TARIFAS DE CUBICACIÓN Y CURVAS DE CALIDAD DE

TARIFAS DE CUBICACIÓN Y CURVAS DE CALIDAD DE ESTACIÓN PARA Pinus radiata
D. DON EN EL BIERZO (LEÓN)
F. Castedo Dorado1*, A. Fernández Manso1, M.F. Álvarez Taboada1
1Grupo
de Investigación Ingeniería y Planificación Rural (IPR). Departamento de Ingeniería Agraria,
Universidad de León. Escuela Superior y Técnica de Ingeniería Agraria, Campus de Ponferrada.
Avda. de Astorga s/n. 24400 PONFERRADA.
*Dirección de contacto: Tfno.: +34 987 442078, fax: +34 987 442070, e-mail: [email protected]
Resumen
Pinus radiata ocupa unas 15 000 ha en El Bierzo (León), la mayoría de ellas correspondientes
a masas muy jóvenes. A pesar de la importancia superficial y económica de la especie en la zona no
se ha llevado a cabo hasta el momento ningún estudio para la determinación precisa de la calidad de
estación y del volumen de las masas, herramientas básicas para un manejo sostenible de las mismas.
En este trabajo se presentan dos herramientas que se consideran fundamentales para la futura gestión
de estas plantaciones: tarifas de cubicación de árbol individual y curvas de calidad de estación. La
falta de homogeneidad de varianza de los residuos en el ajuste de las tarifas de cubicación de dos
entradas se ha solucionado mediante regresión ponderada, que ha permitido la obtención de
estimaciones de los parámetros más eficientes. Por su parte, para el ajuste de las curvas de
crecimiento en altura dominante se han utilizado ecuaciones en diferencias algebraicas, considerando
la estructura de datos de todos los intervalos de crecimiento ascendentes sin solapado. El modelo en
diferencias algebraicas que presentó mejor comportamiento gráfico y numérico está basado en la
función de Bertalanffy-Richards. A partir de las curvas de calidad de estación elaboradas se ha
comprobado que existe un amplio rango de variación del índice de sitio en la zona, a pesar de su
relativa homogeneidad edáfica y fisiográfica.
PALABRAS CLAVE: pino radiata, ecuaciones en diferencias algebraicas, altura dominante- edad,
volumen, regresión ponderada
INTRODUCCIÓN
Las masas de pino radiata (Pinus radiata D. Don) en la comarca de El Bierzo (León) ocupan
unas 15 000 ha, la mayoría de ellas jóvenes al proceder de repoblaciones recientes realizadas al
amparo de órdenes de ayudas para la forestación de tierras agrarias o del programa MINER
(FERNÁNDEZ MANSO et al., 2001). A pesar de esta importancia superficial (y también económica)
de la especie en la zona, no se ha llevado a cabo hasta el momento ningún estudio para la
determinación precisa de la calidad de estación y del volumen de las masas, herramientas básicas para
un manejo sostenible de las mismas.
La gestión tradicional de los rodales de esta especie en la comarca ha estado dirigida hasta
hace poco tiempo a la producción de madera para apeas de mina o para la industria de trituración,
destinos con un bajo valor añadido. Actualmente, sin embargo, la crisis en el sector minero ha hecho
que muchas masas se estén empezando a gestionar para la consecución de otro tipo de
aprovechamientos industriales. En estos casos parece adecuada la adaptación del modelo selvícola
mayoritariamente aplicado en las masas de pino radiata en el resto de España con la finalidad de
obtener madera de calidad para sierra y chapa. Este modelo podría incrementar sustancialmente los
beneficios obtenidos mediante la gestión tradicional y distribuiría los ingresos durante distintas fases
del ciclo productivo, pudiendo crear, además, empleo estable en la zona al aumentar la intervención
selvícola en el monte.
La implementación de estos nuevos esquemas selvícolas pasa por del desarrollo de
herramientas dasométricas locales que se adapten a la singularidad de las estaciones forestales de la
comarca. Dos de ellas, consideradas básicas para la gestión práctica, son las tarifas de cubicación de
árbol individual y las curvas de calidad de estación. Las tarifas de cubicación son imprescindibles
para la estimación precisa del volumen de los árboles individuales, y por agregación de los volúmenes
unitarios, del volumen de la masa. Por su parte, las curvas de crecimiento en altura dominante,
también denominadas curvas de índice de sitio, son precisas para definir la calidad de estación, por lo
que son el primer paso para poder abordar la producción y los posibles modelos selvícolas
para la especie en la zona.
