Cuarto Coloquio de Jóvenes Geotecnistas Primer Encuentro de Profesores Octubre de 2015 Determinación del Empuje Activo Pseudo-estático en un Suelo con c y φ usando un Software Matemático Determination of pseudo-static active earth pressure in soil whit c y φ using in mathematical software Isaac A. BAÑUELOS1, César GALLEGOS1, María G. GÓMEZ1, Luis A. MUÑOZ1 y Ricardo RODRIGUEZ2 1Estudiante 2 de sexto semestre, ESIA Unidad Zacatenco, IPN, México. Profesor asesor, ESIA Unidad Zacatenco, IPN, México. RESUMEN Este trabajo se hizo con el fin de determinar el empuje activo estático y pseudoestático para un suelo con c y φ en una estructura tipo gravedad codificando el método grafico de Culmann en un software matemático. Se considera que el muro tiene cohesión, fricción y peso para evaluar la magnitud y posición del empuje activo pseudoestático. Para las condiciones sísmicas es necesario en primera instancia, determinar la presión de tierra activa dinámica. Se comparan algunas soluciones analíticas con la solución gráfica. Se aprecia que la construcción grafica describe un patrón, en las cuñas de falla, que representan áreas iguales. La posición del empuje activo para Culmann modificado es igual que 2/3H como lo indican las teorías analíticas y la magnitud del método grafico es mayor que las soluciones analíticas. PALABRAS CLAVE. Empuje, Activo, Pseudoestático, Software Matemático ABSTRAC This work was done in order of determination of pseudo-static active earth pressure in soil whit c y φ in gravity type structure using encoding the Culmann’s graphic method in mathematical software. Self-propose in gravity type wall considering cohesion, friction and weight for evaluate size and position of pseudo-static active earth pressure. For design of retention wall under seismic condition, in first instance is necessary, determination of active dynamic earth pressure. Some analytics solutions are compared with the graphic solution. It is appreciated that the graph construction describes a pattern, in the fault wedge, which represents equal areas. The position of the active push for modified Culmann is equal to 2 / 3H as indicated by analytical theories and magnitude of the graphical method is greater than the analytical solutions. KEYWORDS. Pressure, Active, Pseudo-static, Mathematical Software 1 INTRODUCCION En este trabajo se presenta el cálculo del empuje activo estático siguiendo un modelo de referencia, analizado con los métodos de Rankine, Coulomb, Culmann y el empuje activo pseudoestático con Culmann modificado, Mononobe-Okabe, Chen y Liu, y Shukla, codificando la solución de los primeros cuatro métodos en un software matemático. 2 ESFUERZOS LATERALES ESTÁTICOS EN MUROS DE RETENCIÓN El comportamiento sísmico de un muro de retención depende del esfuerzo de tierra lateral total que se desarrolla durante un sismo. Este esfuerzo total incluye: 1) el esfuerzo gravitacional estático que existe antes de que ocurra un sismo, y 2) el esfuerzo dinámico transitorio inducido por el sismo. Puesto que la respuesta del muro es influenciada por ambos, se hace un breve resumen del esfuerzo estático y dinámico de tierra. En la literatura se utilizan diferentes notaciones para la definición de la geometría del problema así como para los parámetros de resistencia. Con el fin de presentar de manera adecuada los resultados obtenidos y, de evitar confusiones en los símbolos se adoptó un modelo de referencia como el que se muestra en la Figura 1. Se trata de un muro de gravedad de 8 metros de altura, con relleno inclinado, con cara interna del muro inclinada, con cohesión, fricción, y con sobrecarga uniforme en una área infinita. Figura1. Modelo de referencia con la geometría de problema. SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 2 Determinación del Empuje Activo Pseudoestático en un Suelo con c y usando un Software Matemático Donde: : Peso unitario del suelo : ángulo de fricción interna del suelo c: cohesión