Material Temas A,B,C,D - Universidad Interamericana de Puerto Rico

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
Recinto de Bayamón
Departamento de Ciencias Naturals y Matemática
TRIGONOMETRÍA
Prof. Evelyn Dávila
 Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo.
– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía, navegación e ingeniería.
 Podemos desarrollar el tema de trigonometría por medio de
– El círculo
– El triángulo rectángulo
dos enfoques, éstos son:
I INTRODUCCIÓN A LOS ÁNGULOS
A.
Repaso sobre ángulos:
Un ángulo consta de dos rayos que tienen el mismo punto inicial.
 Al punto inicial que comparten se le llama vértice.
 Un ángulo puede ser positivo o negativo según la dirección en que da origen el ángulo
ÁNGULO
POSITIVO
ÁNGULO NEGATIVO
Lado terminal
VÉRTICE
Lado inicial
B. Nombramos a los ángulos según sus medidas:
Ángulo agudo - medida mayor de cero grados y menor de 90 grados
Ángulo obtuso - medida mayor de 90 grados y menor de 180 grados
Ángulo recto - mide 900
Ángulo llano (liso) - mide 1800
Una revolución consta de 3600
Lado inicial
Lado terminal
Ángulos complementarios son dos ángulos cuya suma es 90o.
Ejemplo 60o y 30o
Ángulos suplementarios son dos ángulos cuya suma es 180o.
Ejemplo 120o y 60o
C.
Medimos los ángulos en grados o en radianes
Grados:
Un grado se obtiene al dividir un círculo en 360 partes iguales, cada pedazo mide
un grado.
¿Cuánto mide el ángulo  en grados?

Observa que  es una octava parte del círculo
por tanto  
360
 45O .
8
Radianes
La medida en radianes consiste en medir la longitud del arco (s ) ,formado por un
ángulo central y dividir entre el radio (r), esa es la medida en radianes del ángulo
central que corta el arco.
Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro de un
circulo con radio r.

Un ángulo central mide un radián si este ángulo intercepta un arco
con longitud igual a la longitud del radio del circulo (r).
Analiza la siguiente fórmula:
La longitud del arco formado por el ángulo
la medida de  en radianes, es decir
Si
,
s  r,
es dada por el producto del radio del circulo y
por lo tanto

s
.
r
s  r , tal como establecimos en la definición de radianes, entonces
En conclusión cuando
s r,
 = 1 radian.
 mide un radián.

r
r
s
s
Arco formado por el
ángulo 
de longitud s .

2 radianes por lo tanto
Una revolución mide 360o o
360o  2 radianes , y 𝝅 = 𝟏𝟖𝟎𝒐
Analizamos de donde proviene esa equivalencia:
La medida del ángulo de una revolución (círculo) es
  360o
La medida del ángulo de una revolución en radianes es:

s C
2r
 rad 
rad  2 rad
r r
r
Expresar la medida de un ángulo dado en grados en RADIANES
P r ocedim iento :

(m edidadel ánguloen grados)(
)
1800
EJEMPLO
   
300  30

 180 6
Cambiar la medida de un ángulo dado en RADIANES a GRADOS
Pr ocedim iento :
 1800 

(m edidadel ánguloen radianes)
  
 PRÁCTICA
1
1. Expresa 600 en radianes.
2. Expresa 2250 en radianes.
3. Expresa
4. Expresa
𝜋
rad. en grados.
3
3𝜋
4
rad. en grados.
EJEMPLO
0
4
4 
 180

5
5 
 

  144 0


D. Ángulo Central en Posición Estándar
Un ángulo central en posición estándar es un ángulo central localizado en el plano
cartesiano de tal manera que el vértice se encuentra en el origen y el lado inicial del ángulo
corresponde al eje positivo de x.
ÁNGULO CENTRAL EN POSICIÓN ESTANDAR
Medida de los ángulos cuadrantales en
GRADOS y RADIANES
Los ángulos cuadrantales son aquellos cuyo lado terminal se encuentra en alguno de los
ejes del plano cartesiano.
  90 0 