Por tanto, dos han sido los objetivos básicos de este trabajo: (i) elaborar un sistema de calidad
de estación para la estimación del índice de sitio y del crecimiento en altura dominante; (ii) elaborar
tarifas de cubicación de dos entradas para la estimación del volumen de los árboles en pie. Con ello se
pretende poner a disposición de los propietarios y gestores forestales unas herramientas fiables y de
sencilla aplicación para estimar la calidad de estación y las existencias maderables de las plantaciones
de pino radiata en la comarca de El Bierzo.
MATERIAL Y MÉTODOS
Datos
Para llevar a cabo los objetivos mencionados se inventariaron 45 parcelas permanentes en
rodales repoblados con pino radiata en las que se apeó una muestra de 41 árboles dominantes. En la
selección de las parcelas se pretendió conseguir una muestra representativa de edades, densidades y
calidades de estación de las masas de la especie en la comarca, cubriendo adecuadamente todo el
territorio. Para la instalación y medición de las parcelas, así como para la selección de los árboles
dominantes, se siguieron las recomendaciones realizadas por MADRIGAL et al. (1992) para la
elaboración de las tablas de producción de Fagus sylvatica en Navarra.
Los árboles utilizados en la construcción de las curvas de calidad de estación y las tarifas de
cubicación fueron seleccionados en los alrededores de las parcelas de entre aquellos que difiriesen
menos de un 5% respecto a las medias de los diámetros y las alturas dominantes de la parcela
(considerando como árboles dominantes a los 100 pies más gruesos por hectárea). Antes de su apeo se
midió su diámetro y su espesor de corteza a 1,3 m de altura, y una vez apeados se midió su altura total
con la ayuda de una cinta métrica con una aproximación de 1 dm. A continuación fueron cortados en
trozas de longitud variable: 2,5, 2 y 1m, llevándose a cabo el análisis de tronco mediante el conteo de
anillos de crecimiento en las secciones de corte. Asimismo, se midieron las longitudes y los diámetros
en cruz de las trozas con cinta métrica y apreciación centimétrica y milimétrica, respectivamente.
Para cubicar las trozas se utilizó la fórmula de Smalian. Las alturas obtenidas del análisis de
tronco fueron corregidas mediante el algoritmo de CARMEAN (1972) para solventar la
subestimación que supone la no coincidencia del corte con el término de cada incremento en altura,
obteniéndose finalmente 743 pares de datos altura dominante-edad.
Los valores de los estadísticos descriptivos más comunes para las variables edad (t), altura
dominante (H0), diámetro normal (d), altura total (h) y volumen total con corteza (v) de la muestra de
árboles empleada se muestran en la Tabla 1. Como se aprecia, la muestra utilizada cubre una amplia
gama de valores, lo que proporciona suficiente validez a los modelos que se desarrollen.
Tarifas de cubicación
En este estudio se han ajustado solamente tarifas de cubicación de dos entradas, ya que debido
al tamaño y a la distribución geográfica de la muestra de árboles empleada, se considerar
suficientemente válidas para toda la comarca. Existen numerosas ecuaciones usadas en la
construcción de tarifas de cubicación (ver p. ej. DIÉGUEZ et al., 2003), sin embargo, según ha
demostrado la experiencia, las tarifas de dos entradas que suelen proporcionan los mejores resultados
son las de SPURR (1952) y la de SCHUMACHER & HALL (1933).
El modelo de SPURR (1952) se conoce también con el nombre de modelo lineal de variable
combinada y tiene la forma:
v = b0 + b1d 2 h
[1]
Esta función, ajustada sin término independiente, se denomina modelo de factor de forma
constante, dado que la expresión d 2 h al ser multiplicada por la constante π 4 representa el volumen
de un cilindro, por lo que el coeficiente b1 representa el coeficiente mórfico, que transforma el
volumen de ese cilindro en el volumen real del árbol:
[2]
v = b1d 2 h
El modelo de SCHUMACHER & HALL (1933), también denominado modelo alométrico,
tiene por expresión:
v = b0 d b1 h b2
[3]
Esta ecuación puede ser considerada como una generalización del modelo lineal de variable
combinada, donde no se fijan a priori los exponentes que afectan a las variables
independientes.