q: sobrecarga uniforme en un área infinita H: altura del muro : ángulo de dilatación del suelo : ángulo de inclinación del relleno con respecto a la horizontal : ángulo de inclinación de la cara interna del muro con respecto a la vertical : ángulo de fricción entre suelo y muro : componente del ángulo de dilatación considerando la fricción suelo-muro : ángulo de la superficie de falla plana con respecto a la horizontal : ángulo de inclinación del coeficiente sísmico, k, con respecto a la vertical (ángulo de inercia sísmica) ka: coeficiente del empuje activo de tierra kae: coeficiente del empuje activo sísmico de tierra kh: coeficiente sísmico horizontal kv: coeficiente sísmico vertical Ea: empuje activo estático Ead: empuje activo pseudo-estático La Figura 1 ilustra la geometría y simbología adecuada. El subíndice ae indica la condición sísmica para el estado de esfuerzo activo. El sistema de carga estático se indica sin subíndice. 2.1 Solución de Rankine Rankine (1857) desarrolló un procedimiento sencillo para el cálculo de los esfuerzos laterales de tierra mínimo activo y máximo pasivo. Para las condiciones de esfuerzo lateral mínimo activo, Rankine expreso el esfuerzo en un punto detrás del muro de retención como: 1, de la magnitud relativa de los parámetros de resistencia del suelo, fricción y cohesión. Este método no toma en cuenta la fricción suelo-muro. La presencia de la cohesión indica que se desarrollan esfuerzos de tensión entre la parte superior del muro y del relleno. La fluencia, la relajación de esfuerzos, y las características de baja permeabilidad de los suelos cohesivos, lo hace indeseables como material de relleno para los muros de retención y su uso debe evitarse en la medida de lo posible. Para un relleno sin cohesión, homogéneo y seco, la teoría de Rankine predice una distribución de esfuerzo lateral activo de forma triangular paralela a la superficie del relleno. La resultante de la fuerza activa, o el empuje activo, Ea, actúa en un punto localizado a H/3, con una magnitud de (4) 2.2 Solución de Coulomb Coulomb (1776) fue el primero en estudiar el problema del esfuerzo lateral de tierra en estructuras de retención. Suponiendo que la fuerza que actúe en la parte posterior de un muro de retención proviene del peso de una cuña de suelo por encima de una superficie de falla plana, Coulomb usa el equilibrio de fuerzas para determinar la magnitud del empuje que actúa en el muro para las condiciones mínima activa y máxima pasiva. Dado que el problema es indeterminado, se deben analizar un número de posibles superficies potenciales de falla para identificar la superficie de falla crítica, es decir, la superficie el mayor empuje activo. Para la superficie de falla crítica, el empuje activo en un muro de retención, como el mostrado en la Figura 1, en un suelo sin cohesión, es el que se determina mediante la ecuación 4. Donde: (1) Donde Ka es el coeficiente de esfuerzo mínimo activo de tierra, v es el esfuerzo vertical efectivo en el punto de interés, y c es la resistencia “cohesiva” del suelo. Cuando los planos de esfuerzos principales son el vertical y el horizontal (como en el caso de un muro liso y vertical, reteniendo un relleno horizontal) el coeficiente de esfuerzo lateral de tierra activo mínimo es: (2) (5) es el ángulo de fricción de la interface entre el muro y el suelo, mientras que y β se muestran en la Figura 1. La superficie de falla crítica está inclinada un ángulo: (6) A la horizontal donde: Para el caso de un relleno sin cohesión inclinado en un ángulo con respecto a la horizontal, se usan las soluciones para un talud infinito (Terzaghi, 1943, Taylor, 1948) para calcular ka (3) Para ≤ . La distribución del esfuerzo lateral detrás del muro depende, como lo indica la ecuación La teoría de Coulomb no predice explícitamente la distribución del esfuerzo lateral activo, pero se ha demostrado que sigue una distribución triangular cuando la superficie del relleno no