2
  1800  
  3600  2
  270 0 
2
3
Equivalencia de otros ángulos centrales en posición estándar
3
4

2
2
3
600 

3
450 
5
6

4
30 0 

6
x
7
6
5
4
4
3
Ángulos Negativos
−5𝜋
6
3
2
5
3
7
4
11
6
−3𝜋
2
−𝜋
6
PRÁCTICA 2
Localiza en el siguiente diagrama los ángulos dados.
1.
2.
3.
−3𝜋
4
5𝜋
3
−2𝜋
3
4. −𝝅
5.
6.
7.
8.
−5𝜋
6
7𝜋
6
11𝜋
6
5𝜋
4
E. Ángulos Coterminales son ángulos que tienen el mismo lado inicial y el
mismo lado terminal.
Obtenemos un ángulo coterminal al sumar una revolución al ángulo dado.
Fórmulas
Un ángulo coterminal a 𝜃, medido en radianes es
Un ángulo coterminal a 𝜃, medido en grados es
𝜃 ± 𝑛 ∙ 2𝜋
𝜃 ± 𝑛 ∙ 360°
Donde n es un número natural.
Ejemplos
Dos ángulos positivos coterminales a 𝟏𝟓𝟎° son 𝟓𝟏𝟎° , 𝟖𝟕𝟎°
Dos ángulos coterminales a 𝟐𝟎° , uno positivo 38𝟎° 𝒚 𝒖𝒏𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 − 𝟑𝟒𝟎°
Dos ángulos positivos coterminales a
Dos ángulos coterminales a
𝝅
𝝅
𝟑
son
, uno positivo
𝟔
𝟏𝟑𝝅
𝟔
𝟕𝝅
𝟑
𝒚
𝟏𝟑𝝅
𝟑
.
𝒚 𝒖𝒏𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐
−𝟏𝟏𝝅
𝟔
 PRÁCTICA 3
Halla dos ángulos positivos coterminales a:
1. 𝟓𝟓𝟎
2.
2𝜋
3
Halla dos ángulos coterminales al dado tal que uno sea positivos y el otro
negativo:
1. 𝟕𝟓𝟎
2.
F.
5𝜋
6
APLICACIONES
Fórmulas
Longitud de arco
Sea r , la medida del radio de un círculo, 𝜃 la medida en radianes de un ángulo
central. La longitud del arco formado por la intersección del ángulo y la
circunferencia es dado por 𝑠 = 𝑟𝜃 .
Velocidad linear
𝒗=
𝒅
Velocidad angular 𝒘 =
𝒕
𝜽
𝒕
𝒔
En una circunferencia 𝒗 = 𝒕
, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝜽 𝒆𝒔 𝒅𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔.
𝒗 = 𝒓𝒘
Cambiar velocidad angular a lineal
Área de un sector circular
𝑨=
𝒓𝟐 𝜽
𝟐
; donde 𝜃 es dada en radianes.
Aplicación 1
La Tierra es una esfera con un radio de 4,000 millas. La ciudad Hobart
(H), Tasmania en Australia está localizada a una latitud de 43o sur y la
ciudad Metz Glacier (M), Antartica está localizada a una latitud de 68o
sur. Ambas se encuentran a la misma longitud. ¿A qué distancia de
separación se encuentran ambas ciudades?
H
M
Aplicación 2
Un helicóptero tiene un rotor de 20 pies de diámetro que rota a 420 revoluciones por minuto.
Halla la velocidad lineal de cada aspa. Ofrece tu respuesta en pies por minutos, luego en
millas por hora. Equivalencias 1 milla = 5280 pies.
Aplicación 3
Una bicicleta con una goma de 27” de diámetro se mueve a una velocidad de 15 millas por
hora. Halla la velocidad angular en revoluciones por minuto.
Aplicación 4
Se va a decorar un patio con un jardín en forma de sector circular con un ángulo central de 600
y un radio de 10 pies. Para comprar la cantidad apropiada de tierra lista y el borde de su jardín
debe calcular el área y perímetro de su jardín. Halla ambos valores.
PRÁCTICA 4
1. Se utiliza una polea de 8” de radio para subir una cubeta de un pozo. Contesta:
a) ¿Cuánto se desplazará la cubeta si se gira la polea 10𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠?
b) ¿Cuánto se debe girar la polea si deseas subir la cubeta 9 pies? Expresa tu respuesta
en grados.
2. El aspa de una cortadora de grama mide 20” de diámetro y rota a 1200 revoluciones por
minuto. Indica la velocidad lineal que lleva el aspa.
3. Se necesita cortar un cristal en forma de un sector circular con radio de 12” y un ángulo
central de 1200. ¿Cuál es el área de dicha pieza?
4. Un jardín es roseado diariamente por un dispositivo automático que gira circularmente
hasta 270° y tira agua con un impulso que alcanza 15 metros de distancia. Determina el
área del patio que recibe agua mediante el dispositivo automático.
5. En una terraza circular una cuarta parte está decorada con un piso en mosaicos. El
diámetro de dicha terraza es de 12 pies . Calcula el área decorada en mosaicos.
II TRIGONOMETRÍA CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
A. Triángulos rectángulos
Un enfoque sencillo y fundamental de la trigonometría es mediante la relación de
las partes de un triángulo rectángulo.
Triángulo Rectángulo