Curvas de calidad de estación
Existe un gran número de funciones de crecimiento que pueden ser usadas para describir el
desarrollo de la altura dominante de una masa con la edad, pero no todas ellas cumplen los requisitos
deseables en una función de este tipo (GOELZ & BURK, 1992): polimorfismo, ser creciente y poseer
un punto de inflexión, existencia de asíntota horizontal a edades avanzadas, comportamiento lógico,
base teórica y ser invariante en la edad de referencia. Por otra parte existen tres metodologías básicas
de construcción de curvas de calidad de estación (CLUTTER et al., 1983): el método de la curva guía,
el método de predicción de parámetros y el método de ecuaciones en diferencias algebraicas. Esta
última metodología es considerada actualmente la más adecuada para la elaboración de curvas de
calidad de estación, ya que garantizan el cumplimento de la mayoría de las propiedades antes
comentadas.
Básicamente, una ecuación en diferencias algebraicas tiene la forma y2 = f (y1, t2, t1), donde y2
es el valor de una variable continua que define una masa a una edad t2 e y1 es el valor de la misma
variable a una edad t1. Para su obtención es necesario despejar un parámetro del modelo de
crecimiento y expresarlo en función la variable y1 a la edad t1; realizar la misma operación para la
variable y2 a la edad t2 e igualar ambas expresiones. La elección del parámetro a despejar determina
el comportamiento de las curvas de calidad de estación: anamórficas o polimórficas. Actualmente se
asume que la pauta de crecimiento en altura no es la misma para distintas calidades de estación, por lo
que se suelen emplear curvas polimórficas (GOELZ & BURK; PARRESOL & VISSAGE, 1998).
En este trabajo se han analizado cinco ecuaciones en diferencias algebraicas ampliamente
utilizadas en el desarrollo de modelos de calidad de estación (e.g., BARRIO & DIÉGUEZ-ARANDA,
2005) y que se muestran en la Tabla 2. Cuatro de ellas (modelos M1 a M4) están formuladas en base
a la función de Bertalanffy-Richards (BERTALANFFY, 1949; RICHARDS, 1959) y a la función de
Korf (citado en LUNDQVIST, 1957). Por su parte, el modelo M5 está basado en la ecuación
diferencial propuesta por MCDILL & AMATEIS (1992). Todos estos modelos son polimórficos,
invariantes en la edad de referencia y tienen asíntota común.
Ajuste y comparación de modelos
Un problema frecuente en el ajuste de tarifas de cubicación es la presencia de
heterocedasticidad, es decir, falta de homogeneidad de la varianza de los residuos obtenidos mediante
mínimos cuadrados ordinarios (ordinary least squares –OLS–). Bajo una hipótesis de ausencia de
homogeneidad de varianza, la regresión mediante mínimos cuadrados ordinarios, si bien proporciona
estimaciones de los parámetros insesgadas, éstas no son las de mínima varianza (DRAPER &
SMITH, 1981). Este problema se puede solucionar tomando logaritmos en ambos términos del
modelo de tarifa de cubicación o mediante regresión ponderada; esta última ha sido la opción
empleada en este trabajo. El uso de regresión ponderada exige conocer la relación entre la varianza de
los errores y las variables independientes, lo que no siempre es posible. Sin embargo, para el caso de
las tarifas de cubicación de dos entradas, se suele asumir que la varianza del error es proporcional al
valor de la variable d 2 h (CAILLIEZ, 1980), por lo que el factor de ponderación utilizado ha sido
d 2 h k , donde k ha tomado valores comprendidos entre 0 y 2 de 0,1 en 0,1. Las estimaciones de los
parámetros de las tarifas de cubicación fueron llevadas a cabo mediante la técnica de mínimos
cuadrados generalizados (generalized least squares –GLS–), usando el procedimiento NLIN de
SAS/STAT® (SAS INSTITUTE INC., 2004a).
