2011/12 - MasMates

Integrales
Selectividad CCNN 2012
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Colecciones de actividades
1. [ANDA] [JUN-A] Sea f una función continua en el intervalo [2,3] y F una primitiva de f tal que F(2) = 1 y F(3) = 2. Calcula:
3
1.
3
3
f(x)dx
2.
2
5f(x)-7 dx
F(x) 2f(x)dx
3.
2
2
2. [ANDA] [JUN-B] Sea la función f definida por f(x) =
2
2
x -1
, para x  -1 y x  1.
a) Halla una primitiva de f.
b) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de f en el intervalo [2,k] sea ln(2),
donde ln denota el logaritmo neperiano.
1
3. [ANDA] [SEP-A] Sea I =
x
1+ 1-x
dx .
0
a) Expresa la integral I aplicando el cambio de variable t =
b) Calcula el valor de I.
1-x.
9-x2
.
4
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta x+2y = 5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.
4. [ANDA] [SEP-B] Sea f:  la función definida por f(x) =
5. [ARAG] [JUN-A] Calcule la siguiente integral indefinida
6. [ARAG] [JUN-B] a) Calcule la siguiente integral indefinida:
x2+11x
x3-2x2-2x+12
dx
cos[ln(x)]dx.
(Ayuda: realice un cambio de variable adecuado para esta integral).
b) Calcule el límite siguiente:
lim
x+
x2
x+5
ln
.
x+3
x-1
7. [ARAG] [SEP-A] Considere las funciones f(x) = ex+1 y g(x) = e-x+5.
a) Determine los posibles puntos de corte de esas dos funciones.
b) Calcule el área encerrada entre esas dos funciones y las rectas x = 1 y x = 3.
8. [ARAG] [SEP-B] a) Calcule el límite
b) Calcule la integral
/2
sen(x)
e
lim
x+
x+6
x+2
3x
.
sen(x)cos(x)dx usando el cambio de variable sen(x) = t.
0
2
dx
9. [ASTU] [JUN-A] Calcule
2
x +3x
1
10. [ASTU] [JUN-B] Halle el área de la zona del plano limitada por las rectas y = 0, x = 1 y x = e, y la gráfica de la curva y = Ln2(x).
11. [ASTU] [SEP-A] Las curvas y = ex, y = e-x y la recta x = 1 limitan un recinto finito en el plano.
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a) Dibuje un esquema del recinto.
b) Calcule su área.
12. [ASTU] [SEP-B] Se considera la curva de ecuación y = x3-2x2+x.
a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa curva en el origen.
b) Dibuje un esquema del recinto limitado por la gráfica de la curva y la recta hallada.
c) Calcule el área de ese recinto.
13. [C-LE] [JUN-A] Sea f(t) =
1
1+et
a) Calcular f(t)dt.
x
b) Sea g(x) =
g(x)
.
x0 x
f(t)dt . Calcular lim
0
14. [C-LE] [JUN-B] a) Calcular
1
2
x +2x+3
dx.
b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f(x) = ax3+2x2+3 en los puntos de
abscisas x = 1 y x = -1 sean perpendiculares.
15. [C-LE] [SEP-A] a) Calcular
b) Calcular lim
x0
sen(2x)
3+sen2(x)
dx
ln(1+x)+ln(1-x)
dx
xsen(x)
16. [C-LE] [SEP-B] a) Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y = x3-6x2+4x+8 la recta tangente a la misma es paralela a
la recta y = 4x+7.
b) Hallar el área de la región comprendida entre las rectas x = 1, x = 4 y que está limitada por dichas rectas, la gráfica de la
función f(x) = x2-4 y el eje OX.
17. [C-MA] [JUN-A] a) Esboza la región encerrada entre la parábola f(x) = x2-1 y la recta g(x) = 5-x.
b) Calcula el área de la región anterior.
18. [C-MA] [JUN-B] Calcula las integrales: I1 =
1
4+9x
19. [C-MA] [SEP-A] Calcula las siguientes integrales:
2
dx e I2 =
tagx+
sen2x cosx dx ;
e
1
dx.
tagx
x
x
dx.
20. [C-MA] [SEP-B] Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = x3-3x2+2x+1 y g(x) = 1.
21. [CANA] [JUN-A] Calcular:
1.
3
5 x-3x3+
2
x2
dx
2.
5
(2x-3)2+9
/2
dx
3.
cot x dx
/6
22. [CANA] [SEP-B] Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función y = x3-6x2+8x y el eje OX, haciendo un dibujo
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aproximado y explicando.
23. [EXTR] [JUN-A] a) Calcule los puntos de corte de la recta 2y-x = 3 y de la recta y = 1 con la rama hiperbólica xy = 2, x > 0.
b) Dibuje el recinto plano limitado por las tres curvas del apartado anterior.
c) Calcule el área de dicho recinto.
x2+1
24. [EXTR] [JUN-B] Calcule la siguiente integral de una función racional:
x2-1
dx.
25. [EXTR] [SEP-A] a) Diga cuándo una función F(x) es primitiva de otra función f(x).
b) Haciendo el cambio de variable t =
plano.
x-1, calcule la primitiva de la función f(x) = x x-1 cuya gráfica pasa por le punto (1,0) del
26. [EXTR] [SEP-B] Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva F(x) de la función f(x) = (x+1)2·senx que
cumpla F(0) = 1.
27. [MADR] [JUN-A] Calcular razonadamente las siguientes integrales denidas:
/2