hipotenusa
c
b


a
catetos
Característica principal de un triángulo rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900 , por lo
tanto los otros dos ángulos son complementarios. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo
recto.
Observaciones importantes sobre los triángulos rectángulos:
 Un triángulo consta de tres lados y de tres ángulos.
 La suma de los tres ángulos es 1800
 La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la
longitud del tercer lado.
 Teorema de Pitágoras - Sea c la hipotenusa, a y b los catetos, entonces c2 = a2 + b2
 Los ángulos se nombran con letras para identificarlos. Algunas de las letras que
utilizamos son del alfabeto griego como por ejemplo;
B.
 “gamma”; “alpha” ;  “betha”
RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN TRIANGULO RECTANGULO
 Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de
las relaciones trigonométricas.
 Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea
un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.
 Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan
origen a las otras.
Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo
Relaciones básicas
sen
Relaciones recíprocas
lado opuesto

hipotenusa
cos  
tan  
lado adyacente
csc  
1
hipotenusa

sen lado opuesto
cot 
1
lado adyacente

tan  lado opuesto
sec  
1
hipotenusa

coseno lado adyacente
hipotenusa
lado opuesto
lado adyacente

Lado
adyacente a
“gamma”
Lado
opuesto a
betha
β
Lado
adyacente a
“betha”
Lado opuesto a
“gamma”
EJEMPLO
1. Calcula las relaciones trigonométricas básicas para el ángulo  según la información que
te provea el dibujo.
MEDIDADE LA HIPOTENUSA
c  a 2  b2

3
c  42  32  16  9  25
c5
β
4
seno  
lado opuesto
hipotenusa
coseno  

4
5
lado adyacente 3

hipotenusa
5
tangente  
lado opuesto
4

lado adyacente 3
seno  
4
5
 0.8
cos ecante  
coseno  
5
 1.25
4
3
5
 0.6
tangente  
5
sec ante    1.67
3
4
3
 1.33
cot angente  
3
 .75
4
Hallar la medida del ángulo dado dos lados del triángulo rectángulo
Si necesito hallar la medida de  y conozco el valor de seno  , la función inversa de seno me
permite encontrar el valor de  de la siguiente forma:
seno 
4
 0.8
Si seno   .8 , entonces   seno1 (.8)
5
ENTRADA EN LA CALCULADORA
CALCULA LA INVERSA DE SENO
Presenta la respuesta en :
Grados___ Radianes___
.8
SEN-1 =
Pantalla
Radianes
.927
Grado
53.13
 Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de medida para el ángulo, (grados o
radianes) antes de hacer los cómputos.
PRÁCTICA
2. Con el triángulo anterior, contesta las siguientes
preguntas:
a. Halla las relaciones trigonométricas básicas
para 

