INFORME_DE_LA_TERCERA_UNIDAD_1_

INFORME DE LA TERCERA UNIDAD
Integrantes:
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TORRES CHUQUIZUTA LUZ
ANGULO FLORES ERIKA
FERNANDEZ DE LA CRUZ YEIMI
VELASQUEZ BARRIOS LISSET
CELIZ SANCHEZ FATIMA
QUIROZ SANTISTEBAN CAROLINA
1. ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que
establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las
derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de
ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y
Parciales

De acuerdo al contenido programático, serán analizadas solo las
ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), las cuales se caracterizan
por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable
dependiente.

Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que
permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión
matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación
entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver
E.D.O, sin embargo, en la presente obra se desarrollarán solo los
siguientes
1.1 Ecuaciones con Variables Separables:
Son ecuaciones
de la forma:
Las cuales se puede resolver así:
 Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la
variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los
que representan a la otra variable. Por tanto:
 Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de
integración.
Ejercicios
1.2 Ecuaciones homogéneas:
Son ecuaciones de la forma:
Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que
será llamado de aquí en adelante ALGORITMO HOMOGÉNEO.
Aplicar el criterio de homogeneidad. Para ello basta con:
i.
Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dy
con
N(x,y).
ii.
Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes igualdades:
n
1.
2.
n
M(x,y)
N(x,y)
Nota1: Para 1 y 2, los exponentes deben ser iguales y tanto M(x,y) como
N(x,y), no quedan afectados del factor k.
Hacer el siguiente cambio de variable:
y=vx (I)
Derivar (I), obteniéndose:
dy=vdx+xdv(II)
Sustituir las expresiones (I) y (II) en la ecuación diferencial dada.
Aplicar propiedad distributiva y agrupar términos semejantes.
Aplicar el método de Variables Separables.
1.3 Ecuaciones Exactas:
Son ecuaciones de la forma:
2
Donde M(x,y) y N(x,y), son funciones continuas que verifican la siguiente
igualdad:
=
(III)
Estas ecuaciones pueden resolverse mediante el siguiente conjunto de
pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO EXACTO.
Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dy con
N(x,y).
Verificar que se cumple (III)
Hallar una función auxiliar F. Para ello basta con integrar a M(x,y),con
respecto a x. Así:
o

Derivar parcialmente a F e igualar este resultado con N(x,y), es
Decir:
N(x,y)
Despejar el factor
y calcular f(y), integrando la expresión obtenida
en el despeje.
Sustituir f(y) en la expresión obtenida, anteriormente, para F y realizar
las operaciones algebraicas que aparezcan para construir una respuesta lo
más simplificada posible.
Antes de presentar los ejemplos correspondientes a la solución de E.D.O.,
es necesario mostrar cómo se usa el criterio de homogeneidad y cómo
interpretar la Nota1. Para ello:
Determine si cada una de las funciones que se presentan a
continuación, es o no homogénea. Indique su grado de homogeneidad.
Solución: El grado de homogeneidad viene dado por el exponente de la
letra k. Para determinar si una función es o no homogénea, se debe aplicar
el criterio de homogeneidad, dado por:
Una función
es Homogénea si y solo si:
nF(x,y)
Desarrollo:
i.
F(x,y)
F(x,y)
Obsérvese que la expresión entre paréntesis representa a F(x,y),
cumpliéndose la igualdad planteada en el criterio, por tanto, la función dada
es Homogénea y de grado 2.
ii.
F(x,y)
F(x,y)
F(x,y)
F(x,y)
grado 3
Obsérvese que la expresión entre paréntesis representa a F(x,y),
cumpliéndose la igualdad planteada en el criterio, por tanto, la función dada
es Homogénea y de grado 3.
iii.
F(x,y)
F(x,y)
F(x,y)
F(x,y)
F(x,y)
F(x,y)
F(x,y)
2. ECUACIÓN DIFERENCIALES EXACTAS
En donde las derivadas *o* parciales de las funciones M y N:
y
son
iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que
donde
y
. Dado que F(x,y) es una función
diferenciable entonces las derivadas mixtas deben ser iguales y esta es la
condición
.
2.1 Método de resolución.
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los
siguientes pasos:

Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas
parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y)
obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque
con una función incógnita g que aparece como constante de integración.
Esto es:

Para despejar la función g se deriva
independiente de g.

Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.),
despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente
de g; de este modo se encontrará la función g.

Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general
con respecto a la variable
.
2.2 Factor integrante.
Si una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la
multiplica por una función especial
llamada factor integrante, tal que:
Sea exacta.
Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe,
pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible
facilmente encontrar un factor integrante:
Factor integrante solo en función de x.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir,
), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Factor integrante solo en función de y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir,
), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Factor integrante solo en función de x+y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir,
), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Con
Factor integrante solo en función de x·y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir,
), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Con
Donde
M·x
Cabe mencionar que:
Ejemplo
1.- sea la función diferencial:
Solución:
Para ver que esta ecuación diferencial es de diferenciales exactas
hacemos:
Y tenemos:
Siendo cierto que la ecuación es del tipo de diferenciales exactas,
podemos calcular con facilidad la función integral:
Para conocer el valor de la función φ(x) derivamos U(x, y) respecto de y,
e igualamos el resultado a Q:
Así pues, la solución general de la ecuación diferencial estudiada será:
3. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene
la forma:
O usando otra notación frecuente:
Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no
aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus
derivadas. Si usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal
de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:
Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles
soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es
de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.
Ecuación lineal de primer orden
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la
forma:
Donde
y
son funciones continuas en un intervalo
solución de esta ecuación viene dada por:
. La
4. TRANSFORMACION DE ECUACIONES INEXACTAS A
EXACTAS
Si una ecuación no es exacta se puede hacer exacta mediante las siguientes
formulas:
dln = dM / dy - dN / dx
dx N
dln
= dN /dx - dM/dy
dy M
d (xayb) = xa b y b-1dy + y b a xa-1dx
= xa-b y b-1 (bxdy + aydx)
En ocasiones es posible trasnformar una ecuación diferencial no exacta en una
ecuación exacta multiplicando por un factor integrante
(x,y) que se determina con las formulas anteriores.
EJERCICIOS …..
En los problemas del 37- 42 resuelva la ecuación y verifique si
(x,y) es un factor integrante
37.- 6xy dx + (4y + 9x2)dy = 0
(x,y) = y2
M(x,y) = 6xy N(x,y) = 4x + 9x2
dM = d 6xy = 6x dN = d (4y-9x2) = 18x
dy dy dx dx
como dM es diferente de dN la ecuación diferenciañ no es exacta
dy dx
la ecuación diferencial se hece exacta multiplicando por el factor de integración
….
dln
= dN/ dx - dM/ dy = 18x - 6x
M 6xy
dln = 12x = 2
dy 6xy y
dln = 2 dln
= 2 dy
dy y y
integrando …..
"d ln
ln
aplicando exponenciales ……
= 2"dy/y
= 2 lny
eln
= elny2
= y2 ….. es el factor de integración
multiplicando la ecuación diferencial por x2 (se ignora
)
6xy3dx + (4y3 + 9x2y2) dx = 0
por lo tanto esta ecuación diferencial ya es exacta ….
Comprobación ….
M = 6xy3´ N = 4y3 + 9x2y2
dM / dy = 18xy2 dN / dx = 0 + 18 xy2
por lo tanto ….. dM/dy = dN/dx lo que indica que la ecuación diferencial es
exacta.
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
EJERCICIO RESUELTO:


La temperatura inicial T0 (menor de 100ºC) en el control de edición
titulado Temperatura.
El tamaño de la muestra cúbica, la longitud de su lado d en cm, en el
control de edición titulado Dimensión.
Se pulsa en le botón titulado Empieza
La temperatura ambiente se ha fijado en el programa interactivo, Ta=20ºC.
En la parte izquierda, se observa un cubo de aluminio y un termómetro que
indica su temperatura. En la parte derecha del applet, se observa la evolución
de su temperatura T a lo largo del tiempo t. Se toman medidas de la
temperatura cada 50 s. Estas medidas se guardan en el control área de texto
situado a la izquierda del applet.
Una vez que se han tomado todas las medidas se pulsa en el botón titulado
Gráfica.
Se representa en el eje vertical ln(T-T0), y en el eje horizontal el tiempo t en s.
Se representan los datos "experimentales" mediante puntos y la recta que
ajusta a estos datos. El programa interactivo calcula y muestra el valor de la
pendiente kAl.
Anotamos el valor de la pendiente, kAl, la densidad del Aluminio rAl=2700 kg/m3,
y el calor específico del Aluminio cAl=880 J/(K·kg)
Tomamos ahora una muestra de otro metal de las mismas dimensiones
seleccionándolo en el control de selección titulado Material.
Pulsamos el botón titulado Empieza.
Observamos la evolución de su temperatura T en función del tiempo t. Cuando
se ha acabado de tomar los datos, se pulsa en el botón titulado Gráfica.
Apuntamos el valor de la pendiente de la recta kx y el valor de la densidad del
material rx. Para obtener el valor del calor específico de muestra metálica cx
aplicamos la fórmula
Ejemplo: Determinar el calor específico del Hierro conocido el calor específico
del Aluminio.
1. Sustancia de referencia Aluminio
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Temperatura inicial T0=100ºC
Tamaño de la muestra d=10 cm
Valor de la pendiente kAl=0.00530
Densidad rAl=2700 kg/m3
Calor específico cAl=880 Jl/(K·kg)
2. Sustancia Hierro
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Temperatura inicial T0=100ºC
Tamaño de la muestra d=10 cm
Valor de la pendiente kx=0.00355
Densidad rx=7880 kg/m3.
El calor específico del Hierro es