Junio 1996

Máximos y Mínimos
ANÁLISIS
Profesor: Juan T. Valverde
SELECTIVIDAD
1.- Halla dos números reales mayores o iguales que cero cuya suma sea 20, de forma que la
suma del cuadrado de uno y el cuadrado del doble del otro sea mínima.
http://www.youtube.com/watch?v=KNENHKAUTSc
2.- Un agricultor dispone de 400 metros de alambre con los que quiere vallar un campo
rectangular aprovechando que un rio hace ya de valla en un lado. ¿Cómo debe hacerlo para
cercar la máxima superficie?
http://www.youtube.com/watch?v=4A5Z9BLMsAw
3.- Encuentra dos números no negativos que sumen 14 de forma que la suma de sus
cuadrados sea
a) Máxima
b) Mínima
http://www.youtube.com/watch?v=Y2oQ-p3mkOk
4.- Un depósito abierto de chapa y de base cuadrada debe tener capacidad para 13500 litros.
¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que precise la menor cantidad de chapa?
http://www.youtube.com/watch?v=eqG4s9botKk
5.- Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 8 m2. El metro lineal de tramos
horizontales cuesta 2,50 euros y el de tramos verticales 5. Determina las dimensiones de la
ventana para que el coste del marco sea mínimo y el precio de dicho coste.
http://www.youtube.com/watch?v=4C9hVAtFtaU
6.- El producto de dos números positivos es 36. Calcúlalos para que su suma sea lo más
pequeña posible.
http://www.youtube.com/watch?v=ckOUaBUQ01U
7.- Halla las dimensiones de los lados de un triángulo rectángulo de 10 m de hipotenusa para
que su área sea máxima. ¿Cuál será dicha área?
http://www.youtube.com/watch?v=UyeE47SUt_M
8.- Halla las dimensiones de una ventana rectangular de 6 m de perímetro para que tenga la
máxima superficie posible y asi produzca la máxima luminosidad.
http://www.youtube.com/watch?v=fn8c_zfIzpA
9.- Halla dos números cuya suma sea 20 sabiendo que su producto es máximo.
(Junio 2007 y Septiembre 2009)
http://www.youtube.com/watch?v=rEP8lS_Vv5c
10.- Encuentra un número que al restarle su cuadrado la diferencia se máxima.
http://www.youtube.com/watch?v=89gHEy5L8AA
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Máximos y Mínimos
ANÁLISIS
Profesor: Juan T. Valverde
SELECTIVIDAD
11.-Queremos escribir un texto de 96 cm2 y tal que haya 2 cm de margen en cada lateral de la
hoja en la que esta escrito, así como 3 cm arriba y otros 3 abajo. Calcula las dimensiones de la
hoja más pequeña posible.
http://www.youtube.com/watch?v=nx-BxzgIvCw
12.- Se quiere construir una piscina en forma de paralelepípedo recto de base cuadrada .
Disponemos de 192 m2 de baldosas para recubrir las paredes y el fondo de la piscina. Halla
las dimensiones de ésta de manera que su capacidad sea máxima.
http://www.youtube.com/watch?v=92VNUUv7MvA&feature=relmfu
13.- Encuentra tres números positivos cuya suma de 14, que uno sea el doble del otro, y que
la suma de sus cuadrados sea mínima.
http://www.youtube.com/watch?v=8QOzP34Ozts&feature=relmfu
14.- Una fábrica de televisores vende cada aparato a 300 €. Los gastos derivados de fabricar x
televisores son D(x) = 200x+x2 donde 0  x  80 .
a) Suponiendo que se venden todos los televisores que se fabrican, halla la función de
los beneficios que se obtienen después de fabricar y vender x televisores.
b) Determina el número de aparatos que conviene fabricar para obtener el beneficio
máximo, así como dicho beneficio máximo.
http://www.youtube.com/watch?v=LS8MeJqXqtw&feature=relmfu
15.- Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo de
fresas, depende del precio de venta, de acuerdo con la siguiente función.
