Experimento: Efecto Termoiónico

2012
Física Moderna con Laboratorio
Experimento: Efecto
Termoiónico
Equipo α-pulpo
Ernesto Benítez Rodríguez
Alma Elena Piceno Martínez
Luke Goodman
Introducción
Es bien sabido que cuando un metal es calentado a altas temperaturas emite electrones, como en
el caso de un filamento en un tubo electrónico.
La emisión termoiónica es el flujo de partículas cargadas llamadas termoiones desde una
superficie de metal, causada por una energía termal vibracional que provoca una fuerza
electrostática que empuja a los electrones hacia la superficie.
El fenómeno fue inicialmente reportado en 1873 por Frederick Guthrie en Bretaña. Mientras
realizaba experimentos con objetos cargados, Guthrie descubrió que calentando al rojo vivo una
esfera de hierro con carga negativa, esta perdía su carga. El efecto fue redescubierto en 1880,
mientras trataba de descubrir la razón por la cual se rompían los filamentos y por qué se oscurecía
el cristal de sus lámparas incandescentes. Owen Williams Richardson recibió un premio Nobel en
1928 por su trabajo en el fenómeno y especialmente por el descubrimiento que posteriormente
llevaría su nombre.
En cualquier metal existen uno o dos electrones por átomo que son libres de moverse de un átomo
a otro. Su velocidad se modela por una distribución estadística, y ocasionalmente un electrón
tendrá la velocidad suficiente para escapar del metal. La cantidad de energía necesaria para que
un electrón escape de la superficie se llama función de trabajo. Esta función de trabajo es
característica del material, y para la mayoría de los metales es del orden de varios electron-volts.
Para observar corriente termoiónica, tanto el emisor como el detector se deben encontrar en un
contenedor evacuado y una aceleración de campo eléctrico ha de ser proveída. Sin embargo, los
campos eléctricos presentes y la configuración geométrica del filamento y el cátodo complican la
interpretación del proceso de emisión en sí mismo.
En 1901 Richardson publicó los resultados de sus experimentos: la corriente procedente de un
alambre, bajo calentamiento controlado, depende exclusivamente de la temperatura del alambre.
La forma moderna de esta ley, demostrada en 1923 por Saul Dushman, y por lo tanto llamada la
ecuación de Richardson-Dushman, establece que la densidad de corriente emitida J está
relacionada con la temperatura T por la ecuación:
−𝑒𝜙⁄
𝐽 = 𝐴0 𝑇 2 exp⁡[
(1)
𝑘𝑇]
con la constante de Richardson
4𝜋𝑚𝑒𝑘 2
𝐴
𝐴0 =
= 1.2 × 106 ⁡ 2 2
3
ℎ
𝑚 𝐾
y 𝜙 es la función de trabajo en volts.
La ecuación de Richardson muestra que la emisión termoiónica es dominada por una dependencia
exponencial de la temperatura. Esta dependencia es tan fuerte que el factor T2 es completamente
enmascarado y no puede ser verificando experimentalmente. Aún más, la constante A0 observada
experimentalmente rara vez concuerda con el valor teórico. Esto se debe a las simples
suposiciones usadas en la derivación y la negligencia de efectos como:
1. Dependencia de la temperatura en variaciones de 𝜙. Ya que si
𝜙 = 𝜙0 + 𝑎𝑇
entonces
−𝑎𝑒
−𝑒𝜙0⁄
𝐽 = 𝐴0 𝑒 ⁄𝑘 𝑇 2 exp [
𝑘𝑇]
donde la exponencial puede fácilmente alterar el valor de A0 por factores de 2, o mayores.
2. Reflexiones mecánico cuánticas de los electrones en la superficie. Estas equivalen a
modificaciones en la barrera de potencial asumida.