tiene carga. En tal caso el empuje activo, Ea, actúa en un punto SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. BAÑUELOS I.A. et al. localizado a H/3 por encima de la base del muro de altura H 3 ESFUERZOS LATERALES MUROS DE RETENCIÓN SÍSMICOS 3 Donde el coeficiente de activo sísmico, kae, está dado por: EN (8) El diseño sísmico de muros de retención implica calcular las fuerzas impuestas al muro durante un sismo, y luego verificar que el muro sea capaz de soportar estas fuerzas. Debido a la complicación en la determinación de las fuerzas sísmicas en un muro de retención, en la práctica se usan métodos simplificados. (9) Donde φ-≥. La superficie de falla crítica, la cual es más tendida que la superficie de falla crítica para condiciones estáticas, está inclinada un ángulo (Zarrabi-Kashani, 1979). (10) Un sismo tiene dos efectos en un sistema murosuelo. Uno es aumentar las fuerzas actuantes, y el otro es disminuir fuerzas resistentes (reducción de la resistencia al corte del suelo). La reducción de la resistencia al corte de un suelo se da cuando la magnitud del sismo excede un valor límite y las condiciones del terreno favorecen tal reducción. La evaluación de dicha reducción requiere un conocimiento considerable de ingeniería sísmica y de dinámica de suelos. En el análisis pseudo-estático del esfuerzo lateral sísmico de tierra, se hacen tres suposiciones básicas: 1) un coeficiente sísmico constante, k, para toda la masa de suelo, 2) la fuerza sísmica, igual a k veces la masa de suelo, actúa en el centro de gravedad de la masa de suelo que desliza y; 3) La fuerza sísmica actúa en la dirección del ángulo a partir de la vertical como se muestra en la Figura 1. 3.1 Solución de Mononobe-Okabe Okabe (1926) y Mononobe y Matsuo (1929) desarrollaron las bases de un análisis pseudoestático para determinar el esfuerzo lateral sísmico en una estructura de retención que se ha hecho popular y se conoce como el método de MononobeOkabe, M-O. Este método es una extensión directa de la teoría de Coulomb estática a condiciones pseudo-estáticas. En un análisis M-O se aplican aceleraciones pseudo-estáticas a la cuña activa de Coulomb. El empuje pseudo-estático del suelo se obtiene a partir de las fuerzas de equilibrio de la cuña. Además de las fuerzas estáticas, las fuerzas que actúen en la cuña activa, en un relleno sin cohesión y seco, están conformadas por fuerzas pseudo-estáticas horizontales y verticales, cuyas magnitudes se relacionan con la masa del suelo de la cuña por aceleraciones pseudo-estáticas ah = khg y av= kvg. (g es la aceleración de la gravedad). El empuje activo total se expresa en forma similar a la desarrollada para condiciones estáticas. Ead= (7) El método de M-O implica que la resultante del empuje activo total debe actuar en un punto H/3 por encima de la base del muro de altura H, sin embargo resultados experimentales sugieren que actúa en un punto más alto en condiciones de carga dinámica. El empuje total activo, Ead, se divide en su componente estática, Ea, y en su componente dinámica, Ead. (11) Se conoce que la componente estática actúa en H/3 por encima de la base del muro. Seed y Whitman (1970) recomiendan que la componente dinámica actúe en, aproximadamente, 0.66 H. Sobre esta base, el empuje total activo actuará a una altura h: (12) Por encima de la base del muro. El valor de h depende de las magnitudes relativas de Ea y Ead, la cual a menudo, termina cerca de la altura media del muro. El método M-O muestra que k v, cuando se toma como la mitad de dos tercios del valor de k h, afecta el valor de Ead por menos que el 10%. Seed y Whitman (1970) concluyen que la aceleración vertical se puede ignorar cuando se usa el método de M-O para diseños típicos de muro. 3.2 Métodos de análisis límite 3.2.1 Solución de frontera superior Chen y Rosenfard (1973), Chang (1981) han deducido formulaciones del empuje activo sísmico, en las cuales se expresa el empuje del suelo en términos de