuaciones de conservación en la
geometría equivalente de la figura 1, y el detalle de su formulación fue presentado en [6]. El
mismo consta de la ecuación de Reynolds y la ecuación de deformación de las superficies
sólidas en contacto, planteadas según las siguientes hipótesis simplificatorias:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Aproximación de lubricación y fluido incompresible.
Fluido sinovial newtoniano.
Flujo estacionario, bidireccional, laminar y Couette dominante.
Componente femoral indeformable.
Componente acetabular poroso de baja rigidez, con capacidad de exudar o absorber
fluido por compactación o expansión. Propiedades elásticas constantes.
Dimensiones de la zona de carga mucho mayor que el espesor del sustrato.
Rugosidad superficial despreciable.
Temperatura constante.
Sustrato firmemente adherido a la base subcondral.
Figura 1: Geometría equivalente del contacto cargado de la prótesis de cadera.
3
Las superficies de la prótesis fueron modeladas como dos esferas en contacto puntual,
siendo la esfera que representa al componente femoral interior a la correspondiente al
componente acetabular. El radio de la esfera equivalente (R/2, ver figura 1) es tal que su
curvatura es igual a la suma de la curvatura de los elementos originales. La geometría
equivalente indeformada, queda descripta por el paraboloide más cercano a la superficie de la
esfera en la zona central de contacto [7]. La ecuación de la altura del canal de lubricación
viene dada por la geometría indeformada más las deformaciones
H = H0 +
X2 Y2
+
+δ
R
R
2
2
2
2
(1)
donde H0 es el entrecruzamiento de las superficies indeformadas y δ la deformación del
sustrato. Esta última, en virtud de las hipótesis 4, 5 y 6, depende sólo de la carga actuante en
cada punto (presión local) y se describe como proporcional a ella, en lo que se conoce como
el modelo de columna restringido [5]:
δ=
L
P
E"
(2)
donde L es el espesor del sustrato y E" el módulo elástico equivalente, cuya expresión, en
función de la hipótesis 6 es:
E" =
(1 − ν )E
(1 + ν )(1 − 2ν )
E y ν son el módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson del sustrato respectivamente.
Asimismo, en este modelo no hemos tenido en cuenta la variaciones del módulo elástico E del
sustrato.
La figura 2 muestra un pequeño volumen situado dentro del canal de lubricación. Al
aplicar el balance de masa y de cantidad de movimiento (ecuaciones de Navier-Stokes) sobre
el liquido sinovial que fluye por dicho volumen, y bajo las hipótesis 1, 2 y 3, surge la
ecuación de lubricación de Reynolds, característica de los flujos muy viscosos que circulan
por canales estrechos. Debido a la existencia de un sustrato poroso con capacidad de
intervenir en el caudal de la película lubricante, se obtuvo una ecuación de Reynolds
modificada, cuya expresión es:
∂
∂X
 H 3 ∂P  ∂  H 3 ∂P 
∂
 =

 +

(UH − 2Uδθ )
 12 µ ∂X  ∂Y  12 µ ∂Y  ∂X
(7)
donde θ es el denominado factor de exudación [1]. Este factor mide la proporción hueca
(saturada con fluido) del volumen deformado del sustrato conectada a poros superficiales, que
es la cantidad de fluido que éste puede liberar o absorber. θ tiene una relación directa pero
desconocida con la porosidad y puede medirse experimentalmente a través de convenientes
ensayos de compactación; en este modelo se consideró uniforme en todo el sustrato. Su
utilización como parámetro en el algoritmo permite encontrar el valor más recomendable para
el mejor funcionamiento de una prótesis.
4
Figura 2: Representación de un pequeño volumen dentro de canal de lubricación.
Las condiciones de contorno que debe cumplir la ecuación de Reynolds, se establecen
sobre el dominio graficado en la figura 3, donde se ha considerado la mitad del dominio total
del problema en función de que la forma de canal y la distribución de presión son simétricos
en la dirección normal al movimiento de las superficies protésicas [5]. Es decir:
en Γ1 , P = 0 ,
en Γ2 , P = 0 ,
(8)
en Γ3 , P = 0 ,
en Γ4 ,
∂P
=0
∂Y
Figura 3: Representación del semidominio para la solución de las ecuaciones.
Las condiciones de contorno impuestas, si bien son de fácil manejo computacional,
conducen a la obtención de resultados que presentan presiones subambientes de las cuales no
hay evidencia en un contacto de las características del que aquí se presenta. No obstante, con
las condiciones de contorno impuestas se predice un campo de presiones muy cercano al real,
donde las presiones subambientes se hacen muy pequeñas para un contacto muy cargado o
entre sólidos muy deformables [7], como éste. Las condiciones de contorno que representan
adecuadamente la realidad de un contacto lubricado, son las denominadas de Reynolds. Estas
5
condiciones son de compleja implementación [8], ya que deben imponerse en una frontera
cuya ubicación se desconoce.
