Diapositiva 1

Física II. 2006
Corriente Alternada
Prof. F. T. Gratton
Selección de diapositivas de clase (7_1)
Nota
De ningún modo este archivo sustituye la obligación principalísima de
los alumnos de estudiar el texto recomendado para este curso.
Las diapositivas se colocan en la página de la materia por solicitud de algunos
alumnos de los turnos AM y CT. El material es sólo para consulta de
estudiantes y docentes de la Facultad de Ciencias Fisicomatemáticas e
Ingeniería de la Pontificia Universidad Católica Argentina con fines de estudio y
exclusivamente dentro del ámbito restringido de la red LIR-UCA. La consulta
es opcional y de ningún modo obligatoria.
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cuanto se pueden violar derechos de autores o propietarios de gráficos,
esquemas, tablas o fotografías utilizadas en las proyecciones.
El Chocón (imágenes satelitales )
Embalse y
transformación
de energía
potencial hídrica
en energía
eléctrica
Generación de
energía eléctrica a
partir de energía
mecánica
Turbinas hidroeléctricas
Circuitos de corriente alterna
n
La bobina rota con frecuencia angular constante ω en un campo
magnético y genera una fem sinusoidal. Para mover la bobina se emplea
la energía de una caída de agua o de una turbina a vapor.
La fem se aplica a un circuito externo mediante las escobillas en
contacto con anillos rotantes. Al tiempo t la normal al plano de la espira
forma un ángulo θ con el campo magnético: el flujo vale entonces φm=
NBA cos(θ)
θ=ωt+δ
fem = E = -dφm/dt= ω NBA sin(θ)
E = Em sin(ωt+δ)
Corriente alterna en una resistencia
Em
E = Em sin(ωt+δ)
=VR
La constante de fase δ
es arbitraria. Resulta
conveniente elegir δ =π/2
Em
cos 2 (ωt ) = sin 2 (ωt ) =
1
2
Valor eficaz: raiz cuadrada del valor medio cuadrático; en
inglés, root-meansquare (rms)
Casi todos los
amperímetros y voltimetros
de CA miden valores
eficaces (rms) de
corriente o tensión (en
lugar de valores de pico).
El valor eficaz de la corriente es 1/√2 del valor de pico
La corriente eficaz (rms) es igual al valor de la
corriente contínua (CC) que produciría el mismo
calentamiento Joule que la CA actual.
La potencia media entregada por un generador
2
P =E I = Em Im cos (ωt)
a un circuito CA resistivo simple es igual a la
2
Pav= ½ Em Im = ½ I mR potencia que se disipa en la resistencia
=I 2rms R
Pav=Erms Irms
Cuando se usan valores eficaces la
fórmula es como en CC
Potencia: ejemplo Argentina, 50 Hz y 220 V
Un calentador de agua de 2200 W emplea una corriente eficaz Irms= Pav/Erms=
10 A . Si hay más aparatos enchufados, éstos aparecen en paralelo sobre la fem
y por razones de seguridad en cableados domésticos (calentamiento Joule) se
recomienda no superar 20 A de corriente eficaz.
Por lo tanto, el interruptor de seguridad corta cuando se supera Pav= 20 × 220
V-A = 4.4 kW. A fin de permitir consumos mayores las casas suelen tener más
de un circuito con interruptores separados .
Corriente Alterna en inductores y condensadores
• Cuando un condensador en un circuito de CC se ha cargado completamente, la
corriente se detiene y la presencia de la C equivale a un circuito abierto.
• Si en cambio la corriente es alternada, la carga sigue fluyendo de una placa a la
otra del condensador. A muy altas frecuencias la C no ofrece dificultad alguna al
paso de la corriente y el condensador actúa como un corto circuito.
• Con un inductor sucede al revés, la bobina habitualmente tiene una R muy
pequeña y actúa como un cortocircuito para la CC (o frecuencias muy bajas en
CA). Cuando la corriente varía substancialmente aparece una contra-fem
proporcional a dI/dt en la bobina. A muy altas frecuencias la contra-fem es tan
grande que el inductor opera como si el circuito estuviera abierto.
Inductancia en circuito de CA (a)
Generador CA en serie con un inductor
(solenoide) L. Los signos ± sobre la
inductancia indican la dirección de la caida de
tensión cuando dI/dt es positiva para la
dirección de la corriente que se ha supuesto.
Notar que para dI/dt >0, el punto en el cual
la corriente entra a la inductancia está a un
potencial mayor que el punto donde la
corriente sale.
