Capítulo 11: Inductores

Capítulo 11: Inductores
Los tres componentes básicos en los sistemas eléctricos y electrónicos
son resistencias, condensadores e inductores. El inductor, el cual
estudiaremos en este capítulo, es el dual del condensador. Esto es,
podemos establecer una analogía entre el voltaje a través de un
condensador con la corriente en un inductor, y entre el voltaje a través
de un inductor y la corriente en un condensador.
Según los condensadores almacenan la energía que reciben en un campo
eléctrico, los inductores almacenan la energía que reciben en un campo
magnético.
Sección 11.2: Campo Magnético
Encontramos aplicaciones de la teoría electromagnética en
prácticamente todos los enseres y aparatos eléctricos: motores,
generadores,
transformadores,
circuit
breakers,
televisores,
computadoras, teléfonos, etc.
Consideremos el siguiente imán permanente.
FIG. 11.1 Flux distribution for a
permanent magnet.
Un campo magnético existe en la región que rodea el imán permanente.
Dicho campo magnético puede ser representado por las líneas de flujo
magnético las cuales son similares a las líneas de flujo eléctrico. Sin
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embargo, al contrario de las líneas de flujo eléctrico, las líneas de flujo
magnético no tienen ni punto de origen ni punto de terminación. Las
líneas de flujo magnético existen en bucles continuos.
Las líneas de flujo magnético emanan del polo norte del imán hasta el
polo sur y regresando al polo norte pasando por el interior del imán.
La intensidad de un campo magnético en una región en particular está
directamente relacionada con la densidad de las líneas de flujo en dicha
región. Por ejemplo, la intensidad del campo magnético en el punto a es
el doble de la intensidad del campo magnético en el punto b pues cuenta
con el doble de las líneas de flujo magnético. Esto es compatible con el
comportamiento observado de los imanes permanentes. Mientras más
nos acercamos a los polos, mayor será su fuerza de atracción o
repulsión.
Polos opuestos se atraen y su distribución de flujo magnético es
representada por la siguiente figura.
FIG. 11.2 Flux distribution for two
adjacent, opposite poles.
Polos iguales se repelen y su distribución de flujo magnético es
representada por la siguiente figura.
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FIG. 11.3 Flux distribution for two
adjacent, like poles.
Si un material no ferromagnético, como cristal o cobre, es colocado en el
paso de las líneas de flujo magnético, apenas notamos cambio alguno.
FIG. 11.4 Effect of a ferromagnetic
sample on the flux distribution of a
permanent magnet.
En cambio, si un material ferromagnético como el hierro es colocado en
la paso de las líneas de flujo magnético, las líneas de flujo magnético
pasan a través de dicho material más fácilmente que a través del aire y se
altera el patrón de líneas. Este principio es comúnmente usado para
proteger instrumentos sensitivos.
FIG. 11.5 Effect of a magnetic shield on
the flux distribution.
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Un campo magnético representado por los círculos concéntricos de
líneas de flujo magnético está presente en cada cable a través del cual
pase corriente. Podemos usar la regla de la mano derecha para mostrar la
dirección de las líneas de flujo magnético. El dedo pulgar de la mano
derecha apunta en la dirección de la corriente y los restantes dedos
curvean en la dirección de las líneas de flujo magnético.
FIG. 11.6 Magnetic flux lines around a
current-carrying conductor.
Si, tal y como muestra la siguiente figura, el conductor es alambrado
formando una sola vuelta el flujo magnético resultante fluye en una
dirección a lo largo del centro del embobinado.
FIG. 11.7 Flux distribution of a
single-turn coil.
Si el conductor en vez de formar una sola vuelta forma múltiples vueltas
se produce un campo magnético de mucho mayor intensidad y que existe
en un paso continuo a través y alrededor del embobinado.
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FIG. 11.8 Flux distribution of a
current-carrying coil.
