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Aritmética Qué deberíamos recordar del Instituto Qué vamos a estudiar Algunas aplicaciones del tema Estructura del tema Qué conceptos vamos a estudiar Qué problemas podremos resolver ¿Qué deberíamos recordar del Instituto? Números primos División entera Máximo común divisor ¿QUÉ VAMOS A ESTUDIAR? División entera ¿Cómo se hace? ¿Para qué sirve? Números primos Aritmética modular (o del reloj) Suma, resta, multiplicación y división modular Algunos conceptos de criptografía ALGUNAS APLICACIONES Aritmética modular y aplicaciones a la Criptografía Suma y resta: cifrado César Producto e inversos: cifrado Afín Potencias de números: cifrado RSA Otras aplicaciones: Funciones Hash Números (seudo-)aleatorios CRIPTOGRAFÍA Esconder o encriptar un mensaje de forma que no pueda leerse directamente ● Hay muchísimas técnicas distintas ● Bastantes de ellas usan aritmética modular ● Representamos las letras por números ● Si hay 27 letras tenemos Z 27 (los primeros 27 números enteros) ● Manipular las letras es manipular números ● Es fundamental que tengamos una forma de deshacer la encriptación ● CRIPTOGRAFÍA ● CIFRADO CÉSAR ● Escogemos un número no nulo ● El cifrado es sumar ese número (módulo 27) ● Para descifrar basta con restar el mismo número CRIPTOGRAFÍA ● CIFRADO AFÍN ● Escogemos dos números de forma que el primero sea invertible ● El cifrado es multiplicar por el primer número y sumarle el segundo (módulo 27) ● Para descifrar basta con restar el segundo número y luego “dividir” por el primero CRIPTOGRAFÍA Los métodos anteriores se llaman clásicos o simétricos ● Se caracterizan porque, si sabes cómo se cifra, sabes cómo se descifra ● Hay una clave para cifrar (los valores de a ó de a y b) que deben ser secretos ● CRIPTOGRAFÍA Hoy en día se usan, sobre todo, sistemas asimétricos o de clave pública ● Se caracterizan porque, si sabes cómo se cifra, eso no significa que sepas cómo se descifra ● Hay una clave para cifrar que no es secreta ● el primer ejemplo es el sistema RSA ● ¿QUÉ CONCEPTOS VAMOS A ESTUDIAR? División euclídea Números primos Ecuaciones diofánticas ¿QUÉ CONCEPTOS VAMOS A ESTUDIAR? Aritmética modular Números módulo n Inversos módulo n Exponencial modular ¿QUÉ PROBLEMAS PODREMOS RESOLVER? ¿Cómo se calcula el máximo común divisor? ¿Cómo se sabe si un número es primo? ¿Cómo se resuelve una ecuación diofántica? ¿QUÉ PROBLEMAS PODREMOS RESOLVER? ¿Cómo se opera módulo n? ¿Cómo se calcula el inverso de un número? ¿Cómo se calculan una potencia? ¿Cómo se aplican técnicas básicas de Criptografía? Cifrado César y Afín Cifrado RSA