E = Em cos(ωt)
Inductancia en circuito de CA (b)
Corriente y tensión en el inductor en función
de t. El máximo de la tensión ocurre un
cuarto de ciclo antes del máximo de
corriente. La tensión adelanta la corriente en
un cuarto de período, o sea que la fase de V
es mayor que la de I en 90º
E = Em cos(ωt )
Cuando I es cero pero creciente, dI/dt es máxima, por lo tanto la
contra - fem generada en la inductancia toma su máximo valor.
Irms = Im/√2, Erms= Em/√2
XL = ωL: se denomina reactancia inductiva o inductancia, se mide en
ohms
P=I E = Em Im cos(ωt) sin(ωt)
La potencia media en
el inductor es nula
P =< cos(ωt) sin(ωt)>=0
(cierto sólo cuando la resistencia
del inductor es despreciable)
av
Condensadores en circuitos de CA (a)
E
- VC = 0
VC = Em cos(ωt) = Q/C
Q = C Em cos(ωt)
I = - Im sin(ωt); Im = ω C Em
I = dQ/dt =-ω C Em sin(ωt)
sin (ω t) = – cos (ω t +π/2)
La tensión en el condensador atrasa respecto
de la corriente en un cuarto de ciclo, o sea,
con una demora de fase de 90º con la
corriente. La tensión sobre C (igual a la fem
aplicada) es máxima cuando I es nula. Los
signos ± sobre C indican que cuando I es
Corriente y tensión a través positiva, el punto de ingreso al condensador
del condensador en función está a un potencial mayor que el punto de
del tiempo.
salida de la corriente.
Condensadores en circuitos de CA (b)
XC : reactancia
capacitiva o
capacitancia
P=I E = -Em Im cos(ωt) sin(ωt)
Pav =< cos(ωt) sin(ωt)>=0
se mide en ohms
La potencia media que la fem aplicada
entrega al condensador es nula
Un condensador descargado en t=0 se conecta a una fem con la placa
superior al polo positivo. Al comienzo fluye carga positiva hacia la placa
superior y abandona la placa inferior. El efecto es equivalente al que
produciría una corriente que pudiera cruzar el espacio entre placas.
Si la fem es un generador de CA, la carga de una placa y la diferencia
de potencial cambian de signo cada medio período.
Si redoblamos la frecuencia estamos redoblando la cantidad de carga
que fluye hacia y desde la placa en un tiempo determinado, por lo tanto
estamos redoblando la corriente. En suma, cuanto mayor es la
frecuencia tanto menos el condensador puede impedir el flujo de carga.
Resumen de las reactancias
VL, rms es la caída de tensión eficaz a través del
inductor. La tensión en el inductor se adelanta a
la fase de la corriente en 90º.
VC, rms es la caída de tensión eficaz a través
del condensador. La tensión en el
condensador atrasa respecto de la fase de la
corriente en 90º .
Representación de las
soluciones por fasores
Fasor o vector rotante
La tensión sobre la resistencia se puede
representar mediante un vector rotante,
VR, llamado fasor cuya magnitud es ImaxR y
cuyo ángulo con el eje x vale θ = ω t – δ.
El fasor gira con frecuencia angular ω . La
tensión instantánea sobre la resistencia es
la componente x del fasor VR.
(VR)x ≡ VR = IR cos(θ) = IR cos (ω t – δ)
Las relaciones de fase entre la corriente y las caídas de
tensión en un condensador o un inductor se pueden
visualizar con comodidad de un modo gráfico, mediante
vectores en dos dimensiones llamados fasores.
La tensión en una resistencia está siempre en fase con la
corriente que la atraviesa
Cuando varias componentes están conectadas en
en serie, las tensiones correspondientes se suman. La
operación se traduce en una suma vectorial de fasores
de voltaje.
Cuando las componentes se conectan paralelo son
las corrientes, en cambio, las que se suman.
Nuevamente, la suma se refleja en una suma vectorial
de los fasores de corriente.
Una suma de términos con senos y cosenos con
diferentes amplitudes y fases es una operación
algébrica tediosa e incómoda de realizar. El resultado
se obtiene mucho más fácilmente por suma vectorial
de los fasores correspondientes.
ƒ
ƒ
ƒ
En estos diagramas se ha elegido el eje y
para la proyección de fasores
Izquierda: variación temporal de la corriente y la tensión en la resistencia.
Derecha: diagrama de fasores de un circuito resistivo.
