APLICACIÓN DE LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2. 0 PLUS EN MATEMÁTICAS FINANCIERAS CONVERSIÓN DE TASA DE INTERÉS PROFESOR: JEAN-PIERRE MARCAILLOU PROFESOR INVITADO DEL IESA CASIO ACADÉMICO VENEZUELA RESUMEN En este artículo se presentan las bondades de la calculadora CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS en el proceso de conversión de tasa de interés operando en diferentes condiciones y el tratamiento de la reinversión de los intereses adelantados en forma anticipada indefinidamente. PROBLEMA Un inversionista está indeciso en invertir o en un instrumento financiero A del Banco Provinciano que le ofrece una tasa de interés porcentual, compuesto discreto, por adelantado, del 18% semestral con capitalización bimestral, o en otro instrumento financiero B del Banco Banestop que le ofrece una tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, del 13% cuatrimestral con capitalización trimestral. Si decidiera reinvertir en las mismas condiciones al vencimiento de la inversión, ¿cuál instrumento produciría mayor rentabilidad al cabo de un año? SOLUCIÓN Método 1: Calcula la tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, efectivo anual con capitalización anual equivalente al 18%ade s c b , y la tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, efectivo anual con capitalización anual, equivalente al 13%ctvenc t , y elige entre los resultados obtenidos el mayor de los dos. A ven : %EFFaca B : %EFFaven ca −n ade 18 × 2 /100 −6 %APRa c b /100 ven = 100 × 1 − − 1 = 100 × 1 − − 1 = 44,95%aca n 6 n ven 13 × 3 /100 %APRac t /100 = 100 × 1 + − 1 = 100 × 1 + n 4 4 − 1 = 45,08%aven ca ⇒ invertir en B Método 2: Calcula la tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, cuatrimestral con ven capitalización trimestral equivalente al 18%ade s c b , y elige entre el resultado obtenido y 13%ct c t el mayor de los dos. ven %ct ct = 100 × i ven tct 3 3/2 (1 + i bcvenb ) × 4 = 100 × 3 0,18 × 2 1 − 6 = 100 × 3 −3 / 2 −1 i ade 1 + bcb 1 − i ade −1 bcb × 4 = 100 × 3 3/2 −1 ade (1 − i bcb ) × 4 = 100 × −3 / 2 −1 3 ×4 B 8 A 8 6474 64744 ven ven × 4 = 12,97%ct c t < 13%ct c t ⇒ invertir en B Método 3: Calcula la tasa de interés porcentual, compuesto discreto, por adelantado, semestral con capitalización bimestral equivalente al 13%ctvenc t , y elige entre el resultado obtenido y 18%ade s c b el mayor de los dos. 2/3 %ade sc b = 100 × ade i bc b 2 × 6 = 100 × ven i bc b ven 1 + i bc b 0,13 × 3 1 − 1 + 4 = 100 × 2 2 −2 / 3 −1 (1 + i ven tct ) 2 / 3 −2 / 3 1 + i ven 1 − (1 + i ven ( tc t ) tc t ) × 6 = 100 × × 6 = 100 × ×6 2 2 B 64 4744 8 A 8 6 474 ade × 6 = 18,04%ade > 18% sc b sc b ⇒ invertir en B Jean-Pierre Marcaillou – CASIO ACADÉMICO VENEZUELA 1 APLICACIÓN DE LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2. 0 PLUS EN MATEMÁTICAS FINANCIERAS PROCEDIMIENTO CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2.0 PLUS TECLA PANTALLA TECLA 1. [AC/ ON] / [MENU] / (▲, ►, ▼, ◄) 14. [F1] (EFF) 2. [EXE] 15. [F1] (REPT) 3. [F5] (CNVT) 16.▲/ [4] / [EXE] 4. [(–)]/[6]/[EXE] − 5. [1] / [8] / [X] / [2] / [EXE] ven A : 18%ade scb ⇔ 44,95%ac a n: El signo – indica que la capitalización es bimestral por adelantada 17. [F2] (APR) I%: Tasa de interés nominal anual con capitalización bimestral 18. [F1] (REPT) 6. [F1] (EFF) ven A : 18%ade scb ⇔ 44,95%ac a 7. [F1] (REPT) 8. ▲ / [4] / [EXE] 9. [1] / [3] / [X] / [3] / [EXE] PANTALLA ven ⇔ 38,90%ven A : 18%ade ⇔ 45,95%aca ac t scb 19.►/ ►/ ►/ ►/ ►/►/►/►/►/►/ ►/►/►/►/►/►/ [ ÷ ] / [3] / [EXE] / ►/ 20. ►/ [AC/ ON] / [1] / [3] / [ × ] / [3] / [EXE] n: Indica que la capitalización es trimestral vencida 21. [F1] (EFF) I%: Tasa de interés nominal anual con capitalización trimestral 22. [F1] (REPT) 10.[F1] (EFF) ven B : 13%ct ct ⇔ ven 45,08%ac a 11.[F1] (REPT) n: Indica que la capitalización es trimestral vencida ven A : 18%ade ⇔ 12,97%ct ct sc b ven > 12,97%ven → B 13%ctct ctct 1424 3 14 4244 3 B A I%: Tasa de interés nominal anual con capitalización trimestral ven ven B : 13%ct c t ⇔ 45,08%a c a 23. ▲ / [(–)] / [6] / [EXE] n: El signo – indica que la capitalización es bimestral por adelantada 24. [F2] (APR) ven ⇔ 45,08%ven ⇔ 36,08%ven B : 13%ct ac a ct ac b 12. ▲ / [(–)] / [6] / [EXE] 13. [1] / [8] / [x] / [2] / [EXE] EXE n: El signo – indica que la capitalización es bimestral por adelantada I%: Tasa de interés nominal anual con capitalización bimestral Jean-Pierre Marcaillou – CASIO ACADÉMICO VENEZUELA 25. [F1] (REPT) 26. ►/ ►/ ►/ ►/ ►/►/►/►/►/►/ ►/►/►/►/►/►/ [ ÷ ] / [2] / [EXE] ven ⇔ 18,04%ade B : 13%ct ct sc b 18,04%ade > 18%ade →B scb scb 14 4244 3 1424 3 B A 2 APLICACIÓN DE LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2. 