CT2311-capitulo07 - about idfaca services

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
Departamento de Conversión y Transporte de Energía
Sección de Máquinas Eléctricas
Prof. E. Daron B.
FUNDAMENTOS BASICOS DE LAS MAQUINAS
Hoja Nº I-74
ELECTRICAS TRIFASICAS
Las máquinas eléctricas trifásicas asincrónicas y sincrónicas tienen en el estator el mismo
principio constructivo y requieren para la descripción de su comportamiento una serie de
fundamentos físicos comunes.
Debido a esto es conveniente, tratar dichos aspectos comunes en capítulos introductorias.
Esto vale en especial para la constitución de los arrollados trifásicos, los factores de
arrollamiento, así como los fundamentos de la Teoría del Campo Rotante.
Este es el propósito de las Hojas Auxiliares que se presentan a continuación.
Así, el funcionamiento de la máquina asincrónica se basa en la formación de un campo rotante
por medio de un arrollado polifásico. Esta máquina tiene como inventores por el año 1885, al
italiano Galileo Ferraris y el yugoslavo Nicola Tesla.
Fue el también yugoslavo Michael V. Dolivo - Dobrowolski, quien en 1889, utilizando el
sistema trifásico; al cual le dió, el nombre de “corriente rotante”, construyó el primer motor
asincrónico.
Ya a comienzos de 1890 se construía el motor en sus variantes de motor asincrónico con
rotor jaula y con rotor de anillos.
Las máquinas sincrónicas sin embargo, se construyeron primero como generadores
monofásicos, los cuales a partir del siglo XIX (mediados) se utilizaban para alimentar
instalaciones de alumbrado.
El primer generador trifásico fue desarrollado en 1887 en forma independiente por F.A.
Haselwander y Bradley, inicialmente como máquina de polos salientes.
Como inventor del rotor liso para la máquina sincrónica (turbo-generador) se tiene en 1901 al
Ing. Cahrles E Brown, uno de los fundadores de la empresa suiza BBC (hoy ABB).
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LA FMM ALTERNA Y SU DESCOMPOSICIÓN EN
Hoja Nº I-75
ARMONICAS
La figura muestra un dispositivo, consistente de un rotor sin arrollamientos y de un estator,
con dos ranuras diametralmente opuestas conteniendo un arrollado de N número de vueltas
alimentado por una corriente alterna i
Un recorrido a lo largo del camino de integración cerrado que se señala (líneas interrumpidas)
enlaza por tanto ó bien la FMM +N.i , ó bien -N.i.
Vale por lo tanto:
0 <α <π
π < α < 2π
FMM(α ) = +N.i
FMM (α ) = − N .i
Si i es una corriente alterna de la forma
i =
2 . I . cos cos ω t
Se obtienen para diferentes instantes de tiempo las FMM’es:
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LA FMM ALTERNA Y SU DESCOMPOSICIÓN EN
Hoja Nº I-76
ARMONICAS
La distribución espacial de la FMM permanece por lo tanto constante. En cambio su magnitud
con su signo varían periódicamente con la frecuencia de la corriente.
Se trata por lo tanto de una FMM alterna.
La “distribución rectangular”, mediante un análisis de Fourier se puede descomponer en
fundamental y armónicas; o sea que la FMM, por ejemplo para el instante t=0 puede ser
representada por :
[
4 sen ( 2 g ' − 1).α
2 .I . N ∑ .
2g ' −1
g ' =1 π
∞
~
FMM (α) =
]
1 ≤ g’ < ∞
_______________________________________________________________
Aquí g’ toma todos los valores enteros positivos. Se obtienen por tanto únicamente armónicas
de orden impar. Estas tienen igualmente una distribución constante, pero sinusoidal. Su
magnitud varía con la frecuencia de la corriente.
A pesar de que la corriente es sinusoidal pura, se originan armónicas. Estas se deben
exclusivamente a la disposición en el espacio del arrollado y no a armónicas de la corriente.
La representación completa de la FMM alterna será por tanto:
~
FMM (α,t) =
[
]
4 sen ( 2 g ' − 1).α
2 .I . N ∑ .
. cos ω t
'
'
π
−
2
g
1
g =1
∞
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REPRESENTACION DE LA FMM ALTERNA POR DOS
Hoja Nº I-77
FMM’ES ROTANTES SINUSOIDALES OPUESTAS
En la expresión anterior, α es un ángulo mecánico, ya que lo tenemos que ver con una
disposición de “dos polos”. Para disposiciones con “p” pares de polos, hay que sustituir a α
por
α
el
= p.α mec .
De esta manera, la representación anterior es válida para un par de polos, o sea para
0 ≤α
el
≤ 2π .
__________________________
DEFINICION DE FMM ROTANTE:
Una FMM rotante es una FMM distribuida en el espacio de forma y magnitud constante y la
cual se desplaza con una velocidad angular ω*.
Con respecto a otro punto de referencia que igualmente se desplaza con una velocidad angular
ω*, la FMM rotante permanece constante según forma, magnitud y posición para todos los
instantes de tiempo
SE PUEDE DEMOSTRAR FACILMENTE QUE…..
Una FMM alterna sinusoidal, en especial por ejemplo la fundamental de la FMM alterna
rectangular, se puede descomponer en dos FMM’es rotantes sinusoidales. Estas tienen una
amplitud de la mitad de la amplitud de la FMM alterna y velocidades angulares opuestas.
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REPRESENTACION DE LA FMM ALTERNA POR DOS
Hoja Nº I-78
FMM’ES ROTANTES SINUSOIDALES OPUESTAS
Demostración: La ecuación para la fundamental de la FMM rectangular es:
FMM~1(α,t) =
2 .I .N .
4
π
. sen α . cos ω t
con una transformación trigonométrica, se puede escribir:
FMM
~
1
(α , t ) =
1
4
2 .I .N . [sen (α − ωt ) + sen (α + ωt ) ]
2
π
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REPRESENTACION DE LA FMM ALTERNA POR DOS
Hoja Nº I-79
FMM’ES ROTANTES SINUSOIDALES OPUESTAS
El primer término corresponde a la FMM rotante de secuencia positiva (en el sentido de las
agujas de un reloj), el segundo término corresponde a la secuencia negativa.
La velocidad angular de ambas es ω.
De la misma forma como la fundamental, también las armónicas de la FMM rectangular se
pueden representar por una suma de FMM’es rotantes de secuencia positiva y negativa: Con
ello,
FMM
~
(α , t ) =
2 2 .I .N
π
∞
∑
g =1 2
1
1
g
1

