Termodinámica - UTN FRGP - Universidad Tecnológica Nacional

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Gral. Pacheco
Problemas resueltos de Física
Termodinámica
PROBLEMA 1
1. En una transformación a presión constante (presión atmosférica) el volumen de un gas
varía en 0,25 litros. Se le suministran 21,8 cal.
2. En una transformación a volumen constante se le suministran 15,6 cal.
Calcular en ambos casos la variación de la energía interna del gas.
Solución
1. En esta transformación el sistema ha recibido calor del medio exterior.
El pistón que contiene el recinto se eleva de la posición A a la B. El gas realiza trabajo contra el
medio exterior:
Se toma el convenio:
⎧L > 0
⎨
⎩Q > 0
El trabajo viene dado por (2.13):
L=∫
VB
VA
En unidades SI:
p ⋅ dV = p ⋅ ΔV
p = 101,3kPa = 101300 Pa
ΔV = 250cm3 = 2,5 × 10−4
Por lo tanto:
L = 101300 Pa ⋅ 2,5 ×10−4 m3 = 25,3J
J
Q = 4,18
⋅ 21,8cal = 91, 4 J
cal
En consecuencia, con nuestra convención de signos:
ΔU = Q − L = 91, 4 J − 25,3 J = 66,1J
2. En el caso de que el volumen permanezca constante, no se realiza trabajo mecánico.
Por lo tanto el primer principio se reduce a:
Δ U = Q − L ⇒ ΔU = Q
Como Q es positivo se tiene:
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Termodinámica
Q = 4,18
J
⋅15, 6cal = 65, 2 J
cal
PROBLEMA 2
Calcular la potencia necesaria para comprimir hasta una presión de 5 kg/cm2, 10 m3/h de aire
tomado inicialmente bajo la presión de 760 mm Hg y 27ºC.
1. Cuando la compresión es isoterma
2. Cuando la compresión es adiabática (γ = 1,4). (Se considera que el aire es un gas ideal).
Solución
1. Por ser isoterma la compresión se utiliza la siguiente relación:
2
L = ∫ p ⋅ dV = ∫
1
2
1
2 dV
n ⋅ R ⋅T
V
⋅ dV = n ⋅ R ⋅ T ⋅ ∫
= n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 2
1
V
V
V1
Pero como:
V2
p
= 1
V1 p 2
Entonces
L = n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln
p1
p2
Para evaluar n obsérvese que 10 m3/h se encuentran inicialmente en CNPT, corresponden a:
10m3
= 445mol
m3
0, 0224
mol
y como 5 kg/cm2 corresponden a 5 atm:
L = 445mol ⋅ 8,32
J
1
⋅ 300 K ⋅ ln = −1,78 ⋅10 6 J
mol ⋅ K
5
Por lo tanto:
P=
L
Δt
=
1,78 ⋅10 6 J
= 496W
3600 s
2. Cuando la compresión es adiabática:
0 = L + ΔU ⇒ p ⋅ dV = − nC v ⋅ dT
L = ∫ p ⋅ dV = − ∫ n ⋅ Cv ⋅ dT = − n ⋅ C v ⋅ ΔT
L = −n ⋅ C v ⋅ (T2 − T1 ) = n ⋅ Cv ⋅ (T1 − T2 )
Teniendo en cuenta que:
p ⋅V = n ⋅ R ⋅ T
Nos queda:
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p ⋅ V ⎞ Cv
⎛ p ⋅V
L = n/ ⋅ Cv ⋅ ⎜ 1 1 − 2 2 ⎟ =
⋅ ( p1 ⋅ V1 − p 2 ⋅ V2 )
n/ ⋅ R ⎠ R
⎝ n/ ⋅ R
Como
C p − CV = R
Cv
⋅ ( p1 ⋅ V1 − p2 ⋅ V2 )
C p − Cv
L=
Dividiendo numerador y denominador por Cv:
L=
⋅ ( p1 ⋅ V1 − p2 ⋅ V2 )
1
Cp
Cv
−1
Teniendo en cuenta que:
Cp
Cv
=γ
Nos queda
L=
1
⋅ ( p1 ⋅ V1 − p 2 ⋅ V2 )
γ −1
V2 que es desconocido, puede deducirse de:
γ
γ
γ
p1 ⋅ V1 = p 2 ⋅ V2 ⇒ V2 =
p1 ⋅ V1
p2
γ
1
⎛ p ⎞γ
V2 = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⋅ V1
⎝ p2 ⎠
Por lo tanto:
1
⎛
⎛ p1 ⎞ γ
1 ⎜
⋅ ⎜ p ⋅ V − p 2 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ V1
L=
γ −1 ⎜ 1 1
⎝ p2 ⎠
⎝
1
⎛
⎞
⎜
⎟
⎛ p1 ⎞ γ
1
⋅ V1 ⎜ p1 − p 2 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎟=
⎝ p2 ⎠
⎟ γ −1 ⎜
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Numéricamente:
1
⎛
⎞
5
1, 4 ⎟
⎜
⎛
⎞
1
10
Pa
3
5
5
⎟⎟ ⎟ = −1,46 ⋅10 6 J
L=
⋅10m ⎜10 Pa − 5.10 Pa ⋅ ⎜⎜
5
0,4
⎝ 5.10 Pa ⎠ ⎟
⎜
⎝
⎠
Por lo tanto, la potencia es:
P=
L
Δt
=
1,46 ⋅ 10 6 J
= 405,6W
3600 s
PROBLEMA 3
Calcular la variación de entropía que tiene lugar en la transformación de 1kg de hielo a
–10ºC.
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Calor especifico del hielo 0,5 kcal . kg-1 . ºC-1.
