solución

Examen febrero 2006
Un camión con tres ejes tiene la geometría representada en la figura. Dispone de dos
circuitos de freno, uno para el eje delantero y el segundo para los ejes posteriores. El circuito
de los ejes posteriores consta de una válvula de reducción de presión en la que, en función
de la carga en los ejes posteriores, se puede regular la presión a la que comienza a actuar
p0. El camión presenta los siguientes datos:
Peso sobre el eje anterior: tara 4000 Kg
carga máxima 7000 Kg
Peso sobre cada eje posterior: tara 2000 Kg
carga máxima 12000 Kg
Altura del c.d.g.: tara ht= 900 mm
carga máxima hc=2.000 mm
L=7.700 mm
Determinar:
1. Las curvas de reparto de freno para las situaciones de tara y carga con carretera seca
(µ=0,85)
2. Evolución de las curvas de reparto freno óptimo para tara y carga en función del coeficiente
de adherencia disponible.
3. Definir las leyes de proporción de freno para tara y carga máxima que permitan conjugar
buenas prestaciones de freno y estabilidad direccional , justificando su elección. Cada ley se
definirá mediante dos tramos rectos.
Nota: se supondrá que los dos eje posteriores soportan la misma carga.
M.g
h
c
b
L
Datos:
M_eje_ant_tara
4000
M_eje_ant_carga
7000
M_eje_pos_tara
2000
M_eje_pos_carga
12000
L
7.7
ht
0.9
hc
2
TARA:
M_eje_ant_tara .9.81
Wfst
Carga total:
Wt
2 .M_eje_pos_tara .9.81
Wrst
Wfst
Wrst
4
Wt = 7.848 10
Posición del c.d.g.
Wrst
bt
Wfst
Wfst
ct
.L
bt = 3.85
.L
ct = 3.85
Wrst
Wfst
Wrst
Fórmulas de saturación del freno:
ht .
Fxr
L
µ . Wfst
Fxmft( Fxr , µ )
1
µ.
ht .
Fxf
L
µ . Wrst
Fxmrt( Fxf , µ )
ht
1
L
µ.
ht
L
Saturación simultánea del rozamiento en ambos ejes:
µ . Wfst
Fxfit( µ )
µ .Wt .
ht
Fxrit( µ )
L
µ . Wrst
µ .Wt .
ht
L
Para carretera húmeda µ=0,3
4
Fxfit( 0.3 ) = 1.26 10
4
Fxrit( 0.3 ) = 1.095 10
CARGA:
Wfsc
900 .9.81
Wfsc
M_eje_ant_carga .9.81
Wrsc
Carga total:
Wc
Wfsc
800 .9.81
Wrsc
Wrsc
Posición del c.d.g.
bc
Wrsc
Wfsc
cc
Wfsc
Wfsc
.L
bc = 5.961
.L
cc = 1.739
Wrsc
Wrsc
2 .M_eje_pos_carga .9.81
Fórmulas de saturación del freno:
µ . Wfsc
Fxmfc( Fxr , µ )
1
µ.
hc .
Fxr
L
hc
hc .
Fxf
L
µ . Wrsc
Fxmrc( Fxf , µ )
1
L
µ.
hc
L
Saturación simultánea del rozamiento en ambos ejes:
Fxfic( µ )
µ . Wfsc
µ .Wc .
hc
L
Fxric( µ )
µ . Wrsc
µ .Wc .
