φ Determinación del Empuje Activo Pseudo-estático en un Suelo con c... usando un Software Matemático

Cuarto Coloquio de Jóvenes Geotecnistas
Primer Encuentro de Profesores
Octubre de 2015
Determinación del Empuje Activo Pseudo-estático en un Suelo con c y φ
usando un Software Matemático
Determination of pseudo-static active earth pressure in soil whit c y φ using in mathematical
software
Isaac A. BAÑUELOS1, César GALLEGOS1, María G. GÓMEZ1, Luis A. MUÑOZ1 y Ricardo RODRIGUEZ2
1Estudiante
2
de sexto semestre, ESIA Unidad Zacatenco, IPN, México.
Profesor asesor, ESIA Unidad Zacatenco, IPN, México.
RESUMEN
Este trabajo se hizo con el fin de determinar el empuje activo estático y pseudoestático para un suelo con c y
φ en una estructura tipo gravedad codificando el método grafico de Culmann en un software matemático. Se
considera que el muro tiene cohesión, fricción y peso para evaluar la magnitud y posición del empuje activo
pseudoestático. Para las condiciones sísmicas es necesario en primera instancia, determinar la presión de
tierra activa dinámica. Se comparan algunas soluciones analíticas con la solución gráfica. Se aprecia que la
construcción grafica describe un patrón, en las cuñas de falla, que representan áreas iguales. La posición del
empuje activo para Culmann modificado es igual que 2/3H como lo indican las teorías analíticas y la
magnitud del método grafico es mayor que las soluciones analíticas.
PALABRAS CLAVE. Empuje, Activo, Pseudoestático, Software Matemático
ABSTRAC
This work was done in order of determination of pseudo-static active earth pressure in soil whit c y φ in gravity
type structure using encoding the Culmann’s graphic method in mathematical software. Self-propose in gravity type wall considering cohesion, friction and weight for evaluate size and position of pseudo-static active
earth pressure. For design of retention wall under seismic condition, in first instance is necessary, determination of active dynamic earth pressure. Some analytics solutions are compared with the graphic solution. It is
appreciated that the graph construction describes a pattern, in the fault wedge, which represents equal areas.
The position of the active push for modified Culmann is equal to 2 / 3H as indicated by analytical theories and
magnitude of the graphical method is greater than the analytical solutions.
KEYWORDS. Pressure, Active, Pseudo-static, Mathematical Software
1 INTRODUCCION
En este trabajo se presenta el cálculo del empuje
activo estático siguiendo un modelo de referencia,
analizado con los métodos de Rankine, Coulomb,
Culmann y el empuje activo pseudoestático con
Culmann modificado, Mononobe-Okabe, Chen y Liu,
y Shukla, codificando la solución de los primeros
cuatro métodos en un software matemático.
2 ESFUERZOS LATERALES ESTÁTICOS EN
MUROS DE RETENCIÓN
El comportamiento sísmico de un muro de retención
depende del esfuerzo de tierra lateral total que se
desarrolla durante un sismo. Este esfuerzo total
incluye: 1) el esfuerzo gravitacional estático que
existe antes de que ocurra un sismo, y 2) el esfuerzo
dinámico transitorio inducido por el sismo. Puesto
que la respuesta del muro es influenciada por
ambos, se hace un breve resumen del esfuerzo
estático y dinámico de tierra.
En la literatura se utilizan diferentes notaciones
para la definición de la geometría del problema así
como para los parámetros de resistencia. Con el fin
de presentar de manera adecuada los resultados
obtenidos y, de evitar confusiones en los símbolos
se adoptó un modelo de referencia como el que se
muestra en la Figura 1. Se trata de un muro de
gravedad de 8 metros de altura, con relleno
inclinado, con cara interna del muro inclinada, con
cohesión, fricción, y con sobrecarga uniforme en una
área infinita.
Figura1. Modelo de referencia con la geometría de
problema.
