Apunte - Ejercicio de Física Propuesto - Cinemática

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Universidad de Antioquia
Instituto de Física
Problemas propuestos sobre Cinemática
Nota: Si se encuentra algún error en las respuestas, le agradecemos reportarlo a su profesor de Teoría de Física I. para ser corregido.
1. El metro de Medellín acelera uniformemente partiendo del reposo a razón de 1.8 m/s2, hasta alcanzar la máxima velocidad permitida de 150.0 km/h. Después de recorrer a esta velocidad durante un cierto tiempo, desacelera a razón de 1.2 m/s2 hasta detenerse. Si en total recorrió 5.0 km. Hallar el tiempo transcurrido.
Rta: 149 s.
2. Un camión va por una carretera recta a una velocidad de 36.0 km/h. Un auto viene 50.0 m atrás viajando a 72 km/h en la misma dirección y en ese momento aplica los frenos desacelerando a 0.5 m/s2 mientras que el camión continúa moviéndose a velocidad constante. Realice un diagrama que ilustre el eje y el origen. Escriba las condiciones iniciales. Exprese la posición del auto (Xa) y la del camión (Xc) en un instante t. ¿Alcanzará el auto el camión? Si es así, ¿en qué instante o instantes?
Rtas: t1 = 6.4 s y t 2 = 32.2 s .
3. Un conductor que viaja a velocidad constante de 15 m/s pasa un cruce donde el límite de velocidad es de 10 m/s. En ese momento, un policía en una motocicleta, parado en el cruce, arranca en su persecución con aceleración constante de 3 m/s2.
a) ¿Cuánto tiempo pasa antes que el policía alcance al conductor?
b) ¿Qué velocidad tiene el policía en ese instante?
c) ¿Qué distancia total ha recorrido cada vehículo?
Rta: a) 10 s; b) 30 m/s ; c) 150 m
4. Dos autos A y B se mueven en la misma dirección con velocidades vA y vB respectivamente. Cuando el auto A está a una distancia d detrás de B, el auto A, que viaja a mayor velocidad que B, aplica los frenos, causando una aceleración de frenado constante a. Demuestre que para que exista un choque, es necesario que
v A − v B ≥ 2ad
5. Un auto que viaja con una rapidez inicial de 30.0 m/s en una carretera con neblina ve repentinamente un camión a 50.0 m delante de él, viajando en la misma dirección y con una rapidez de 12.0 m/s. El conductor del auto pierde 0.6 s mientras reacciona y aplica los frenos. Al hacerlo el auto sufre una desaceleración de 4.0 m/s2.
2
(a) Determine si el auto choca contra el camión, suponiendo que ninguno de lodos se esquiva. Si ocurre el choque, (b) calcule el momento y el punto donde ocurre la colisión. (c) ¿Qué desaceleración mínima tendría que haber tenido el auto para evitar el choque?
Rta: a) Si; b) 2.438 s después de aplicar los frenos y 61.2 m desde la posición del auto donde se aplicaron los frenos, c) 5.063 m/s2.
6. Suponga que usted vive en uno de los pisos bajos de un edificio y posee reflejos relámpagos por lo que es capaz de estimar intervalos cortos de tiempo. Un día cualquiera, usted observa que un objeto que alguien soltó desde un piso alto demora una décima de segundo para recorrer el marco de la ventana de su dormitorio. Si el marco tiene una altura de 2.0 m. Desde que altura, medida a partir de la parte inferior de la ventana, se soltó el objeto.
Rta: 21.43 m.
7. Si un cuerpo recorre la mitad de su trayectoria en el último segundo de caída; encuentre el tiempo total de caída y la altura desde la cual se dejo caer.
Rta: 3.41 s y 57.1 m.
8. El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la luna es aproximadamente la sexta parte del valor en la superficie de la tierra. Hallar altura que saltará en la luna el actual campeón olímpico cuya marca en la tierra es de 2.44 m.
Rta: 14.62 m.
9. Se deja caer una piedra (desde el reposo) en la boca de un pozo. El sonido del impacto de la piedra con el fondo del pozo se oye 3.0 s después de haber dejado caer la piedra. Si se sabe que la velocidad del sonido en el aire es de 340.0 m/s, determine la profundidad del pozo.
