Oscilaciones electromagnéticas forzadas - Ludifisica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 6: OSCILACIONES ELECTROMAGNÉTICAS –CONCEPTOS GENERALESDiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
Temas
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Introducción
El condensador de capacitancia C vs el resorte de constante de rigidez k: ley de Hooke
La bobina de inductancia L vs el cuerpo de masa m: ley de Faraday vs segunda ley de Newton
Circuitos LC: Oscilaciones electromagnéticas libres
Circuitos RLC: Oscilaciones electromagnéticas amortiguadas
Oscilaciones electromagnéticas forzadas
Antenas
Introducción
Los circuitos cuando poseen elementos capacitivos (capacitancia C) e inductivos (inductancia L) constituyen
lo que se denomina osciladores electromagnéticos. En estos la carga eléctrica q y por lo tanto la corriente
eléctrica i varían armónicamente, es decir son funciones sinusoidales del tiempo. El estudio de estos
circuitos es la base de las telecomunicaciones entre otras aplicaciones tecnológicas. En la Figura 1 se
ilustra el esquema general de un circuito oscilante en donde se considera que el elemento capacitivo es
simplemente un condensador ideal de capacitancia C y el elemento inductivo es simplemente una bobina
ideal de inductancia L.
Figura 1
Existe una IMPRESIONANTE analogía entre un oscilador mecánico, por ejemplo un sistema masa-resorte y
un oscilador electromagnético, la cual no sólo enriquece el análisis de estos sistemas físicos sino que
también facilita su comprensión. Esta analogía es un ejemplo fehaciente de la denominada “economía de
pensamiento” que caracteriza a la física. El desarrollo de éste módulo será con base en ésta analogía: en la
Figura 2 se ilustra esto.
2
Figura 2
En este módulo se considera que los estudiantes ya han cursado fundamentos de electricidad y
magnetismo.
El condensador de capacitancia C vs el resorte de constante de rigidez k: ley de Hooke
El condensador es un dispositivo que almacena energía en el campo electrostático. Se compone de dos
conductores (llamados armaduras o placas) con un material dieléctrico entre ellos o en su defecto el vacío
como es el caso que por facilidad se asumirá en éste módulo. Para cargar un condensador se desplaza carga,
por ejemplo negativa ( -q ), de una de las placas hacia la otra placa; esto se logra hacer empleando por
ejemplo una batería y la energía cedida por ésta a través de un trabajo eléctrico realizado para desplazar
esa carga quedará almacenado en el campo eléctrico que se genera entre las placas: esta energía es la
denominada energía eléctrica (o mejor en este caso, energía electrostática). Al final la armadura que cede
carga negativa queda cargada con +q y la que acepta la carga queda cargada con -q . Este proceso se
ilustra en la Figura 3, en donde también se ilustra el proceso análogo en mecánica en el cual una persona
deforma el resorte realizando un trabajo sobre éste: la elongación ( y ) en este sistema corresponde a la
carga eléctrica ( q ) en el condensador, la energía almacenada en el resorte es la que se denomina energía
potencial elástica que corresponde a la energía eléctrica almacenada en el condensador.
Figura 3
Se debe recordar que el resorte cumple la denominada ley de Hooke, que expresa para la magnitud de la
fuerza deformadora,
F = ky
[1]
en donde k es la constante de rigidez del resorte.
Algo análogo se cumple en un condensador,
V=
1
q
C
3
[2]
en donde V es la diferencia de potencial entre las placas una vez cargadas y C la denominada capacitancia
del condensador. Es decir el rol de la constante de rigidez k del resorte lo hace en el condensador
1
.
C
Así como la constante de rigidez del resorte depende de su material y de su geometría también sucede lo
mismo con la capacitancia en el condensador: depende del dieléctrico entre las armaduras y de la geometría
(el más simpe de todos es el de armaduras planas, denominado condensador plano). El rol de la fuerza
externa
Fext en el resorte lo hace la batería Vext: al final queda un valor igual a V cuando las cargas de las
respectivas armaduras son iguales a +q y -q .
Recordar que la unidad en el SI de la diferencia de potencial V es el voltio (V), de la carga eléctrica q es el