3
β
4
b. Halla el valor de  , en grados y en radianes, utilizando la relación coseno.
c. Halla el valor de  , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.
d. Compara el sen  y el cos 
, luego compara
sen  y el cos 
 La suma de 
y  es 90, por lo tanto  y  son ángulos complementarios.
Sean  y  dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes
relaciones:
cos  sen
csc   sec 
cos   sen
csc   sec 
tan   cot
tan  cot 
EJEMPLO; Dada la medida de dos ángulos y un cateto
3. Halla la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo.
40
12
12 es la medida del lado opuesto a 40 grados
12 es la medida del lado adyacente de 50 grados
12
x
12
.6428
despejam ospara x
x
12
x
x  18.668
.6428
seno 40 
coseno 50 
12
x
12
despejam ospara x
x
12
x
x  18.668
.6428
.6428
Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50
PRÁCTICA Dado un ángulo y la hipotenusa
4.
Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo
a
30
25
b
Triángulos NO RECTOS
C.
a el lado opuesto al ángulo A, sea b el lado
opuesto al ángulo B y sea c el lado opuesto del
ángulo C.
C
Sea
b
A
a
c
B
Ley del Seno


Se utiliza en los siguiente tipos de triángulos : AAS, ASA, SSA
El triángulo SSA es el caso ambiguo y no siempre se puede utilizar en esta regla.
«Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos»
Ejemplo 1
Halla las partes de un triángulo ABC, dado que 𝒂 = 𝟗𝟎, 𝒄 = 𝟏𝟎𝟎 𝒚 𝑪 = 𝟔𝟓𝟎 .
Ejemplo 2
Halla las partes de un triángulo ABC, dado que 𝑨 = 𝟑𝟎, 𝑩 = 𝟓𝟓 𝒚 𝒂 = 𝟏𝟓.
Ejemplo 3
Halla las partes de un triángulo ABC, dado que 𝒂 = 𝟎. 𝟔, 𝒃 = 𝟎. 𝟑 𝒚 𝑨 = 𝟒𝟐𝟎 .
PRACTICA
Halla los valores que faltan mediante el la Ley del Seno.
a.
A=
grados
b.
A = 26 grados
c.
A=
d.
A=
grados
B= 107 grados
C= 32 grados
a=
b=
c = 17
B= 24 grados
C=
grados
a = 12
b=
c=
B= 120 grados
C=
grados
a=
b = 10
c= 8
B= 75 grados
C= 35 grados
a= 9
b=
c=
Ley del coseno