La intensidad del campo magnético del embobinado con múltiples
vueltas puede ser incrementada colocando un material ferromagnético
como hierro, acero o cobalto dentro del embobinado aumentando así la
densidad de flujo dentro del embobinado. De esta forma producimos un
electroimán.
FIG. 11.9 Electromagnet.
En el caso del electroimán podemos usar la regla de la mano derecha
para determinar cuál de los extremos es el polo norte. El dedo pulgar
apunta hacia el polo norte y los dedos curveados apuntan en la dirección
de la corriente.
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FIG. 11.10 Determining the direction of flux for an electromagnet: (a) method; (b)
notation.
El flujo magnético se mide en unidades de Weber (Wb) y se representa
con la letra griega phi, . La densidad de flujo magnético se denota con
la letra B y se mide en Teslas (T),
B=

A
donde
B = Wb/m2 = teslas (T)
 = webers (Wb)
A = metros cuadrados (m2)
FIG. 11.13 Defining the flux density B.
1 tesla es equivalente a 1 Wb/m2. Esto es, si un weber de flujo
magnético pasa a través de un área de un metro cuadrado, entonces la
densidad de flujo magnético es 1 tesla.
La densidad de flujo de un electroimán es función del número de vueltas
del alambre (N) y de la corriente que fluye a través del alambre (I). El
producto del número de vueltas y la corriente nos da la fuerza magnetomotriz, la cual se mide en amperio-vueltas.
F = N I amperio-vueltas
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En otras palabras, si aumentamos la corriente o si aumentamos el
número de vueltas, aumentamos la intensidad del campo magnético. La
fuerza magneto-motriz en circuitos magnéticos es equivalente al voltaje
en circuitos eléctricos, pues si aumenta la corriente, aumenta el voltaje.
A los materiales como el hierro, el acero, el níquel y el cobalto que
poseen la propiedad de fácilmente permitir el paso del flujo magnético
se les conoce como ferromagnéticos. Además, dichos materiales poseen
alta permeabilidad. La permeabilidad () es una métrica de cuán fácil se
pueden establecer líneas de flujo magnético en el material.
Muchas veces usamos la permeabilidad del aire, o, como referencia.
o = 4  x 10-7 Wb/A.m
La permeabilidad de todos los materiales no-magnéticos como cobre,
aluminio, madera, y cristal tienen prácticamente la misma permeabilidad
del aire.
A los materiales que tienen una permeabilidad un poco menor que la del
espacio libre se les conoce como diamagnéticos. A los materiales que
tienen una permeabilidad un poco mayor que la del espacio libre se les
conoce como paramagnéticos. A los materiales con alta permeabilidad
como hierro, níquel, acero, cobalto y aleaciones de estos metales, se les
conoce como ferromagnéticos. Un material ferro magnético tiene una
permeabilidad varios cientos o hasta miles de veces mayor que la del
espacio libre.
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Muchas veces usamos el concepto de permeabilidad relativa para
expresar la permeabilidad de un material con respecto a la permeabilidad
del espacio libre,
 = o r
donde r es la permeabilidad relativa.
Para los materiales ferromagnéticos r > 100, y para los materiales nomagnéticos r = 1.
Sección 11.3: Inductancia
Cualquier alambre embobinado, con o sin un core o núcleo, constituye
un inductor. La inductancia determina la intensidad de campo magnético
producido por una corriente.
La inductancia se mide en Henries. La definición formal de lo que es un
Henry es la siguiente:
Un Henry es el nivel de inductancia que establece un voltaje de un
voltio a través de un embobinado producido por un cambio en
corriente de 1 amperio por segundo.
El valor de la inductancia es función del área dentro del embobinado, el
largo del inductor, la permeabilidad del core o núcleo del embobinado y
del número de vueltas de alambre que tenga el embobinado.
L=
 N2A
l
=
 r o N 2 A
l
Henries
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FIG. 11.16 Defining the parameters
for Eq. (11.6).