coulomb (C) y de la capacitancia del condensador es el Faradio (F).
La energía elástica almacenada en el resorte es,
U elastica =
1 2
ky
2
[3]
Con base en la analogía mecánica se deduce entonces que la energía eléctrica almacenada en el condensador
(o mejor en su campo eléctrico) es,
U electrica =
11 2
q
2C
[4]
La naturaleza de ambas energías es de energía potencial.
La bobina de inductancia L vs el cuerpo de masa m: ley de Faraday vs segunda ley de Newton
El inductor, que para éste módulo se considera una bobina solenoide, es un dispositivo que almacena energía
en el campo magnético generado por la corriente que lo atraviesa. En la Figura 4 se ilustra un solenoide
ideal el cual es atravesado por una corriente constante i (podría ser mediante el uso de una batería). Si se
disminuye súbitamente la fem (“fuerza electromotriz”) de la batería, la corriente i comienza de inmediato
a disminuir, y por lo tanto con base en la ley de Lenz debe haber una oposición a esta disminución,
apareciendo para ello una fem inducida
ε L que proporciona una corriente adicional en la misma dirección
de i .
4
Figura 4
Si en cambio se aumenta súbitamente la fem de la batería, la corriente i comienza de inmediato a
aumentar, y por lo tanto con base en la ley de Lenz debe haber una oposición a este aumento, apareciendo
para ello una fem inducida
ε L que proporciona una corriente adicional en una dirección opuesta a i .
En cada caso, la fem inducida
ε L actúa oponiéndose al cambio en la corriente. El valor de ε L , es decir su
magnitud, se obtiene aplicando la ley de Faraday,
εL = L
di
dt
[5]
En donde L es la llamada inductancia del inductor, en este caso de la bobina solenoide. Su significado es el
siguiente: una corriente variable en el tiempo que atraviesa el inductor genera una fem
ε L a través del
inductor que es proporcional a la rapidez del cambio de la corriente. La inductancia L es como la “medida
de una especie de inercia del circuito”: observar que el análisis del inductor empleando la ley de Lenz llevó a
concluir que hay una oposición al cambio de la corriente. Aquí es donde es interesante hacer otra analogía
mecánica entre la bobina con inductancia L y un cuerpo con masa m; en éste último se aplica la segunda ley
de Newton, Figura 5,
Fext = m
dV
dt
[6]
Para facilitar la analogía se supuso el cuerpo en movimiento rectilíneo por lo que se ahorró la notación
vectorial de esta ley. Observar que la segunda ley de Newton en mecánica correspondería en la bobina a la
ley de Faraday: la fuerza externa
εL ,
Fext que actúa sobre el cuerpo correspondería a la fuerza electromotriz
la masa m en el cuerpo correspondería a la inductancia L ,la velocidad del cuerpo V=
dx
dt
correspondería a la corriente eléctrica
la corriente eléctrica
i=
dq
dV
y la aceleración del cuerpo
a la variación temporal de
dt
dt
di
.
dt
5
Figura 5
Recordar que la unidad en el SI de V y de
ε L es el voltio (V), de la carga q es el coulomb (C), de la
corriente eléctrica i el amperio (A) y de la inductancia L el Henry (H).
Aplicando en el sistema mecánico el teorema de la energía cinética se obtiene que el trabajo total W
Fext
de
las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m es igual al cambo en su energía cinética,
W Fext = ΔK =
1
1
2
2
mVfinal
 mVinicial
2
2
en donde la energía cinética es,
1
K= mV 2
2
siendo V la rapidez del cuerpo.
Con base en la analogía mecánica se concluiría que la energía magnética, es decir, la energía almacenada en
el campo magnético es,
U magnetica =
1 2
Li
2
[7]
La naturaleza de ésta energía es de energía cinética.
Circuitos LC: Oscilaciones electromagnéticas libres
En esta sección se recurrirá de nuevo a la analogía entre el oscilador electromagnético y el sistema masaresorte, Figura 2. En la Figura 6 se ilustra estos sistemas fuera de su “posición de equilibrio” (que es
equilibrio estable).
Figura 6
Es sabido con base en los módulos anteriores de este curso que el sistema masa resorte en sus oscilaciones
libres obedece la ecuación del oscilador armónico,
d2 y
k
+
y=0
2
dt
m
es decir oscila armónicamente con frecuencia angular propia,
ω=
k
m
y frecuencia propia en Hz,
f=
1 k
2π m
y que por lo tanto las respectivas elongación y velocidad son,
6