B(x) = 2x – x2 - 0,84
Siendo B(x) el beneficio por kilogramo, expresado en euros, y x el precio de cada kilogramo
también en euros.
a) ¿Entre que precios por kilogramo se producen beneficios para el almacenista?
b) ¿Qué precio por kilogramo maximiza los beneficios para éste?
c) Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas, ¿Cuál será el beneficio total máximo que
podrá obtener?
http://www.youtube.com/watch?v=c5A4BHFJoQQ&feature=relmfu
16.- De entre todos los rectángulos de 100 m2 de área, encontrar las dimensiones del de
perímetro mínimo.
(Junio 1996)
17.- Encontrar dos números cuya suma valga 10 y la suma de sus cuadrados sea mínima.
(Junio 1997)
18.- Encontrar de entre todos los rectángulos de perímetro dado 2p el que tiene diagonal
mínima.
(Junio 1998)
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Máximos y Mínimos
ANÁLISIS
Profesor: Juan T. Valverde
SELECTIVIDAD
19.- Hallar un número positivo tal que la suma de dicho número y el inverso de su cuadrado
sea mínima.
(Septiembre 1998)
20.- Descomponga el número 14 en suma de tres números reales positivos tales que uno de
ellos sea el doble de otro y la suma de los cuadrados de los tres sea la menor posible.
(Junio 1999)
21.- Encuentre las dimensiones del campo rectangular de área máxima que puede vallarse por
tres de sus lados con 500 metros de tela metálica. El cuarto lado llevará un seto de ciprés y no
hay que vallarlo.
(Septiembre 1999)
22.- El consumo de gasolina de un coche, (expresado en litros/Km.), viene dado en función de
la velocidad x, (expresada en Km./hora), por la fórmula:
x
3e 90
g ( x) 
x
Determine el consumo mínimo y la velocidad a la que se consigue.
NOTA: e es la base de los logaritmos neperianos y aproximadamente es 2.718.
(Junio 2000)
http://www.youtube.com/watch?v=4CuzgkBW2IM&feature=youtu.be
23.- Un comerciante compra cierto modelo de cochecito por 100 pts. la unidad. Sabe que si lo
vende a 240 pts. vende 30 unidades semanales, y que por cada 10 pts. que rebaje el precio
vende 5 unidades más a la semana. ¿A qué precio debe vender ese modelo de cochecito para
que la ganancia semanal, después de cubrir los gastos de compra, sea máxima?
http://www.youtube.com/watch?v=ZnuR3VQq_MY&feature=youtu.be (Septiembre 2000)
24.- Después de t horas de estudio, el rendimiento de cierto estudiante (en una escala de 0 a
100) viene dada por la función
r ( x) 
380t
t2  4
a) Calcule el rendimiento a las 4 horas de estudio.
b) Determine cuando el rendimiento va en aumento y cuando va disminuyendo en las
primeras siete horas de estudio.
c) Encuentre en qué momento consigue el estudiante el máximo rendimiento así como
el valor de ese rendimiento máximo.
(Junio 2001)
http://www.youtube.com/watch?v=Ehn3Fdb5XAg&feature=youtu.be
25.- Calcule la longitud de las dos partes en que habrá que cortar un trozo de alambre de 16
metros, si con cada una de ellas se va a construir un cuadrado y se desea que la suma de las
áreas de esos dos cuadrados sea mínima.
(Septiembre 2001)
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Máximos y Mínimos
ANÁLISIS
Profesor: Juan T. Valverde
SELECTIVIDAD
26.- Al disparar una flecha hacia arriba su altura sobre el suelo, medida en metros cuando ha
transcurrido t segundos desde el disparo, viene dada por la fórmula
h(t) = 40t -5t2 . Calcule:
a) La altura máxima que alcanzará la flecha.
b) El tiempo que tardará en caer al suelo.