La distribución de presión en el fluido es quién soporta la carga evitando que los sólidos en
contacto se toquen, por lo tanto debe cumplirse que la magnitud de la carga (W) sea igual a la
integral de la presión en todo el dominio:
W =∫
Ω
P dX dY
(9)
Cabe destacar que dada la simetría del dominio (ver figura 3), solo se resuelven las
ecuaciones en la mitad de él y por lo tanto, la carga W (ver Tabla II) es la mitad de la que
soporta el contacto entero.
Las fuerzas de fricción (F) sobre cada superficie lubricada, pueden obtenerse por la
integración en el dominio del esfuerzo cortante obrante en cada punto de ellas. Debido a que
en la dirección perpendicular (dirección Y) al movimiento de la prótesis, no existe
movimiento de deslizamiento entre los componentes de la misma, y debido a la simetría con
respecto al centro del contacto, sólo se consideran los esfuerzos cortantes en dirección X. Por
la aproximación de lubricación, este esfuerzo puede obtenerse de la siguiente expresión:
τ 1, 2 =
∂P H
2U
µµ
H
∂X 2
Finalmente:
F1, 2 = ∫ τ 1, 2 dX dY
(10)
Ω
y los factores de fricción φ en cada superficie en contacto, quedan definidos como el cociente
entre la fuerza de fricción correspondiente y la carga.
φ1, 2 =
F1, 2
(11)
W
Mediante la solución de las ecuaciones en forma adimensional, pueden representarse varias
situaciones dimensionales, por lo cual se utilizaron las magnitudes características de la tabla I
para el proceso de adimensionalización. Ello generaliza la utilidad del código para abordar
contactos lubricados con la misma representación pero, por ejemplo, de ocurrencia industrial.
Magnitud característica
Presión característica
Longitud característica para
las direcciones X e Y
Longitud característica para la
altura del canal y las
deformaciones
Caudal característico
µo U  R 
1
2
5
  10
L L
(R L)1/2
L
2UL
Tabla I: Magnitudes características para el proceso de adimensionalización
6
El modelo en variables adimensionales es:
Ecuación del canal de lubricación:
h = ho + x 2 + y 2 + δ
(12)
Ecuación de elasticidad basada en el modelo de columna:
δ = NE1 p
(13)
donde el número elástico NE1 surge de la adimensionalización de las ecuaciones
1
NE1 =
µ U  R 2
5
  10
L E"  L 
Ecuación de Reynolds modificada:
∂  3 ∂p  ∂  3 ∂p  ∂
 = [( NG )h − ( NE 2 )θp ]
h
 + h
∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂x
(14)
donde
NG = 12 ×10 −5
24 µ U
NE 2 =
L E"
y
1
 R 2
 
L
Ecuación para la carga:
W (10 −5 )  L 
NW =
 
µ UR  R 
1
2
=∫
Ω
p dx dy
(15)
NW es la carga adimensional que, para la obtención de los resultados, es utilizada como
parámetro de continuación.
METODO DE SOLUCION
Las ecuaciones del modelo planteado presentan un fuerte acoplamiento debido a la mutua
dependencia entre la presión del fluido y la deformación del elemento tibial (ver ecs. (13) y
(14)). En este trabajo se utilizó una técnica numérica de solución simultánea de las ecuaciones
[1, 2] que fue utilizada con éxito en el problema del mismo género pero en una dimensión,
basada en el método de elementos finitos, el método de Newton y procesos de continuación
paramétrica. El código computacional fue ejecutado en una computadora personal Pentium
III, de 733 MHz y 512 Mb de RAM, en doble presición. El semidominio fue discretizado con
una distribución de elementos rectangulares (ver figura 4) de nueve nodos, para aproximar la
función incógnita (presión) con funciones bicuadráticas. Los elementos fueron dispuestos de
manera tal que exista un mayor número de ellos en la dirección del movimiento relativo de las
superficies de la prótesis (x), debido a que ésta es la principal dirección en la cual se produce
la fricción.
7
(a)
(b)
Figura 4: a) Numeración local de los nodos de un elemento
b) Ejemplo de disposición de elementos y numeración global.
El algoritmo trabaja de forma que las únicas incógnitas son las presiones en cada nodo del
dominio, siendo las deformaciones, el canal y la carga (ver ec. (15), funciones implícitas de la
presión. Los coeficientes de fricción son luego obtenidos mediante un postprocesamiento de
las variables.