y = Asen  ωt + φo 
Vy = ωAcos  ωt + φo 
La energía total (energía mecánica) de este oscilador mecánico es,
E=K+U=
1
1
mV 2 + kx 2
2
2
7
Despreciando las fuerzas disipativas se conserva esta energía: es decir en el oscilador mecánico hay una
permanente conversión de energía cinética en energía potencial y viceversa.
Con base en la analogía mecánica la energía total (energía electromagnética) del oscilador electromagnético
es,
E = U magnetica + U electrica =
1 2 11 2
Li +
q
2
2C
Esta energía se conserva en ausencia de fuerzas disipativas (recordar que se está despreciando la
resistencia eléctrica). Por lo tanto,
dE
1
 di  1 1  dq 
= 0 = L  2i    +
 2q 
dt
2
 dt  2 C  dt 
 d 2q  1 1
1
L  2i   2  +
 2qi   0
2
 dt  2 C
d 2q
1
+
q=0
2
dt
LC
[8]
que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con frecuencia angular propia,
ω=
1
LC
y frecuencia propia en Hz,
f=
1
1
2π LC
[9]
y que por lo tanto las respectivas carga q y corriente eléctrica i son,
q = qmsen  ωt + φo 
i=
dq
= ωq m cos  ωt + φ o 
dt
en donde
q m es la carga máxima almacenada en el condensador.
A la ecuación [8] se puede llegar aplicando la teoría de circuitos, sin embargo en éste módulo se hizo a
través del concepto de energía por considerarlo más ilustrativo para el propósito de esta lección.
En el oscilador electromagnético hay una constante conversión de energía eléctrica en magnética y
viceversa: la eléctrica se almacena en el campo eléctrico del condensador y la magnética se almacena en el
campo magnético de la bobina: se puede empezar cargando inicialmente el condensador, pasado un cuarto
de periodo se ha descargado el condensador y la energía está completamente almacenada en el campo
magnético de la bobina;
pasado medio periodo se vuelve a cargar completamente el condensador y la
energía está almacenada completamente en el campo eléctrico del condensador; en el otro medio ciclo se
repite la misma conversión energética pero con la corriente eléctrica y los campos eléctrico y magnético
cambiando de sentido, Figura 7a. En la Figura 7b se ilustra su analogía mecánica en donde la conversión de
energía se da entre energía cinética y energía potencial.
Figura 7 a: Oscilador electromagnético
8
9
Figura 7b: Oscilador mecánico
Circuitos RLC: Oscilaciones electromagnéticas amortiguadas
En cualquier circuito LC está presente una resistencia eléctrica R (Figura 8) y por lo tanto la energía
electromagnética no permanece constante sino que disminuye al disiparse por el denominado efecto Joule.
Figura 8
La energía disipada en la unidad de tiempo (potencia disipada) es,
dE
= Pdisipada = - Ri 2
dt
y como,
E = U magnetica + U electrica =
1 2 11 2
Li +
q
2
2C
se obtiene,
Li
di
q dq
+
= - Ri 2
dt
c dt
d 2q
R dq
1
+
+
q=0
2
dt
L dt
LC
[10]
que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador amortiguado cuya solución para el caso de
subamortiguamiento es,
q = qm e-γt sen  ωt + φo 
En donde γ corresponde a la constante de amortiguamiento y ω a la frecuencia angular de oscilación,
γ=
R
2L
ω =
ω 2 - γ2
ω=
1
LC
ω
[11]
es la frecuencia propia de la oscilación electromagnética no amortiguada (“libre”). ω es estrictamente
menor que la frecuencia
ω , pero en la mayoría de los casos de interés se puede suponer que son iguales con
un error despreciable.
Tarea: se deja al lector que haga una analogía entre los osciladores electromagnético y mecánico
amortiguados.
Oscilaciones electromagnéticas forzadas
En la Figura 9 se ilustra los osciladores electromagnético y mecánico forzados. Para realizar el análisis se
empleará la analogía mecánica.
10
11
Figura 9
La ecuación diferencial en el caso mecánico es,
F
d2 x
dx
+ 2γ
+ ω2 x = o sen ωf t
2
dt
dt
m
con solución estacionaria,
x = xp = Apsen  ωf t - δ
en donde,
Fo
Ap =
m
tanδ =
ω
2
- ωf2  + 4γ 2ωf2
2
2 γ ωf
ω2  ωf2
Por lo tanto en el caso del oscilador electromagnético la ecuación diferencial es,
ε
d 2q
dq
+ 2γ
+ ω2q = o sen ωf t
2
dt
dt
L
[12]
La solución estacionaria,
q = qmsen  ωf t - δ
y por lo tanto la corriente eléctrica,
[13]
i=
dq
= ωf q m cos  ωf t - δ 
dt
i=
dq
= i m cos  ωf t - δ 
dt
con,
[14]
im = ωf qm la máxima corriente, es decir la amplitud de corriente, en donde,
εo
qm =
ω
L
- ωf2  + 4γ 2ωf2
2
2
y por lo tanto,
ωf ε o
im =
L
im =
tanδ =
ω
2
-ω