Rta: 40.65 m
10. Un ascensor de 2.0 m de altura sube con velocidad constante de 2.5 m/s. En un cierto instante se suelta un tornillo del techo. Al cabo de que tiempo cae el tornillo al piso del ascensor.
Rta: 0.64 s.
11. Se lanza un balón verticalmente hacia arriba con una velocidad V0, t segundos después, y desde la misma altura se lanza un segundo balón también verticalmente hacia arriba a igual velocidad inicial V0 . Calcular cuánto tiempo, medido a partir del lanzamiento del segundo balón, se demora la colisión entre ellos.
3
V0 t
−
g 2
12. Un perro ve que una piedra pasa frente a una ventana de 2.0 m de altura primero de subida y luego de bajada, si el tiempo total que ve la piedra es de 0.8 segundos. Encontrar a que altura sobre la ventana sube la piedra.
Rta: 0.48 m.
13. Se lanza una pelota hacia arriba desde el borde de una azotea. Una segunda pelota se deja caer desde la azotea 1.0 s después. Desprecie la resistencia del aire. La altura de edificio es de 20.0 m.
a) Realice un dibujo donde ilustre el problema y muestre el sistema de referencia a emplear.
b) Escriba las ecuaciones cinemáticas que describen los movimientos de los dos cuerpos.
c) Hallar la velocidad de la primera pelota para que las dos lleguen al suelo al mismo tiempo. Rta. 8.2 m/s
14. Un bateador de béisbol golpea la bola de modo que adquiere una velocidad de 30 m/s en un ángulo de 37° sobre la horizontal. Un segundo jugador parado a 120 m del bateador y en el mismo plano de la trayectoria de la bola comienza a correr con velocidad constante en el instante en que el primero golpea la bola. La bola es atrapada a 2.4 m sobre el suelo y se encontraba a un metro de altura cuando recibió el golpe.
a) Elegir un sistema de referencia y, en dicho sistema, plantear las ecuaciones cinemáticas para la bola y para el segundo jugador.
b) Calcular la mínima velocidad del segundo jugador para que pueda atrapar la bola.
c) Calcular la velocidad de la bola en el instante de ser atrapada.
d) Calcular la distancia que ha recorrido el segundo jugador para atrapar la bola.
e) Hallar la ecuación de la trayectoria de la bola.
Rta. b) 9.3 m/s; c) 29.5 m/s; d) 33.6 m; e) y = 1 + 0.754 x − 0.0086 x .
2
15. Una esfera se suelta desde el reposo (punto A), como se muestra en la figura 1 y rueda a lo largo de un plano inclinado de longitud l y ánguloθ. En el extremo del plano se desprende de éste y se mueve como un proyectil hasta chocar con el piso a una distancia horizontal d del borde de la mesa y a una distancia vertical h por debajo de éste. Encuentre expresiones generales que le permitan calcular: a) La velocidad de la esfera en el extremo del plano inclinado. b) La aceleración de descenso de la esfera por el plano inclinado es 4
gd 2
g
b) 4l ( h − d tan θ ) cos 2 θ
2(h − d tan θ )
d
Rta: a) cos θ
A
L
B
θ
VB
h
C
Figura 1
d
Muestre claramente los ejes utilizados para estudiar cada uno de los movimientos considerados así como los orígenes y las condiciones iniciales de cada movimiento.
16. Un esquiador deja la rampa de salto con una velocidad de 10 m/s; formando un ángulo de 15° hacia arriba de la horizontal (ver figura 2). La inclinación del costado de la montaña es de 50° y la resistencia del aire es despreciable. Hallar:
v =10 m/s
15°
d
50°
Figura 2.
a) ¿Hasta qué altura vertical sobre el punto de partida sube el esquiador?
b) La distancia d a la que cae el esquiador a lo largo del costado de la montaña.
c) Las componentes de la velocidad precisamente en el instante en que cae.
d) La distancia d a la que cae el esquiador a lo largo del costado de la montaña, si el esquiador deja la rampa formando un ángulo de cero grados con la horizontal.
Rtas: a) 0.34 m: b) 43.1 m; c) 9.7 m/s; d) 37.85 m.