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2
Determinación del Empuje Activo Pseudoestático en un Suelo con c y  usando un Software Matemático
Donde:
: Peso unitario del suelo
: ángulo de fricción interna del suelo
c: cohesión
q: sobrecarga uniforme en un área infinita
H: altura del muro
: ángulo de dilatación del suelo
: ángulo de inclinación del relleno con respecto a la
horizontal
: ángulo de inclinación de la cara interna del muro
con respecto a la vertical
: ángulo de fricción entre suelo y muro
: componente del ángulo de dilatación
considerando la fricción suelo-muro
: ángulo de la superficie de falla plana con respecto
a la horizontal
: ángulo de inclinación del coeficiente sísmico, k,
con respecto a la vertical (ángulo de inercia sísmica)
ka: coeficiente del empuje activo de tierra
kae: coeficiente del empuje activo sísmico de tierra
kh: coeficiente sísmico horizontal
kv: coeficiente sísmico vertical
Ea: empuje activo estático
Ead: empuje activo pseudo-estático
La Figura 1 ilustra la geometría y simbología
adecuada. El subíndice ae indica la condición
sísmica para el estado de esfuerzo activo. El sistema
de carga estático se indica sin subíndice.
2.1 Solución de Rankine
Rankine (1857) desarrolló un procedimiento sencillo
para el cálculo de los esfuerzos laterales de tierra
mínimo activo y máximo pasivo. Para las
condiciones de esfuerzo lateral mínimo activo,
Rankine expreso el esfuerzo en un punto detrás del
muro de retención como:
1, de la magnitud relativa de los parámetros de
resistencia del suelo, fricción y cohesión. Este
método no toma en cuenta la fricción suelo-muro. La
presencia de la cohesión indica que se desarrollan
esfuerzos de tensión entre la parte superior del muro
y del relleno. La fluencia, la relajación de esfuerzos,
y las características de baja permeabilidad de los
suelos cohesivos, lo hace indeseables como material
de relleno para los muros de retención y su uso debe
evitarse en la medida de lo posible.
Para un relleno sin cohesión, homogéneo y seco,
la teoría de Rankine predice una distribución de
esfuerzo lateral activo de forma triangular paralela a
la superficie del relleno. La resultante de la fuerza
activa, o el empuje activo, Ea, actúa en un punto
localizado a H/3, con una magnitud de
(4)
2.2 Solución de Coulomb
Coulomb (1776) fue el primero en estudiar el
problema del esfuerzo lateral de tierra en estructuras
de retención. Suponiendo que la fuerza que actúe en
la parte posterior de un muro de retención proviene
del peso de una cuña de suelo por encima de una
superficie de falla plana, Coulomb usa el equilibrio
de fuerzas para determinar la magnitud del empuje
que actúa en el muro para las condiciones mínima
activa y máxima pasiva. Dado que el problema es
indeterminado, se deben analizar un número de
posibles superficies potenciales de falla para
identificar la superficie de falla crítica, es decir, la
superficie el mayor empuje activo. Para la superficie
de falla crítica, el empuje activo en un muro de
retención, como el mostrado en la Figura 1, en un
suelo sin cohesión, es el que se determina mediante
la ecuación 4. Donde:
(1)
Donde Ka es el coeficiente de esfuerzo mínimo
activo de tierra, v es el esfuerzo vertical efectivo en
el punto de interés, y c es la resistencia “cohesiva”
del suelo. Cuando los planos de esfuerzos
principales son el vertical y el horizontal (como en el
caso de un muro liso y vertical, reteniendo un relleno
horizontal) el coeficiente de esfuerzo lateral de tierra
activo mínimo es:
(2)
(5)
 es el ángulo de fricción de la interface entre el
muro y el suelo, mientras que  y β se muestran en
la Figura 1.
La superficie de falla crítica está inclinada un
ángulo:
(6)
A la horizontal donde:
Para el caso de un relleno sin cohesión inclinado
en un ángulo  con respecto a la horizontal, se usan
las soluciones para un talud infinito (Terzaghi, 1943,
Taylor, 1948) para calcular ka
(3)
Para ≤ . La distribución del esfuerzo lateral
detrás del muro depende, como lo indica la ecuación
La teoría de Coulomb no predice explícitamente la
distribución del esfuerzo lateral activo, pero se ha
demostrado que sigue una distribución triangular
cuando la superficie del relleno no tiene carga. En tal
caso el empuje activo, Ea, actúa en un punto
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BAÑUELOS I.A. et al.
localizado a H/3 por encima de la base del muro de
altura H
3 ESFUERZOS LATERALES
MUROS DE RETENCIÓN
SÍSMICOS
3
Donde el coeficiente de activo sísmico, kae, está
dado por:
EN
(8)
El diseño sísmico de muros de retención implica
calcular las fuerzas impuestas al muro durante un
sismo, y luego verificar que el muro sea capaz de
soportar estas fuerzas. Debido a la complicación en
la determinación de las fuerzas sísmicas en un muro
de retención, en la práctica se usan métodos
simplificados.