 sen
−1 
  2
 
g
1
− 1 α − ω t  + sen   2
 


El valor de las velocidades angulares de las armónicas es por tanto
g
1
− 1 α + ω t  }


ω
1
2 g −1
Nota: Cuando la corriente en el arrollado alcanza su valor máximo y con ello la FMM alterna
sinusoidal, las dos FMM’es rotantes sinusoidales se superponen y su amplitud está sobre el
eje magnético del arrollado.
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FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO
Hoja Nº I-80
ALIMENTADO POR UN SISTEMA TRIFASICO BALANCEADO
El arrollado trifásico consiste de 3 arrollados monofásicos desplazados 120º en el espacio uno
del otro.
Los comienzos (terminales de entrada) se designan por A,B,C y las salidas por a,b,c.
Existen por tanto tres arrollados de fase:
A-a
B-b
C-c
2
Estos arrollados se alimentan con las corrientes alternas, desfasadas en π una de otra:
3
i Aa = 2.I .cos ωt
2
= 2 .I . cos(ωt − π )
3
4
iCc = 2.I .cos(ωt − 3 π )
Cada arrollado de fase origina una FMM alterna, la cual se deja descomponer en FMM’es
rotantes de secuencia positiva y negativa. La superposición de las FMM’es de los tres
arrollados de fase proporciona la FMM resultante.
i
Bb
“FMM’es rotantes sinusoidales pueden ser representadas por vectores. Su magnitud es una
medida de la amplitud de la FMM, su dirección proporciona la posición de la amplitud “.
Las representaciones a continuación son por lo tanto representaciones en el espacio y no
diagramas fasoriales.
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FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO
Hoja Nº I-81
1.- Consideración
fundamentales.
de
las
ondas
En el instante t=0, la amplitud de la
FMM rotante del arrollado de fase A-a
cae en el eje del arrollado A-a.
Al mismo tiempo, la amplitud de la FMM
rotante del arrollado de fase B-b esta
todavía retrasada en 120º con respecto al
eje del arrollado B-b.
Algo análogo se puede decir
arrollado de fase C-c.
para el
Esto significa en consecuencia, que las
amplitudes de las FMM’es rotantes de
secuencia positiva de los tres arrollados
de fase caen en el eje A-a.
Como
la
posición
relativa
es
independiente del instante de tiempo,
vale para la suma de las ondas
fundamentales de secuencia positiva:
FMM 1 positiva = 3 FMMRAa1
Esta es la amplitud de una FMM rotante
de secuencia positiva.
Consideraciones similares proporcionan:
La suma de las FMM’es rotantes de
secuencia negativa es cero.
FMM1 negativa = 0
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FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO
Hoja Nº I-82
2. consideración de la tercera armónica.
A la longitud de onda de la fundamental corresponden tres longitudes de onda de una tercera
armónica. El desplazamiento en 120º de los arrollados de fase significa para la tercera
armónica un desplazamiento de 360º referido a su longitud de onda. Esto quiere decir, que las
terceras armónicas se superponen de una forma, como si los 3 ejes de arrollado coincidieran
en una sola dirección
2
Debido al desfasaje de las tres corrientes en π , tanto las FMM’es rotantes de secuencia
3
positiva como las de secuencia negativa de los tres arrollados de fase están desplazadas una
de otra en 120º referidos a la tercera armónica.
De ello se desprende:
FMM3
positivo
=0
y FMM3
negativa
=0
De la misma forma se hacen cero las sumas de las armónicas de orden múltiplo de 3, o sea 3,
9, 15, 21,…….
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FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO
Hoja Nº I-83
Para la quinta armónica, el desplazamiento del arrollado de fase B-b respecto al A-a en 120º,
