Campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida

La ley de Biot-Savart
El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magnético
B creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por una corriente de intensidad i.
B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, ut es un vector unitario
cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la
posición donde se encuentra el elemento dl. ur es un vector unitario que señala la posición
del punto P respecto del elemento de corriente, 0/4 = 10-7 en el Sistema Internacional de
Unidades.
Campo magnético producido por una corriente rectilínea
Utilizamos la ley de Biot para calcular el campo magnético B producido por un conductor
rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i.
El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene una dirección
que es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el punto P, y sentido el
que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al producto vectorial ut ur
Para calcular el módulo de dicho campo es necesario realizar una integración.
Se integra sobre la variable  , expresando las variables x y r en función del ángulo  .
R=r·cos , R=-y·tan .
En la figura, se muestra la dirección y sentido del campo magnético producido por una
corriente rectilínea indefinida en el punto P. Cuando se dibuja en un papel, las corrientes
perpendiculares al plano del papel y hacia el lector se simbolizan con un punto  en el
interior de una pequeña circunferencia, y las corrientes en sentido contrario con una cruz 
en el interior de una circunferencia tal como se muestra en la parte derecha de la figura.
La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano determinado por la
corriente rectilínea y el punto, y el sentido se determina por la regla del sacacorchos o la
denominada de la mano derecha.
La ley de Ampère
La ley de Gauss nos permitía calcular el campo eléctrico producido por una distribución de
cargas cuando estas tenían simetría (esférica, cilíndrica o un plano cargado).
Del mismo modo la ley de Ampère nos permitirá calcular el campo magnético producido
por una distribución de corrientes cuando tienen cierta simetría.
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son similares a los de la ley de
Gauss.
1. Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético
2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del
campo magnético.
3. Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado
4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético.
Campo magnético producido por una corriente rectilínea
1. La dirección del campo en un punto P, es
perpendicular al plano determinado por la
corriente y el punto.
2. Elegimos como camino cerrado una
circunferencia de radio r, centrada en la
corriente rectilínea, y situada en una plano
perpendicular a la misma.


El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl.
El módulo del campo magnético B tiene tiene el mismo valor en todos los puntos de dicha
circunferencia.
La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
3. La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.
4. Despejamos el módulo del campo magnético B.
Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot.
Fuerza entre dos corrientes rectilíneas
Sean dos corrientes rectilíneas indefinidas de intensidades Ia e Ib paralelas y distantes d.
El campo magnético producido por la primera corriente rectilínea en la posición de la otra
corriente es
De acuerdo con la regla de la mano derecha tiene el sentido indicado en la figura, en forma
vectorial Ba=-Bai
La fuerza sobre una porción L, de la segunda corriente rectilínea por la que circula una
corriente Ib en el mismo sentido es
Como podemos comprobar, la fuerza que ejerce el campo magnético producido por la
corriente de intensidad Ib sobre la una porción de longitud L de corriente rectilínea de
intensidad Ia, es igual pero de sentido contrario.
La fuerza por unidad de longitud ente dos corrientes rectilíneas indefinidas y paralelas,
distantes d es
La unidad de medida de la intensidad de la corriente eléctrica, el ampere, se fundamenta en
esta expresión:
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos
conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y
situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a
2·10-7 newton por metro de longitud.
Si las corrientes tienen sentido opuesto, la fuerza tiene el mismo módulo pero de sentido
contrario, las corrientes se atraen, tal como se aprecia en la figura
Dos corrientes rectilíneas indefinidas, paralelas, separadas una distancia d


las corrientes eléctricas que circulan en el mismo sentido, se atraen
las corrientes eléctricas que circulan en sentido contrario, se repelen
Campo magnético producido por una corriente rectilínea
indefinida de sección circular.
Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida uniformemente
distribuida en su sección y que circula a lo largo de un cilindro radio interior a.
1. La dirección del campo magnético en el punto P es perpendicular al plano determinado
por el eje de la corriente cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de
radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P.
2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino cerrado que tenemos
que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y situada en una
plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha
circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea
B·2 r
3. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color
azul) en los dos casos siguientes.

