Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones
Anuncio
Realizaciones
Tema 4: Solución del Espacio de Estado y
Realizaciones
Parte III
Virginia Mazzone
Contenidos
Realizaciones
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
Realizaciones
Como vimos, todo sistema lineal estacionario (invariante en el
tiempo) puede describirse por una representación
entrada-salida con matriz transferencia
ŷ (s) = Ĝ(s)û(s),
y si el sistema es de dimensión finita, también por una
representación en interna en EE
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y (t) = Cx(t) + Du(t).
Cuando tenemos las EE, {A, B, C, D}, la matriz transferencia
puede calcularse en forma única como
Ĝ(s) = C(sI − A)−1 B + D.
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
El problema inverso, de obtener las EE {A, B, C, D} de Ĝ(s), se
llama problema de realización.
Diremos que una matriz transferencia Ĝ(s) es realizable si existe una EE con {A, B, C, D} tales que Ĝ(s) =
C(sI − A)−1 B + D, y el cuádruplo {A, B, C, D} se dice
una realización de Ĝ(s).
Como sabemos, si existe una realización, existen infinitas, no
necesariamente de la misma dimensión.
I Una función transferencia racional es propia si el grado del
polinomio numerador no supera al grado del polinomio
denominador, estrictamente propia si el grado del
numerador es menor que el del denominador.
I Una matriz transferencia es (estrictamente) propia si todos
sus elementos son funciones racionales (estrictamente)
propias.
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
Teorema (Realizabilidad)
Una matriz transferencia Ĝ(s) es realizable ⇔ Ĝ(s) es una
matriz racional y propia.
Demostración:
(⇒) Si Ĝ(s) es realizable, entonces existen matrices
{A, B, C, D} tales que
Ĝ(s) = C(sI − A)−1 B + D
1
=
C adj(sI − A)B + D
det(sI − A)
Si A es n × n, det(sI − A) es un polinomio de orden n. Como
cada elemento de adj(sI − A) es el determinante de una
submatriz (n − 1) × (n − 1), C adj(sI − A)B es una matriz de
polinomios de a lo sumo grado n − 1. Así C(sI − A)−1 B es
racional y estrictamente propia, y si D 6= 0, Ĝ(s) racional y
propia.
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
(⇐) Si que Ĝ(s) es una matriz racional propia q × p
descomponemos Ĝ(s) = Ĝ(∞) + Ĝep (s), donde Ĝep (s) es la
parte estrictamente propia de Ĝ(s).
Definimos d(s) = s r + αr −1 s r −1 + · · · + α1 s + α0 como el
polinomio mónico mínimo común denominador de los
elementos de Ĝep (s). Entonces podemos expresar
Ĝep (s) =
1 Nr −1 s r −1 + Nr −2 s r −2 + · · · + N1 s + N0 ,
d(s)
donde las Ni son matrices constantes q × p. Entonces no es
difícil probar que el conjunto de EE en forma canónica del
controlador
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
0
0
..
.
Ip
0
..
.
0
Ip
..
.
0
0
.
x(t) + .. u(t)
0
...
Ip
Ip
. . . −αr −1 Ip
...
...
..
.
0
0
..
.
ẋ(t) =
0
0
0
−α0 Ip −α1 Ip −α2 Ip
y = N0 N1 N2 . . . Nr −1 x(t) + Ĝ(∞)u(t)
es una realización de Ĝ(s), finalizando la demostración.
Ejemplo: Consideremos la matriz transferencia
"
#
"
4s−10
3
−12
2 0
2s+1
s+2
2s+1
Ĝ(s) =
+
=
1
s+1
1
0 0
(2s+1)(s+2)
(s+2)2
| {z } | (2s+1)(s+2)
{z
Ĝ(∞)
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Ĝep (s)
3
s+2
s+1
(s+2)2
#
}
Realizaciones
0
0
..
.
Ip
0
..
.
0
Ip
..
.
0
0
.
x(t) + .. u(t)
0
...
Ip
Ip
. . . −αr −1 Ip
...
...
..
.
0
0
..
.
ẋ(t) =
0
0
0
−α0 Ip −α1 Ip −α2 Ip
y = N0 N1 N2 . . . Nr −1 x(t) + Ĝ(∞)u(t)
es una realización de Ĝ(s), finalizando la demostración.
Ejemplo: Consideremos la matriz transferencia
"
#
"
4s−10
3
−12
2 0
2s+1
s+2
2s+1
Ĝ(s) =
=
+
1
s+1
1
0 0
(2s+1)(s+2)
(s+2)2
| {z } | (2s+1)(s+2)
{z
Ĝ(∞)
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Ĝep (s)
3
s+2
s+1
(s+2)2
#
}
Realizaciones
0
0
..
.
Ip
0
..
.
0
Ip
..
.
0
0
.
x(t) + .. u(t)
0
...
Ip
Ip
. . . −αr −1 Ip
...
...
..
.
0
0
..
.
ẋ(t) =
0
0
0
−α0 Ip −α1 Ip −α2 Ip
y = N0 N1 N2 . . . Nr −1 x(t) + Ĝ(∞)u(t)
es una realización de Ĝ(s), finalizando la demostración.