1.
e2xcosxdx
sen2x
2.
0
1+cos22x
dx
0
28. [MADR] [SEP-B] Dada la funcion f(x) = x2sen x, se pide:
a) Determinar, justicando la respuesta, si la ecuacion f(x) = 0 tiene alguna solucion en el intervalo abierto (/2,).
b) Calcular la integral de f en el intervalo [0,].
c) Obtener la ecuacion de la recta normal a la graca de y = f(x) en el punto (,f()). Recuerdese que la recta normal es la recta
perpendicular a la recta tangente en dicho punto.
1
29. [MURC] [JUN-A] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) =
.
1+ x
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 0 y x = 9.
x2
.
ex
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 0 y x = 1.
30. [MURC] [JUN-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) =
31. [MURC] [SEP-A] De todas las primitivas de la función f(x) =
e2x
1+ex
, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,1).
32. [MURC] [SEP-B] Calcule el área comprendida entre la curva y =
3
6+2x2
, el eje de abscisas y las rectas verticales que pasan por
los puntos de inflexión de dicha curva.
33. [RIOJ] [JUN] Sea f(x) una función positiva en el interalo [1,5], así f(x)  0 para 1  x  5. Si el área limitada por f(x), el eje de
abscisas (eje x) y las rectas x = 1 y x = 5 es igual a 6, calcula el área del recinto limitado por la función G(x) = f(x)+2 y las
mismas rectas.
34. [RIOJ] [SEP] Calcula el área de la región limitada por la función f(x) = lnx, la recta tangente a f(x) en x = e y el eje de abscisas.
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35. [VALE] [JUN-A] Con el símbolo ln x se representa el logaritmo de un número positivo x cuando la base del logaritmo es el número
e. Sea f la función que para un número positivo x está definida por la igualdad f(x) = 4xlnx. Obtener razonadamente:
a) El valor de x donde la función f alcanza el mínimo relativo.
b) La ecuación de la recta tangente a la curva y = 4xlnx en el punto (1,0).
c) El área limitada entre las rectas y = 0, x = e y x = e2 y la curva y = 4xlnx .
36. [VALE] [JUN-B] Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A=(0,12) , B=(-x,x2) y C=(x,x2), siendo x2 < 12.
Obtener razonadamente:
a) El área del triángulo T en función de la abscisa x del vértice C.
b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea máxima.
Para completar el escudo se añade al triángulo T de área máxima la superficie S limitada entre la recta y = 4 y el arco de
parábola y = x2, cuando -2  x  2.
Obtener razonadamente:
c) El área de la superficie S.
d) El área total del escudo.
37. [VALE] [SEP-A] Se definen las funciones f y g por f (x) = -x2+2x y g(x) = x2.
Obtener razonadamente:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de esas dos funciones.
b) El máximo relativo de la función f (x) = -x2+2x y el mínimo relativo de g(x) = x2.
c) Los puntos de intersección de las curvas y = -x2+2x e y = x2.
d) El área encerrada entre las curvas y = -x2+2x e y = x2, donde en ambas curvas la x varía entre 0 y 1.
Soluciones
1.1. 1
1.2. -2
1.3.
7
3
2. a) ln
x(senlnx+coslnx)
+c b) 6 7. a) 2,e3
2
4
3
13. a) ln
et
et+1
+c b)
1
2
x-1
x+1
0
b) 5
b)
1
b) 2e4-4e3+2e2 8. a) e12 b) 1 9.
x+1
2
15
arctg
+c b) 
2
3
2
14. a)
t-t2 dt
3. a)
1
3
4. a) y =
-1
5
x+
2
2
b)
;
1 8
ln
10. e-2 11. a)
3 5
15. a) ln 3+sen2x +c b) -1 16. a) (0,8), (4,-8) b)
5
3
b)
e2-2e+1
e
37
3
17. a)
5. ln
x-2
x2-4x+6 7 2
+
arctg
+c
x+2
2
2
6. a)
12. a) y = x b)
c)
b)
125
6
18.
1
3x
arctg +c
6
2
Y
; ln|tgx|+c
19.
sen3x
3
x
+c; 2e
+c
20.
1
2
21.1.
15 3
2
x x -x3+c.
4
x
21.2.
5
2x-3
arctg
+c
6
3
21.3. ln 2
22.
1
X
1 2 3 4 5
; 8
23. a) (1,2), (2,1), (-1,1) b)
Y
2
c) ln4
1
24. x-ln|x+1|+ln|x-1|+c
25.
X
-1
1
2 3x2-x-2
15
x-1
26. -(x+1)2cosx+2(x+1)senx+2cosx
27.1.
-2e2-2
5
27.2.

4
28. a) no
b)
2
-x2cosx+2xsenx+2cosx+c c) y =
1
2
x-
1

29. a) 2 x -2ln
= 4x-4 c) 3e4-e2 36. a) 12x-x3 b) B(-2,4), C(2,4) c)
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x +1
b) 6-2ln4 30. a)
-x2-2x-2
ex
b)
2e-5
e
 3
31. ex-ln ex+1 +ln2 32.
6
33. 14 34.
e-2
2
35. a)
1
b) y
e
32
80
1
d)
37. a) (-,1); (0,+) b) f: max. en 1; g: min. en 0 c) (0,0), (1,1) d)
3
3
3
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