(9)
Donde φ-≥. La superficie de falla crítica, la cual
es más tendida que la superficie de falla crítica para
condiciones estáticas, está inclinada un ángulo
(Zarrabi-Kashani, 1979).
(10)
Un sismo tiene dos efectos en un sistema murosuelo. Uno es aumentar las fuerzas actuantes, y el
otro es disminuir fuerzas resistentes (reducción de la
resistencia al corte del suelo). La reducción de la
resistencia al corte de un suelo se da cuando la
magnitud del sismo excede un valor límite y las
condiciones del terreno favorecen tal reducción. La
evaluación de dicha reducción requiere un
conocimiento considerable de ingeniería sísmica y
de dinámica de suelos.
En el análisis pseudo-estático del esfuerzo lateral
sísmico de tierra, se hacen tres suposiciones
básicas: 1) un coeficiente sísmico constante, k, para
toda la masa de suelo, 2) la fuerza sísmica, igual a k
veces la masa de suelo, actúa en el centro de
gravedad de la masa de suelo que desliza y; 3) La
fuerza sísmica actúa en la dirección del ángulo  a
partir de la vertical como se muestra en la Figura 1.
3.1 Solución de Mononobe-Okabe
Okabe (1926) y Mononobe y Matsuo (1929)
desarrollaron las bases de un análisis pseudoestático para determinar el esfuerzo lateral sísmico
en una estructura de retención que se ha hecho
popular y se conoce como el método de MononobeOkabe, M-O. Este método es una extensión directa
de la teoría de Coulomb estática a condiciones
pseudo-estáticas. En un análisis M-O se aplican
aceleraciones pseudo-estáticas a la cuña activa de
Coulomb. El empuje pseudo-estático del suelo se
obtiene a partir de las fuerzas de equilibrio de la
cuña. Además de las fuerzas estáticas, las fuerzas
que actúen en la cuña activa, en un relleno sin
cohesión y seco, están conformadas por fuerzas
pseudo-estáticas horizontales y verticales, cuyas
magnitudes se relacionan con la masa del suelo de
la cuña por aceleraciones pseudo-estáticas ah = khg
y av= kvg. (g es la aceleración de la gravedad). El
empuje activo total se expresa en forma similar a la
desarrollada para condiciones estáticas.
Ead=
(7)
El método de M-O implica que la resultante del
empuje activo total debe actuar en un punto H/3 por
encima de la base del muro de altura H, sin embargo
resultados experimentales sugieren que actúa en un
punto más alto en condiciones de carga dinámica. El
empuje total activo, Ead, se divide en su componente
estática, Ea, y en su componente dinámica, Ead.
(11)
Se conoce que la componente estática actúa en
H/3 por encima de la base del muro. Seed y
Whitman (1970) recomiendan que la componente
dinámica actúe en, aproximadamente, 0.66 H. Sobre
esta base, el empuje total activo actuará a una altura
h:
(12)
Por encima de la base del muro. El valor de h
depende de las magnitudes relativas de Ea y Ead, la
cual a menudo, termina cerca de la altura media del
muro. El método M-O muestra que k v, cuando se
toma como la mitad de dos tercios del valor de k h,
afecta el valor de Ead por menos que el 10%. Seed y
Whitman (1970) concluyen que la aceleración
vertical se puede ignorar cuando se usa el método
de M-O para diseños típicos de muro.