0 PLUS EN MATEMÁTICAS FINANCIERAS Observaciones La calculadora no permite efectuar directamente la conversión de una tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido o adelantado, nominal anual con una determinada frecuencia de capitalización, a una tasa de interés equivalente porcentual, compuesto discreto, vencido o adelantado, nominal anual con una frecuencia de capitalización diferente a la anterior. El proceso de conversión se realiza a través de la tecla [F1] (EFF) que sirve de enlace entre ambas tasas. Procedimiento Para realizar la conversión de una tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido o adelantado, nominal anual APR(n1) con una frecuencia de capitalización n1 , a una tasa de interés equivalente porcentual, compuesto discreto, vencido o adelantado, nominal anual APR(n2) con una frecuencia de capitalización n2 diferente de n1, se necesita convertir la primera tasa de interés APR(n1) a su equivalente, compuesto discreto, vencido, efectivo anual con capitalización anual EFF, y después convertir esta última a la tasa de interés APR(n2) equivalente porcentual, compuesto discreto, vencido o adelantado, nominal anual con frecuencia de capitalización n2. Existe un cuarto método para comparar ambas tasas de interés: como la primera tasa de interés que ofrece el instrumento financiero A del Banco Provinciano tiene un período de capitalización bimestral, y la segunda tasa de interés que ofrece el instrumento financiero B del Banco Banestop tiene un período de capitalización trimestral, se sabe que al final del primer semestre coincidirán por primera vez ambas capitalizaciones. Por lo tanto se calcula la tasa de interés porcentual, discreto, vencido, periódico semestral con capitalización semestral equivalente a cada una de ella, y de los resultados obtenidos, el mayor de los dos nos indica donde se debe invertir. Se deja al estudiante realizar los cálculos pertinentes, sólo se le indica los resultados finales, a saber: 1- La tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, periódico semestral con capitalización semestral equivalente a la tasa de interés porcentual, compuesto discreto, por adelantado, del 18% semestral con capitalización bimestral es del 20,40%. 2- La tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, periódico semestral con capitalización semestral equivalente a la tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, del 13% cuatrimestral con capitalización trimestral es del 20,45%. Los resultados indican, como era de esperar, que el inversionista debe invertir en el instrumento financiero B del Banco Banestop. El objetivo es ahora tratar la reinversión de los intereses adelantados en forma anticipada indefinidamente. Se va a suponer que se dispone de la cantidad de 1.000.000,00 de bolívares, y se desea invertir primero esta cantidad en el instrumento financiero A del Banco Provinciano por un tiempo de un año, y después invertir la misma cantidad de 1.000.000,00 de bolívares en el instrumento financiero B del Banco Banestop por un tiempo de un año también, bajo la condición de reinvertir en ambos instrumentos en las mismas condiciones al vencimiento de cada inversión. Se comparan al final del año los resultados obtenidos en ambas situaciones, y el instrumento financiero que produce la mayor cantidad al final del año es el que tiene la mayor rentabilidad. Suponga que el inversionista invierte en el instrumento financiero A, que ofrece el Banco Provinciano, la cantidad de 1.000.000,00 de bolívares; como la tasa de interés que se paga es del 6% bimestral con capitalización bimestral, por adelantado, esto significa que el inversionista recibe inmediatamente la cantidad de 60.000,00 bolívares como intereses anticipados ganados al inicio del primer bimestre, y la cantidad invertida de 1.000.000,00 de bolívares al final del primer bimestre. Ahora bien, los 60.000,00 bolívares de intereses anticipados pueden ser reinvertidos a la misma tasa de interés del 6% bimestral con capitalización bimestral por adelantado. Si el inversionista reinvierte los 60.000,00 bolívares de intereses anticipados, él recibe la cantidad de 3.600,00 bolívares anticipados de intereses al inicio del primer bimestre y la cantidad reinvertida de 60.000,00 bolívares al final del primer bimestre. Si se repite el proceso, con los 3.600,00 bolívares de intereses anticipados, el inversionista puede reinvertirlos a la misma tasa de interés que le produce unos intereses anticipados de 216,00 bolívares y la cantidad reinvertida de 3.600,00 bolívares al final del primer bimestre. En estas condiciones, con dos reinversiones consecutivas, el inversionista tiene Jean-Pierre Marcaillou – CASIO ACADÉMICO VENEZUELA 3 APLICACIÓN DE LA CALCULADORA CASIO ALGEBRA FX 2. 