r<a
4.-Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio r<R es una parte de la intensidad total i.
5.-Aplicando la ley de Ampère

r>a
4.-La intensidad que atraviesa la circunferencia de radio
r>R es i
5.-Aplicando la ley de Ampère
Campo magnético producido por una corriente que
circula a lo largo de un cilindro hueco.
En el siguiente applet se representa mediante flechas el campo magnético producido por
una corriente rectilínea indefinida, perpendicular al plano del applet y dirigida hacia el
lector.
Pulsando en el botón titulado Siguiente, se representa el campo magnético producido por
dos, tres, cuatro, etc, corrientes rectilíneas indefinidas situadas sobre la superficie lateral y
paralelas al eje de un cilindro de radio a.
Cuando el número de corrientes equidistantes es grande, se anula el campo magnético en el
interior, (para r<a), en el exterior el campo magnético es tangente a circunferencias
concéntricas de radio r>a. Vamos a ver cómo en esta situación es aplicable la ley de
Ampère.
Apliquemos la ley de Ampère a una corriente
rectilínea indefinida uniformemente distribuida en su sección y que circula a lo largo de un
cilindro hueco de radio interior a y exterior b.
1. Como hemos observado en el applet, la dirección del campo magnético en el punto
P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y el
punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que
pasa por el punto P.
2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino cerrado que
tenemos que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y
situada en una plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnético
B a lo largo de dicha circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente
rectilínea
B·2 r
3. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en
color azul) en los tres casos siguientes.
r<a
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio r<a es cero. Aplicando la ley de Ampère
B·2 r= 0 ·0
B=0
El campo magnético es nulo para r<a tal como hemos comprobado en el applet.
a<r<b
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio a<r<b es una parte de la intensidad total i.
Si la corriente i está uniformemente distribuida en la sección  b2- a2. La corriente que
atraviesa la circunferencia de radio r es la que pasa por la sección pintada de color rojo,
cuya área es  r2- a2.
Aplicando la ley de Ampère
r>b
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio r>b es la intensidad i. El módulo del campo magnético B en un
punto P situado a una distancia r del eje de la corriente cilíndrica es
Fuerza entre corrientes de sección no nula
Hemos estudiado la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas, paralelas separadas una
distancia d. Cuando las corrientes circulan en el mismo sentido, la fuerza es atractiva y cuando las
corrientes circulan en sentido contrario la fuerza es repulsiva. Hemos supuesto que el radio de la
sección de las corrientes es muy pequeña comparada con la distancia d de separación entre las
mismas.
En este apartado, vamos a considerar dos casos:


Cuando una de las corrientes tiene sección rectangular
Cuando una de las corrientes tiene sección circular
y que las dimensiones de la sección son comparables con la separación d entre las mismas. Este
aparatado, es de interés para los lectores que disfruten con el cálculo integral.
Corriente de sección rectangular
El campo producido por una corriente rectilínea indefinida i, para distancias mayores que el radio
de la sección circular, es.
Vamos a calcular la fuerza que ejerce dicho campo sobre una corriente rectilínea indefinida de
sección rectangular de dimensiones 2l (largo)y 2w (ancho), distante d.
Primero calculamos la fuerza que dicho campo ejerce sobre un elemento de corriente de
dimensiones dx y dy.
Suponiendo que la intensidad i está uniformemente distribuida en toda la sección rectangular, la
corriente que circula por dicha sección infinitesimal (en color azul) es
La fuerza sobre una porción de corriente rectilínea indefinida de longitud L



cuyo módulo es
dirección es radial
sentido, hacia fuera, si las corrientes tiene sentido contrario (se repelen)
Las componentes de dicha fuerza son:
dFx=dFcosθ
dFy=dFsenθ
Por simetría, las componentes dFy se anulan de dos en dos, la fuerza resultante tiene la dirección
del eje X
El término ente paréntesis corresponde a la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas
paralelas que distan d.
Para calcular la fuerza resultante Fx tendremos que calcular una integral doble
La integral con respecto a x es inmediata
Ahora, tenemos que resolver la integral
Integramos por partes
Descomponemos la integral racional en la suma de dos integrales, del siguiente modo
Resolvemos el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas
A=0, C=0, B=-2a2, D=2b2
Una vez que tenemos la función integrando calculamos el valor de la integral definida.
La fuerza resultante es
La fuerza de atracción entre dos corrientes rectilíneas indefinidas, se ve afectada por un factor
multiplicativo f que depende de las dimensiones (w, l) de sección rectangular de la corriente y de
su separación d de la corriente rectilínea que produce el campo magnético.
Corriente de sección circular
Calculamos ahora, la fuerza sobre una corriente indefinida de sección circular de radio R, que dista
d de la corriente rectilínea indefinida que produce el campo magnético, ambas conducen la misma
intensidad i pero en sentidos contrarios.
El campo producido por una corriente rectilínea indefinida i, es.
Vamos a calcular la fuerza que ejerce dicho campo sobre la corriente de sección circular de radio
R, que dista d de la corriente rectilínea.
Primero calculamos la fuerza que dicho campo ejerce sobre un elemento de corriente de
dimensiones dx y dy.
Suponiendo que la intensidad i está uniformemente distribuida en toda la sección circular, la
corriente que circula por dicha sección infinitesimal es
La fuerza sobre una porción de corriente rectilínea indefinida de longitud L