Como N, el número de vueltas aparece elevado al cuadrado, N juega un
papel importante en el valor de la inductancia. A mayor número de
vueltas, mayor es la inductancia. Ahora, si tratamos de usar alambre
muy fine para así poder aumentar el número de vueltas, nos corremos el
riesgo de limitar la corriente máxima.
Ejemplo: Para el siguiente inductor con núcleo de aire
FIG. 11.18 Air-core coil for Example 11.1.
a) Calcule la inductancia.
1m
l = 1 in x 39.37in = 0.0254 m
1m
d = 0.25 in x 39.37in = 0.00635 m
A=
 2 
d =
(0.006352) = 3.17 x 10-5
4
4
10
L=
 N2A
l
=
 r o N 2 A
l
(1) (4  x 107 ) (1002 ) (3.17 x 105 )
=
= 15.68 H
0.0254
b) Calcule la inductancia si un núcleo con r = 2000 es insertado
dentro del coil.
L = (2000) (15.68 x 10-6) = 31.36 mH
Tipos de inductores
Los inductores, al igual que las resistencias y los condensadores, pueden
ser de valor fijo o de valor variable.
A continuación podemos observar los distintos símbolos usados para los
distintos tipos de inductores.
FIG. 11.20 Inductor (coil) symbols.
En general, el tamaño del inductor es determinado por el tipo de
construcción, el core o núcleo, y su corriente máxima.
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La siguiente figura muestra inductores variables típicos. Al mover
el tornillo lo que hacemos es que desplazamos el núcleo hacia
adentro o hacia afuera del embobinado. Cuando el núcleo está
completamente dentro del embobinado obtenemos la máxima
inductancia. Cuando el núcleo está casi fuera del embobinado
obtenemos el mínimo de inductancia.
FIG. 11.23 Variable inductors with a typical
range of values from 1 mH to 100 mH;
commonly used in oscillators and various RF
circuits such as CB transceivers, televisions,
and radios.
Si consideramos la resistencia interna del alambre usado en la
construcción del embobinado y la capacitancia creada por los
alambres enrollados obtenemos el siguiente modelo de circuito
para un inductor.
FIG. 11.24 Complete equivalent
model for an inductor.
Si ignoramos la capacitancia parásita entonces obtenemos el
siguiente modelo simplificado que aunque no es tan exacto como
el anterior, es más práctico y sencillo de utilizar.
FIG. 11.25 Practical equivalent model for
an inductor.
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Sección 11.4: Voltaje Inducido
Antes de analizar el comportamiento del inductor desde el punto de vista
de circuito primero necesitamos discutir la ley de inducción
electromagnética de Faraday. Esta ley nos dice que si movemos un
conductor a través de un campo magnético de forma que el conductor
corte las líneas de flujo magnético entonces se induce un voltaje a través
de dicho conductor. Mientras más rápido se mueva el conductor, mayor
será el voltaje inducido. El mismo efecto se logra si el conductor está
fijo y el campo magnético es el que se mueve.
FIG. 11.28 Generating an induced voltage by moving a
conductor through a magnetic field.
La ley de Faraday también nos dice que si movemos un embobinado de
N vueltas a través del cual cruza un campo magnético entonces el voltaje
inducido en el embobinado está dado por la siguiente ecuación,
e=N
donde, por definición,
d
voltios
dt
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d

= lim
t   0 t
dt
A mayor número de vueltas de alambre y mientras más rápido el
alambre pase por el flujo magnético, mayor será el voltaje inducido. Por
d
otro lado, si  es constante, esto es, no cambia con el tiempo,
=0
dt
y e = 0 voltios. Esto es, bajo dichas circunstancias el voltaje inducido es
cero.
Apliquemos ahora todos estos conceptos a un inductor como el mostrado
en la siguiente figura.
FIG. 11.30 Demonstrating the effect of Lenz’s law.