corresponde a un desplazamiento de 5.120º Λ 240º
Con esto se obtiene:
Para las séptimas armónicas es 7.120º Λ 120º.
Se obtienen condiciones similares como para la fundamental.
FMM7 positivo = 3 FMMRAa7
FMM7 negativo = 0
Resumen:
Fundamental
Secuencia positiva FMM1pos = 3 FMMRAa1
Secuencia negativa es cero
3ª armónica es cero
5ª armónica
Secuencia negativa FMM5neg = 3 FMMRAa5
Secuencia positiva es cero
7ª armónica
Secuencia positiva
FMM7pos = 3 FMMRAa7
Secuencia negativa es cero.
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FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO
Hoja Nº I-84
La FMM’es rotantes originadas por un arrollado trifásico también pueden ser determinadas,
sin necesidad de obtener antes las FMM’es alternas de cada arrollado de fase.
Siendo las amplitudes de las FMM’es rotantes constantes, el cálculo se puede efectuar para
un instante de tiempo cualquiera. En un instante determinado se obtiene la FMM resultante
en el lugar α como la suma de todas las FMM’es de las ranuras encerradas dentro del camino
llevado sobre el diámetro. Ejemplos:
(para abreviar la escritura, sea θ r = N . 2 .I )
La forma de la FMM resultante varia entre estas dos formas extremas. La descomposición
por Fourier proporciona para todos los instantes de tiempo una onda rotante fundamental y
ondas rotantes armónicas de amplitud constante.
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FMM DE UN ARROLLADO SIMÉTRICO TRIFÁSICO
Hoja Nº I-85
La desviación de la FMM resultante de la onda fundamental es una medida del contenido de
armónicas. La variación de la forma de la FMM resultante es una expresión de la diferente
velocidad angular de las armónicas respecto a la fundamental.
Hasta ahora solo se ha considerado un arrollado de dos polos para el cual, la onda
fundamental se extiende sobre toda la periferia de la máquina. Entonces el ángulo eléctrico es
igual al mecánico.
En una máquina con p pares de polos, se repite la distribución de la FMM p-veces en la
periferia. Por ello el = p. mec .
α
α
La onda fundamental se desplaza durante un periodo en un ángulo eléctrico
α = 2π .
el
Por ello, la velocidad angular mecánica es únicamente 1/p de la velocidad angular eléctrica.
En general se tiene para la velocidad mecánica de una onda de orden ν = (6 g ± 1) : (g > 0 )
ω0
p .ν
ω mec ν =
Como hay N vueltas repartidas en p pares de polos, se obtiene:
FMM
νR
=
3 .2 . 2
π
.I .
N 1
.
P ν
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ARROLLAMIENTOS.
Hoja Nº I-86
a) FACTOR DE DISTRIBUCION
Si las N vueltas de la disposición en la hoja II-2 se reparten en dos ranuras, las cuales están
desplazadas en un ángulo β entre sí, la FMM puede ser determinada de la manera siguiente:
Cada par de ranuras origina distribuciones de FMM sinusoidales.
Estas se pueden sumar geométricamente:
Por ejemplo si las amplitudes de las ondas fundamentales de ambos pares de ranuras están
desplazadas en un ángulo β, se obtiene para la amplitud resultante:
N 4
β
2
2
.
.
.
.
cos
=
I
res1
2 π
2
FMM
Esto significa que corresponde a la amplitud de la FMM para una disposición de 1 par de
ranuras con N . cos
β
vueltas.
2
Por ello puede determinarse “el número efectivo de vueltas resultante, de la suma geométrica
de los números de vuelta:
Para la onda fundamental se obtiene:
β 
sen2. 
β
2
N
N
=
=
.
cos
N res1
2
β 
2sen 
2
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ARROLLAMIENTOS.
Hoja Nº I-87
FACTOR DE DISTRIBUCION
Para las armónicas de orden ν , el ángulo β aparece amplificado en el factor ν y así se
obtiene para esta disposición:
 νβ
sen 2
 2
N resν 1 = N .  νβ
2 sen
 2