cuyo módulo es
dirección es radial
sentido, hacia fuera, si las corrientes tiene sentido contrario (se repelen)
Las componentes de dicha fuerza son:
dFx=dFcosθ
dFy=dFsenθ
Por simetría, las componentes dFy se anulan de dos en dos, la fuerza resultante tiene la dirección
del eje X
El término ente paréntesis, corresponde a la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas
paralelas que distan d.
Para calcular la fuerza resultante Fx tendremos que calcular una integral doble
Manteniendo y constante, como en la figura, los límites de integración de x son x1 y x2
La integral con respecto a x es inmediata
Ahora tenemos que resolver la integral
Hacemos el cambio de variable y=Rsenθ, dy=Rcosθ·dθ
con a=d2+R2 y b=2dR
Los nuevos límites de integración son –π/2 y π/2 que emplearemos para calcular la integral
definida una vez conocida la función integrando. Integramos por partes
El resultado es
Para calcular la segunda integral, empleamos las relaciones trigonométricas
Para calcular la segunda integral, hacemos el cambio de variable, tanθ=t, dθ=dt/(1+t2)
Es una integral racional que descomponemos en la suma de dos integrales, del siguiente
modo
En este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas
A=0, C=0, B=-2a(a2-b2)/b, D=2a/b
Deshacemos los cambios
Finalmente, la integral queda
Teniendo en cuenta que a=d2+R2 y b=2dR. La integral vale
La resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético producido por la corriente
rectilínea sobre los elementos diferenciales de la corriente de sección R es
La fuerza de atracción es la misma que la deducida para conductores rectilíneos indefinidos
de pequeña sección comparada con la separación d entre las corrientes paralelas.
Campo magnético producido por una corriente circular
en un punto de su eje.
En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magnético, tales
como un electroimán o un transformador, el hilo que transporta la corriente está arrollado
en forma de bobina formada por muchas espiras. Estudiaremos, en primer lugar, el campo
creado por una espira.
En la figura, se muestra una espira circular de radio a, recorrida por una corriente de
intensidad i. El punto P está sobre el eje de la espira a una distancia z de su centro.
Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto P. La ley de Biot nos permite
calcular el campo magnético creado por dicho elemento de corriente.
Fijarse que los vectores unitarios ut y ur forman 90º
El vector campo magnético dB tiene dos componentes


a lo largo del eje de la espira dB·cos(90- )
perpendicular al eje de la espira dB·sen(90- )
Por razón de simetría, las componentes perpendiculares al eje creadas por elementos
diametralmente opuestos se anulan entre sí. Por tanto, el campo magnético resultante está
dirigido a lo largo del eje y puede calcularse mediante una integración sencilla ya que r es
constante y  es constante
En el centro de la espira z=0, tenemos
El sentido del campo magnético viene determinado por la regla de la mano derecha.
Para una espira no es aplicable la ley de Ampère. Sin embargo, como podemos ver en el
applet de la siguiente página, si se disponen varias espiras iguales, igualmente espaciadas,
se va creando un campo cuya dirección es cada vez más paralela al eje común de las
espiras, a medida que se incrementa su número
En la situación ideal de un solenoide formado por un número grande de espiras apretadas,
cuya longitud es grande comparada con su diámetro, el campo en el interior es casi
uniforme y paralelo al eje y en el exterior es muy pequeño. En estas condiciones es
aplicable la ley de Ampère, para determinar el campo magnético en el interior del
solenoide.
Campo magnético producido en un punto fuera del eje
Vamos a calcular el campo magnético producido por una espira circular en un punto fuera
del eje de la espira. La ley de Biot afirma que el campo B producido por una corriente i se
obtiene
Donde dl es un elemento de corriente, ut es un vector unitario que señala la dirección y
sentido de la corriente, y ur es un vector unitario que señala el punto P donde se calcula el
campo magnético.
El campo producido por una espira de radio a tiene simetría axial, bastará calcular las
componentes By y Bz del campo magnético en un punto P (0, y, z) del plano YZ.
Como vemos en la figura la distancia r entre el elemento de corriente dl=a·d que está
situado en el punto (a·cos , a·sen , 0) y el punto P (0, y, z) considerado es
Efectuando el producto vectorial ut  ur, nos queda las componentes del campo
La primera integral es inmediata y vale cero Bx=0, ya que para cada elemento de corriente
dl existe otro simétrico al plano OYZ cuyo efecto es el de anular la componente X del
campo magnético
Las componentes del campo B son
Debido a la simetría cilíndrica del problema, solamente tenemos dos componentes del
campo una a lo largo del eje de simetría Z, Bz y la otra en la dirección radial By.
Cuando y=0, un punto del eje de la espira, podemos comprobar fácilmente que By=0, y que
Para expresar estas integrales en términos de las integrales elípticas completas de primera y
segunda especie hacemos el cambio de variable
θ=π/2-
Las tablas de integrales elípticas (Good) nos dan las siguientes equivalencias
Las componentes del campo magnético se expresan en términos de las integrales elípticas
completas de primera K(m) y segunda especie E(m) de la siguiente forma.
En la figura, se muestra la dirección del campo magnético mediante flechas, en el plano YZ, con
y>0 y z>0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un
punto cercano al anillo a otro algo más alejado. El radio de la espira es a=1.0
Caso particular
Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, y →0,
las integrales elípticas tienden ambas a K(0)=E(0)=π/2
Como podemos comprobar fácilmente By→0, fijarse que los dos términos entre paréntesis se
cancelan. En cuanto a la componente Z. Los dos últimos términos ente paréntesis proporcionales a
y se cancelan
Resultado que hemos obtenido previamente.
Actividades
Se introduce