Se utiliza en los siguiente tipos de triángulos: SAS, SSS
El triángulo SSA es el caso ambiguo y no siempre se puede utilizar en esta
regla.
«El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble
del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido...»
Ejemplos
1. A =
grados
2. A =
grados
3. A = 𝟑𝟓°
B=
grados
B=
B=
C = 𝟓𝟗°
grados
grados
C =
C =
a = 12
grados
grados
b=9
a = 13
a=
c=
b = 15
b = 26
c = 23
c= 4
PRACTICA 1
C
b
A
A=
a
c
C
B
B= 44o
C=
a= 5
b=
c=9
PRACTICA 2
C
a = 21.7
B
b = 14.1
c = 11.4
A
PRÁCTICA 3
Halla el valor de x
320
x
130°
25
Aplicaciones:
La trigonometría tiene michas aplicaciones en situaciones donde se forman ángulos por
una línea horizontal y una línea de visión que conecta la línea horizontal desde un
punto de referencia hasta un objeto sobre la línea o por debajo.
Nos referimos a esos ángulos como ángulo de elevación o ángulo de depresión
dependiendo si el objeto se encuentra sobre la línea horizontal o por debajo.
Objeto
Línea de
visión
Punto de
referencia
Línea horizontal
Punto de
referencia
Ángulo de depresión
Ángulo de elevación
Línea de
visión
Línea horizontal
Objeto
Aplicación 1
La compañía de energía eléctrica necesita instalar una línea de alto voltaje a través de
una quebrada según el dibujo a continuación. ¿Cuál es el largo mínimo necesario
para la línea eléctrica?
C
A = 42O
B = 110O
100 pies
Aplicación 2
Dos cables sostienen una torre de radio, estos cables forman ángulos de 58 o y 49o
respectivamente, según el dibujo. La distancia entre el enclavaje de ambos cables es
de 150 pies. ¿Cuál es la medida del largo de cada cable? ¿Cuál es la altura de la
torre?
58o
Aplicación 3
49o
150 pies
Queremos determinar el ancho de un río, se establece el siguiente diagrama en el que
se utilizará la trigonometría de un triangulo rectángulo.
La distancia del ancho del rio es
dado por el lado AB.
A
Sabemos que 𝜃 = 780 y la
medida del lado BC es 50’.
Halla la medida de AB.
ɵ
B
C
Aplicación 4
Basados en los estándares de OSHA , una escalera movible debe formar un ángulo de
𝟕𝟓𝟎 con el piso. Utiliza esta regla para determinar la altura máxima en la que toca la
escalera el edificio en el que se recuesta si ésta mide 20’ de largo.
Aplicación 5
Un helicóptero del Servicio Forestal de EU, vuela a una altura de 500’. El piloto
observa un fuego desde un ángulo de depresión de 𝟏𝟐𝟎 . ¿A qué distancio horizontal
se encuentra el fuego de dónde está localizado el helicóptero?
Aplicación 6
Según las Guías de Accesibilidad establecidas por ADA ( American with Disabilities
Act) , el ángulo de inclinación de una rampa no debe exceder 𝟒. 𝟕𝟔𝟎 .
Se va a construir una rampa en un edificio cuya entrada queda a 5 pies de altura de la
acera. ¿Cuán larga debe ser la rampa para que conecte de la acera a la altura
del edificio?
Aplicación 7
El largo de la diagonal de una región rectangular de tierra mide 225 pies y el ángulon
formado por la diagonal con uno de los lados es 𝟐𝟎𝟎 . Halla el área del terreno.
III ÁNGULOS CENTRALES
A. Repaso del círculo
Partes de un CIRCULO
Cuerda :
Segmento que une
cualquiera dos puntos de la
circunferencia del círculo.
Diametro del círculo
Cuerda de mayor
longitud que pasa por
el centro
CENTRO
CIRCUNFERENCIA
Todos los puntos en la
circunferencia del
círculo se encuentran
a la misma distancia
del centro
RADIO:
La mitad del diametro;
segmento que une el
centro con un punto
de la circunferencia
Circulo en posición estándar sobre el Plano Cartesiano
El centro del círculo está dado por el origen cuya
coordenada es (0,0)
El círculo es formado por todo punto que se
encuentre a la misma distancia con respecto a su
centro y según el radio de éste. En este ejemplo el
radio son dos unidades. Si observa el punto (2,0)
se dará cuenta que hay dos unidades de distancia
con respecto al centro. Verifica utilizando los
siguientes puntos: (0,2), (-2,0) , (0, -2)
ÁNGULO CENTRAL EN POSICIÓN ESTANDAR
Las relaciones trigonométricas para puntos P()=(a,b), que se encuentran en el lado terminal
de un ángulo central en posición estándar y que descansan en un círculo cuyo radio es r, son
las siguientes:
b
r
sen  
cos en  
a
r
tan  
b
a
Observa que existe un triángulo rectángulo implícito donde el cateto horizontal mide
unidades y el cateto vertical mide b unidades., el radio es la hipotenusa.
a
Ejemplo 1
Marca en el plano el punto 𝑃(𝛼) = (4,3) y dibuja el ángulo. Halla los siguientes valores:
𝑠𝑒𝑛(𝛼), cos(𝛼) , tan(𝛼) , 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝛼 𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 y en radianes.
Radio 𝑟 = __________
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
x
1
2
3
4
5
6
7
8
cos(𝛼)
9
tan(𝛼)
𝛼=
𝛼=
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
Ejemplo 2
Marca en el plano el punto 𝑃(𝛼) = (−1,2) . Halla los siguientes valores:
𝑠𝑒𝑛(𝛼), cos(𝛼) , tan(𝛼) , 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝛼 𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 y en radianes.
Radio 𝑟 = __________
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
x
1
2
3
4
5
6
7
8
cos(𝛼)
9
tan(𝛼)
𝛼=
𝛼=
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
El signo de la coordenada de cada punto varia según su localización en el plano cartesiano
En el siguiente PLANO se resume los signos de las relaciones trigonométricas seno y
coseno según la localización del ángulo
Sen  > 0
Cos  < 0
Tan  < 0
Sen  > 0
Cos  > 0
Tan  >0
Sen  < 0
Sen  < 0
Cos  < 0
Tan  >0
Cos  > 0
Tan  < 0
PRÁCTICA 1
Halla para cada par ordenado 𝑃(𝛼) = (𝑎, 𝑏) los siguientes valores: 𝑠𝑒𝑛(𝛼), cos(𝛼) , tan(𝛼) ,
𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝛼 𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 y en radianes.
y
4
(-5,3)
3
(2,2)
2
1
(-2,0)
-7
-6
-5
-4
-3
-2
(1,0)
-1
1
x
2
3
4
5
6
7
8
-1
(3,-2)
-2
(0,-3)
-3
-4
( 2,2)
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
cos(𝛼) =
tan(𝛼) =
𝛼=
𝛼=
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
(3,-2)
(-5,3)
(1,0)
(0,-3)
(-2,0)
IV
CÍRCULO UNITARIO
A.
Las relaciones trigonométricas para puntos 𝑷() = (𝒂, 𝒃) que descansan en
el círculo unitario son las siguientes:
tan  
cos en   a
sen   b
b
a
Observe que éstas son las mismas que se definen mediante ángulo central son la diferencia
que 𝑟 = 1 , por lo tanto no es necesario sustituir el denominador.
Dado las coordenadas de los ángulos principales en el primer cuadrante, indica la coordenada
de los puntos marcados en el círculo.