3.2 Métodos de análisis límite
3.2.1 Solución de frontera superior
Chen y Rosenfard (1973), Chang (1981) han
deducido formulaciones del empuje activo sísmico,
en las cuales se expresa el empuje del suelo en
términos de coeficientes equivalentes de esfuerzo
lateral de tierra. El coeficiente de empuje activo
sísmico, kae es:
(13)
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4
Determinación del Empuje Activo Pseudoestático en un Suelo con c y  usando un Software Matemático
= coeficientes basados en la teoría de
Chen y Liu (1990)
Para
propósitos
prácticos
los
autores
proporcionan los valores de kae a partir del uso de
tablas
Tabla 1. Valores del coeficiente de empuje activo sísmico
propuesto por el método de límite superior de los
mecanismos de falla (Chang, 1981 citado por Chen y Liu,
1990)
3.3 Solución Analítica
Shukla y Bathurst (2012), proponen el uso de una
expresión analítica para determinar el empuje activo
pseudo-estático como:
(14)
Dónde:
(15)
- El peso de la cuña deberá marcarse en el
segmento ( ) como D1, D2, D3… Dn.
- A partir de los puntos D1, D2, D3… Dn deberá
trazar un segmento paralelo =.
- El
segmento
conformado
por:
y se mide a partir del
segmento AB.
- Con la unión de los puntos F1, F2, F3… Fn se
dibujara la curva de Culmann, iniciando desde
el punto A.
- Se traza una tangente a la curva, paralela al
segmento
- El punto máximo donde la tangente toca a la
curva la distancia de DmFm será el valor de
empuje activo.
- La cuña de desplazamiento real puede trazarse
con una recta del punto A hasta Fm “valor
máximo en la curva”, formando el punto Cm.
- Para encontrar el punto donde se localiza el
empuje activo en el muro se utiliza solo la
cuña de falla.
- Se ubica el centroide de la figura por C, A, Cm.
- Se traza una línea paralela a la línea de corte
ACm, tocando en un punto el respaldo del
muro, punto Po.
4.2 Solución Culmann modificado
Este método agrega la condición sísmica para lo
cual modifica  y  de la siguiente manera:
= (17)
 = (90-(++))
(18)
(16)
4.3 Solución con el Software Matemático
(16)
= son coeficientes de empuje activo
sísmicos asociados con su peso unitario y a la
cohesión.
k= factor de la grieta de tensión
= ángulo de la cuña de falla calculada con Shukla
y Bathurst (2012)
=adhesión calculada con Shukla y Bathurst (2012)
4 ESFUERZO LATERAL DE TIERRA POR
MÉTODOS GRAFÍCOS
4.1 Solución Culmann
Este método tiene como principal característica
encontrar el empuje activo máximo, los pasos para
su construcción se describen brevemente.
- Trazar desde el punto a un segmento con una
inclinación =  a partir de la horizontal
.
- Trazar rectas a partir del punto A cortando
equidistantemente al talud (supuestos planos
de
falla)
para
formar
los
segmentos,
, etcétera.
- Integrar el área formada por (C1, A, C), (C2, A,
C1) y sucesivamente las siguientes.
Las soluciones estáticas proporcionadas por
Rankine, Coulomb y Culmann se codificaron en un
software matemático, con el fin de comparar las
soluciones numéricas en cuanto a magnitud y
posición del empuje activo total con la solución de
Culmann. Asimismo, se codifico la solución de
Culmann modificado, y se compararon los resultados
con la solución del límite superior y con la solución
analítica de la magnitud y posición del empuje activo
pseudo-estático.
INICIO
Ángulos (,,,), peso
específico ( ) del relleno,
sobrecarga (q0), resistencia al
esfuerzo cortante (c), altura del
muro, corona.
Calculo del empuje con
coordenadas, gráfico y
analítico.
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BAÑUELOS I.A. et al.
5
adecuados para el cálculo del empuje activo estático
debido a sus condiciones, localizando la distancia en
donde es factible construir.
a)
Empuje activo
gráfico con
coordenadas.
FIN
b)
Figura 2. Diagrama de flujo del software matemático,
basados en el modelo presentado en la Fig1.
5 RESULTADOS
Siguiendo el diagrama anterior Figura 2, se presenta
las siguientes imágenes:
La figura 6 muestra la cuña de falla de Rankine
elaborada por el software matemático, la magnitud
del empuje es igual que la obtenida en la tabla 2, la
posición se encuentra a H/3 por encima de la base.
La Figura 7 representa la cuña de falla por
Coulomb, la magnitud es igual a la tabla, la posición
se localiza a H/3 por encima de la base.