La abscisa (y/a) del punto P, actuando en la barra de desplazamiento titulada Abscisa
La ordenada (z/a) del punto P, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ordenada
Se pulsa en el botón titulado Calcular
El programa interactivo calcula las componentes By y Bz del campo, su módulo y el ángulo que
forma con el eje Y.
Las componentes del campo By y Bz se expresan en términos de (y/a) y (z/a)
El campo en el centro de la espira, z=0, es
El programa interactivo calcula el valor de By y de Bz en unidades del campo en el centro de la
espira
Aproximación: Puntos alejados de la espira. Dipolo
magnético
Partimos de nuevo de las ecuaciones
Si el punto P está lejos de la espira, es decir, si se cumple que
Podemos aproximar el denominador de las dos integrales que nos calculan el campo By y
Bz.
Donde hemos llamado ahora r a
Las componentes del campo para r>>a, son aproximadamente
El campo creado por una bobina de N espiras apretadas es N veces el campo producido por
una de las espiras.
Las dos componentes del campo, By y Bz en el punto P (y, z) las
podemos expresar en una única fórmula.
Donde m=i·πa2 k es el momento dipolar magnético,
señalado mediante una flecha de color rojo.
En el applet se representa las líneas del campo magnético producido por una bobina de
pequeño radio a cuyo momento dipolar magnético m se señala mediante una flecha de
color rojo.
Líneas de campo magnético
Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la
ecuación de las líneas de fuerza es
tal como se muestra en la figura.
La ecuación diferencial de las líneas de fuerza para el dipolo magnético es
Haciendo el cambio de variable
Z=z2, Y=lny
Para integrar esta ecuación diferencial de primer orden escribimos Z=u·v
Igualamos a cero el paréntesis
La ecuación queda
La solución de la ecuación diferencial es,
donde C es una constante de integración
Deshaciendo el cambio de variable
Escribiendo la constante C=D2/3, D tiene dimensiones de longitud
En la figura, se muestra las líneas del campo magnético para D=0.25, 0.5, 0.75 y 1.0
Fuerza entre dos espiras
En la figura, se muestran dos espiras contenidas en planos paralelos de radio a y radio b
separadas una distancia z. Las espiras conducen corrientes Ia e Ib, respectivamente.
Si las corrientes tienen el mismo sentido, la fuerza es atractiva y si tienen sentido contrario,
la fuerza es repulsiva.
El campo magnético producido por la espira de radio a, tiene dos componentes, uno radial
By y la otra axial Bz, y sus valores en la posición que ocupa la segunda espira de radio y=b
es.
La fuerza que ejerce el campo magnético producido por la espira inferior de radio a, sobre
la corriente que circula por la espira superior de radio b es
Como apreciamos en la figura, la componente Bz del campo magnético produce sobre un
elemento de corriente una fuerza Fy cuya dirección es radial. La fuerza neta sobre la espira es cero.
La componente radial By del campo produce sobre un elemento de
corriente dlb=b·dθ una fuerza cuya dirección es a lo largo del eje Z


Positiva (repulsiva), si las corrientes tienen sentido contrario
Negativa (atractiva) si las corrientes tienen el mismo sentido
(como en la figura)
Introduciendo el valor de la componente radial By del campo magnético producido por la espira de
radio a.