Como hemos visto con la Ley de Faraday, un embobinado en la
vecindad de un flujo magnético que cambia con el tiempo induce un
voltaje. Un cambio en corriente a través del embobinado induce un
voltaje, y dicho voltaje tiene una polaridad que se opone al aumento en
corriente. Mientras más rápido cambie la corriente, mayor será el voltaje
inducido que se opone a dichos cambios en corriente.
La inductancia de un embobinado también es una medida o una métrica
del cambio en flujo magnético enlazando el embobinado como efecto
del cambio en corriente a través del embobinado. Esto es,
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d
L = N di
L
Henries (H)
Ahora, si usamos la regla de la cadena (chain rule) de cálculo I
obtenemos la siguiente expresión.
e = N
d di L
d
di L
= N di
= L
voltios
dt
dt
dt
L
O sea, que el voltaje eL a través de un inductor está dado por la siguiente
relación.
eL = L
di L
= vL voltios
dt
Si la corriente a través del inductor es constante, esto es, no cambio con
el tiempo, entonces
di L
= 0 y vL = 0 voltios. Esto quiere decir que a DC
dt
el inductor se comporta como corto circuito.
Sección 11.5: R-L Transients: The Storage Phase
Consideremos el siguiente circuito en donde el interruptor se cierra
cuando t = 0 segundos.
FIG. 11.31 Basic R-L transient network.
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Las siguientes gráficas muestran la corriente y el voltaje a través del
inductor.
FIG. 11.32 iL, yL, and yR for the
circuit in Fig. 11.31 following the
closing of the switch.
El inductor se opone a los cambios en corriente, y como inicialmente,
antes de que se cerrara el interruptor, la corriente a través del inductor
era cero, un instante después de cerrarse el interruptor la corriente sigue
siendo cero. La corriente va aumentando hasta que el inductor
finalmente se comporta como corto circuito, quedando la corriente final
definida por E/R.
iL =
E
E
(1 – e- t/(L/R)) = (1 – e- t/) A
R
R
Inicialmente, como la corriente a través del inductor es cero, no hay
caída en voltaje a través de la resistencia y el voltaje de la batería
aparece reflejado a través del inductor. Eventualmente, cuando el
inductor se comporta como corto circuito, el voltaje a través del inductor
es cero.
vL = E e- t/(L/R) = E e- t/
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 = L/R segundos es la constante de tiempo.
Vemos un comportamiento similar al que habíamos visto cuando un
condensador se cargaba. La diferencia es que cuando el condensador se
carga se almacena energía en el campo eléctrico entre las placas. En
cambio, en el inductor se almacena energía en el campo magnético que
se crea alrededor del embobinado.
Ejemplo: En el siguiente circuito el interruptor se cierra cuando t = 0
segundos. Escriba las ecuaciones que describen el comportamiento de iL
y de vL.
FIG. 11.36 Series R-L circuit for
Example 11.3.
=
L
4
=
= 0.002 segundos
2000
R
iL =
iL =
E
(1 – e- t/) A
R
50
5
(1 – e- t/.002) =
(1 – e- 500 t)
2000
200
A
1
iL =
(1 – e- 500 t) A = 25 (1 – e- 500 t) mA
40
vL = E e- t/(L/R) = E e- t/ = 50 e-500t voltios
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Sección 11.7: R-L Transients: The Release Phase
Consideremos el siguiente circuito R-L en serie.
FIG. 11.41 Demonstrating the effect of opening a switch
in series with an inductor with a steady-state current.
Asumamos que el interruptor estuvo cerrado por largo tiempo y el
inductor alcanzó su comportamiento de régimen permanente siendo la
corriente igual a E/R. Tiempo después el interruptor se abre
repentinamente y arquea produciendo una chispa. Esto se debe a que en
un breve instante de tiempo pretendemos que la corriente cambie de E/R
a cero. Como vL = L di/dt, el voltaje vL a través del inductor es alto.