P ( )  (0,1)
2
y
 31
P( )  ( , )
6 2 2

1 3
p( )  ( , )
3
2 2

2 2
P( )  ( , )
4
2 2

3 1
P( )  (
, )
6
2 2
x
-1
1
P(0)  (1,0)
-1
Utiliza el círculo unitario para identificar las relaciones trigonométricas de los siguientes ángulos
EJERCICIO1
EJERCICIO2
 
 
sen  
cos en  
t an  
sec  
cos ec  
cot an  
2
3
sen  
cosen  
tan  
sec  
cosec  
cot an  
En el círculo unitario la coordenada del punto nos ofrece la información sobre el seno y
el coseno del ángulo central correspondiente.
Sea 𝑷() = (𝒙, 𝒚) , una coordenada de un punto que descansa sobre el círculo
unitario en el lado terminal de un ángulo central en posición estándar , entonces:
cos(α) = x
sen(α) = y
y
tan(α) =
x
Observaciones:
 Es difícil memorizar toda la información que nos da el círculo unitario, sin
embargo es recomendable memorizar la información de algunos de los ángulos.
 Observa que los ángulos cuadrantales son fáciles de recordar ya que son
interceptos en los ejes del plano cartesiano.
 Recordar las coordenadas de los ángulos especiales es importante también.
Recordar las coordenadas de los ángulos especiales es importante
también.
  