3. No-uniformeidad en la superficie emisora, ya que en realidad medimos
−𝑒𝜙𝑖⁄
𝐽 = 𝐴0 𝑇 2 ∑ exp [
𝑘𝑇 ]
𝑖
Considerando las modificaciones a la densidad de corriente emitida J0 debida a la aplicación de
campos externos.
Para un campo retardador, el potencial de barrera que el electrón debe sobrepasar se ve
incrementado por el potencial retardador V0, así
𝑒(𝜙+𝑉0 )
𝑉𝑒
𝐽′ = 𝐴𝑇 2 exp⁡[−
] = 𝐽0 exp⁡[− 0 ]
(2)
𝑘𝑇
𝑘𝑇
tenemos una reducción exponencial de la corriente con un potencial retardador incrementante.
Un campo acelerante, por otro lado puede bajar la barrera de potencial en únicamente una
pequeña cantidad. Para una geometría plana tenemos
1
0.44 (𝐸 ⁄2 )⁄
𝐽𝑠 = 𝐽0 exp⁡[
(3)
𝑇]
donde E es el campo eléctrico en volts por metro y Js es la corriente de saturación. Debido al factor
0.44/T, el incremento en la corriente emitida es muy pequeño; en una gráfica semilogarítmica es
proporcional a la raíz cuadrada del potencial acelerador aplicado.
Se encuentra que los valores medidos de la corriente termoiónica son afectados por efectos de
carga espacial; esto es, los electrones emitidos forman una capa de carga negativa en las
vecindades del cátodo, inhibiendo emsión posterior. Es necesario aplicar un potencial positivo para
acelerar el electrón hacia el ánodo y así reducir esta capa.
Resolviendo la ecuación de Poisson en el espacio entre el cátodo y el ánodo y tomando en cuenta
el equilibrio dinámico, obtenemos expresiones para las densidades de corriente contra el voltaje
cuando campos acelerantes son aplicados.
Estas expresiones dependen de la geometría y son, para un diodo plano
𝐽=
4𝜀0
9
2𝑒
3⁄
2 −2
√ 𝑉0
𝑑
𝑚
(4)
y para un diodo cilíndrico
𝐽𝑎 =
4𝜀0
9
2𝑒
3⁄
2 −2 −2
𝑟𝑎 𝛽
√ 𝑉0
𝑚
(5)
donde se usan las unidades MKS y J o Ja es la densidad de corriente en el ánodo. Aquí V0 es el
potencial aplicado, d la separación entre el ánodo y el cátodo para el diodo plano, y ra el radio del
ánodo para el diodo cilíndrico; β es un coeficiente de corrección que es una función de (rc=ra) y
puede ser encontrado en la literatura. Estas ecuaciones son conocidas como la ley de Child.
Mientras el voltaje es incrementado posteriormente, J tiende a aumentar y finalmente alcanza el
valor de saturación de corriente dado en la ecuación 3.
Ahora podemos ver cuáles son las cantidades medibles y el procedimiento experimental a seguir.
1. A una temperatura del filamento fija, la corriente en el ánodo es medida contra el pozo de
potencial acelarador en la región de saturación. De la región de espacio-carga podemos
3⁄
2
verificar en las ecuaciones 4 y 5 la dependencia de 𝑉0
, y obtener un valor para e/m.
1
De la región de saturación podemos verificar la dependencia de 𝐸 ⁄2 en la ecuación 3 de la
densidad de corriente, y obtener la densidad del campo cero J0(T). Es entonces posible
verificar la ecuación de Richardson y encontrar un valor para el coeficiente de la
exponencial (y así la función de trabajo), y para el coeficiente A0.
2. A una temperatura del filamento fija la corriente en el ánodo es medida como una función
del potencial decelerador. Se puede verificar la dependencia exponencial de J0 y
determinar el coeficiente de la exponencial. En principio, uno puede determinar
nuevamente J0(T), pero los valores obtenidos de la corriente de saturación son más
precisos.
