π radianes a) ............. Si : ................360º = 2

1.CONVERSION DE UNIDADES: VUELTAS, GRADOS, RADIANES.
a) En una vuelta completa de circunferencia hay 360º, lo que equivale a 2π radianes
............. Si : ................360º = 2π radianes
.......... ...Entonces : .....180º = π radianes
b) Una revolución es una vuelta completa a la circunferencia
c) En una revolución hay 360º ó 2π radianes
Con estos elementos, es recomendable utilizar el Método de las Fracciones equivalentes para
efectuar Conversiones, es decir, ir multiplicando por una fracción que equivale lo mismo en el
numerador como en el denominador.( Así estamos multiplicando por la unidad y su valor no cambia).
EJERCICIOS RESUELTOS:
EJERCICIOS PROPUESTOS……OJO…..:AQUÍ INSERTAR UNA IMAGEN….X QUE ES UN
TALLER…….
Grados Sexagesimales a radianes:
a) 45o
b) 90o
c) 30o
d) 60o
e) 390o
Radianes agrados sexagesimales:

a) 12
b)
13
radianes
6
c) 
d)
radianes

6
radianes
5
radianes
6
e) 
5
radianes
12
2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN EL PLANO CARTESIANO
DEFINICIÓN
Son relaciones entre las longitudes de la hipotenusa y los catetos del triángulo
rectángulo.
Existen seis funciones trigonométricas: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan),
cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (csc).Las tres priemras funciones se llaman
funciones directas y las tres últimas se llaman funciones recíprocas o inversas.
En el triángulo ACB de la siguiente figura consideramos el ángulo A
c = Longitud de la hipotenusa
a = Longitud del cateto opuesto al angulo A
b = Longitud del cateto adyacente angulo A
Las funciones trigonométricas del ángulo A son:
Seno de A = sen A =
catetoopuesto a

hipotenusa
c
Coseno de A = cos A =
catetoadyacente b

hipotenusa
c
Tangente de A = tan A =
catetoopuesto
a

cateoadyacente b
Cotangente de A = cot A =
Secante de A = sec A =
catetoadyacente b

catetoopuesto
a
hipotenusa
c

catetoadyacente b
Cosecante de A = csc A =
hipotenusa c

catetoopuesto a
2.1.SIGNOS DE LAS FUNCIONES EN EL PLANO CARTESIANO
Nota: Recuerde los signos de las funciones trigonométricas:
Cuadrante
I
II
III
IV
Todas
sen   csc 
tan   cot 
cos   sec 
Función
todas
sin
tan
cos
positiva
TALLER:…(HAY QUE INSERTAR UN GRAFIQUITO MEDIO ALAJA……PLEASE…).
1. Hallar las equivalente de las siguientes funciones trigonométricas de ángulos agudos.
(Dibujar los ángulos)
a) Sen120o =
b) Sen(-210º)
c) Cos240o =
d) Tan 315º =
e) Sec 330º =
f) Cot (-300º) =
2. Completar la siguiente tabla:
A
I
II
III
IV
Sen (A)
Cos (A)
Tan (A)
Cot (A)
Sec (A)
Csc (A)
2.2 VALORES PREDEFINIDOS DE 300 , 600 , y 450 . MULTIPOS Y SUBMULTIPLOS
INSERTAR UN GRAFICO DE FORO – DEBATE…PLEASE….
FORO DEBATE: TRABAJR EN GRUPOS DE 3 PERSONAS Y EN PAPELOTES DE COLORES DIBUJAR LOS
TRIANGULOS RECTANGULOS CON SUS RESPECTIVOS VALORES DEFINIDOS EN LA SIGUEINTE TABLE.
1) Construir un tabla de senos y cosenos para los ángulos desde 0º hasta 180º
0º
Ángulos
Funciones
Sen 
0
30º
60º
1
2
3
2
90º
1
120º
3
2
150º
1
2
180º
0
Cos
1
Tan
0
1
2
3
2
1
3
0

1
2


 3

3
180º
210º
Ángulos
Funciones
Sen 
0

1
2
Cos
-1

Tan
0
3
2
1
240º
270º
300º
3
2
1

2
-1


3


 3

3
-1
0
3
330º
3
2
1
2
0
3
2
1
360º
1
2
0
3
2
1
1
0
3
2) Construir una tabla de seños y cosenos para los ángulos desde el 45º hasta 270º
Ángulos
Funciones
Sen 
Cos
Tan
0º
45º
0
1
1
2
1
90º
1
0
2
0
1