Inicialmente, se realiza un proceso de continuación paramétrica sobre la carga
manteniendo los otros parámetros posibles de variar constantes y con un coeficiente de
exudación nulo. El algoritmo no requiere aproximaciones o suposiciones acerca del valor de
las variables para ser inicializado, el mismo se ejecuta desde el estado de carga casi nula
donde los elementos en contacto no se entrecruzan (h0 > 0) y donde las presiones y las
deformaciones son prácticamente nulas.
Una vez alcanzado el valor de carga buscado y para analizar el efecto de la porosidad del
sustrato, el código puede ejecutarse variando el coeficiente de exudación por medio de
continuación paramétrica, manteniendo la carga constante. Análogamente puede analizarse la
influencia de cualquier otro parámetro (por ejemplo E” a través de NE1) mediante un
procedimiento análogo.
La obtención de un resultado característico requiere aproximadamente 72 horas de tiempo
de CPU o más (dependiendo del número de elementos), necesitándose de tres a cinco
iteraciones de Newton para cada valor del parámetro de continuación.
RESULTADOS Y DISCUSIONES
Las ecuaciones (12) a (15) se resuelven para los valores físicos y operativos de una prótesis
de cadera que se listan en la Tabla II. Analizando los resultados para distintas
discretizaciones, se detectó que los mismos son muy sensibles al tamaño y, sobre todo, a la
cantidad de elementos en la dirección del movimiento de la prótesis (dirección x).
Para una cantidad de 56 elementos dispuestos en la dirección x y 20 en la dirección y, los
resultados vistos según un corte con el plano y = 0, muestran oscilaciones con magnitudes del
orden de la altura del canal, llegando a tomar valores negativos (figura 5a). Esto se encuentra
en contraposición con la hipótesis de existencia de una película fluida. Aumentando el
número de elementos en la dirección x a 90 y disminuyendo el tamaño de los mismos en la
desembocadura del canal, las oscilaciones se reducen hasta tomar amplitudes muy pequeñas
comparadas con los valores mínimos del espesor del canal (figura 5b). La diferencia entre los
resultados de ambas distribuciones en la porción oscilante del canal se aprecia mejor en la
figura 6. En virtud de que los recursos computacionales disponibles son limitados, no se
pueden obtener resultados con mayor número de elementos, por lo cual se utilizó finalmente
la distribución de 90 elementos en x por 20 en y.
8
Radio del cilindro equivalente
Velocidad tangencial media de la
superficie cilíndrica
Viscosidad a la entrada del canal
Módulo elástico del polímero poroso
Símbolo
R/2
U
Magnitud
0,7 m
0,0191 m/s
µ
E
ν
1,0 Pa s
20×106 Pa
100×106 Pa
0,4
L
W
1×10-3 m
367 N
Coeficiente de Poisson del sustrato
poroso
Espesor del sustrato poroso
Carga sobre el contacto (la mitad del
peso de un individuo medio)
Tabla II: Parámetros físicos y operativos de una prótesis de cadera.
0,015
0,015
a)
0,010
56Elementos
Elementosen
enxx
56
20Elementos
Elementosen
enyy
20
0.011
θ = 0,011
NE
1.18
NE11==1,18
b)
0,010
h
90
90Elementos
Elementosen
enxx
20
20Elementos
Elementosen
enyy
θθ == 0,011
0.011
NE
NE1 ==1,18
1.18
1
h
0,005
0,005
0,000
0,000
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
x
x
Figura 5: Canal de lubricación según un corte con el plano x-z en el centro del contacto.
Para a) 56 y b) 90 elementos en la dirección x .
0,006
0,004
h
0,002
56
56 elementos
elementosen
enx,x,20
20en
enyy
90 elementos
elementosen
enx,x,20
20en
enyy
90
0,000
0,10
0,15
0,20
x
0,25
0,30
0,35
Figura 6: Ampliación de la zona de oscilaciones de las figuras 5a y 5b, para los valores de la tabla II.
El problema de las oscilaciones también fue analizado en función de uno de los parámetros
más importantes de la articulación artificial, como lo es el módulo elástico del medio poroso
ubicado en el componente acetabular. Las figuras 8a y 8b muestran la comparación de los
canales de lubricación entre dos sustratos con módulos elásticos de 20 MPa (NE1 = 1.18) y
100 MPa (NE1 = 0.236), siendo el primer valor del orden del que posee el cartílago articular
natural, y el segundo del mismo orden de magnitud que el mínimo módulo elástico
encontrado en la bibliografía para los polímeros actualmente utilizados (500 MPa). Puede
9
observarse que las oscilaciones no son significativamente sensibles a este parámetro, ya que la
amplitud de las mismas para ambos módulos elásticos es del mismo orden, presentando
diferencias muy pequeñas.