Como es claro ahora, un conocimiento de la temperatura del filamento es necesario; la región de
interés para el tungsteno puro es en la región de 2000K donde las corrientes de emisión
termoiónica pueden ser rasonablemente detectadas. La medición de la temperatura no puede ser
hecha muy exactamente y es basada en el cambio en la resistencia del tungsteno, o usando un
pirómetro óptico.
Con los datos obtenidos del experimento de la emisión termoiónica, es posible verificar la ley de
Stefan-Boltzmann. Esta ley, que puede ser derivada de argumentos termodinámicos, enuncia que
la energía total radiada por segundo por unidad de área por un cuerpo negro es proporcional a la
temperatura a la cuarta potencia.
𝐸 = 𝜎𝑇 4
donde E es la potencia total radiada por unidad de área, T la temperatura en grados Kelvin, y σ es
la constante de Stefan.
Se encuentra
𝑐 8𝜋 5 𝑘 4 4
𝜎=
𝑇
4 15ℎ3 𝑐 3
Si se asume que la pérdida de energía del filamento a través de la conducción en los cables es
pequeña, la potencia radiada está dada como
𝑃 = 𝐼 2 𝑅𝑓
Objetivos
Medición de la corriente termoiónica en función de los voltajes aplicados y la temperatura
del filamento; análisis basado en los hechos vistos anteriormente.
Desarrollo
Materiales








Pentodo 6AV5GA
Voltímetros
Amperímetros
Fuente de voltaje de 12V
Batería de 9V
Fuente de voltaje de hasta 150V
Caimanes
Resistencias
Montaje experimental
Se armó el
experimento según se
muestra en el
siguiente circuito:
Procedimiento experimental
Con una resistencia constante y manteniendo también constantes el voltaje y, por tanto,
la corriente del filamento, se midió la corriente del ánodo en función del voltaje aplicado;
después cambiamos el valor de la resistencia y volvimos a tomar medidas varias veces.
Una vez hecho esto se invirtió la polaridad del circuito, al intercambiar las terminales hacia
la fuente de voltaje variable.
Resultados
A continuación mostramos los resultados obtenidos, siendo VA el voltaje del ánodo e IA la
corriente del ánodo.
Resistencia (R): 30 Ω
Corriente Filamento
(IF): 149.7 mA
Voltaje Filamento
(VF): 6.47 V
VA [V]
IA [µA]
0.1
0
0.2
0
0.3
0
0.4
0.1
0.5
0.8
0.6
2.8
0.7
7.9
0.81
20.5
0.9
32.8
1
44.4
1.1
48.5
1.3
51.7
1.6
54.1
1.92
56.1
2.5
58.9
2.78
60.4
3
60.9
3.14
61.6
Resistencia (R): 20 Ω
Corriente Filamento
(IF): 175 mA
Voltaje Filamento
(VF): 6.4 V
VA [V]
IA [µA]
0.1
0
0.2
0.3
0.3
2.1
0.4
7.4
0.5
21.3
0.6
58.7
0.7
107.9
0.8
156.3
0.9
223
1
299.5
1.3
530
1.6
762
1.9
1012
2.5
1430
2.78
159.3
3
1712
3.14
1776
Resistencia (R): 10 Ω
Corriente Filamento
(IF): 220 mA
Voltaje Filamento (VF):
6.28 V
VA [V]
IA [µA]
0
9.1
0.1
22.1
0.2
48
0.3
91
0.4
162.8
0.5
246
0.6
328
0.7
431
0.8
547
0.9
672
1
805
1.3
1193
1.6
1610
1.9
2074
2.5
3012
2.78
3459
3
3854
Resistencia (R): 0 Ω
Corriente Filamento
(IF): 282 mA
Voltaje Filamento
(VF): 6.11 V
VA [V]
IA [µA]
0
188.6
0.1
282
0.2
404
0.3
540
0.4
686
0.5
839
0.6
987
0.7
1138
0.8
1316
0.9
1487
1
1668
1.3
2242
1.6
2807
1.9
3413
2.5
5940
2.78
6730
3
7410
3.14
7820
En la tabla siguiente se muestran los datos obtenidos después de cambiar la polaridad del
circuito.