5
17. Una avioneta baja en picada formando un ángulo θ = 37° por debajo de la horizontal y a una velocidad de 50 m/s. Su objetivo es descargar un paquete en un barco que permanece en reposo sobre la superficie del agua. Cuando la avioneta esta a una distancia horizontal de 80 m del barco, se suelta el paquete. Suponiendo que logra su objetivo, calcular la altura a la que vuela la avioneta en el instante de soltar el paquete y cuanto vale la componente normal de la aceleración cuando t = 1.0 s.
Rta: 80.0 m y 6.13 m/s2.
18. Un jugador de fútbol cobrará un tiro libre a una distancia de 17.0 m de la portería, a 6.0 m del sitio de donde se cobrará la falta, se forma una barrera conformada por jugadores cuya estatura promedio es 1.7.0 m. La altura de la portería es 2.4 m. Si el balón sale disparado en una dirección que hace un ángulo de 21° con la horizontal y pasa justamente sobre la barrera.
a) Encuentre la magnitud de la velocidad con que fue lanzado el balón.
b) Si se asume que el portero es incapaz de alcanzar el balón, encuentre si habrá gol.
Rta: a) 18.4 m/s, b) Si.
19. Un avión que cae en picada, formando un ángulo de 37° bajo la horizontal, deja caer un saco de arena desde una altura de 800 m. Se observa que el saco llega al suelo 5.0 s después de haberlo soltado.
a) Elegir un sistema de referencia en tierra y plantear en dicho sistema las ecuaciones cinemáticas de posición y de velocidad del saco en cualquier instante.
b) ¿Cuál es la velocidad del avión?
c) ¿Qué distancia horizontal recorrió el saco durante su caída?
d) ¿Cuál es velocidad del saco justo antes de llegar al suelo?
e) Hallar la ecuación de la trayectoria del saco de arena.
f) ¿Qué ángulo forman el vector velocidad con el vector aceleración cuando t = 1 s?
Rtas: b) 225.1 m/s; c) y = 800 − 0.754 x − 0.0002 x 2 .
899.1 m; d) (179.8i − 184.5 j) m/s ; e) 20. Un cuerpo se lanza desde una altura de 50 m con una velocidad inicial
v =(30 i +
30 j) m/s
a) Mostrar en un diagrama el sistema de referencia a emplear y plantear las ecuaciones cinemáticas para el movimiento del cuerpo.
b) Hallar la velocidad del cuerpo cuando llega al suelo. 6
c) Hallar la aceleración tangencial y la componente radial de la velocidad cuando t =
2
Rta: b) (30.0 i − 43.4 j) m/s , c) 2.87 m/s y 18.4 m/s
21. Se arroja una pelota en dirección horizontal desde la orilla de un barranco con una velocidad inicial v0, cuando t
y
v0
θ
v
= 0. En todo momento, la dirección de su velocidad v forma un ángulo θ con la horizontal, ver figura 3. x
Figura 3
a) Deducir una fórmula que tenga θ como función del tiempo, t, para la pelota que sigue la trayectoria parabólica. b) hallar la componente normal de la aceleración cuando t = 2 s si v0 = 30 m/s.
V0
tanθ ; b) a N = 8.2 m/s 2
Rta: a) t =
g
22. Una pelota es lanzada en O con una velocidad V0 que forma un y
A
ángulo θ = 70° con la horizontal, como se muestra en la figura 4. Hallar el intervalo de valores de V0 para el cual la pelota entrará por la V0
B
θ
O
0.9 m
0.6 m
x
1.0 m
Figura 4.
4.9 m/s < V0 < 5.8 m/s
23. La figura 5 muestra las trayectorias de una botella y una piedra. La botella se deja caer desde el reposo en el instante en que la piedra fue lanzada. Observe que la velocidad de la piedra apunta directamente a la botella.
y
Botella
v0
Piedra
θ
x
Figura 5.
a) Usando el sistema de referencia mostrado en la figura escriba las ecuaciones cinemáticas para la piedra y para la botella.
7
b) Demuestre con cálculos analíticos, que la piedra quiebra la botella. No tenga en cuenta la resistencia del aire.