Por otra parte, en el ajuste de las curvas de calidad de estación surgen dos problemas básicos
derivados del uso de datos de análisis de tronco. En primer lugar la selección de la mejor estructura de
datos, ya que a partir de los datos originales medidos en campo se pueden generar diferentes
estructuras de datos para el ajuste de funciones en diferencias algebraicas. Según GOELZ & BURK
(1992) y HUANG (1999), la que considera todos los posibles intervalos de crecimiento es la que
proporciona resultados más estables y consistentes. En segundo lugar, y teniendo en cuenta que los
datos necesarios para construir curvas de calidad de estación se corresponden con mediciones de
altura a diferentes edades a lo largo del tronco, es razonable pensar que la variabilidad entre las
medidas de cada árbol sea menor que entre árboles, no pudiéndose considerar, por tanto, como
observaciones independientes. Es decir, existe una dependencia temporal en los datos y los
errores, con lo que se viola un supuesto básico para estimar un modelo de regresión mediante
mínimos cuadrados ordinarios, que asume que los errores son independientes e idénticamente
distribuidos. Este potencial problema de autocorrelación de los datos se suele solucionar expandiendo
el término del error mediante un modelo autorregresivo de la siguiente forma (GOELZ & BURK,
1992; PARRESOL & VISSAGE, 1998):
H ij = f (H j , ti , t j , β ) + eij con eij = ρei −1, j + γei , j −1 + ε ij
[4]
donde Hij representa la predicción de altura i utilizando Hj (altura j), ti (edad i), y tj (edad j ≠i) como
variables predictoras; β es el vector de parámetros a estimar; eij es el correspondiente término del
error; el parámetro ρ tiene en cuenta la autocorrelación entre el residuo actual y el residuo obtenido al
estimar Hi-1 utilizando Hj como predictora; el parámetro γ tiene en cuenta la correlación entre el
residuo actual y el residuo obtenido al estimar Hi al utilizar Hj-1 como predictora; y eij son los errores
independientes y homogéneamente distribuidos.
En este trabajo se ha escogido la estructura de datos de todos los intervalos de crecimiento
ascendentes sin solapado al ser una de las más sencillas de crear y al generar una dependencia entre
las observaciones menor que la de todos los posibles intervalos de crecimiento (PARRESOL &
VISSAGE, 1998). El ajuste de los modelos analizados considerando la estructura del error dada por el
modelo autorregresivo se ha llevado a cabo empleando el procedimiento MODEL del paquete
estadístico SAS/ETS® (SAS INSTITUTE INC., 2004b).
La comparación de los modelos analizados se ha basado en el análisis numérico y en el
análisis gráfico de los residuos y de los modelos obtenidos. Se han calculado dos estadísticos de
comparación utilizados con frecuencia en modelización forestal para determinar la bondad del ajuste:
la raíz cuadrada del error medio cuadrático (REMC) y el coeficiente de determinación ajustado
(R2adj). Las expresiones de estos estadísticos son:
n
Raíz cuadrada del error medio
cuadrático
REMC =
∑ ( y − yˆ )
i =1
2
i
i
[5]
n− p
⎛ n
⎞
⎜ ∑ ( yi − yˆ i ) 2 ⎟
2
⎟ ⎛⎜ n − 1 ⎞⎟
Radj
= 1 - ⎜ i =n1
[6]
Coeficiente de determinación ajustado
⎜
⎟
⎜
2 ⎟ ⎝n− p⎠
⎜ ∑ ( yi − y ) ⎟
⎝ i =1
⎠
siendo yi, ŷi e y los valores observados, predichos y promedio, respectivamente, de la variable
dependiente; n el número total de datos usados en el ajuste del modelo y p el número de parámetros a
estimar.
Además, se ha llevado a cabo una representación gráfica de los residuos frente a los valores
predichos de las variables dependientes y frente a los valores observados de las variables
independientes con el fin de detectar valores atípicos o tendencias anómalas. En el caso de las curvas
de calidad de estación se ha analizado también el comportamiento gráfico de los modelos, al ser ésta
una herramienta fundamental para la selección (HUANG, 1999).