135º
1

-1
180º
225º
0

2
1
-1
2
0

270º
1
-1
2
1
0
2
1

3. RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
3.1 DEDUCCIONES DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
Considera la siguiente figura siguiente en donde sen  a / b, cos  b / c y tan   a / b
1) Deducir de tan  
sen 
cos 
Solución:
Afirmaciones
Razones
a
b
1.1)
tan  
1.2)
a
sen c

cos b
c
Por definición de tangente
Reemplazando valores de sen  y
cos 
1.3)
1.4)
sen 
cos 
tan  
Simplificado c
sen 
cos 
Reemplazando 1.3 en 1.1
3.2 TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo
recto).
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de sus catetos.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes
y , y la medida de la hipotenusa es ,
se establece que:
Ecuacion 1
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
3.3 AREA DEL TRIANGULO
Su fórmula es:
𝐴𝑟𝑒𝑎 =
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
: en unidades de longitud elevada al cuadrado
TALLER…TRABAJO EN GRUPO….INSERTAR UNA
IMAGEN CHEVERUCA..X FA…
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Hallar el valor de x en las siguientes figuras:
5)
de
En la siguiente figura determinar la altura h
la montaña y el valor de x
BIBLIOGRAFIA:
4. RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS
4.1 LEY DE SENOS
teorema del seno
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son
respectivamente a, b,c, entonces:
4.2 LEY DE COSENOS
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos
a estos ángulos entonces:
4.3 EJERCICIOS RESUELTOS
1.Los lados de un triángulo son 3,8 y 9. Hallar la altura del triángulo correspondiente al
vértice del ángulo más pequeño.
a2  b2  c2
2ab
81  64  9
CosC 
144
136
CosC 
144
CosC 
CosC = 0,94
C = 19,19º
C  81  2,25
C  78,75
C  8.87km
2.Las dos diagonales de un paralelogramo son 10 y 12 y forman un ángulo de 49, 18º
hállense los lados solución 10 y 4677
a 2  b 2  c 2  2bc cos130,7 º
a 2  25  36  (39,12)
a 2  100,12
a  10km
c 2  a 2  b 2  2ab cosC
c 2  25  36  39,12
c 2  28,88
c  4,68km
3.Para calcular la distancia entre dos puntos A y B, separados por un estanque fig 88 se
tienen los siguientes datos, tal cual, muestra la figura.
c 2  a  b 2  2ab cosC
c 2  (322,4) 2  (426) 2  (322,4m)(426)(cos68,42)
c 2  103.941.76  18(26  99779,59)
c 2  185638,17
c  430,86m
4.4. TRABAJO EN GRUPO…MISCELANEA DE EJERCICIOS..INSERTAR UNA IMAGEN…X FIS….JANE AND
GABY……
Resolver los siguientes triángulos rectángulos, si C = 90º y además:
1. A = 20º , c = 80cm
2. B = 30º , a = 24cm
3. A = 38º ,b = 64cm
4. c= 32cm, a = 15cm
5. a=48cm, b = 25cm
6. A = 32º , c = 56cm
7. Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 35º y el lado opuesto tiene una
longitud de 25cm. Resolver el triángulo y calcular su área.
8. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 28cm y 32cm. Resolver el triángulo y
calcular su área.
9. Un cateto de un triángulo mide 12cm y su hipotenusa 15cm. Resolver el triángulo y
calcular su área.
10. Un cateto de un triángulo tiene 11m y la hipotenusa mide un metro más que el otro
cateto, calcular el valor de estos dos últimos y el área del triángulo. Resp. 60cm y
61cm.
11. Para calcular el ancho de un río, se mide una distancia AB a lo largo de su orilla,
tomando con referencia que el punto A está directamente opuesto a un árbol C, sobre
el otro lado. Si se observa que el ángulo ABC es de 60º y la distancia AB de 15m,
calcular el ancho del río.
12. El triángulo ABC es rectángulo, el segmento AB =
5 cm y los catetos AC y BC
miden xcm y (x+1)cm respectivamente. Determinar el valor de x.
13. Las diagonales de un rombo miden 12cm y 16cm. Calcular el perímetro del rombo.
14. La base de un triángulo isósceles mide 80cm y su altura es de 25cm. Resolver el
triángulo.
15. Si M es el punto medio de BC en el cuadrado ABCD de área = 4cm2. Determinar los
valores de: La diagonal trazado desde A y del segmento AM.
16. El perímetro de un trapecio isósceles es de 54cm. Calcular la altura, sabiendo que la
base mayor mide 20cm y es doble de la base menor.
17. Un observador se encuentra a una determinada distancia medida desde la base de una
colina; en ése instante el determina un ángulo de elevación de 30° con respecto a la
cima de la colina. Si camina l00m acercándose a la colina, el observador determina
que el ángulo ahora es de 45°. ¿Calcular la altura de la colina?
18. ¿Qué ángulo forma el diagonal de un cubo con la diagonal de una cara del mismo
cubo trazado desde el mismo vértice? Resp. 35°16”
19. Un barco navega 30 Km en la dirección N21°O, gira 90° hacia la izquierda y recorre
otros 40km. Encontrar su posición con respecto al punto de partida.
20. Desde un cierto punto sobre el plano del pie de una montaña, el ángulo de elevación
de la cima es de 45°, desde otro punto situado a 200m, más lejos que el punto anterior,
el ángulo de elevación es de 30°, ¿Cuál es la altura de la montaña?
Resp. 2732m
21. De manera simultánea dos observadores miden el ángulo de elevación de un
helicóptero. Uno mide 30° y el otro 60°. Si los observadores están separados una
distancia de 200m y el helicóptero está sobre la línea que los une. Calcular la altura a
la cual se encuentra el helicóptero.
5. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
5.1 DEFINICION
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones
trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las
funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
Notación: se define sin2α como (sin α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones
trigonométricas
5.2. IDENTIDADES EN FUNCION DE OTRAS
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
En
términ
os de
5.3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Y SUS INVERSAS:
5.3.1 RELACIONES FUNDAMENTALES DE IDENTIDADES
POR COCIENTE
sen
t an 
cos
cos
cot 
sen
PITAGÓRICAS
sen 2  cos2   1
1  tan2   sec 2 
1  cot2   csc 2 
INVERSAS
1
sen 
csc
1
cos 
sec
1
tan 
cot
Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que
tiene radio igual a 1):
5.4 EJERCICIOS RESUELTOS
ctgx  sec x csc x(1  2sen2 x)  tgx
1.
1
 sec x csc x( sen 2  cos2 x  2sen 2 x)  tgx
tgx
1
 sec x csc x(cos2 x  sen 2 x)  tgx
tgx
1 cos2 x  sen 2 x