24. Una persona que se encuentra de pie en la parte superior de una roca semiesférica de radio a, da una patada a un balón, (que se encuentra inicialmente en reposo en la parte superior de la roca.) para proporcionarle una velocidad horizontal v0 como se muestra en la v 0
y
x
a
D
a) ¿Cuál debe ser la velocidad mínima inicial, si el balón no debe volver a tocar la roca después de ser pateado?
b) Con esta velocidad, y a qué distancia respecto a la base de la roca cae el balón
Rta: a) V0 > ga ; b) 8 2 − 1)a
25. Una persona lanza una piedra a 53º sobre la horizontal con una rapidez de 20 m/s. La componente horizontal de la velocidad inicial va dirigida a un auto que avanza alejándose de la persona a 8 m/s, como se muestra en la figura 7. Para que la piedra le pegue al auto a la misma altura que tenía al se lanzada, a qué distancia de la persona debe estar el auto en el instante del lanzamiento. Desprecie la resistencia del aire. V0 = 20 m/s
V0 = 20 m/s
d
Rta: d = 13.1 m
26. Cuando un jugador de béisbol lanza la pelota, normalmente se permite que la pelota rebote una vez antes de que el otro jugador la atrape, basándose en la teoría que la pelota llega así más rápidamente. Suponga que el ángulo con que la pelota deja el suelo una vez que la pelota ha rebotado, es el mismo que el ángulo con el que el jugador la lanzo, como se muestra en la figura 8, pero que la velocidad de la pelota después del rebote es la mitad de la que era antes del rebote.
8
a) Suponiendo que la pelota siempre se lanza con la misma velocidad inicial, ¿con qué ángulo θ0 debe el jugador lanzar la pelota para que recorra con un rebote la misma distancia D que recorrería si se lanzara hacia arriba con un ángulo de 45°, sin rebote (trayectoria continua)? b) determinar la relación entre los tiempos para los lanzamientos efectuados con rebote y sin rebote.
y
O
θ0
45°
θ0
Figura 8
D
x
Rta: a) 26.6º; b) 0.95.
27. Un jugador de baloncesto que mide 2.00 m se encuentra de pie sobre el piso a 10.0 m de la canasta, como se muestra en la figura 9. Se lanza la pelota con un ángulo de 40.0° con la horizontal, ¿con que velocidad inicial debe lanzar la pelota para que entre a la canasta sin tocar el tablero? La altura de la canasta es de 3.03 m.
40°
3.05 m
2.0 m
10.0 m
Figura 9
Rta: 10.7 m/s.
28. Una persona sobre un furgón que viaja con rapidez constante, como se muestra en la figura 10 quiere lanzar una pelota a través de un aro estacionario a 4.9 m sobre la altura de la mano, de modo que la pelota se mueva horizontalmente al pasar por el aro. El hombre lanza la bola con una velocidad de 10.8 m/s respecto a si mismo.
9
a) De acuerdo con el sistema de referencia elegido plantear las ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad que rigen el movimiento de la piedra.
b) Hallar la componente vertical que debe tener la velocidad inicial de la pelota.
c) ¿ A qué distancia horizontal del aro debe soltar la pelota?
d) Cuando la pelota deja la mano de la persona, que dirección tiene su velocidad relativa al marco de referencia del furgón.
4.9 m
9.1 m/s
Figura 10
29. Una partícula gira con aceleración angular constante. ¿Qué ángulo habrá recorrido cuando la magnitud de su aceleración tangencial es igual a la magnitud de su aceleración centrípeta? Si parte del reposo.
Rta: 0.5 rad.
30. Una rueda de 10.0 cm de radio parte del reposo y gira con aceleración angular constante de 4.0 rad/s2. Cuando ha completado 4/π vueltas. Hallar:
a) ángulo barrido; b) tiempo empleado; c) velocidad angular; d) velocidad de un punto de la .circunferencia, e) magnitud de la aceleración total de un punto de la circunferencia.
Rta: a) 458.6º; b) 2.0 s; c) 8.0 rad/s2; d) 80.0 cm/s.
31. Del punto A de la figura 11, un móvil parte del reposo acelerando a 2.0 m/s2 y después de un recorrido rectilíneo AB, continua por el trayecto circular de radio R = 20.0 m, desacelerando a razón de 0.1 rad/s2.