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Tarifas de cubicación
Los resultados de la estimación de los parámetros y del análisis estadístico para la selección
del modelo de tarifa de cubicación más adecuado se muestran en la Tabla 3. En ella se observa que el
modelo que mostró una mayor precisión general es el alométrico, si bien las diferencias en términos
de REMC y R2adj existentes entre las tres funciones analizadas son muy pequeñas. Para este modelo,
el factor de ponderación d 2 h1,5 resultó el más adecuado al estabilizar la varianza y proporcionar una
distribución de residuos homogénea e insesgada (Figura 1). El modelo alométrico seleccionado es
ampliamente utilizado en la elaboración de tarifas de cubicación de dos entradas y resultó también el
más adecuado para la cubicación de los pies de P. radiata en Galicia (CASTEDO, 2004).
Además, presenta la ventaja frente al de variable combinada de que evita la existencia de posibles
valores de volumen negativos para árboles de reducidas dimensiones.
Curvas de calidad de estación
Las estimaciones de los parámetros y sus respectivos errores estándar para los cinco modelos
analizados, así como los valores de los estadísticos de comparación obtenidos en el ajuste se muestran
en la Tabla 4. Se aprecia que algunos parámetros de los modelos M2, M3 y M5 no resultaron
significativos y que el modelo M4, derivado de la función de Bertalanffy-Richards considerando el
parámetro b3 como libre, fue el que presentó un mejor comportamiento estadístico. Finalmente no fue
necesario corregir la autocorrelación mediante un modelo autorregresivo ya que los gráficos de
residuos frente a residuos con diferentes retrasos no mostraron tendencias significativas que indicasen
tal correlación. En la Figura 3 (derecha) se ejemplifica esta afirmación para el modelo M4
seleccionado. La Figura 3 (izquierda) muestra la superposición de 4 curvas de calidad de estación
generadas con el modelo M4 para índices de sitio (IS) de 16, 19, 22 y 25 m para una edad de
referencia de 20 años, sobre los gráficos de perfil utilizados en el ajuste. En este gráfico también se
verifica que las curvas ajustadas siguen bastante fielmente la tendencia de los datos en todo el rango
de edades. La representación gráfica de los gráficos de perfil y de las curvas de índice de sitio
permitió observar también un amplio rango de calidades de estación de las masas, sobre todo si se
tiene en cuenta la pequeña extensión y la aparente homogeneidad fisiográfica y geológica de la
comarca. La ocupación por la especie de suelos de vocación tanto agrícola como forestal y la
diversidad de microclimas puede justificar estas importantes diferencias de la calidad.
Para estimar el índice de sitio a partir de un par de valores H0-t dado, bastaría con sustituir H02
por IS, t2 por la edad de referencia (en este caso se ha elegido 20 años), H01 por H0 y t1 por t en el
modelo M4:
(
ln 1− e −0 , 0262⋅20
ln 1− e −0 , 0262⋅t
)
)
⎛ H0 ⎞ (
[7]
IS = 62,4265⎜
⎟
⎝ 62,4265 ⎠
El empleo de modelos en diferencias algebraicas como el seleccionado, al ser invariante en la
edad de referencia, proporciona una gran flexibilidad, pudiéndose adaptar a cambios de gestión
futuros que requieran la modificación de dicha edad sin afectar a las predicciones de altura dominante
o índice de sitio para una calidad dada.
Agradecimientos
Queremos expresar nuestro más sincero agradecimiento a la Jefe de la Sección Territorial 4ª
del Servicio Territorial de Medio Ambiente de León, Dª Yolanda Cuevas, y la guardería forestal de la
comarca de El Bierzo, muy en especial a Agustín Luis Blanco y al empresario forestal Fernando
Castañeira. También agradecemos a los alumnos de la E.S.T.I.A. Rubén Marqués, Roberto Ruiz,
Erika Morán, Rubén Castrosín y Mª Jesús Huerga que contribuyeron con su trabajo personal al
desarrollo de este estudio.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARRIO, M & DIÉGUEZ-ARANDA, U.; 2005. Site quality of pedunculate oak (Quercus robur L.)
stands in Galicia (northwest Spain). Eur. J. For. Res. 124: 19-28.