coeficientes equivalentes de esfuerzo lateral de tierra. El coeficiente de empuje activo sísmico, kae es: (13) SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 4 Determinación del Empuje Activo Pseudoestático en un Suelo con c y usando un Software Matemático = coeficientes basados en la teoría de Chen y Liu (1990) Para propósitos prácticos los autores proporcionan los valores de kae a partir del uso de tablas Tabla 1. Valores del coeficiente de empuje activo sísmico propuesto por el método de límite superior de los mecanismos de falla (Chang, 1981 citado por Chen y Liu, 1990) 3.3 Solución Analítica Shukla y Bathurst (2012), proponen el uso de una expresión analítica para determinar el empuje activo pseudo-estático como: (14) Dónde: (15) - El peso de la cuña deberá marcarse en el segmento ( ) como D1, D2, D3… Dn. - A partir de los puntos D1, D2, D3… Dn deberá trazar un segmento paralelo =. - El segmento conformado por: y se mide a partir del segmento AB. - Con la unión de los puntos F1, F2, F3… Fn se dibujara la curva de Culmann, iniciando desde el punto A. - Se traza una tangente a la curva, paralela al segmento - El punto máximo donde la tangente toca a la curva la distancia de DmFm será el valor de empuje activo. - La cuña de desplazamiento real puede trazarse con una recta del punto A hasta Fm “valor máximo en la curva”, formando el punto Cm. - Para encontrar el punto donde se localiza el empuje activo en el muro se utiliza solo la cuña de falla. - Se ubica el centroide de la figura por C, A, Cm. - Se traza una línea paralela a la línea de corte ACm, tocando en un punto el respaldo del muro, punto Po. 4.2 Solución Culmann modificado Este método agrega la condición sísmica para lo cual modifica y de la siguiente manera: = (17) = (90-(++)) (18) (16) 4.3 Solución con el Software Matemático (16) = son coeficientes de empuje activo sísmicos asociados con su peso unitario y a la cohesión. k= factor de la grieta de tensión = ángulo de la cuña de falla calculada con Shukla y Bathurst (2012) =adhesión calculada con Shukla y Bathurst (2012) 4 ESFUERZO LATERAL DE TIERRA POR MÉTODOS GRAFÍCOS 4.1 Solución Culmann Este método tiene como principal característica encontrar el empuje activo máximo, los pasos para su construcción se describen brevemente. - Trazar desde el punto a un segmento con una inclinación = a partir de la horizontal . - Trazar rectas a partir del punto A cortando equidistantemente al talud (supuestos planos de falla) para formar los segmentos, , etcétera. - Integrar el área formada por (C1, A, C), (C2, A, C1) y sucesivamente las siguientes. Las soluciones estáticas proporcionadas por Rankine, Coulomb y Culmann se codificaron en un software matemático, con el fin de comparar las soluciones numéricas en cuanto a magnitud y posición del empuje activo total con la solución de Culmann. Asimismo, se codifico la solución de Culmann modificado, y se compararon los resultados con la solución del límite superior y con la solución analítica de la magnitud y posición del empuje activo pseudo-estático. INICIO Ángulos (,,,), peso específico ( ) del relleno, sobrecarga (q0), resistencia al esfuerzo cortante (c), altura del muro, corona. Calculo del empuje con coordenadas, gráfico y analítico. SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. BAÑUELOS I.A. et al. 5 adecuados para el cálculo del empuje activo estático debido a sus condiciones, localizando la distancia en donde es factible construir. a) Empuje activo gráfico con coordenadas. FIN b) Figura 2. Diagrama de flujo del software matemático, basados en el modelo presentado en la Fig1. 