C
A
R
B
a) De acuerdo con el sistema de referencia elegido plantear las ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad que rigen el movimiento del móvil en el trayecto AB.
b) Hallar la velocidad del móvil en el punto B situado a 256.0 m de A.
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c) Plantear las ecuaciones cinemáticas de posición angular y velocidad angular, que rigen el movimiento en el trayecto circular.
d) Calcular el tiempo que demora el cuerpo en detenerse y el ángulo barrido.
e) Calcular, cuando la partícula pasa por C, el tiempo medido a partir de B, la velocidad angular y la velocidad lineal. Rta: b) 32.0 m/s; d) 16.0 s, 733.4º; e) 3.3 s, 1.93 rad/s y 38.8 m/s.
A
32. Una partícula parte del reposo en el punto A que muestra la figura 12 y se mueve sobre una circunferencia de radio r = 10 cm, con una aceleración angular constante α = 0.04 rad/s2.
r
θ
v
β
a
a) ¿Cuánto vale la aceleración tangencial?
Cuando la vector aceleración total a forma con la velocidad v un ángulo β = 60°, calcular:
b) El tiempo invertido por la partícula para formar dicho ángulo β.
c) La magnitud de la aceleración cuando β = 60°.
d) El ángulo θ recorrido por la partícula durante el tiempo calculado en b).
Rta: a) 0.4 cm/s2; b) 6.57 s,; c) 0.8 cm/s2 ; d) 49.4º.
33. ¿Cuánto tiempo transcurre después de las doce en punto para que la manecilla del minutero del reloj vuelva a estar sobre la manecilla del horario?
Rta: 3927.27 s
34. Los cuerpos A y B de la figura 13 arrancan desde el origen (punto O) y recorren direcciones opuestas sobre la misma trayectoria circular de radio R = 4 m, con velocidades de magnitud constante vA = 1.5 m/s y vB = 0.7 m/s, respectivamente.
y
R
vA
vB
B
A
O
x
Determine:
a) El tiempo que demoran las partículas en chocar. b) La distancia más corta entre las partículas, en t = 2 s.
Rta: a) 11.42 s; b) 4.2 m. 35. Dos cuerpos A y B, están unidos mediante B
una varilla rígida que tiene una longitud L. Los cuerpos se deslizan a lo largo de dos rieles L
perpendiculares, como se muestra en la figura y
θ
A
14. Si el cuerpo A se desliza hacia la izquierda con una velocidad de 2.0 m/s, hallar la x
11
Rta: 1.15 m/s.
36. La velocidad de un bote en agua quieta es de 20.0 km/h. Si el bote debe viajar en dirección transversal a la de un río cuya corriente tiene una velocidad 12.0 km/h, ¿a qué ángulo aguas arriba debe apuntar la proa del bote?. ¿Cuál será su velocidad respecto a tierra?
Rta: a) 26.6º; b) 0.95 m/s.
37. Dos automóviles se acercan a un cruce en direcciones perpendiculares. El automóvil 1 viaja a 30 km/h y el 2 a 50 km/h. ¿Cuál es la velocidad relativa del automóvil 1 vista desde el automóvil 2? ¿Cuál es la velocidad relativa del automóvil 2 vista desde el 1?
Rta:16.2 m/s
38. Un aeroplano A vuela hacia el norte a 600 km/h con respecto a la tierra. Simultáneamente otro avión B vuela en la dirección N 60° W a 500 km/h con respecto a la tierra. Encontrar la velocidad de A con respecto a B. Rta: v AB = ( 433.0 i + 350.0 j) km/h .
39. Un hombre que viaja en un bus mientras llueve, observa que, cuando el bus está en reposo respecto a tierra, las marcas que dejan las gotas de lluvia en la ventanilla forman un ángulo de 30° con la vertical, pero cuando el bus se mueve a 60 km/h las huellas de las gotas forman un ángulo de 60° con la vertical. Calcular la magnitud de la velocidad de las gotas respecto al bus quieto y respecto al bus en movimiento.
40. Un globo desciende a una velocidad constante de 10.0 m/s. En cierto momento su tripulante deja caer una piedra sin comunicarle ningún impulso. Transcurridos 10.0 s después de que el tripulante ha soltado la piedra, calcule:
a) La distancia entre el globo y la piedra.
b) La velocidad que lleva la piedra relativa a un observador en tierra y relativa al globo.