BERTALANFFY, L.V.; 1949. Problems of organic growth. Nature 163: 156-158.
CAILLIEZ, F.; 1980. Estimación del volumen forestal y predicción del rendimiento. FAO, Roma.
CARMEAN, W.H.; 1972. Site index curves for upland oaks in the Central States. For. Sci. 18: 109120.
CASTEDO, F.; 2004. Modelo dinámico de crecimiento para las masas de Pinus radiata D. Don en
Galicia. Simulación de alternativas selvícolas con inclusión del riesgo de incendio. Tesis doctoral.
Escola Politécnica Superior, Universidade de Santiago de Compostela.
CLUTTER, J.L.; FORTSON, J.C.; PIENAAR, L.V.; BRISTER, G.H. & BAILEY, R.L.; 1983.
Timber management: a quantitative approach. Krieger Publishing Company, N.Y.
DIÉGUEZ, U.; BARRIO, M.; CASTEDO, F.; RUIZ, A.D.; ÁLVAREZ TABOADA, M.F.;
ÁLVAREZ, J.G. y ROJO, A.; 2003. Dendrometría. Fundación Conde del Valle de Salazar y Mundi-
Prensa, Madrid.
DRAPER, N.R. & SMITH, H.; 1981. Applied regression analysis. John Wiley & Sons, N.Y.
FERNÁNDEZ MANSO, A.; GONZÁLEZ, J.M. y RAMÍREZ, J.; 2001. El pino radiata en la comarca
de El Bierzo: situación actual y propuestas de gestión. En: Actas del III Congreso Forestal EspañolSierra Nevada 2001. Granada, 25-28 septiembre. Mesa 5, pp. 766-771.
GOELZ, J.C. G. & BURK, T.E.; 1992. Development of a well-behaved site index equation: jack pine
in North Central Ontario. Can. J. For. Res. 22: 776-784.
HUANG, S.; 1999. Development of compatible height and site index models for young and mature
stands within an ecosystem-based management framework. In: Amaro, A. & Tomé, M. (eds.).
Empirical and process-based models for forest tree and stand growth simulation. Oeiras (Portugal),
21-27 September 1997. Ediçoes Salamandra, pp. 61–98.
LUNDQVIST, B.; 1957. On the height growth in cultivated stands of pine and spruce in northern
Sweeden. Medd Fran Statens Skogforsk Band 47(2): 1-64.
MADRIGAL, A.; PUERTAS, F. y MARTÍNEZ-MILLÁN, F.J.; 1992. Tablas de producción para
Fagus sylvatica L. en Navarra. Serie Agraria nº 3, Departamento de Agricultura, Ganadería y Montes,
Gobierno de Navarra, Pamplona.
MCDILL, ME & AMATEIS, R.L.; 1992. Measuring forest site quality using the parameters of a
dimensionally compatible height growth function. For. Sci. 38(2): 409-429.
PARRESOL, B.R. & VISSAGE, J.S.; 1998. White pine site index for southern forest survey. USDA
Forest Service Res. Pap. SRS-10.
RICHARDS, F.J.; 1959. A flexible growth function for empirical use. J. Exp. Bot. 10(29): 290-300.
SAS INSTITUTE INC.; 2004a. SAS/STAT® 9.1 User's Guide. Cary, NC: SAS Institute Inc.
SAS INSTITUTE INC.; 2004b. SAS/ETS® 9.1 User's Guide. Cary, NC: SAS Institute Inc.
SCHUMACHER, F.X. & HALL, F.S.; 1933. Logarithmic expression of timber-tree volume. Journal
of Agricultural Research 47: 719-73.
SPURR, S.H.; 1952. Forest Inventory. The Ronald Press Company, New York.
Tabla 1. Estadísticos descriptivos básicos de las principales variables de árbol utilizadas para la
elaboración de las curvas de calidad de estación y las tarifas de cubicación.
Variable
t (años)
H0 (m)
d (cm)
h (m)
v (dm3)
Media
17,12
16,67
20,68
16,67
311,35
Máximo
33
27,30
34,40
27,30
1015,60
Mínimo
8
6,70
10,50
6,70
36,00
Desv. típica
6,08
5,38
5,21
5,38
217,75
donde t = edad, H0 = altura dominante, d = diámetro normal, h = altura total, v = volumen total con
corteza.