5 RESULTADOS Siguiendo el diagrama anterior Figura 2, se presenta las siguientes imágenes: La figura 6 muestra la cuña de falla de Rankine elaborada por el software matemático, la magnitud del empuje es igual que la obtenida en la tabla 2, la posición se encuentra a H/3 por encima de la base. La Figura 7 representa la cuña de falla por Coulomb, la magnitud es igual a la tabla, la posición se localiza a H/3 por encima de la base. C) d) Figura 6. Solución grafica de Rankine Figura 4. Desarrollo de Culmann estático con cohesión. a) ingreso de las características del modelo de referencia Fig1, b) Proceso, c) Solución gráfica, d) Resultado. a) Figura 7. Solución grafica de coulomb b) La Figura 4b -5b muestran el proceso para obtener la cuña de falla por medio del software matemático, se aprecia que la cohesión incrementa o disminuye la cuña de falla, esto debido a que incrementa la grieta de tensión. La figura 4c-5c muestra la magnitud y posición, siendo más SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 6 Determinación del Empuje Activo Pseudoestático en un Suelo con c y usando un Software Matemático c) d) c) Figura 8. Solución de Culmann modificado con cohesión. a) Datos de ingreso, b) Proceso, c) Solución gráfica, d) Resultado. En la Figura 8c se aprecia la cuña de falla pseudoestática, la magnitud es mayor que las obtenidas en la tabla 5, la posición se encuentra a 2/3H de la base, resultando igual que la tabla5. d) a) Figura 5. Desarrollo de Culmann estático sin cohesión. a) Ingreso de las características del modelo de referencia Fig1, b) Proceso, c) Solución gráfica, d) Resultado. Para las soluciones pseudo- estáticas mediante el software matemático se obtuvieron las siguientes imágenes de Culmann modificado. a) b) b) c) SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. BAÑUELOS I.A. et al. d) Figura 9. Solución de Culmann modificado sin cohesión. a) Datos de ingreso, b) Proceso, c) Solución gráfica, d) Resultado. La figura 9c muestra la cuña de falla pseudo-estática sin cohesión, se obtiene que la magnitud y posición es igual que la tabla 5. . Método Ea (kN) Posición (m) c Culmann 293.289 2.421 Culmann 342.087 2.654 Rankine 157.872 2.670 Coulomb 289.55 2.654 Tabla 2. Soluciones gráficas estáticas con y sin cohesión. Método ka Rankine Coulomb Rankine Coulomb .35 .54 .35 .54 Ea (kN) Posición (m) 2.493 2.610 3.039 3.033 161.304 287.275 239.809 389.44 c En el proceso del software matemático, entre más números se divida la cuña de falla existe mayor precisión y representan áreas iguales. Las soluciones analíticas y graficas estáticas son iguales. La solución de Rankine (gráfico y analítico), es menor que los métodos de Coulomb y Culmann para el empuje activo estático. En la solución analítica y grafica pseudoestática sin cohesión es igual. En los métodos analíticos para determinar empuje activo pseudo-estático con cohesión, son menores que el gráfico. La posición del empuje activo pseudo-estático, Ead, obtenidos por el método de Culmann modificado se localiza a 2/3 H, por encima de la base del muro, esto coincide con la posición que señalan las teorías. La solución grafica da a conocer la distancia más factible para construir. REFERENCIAS Whitlow R. (1994) “Fundamentos de Mecánica de Suelos”, México, DF: CECSA. Shukla K.S y Bathurst R.J (2012), “An analytical expression for the dynamic active thrust from c- soil backfill on retaining walls with wall friction and adhesion”. Geomechanics and Engineering, Vol. 4, No. 3:209-218. Visone C. y Santucci de Magistris F. (2008), “A review of design methods for retaining structures under seismic loadings”. Structural and Geotechnical Dynamic Lab StreGa, University of Molise, Termoli (CB), Italy Santucci de Magistris F. (2008), “PerformanceBased approach in seismic design of Embedded Retaining walls”, Italy. Tabla 3. Soluciones analíticas estáticas con y sin cohesión Método Culmann modificado Culmann modificado Ead (kN) 410.901 Posición (m) 5.35 361.990 5.25 c Tabla 4. Solución grafica pseudoestática con y sin cohesión Método kae Ead(kN) Posición (m) c Mononobe- .690 407.149 5.33 Okabe Chen y Liu .250 147.136 5.28 Shukla -------- 137.146 5.28 . Tabla 5. Soluciones analíticas pseudoestáticas con y sin cohesión 6 7 CONCLUSIONES SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.