 tgx
tgx
cos xsenx
cos x
cos2 x
sen 2 x


 tgx
senx cos xsenx senx cos x
cos x cos x senx


 tgx
senx senx cos x
senx
 tgx
cos x
tgx  tgx
2. (tgx  tgx)sen cos x  1
senx cos x

.senx cos x  1
cos x senx
sen 2 x  cos2 x
.senx cos x  1
cos xsenx
sen 2 x  cos2 x  1
1=1
seny
1  cos y

seny
3. 1  cos y
1
1  cos y
csc y

1  cos y
seny
1
1
1  cos y

csc y (1  cos y )
seny
csc 2 y  ctg 2 y 1  cos y

csc y(1  cos y)
seny
csc 2 y
ctg 2 y
1  cos y


csc y(1  cos y) csc y(1  cos y)
seny
csc 2 y
ctg 2 y
1  cos y


csc y(1  cos y) csc y(1  cos y)
seny
cos2 y
csc y
1  cos y
sen 2 y


(1  cos y ) 1  cos y
seny
seny
csc y
cos2 y
1  cos y


1  cos y seny(1  cos y )
seny
seny csc y  cos2 y 1  cos y

seny(1  cos y )
seny
1  cos2 y
1  cos y

seny(1  cos y )
seny
(1  cos y )(1  cos y ) 1  cos y

seny(1  cos y )
seny
1  cos y 1  cos y

seny
seny
5.5 EJERCICIOS PROPUESTOS…FORO….TRABAJO EN GRUPO
INSERTAR ALGUNA IMAGEN….GABY…AHÍ BUSCALE ALGO CHEVERUCO……
RESOLVER LA SIGUIENTE MISCELANEA DE EJERCICIOS
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Demostrar las siguientes identidades trigonométricas.
1. cos  . tan   sen 
2. sen  . sec   tan 
3. sen  . cot   cos 
2
2
4. (1  tan  ) cos   1
2
2
2
2
5. cot   cos   cot  . cos 
2
2
2
2
6. sec   csc   sec  . csc 
2
2
2
2
7. sen   tan   sec   cos 
8. (tan  tan B)(1  cot . cot B)  cot  cot B)(1  tan . tan B)  0
2
2
2
2
9. ( xsen cos B)  ( xsensenB)  ( x cos )  x
2
2
2
10. sen   cos   1  2 cos 
3
3
11. sen   cos   (sen  cos )(1  sen cos )
6
6
2
2
2
12. sen   cos   (1  2 cos  )(1  sen  cos  )
4
4
2
13. cos   sen   1  2 cos 
14.
sen 3  cos3 
 1  sen cos
sen  cos
15.
sen 
1  cos 

 2 csc 
1  cos 
sen 
https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100325171832AA7Ru2w
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas
Trigonometria de Granville
Si desean pueden agregar alguna otra bibliografía chicas….del CAN…jejejejej