0 PLUS EN MATEMÁTICAS FINANCIERAS acumulado al final del primer bimestre la cantidad de 1.063.600,00 bolívares, y tiene la oportunidad de poder reinvertir los 216,00 bolívares de intereses anticipados a la misma tasa. Si el proceso se repite A indefinidamente, la cantidad total acumulada en el instrumento financiero A, FVA , después de n reinversiones sucesivas al final del primer bimestre será de, con C0 = 1.000.000,00 : FVA A 1b ade 0 bcb = C0 + C i ( + C0 i ade bcb ) 2 ( + C0 i ade bc b ) 3 ade bc b ( + C0 i ) 4 ( + C0 i ade bc b ) 5 ( + ... + C0 i ade bcb ) n t =n = C0 ∑ i t =0 ( ade bcb ) t = C0 ade bc b n +1 (i ) i ade bc b −1 −1 Si el número de reinversiones n crece indefinidamente, es decir que n → +∞ , se tiene que: t =n A FVA1b = lim C0 ∑ i bade cb n →+∞ t =0 ( ) t = lim C0 n →+∞ ade bcb (i ) i n +1 ade bc b −1 −1 = C0 ade en vista de que i bade c b < 1 , y lim i b c b n →+∞ 1 − i bade cb ( n +1 ) =0. En nuestro caso, se tiene que el inversionista al final del primer bimestre tendrá la cantidad total de: A = FVA1b 1.000.000,00 = 1.063.829,79 bolívares 1 − 0,06 Por lo tanto, si el inversionista, con la cantidad total acumulada al final del primer bimestre repite el procedimiento para el segundo, el tercero, el cuarto, el quinto y el sexto bimestre, al final del año, tendrá acumulado la cantidad total de: A A FVA 6b = FVA1a = C0 ade bc b (1 − i ) 6 = 1.000.000,00 (1 − 0,06 ) 6 = 1.449.548,93 bolívares y la tasa porcentual de rendimiento efectivo del instrumento financiero A es tal que: ven EFFA %aca = 100 × 1.449.548,93 − 1.000.000,00 = 44,95% 1.000.000,00 Suponga ahora que el inversionista invierte en el instrumento financiero B, que ofrece el Banco Banestop, la cantidad de 1.000.000,00 de bolívares; como la tasa de interés porcentual, compuesto discreto, vencido, que se paga es del 13% cuatrimestral con capitalización trimestral, esto significa que el inversionista recibirá al final del primer trimestre la cantidad de 97.500 bolívares como intereses ganados y 1.000.000,00 bolívares como capital invertido. Si el inversionista reinvierte al final del primer trimestre la cantidad total acumulada de 1.097.500,00 bolívares a la misma tasa de interés, al final del segundo trimestre recibirá la cantidad de 107.006,25 bolívares como intereses ganados y 1.097.500,00 bolívares como capital invertido. Si el procedimiento se repite para el tercer trimestre, al final del mismo el inversionista recibirá la cantidad de 117.439,26 bolívares como intereses ganados y 1.204.506,25 bolívares como capital invertido. Si el proceso se repite para el cuarto trimestre, al final del mismo obtendrá la cantidad de 128.889,70 bolívares como intereses ganados y 1.321.945,61 bolívares como capital invertido, es decir que al final del año el inversionista tendrá la cantidad total acumulada de 1.450.835,31 bolívares, y la tasa porcentual de rendimiento efectivo del instrumento financiero B es tal que: ven EFFB %aca = 100 × 1.450.835,31 − 1.000.000,00 = 45,08% 1.000.000,00 Es oportuno resaltar que el resultado obtenido en el instrumento financiero A, como consecuencia de reinversiones anticipadas en forma anticipada indefinidamente, se debe considerar como el valor límite que se puede conseguir, algo irrealizable, en vista de que en la práctica no se podrán efectuar reinversiones anticipadas indefinidamente ya que el Banco las limitará cuando el costo de la reinversión hace impracticable las mismas. Referencias Bibliográficas García J. (2000). Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia finita. Editorial Pearson.Bogotá. Varela R. (1991). Evaluación económica de inversiones. Grupo Editorial Norma.Bogotá. Gutierrez L. (1985). Decisiones Financieras y Costo del Dinero en Economías Inflacionarias.Editorial Norma. Bogotá. Jean-Pierre Marcaillou – CASIO ACADÉMICO VENEZUELA 4