Calor de fusión del hielo 80 kcal . kg-1.
Solución
En primer lugar hay que elevar la temperatura del hielo de –10 ºC a 0 ºC.
En este caso la variación de entropía será:
2 c ⋅ m ⋅ dT
dQ
T
=∫
= m ⋅ c ⋅ ln 2
1
T
T
T1
273K
kcal
kcal
ΔS1 = 0,5
⋅1kg ⋅ ln
= 0,186
263K
kg ⋅ K
K
ΔS1 = ∫
2
1
A continuación hay un cambio de estado, por lo tanto:
dQ
L ⋅ dm L ⋅ m
=∫
=
T
T
T
kcal
⋅1kg
80
kcal
kg
ΔS 2 ==
= 0, 293
K
273K
ΔS 2 = ∫
Por último hay una elevación de la temperatura del agua de 0 ºC a 50 ºC.
En este caso:
3 c ⋅ m ⋅ dT
dQ
T
=∫
= m ⋅ c ⋅ ln 3
2 T
2
T
T2
323K
kcal
kcal
ΔS3 = 1
⋅1kg ⋅ ln
= 0,168
273K
kg ⋅ K
K
ΔS 3 = ∫
3
En total:
ΔS = ΔS1 + ΔS 2 + ΔS3 = 0, 0186
kcal
kcal
kcal
kcal
kJ
+ 0, 293
+ 0,168
= 0, 48
=2
K
K
K
K
K
PROBLEMA 4:
1- Una masa de nitrógeno evoluciona según el ciclo de la figura 16 siendo su presión en el punto A
pA=500 KPa. y su volumen V= 0,002 m3 . Suponiendo que el gas se comporta como ideal (cv=0,741
J/gK), Calcular:
a- Presión, volumen y temperatura en los puntos B y C
b- Calor entregado o cedido por el sistema en las evoluciones A-B, B-C, C-A.
c- Trabajo realizado por o contra el sistema en las mismas evoluciones.
d- Variación de la energía interna para las mismas evoluciones.
e- Trabajo neto realizado por el sistema.
f- Rendimiento
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Solución:
Lo primero que haremos será calcular los
T(K)
p(Pa)
V(m3)
estados de presión y volumen para cada punto aplicando
A
500000
0.002
800
la ecuación general de estado. Armamos una tabla con los
B
250000
0,004
800
datos y observamos las incógnitas que luego iremos
C
250000
0.002
400
calculando.
Los valores completados en negrita son los calculados
Para la presión en C aplicamos la ecuación general y completamos la tabla teniendo
en cuenta que en B tiene el mismo valor:
p A .V A pC .VC
500000Pa.0.002m 3 pC .0.002m 3
=
⇒
=
TA
TC
800K
400K
500000Pa.4 00K
= 250000Pa
pC =
800K
Lo mismo hacemos para el volumen en B
p A .V A p B .VB
500000Pa.0.002m 3 250000.VB
=
⇒
=
TA
TB
800K
800K
500000Pa.0,002m 3
VB =
= 0,004m 3
250000Pa
Aplicamos ahora las ecuaciones para
calcular el trabajo en cada evolución e iremos
completando la siguiente tabla.
Q
L
ΔU
A-B
B-C
C-A
Evolución A-B
L = n ⋅ R ⋅ T A ⋅ ln
VB
VA
Pero para aplicar esta ecuación debemos calcular el número de moles del sistema y
entonces aplicamos nuevamente la ecuación general de los gases ideales:
p A .V A = n.R.T A ⇒ n =
p A .V A 500000Pa.0 ,002m 3
=
= 0,15 mol
J
R.T A
8,3
⋅ 800K
mol.K
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L = 0.15mol ⋅ 8,3
J
0,004m 3
⋅ 800K ⋅ ln
= 690,4J
mol.K
0,002m 3
La variación de la energía interna en esta evolución es nula porque es isotérmica.
ΔU = 0
Por lo tanto, aplicando el primer principio:
Q = L + ΔU ⇒ Q = L + 0 = 690,4J
Para la evolución B-C calculamos el trabajo siendo la evolución isobárica:
L = p.(VC - VB ) = 250000
La variación de la energía interna es:
(
)
N
⋅ 0.002m 3 - 0.004m 3 = -500J
2
m
ΔU = cv .m.ΔT
Teniendo en cuenta la masa molar tenemos que la masa de gas es:
m = M.n = 28
ΔU = 0,741
g
⋅ 0.15mol = 4,2g
mol
J
.4,2g.(400 K - 800K) = −1244.88J
g.K
Aplicando el primer principio:
Q = L + ΔU ⇒ Q = −500J − 1244,88J = −1744,88J
Como la evolución C-A es isócora no se realiza trabajo y la variación de la energía
interna es la misma que en la evolución B-A pero de signo contrario, pues se invierte la variación
de temperatura.
ΔU = 1244.88J
Q = L + ΔU ⇒ Q = 0 + ΔU = 1244,88J
La tabla completa nos queda
Q
690,4J
1744.88J
1244.88J
A-B
B-C
C-A
L
90,4J
500J
0
ΔU
0
-1244.88J
1244.88J
El trabajo neto se obtiene sumando los trabajos de todas las evoluciones:
LNETO = 690J − 500J + 0J = 190J
Por ultimo calculamos el rendimiento haciendo el cociente entre el trabajo neto y la
suma de los calores positivos:
η=
Lneto
Qentregado
=
190J
= 0,098 = 9,8%
690,4J + 1244,8J
Esto significa que de cada 100 J de energía entregada al sistema en un ciclo se
obtienen 9,8 J de trabajo.
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