hc
L
Para carretera húmeda µ=0,3
4
Fxfic( 0.3 ) = 2.771 10
4
Fxric( 0.3 ) = 6.352 10
Proporción posterior/anterior
Kfrc
Fxfic( 0.3 )
Fxric( 0.3 )
Representación de las curvas de saturación:
Fxrcs
0 , 10 .. Fxric( 0.85 )
Fxfcs
Fxrts
0 , 10 .. Fxrit( 0.85 )
Fxft
Fxrch
0 , 10 .. Fxric( 0.3 )
Fxfch
0 , 10 .. Fxfic( 0.3 )
Fxrth
0 , 10 .. Fxrit( 0.3 )
Fxfth
0 , 10 .. Fxfit( 0.3 )
µ
0 , 0.001 .. 0.85
0 , 10 .. Fxfic( 0.85 )
0 , 10 .. Fxfit( 0.85 )
Kfrc = 0.436
5
1.2 10
5
Fuerza de Freno Eje anterior (N)
1 10
4
8 10
4
6 10
4
4 10
4
2 10
0
0
4
2 10
4
4 10
4
6 10
4
5
5
8 10
1 10
1.2 10
Fuerza de Freno Eje posterior (N)
5
1.4 10
Saturación en Eje Anterior en Tara y Seco
Saturación en Eje Posterior en Tara y Seco
Saturación en Eje Anterior en Carga y Seco
Saturación en Eje Posterior en Carga y Seco
Saturación en Eje Anterior en Tara y Húmedo
Saturación en Eje Posterior en Tara y Húmedo
Saturación en Eje Anterior en Carga y Húmedo
Saturación en Eje Posterior en Carga y Húmedo
Reparto de freno óptimo en función de mu (tara)
Reparto de freno óptimo en función de mu (carga)
En este caso lo que sería el procedimiento normal no sirve ya que la pendiente incial
exigida por la condición en tara es muy alta comparada con la requerida en carga
máxima. Lo más favorable resulta utilizar un único tramo en tara y dos tramos en carga
máxima. La pendiente de la curva utilizada en tara corresponderá al segundo tramo
utilizado en carga máxima
Trazaremos una recta hasta el punto óptimo para µ=0,85 tara.
Kt
Fxfit( 0.85 )
Fxrit( 0.85 )
Fxft( Fxr )
Kt = 1.496
Kt .Fxr
En carga probamos un reparto de freno con dos tramos: el primero que une el origen con el
punto óptimo en húmedo y después aplicamos la pendiente de tara.
1.6
K1c
Fxfic( 0.2 )
K1c = 0.385
Fxric( 0.2 )
if( Fxr < Fxric( 0.2 ) , K1c .Fxr , Fxfic( 0.2 )
Fxfc( Fxr )
Kt .( Fxr
Fxric( 0.2 ) ) )
5
2 10
5
1.5 10
Fxfit( µ )
Fxft ( Fxrts )
5
1 10
Fxfic( µ )
Fxfc ( Fxrcs )
4
5 10
0
0
4
2 10
4
4 10
4
4
5
6 10
8 10
1 10
Fxrit( µ ) , Fxrts , Fxric( µ ) , Fxrcs
5
1.2 10
5
1.4 10
5
1.6 10
Este resultado puede mejorarse. Hacemos que en carga máxima pase el reparto de freno por
el punto óptimo correspondiente a carretera seca y buscamos el punto de corte con la curva
óptima de freno para µ variable.
Antes expresamos la curva Fxf/Fxr óptima de forma explicita eliminando µ de las ecuaciones
correspondientes a Fxfi y Fxri. El resultado es:
Fxfc_opt( Fxrc )
1 . . .
2 hc Fxrc
.
( 2 hc )
Utilizamos un valor para iterar
Fxr_corte
root( Fxfic( 0.85 )
L.Wrsc
Fxr
Kt .( Fxr
4 .hc .Fxrc .L.Wrsc
2
2
L .Wrsc
30000
Fxric( 0.85 ) )
Fxfc_opt( Fxr ) , Fxr )
4 .hc .Fxrc .Wfsc .L
El punto de corte resulta:
5
Fxr_corte = 1.111 10
Fxf_corte
Fxfc_opt( Fxr_corte )
4
Fxf_corte = 6.771 10
Y la ecuación de proporción de freno en carga es:
Fxfc( Fxrc )
if Fxrc < Fxr_corte ,
Fxf_corte .
Fxrc , Fxfic( 0.85 )
Fxr_corte
Kt .( Fxrc
Fxric( 0.85 ) )
5
1.2 10
5
1 10
4
8 10
Fxfit( µ )
Fxft ( Fxrts )
Fxfic( µ )
4
6 10
Fxfc ( Fxrcs )
4
4 10
4
2 10
0
0
4
2 10
4
4 10
4
4
5
6 10
8 10
1 10
Fxrit( µ ) , Fxrts , Fxric( µ ) , Fxrcs
5
1.2 10
5
1.4 10
5
1.6 10
5
1.6 10
5
1.8 10