Si el globo se encontraba a una altura de 2 km en el momento en que el tripulante dejó caer la piedra. c) ¿Cuál será la altura de la piedra al cabo de los 10 s?
Rta: a) 490.0 m; b) ­108.0 m/s, 98.0 m/s, c) 1410.0 m
12
41. Un cuerpo oscila colgado de un resorte. Cuando el cuerpo está en una posición x, la aceleración es a = ­kx. Si el cuerpo parte desde el reposo en una posición x0, halle:
a) La velocidad en función de la posición.
b) La posición en función del tiempo.
SEÑALE CON UNA X LA RESPUESTA VERDADERA
Las preguntas 1 a 3 se refieren a la siguiente información:
En el último segundo de caída un cuerpo recorre 49 m (parte del reposo).
1. La velocidad con la que el cuerpo llega al suelo es:
a) 49 m/s; b) 9.8 m/s; c) 0 m/s, d) 53.9 m/s
2. La distancia recorrida por el cuerpo es:
a) 148.2 m; b) 40 m; c) 80 m, d) 29.4 m
3. El tiempo que tarda el cuerpo en llegar al suelo es:
a) 2 s; b) 3 s; c) 2.5 s, d) 5.5 s
Las preguntas 4 a 6 se refieren a la siguiente información:
Las coordenadas de un cuerpo en movimiento son: x =t
2
, y =(t ­ 1) 2 , 4. La ecuación de la trayectoria del cuerpo es:
a) x = y 2 ; b) y =(1 ­ x ) 2 ; c) x +y =1 −2t ; d) x −
y =1, e) x 2 −y 2 =1
.
5. ¿Cuándo se tiene la velocidad mínima?:
a) t = 0.5 s; b) t = 1 s; c) t = 2 s, d) t = 0.25 s.
6. Las coordenadas del cuerpo cuando la magnitud de la velocidad es de 10 m/s son:
a) x =
9, y =
3; b) x =
16, y =
9; c) x =
4, y =
3; d) x =
14.3 =
2 m, y =
7.7 m
Las preguntas 7 a 9 se refieren a la siguiente información:
13
Un avión que vuela horizontalmente con una velocidad de 100 m/s, deja caer una bomba y esta recorre una distancia horizontal de 1000 m. 7. La altura a la que se encontraba el avión cuando deja caer la bomba es
a) 490 m; b) 1000 m; c) 1490 m, d) 610 m.
8. ¿Con qué ángulo llega la bomba sobre el suelo?
a) 37°, b) 53°, c) 45.6°, d) 90°.¿Cuál es la ecuación de la trayectoria?
Las preguntas 9 y 10 se refieren a la siguiente información:
Un punto de la circunferencia de una rueda de 10 cm de radio tiene una velocidad de 80 cm/s. Se aplican los frenos y la rueda para en dos segundos.
9. ¿Cuál es la velocidad angular?
a) 4.0 rad/s; b) 8.0 rad/s; c) 40.0 rad/s, d) 80.0 rad/s.
10. ¿Cuál es el ángulo total recorrido durante el frenado?
a) 2 .0rad; b) 4.0 rad; c) 6.0 rad; d) 8.0 rad, e) 10.0 rad.
La pregunta 11 se refiere a la siguiente información:
Un automóvil se está moviendo a una velocidad de 45 km/h cuando una luz roja se enciende en un semáforo. El tiempo de reacción del conductor es 0.7 s, y el auto desacelera a razón de 7 m/s2 tan pronto el conductor aplica los frenos.
11. La distancia que recorre el auto desde el instante en que el conductor nota la luz roja hasta que el auto se detiene es:
a) 10.2 m; b) 11.16 m; c) 19.0 m, d) 2.41 m.
12. La rueda B de la figura 15 cuyo radio es de 30.0 cm parte del reposo y aumenta su velocidad angular uniformemente a razón de 0.8π rad/s. La rueda transmite su movimiento a la rueda A de radio 12.0 cm mediante la correa C.
La velocidad angular de la rueda A cuando t = 2.0 s es:
C
A
B
Figura 15
14
a) 6.28 rad/s; b) 1.6 rad/s; c) 12.56 rad/s, d) Ninguna de las anteriores.