, ,
3 4 6
Los ángulos de referencia nos permiten determinar el valor exacto de un ángulo dado
no importa su localización en el plano.
Necesitamos la siguiente información:
•
•
identificar en cuál cuadrante se encuentra el ángulo dado
asignar a la relación trigonométrica el signo correspondiente
EJEMPLOS
Dada la coordenada de un punto que pertenece al círculo unitario, indica:
tan(α),
1.
(
el cuadrante correspondiente y el ángulo en radianes.
2  2
,
)
2
2
2. (1,0)
3. (
1 3
, )
2 2
cos(α), sen(α),
B. Ángulos de Referencia
En una revolución siempre encontramos dos ángulos centrales que tienen el mismo
valor para seno o para coseno.
Menciona algunas parejas.
Un ángulo de referencia es un ángulo agudo formado por el lado terminal del
ángulo dado y el eje positivo o negativo de x.
Ángulo de referencia es
450 

4
Indica las coordenadas de los ángulos marcados. Compara sus valores.
1350 
3
4
450 

4
x
2250 
5
4
7
 3150
4
y
Ángulo de referencia es
600 

3
Indica las coordenadas de los ángulos marcados. Compara sus valores.
120 0 
2
3
600 

3
x
2400 
4
3
Ángulo de referencia es
y
300 
5
 300 0
3

6
Indica las coordenadas de los ángulos marcados. Compara sus valores.
150 0 
5
6
300 

6
x
2100 
7
6
12
 330 0
6
Fórmulas para determinar el ángulo de referencia
 = r
r

r
del ángulo
.
Todo ángulo que se encuentra en el primer
cuadrante es un ángulo de referencia.
Obtenemos la medida del Ángulo de referencia si
 se encuentra en el segundo cuadrante de la
siguiente forma:
Medida en GRADOS 𝒓 = 𝟏𝟖𝟎 − 
Medida en RADIANES  𝒓 =  − 

Obtenemos la medida del Ángulo de referencia si 
se encuentra en el tercer cuadrante de la siguiente
forma:
Medida en GRADOS 𝒓 =  − 𝟏𝟖𝟎°
Medida en RADIANES 𝒓 =  − 
r

r
Obtenemos la medida del Ángulo de referencia si 
se encuentra en el cuarto cuadrante de la siguiente
forma:
Medida en GRADOS 𝒓 = 𝟑𝟔𝟎° − 
Medida en RADIANES 𝒓 = 𝟐 − 
PRÁCTICA ; Halla el ángulo de referencia del ángulo dado, en la unidad dada.
1. 𝜃 =
10𝜋
6
𝜃𝑟 =
2. 𝜃 =
15𝜋
3
𝜃𝑟 =
3. 𝜃 =
7𝜋
4
𝜃𝑟 =
4. 𝜃 =
6𝜋
7
𝜃𝑟 =
5. 𝜃 =
−3𝜋
4
𝜃𝑟 =
6. 𝜃 = 2200
𝜃𝑟 =
7. 𝜃 = 1500
𝜃𝑟 =
8. 𝜃 = 3300
𝜃𝑟 =
9. 𝜃 = −1200
𝜃𝑟 =
Halla el ángulo , con la información dada.
1. 𝜶𝒓 =
𝝅
𝟒
𝒕𝒂𝒏𝜶 > 𝟎, 𝒔𝒆𝒏𝜶 < 𝟎
𝝅
2. 𝜶𝒓 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝜶 > 0, 𝑠𝑒𝑛 𝛼 < 0
𝜶=
𝛼=
𝝅
𝛼=
𝝅
𝛼=
3. 𝜶𝒓 = 𝟔 𝒕𝒂𝒏 𝜶 < 0, 𝑠𝑒𝑛𝛼 < 0
4. 𝜶𝒓 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝜶 > 0, 𝑠𝑒𝑛𝛼 < 0