En virtud de las pruebas efectuadas, se cree que las oscilaciones se deben en general al
término de primer orden en la ecuación de Reynolds y a las condiciones de contorno
utilizadas, extrapolando lo que pudo establecerse en el estudio del problema análogo en una
dimensión [1, 9].
0,010
0,008
0,006
h
0,004
NE
θ =θ 0,011
NE1 ==0,236,
0.236,
= 0.011
1
0,002
NE
NE11==1,18
1.18, θ, =θ 0,011
= 0.011
NE11==1,18
1.18, θ, =θ 0,000
= 0.000
NE
Elementos: 90
: 90
X 20
Elementos
X 20
0,000
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
x
Figura 8a: Canal de flujo adimensional para una discretización de 90 elementos en x y 20 elementos en y,
para dos valores del módulo elástico.
0,006
0,005
0,004
h
0,003
NE
θ =θ 0,011
NE1 ==0,236,
0.236,
= 0.011
1
NE
NE1 1==1,18
1.18, θ, =θ 0,011
= 0.011
0,002
NE1 1==1,18
1.18, θ, =θ 0,000
= 0.000
NE
Elementos
: 90
X 20
Elementos
: 90
X 20
0,001
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
x
Figura 8b: Ampliación de la figura 8a en la zona de salida del canal.
En la figuras 9a y 9b se observa la deformación que sufren los sustratos porosos de la
figura 8a. Dicha deformación es tanto mayor cuanto menor es la rigidez del sustrato,
permitiendo el alojamiento del componente femoral sin que se produzca contacto directo entre
las superficies.
Un sustrato de baja rigidez, al tener mayor capacidad para deformarse, puede adaptarse a
las exigencias de la articulación cargada. El sustrato de la figura 9a está sujeto a los mismos
valores de las variables operativas (carga y velocidad) que el de la figura 9b, sin embargo las
dimensiones del valle que se produce en el primero favorece la formación de canales
10
alrededor de un 80 % más amplios que el segundo, lo cual puede apreciarse mejor en el corte
de la figura 8a.
NE1 = 1,18
θ = 0,011
Figura 9a: Deformación del sustrato (vista en un semidominio) en un estado de movimiento pleno sujeto
a la carga del individuo considerado y con un módulo elástico de 20 MPa..
NE1 = 0,236
θ = 0,011
Figura 9b: Deformación de un sustrato con un módulo elástico de 100 MPa,
en las mismas condiciones que la figura 9a.
11
Tanto en el polietileno como en el metal de las prótesis actuales, no se pueden lograr
superficies completamente libres de rugosidad, cuya suma puede oscilar entre los 0,4 y 0,6
µm [10]. Si bien el modelo no contempla la rugosidad superficial, de las curvas del canal se
puede inferir que en prótesis cuyos sustratos tengan módulos elásticos mayores a 100 MPa,
las superficies tendrían acercamientos menores a 2,0 µm que pueden provocar el contacto
directo entre las asperezas superficiales, mientras que las superficies de baja rigidez alejan
esta posibilidad por promover canales con dimensiones mayores a 3,8 µm. Estas curvas
sugieren que en prótesis con polímeros de alto módulo elástico (comparado con el cartílago
articular), aumentaría la probabilidad del desgaste abrasivo.
Al mismo tiempo, como muestran las figuras 10a y 10b, un elemento con gran capacidad
de deformarse permite una mayor distribución de la carga sobre el sustrato para no exceder el
límite elástico del mismo, logrando tensiones menores que alivirían al componente acetabular.
En la construcción de las prótesis actuales se sugiere que el componente acetabular no
supere tensiones normales de 10 MPa [11]. No obstante, como criterio de diseño se utiliza una
tensión admisible de 5,0 MPa debido a las fallas por fatiga que pueden producirse en este
material [11]. En la figura 11 se observa la distribución de presión en la zona central del
contacto donde se generan las máximas presiones sobre el sustrato poroso, evidenciando
valores menores a 3,0 MPa para los parámetros de la Tabla II. Si bien el material modelado es
genérico, estos resultados preliminares pueden alentar el estudio de sustratos con baja rigidez
para el componente acetabular, ya sea UHMWPE u otro material biocompatible como ciertos
hidrogeles en estudio.
NE1 = 1,18
θ = 0,011
Figura 10a: Distribución del campo de presión debido a la deformación del sustrato. con θ=0,011 y los
valores de las variables de la tablaII, para un sustrato con E=20 MPa.