Cálculo de valores medios y medios cuadráticos
1
sin ( ωt ) = 1 - cos ( ωt ) =
2
2
2
I R2
1T
1
= ∫I R0 2 sin 2 ( ωt )dt = I R0 2
T0
2
I R2 =
1
I
2 R0
En estos diagramas se ha elegido el eje y para la proyección de fasores
Izquierda: IL y VL en
el inductor como
funciones del
tiempo. Derecha:
diagrama de fasores
de un circuito
inductivo.
Izquierda:
variación
instantánea de
Ic y Vc en un
condensador.
Derecha: gráfico
de fasores de un
circuito
capacitivo.
Un circuito contiene un inductor L, un condensador C y una
resistencia R conectados en serie. Todos los elementos llevan la
misma corriente I que se puede representar con la componente x
de un fasor de corriente. El fasor de tensión en la resistencia VR
tiene la misma dirección del fasor de la corriente
Fasores de las tensiones VR, VL, y VC. . Cada
fasor rota en sentido contrario a las agujas del
reloj con frecuencia angular ω. En cualquier
instante t la tensión en un elemento del circuito
es igual a la componente x del fasor
correspondiente. La suma de las tensiones es
igual a la componente x de la suma vectorial de
los fasores
E =VR + VL +VC
|E| ={ (IR)2 + I2 (XL-XC)2 }1/2
Circuitos sin forzante
Circuitos LC y RLC sin generador:
circuitos sin forzante
El esquema representa un circuito LC libre, o sea
sin generador. Suponemos que el condensador
tiene una carga inicial Q0, con la llave abierta.
Los signos de Q sobre el condensador y la
dirección de I han sido elegidos de modo que
valgan las siguientes ecuaciones:
Analogía con el oscilador armónico
El circuito LC es análogo al sistema de una masa m con un resorte elástico;
L juega el papel de la masa, Q es semejante a la posición x y 1/C cumple
el rol de la constante del resorte k. La corriente I corresponde a la
velocidad v, puesto que v = dx/dt e I =dQ/dt. Cuanto mayor es la masa
tanto más difícil es cambiar la velocidad del objeto. Cuanto más elevada es
la inductancia tanto más difícil es modificar la corriente I.
Solución general
A, amplitud, δ, fase inicial, ambas dependen de los datos iniciales;
ω =1/√LC, frecuencia angular (radianes por segundo)
Si elegimos las condiciones iniciales Q = Q0 e I = 0 en t = 0, la constante
de fase δ is cero y A = Q0. Las soluciones son las siguientes:
Imax = ω Q0
Forma y relaciones de fase de la solución del circuito LC
Balance de energía
del circuito LC
Circuito RLC libre
(sin generador)
Analogía con el oscilador
armónico amortiguado
Solución para amortiguamiento débil
Q = A exp (− γt ) sin (ωt − δ ),
γ << ω
ω ≈ ω0 = 1
R
, γ ≈ 2
LC
L
1
fem : E = Emax cos (ω t)
Analogía formal con un oscilador
armónico amortiguado forzado por una
fuerza sinusoidal
Solución estacionaria o de
régimen, luego de un tiempo en
que la excitación inicial (oscilación
libre) se ha amortiguado debido a
la resistencia
F. T. Gratton, 2006
tan (δ)
se denomina reactancia total y Z es la
impedancia del circuito
La solución se puede deducir por el
método de vectores rotantes o fasores
Relaciones de fase de un circuito RLC
en serie.
La tensión en la resistencia VR está
en fase con la corriente. La tensión
sobre la inducción VL se adelanta a
la corriente en 90º. El voltaje sobre
el condensador VC está atrasado
respecto a la corriente en 90º.
La suma de los fasores que
representan estas tres tensiones es
un fasor que forma un ángulo δ con
la corriente y es igual a la fem
aplicada. En el dibujo, VL es mayor
que VC y la corriente atrasa
respecto de la fem por una fase δ.
El triángulo rectángulo (método de fasores)
relaciona la impedancia del circuito RLC serie con
resistencia y la reactancia total y muestra el
angulo de fase entre la fem y la corriente
VR = ImaxR, VL = ImaxXL, VC = ImaxXC.
F. T. Gratton, 2006
En estos diagramas se ha elegido el eje y para la proyección de fasores
(a)
(b)
(c)
Gráficos de fasores de un circuito serie RLC: relación entre corriente y voltaje
en la resistencia (a) , el inductor (b) , y el condensador (c).
Valores instantáneos:
proyecciones de los
fasores sobre el eje y.
Relación de amplitudes
Ecuación
instantánea
Relación de
fasores
Es importante notar que la amplitud máxima de la tensión de CA no
es igual a la suma de las amplitudes máximas de las tensiones de
los tres elementos del circuito.