(Septiembre 2001)
http://www.youtube.com/watch?v=KjIM6Jt8Ef4&feature=youtu.be
27.- El índice de inflación de un país fue variando con el paso de los meses de un cierto año
según la ecuación:
2
I (t )  3 
t  8t
40
donde t= 1 corresponde a enero, t=2 a febrero, ……, t=12 a diciembre.
a) ¿Durante qué meses el índice fue subiendo y durante cuales bajando
b) ¿Cuáles fueron los valores máximo y mínimo del índice de inflación de ese año y en
qué meses se alcanzaron?
(Junio 2002)
http://www.youtube.com/watch?v=Ca8E_AXPYHY&feature=youtu.be
28.- Se ha hecho un estudio de mercado y se ha llegado a la conclusión de que el número de
unidades y que se pueden vender de cierto artículo está relacionado con el precio x, en euros,
al que se venda cada unidad, mediante la expresión: y = 2400 - 3x.
Determine a qué precio debe ponerse cada unidad para alcanzar el máximo ingreso por
las ventas, cuántas unidades se venderán a ese precio y cuál será ese ingreso máximo.
http://www.youtube.com/watch?v=cDS_u8Pz1C0&feature=youtu.be (Septiembre 2002).
29.- Una empresa fabrica 30 máquinas diarias, que pueden ser de dos tipos: A y B . Si fabrica
x máquinas de tipo A e y de tipo B, el coste de producción es de
25 3
x  2500y  48000
3
euros al dia
a) ¿Cuántas máquinas de cada tipo debe fabricar, para minimizar el coste de
producción diario?
b) Encuentre ese coste de producción mínimo.
(Junio 2003)
http://www.youtube.com/watch?v=VTPb1mYCfsg&feature=youtu.be
30.- Determine las dimensiones del marco rectangular de área máxima que se podría construir
con 2 metros lineales de perfil de aluminio.
(Septiembre 2003)
31.- Determinar las condiciones más económicas de una piscina abierta al aire, de volumen 32
m3 con un fondo cuadrado, de manera que la superficie de sus paredes y del suelo necesite la
cantidad mínima de material.
(Junio 2004)
32.- Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2
cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las
dimensiones que minimizan la superficie de papel.
(Junio 2005)
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Máximos y Mínimos
ANÁLISIS
Profesor: Juan T. Valverde
SELECTIVIDAD
33.- Dentro del triángulo limitado por los ejes OX, OY y la recta 2x + y = 8 , se inscribe un
rectángulo de vértices (0,0), (a,0), (a,b) y (0,b). Determinar el punto (a,b) al que corresponde
un área máxima.
(Septiembre 2005)
http://www.youtube.com/watch?v=RKJZaugSzqo&feature=youtu.be
34.- Hallar las dimensiones de los lados de un triángulo rectángulo, de 10 metros de
hipotenusa, para que su área sea máxima. ¿Cuál será dicha área?
(Junio 2006)
35.- Descomponer el número 45 en dos sumandos tales que la suma del doble del cuadrado
del primero más siete veces el cuadrado del segundo, sea mínima.
(Septiembre 2006)
36.- Encontrar un número tal que al restarle su cuadrado la diferencia sea máxima.
(Septiembre 2007)
37.- Supongamos que tenemos un alambre de longitud a y lo queremos dividir en dos partes
que van a servir de base a sendos rectángulos. En uno de los rectángulos su altura es el doble
de su base y en el otro su altura es el triple de su base. Determinar el punto por el cuál
debemos cortar el alambre para que la suma de las áreas de los dos rectángulos sea mínima.
(Junio 2008)
38.- Descomponer el número 25 en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del primero
más el triple del cuadrado del segundo sea mínimo.
(Septiembre 2008)
39.- Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3600 metros cuadrados de superficie
para poderlo cercar con una valla de longitud mínima.
(Junio 2009)
40.- Un terrateniente posee unos terrenos al borde de un río. Allí desea cercar una parcela y
montar una playa privada con todo tipo de servicios. Para ello dispone de 4000 metros de
alambrada. ¿Cuál es la superficie máxima, de forma rectangular, que puede cercar y cuál la
longitud de ribera apta para el baño?
(Junio 2010)
41.- ¿Cuál es el número que al sumarlo con 25 veces su inverso se obtiene un valor mínimo?