Resistencia (R):
10 Ω
Corriente Filamento (IF): 219.2 mA
Voltaje Filamento (VF): 6.3 V
VA [V]
IA [µA]
0
11.3
0.5
6.9
0.08
5
0.11
3.4
0.13
2.5
0.15
2
0.17
1.8
0.19
1.3
0.2
1.1
0.21
1
0.23
0.7
0.24
0.7
0.26
0.5
0.28
0.3
0.3
0.3
0.32
0.2
0.34
0.1
0.39
0
Resistencia (R): 0 Ω
Corriente Filamento (IF): 278.8 mA
Voltaje Filamento (VF): 6.13 V
VA [V]
IA [µA]
0
175
0.1
110.3
0.15
78
0.2
55.1
0.25
39
0.3
25
0.35
16
0.4
10.8
0.45
6.2
0.5
4.1
0.55
2.3
0.58
1.8
0.6
1.4
0.64
0.9
0.67
0.6
0.71
0.4
0.74
0.3
0.81
0.1
Análisis
A continuación se muestran las gráficas obtenidas para los datos obtenidos
anteriormente:
30 Ω
80
IA [µA]
60
40
20
0
-20 0
1
2
VA [V]
3
4
20 Ω
2000
IA [µA]
1500
1000
500
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2
2.5
3
3.5
2
2.5
3
3.5
VA [V]
10 Ω
5000
IA [µA]
4000
3000
2000
1000
0
0
0.5
1
1.5
VA [V]
IA [µA]
0Ω
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
0.5
1
1.5
VA [V]
Para la polaridad invertida:
10 Ω
12
10
IA [µA]
8
6
4
2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.8
1
VA [V]
0Ω
200
IA [µA]
150
100
50
0
0
0.2
0.4
0.6
VA [V]
Estas gráficas indican claramente una dependencia exponencial de la corriente del ánodo
al voltaje aplicado, además, tenemos que cuando se tiene una polaridad positiva el
exponente ha de ser positivo, mientras que con la polaridad invertida se tiene un
exponente negativo; esto concuerda con lo analizado en la ecuación de Richardson.
Veamos ahora las gráficas del logaritmo de la corriente en función del voltaje para la
polaridad invertida:
10 Ω
3
2
y = -10.762x + 2.2945
R² = 0.8055
ln (IA)
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-1
-2
-3
VA
Notamos que esta gráfica es prácticamente lineal, dándonos una ecuación:
ln 𝐼𝐴 = −10.762⁡𝑉𝐴 + 2.2945
que podemos convertir en la ecuación de Richardson
𝐼𝐴 = 6.2371𝑒 −10.762⁡𝑉𝐴 ⁡µ𝐴
de donde podemos obtener la temperatura del filamento: 𝑇 =
y un valor para la constante de Richardson: 𝐴0 =
2.2945
𝑇2
𝑒
𝐾(10.762)
= 1078.28⁡𝐾
µ𝐴
= 1.9734 × 10−6 ⁡ 𝐾2 .
ln (IA)
0Ω
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
y = -9.2729x + 5.8003
R² = 0.9858
0.2
0.4
0.6
VA
0.8
1
De aquí obtenemos:
𝐼𝐴 = 15.766𝑒 −9.2729𝑉𝐴 𝜇𝐴
de donde:
𝑇 = 𝐾(9.2729) = 1251.4429⁡𝐾
y
𝐴0 =
𝑒
15.766
𝑇2
𝜇𝐴
= 1.0067 × 10−5 𝐾2 .
Referencias
 Experiments in Modern Physics. Adrian C. Melissinos.
 Emisión Termoiónica. Wikipedia.
http://es.wikipedia.org/wiki/Emisi%C3%B3n_termoi%C3%B3nica