β= ángulo eléctrico
Sea en general m el número de fases, nr el número de ranuras, q el número de ranuras por
polo y fase, p el número de pares de polos y N el número de vueltas por fase.
(para arrollados normales vale por tanto: q =
n
r
)
2 pm
N
El número de vueltas por par de ranuras es:
p.q
La suma geométrica de los números de vuelta de todos los q pares de ranuras de un polo y
una fase, proporciona el número efectivo de vueltas por fase y par de polos.
p-veces este valor proporciona el número efectivo de vueltas de una fase del arrollado.
Por ello, en el cálculo nos podemos limitar primeramente a un par de polos.
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ARROLLAMIENTOS.
Hoja Nº I-88
FACTOR DE DISTRIBUCION
Vale por tanto: β = p.
β
mec
β
N
= 2 .OA.sen
2
p.q
Con ello se obtiene para la fundamental:
Y así:
β
N
*
res 1
senq .
q

2
= p . AB = p . A 0 . sen  . β  = N .
β
 2

q . sen
2
En general, para la armónica de orden ν:
*
N
= N .
res ν
senq .
νβ
2
νβ
q . sen
2
======================================
El espacio que ocupan todas las ranuras consecutivas de un paso polar y una capa, con
FMM’es de igual fase, se denomina “zona”. De acuerdo a ello, al ángulo correspondiente βZ
se llama “ángulo de zona”.
La relación
N
*
res
N
se llama “factor de distribución” Kd
K
β
Para arrollados trifásicos normales es
Entonces se obtiene :
K
De aquí, para q = ∞ ⇒
3n
dν
K
=
3n
dν
senq
ν .π
dν
Z
=
senq .
q.sen
= q .β
νβ
2
νβ
2
π
=
*
3
6
ν .β
qsen
6q
=
sen
νπ
νπ
6
6
*Estos arrollados “normales” se llaman por ello arrollados de número entero de ranuras por
polo y fase.
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ARROLLAMIENTOS.
Hoja Nº I-89
b) FACTOR DE PASO. FACTOR TOTAL
Por lo general se disponen en una ranura los
conductores en dos capas, que reciben el
nombre de capa superior y capa inferior.
La FMM resultante se obtiene de superponer
las FMM’es de las dos capas.
Si las zonas en ambas capas están
desplazadas entre si en un ángulo γ , habrá,
de
acuerdo
a
ello,
que
sumar
geométricamente los números de vuelta de
las dos capas. Para cada capa de una fase hay
N
vueltas.
2
El número de vueltas resultante por fase y
capa es:
N
*
res
2
=
N
.
2 K dν
En consecuencia, el numero efectivo total de vueltas de ambas capas será, para la
fundamental:
N
res1
= N
En forma general se tiene para el factor de paso:
K
pν
= cos
*
res1
2
νγ
2
.2. cos
γ
2
= N .K d 1. cos
γ
2
γ → ángulo eléctrico
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ARROLLAMIENTOS.
Hoja Nº II-90
FACTOR TOTAL. EJEMPLO
De los factores de arrollamiento parciales se obtiene el factor total.
KTν = Kdν.Kpν
=============
Con ello, para el número efectivo de vueltas de una armónica de orden – ν:
Nresν = N. KTν
En la disposición práctica de tales arrollados, las vueltas se llevan alternadamente por la capa
superior e inferior. Es γ ≠ 0, entonces los conductores que forman una vuelta ya no están
separados por el diámetro (eléctrico), sino por una secante.
Se habla en este caso de “arrollados con acortamiento del paso”.
Para el ejemplo anterior:
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ARROLLAMIENTOS.
Hoja Nº I-91
FACTOR TOTAL. EJEMPLO
1
1
2τ p = .π.d = .nr.τr = 2q.m.τ R
p
p
Se tiene:
El ángulo de acortamiento γ puede ser expresado de una forma general por:
−s
τ
γ=
π
τ
p
p

= 1 −

2

νγ
En consecuencia es :
s 
π
.ν .
τ p  2
Para arrollados, que solo originan armónica impares, (con raras excepciones, este es siempre
el caso *) se obtiene para el factor de acortamiento de paso:
K
pν

s π
= ± sen ν .
.
 τ 2
p





γ=impar
===========================================
* Esta observación se refiere a arrollados trifásicos -de fase-. No es válida para arrollados
jaula de ardilla (rotores).
En el caso de arrollados con un número entero de ranuras por polo y fase, solo se originan
ν impares.