Tabla 2. Funciones en diferencias algebraicas analizadas.
Función de crecimiento
Korf
H 0 = b1e − b2t
Modelo
M1
b2
M2
b3
− b3
(
Bertalanffy-Richards H 0 = b1 1 − e
)
Parámetro
libre
M3
b2
M4
b3
− b2t b3
Ecuación en diferencias algebraicas
⎛H ⎞
H 02 = b1 ⎜⎜ 01 ⎟⎟
⎝ b1 ⎠
H 02 = b1e −b2t2
⎛ t2 ⎞
⎜⎜ t ⎟⎟
⎝ 1⎠
b3
⎛ ⎛ ln ( H 01 b1 ) ⎞
⎞
⎜ ln ⎜
⎟⎟ ln t1 ⎟
⎜ ⎜
⎟
−b2
⎠
⎝ ⎝
⎠
1 b3 t 2 t1 ⎞
⎛ ⎛
⎜ ⎜ ⎛ H 01 ⎞ ⎞⎟ ⎟
⎟⎟
H 02 = b1 ⎜1 − 1 − ⎜⎜
⎟
⎜ ⎜⎝ ⎝ b1 ⎠ ⎟⎠ ⎟
⎠
⎝
b3
(
⎛ H 01 ⎞ (
ln 1− e − b2t2
ln 1− e −b2t1
⎟⎟
H 02 = b1 ⎜⎜
b
⎝ 1 ⎠
b1
H0 =
1 + b2 t b3
McDill-Amateis
H 02 =
b3
M5
)
)
b1
⎛
b ⎞⎛ t ⎞
1 − ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ H 01 ⎠⎝ t 2 ⎠
b2
Tabla 3. Valores de las estimaciones de los parámetros (error estándar entre paréntesis) y de los
estadísticos de comparación para los tres modelos de tarifas de cubicación analizados.
Estimaciones de los parámetros
b0
b1
b2
Modelo
Factor de ponderación
v = b0 + b1 ⋅ d 2 ⋅ h
d 2 h 0,3
0,0214
(0,00615)
v = b1 ⋅ d 2 ⋅ h
d 2 h 0,9
-
v = b0 ⋅ d b1 ⋅ h b2
d 2 h1,5
0,000081
(0,000013)
0,000034
(6,654E-7)
0,000035
(4,814E-7)
1,7746
(0,1000)
Estad. comparación
R2adj
REMC
-
0,02818
0,98365
-
0,03248
0,97828
0,9711
(0,0739)
0,02723
0,98474
Tabla 4. Valores de las estimaciones de los parámetros (error estándar entre paréntesis) y de los
estadísticos de comparación para las cinco funciones en diferencias algebraicas analizadas.
Modelo
b1
116523
(4583)
232716,3
(175674)
217,96
(179,1)
62,42651
(8,3278)
370,0923
(309,7)
M1
M2
M3
M4
M5
Estadísticos de comparación
R2adj
REMC
-
0,1985
(0,003)
1,242
0,9818
12,7425
(2,0097)
-
1,629
0,9412
-
1,044
(0,0309)
1,618
0,9475
-
0,957
0,9906
-
1,561
0,9574
0,026177
(0,00455)
1,046305
(0,0302)
0.09
90
0.06
60
Residuos estud.
Residuos estud.
Estimaciones de los parámetros
b2
b3
0.03
0.00
-0.03
-0.06
30
0
-30
-60
-90
-0.09
0
200
400
600
800
3
v predicho (dm )
1000
0
200
400
600
800
1000
3
v predicho (dm )
Figura 1. Distribución de los residuos estudentizados para el modelo alométrico ponderado
(izquierda) y una vez deshecha la ponderación (derecha).
30
1.5
25
1
Residuos (m)
H 0 (m)
35
20
15
10
0.5
0
-0.5
-1
5
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Residuos con 1 retraso (m)
Edad (años)
Figura 1. Superposición de las curvas de calidad de estación seleccionadas con los gráficos de perfil
de los datos empleados para su ajuste (izquierda) y gráfico de residuos frente a residuos con un
retraso sin corrección de la autocorrelación.