2 2
f
2
R 
+ 4   ωf2
 2L 
εo
2

1 
2
 ωf L  + R
ωf C 

[15]
2 γ ωf
ω2  ωf2
ωf L tanδ =
1
ωf C
R
[16]
y la resonancia se da en,
ω  ωf =
1
LC
El factor de calidad Q del oscilador mecánico es,
Q=
ω
f
ω

=
Δωf Δf f
2γ
por lo que Q para el circuito oscilante es,
12
Q=
ω
f
ω ωL

=
=
Δωf Δf f
2γ
R
[17]
En la Figura 10 se ilustra la curva de la potencia P vs la frecuencia externa wf. Recordar que el ancho de
banda wf se toma a la mitad de la potencia.
13
Figura 10
En el oscilador mecánico en resonancia,

la amplitud del oscilador es máxima,

la energía absorbida por el oscilador es máxima,

δ=

la velocidad está en fase con la fuerza impulsora como se observa al operar, es decir, el oscilador
está moviendo en el sentido en que actúa la fuerza impulsora, por lo que se consigue el máximo
aporte de energía.
π
,
2
Por lo tanto en el oscilador electromagnético en resonancia,

la amplitud de corriente
im es máxima,

la energía absorbida por el oscilador electromagnético es máxima,

δ=

la corriente i está en fase con la fem
π
,
2
ε.
Antenas
Una antena es un dispositivo diseñado para transmitir o recibir energía electromagnética. Una antena se
puede reducir a un circuito serie RLC: está construida de alambre, tubos o placas y por lo tanto tendrá
inductancia y una resistencia; una antena tiene capacitancia debido a la cercanía con el suelo y los objetos
que la rodean.
Resonancia en antenas
14
La máxima cantidad de energía radiada por un oscilador electromagnético (circuito oscilante) está a
la “frecuencia de resonancia”. Por lo tanto es importante hacer que una antena esté en resonancia a la
frecuencia en la que se desea transmitir: téngase en cuenta que el mismo dispositivo se puede utilizar para
transmitir o recibir.
En el módulo # 8 de éste curso se analizará el tamaño estimado de las antenas para que funcionen
correctamente. De todas formas éstas son siempre algo más cortas que las calculadas debido a la
capacitancia añadida en los extremos de la antena (“efecto de puntas”): la antena deberá acortarse (bajar
la inductancia) para lograr que entre en resonancia en la frecuencia del diseño. En el módulo # 19 se
profundizará en la teoría electromagnética de la radiación de un antena.
En el oscilador mecánico, la potencia media recibida en estado estacionario es,
Precibida =
Fo2 γωf2
2
m  ω2 - ωf2  + 4γ 2ωf2 


por lo tanto en el oscilador electromagnético, en este caso la antena, la potencia media radiada o recibida
es,
P=
ε o2 Rωf2
2

2
 R  2
2L2  ω2 - ωf2  + 4 
 ωf 
 2L 


Precibida =
ε o2 Rωf2
2
2 L2  ω2 - ωf2  + R 2ωf2 


[17]
Los circuitos resonantes se utilizan en los receptores de radio, en donde se varía la frecuencia de
resonancia del circuito variando la capacidad. Se produce la resonancia cuando la frecuencia natural del
circuito se iguala a una de las frecuencias de las ondas de radio recogidas por la antena. En la resonancia,
aparece una corriente relativamente grande en el circuito de la antena. Si el factor Q del circuito es
suficientemente alto, las corrientes debidas a las frecuencias de otras estaciones que no están en
resonancia serán despreciables en comparación con la correspondiente a la frecuencia de la estación a que
se ha sintonizado el circuito.
FIN