(Septiembre 2010)
42.-Una panadería ha comprobado que el número de panes de un determinado tipo que vende
semanalmente depende de su precio x en euros según la función f(x) = 4500 -1500x , donde
f(x) es el número de panes vendidos cada semana y x el precio por unidad de pan. Calcular:
a) La función I(x) que expresa los ingresos semanales por la venta de ese tipo de pan
en función del precio por unidad de pan, x .
b) El precio al que hay que vender cada pan para que dichos ingresos semanales sean
máximos. ¿A cuánto ascenderán los ingresos semanales máximos ? . (Junio 2012)
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Máximos y Mínimos
ANÁLISIS
Profesor: Juan T. Valverde
SELECTIVIDAD
43.- Una empresa estima que el beneficio que obtiene por cada unidad de producto que vende
depende del precio de venta según la función: B(x) = -3x2 +12x – 9 siendo B(x) el beneficio y
x el precio por unidad de producto, ambos expresados en euros.
a) ¿Entre qué precios la función B(x) es creciente?
b) ¿En qué precio se alcanza el beneficio máximo?
c) ¿En qué precio el beneficio es 3?
(Septiembre 2012)
44º) Las funciones I (t) = -0,5t2 +17t y C(t)= 0,5t2-t+32 con 0 ≤ t ≤ 18
representan, respectivamente, los ingresos y los costes de una empresa en miles de euros en
función de los años trascurridos desde su comienzo y en los últimos 18 años.
a) ¿Para qué valores de t, desde su inicio, los ingresos coincidieron con los costes?
(0,5 puntos)
b) Hallar la función que expresa los beneficios (ingresos menos costes) en función de t
y representarla gráficamente. (0,75 ptos)
c) ¿Cuántos años después del comienzo de su actividad la empresa alcanzó el
beneficio máximo? Calcular el valor de dicho beneficio. ( 1,25 ptos)
(Junio 2013)
45º) Se sabe que la expresión que representa el número de personas N(t) que acude un día a
un centro médico, en función del número de horas t que lleva abierto, es
N(t) at2 bt,
0 t 8, a,b . Sabiendo que el número máximo de personas que ha habido ese día ha
sido de 128, y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b .
(2 ptos).
(Septiembre 2013)
46º) Los ingresos obtenidos por la fabricación de x unidades diarias de cierto producto vienen
dados por I (x) = - 28x2 + 5256x y los costes vienen dados por la función
C(x) = 22x2+ 4456x + 814.
a) Determinar la función que expresa los beneficios obtenidos por la fabricación de x
unidades diarias del producto (sabiendo que los beneficios se definen como los ingresos
menos los costes) y calcular el número de unidades diarias que hay que fabricar para
obtener un beneficio máximo. (1,75 puntos)
b) ¿Cuánto vale dicho beneficio máximo? (0,25 puntos)
(Septiembre 2013)
47.- El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses
viene dado por la función:
B(x)= 1.2x − (0.1x)3
donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
1. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
2. El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
48.- Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula
que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos.
Calcular:
1. La producción actual de la huerta.
2. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.
3. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.
4. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la
producción sea máxima?
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Máximos y Mínimos
ANÁLISIS
Profesor: Juan T. Valverde
SELECTIVIDAD
49.- Un ayuntamiento está realizando un estudio sobre el nivel de contaminación acústica en la
ciudad. Un primer plan de choque afectará a aquellos lugares donde se lleguen a superar
los 65 decibelios en horario diurno. En un barrio de la ciudad se han realizado mediciones
de ruido en la franja horaria más conflictiva, modelándose el nivel de ruido mediante la
siguiente función (R indica el ruido en decibelios y x el tiempo entre las 9 y las 14 horas
de un día laborable):
R(x) = 2943 - 780x + 69x2 - 2x3
9 ≤ x ≤ 14
a) Indica cuándo crece el nivel de ruido y cuándo decrece.
b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Se debería iniciar un plan de choque en este barrio?
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