La Recta

La Recta
1
Pendiente
recta.
de
una
2
Construcción de la
ecuación de la recta.
3
Rectas paralelas.
4
Rectas
perpendiculares.
5
Distancia de un
punto a una recta.
Uno de los conceptos básicos en geometría es la
recta.
Una recta es una sucesión infinita de puntos,
situados en una misma dirección. Tiene una sola
dimensión: la longitud. Se nombran mediante
dos de sus puntos o por una letra minúscula.
En este documento limitaremos nuestro estudio
a las rectas de un plano coordenado, lo que nos
permitirá el uso de métodos algebraicos para
estudiar sus propiedades.
LA RECTA
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Pendiente de una recta
En la siguiente figura se muestran
varias rectas con sus pendientes
marcadas. Las rectas con
pendientes positivas están hacia
arriba a la derecha, y las de
pendiente negativa están hacia
abajo y a la derecha. Las rectas
con mayor pendiente son aquellas
cuyo valor absoluto de la
pendiente es más grande; una
recta horizontal tiene pendiente
cero.
Primero necesitamos un modo de medir la inclinación de una recta, o que tan
rápido se levanta o desciende cuando nos desplazamos desde la izquierda hacia la
derecha. Definimos desplazamiento horizontal como la distancia que nos
movemos a la derecha y desplazamiento vertical como la distancia
correspondiente que la recta sube o cae. La pendiente de una recta es la relación
de desplazamiento horizontal a desplazamiento vertical:
desplazamiento vertical
desplazamiento horizontal
Más a delante se escribirá en
forma
matemática
esta
ecuación.
Si una recta está en el plano coordenado, entonces el desplazamiento horizontal
es el cambio en la coordenada 𝑥 y el desplazamiento vertical es el cambio
correspondiente a la 𝑦 entre los puntos cualesquiera de la recta. Así llegamos a la
siguiente definición de pendiente.
pendiente =
Definición de la pendiente de una recta
𝐝𝐞𝐬𝐩𝐥𝐚 𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒎=
=
𝐝𝐞𝐬𝐩𝐥𝐚 𝐡𝐨𝐫𝐢
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Sea 𝑙 una recta que no es paralela al eje
𝑦, y sea 𝑝1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑝2 (𝑥2 , 𝑦2 ) los
puntos diferentes de 𝑙. Esta es la
pendiente de la recta.
Si 𝑙 es paralela al eje 𝑦, la pendiente de
𝑙 no está definida.
La pendiente es independiente de los puntos que se escogen en la
recta.
2
Construcción de la ecuación de
la recta
Dados un punto y la pendiente:
Para determinar la ecuación de la recta que con pendiente 𝑚 y que pasa por un
punto 𝑝. Se utiliza la ecuación llamada “forma punto- pendiente”.
Forma punto-pendiente para la ecuación de una recta
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 )
Una ecuación de la recta que pasa por
el punto (𝑥1 − 𝑦1 ) y tiene pendiente 𝑚
es
Dados dos puntos:
Cuando tenemos dos puntos 𝑃, y 𝑄 para construir la ecuación de la recta primero
hayamos la pendiente de la recta con la ecuación de pendiente:
𝑦2 − 𝑦1
Para hallar la pendiente de la recta con
𝑥2 − 𝑥1
los dos puntos.
Luego con la pendiente y utilizando cualquiera de los dos puntos 𝑃 o 𝑄 , podemos
encontrar la ecuación de la recta con la ecuación punto-pendiente.
𝑚=
LA RECTA
Otras formas para la ecuación de una recta:
La forma punto-pendiente para la ecuación de una recta se puede rescribir de esta
manera 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1 + 𝑦1 que es de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 con
𝑏 = −𝑚𝑥1 + 𝑦1 . EL número real bes la ordenada al origen o intersección en y . En
esta ecuación se muestra la pendiente 𝑚 y la intersección igual a b en l , se llama
forma pendiente-intersección o pendiente-ordenada al origen para la ecuación de
una recta.
Forma pendiente-intersección para la ecuación de una recta
La gráfica de 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es una recta
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
con pendiente 𝑚 y ordenada al origen
igual a b.
A partir de la forma de punto-pendiente, se deduce que toda recta es una gráfica
de una ecuación lineal: Una ecuación lineal es una ecuación de la forma
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Donde 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son constantes y 𝐴 y 𝐵 no son simultáneamente iguales a cero. La
ecuación de una recta es una ecuación lineal.
Forma general para la ecuación de una recta
La gráfica de una ecuación lineal
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 es una recta y,
recíprocamente toda recta es la gráfica
de una ecuación lineal.
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Rectas paralelas
Puesto que la pendiente mide la inclinación de una recta, es razonable que las
rectas paralelas tengan la misma pendiente. De hecho se puede demostrar.
Teorema sobre pendientes de rectas paralelas
Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
Demostración:
Sean las rectas 𝑙1 y 𝑙2 de la figura que tienen pendientes 𝑚1 y 𝑚2 . Si las rectas son
paralelas, entonces los triángulos rectángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐷𝐸𝐹 son semejantes, de
modo que
𝑑(𝐵, 𝐶) 𝑑(𝐸, 𝐹)
=
= 𝑚2
𝑑(𝐴, 𝐶) 𝑑(𝐷, 𝐹)
Y al contrario, si las pendientes son iguales, entonces los triángulos son
semejantes, por lo que ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐸𝐷𝐹 y las rectas son paralelas.
𝑚1 =
LA RECTA
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Rectas perpendiculares
La condición para rectas perpendiculares no es tan obvia como con las rectas
paralelas.
Teorema sobre pendientes de rectas perpendiculares
Dos rectas con pendiente 𝒎𝟏 y 𝒎𝟐 son perpendiculares si y sólo si 𝒎𝟏 𝒎𝟐 = 𝟏, es
decir, sus pendientes recíprocas y de signos contrario:
𝟏
𝒎𝟐 =
𝒎𝟏
Asimismo, una recta horizontal (pendiente 0) es perpendicular a la recta vertical
(pendiente infinita).
Demostración:
En la figura se ilustran dos rectas que se cortan en el origen, (Si las rectas se
cortan en algún otro punto, consideramos rectas paralelas a éstas que se cortan en
el origen. Estas rectas tienen las mismas pendientes que las rectas originales).
Si las rectas 𝑙1 y 𝑙2 tienen pendientes 𝑚1 y 𝑚2 , entonces sus ecuaciones son 𝑦 =
𝑚1 𝑥 y 𝑦 = 𝑚2 𝑥. Observe que 𝐴(1, 𝑚1 ) quedan sobre 𝑙1 y 𝐵(1, 𝑚2 ) queda sobre
𝑙2 .
Según el teorema de Pitágoras y su inverso 𝑂𝐴 ⊥ 𝑂𝐵 si y solo si
[𝑑(𝑂, 𝐴)]2 + [𝑑(𝑂, 𝐵)]2 = [𝑑(𝐴, 𝐵]2
De acuerdo con la fórmula de la distancia, esto se transforma en
(12 + 𝑚12 ) + (12 + 𝑚22 ) = (1 − 1)2 + (𝑚2 − 𝑚1 )2
2 + 𝑚12 + 𝑚22 = 𝑚22 − 2𝑚1 𝑚2 + 𝑚12
2 = −2𝑚1 𝑚2
𝑚1 𝑚2 = −1
LA RECTA
Bibliografía
Cole, E. W. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13 ed.). México: Cengage Learning.