C)
d)
Figura 6. Solución grafica de Rankine
Figura 4. Desarrollo de Culmann estático con cohesión. a)
ingreso de las características del modelo de referencia
Fig1, b) Proceso, c) Solución gráfica, d) Resultado.
a)
Figura 7. Solución grafica de coulomb
b)
La Figura 4b -5b muestran el proceso para
obtener la cuña de falla por medio del software
matemático, se aprecia que la cohesión incrementa
o disminuye la cuña de falla, esto debido a que
incrementa la grieta de tensión. La figura 4c-5c
muestra la magnitud y posición, siendo más
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6
Determinación del Empuje Activo Pseudoestático en un Suelo con c y  usando un Software Matemático
c)
d)
c)
Figura 8. Solución de Culmann modificado con cohesión.
a) Datos de ingreso, b) Proceso, c) Solución gráfica, d)
Resultado.
En la Figura 8c se aprecia la cuña de falla pseudoestática, la magnitud es mayor que las obtenidas en
la tabla 5, la posición se encuentra a 2/3H de la
base, resultando igual que la tabla5.
d)
a)
Figura 5. Desarrollo de Culmann estático sin cohesión. a)
Ingreso de las características del modelo de referencia
Fig1, b) Proceso, c) Solución gráfica, d) Resultado.
Para las soluciones pseudo- estáticas mediante el
software matemático se obtuvieron las siguientes
imágenes de Culmann modificado.
a)
b)
b)
c)
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BAÑUELOS I.A. et al.
d)
Figura 9. Solución de Culmann modificado sin cohesión.
a) Datos de ingreso, b) Proceso, c) Solución gráfica, d)
Resultado.
La figura 9c muestra la cuña de falla pseudo-estática
sin cohesión, se obtiene que la magnitud y posición
es igual que la tabla 5.
.
Método
Ea (kN)
Posición (m) c
Culmann
293.289
2.421

Culmann
342.087
2.654
Rankine
157.872
2.670

Coulomb
289.55
2.654

Tabla 2. Soluciones gráficas estáticas con y sin cohesión.
Método
ka
Rankine
Coulomb
Rankine
Coulomb
.35
.54
.35
.54
Ea (kN)
Posición
(m)
2.493
2.610
3.039
3.033
161.304
287.275
239.809
389.44
c


En el proceso del software matemático, entre más
números se divida la cuña de falla existe mayor
precisión y representan áreas iguales.
Las soluciones analíticas y graficas estáticas son
iguales.
La solución de Rankine (gráfico y analítico), es
menor que los métodos de Coulomb y Culmann para
el empuje activo estático.
En la solución analítica y grafica pseudoestática
sin cohesión es igual.
En los métodos analíticos para determinar empuje
activo pseudo-estático con cohesión, son menores
que el gráfico.
La posición del empuje activo pseudo-estático,
Ead, obtenidos por el método de Culmann
modificado se localiza a 2/3 H, por encima de la
base del muro, esto coincide con la posición que
señalan las teorías.
La solución grafica da a conocer la distancia más
factible para construir.
REFERENCIAS
Whitlow R. (1994) “Fundamentos de Mecánica de
Suelos”, México, DF: CECSA.
Shukla K.S y Bathurst R.J (2012), “An analytical
expression for the dynamic active thrust from c-
soil backfill on retaining walls with wall friction and
adhesion”. Geomechanics and Engineering, Vol.
4, No. 3:209-218.
Visone C. y Santucci de Magistris F. (2008), “A
review of design methods for retaining structures
under
seismic
loadings”.
Structural
and
Geotechnical Dynamic Lab StreGa, University of
Molise, Termoli (CB), Italy
Santucci de Magistris F. (2008), “PerformanceBased approach in seismic design of Embedded
Retaining walls”, Italy.
Tabla 3. Soluciones analíticas estáticas con y sin cohesión
Método
Culmann
modificado
Culmann
modificado
Ead (kN)
410.901
Posición (m)
5.35
361.990
5.25
c

Tabla 4. Solución grafica pseudoestática con y sin
cohesión
Método
kae
Ead(kN) Posición (m) c
Mononobe- .690
407.149 5.33
Okabe
Chen y Liu .250
147.136 5.28

Shukla
-------- 137.146 5.28

. Tabla 5. Soluciones analíticas pseudoestáticas con y sin
cohesión
6
7
CONCLUSIONES
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