Dicho voltaje, en serie con el voltaje E, aparece entre los contactos del
interruptor.
Ahora utilizaremos un ejemplo para presentar cómo se comporta un
inductor al descargarse.
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Ejemplo: Consideremos el siguiente circuito en donde el interruptor se
cierra en t=0 y mucho más tarde, después de haber llegado a régimen
permanente, se abre.
Primero consideremos el proceso de carga del inductor. El inductor se
carga a través de R1 con constante de tiempo L/R1 = 4/2000 segundos.
Como la resistencia R2 está en paralelo con la batería, vR2 = 50 V.
iL =
50
(1 – e-t/(4/2000)) A = 25 (1 – e-500t) mA
2000
vL = 50 e-500t voltios
Ahora consideremos el proceso de descarga que ocurre a través de las
resistencias R1 y R2 cuando el interruptor se abre. Asumamos que para
cuando se abre el interruptor, iL ya había alcanzado 25 mA. Gracias a R2
no se produce una chispa al abrir el interruptor. La nueva constante de
tiempo es L/(R1 + R2) = 4/(2000 + 3000) = 0.0008 segundos.
iL = 25 e-t/0.0008 mA = 25 e-1250t mA
Como el inductor se opone a cambios en corriente, al abrirse el
interruptor la misma corriente que existía antes de que se abriera el
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interruptor sigue fluyendo a través del inductor, pero la corriente pasa
por R1 y R2.
vL = -(vR1 + vR2)
vL = -5(25) e-1250t = -125 e-1250t voltios
Sección 11.11: Inductores en serie y en paralelo
Como en un circuito en serie la corriente es la misma, las inductancias
en serie se suman.
FIG. 11.56 Inductors in series.
LT = L1 + L2 + L3 + . . . + LN
Para inductores en paralelo, la inductancia total se calcula de la misma
forma en que se calcula la resistencia total para resistencias en paralelo.
FIG. 11.57 Inductors in parallel.
1
1
1
1
1
=
+
+
+...+
L1
L2
L3
LN
LT
Para el caso especial de dos inductores en paralelo,
20
LT =
L1 L2
L1  L2
Ejemplo: Simplifique el siguiente circuito.
FIG. 11.58 Example 11.9.
L2, L3 y L4 están en paralelo. Sea L’ la resultante de la combinación en
paralelo de L2, L3 y L4.
1
1
1
1
+
+
' =
L4
L2
L3
L
1
1
1
1
=
+
+
1 .2
1 .2
1 .8
L'
1
= 2.22
L'
L’ = 0.45 H
L’ está en serie con L1 y con R.
0.56 + 0.45 = 1.01 H
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FIG. 11.59 Terminal equivalent of
the network in Fig. 11.58.
Sección 11.13: Energía almacenada por un inductor
Al igual que un condensador ideal, un inductor ideal no disipa la energía
que se le ha suplido. Almacena esta energía en la forma de un campo
magnético.
Potencia es voltaje multiplicado por corriente.
PL = vL iL
Potencia es energía o trabajo por unidad de tiempo. Por lo tanto, si
construimos la gráfica de PL vs tiempo y sumamos el área bajo la curva
entonces obtenemos la energía almacenada. En cálculo II veremos que
sumar el área bajo la curva consiste en integrar la función.
FIG. 11.65 The power curve for an inductive element under
transient conditions.
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Walmacenada =
1
L I2 joules
2
Ejemplo: Calcule la energía almacenada por el inductor cuando la
corriente ha alcanzado su valor final.
FIG. 11.66 Example 11.12.
Cuando la corriente alcanza su valor final, el inductor, tal y como
muestra la anterior figura, se comporta como un corto circuito.
I=
15
=3A
5
Walmacenada =
Walmacenada =
1
L I2 joules
2
1
(6 x 10-3) (32) = 0.027 joules
2