12
NE1 = 0,236
θ = 0,011
Figura 10b: Distribución del campo de presión para un sustrato con E=100 MPa e iguales condiciones que la
figura 10a.
Un análisis más detallado de la figura 11, respecto de la presión máxima generada sobre el
sustrato de 100MPa (> 7,0 MPa), permite inducir que los polímeros actuales cuyos módulos
elásticos son mayores a 500 MPa, estarían trabajando muy por encima de las tensiones
admisibles. Ello justificaría en cierto modo la ocurrencia de las fallas por fatiga que suelen
evidenciarse en las prótesis totales de cadera.
0,15
NE
0.236
NE11 ==0,236
NE11 ==1,18
NE
1.18
θθ==0,011
0.011
Elementos:
90X20
Elementos:
90x20
0,10
p
0,05
0,00
-0,05
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
x
Figura 11: Distribución de presiones en el plano central de simetría del contacto para dos valores del módulo
elástico del sustrato polimérico.
La articulación de la cadera, al trabajar a altas cargas, necesita de un eficiente mecanismo
de lubricación para evitar dos fenómenos: el contacto directo entre los materiales y los
13
elevados esfuerzos cortantes que se reflejan a través del coeficiente de fricción. El primero
lleva al desgaste abrasivo, mientras que el segundo contribuye a la fatiga del material,
provocando la delaminación del polímero.
Los coeficientes de fricción medidos en máquinas de ensayo sobre prótesis de cadera, son
relativamente elevados (0,1 a 0,05) en comparación a los medidos en juntas sinoviales
naturales (0,01 a 0,001) [12]. Como se mencionara en la introducción, una de las principales
diferencias entre las articulaciones naturales y una prótesis actual, es que las primeras poseen
un mecanismo de autolubricación por el cual los cartílagos son capaces de proveer desde sus
poros el fluido necesario para sostener una película lubricante entre las superficies.
La figura 12 muestra como el mecanismo de autolubricación reduce el coeficiente de
fricción con respecto al sustrato no poroso. Ello provocaría una disminución del desgaste
generado por delaminación y al mismo tiempo, evitaría la rotura de la película lubricante
situada entre las superficies.
-3
3,5x10
-3
3,4x10
-3
3,3x10
-3
3,2x10
φ
NE
NE1 1==1,18
1.18
NE
NE2 2==0,236
0.236
-3
3,1x10
-3
3,0x10
-3
2,9x10
-3
2,8x10
0,0
-3
4,0x10
-3
8,0x10
-2
1,2x10
-2
1,6x10
-2
2,0x10
-2
2,4x10
θ
Figura 12: Coeficiente de fricción en función del factor de exudación, para los parámetros
de la tabla II.
CONCLUSIONES
Se ha resuelto numéricamente un modelo de lubricación bidimensional de prótesis de
cadera con fluido newtoniano. La información obtenida a través de los resultados, si bien
depende de las hipótesis asumidas, es extremadamente difícil de obtener con métodos
experimentales.
En este trabajo se han comparado dos hipotéticos sustratos porosos con distinto grado de
rigidez. De los resultados se puede inferir que un material poroso de baja rigidez aliviaría la
articulación artificial de las principales causas de desgaste. Un sustrato con un módulo
elástico del orden del cartílago articular, posee una mayor capacidad para deformarse en
comparación con el polietileno de las prótesis actuales. Esto deviene en una mayor separación
entre los elementos de la prótesis evitando el desgaste por abrasión. Al mismo tiempo, la
carga se distribuye en una superficie más amplia, disminuyendo las máximas tensiones
normales causantes de la fatiga del material.
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Por otro lado, utilizando sustratos porosos, se obtiene una reducción del coeficiente de
fricción (por ende de la fricción) y, por lo tanto, una disminución del desgaste generado por
delaminación del material. Además, la capacidad de exudación-absorción del sustrato poroso,
genera un mecanismo de autolubricación que evita la rotura de la película lubricante entre las
superficies articulares. Debido a que el fenómeno de exudación-absorción es beneficioso
independientemente de la rigidez del sustrato, también podría incluirse en la estructura del
polímero utilizado actualmente para la producción del componente acetabular, con lo cual se
podría alargar la vida útil de las prótesis de cadera.
En futuros trabajos, con la implementación de condiciones de contorno mas adecuadas
para el modelo de prótesis de cadera, se espera poder evaluar el funcionamiento de las mismas
ante estados de carga más elevados. Ello permitirá elegir con mayor precisión la combinación
óptima de los parámetros del material polimérico que genere un mínimo desgaste.
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