Ejemplo: Consideremos la matriz transferencia
"
#
"
4s−10
3
−12
2 0
2s+1
s+2
2s+1
Ĝ(s) =
=
+
1
s+1
1
0 0
(2s+1)(s+2)
(s+2)2
| {z } | (2s+1)(s+2)
{z
Ĝ(∞)
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Ĝep (s)
3
s+2
s+1
(s+2)2
#
}
Realizaciones
El polinomio mónico común denominador de Ĝep (s) es
d(s) = (s + 0,5)(s + 2)2 = s 3 + 4,5s 2 + 6s + 2. Así podemos
escribir
1
−6(s + 2)2 3(s + 2)(s + 0,5)
Ĝep (s) = 3
s + 4,5s 2 + 6s + 2 0,5(s + 2) (s + 1)(s + 0,5)
1
−6 3 2
−24 7,5
−24 3
=
s +
s+
0 1
0,5 1,5
1
0,5
d(s)
y entonces una realización de la matriz de trasnferencia es
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
0
0
· · ·
0
x˙=
0
· · ·
−2
0
−24
y=
1
0
..
.
..
.
1
0
..
.
..
.
0
0
0
0
0
0
0
···
· · · · · ·
0
0
u
x + 0
0
0
1
· · · · · ·
···
1
0
0
0
1
0
0
1
0
··· ··· ··· ··· ··· ···
..
..
0
.
0
0
.
1
..
..
0
.
0
0
.
0
··· ··· ··· ··· ··· ···
..
..
0
. −6 0
. −4,5
..
.
−2 .
0 −6 ..
0
−4,5
.
.
3 .. −24 7,5 .. −6 3
2 0
x+
u
.
.
0 0
0,5 .. 0,5 1,5 .. 0 1
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
Analicemos el caso particular de un sistema de una entrada
(SIMO). Por simplicidad supongamos que r = 4 y q = 2, pero
los resultado se aplican para cualquier r y q. Consideremos la
matriz racional y propia de 2 × 1
1
d1
β31 s 3 + β21 s 2 + β11 s + β01
Ĝ(s) =
+
d2 s 4 + α3 s 3 + α2 s 2 + α1 s + α0 β32 s 3 + β22 s 2 + β12 s + β02
Luego una realización será
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
x + u
ẋ =
0
0
0
0
1
−α0 −α1 −α2 −α3
1
β
β11 β21 β31
d
y = 01
x+ 1 u
β02 β12 β22 β32
d2
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
Existen varias formas de obtener una realización de una matriz
transferenica propia. Consideremos Ĝci (s) la columna i -ésima
de Ĝ(s) y sea ui la i -ésima componente de la entrada u. Luego
ŷ(s) = Ĝ(s)u(s) puede ser expresado por
u1
ŷ(s) = Ĝc1 (s)û1 (s) + Ĝc2 (s)û2 (s) + · · ·
u2
:= ŷc1 + ŷc2 + · · ·
Ĝc1 (s)
Ĝc2 (s)
y(s)
.
.
.
De esta forma, podemos obtener una realización de cada
columna de Ĝ(s) y luego combinándolas podemos obtener una
realización de Ĝ(s)
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
Si Ai , Bi , Ci , Di es una realización de la columna Ĝci (s), para
i = 1, 2, · · · entonces una realización de la superposición es
A1 0 · · ·
B1 0 · · ·
u1
0 A2 · · ·
0 B2 · · · u2
ẋ =
x +
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
u1
y = C1 C2 · · · x + D1 D2 · · · u2
..
.
De la misma forma puede resolverse considerando las filas de
Ĝ(s)
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
Si Ai , Bi , Ci , Di es una realización de la columna Ĝci (s), para
i = 1, 2, · · · entonces una realización de la superposición es
A1 0 · · ·
B1 0 · · ·
u1
0 A2 · · ·
0 B2 · · · u2
ẋ =
x +
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
u1
y = C1 C2 · · · x + D1 D2 · · · u2
..
.
De la misma forma puede resolverse considerando las filas de
Ĝ(s)
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
Ejemplo: Consideremos nuevamente la matriz transferencia del
ejemplo anterior, analizando ahora por columna
# "
4s−10
1
2
−6
−12
2s+1
=
+ 2 5
s+
Ĝc1 (s) =
1
0
0
0,5
s + 2s + 1
(2s+1)(s+2)
"
#
3
1
3
6
s+2
s+
Ĝc2 (s) = s+1 = 2
1
1
s + 4s + 4
(s+2)2
De donde obtenemos las siguientes realizaciones
0
1
0
0
1
0
ẋ1 =
u1
ẋ2 =
x2 +
u
5 x1 +
1
−4 −4
1 2
−1 − 2
−12 −6
2
6 3
yc1 =
x1 +
u
yc2 =
x
1
0 1
1 1 2
0
2
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
Realizaciones
Finalemte superponemos las realizaciones de las columnas de
Ĝ(s) para obtener una realización completa
..
..
1
.
0
0
.
0
0
0
.
.
..
−1 − 52 ..
1
0
0
0
u1
ẋ1
x1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
=
u2
x2 +
ẋ2
..
..
0
0
.
0
0
.
0
1
..
..
0
.
1
0
0
. −4 −4
.
.
−12 −6 .. 6 3 x1
2 .. 0 u1
y=
+
.
..
x2
u2
1
0
.
1
1
0 .. 0
2
que es equivalente a estado cero con la realización obtenida
antriormente
Virginia Mazzone: Tema 4: Solución del Espacio de Estado y Realizaciones Parte III
