Método de Cardano

Método de Cardano
Sea una ecuación algebraica polinomial de tercer grado completa sin normalizar en una sola
variable de la forma
a3 x3  a2 x2  a1x  a0  0 con a3  0
donde
(1)
son sus coeficientes polinomiales. Sean
las tres raíces
de la ecuación
que deseamos calcular. Dividiendo ambos lados de la ecuación
coeficiente principal
obtenemos
por su
si definimos
como
queda
, la ecuación
con lo cual hemos ya normalizado la ecuación
, pues es más fácil de trabajar la ecuación
ya normalizada que la ecuación
, pero con la ventaja de que las raíces de ambas son
exactamente iguales. Ahora, realicemos la transformación de Tschirnhausen, dada en la forma
lo que nos permite eliminar el término de la potencia cuadrática cuando se sustituye la ecuación
en la ecuación
, así se obtiene
donde al desarrollarse los binomios y simplificar términos comunes nos da
y si hacemos las sustituciones arbitrarias pero convenientes
obtenemos la ecuación
a la cual se le llama ecuación cúbica reducida por contener un término menos (en este caso ha
desaparecido el término cuadrático por el uso de la transformación de Tschirnhausen) que la
ecuación completa
, la cual es más fácil de resolver que la ecuación
resolvemos la ecuación
usando la ecuación
entonces las raíces de la ecuación
se calcularán de forma sencilla
por ser esta una relación lineal e invertible. Note que si
implica necesariamente según las ecuaciones
raíces
que se calculan como sigue:
donde los valores de
, de modo que si
,
y
y
que
,
. La ecuación
tiene tres
se definen como
donde es el discriminante de la ecuación cúbica
posibles distintos como sigue.
y nos ayuda a establecer cuatro casos
Caso 1. Una raíz real y dos complejas conjugadas entre sí
Si
como
y
por la ecuación
ecuaciones
ecuación
, para
y
y dos raíces complejas conjugadas
. Al restar a cada una de estas raíces la cantidad
se obtiene una raíz real
ecuación de interés
multiplicidad unitaria.
, se tiene para la ecuación
y dos complejas conjugadas
una raíz real dada
, dadas por las
de acuerdo a la
también para la
. Este es uno de los dos casos en que se presentan las raíces de
Ejemplo 1. Usando el método de Cardano calcule las tres raíces de la ecuación cúbica siguiente:
Solución. Primero normalizamos la ecuación dividiendo ambos lados por su coeficiente principal
, para dar
la
cual
al
compararla
con
la
ecuación
podemos
, con los cuales podemos calcular y
ecuaciones
y
respectivamente para dar
con estos valores podemos calcular el discriminante
puesto que
y
mediante la ecuación
definir
que
a partir de las
para dar
, entonces obtendremos una raíz real y dos complejas
conjugadas. Para ello, calculamos primero los valores de A y B mediante las ecauciones
y
, respectivamente, para dar
las raíces de la ecuación
respectivamente
se calculan mediante las ecuaciones
,
y
para dar
ahora, ya por último, usaremos la ecuación
nos pedían resolver, como
para poder obtener las raíces de la ecuación que
.
Caso 2. Raíces reales de multiplicidad dos
Si
y
, para
, se tiene para la ecuación
tres raíces reales de
las cuales dos de ellas son iguales entre sí, es decir, este es el único caso donde se presentan las
raíces dobles. Esto es, que
. Al restar a cada una de estas raíces la
cantidad
de acuerdo a la ecuación
se obtienen tres raíces reales para la ecuación cúbica
, de las cuales dos de ellas serán iguales entre sí también
.
Ejemplo 2. Resuelva mediante el método de Cardano la siguiente ecuación cubica:
Solución. Es una ecuación ya normalizada, por lo que al compararla con la ecuación
podemos definir que
, con los cuales podemos calcular
los valores de
y mediante las ecuaciones
y
con estos valores podemos calcular el discriminante
puesto que
como sigue:
a partir de la ecuación
como
, entonces obtendremos tres raíces reales de las cuales dos de ellas serán
exactamente iguales entre si. Calculamos los valores de
dar
y
de las ecuaciones
y
para
así, las raíces de la ecuación
serán
de este modo, las raíces pedidas son obtenidas mediante la ecuación
como
Caso 3. Raíces reales de multiplicidad tres
Existe el caso en que se pueden obtener tres raíces reales de multiplicidad tres que ocurre si y
sólo si se cumple la condición de que
, lo que implica necesariamente de ecuerdo a
la ecuación
que
que
que
por la ecuación
valen
, lo que también implica necesarimente según las ecuaciones
y
, lo que a su vez implica necesariamente según las ecuaciones
a
, de aquí que al regresar a la transformación de Tschirnhaus dada
vemos que las tres raíces son reales y múltiples de multiplicidad tres y que
esto es, que la ecuación
se puede poner como
es decir, que puede expresarse como un binomio elevado al cubo.
Caso 4. Tres raíces reales y distintas entre sí
Si
y
, para cualquier valor y signo de q, pero donde necesariamente
, se tiene para la ecuación
cuales se calculan como
donde
tres raíces reales
, que son distintas entre sí, las
se define como
de donde vemos que el símbolo que precede al valor constante 2 en la expresión
se usará
como sigue: el signo positivo se usará cuando
y el signo negativo se usará cuando
.
Ejemplo: Resolver la ecuación 3x3  15x2  12  0
Normalizando la ecuación se tiene que x3  5x2  4  0 donde b  5, c  0, d  4
En este caso se tiene que:
p c
q
b2
(5)2
 0
 8.3333
3
3
1
1
27d  9bc  2b3  
27(4)  9( 5)(0)  2( 5)3   5.2592


27
27
 p   q   8.3333   5.2592 
Luego D        
 
  14.5184
3
2
 3  2 
 

3
2
3
2
Entonces, como lo afirma el caso 4, para D < 0 y p < 0 las raíces están dadas por
xk 1  2 

p
   2k
cos 
3
3

  cos 1  


27q 2
4 p3




 b
con k=0,1,2

 3
Calculando

  cos1  


27(5.2592)2
4(8.3333)3

  .9667


Entonces las raíces son:
x1  2 
8.3333
 .96667  (5)
cos 
 4.8284

3
3
 3 
x2  2 
8.3333
 .96667  2
cos 
3
3

x3  2 
8.3333
 .96667  2(2)
cos 
3
3

 (5)
 0.8284

3

 (5)
1

3

Raíces de la ecuación completa
Si es posible obtener con las ecuaciones
a
precedentes las tres raíces de
a la transformación de Tschirnhaus dada por la ecuación
ecuación
y se obtienen las tres raíces de la
, como sigue
o si las raíces de
ecuación
se regresa
.
están dadas por las ecuaciones
y
se debe usar
en la